Parametros de Distribución

de SiniestrosMetodo de estimar la cola

VI Seminario Regional Actuarial Latinoamericano

Santiago, Chile

21 Junio, 2016

Alejandro Ortega, FCAS, CFA

2

El Problema

• Estimar la Distribuccion de Siniestros para el

ano 2016

• Lo podemos usar para medir Capital

• Determinar un plan de Reaseguro

• Cuenta Individuales

• Podria ser una cartera de Auto, Transportes,

Incendio, o toda la compania

3

Los Datos

• Fecha de hacer Analisis – 13 Nov 2015

• Prima 2010 – 2014

• Siniestros 2010-2014

• Datos actualiados al 30 Sep 2015

• Porque no 2015?

4

Resumen de Datos

AnoNumero

Siniestros Monto Pagado

2010 330 3,057,507

2011 312 3,177,057

2012 256 2,849,844

2013 272 3,571,991

2014 367 4,680,122

5

Resumen de Datos

Supuestos

• El tamano de la cartera no ha cambiado

• Si cambia, se necesita calcular Frecuencia de

Siniestros

• Inflacion es cero – 0%

• Si no es, se necesita ajustar los datos historicos

• Lo comun es usar la inflacion general del mercado

• Si existe suficiente data, se puede usar algo mas

preciso

6

Resumen de Datos

Monto Pagado

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

2010 2011 2012 2013 2014

Monto Pagado

7

Resumen de Datos

Numero de Siniestros

0

100

200

300

400

Siniestros

8

Resumen de Datos

AnoNumero

SiniestrosMonto Pagado Promedio

2010 330 3,057,507 9,265

2011 312 3,177,057 10,183

2012 256 2,849,844 11,132

2013 272 3,571,991 13,132

2014 367 4,680,122 12,752

• Parece tendencia subiendo

• Suscriptor, Siniestros

9

Resumen de Datos

Numero de Siniestros (Trimestral)

Media 77 Mediana 77 Min 49 Max 114 Desv Std 15

• Parece que no hay tendencia

• Suponemos que expuestos no han cambiado en tiempo

0

20

40

60

80

100

120

140

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Siniestros

Siniestros

10

Resumen de Datos

Numero de Siniestros (Trimestral)

Media 77 Mediana 77 Min 49 Max 114 Desv Std 15

• “Rolling Average” ayuda encontrar tendencias

• Disminuye el impacto de estacionalidad

0

20

40

60

80

100

120

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Number of Claims

Claims Mean Rolling 8

11

Pasos

• Estimar Distribuccion Para Numero de

Siniestros

• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la

prima pronosticada del proximo ano

• Estimar Distribuccion por el costo de cada

siniestro

• Primero la Pansa

• Despues la Cola

12

Distribuciones Frecuencia

• Binomial Negativo

• Poisson

• Overdispersed Poison

• Binomial

Parametros Frecuencia

13

Parametros Elegidos

37

0.68

Datos Actuales

Media 76.9

DesviacionStandard

15.4

Parametros Frecuencia

14

Parametros Elegidos

37

0.68

Datos Estimados

Media 77.3

DesviacionStandard

15.5

Datos Actuales

Media 76.9

DesviacionStandard

15.4

0

20

40

60

80

100

120

140

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Siniestros Neg Bin.

15

Distribuciones Frecuencia Simulacion 1

16

0

20

40

60

80

100

120

140

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Siniestros Neg Bin.

Distribuciones Frecuencia Simulacion 2

17

0

20

40

60

80

100

120

140

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Siniestros Neg Bin.

Distribuciones Frecuencia Simulacion 3

18

0

20

40

60

80

100

120

140

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Siniestros Neg Bin.

Distribuciones Frecuencia Simulacion 4

19

Pasos

• Estimar Distribuccion Para Numero de

Siniestros

• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la prima

pronosticada del proximo ano

• Estimar Distribuccion por el costo de cada

siniestro

• Primero la Pansa

• Despues la Cola

20

Distribuciones Severidad

• Weibull

• Gamma

• Normal

• LogNormal

• Exponential

• Pareto

21

Severidad – Parametros Pansa

• Estimacion de Parametros

• Estimacion de Maxima Verosimilitud

• Preparar grafico de la distribucion de

los datos actual contra la estimacion

• Mirar la curva es como confirma que

el modelo es preciso

22

Pasos

• Estimar Distribuccion Para Numero de

Siniestros

• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la prima

pronosticada del proximo ano

• Estimar Distribuccion por el costo de cada

siniestro

• Primero la Pansa

• Despues la Cola

Excess Mean

La media de siniestros arriba de un monto

𝐸 𝑋 𝑋 > 𝑢 − 𝑢

• Por cualquier 𝑢

Cuando sube tienes cola larga

23

Excess Mean - Normal

24

93

-

250

500

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Normal

Excess Mean - Exponential

25

-

250

500

- 500 1,000 1,500 2,000

u

Excess Mean Exponential

Excess Mean - Weibull

26

-

500

1,000

1,500

2,000

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Weibull

Excess Mean - LogNormal

27

-

500

1,000

1,500

2,000

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Lognormal

Excess Mean - Pareto

28

Lineal

832

-

500

1,000

1,500

2,000

0 500 1000 1500 2000u

Excess Mean Pareto

Cola Larga

Embrechts:

Cada Distribucion con cola larga

En el Limite se parece a Pareto

29

El tamano de la cola se controla con el

parametro 𝜉 (Xi)

0.5 < 𝜉 Varianza no existe

1 < 𝜉 Media no existe

Cola Larga

Embrechts:

Cada Distribucion con cola larga

En el Limite se parece a Pareto

30

1 < 𝜉 < 2 Seguros

2 < 𝜉 < 5 Financia

Distribucion Pareto

𝐹𝑢 𝑥 = 1 − 1 +𝜉𝑥

𝛽

−1𝜉

𝑆𝑢 𝑥 = 1 +𝜉𝑥

𝛽

−1𝜉

31

Datos - Severidad

32

Siniestro Trimestre MontoMonto con

Inflacion1 2010Q1 14,101 14,101 2 2010Q1 1,824 1,824 3 2010Q1 688 688 … … ... …

1534 2014Q4 25 25 1535 2014Q4 32,574 32,574 1536 2014Q4 15,380 15,380 1537 2014Q4 1,016 1,016

Datos - Severidad

Siniestros mas grande

33

Siniestro Trimestre Monto

1305 2014Q2 126,434

415 2011Q1 135,387

1392 2014Q3 149,925

1055 2013Q3 153,900

1423 2014Q3 166,335

225 2010Q3 181,881

1381 2014Q3 254,864

1310 2014Q2 510,060

Severidad

34

0%

20%

40%

60%

80%

100%

- 200,000 400,000 600,000

F(x) empirico

Survival Function – Log Log Scale

35

0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

12.50%25.00%50.00%

100.00%

1 8 128 2,048 32,768 524,288

S(x) empirico - logarithmo 𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

Survival Function – Log Log Scale

36

𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

12.50% 10,000 40,000 160,000

S(x) emprico - logarithmo

Survival Function – Log Log Scale

37

𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

Survival Function – Log Log Scale

38

𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

Survival Function – Log Log Scale

39

No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

Survival Function – Log Log Scale

40

No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

Elegir Parametros - Severidad

𝑢 = 50,000

𝐹 𝑢 = 95.26%

𝑆 𝑢 = 4.74%

Se puede tratar diferentes 𝑢’s para ver si

da resultado similar (o diferente)

41

Elige 𝑢, determina 𝐹(𝑢)

42

Siniestro Trimestre Monto𝐹(𝑥)

empirico

1348 2014Q3 49,302 95.12%

592 2011Q4 49,479 95.19%

105 2010Q2 49,885 95.25%

50,000 95.26%

686 2012Q1 50,862 95.32%

682 2012Q1 51,085 95.38%

639 2011Q4 51,160 95.45%

𝐹 𝑥 =𝑟𝑎𝑛𝑘𝑖𝑛𝑔

𝒏 + 𝟏 𝑛 =Numero de Siniestros

Primer Prueba de Parametros

Elige 𝜉 primero, despues 𝛽

El 𝜉 elegido es muy alto43

𝑢 = 50,000

𝑆 𝑢 = 4.74%

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

S(x) empirico

S(x) Pareto

0.01%0.02%0.04%0.08%0.16%0.31%0.63%1.25%2.50%5.00%

40,000 320,000

1.00

= 1,500

Empirical Log Log Scale

Prueba de Parametros del Pareto

Mejor. Parece que el pendiente no

baja suficiente44

𝑢 = 50,000

𝑆 𝑢 = 4.74%

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

S(x) empirico

S(x) Pareto

0.01%0.02%0.04%0.08%0.16%0.31%0.63%1.25%2.50%5.00%

40,000 320,000

0.50

= 6,000

Empirical Log Log Scale

Prueba de Parametros del Pareto

Ahora parece que baja muy rapido

𝜉 ∈ [0.2,0.5]45

𝑢 = 50,000

𝑆 𝑢 = 4.74%

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

S(x) empirico

S(x) Pareto

0.01%0.02%0.04%0.08%0.16%0.31%0.63%1.25%2.50%5.00%

40,000 320,000

0.20

= 15,000

Empirical Log Log Scale

Prueba de Parametros del Pareto

Mucho Mejor

Buscamos un poco abajo y arriba46

𝑢 = 50,000

𝑆 𝑢 = 4.74%

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

S(x) empirico

S(x) Pareto

0.01%0.02%0.04%0.08%0.16%0.31%0.63%1.25%2.50%5.00%

40,000 320,000

0.35

= 9,000

Empirical Log Log Scale

Prueba de Parametros del Pareto

Tambien es buena

47

𝑢 = 50,000

𝑆 𝑢 = 4.74%

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

S(x) empirico

S(x) Pareto

0.01%0.02%0.04%0.08%0.16%0.31%0.63%1.25%2.50%5.00%

40,000 320,000

0.30

= 10,500

Empirical Log Log Scale

Prueba de Parametros del Pareto

Esta bien entre 40k y 120k; pero no

en los ultimos 7 puntos48

𝑢 = 50,000

𝑆 𝑢 = 4.74%

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

S(x) empirico

S(x) Pareto

0.01%0.02%0.04%0.08%0.16%0.31%0.63%1.25%2.50%5.00%

40,000 320,000

0.40

= 8,200

Empirical Log Log Scale

Prueba de Parametros del Pareto

Mucho Mejor

Buscamos un poco abajo y arriba49

𝑢 = 50,000

𝑆 𝑢 = 4.74%

0.01%0.02%0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

0.35

= 9,000

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000

S(x) emprico - logarithmo

S(x) empirico

S(x) Pareto

Siniestro Mas Grande -

Esperado

𝝃 𝜷 Mas Grande Siniestro99.93%ile

0.30 10,500 277,000

0.35 9,000 304,000

0.40 8,200 358,000

50

Resumen Severidad

Tenemos Distribucion para la pansa

• Hasta el 95.26%

La Cola se usa el Pareto con estos parametros:

• 𝑢 = 50,000

• 𝐹 𝑢 = 95.26%

• 𝜉 = 0.35

• 𝛽 = 9,000

51

52

Pasos

• Estimar Distribuccion Para Numero de

Siniestros

• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la

prima pronosticada del proximo ano

• Estimar Distribuccion por el costo de cada

siniestro

• Primero la Pansa

• Despues la Cola

Supuestos

La Cartera es similar

• Hogar, Apartamentos

Hay buena forma de estimar expuestos

• Autos, Casas, Ventas

Ajustes de Inflacion se hacen

• El del mercado general, o mas detallado

Riesgo de Modelo

• Expuestos, inflacion

53

Gracias