parametros de centralizacionq

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚFACULTAD DE INGENIERÍA DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

ESTADÍSTICA GENERAL

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE CENTRALIZACIÓN

Se denomina así a los valores numéricos que se toman como referencia para señalar el comportamiento de un conjunto de datos. El objetivo es

determinar los valores que pueden ser considerados como representativos de un conjunto de datos. Las medidas de descentralización son medidas que

se usan con mayor frecuencia y que estudiaremos son:

1. MEDIA ARITMETICA ( X )

Llamada también promedio aritmético, se define:

Para datos no agrupados:

Sean: x1+ x2+x3+x4+…+xn los valores de la variable x que no han sido agrupados, su media está dada por la media aritmética de estos valores:

x=x1+x2+x3+ x4+…+xn

n=∑i=1

n

xi

n

Ejemplo1:Supongamos que se considera el precio de un producto de consumo, tal como la mantequilla y se averigua el precio de sus distintas calidades y se obtiene:

x1=24 soles x4=29 solesx2=26 soles x5=32 solesx3=20 soles x6=22 soles

Entonces, el “precio promedio” o “precio medio” de dicho producto:

PRECIOMEDIO=24+26+20+29+32+226

=512

=25.5 soles

Ejemplo2: Las remuneraciones anuales, en miles de soles, de un grupo de 65 empleados en la ciudad de Huancayo es la siguiente:

52

38

26

27

45

31

45

46

46

18

36

24

43

46

53

24

12

23

37

51

47

38

32

34

26

21

19

38

35

38

28

46

37

39

25

16

48

28

23

25

28

31

34

38

38

47

37

29

37

29

46

34

33

59

17

24

27

32

29

45

34

39

42

27

36

Para la información las variables serian: x1+ x2+x3+x4+…+x65 luego sumando los datos:

∑i=1

65

x1=2038⟷n=65

Prof. Ing. Brígida de la Cruz

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Por lo tanto el valor de la media (sueldo anual medio) es:

x=∑i=1

65

x i

65=223865

=34.430miles de soles

M [x ]=a=34.430 solesanuales

Para datos no agrupados o tabla de frecuencia:

Sean: x1+ x2+x3+…+xn las marcas de clase de cada uno de los

intervalos y f 1+ f 2+ f 3+…+ f n sus respectivas frecuencias, entonces la media de estos valores viene dada por su promedio ponderado:

x=x1 f 1+x2 f 2+x3 f 3+…+xn f n

f 1+f 2+ f 3+…+ f n

x=∑i=1

n

x i f 1

∑i=1

n

f i

Ejemplo:

Para el EJEMPLO de los anuales de los 65 empleados, podemos tabularlos y presentarlos en una tabla de frecuencia con 5 intervalos de amplitud 10, es decir:

Como I 2=59entonces I 2=60

I 1=12entonces I 1=10

c i=60−105

=505

=10

Obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:

SUELDO ANUAL(intervalos)

MARCAS DE CLASE

(y i)

Nº DE EMPLEADOS

SUELDO ANUAL PONDERADO

y i−1− y i y i−1− y i2

ni y ini

⌊10¿¿ 15 5 75

⌊20¿¿ 25 19 475⌊30¿¿ 35 24 840

⌊40¿¿ 45 13 585

[50−60 ] 55 4 220

TOTAL n=65 2195Se observa en la tabla que para calcular la media fue necesaria determinar las “marcas de clase” y luego la ponderación de la variable y i.


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Entonces, el sueldo medio anual es:

M [ y ]= y=∑i=1

65

y in i

65=219565

=33.770miles de soles

Luego M [ y ]=33.770miles desoles

2. MEDIANA (Me) ò (x¿¿m)¿

La mediana para un conjunto de datos ordenados (en forma creciente o decreciente) es el dato que ocupa la posición central de dicho conjunto. La mediana divide un conjunto de datos en dos partes iguales: 50% a la izquierda y 50% a la derecha.


Los datos originales (no agrupados) se ordenan de modo ascendente o descendente.

Para un número impar de datos, la “mediana” es igual al valor del medio.

Ejemplo1:La medianade los valores: 3, 4, 4, 5, 6⏟Me

, 8, 8, 8, 11

es Me = 6

Si el número de datos es par, la mediana es igual a la semisuma de los valores centrales.

Ejemplo2:La mediana de los valores: 123, 125, 128, 130 ,131⏟,

132,135, 135

Me=130+1312

=2612

=130.5

Para datos agrupad os:

Cuando los datos se pueden agrupar en clases, se define la clase mediana como la primera cuya frecuencia absoluta acumulada igual o excede a la mitad del total de datos. El valor de la mediana se determina mediante:


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Me=Lm+W m[ n2−Fm−1

f m ]Donde:

Lm: Límite inferior de la clase mediana.Wm: Ancho de clase de la clase mediana.Fm−1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase que precede a la clase mediana.n: Número total de datos.f m: Frecuencia absoluta de la clase mediana.

Ejemplo:Determinar la mediana de la tabla de la frecuencia mostrada:

Como la mitad de los datos es 25, entonces la clase modal es el valor inmediato superior: Fm=36, que se indica con líneas punteadas. A continuación reconocemos que:

Lm=4 ; Wm=2 ;Fm−1=24 ; f m=12

Luego la mediana estará dada por:

xm=Lm+W m[ n2−Fm−1

f m ]=4+2[ 502 −24

12 ]xm=4,17

3. MODA (Mo) :

La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos. A una distribución que tiene una sola moda se le denomina unimodal. Si hubiesen más de dos valores con frecuencias máximas comunes o similares, la distribución es multimodal: bimodal, trimodal, etc. En caso que ninguno se repita se dice que no existe moda.


Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos. A una distribución que tiene una sola moda se le denomina unimodal. Si hubiese más de dos valores no adyacentes con frecuencias máximas similares, la distribución es multimodal: bimodal, tridimodal, etc. En el caso que ningún valor se repita se dice que no existe moda.

Ejemplo1:Si se tienen los datos: 5 ,8 ,7 ,9 ,6 ,5 ,4Con la cual la moda es M o=5, pues es el valor que se repite con mayor frecuencia.


I i x i f i F i⌊0¿¿ 1 9 9⌊2¿¿ 3 15 24⌊4¿¿ 5 12 36⌊6¿¿ 7 8 44

[8−10 ] 9 6 50

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Ejemplo2: Si se tienen los datos: 5 ,8 ,5 ,9 ,6 ,5 ,4 ,9 Con lo cual existen; M o1

=5 y M o2=9, siendo la primera

la de mayor importancia.

Para datos agrupados:

Con intervalos de igual ancho de clase se tiene que la clase modal es aquella que tiene la mayor cantidad de datos. Luego el valor de la moda se da por:

M o=Lo+W o[ d1d1+d2 ]

Donde:

M o:Límite inferior de la clase modal.Lo: Ancho de la clase modal.d1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase procedente.d2: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.

Ejemplo:De la siguiente tabla de frecuencia determinar la moda.

NOTAS(I i) x i TABULACIÓN f i F i hi H i 100hi% 100H i%

[ 5−7 ⟩ 6 I 1 1 0.05 0.05 5% 5%

[ 7−9 ⟩ 8 IIIII 5 6 0.25 0.30 25% 30%

[ 9−11 ⟩ 10

IIII 4 10 0.20 0.50 20% 50%

[ 11−13 ⟩ 12

IIIIII 6 16 0.30 0.80 30% 80%

[ 13−15 ⟩ 14

II 2 18 0.10 0.90 10% 90%

[ 15−17 ] 16

II 2 20 0.10 1 10% 100%

TOTAL 20 1 100%

Observaciones: d1=6−4d2=6−2


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La clase modal es [ 11−13 ⟩; entonces:

M o=Lo+W o[ d1d1+d2 ]

M o=11+2[ 22+4 ]=11,6

PRACTICA DE MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN


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1. Completa la siguiente tabla de frecuencias y hallar la media, mediana y la moda.

Intervalos de

clase (I i)x i f i F i hi H i x i f i

[ 30−50 ⟩ 0.20

¿ 20¿¿ 0.90

TOTAL 50

Solución:

Intervalos de

clase (I i)x i f i F i hi H i x i f i

[ 30−50 ⟩ 40 10 10 0.20 0.20 400

[ 50−70 ⟩ 60 20 30 0.40 0.60 1200

[ 70−90 ⟩ 80 15 45 0.30 0.90 1200

[ 90−110 ⟩ 100 5 50 0.10 1 500

TOTAL 50 1 3100 Media :

n=50; ∑ x i f 1=3100 entonces n=∑ f 1

x=∑i=1

50

x i f 1

∑i=1

50

f i

=310050

=62

Mediana:El color verde es la mediana de la tabla de frecuencia.

xm=Lm+W m[ n2−Fm−1

f m ]=50+20[ 25−1020 ]xm=65

Moda:También el color verde significa que es la clase modal.

M o=Lo+W o[ d1d1+d2 ]=50+20[ 1010+5 ]

M o=63.3

BIBLIOGRAFIA


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1.- Jaime serret moreno – Gil – procedimientos estadísticos (1998)

Pag. 73, 74, 75.

2.- Sheldom M.ross – Introducción a la estadística (2007)

Pag. 75, 76.

3.- Wilfredo caballero A.(1975) pag. 80, 81, 82.

4.- http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_estad%C3%ADstico


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