Paradojas Matematicas a lo largo de la Historia

Universidad de El SalvadorFacultad de Ciencias Naturales y Matematica

Escuela de MatematicaAsignatura: Metodologıa de la Investigacion

Instructor: Msc. Francisco Melgar

Jorge Balmore Flores Tejada FT09006Mario Enrique Hernandez Carpio HC09001Edgar Antonio Padilla Campos PC09004Walter Alexander Reyes Arias RA09005

Ciudad Universitaria, 4 de julio de 2012

Indice

1. Justificacion 3

2. Introduccion 4

3. Objetivos 5

3.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Contenido 6

4.1. Paradoja de Zenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1.1. Replica a la Paradoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2. Paradoja del Cuerno de Gabriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.2. Ecuacion Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3. Paradoja del Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.1. Construccion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3.2. Algunas propiedades importantes del conjunto de Cantor . . . . . 12

4.4. Paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4.1. La paradoja en terminos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4.2. Enunciado formal de la paradoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4.3. La paradoja en terminos del barbero . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4.4. Explicacion de la paradoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5. Paradoja del Mentiroso (Teoremas de incompletitud de la Matematica) . 18

4.5.1. Primer Teorema de Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5.2. Segundo Teorema de Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5.3. Numeracion de Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

4.5.4. Expresabilidad Recursidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5.5. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5.6. Demostracion del primer teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5.7. Demostracion del segundo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5.8. Mal entendidos entorno a los teoremas Godel . . . . . . . . . . . . 24

5. Metodologıa 25

6. Conclusiones 26

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1. Justificacion

El afan de estudiar algunas de las mas conocidas paradojas, que a lo largo de lahistoria han visto la luz en el area de la matematica, surge a partir de la necesidad dereconocer la importancia que ellas han tenido para el desarrollo de la misma y en generalde la falta de conocimientos que de este hecho tienen las alumnas, alumnos e inclusive losdocentes en esta area. Las paradojas han sido de vital importancia para conocer mejor elmundo de las matematicas, ya que por medio de estas hemos obtenido ideas mas clarasacerca de las formas en que estas estan constituidas

Por lo cual consideramos que es importante rescatar y promover el espıritu empren-dedor y la ingeniosa pericia que distingue a los mas grandes matematicos y, en general alos mas grandes cientıficos de todos los tiempos, quienes han sido capaces de descubrir ysistematizar fenomenos que por su elevada naturaleza escapan de la imaginacion huma-na, porque han presentado una prueba que reta nuestra astucia y que todo amante de lamatematica: como nosotros, debe conocer e intentar.

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2. Introduccion

En grandes terminos podemos decir que una paradoja es una idea extrana, opuesta alo que se considera verdadero o a la opinion general, es una proposicion aparentementeverdadera que conlleva a una contradiccion logica o una situacion que infringe el sentidocomun.

Las paradojas son utilizadas por los filosofos para revelar la complejidad de la realidady mostrar las limitaciones de las herramientas de la mente humana. En este sentido,conceptos aparentemente simples y razonables pueden impulsar importantes avances enlas ciencias, la filosofıa y las matematicas.

En el presente trabajo mostramos, en sıntesis, aspectos de importancia concernientesa cinco de las mas conocidas paradojas surgidas en areas de las matematicas como elcalculo infinitesimal con la paradoja de Aquiles y la tortuga y, la paradoja del cuernode Gabriel, la teorıa de conjuntos con la paradoja de Russel y, la paradoja del conjuntode Cantor, la logica matematica con la paradoja del mentiroso , expresada por Godel enlenguaje matematico y que diera origen a sus importantes teoremas de incompletitud.

Tambien que el camino del desarrollo de las matematicas se encuentra lleno de dificul-tades muchas veces surgidas de los conceptos aparentemente mas simples, las cuales sinembargo con tenacidad e ingenio son el punto de partida para la consecucion de nuevosresultados y como estos pueden enriquecer la estructura de las matematicas o evidenciarsus falencias.

Tambien ejemplificamos al describir el contexto en que surge la teorıa de conjuntosde Cantor, la inconveniencia de cerrarse a la posibilidad de la innovacion que aunquevaledera desafıe la teorıa ya establecida.

Todo lo anterior con la intencion de adentrar al lector en el fascinante terreno de lasparadojas matematicas y motivarle a profundizar en el.

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3. Objetivos

3.1. Objetivos Generales

• Mostrar la importancia que tienen las paradojas en la historia de las matematicas

3.2. Objetivos Especıficos

• Conocer las consecuencias que tuvieron la paradoja del conjunto de Cantor y la para-doja de Russell en las matematicas.

• Comprender la trascendencia del calculo infinitesimal como herramienta del conoci-miento cientıfico al explicar fenomenos que antiguamente conducıan a paradojas

• Identificar el papel de los teoremas de incompletitud de Godel en la filosofıa de lasmatematicas.

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4. Contenido

4.1. Paradoja de Zenon

Aquiles, llamado “el de los pies ligeros” y el mas habil guerrero de los aqueos, quienmato a Hector, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corremucho mas rapido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial.

Figura 1: Aquiles tras la tortuga

Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba ini-cialmente, pero al llegar allı descubre que la tortuga ya no esta, sino que ha avanzado,mas lentamente, un pequeno trecho o distancia.

Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, estaha avanzado un poco mas. De este modo, Aquiles no ganara la carrera, ya que la tortugaestara siempre por delante de el.

4.1.1. Replica a la Paradoja

Una interpretacion moderna, basada en el calculo infinitesimal que era desconocidoen esa epoca de Zenon, propone que Aquiles realmente alcanzara a la tortuga, ya que,como demostro el matematico escoces James Gregory (1638-1675), una suma de infinitosterminos puede tener un resultado finito.

Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterioren el que se encontraba la tortuga son cada vez mas y mas pequenos, y su suma da unresultado finito, que es el momento en que alcanzara a la tortuga.

6

Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que esta me-tros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez decantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular unintervalo finito de tiempo en el cual Aquiles pasara a la tortuga.

Otra forma de encarar el problema es huyendo del analisis infinitesimal, cuyo plan-teamiento matematico se desconocıa en tal epoca, para reconvertirlo en analisis discreto:Filıpides el campeon olımpico al que se ordeno que abandonara las filas del ejercito paracomunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon norecorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A ca-da zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer queFilıpides recorre un metro a cada zancada.

Ahora el problema se reduce a la comparacion de velocidades relativas: calcular enque momento la ultima zancada de Filıpides recorrera una distancia mayor a la quehaya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definirla distancia exacta que la tortuga recorrerıa. Es decir, basta que una de las variablessea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a lasdistancias infinitesimales, para demostrar, incluso teoricamente, que el movimiento existe.

Lo que sı es seguro que la solucion no puede salir de una argumentacion distinta ala original, sino del estudio del enunciado original, lugar en el que se encuentra el error,mal entendido, o paradoja. Para plantear una serie que modele la paradoja de Aquilesy la Tortuga se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego lamitad de la mitad de la mitad y ası, hasta el infinito:

∞∑n=1

1

2n=

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+ · · ·

La serie que se plantea anteriormente es una serie geometrica, por lo que su sumapuede ser calculada con la siguiente formula:

suma =a

1− r

En la sumatoria de la paradoja de Zenon, a: es el valor inicial de la sucesion, r: es larazon de incremento (producto), osea 1

2× r = 1

4, luego de despejar r, tenemos que r = 1

2.

entonces sustituyendo en la formula suma, tenemos:

suma =12

1− 12

=1212

= 1

Entonces se tiene que la suma de la mitad de ((algo)) mas la mitad de la mitad de((algo)) y ası sucesivamente da 1, ((algo)) completo. Esto tambien es aplicable a la paradoja,la mitad de la distancia, mas la mitad de la mitad de la distancia y ası sucesivamenteda como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitasmitades es posible recorrer toda la distancia.

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4.2. Paradoja del Cuerno de Gabriel

El Cuerno de Gabriel (tambien llamado Trompeta de Torricelli) es una figura geometri-ca ideada por Evangelista Torricelli que tiene la caracterıstica de poseer una superficieinfinita pero un volumen finito. Es la superficie de revolucion que se obtiene al girar,

alrededor del eje X, el grafico de la funcion F (x) =1

x, con dominio x ≥ 1.

Figura 2: Cuerno de Gabriel

4.2.1. Historia

En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradojaaparentemente ha sido descrita de modo informal senalando que serıa necesaria unacantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que serıa posiblerellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y ası cubrir esa superficie.

La solucion de la paradoja es que un area infinita requiere una cantidad infinita depintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interiordel cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura,especialmente cuando su diametro es menor que el de una molecula de pintura.

Si se considera una pintura sin grosor, serıa necesaria una cantidad infinita de tiempopara que esta llegase hasta el ((final)) del cuerno.

Figura 3: Cuerno en 3D

En otras palabras, llegarıa un momento en el que el espesor de la trompeta serıa maspequeno que una molecula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubrirıael resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Ası, que la superficie dela trompeta sea infinita no implicarıa que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

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Pero la paradoja tambien tiene solucion incluso si suponemos una materia divisible inde-finidamente (o sea, si no existen los atomos). Si el grosor de la capa de pintura es variabley disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularıa poruna integral impropia que podrıa ser convergente.

En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente deberıa ser igual o menoral valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir,se necesita una cantidad finita de pintura.

4.2.2. Ecuacion Matematica

El cuerno de Gabriel se forma utilizando la grafica de: y =1

x, con dominio x ≥ 1,

teniendo una asintota en x = 0. Y rotandola en tres dimensiones alrededor del eje x.

Su descubrimiento es anterior al calculo y fue posible gracias al Principio de Cavalieri1.Es posible calcular tanto el volumen V como el area superficial A del cuerno entre x = 1 yx = a, donde a > 1 mediante integracion (solido de revolucion y superficie de revolucion):

V = π

∫ a

1

1

x2dx = π

(1− 1

a

)A = 2π

∫ a

1

√1 + 1

x4

xdx > 2π

∫ a

1

√1

xdx = 2π ln a

a puede ser tan grande como se desee, pero en la ecuacion se puede observar queel volumen del cuerno entre x = 1 y x = a, a nunca sera igual a π; sin embargo,se acercara mas y mas a π conforme a crece. Matematicamente, el volumen tiende ainfinito. Empleando lımites, el volumen puede expresarse de la siguiente forma:

lıma→∞

π

(1− 1

a

)= π

(1− lım

a→∞

1

a

)= π (1− 0) = π

1Si dos cuerpos tienen la misma altura y ademas tienen igual area en sus secciones planas realizadasa la misma altura poseen entonces igual volumen.

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4.3. Paradoja del Conjunto de Cantor

Sabemos que en las ciencias cada novedad debe cimentarse rigurosamente, entre otrascosas, en un marco teorico previamente existente, pero tambien es necesario comprenderque, en este sentido, rigurosidad no significa cerrarse religiosamente a la posibilidad dela innovacion, rechazando a capa y espada trabajos que puedan contribuir al desarrollode las ciencias con la creacion de nuevas y mejores teorıas, o la mejor comprension delos viejos objetos de estudio. Sin embargo esta clase de prejuicios se encuentran en masde una ocasion en la historia de las ciencias y por supuesto en el area que este trabajocomprende las matematicas.

A principios del sigloXLX algunos destacados matematicos como Gauss (1777−1855)solamente aceptaban la existencia del infinito potencial, es decir el infinito como unatendencia, como un comportamiento que nunca llega a su fin por ejemplo un numeroreal que crece indefinidamente pero que nunca llega a alcanzar un maximo, rechazandola existencia del infinito actual que es la concepcion del infinito como una totalidad,por ejemplo el conjunto de todos los numeros naturales. En este sentido se negaba laposibilidad de que dos conjuntos infinitos tuviesen distinta cardianalidad.

Esta misma oposicion fue con la que se encontro Georg Cantor (1845 − 1918) alpresentar sus trabajos acerca de la teorıa de conjuntos. Cantor definio a los conjuntoscomo “colecciones de objetos reales o abstractos” lo que tuvo grandes consecuencias sobrela nocion de infinito, ya que hay conjuntos que por su naturaleza son infinitos actuales(como el conjunto ya mencionado de todos los numeros naturales).

Cantor llego a la conclusion de que al igual que varıa la cantidad de elementos de(cardinalidad) de los conjuntos finitos, tambien varıa la de los conjuntos infinitos, es deciralgunos conjuntos infinitos son “mas infinitos” que otros. Esto condujo a la formalizaciony ampliacion de ciertos conceptos como los de cardinalidad y ordinalidad ademas degenerar escandalo por transgredir con ello las ideas intuitivas acerca del infinito. Porejemplo a partir de los conjuntos finitos se extrapolaba a los infinitos la idea de que eltodo es mayor que las partes y ası, en vista de la densidad de los numeros racionalessobre la recta real y a la relativa rareza de los naturales sobre la misma resulta chocantea la intuicion que ambos conjuntos puedan ser de igual tamano.

Por lo antes mencionado no resulta extrano que cuando Cantor demostro que podıaestablecer una correspondencia biunıvoca entre los puntos de un segmento y los de unrectangulo y comunico este hecho a su maestro Leopold Kronecker, este exclamo “ lo veopero no lo creo”.

Muchos matematicos mostraron un ferreo rechazo al trabajo de Cantor Henri Poin-care condeno sus teorıa de los numeros transfinitos como una enfermedad de la que algundıa llegarıan las matematicas a curarse. Sin embargo fue Leopold Kronecker, partidariodel constructivismo, el mas temible oponente, llegando su oposicion al grado de boicotearsus publicaciones y al de decir que Cantor era un charlatan, renegado, corruptor de lajuventud.. Segun el las matematicas solo podıan construirse correctamente si se recurrıa

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exclusivamente a los numeros enteros y a un numero finito de operaciones.

Cantor reconocıa que el punto de vista constructivista tenıa meritos, pero que el pu-rismo de Kronecker era abusivo y amenazaba con esterilizar el pensamiento matematico.La razon inmediata, mantenıa Cantor, para introducir los numeros transfinitos estaba enque eran necesarios para seguir avanzando en la teorıa de conjuntos y en el estudio delos numeros reales.

Ahora que hemos contextualizado las circunstancias en que nace la teorıa de conjuntosdamos paso a tratar el singular conjunto que nos hemos propuesto El conjunto de Cantor.

El que el conjunto infinito de cantor, llamado ası por ser aporte del matematicoaleman George Cantor, generara una paradoja se debe a que se puede demostrar quetiene la misma cardinalidad que un conjunto del cual es subconjunto propio y, por lotanto intuitivamente mayor en cardinalidad, el intervalo [0, 1].

Para el conjunto de Cantor se tienen dos definiciones

Definicion 4.1 (Numerica) Es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0, 1]que admiten una expresion en base 3 que no utilice el dıgito 1.

Definicion 4.2 (Geometrica) De caracter recursivo, que elimina en cada paso el seg-mento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.

4.3.1. Construccion Geometrica

Figura 4: Conjunto de Cantor

Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:

El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].

El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto

(1

3,2

3

).

11

El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores,

es decir los intervalos abiertos

(1

9,2

9

)y

(7

9,8

9

).

Los pasos siguientes son identicos: quitar el tercio de todos los intervalos que que-dan. El proceso no tiene fin.

Demostracion:

Para demostrar que el conjunto de Cantor y el intervalo [0, 1] tienen la misma cardi-nalidad primero consideramos escribir todos los numeros del intervalo [0, 1] en base tres.Luego se nota que el quitar siempre el segundo tercio de cada segmento es equivalente asuprimir exactamente los numeros que tienen al dıgito 1 en su escritura en base tres, porejemplo cuando en la primera iteracion retiramos el intervalo

[13, 23

]se eliminan a todos

los numeros que empiezan por 0.1 con excepcion del 13, que sin embargo puede escribirse

como 0.0222222 . . ., en base tres; en la segunda iteracion retirar el intervalo[19, 29

]equiva-

lente a eliminar todos los numeros cuya escritura en base tres empiece con 0.01, tambienel intervalo

[79, 89

]corresponde a los empiezan por 0.21, y ası sucesivamente.

Ahora construimos una funcion f sobreyectiva cuyo dominio sea el conjunto de cantory cuyo rango sea el intervalo [0, 1], la cual definimos como sigue: a cada numero en elintervalo [0, 1] que escrito en base tres se contenga solamente ceros y dos, se le hacecorresponder, en base dos, un numero obtenido reemplazando todos sus dos por unos.Por ejemplo el 0.0022002 tiene como imagen el 0.0011001. Debido a ala manera en quedefinimos la funcion todo numero real en el intervalo [0, 1] tendra una pre imagen en elconjunto de Cantor, es decir la funcion f es sobreyectiva. Entonces la cardinalidad delintervalo [0, 1] es menor o igual que la del conjunto de Cantor, pero como este ultimoesta incluido en el primero entonces su cardinalidad tambien es menor o igual que la delintervalo [0, 1], en conclusion: ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad.

�

4.3.2. Algunas propiedades importantes del conjunto de Cantor

Se sabe que conjunto de Cantor es de mucha utilidad en areas de la matematica comotopologıa, sistemas dinamicos, teorıa de la medida, algebra, entre otras. Tambien se sabeque tiene caracterısticas importantes relacionadas con cada una de ellas, en especial con latopologıa, pero debido a que nuestra pretension es solo presentar una sıntesis del tema, noharemos esfuerzos por mostrar mas que aquellas para cuya comprension sean suficientesconocimientos basicos para todo estudiante de matematicas universitarias.

1. El conjunto de Cantor no posee puntos aislados en [0, 1].

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2. Todo punto del conjunto de Cantor posee una representacion ternaria unica.

3. El conjunto de Cantor no posee puntos aislados en [0, 1].

4. El conjunto de Cantor posee dos tipos de puntos: los de “primera especie” que sonlos extremos de los intervalos abiertos eliminados durante el proceso de construc-cion, estos son en cantidad contables. El resto de puntos es llamado “de segundaespecie”, que son una familia de puntos no contables.

5. El conjunto conjunto de Cantor es homogeneo, en el sentido de que para cada parde puntos x, y en el existe un homeomorfismo del conjunto en si mismo tal quef(x) = y.

6. Al calcular la suma de las longitudes de los segmentos eliminados se obtiene:

1

3+

2

9+

4

27+

8

81+ · · · = 1

3

∞∑n=0

2n

3n=

1

3

(1

1− 23

)=

1

3× 3 = 1

El conjunto de Cantor fue construido por primera ves a finales del siglo XLX pararesolver un problema que ese habıa planteado en el marco de la naciente topologıa, desaber si un conjunto podıa cumplir con ciertas propiedades (ser totalmente disconexoo denso en si mismo, estos son conceptos propios de la topologıa y solamente haremosmencion de ellos) y fue utilizado por Cantor como herramienta de investigacion en elsnalisis del continuo 2: “El interes de Cantor por este conjunto ha de contextualizarseen el debate sobre los fundamentos de la matematica en el siglo XIX para percibir suimportancia. En concreto en relacion al concepto de numero. Cantor presento su monstruoa la comunidad matematica. Habıa creado un conjunto de numeros del intervalo [0, 1] demedida cero (al lanzar un “dardo matematico” al intervalo la probabilidad de dar en unpunto del conjunto es nula) y al mismo tiempo el conjunto era no numerable, su cardinalera identico al del intervalo [0, 1]. El conjunto es una delicia para topologos: es totalmentedisconexo, cerrado y perfecto”. 3

Ademas este conjunto abre las puertas de la geometrıa fractal, una rama joven ymuy interesante de las matematicas. Es considerado un clasico por ser uno de los pri-meros fractales geometricos los cuales, dicho sea de paso, fueron tachados de monstruosgeometricos por algunos famosos matematicos de la epoca como Poincare. Con el tiempofue reconocida su importancia pues alentaron la busqueda rigurosa de conceptos comoinfinito, curva continua o dimension.

Ademas este conjunto abre las puertas de la geometrıa fractal, una rama joven ymuy interesante de las matematicas. Es considerado un clasico por ser uno de los pri-meros fractales geometricos los cuales, dicho sea de paso, fueron tachados de monstruosgeometricos por algunos famosos matematicos de la epoca como Poincare. Con el tiempo

2La hipotesis del continuo dice: No existen conjuntos cuyo tamano este comprendido estrictamenteentre el de los enteros y el de los numeros reales.

3Referencia Externa: bit.ly/KP29Ev

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fue reconocida su importancia pues alentaron la busqueda rigurosa de conceptos comoinfinito, curva continua o dimension.

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4.4. Paradoja de Russell

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russellen 1901, demuestra que la teorıa original de conjuntos formulada por Cantor y Frege escontradictoria.

4.4.1. La paradoja en terminos de conjuntos

Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sı mismos.Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de “ideas abstractas”.Dicho conjunto es miembro de sı mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta,mientras que un conjunto que consta de “libros” no es miembro de sı mismo porque elconjunto en sı no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), siel conjunto de los conjuntos que no forman parte de sı mismos (es decir, aquel conjuntoque engloba a todos aquellos conjuntos que no estan incluidos en sı mismos, como el de“libros” en el ejemplo anterior) forma parte de sı mismo. La paradoja consiste en quesi no forma parte de sı mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte desı mismos y por lo tanto forma parte de sı mismo. Es decir, formara parte de sı mismosolo si no forma parte de sı mismo.

4.4.2. Enunciado formal de la paradoja

Llamemos M al “conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sı mismoscomo miembros”. Es decir

M = {x : x /∈ x} (1)

Segun la teorıa de conjuntos de Cantor, la ecuacion (1) se puede representar por

∀x x ∈M⇐⇒ x /∈ x (2)

es decir “Cada conjunto es elemento de M si y solo si no es elemento de sı mismo”.

Ahora, en vista de que M es un conjunto, se puede substituir x por M en la ecuacion(2), de donde se obtiene

M ∈M⇐⇒M /∈M (3)

Es decir que M es un elemento de M si y solo si M no es un elemento de M, lo cual esabsurdo.

4.4.3. La paradoja en terminos del barbero

La paradoja de Russell ha sido expresada en varios terminos mas cotidianos, el masconocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera:

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En un lejano poblado de un antiguo emirato habıa un barbero llamadoAs-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies yen poner sanguijuelas. Un dıa el emir se dio cuenta de la falta de barberos enel emirato, y ordeno que los barberos solo afeitaran a aquellas personas queno pudieran hacerlo por sı mismas. Cierto dıa el emir llamo a As-Samet paraque lo afeitara y el le conto sus angustias:

— En mi pueblo soy el unico barbero. No puedo afeitar al barbero demi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarmepor mı mismo, por lo tanto ¡no deberıa afeitarme! Pero, si por elcontrario no me afeito, entonces algun barbero deberıa afeitarme,¡pero yo soy el unico barbero de allı!

El emir penso que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premio conla mano de la mas virtuosa de sus hijas. Ası, el barbero As-Samet vivio parasiempre feliz.

En logica de primer orden, la paradoja del barbero se puede expresar como:

∀x afeita(x, barbero)⇐⇒ ¬ afeita(x, x) (4)

Donde afeita(x, y) significa “x es afeitado por y”. Lo anterior se leerıa como “Cadapersona es afeitada por el barbero si y solo si no se afeita a sı misma”. Es importantenotar la semejanza entre las ecuaciones (2) y (4). Al substituir x por barbero se obtiene

afeita(barbero, barbero)⇐⇒ ¬ afeita(barbero, barbero) (5)

Es decir que el barbero se afeita a sı mismo si y solo si no se afeita a sı mismo, lo cual esuna contradiccion.

4.4.4. Explicacion de la paradoja

Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. yen este sentido los llamaremos conjuntos normales.

La caracterıstica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sı mis-mo. Pero tambien existen conjuntos de conjuntos, como P(M) 4, que es el conjunto desubconjuntos de M.

Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga ası mismo. Esto ultimo no es difıcil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO sonlibros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son librosformara parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que secontienen a sı mismos se llaman conjuntos singulares.

4P(M) es llamado conjunto Potencia de M y se define con el conjunto que contiene todos lossubconjuntos de M

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Esta claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay terminomedio, o se contiene a sı mismo o no se contiene. Ahora tomemos el conjunto C comoel conjunto de todos los conjuntos normales. ¿ Que clase de conjunto es C? ¿ Normal oSingular?

Si es normal, estara dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego yano puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntosnormales, luego no puede estar en C, pero si no puede estar en C entonces no es singular.

Cualquier alternativa nos produce una contradiccion, esta es la paradoja. Sin embargo,tambien existe la frase: Si en una peluquerıa vemos el cartel:“ yo afeito a quienes no seafeitan a si mismos, y solamente a estos”. ¿ Quien afeita al barbero?

Que muestra una solucion mas sencilla pues ninguna de las afirmaciones expuestasmuestra una idea de conjunto cerrado o estrictamente exclusivo.

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4.5. Paradoja del Mentiroso (Teoremas de incompletitud de laMatematica)

La paradoja del mentiroso es en realidad un conjunto de paradojas relacionadas.El ejemplo mas simple de la misma surge al considerar la oracion: ((Esta oracion esfalsa)). Dado el principio del tercero excluido, dicha oracion debe ser verdadera o falsa.Si suponemos que es verdadera, entonces todo lo que la oracion afirma es el caso. Perola oracion afirma que ella misma es falsa, y eso contradice nuestra suposicion originalde que es verdadera. Supongamos, pues, que la oracion es falsa. Luego, lo que afirmadebe ser falso. Pero esto significa que es falso que ella misma sea falsa, lo cual vuelve acontradecir nuestra suposicion anterior. De este modo, no es posible asignar un valor deverdad a la oracion sin contradecirse.

A traves de los siglos, el interes por resolver esta paradoja y sus variantes ha impulsadouna enorme cantidad de trabajo en semantica, logica y filosofıa en general. La version masantigua de la paradoja del mentiroso se atribuye al filosofo griego Eubulides de Mileto,que vivio en el siglo IV a. C. Supuestamente Eubulides dijo: Un hombre afirma queesta mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso? Esta famosa paradoja es la principalcausa por la que surgen los teoremas de imcompletitud de Godel

El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ningunateorıa matematica formal capaz de describir los numeros naturales y la aritmetica consuficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dichateorıa no se contradicen entre sı, entonces existen enunciados que no pueden probarseni refutarse. Las teorıas aritmeticas para las que el teorema es valido son basicamenteaquellas en las que la deduccion de teoremas puede realizarse mediante un algoritmo.

La prueba del teorema es totalmente explıcita: en ella se construye una formula,denotada habitualmente G en honor a Godel, para la que dada una demostracion dela misma, puede construirse una refutacion, y viceversa. Sin embargo, la interpretacionnatural de dicha sentencia en terminos de numeros naturales es verdadera.

El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma queuna de las sentencias indecidibles de dicha teorıa es aquella que “afirma” la consistenciade la misma. Es decir, que si el sistema en cuestion es consistente, no es posible probarlodentro del propio sistema.

Las teorıas formales T tienen una serie de rasgos en funcion de lo que son capaces dedemostrar:

T es consistente si es imposible demostrar una formula φ y tambien su negacion∼ φ.

T es completa si dada cualquier formula φ, existe una demostracion de φ o de ∼ φ.

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4.5.1. Primer Teorema de Godel

Teorema 4.1 (Primer teorema de incompletitud de Godel) Toda teorıa aritmeti-ca recursiva que sea consistente es incompleta.

La demostracion de los teoremas de incompletitud se basa en tres conceptos:

1. La numeracion de Godel, que permite traducir las teorıas formales a operacionesde aritmetica pura.

2. La potencia expresiva de las teorıas formales aritmeticas, cuyas expresiones recogendichas operaciones.

3. El lema diagonal, que permite que las formulas sean autorreferentes.

El enunciado original debido a Godel, cuya demostracion se esboza en esta seccion,es mas debil que el presentado arriba, ya que en lugar de la consistencia de la teorıa Tse exige una propiedad mas fuerte, la ω − consistencia.

Una teorıa aritmetica es ω − inconsistente si, para alguno de sus teoremas formalesde la forma ∃x, φ(x), puede refutarse cualquier caso particular, esto es, puede probarse∼ φ([n]), para cada numeral [n]. Una teorıa que no es ω − inconsistente se dice ω −consistente.

(Los numerales [n] son los sımbolos que utilice el lenguaje de la teorıa para especificarlos numeros naturales concretos. En el ejemplo de la aritmetica de Peano en la seccionsiguiente, los numerales son los sımbolos dados por: [0] ≡ 0, [1] ≡ S0,[2] ≡ SS0, etc.) Laω − consistencia implica la consistencia (pero no al reves). El enunciado ((fuerte)), en elque solo se requiere la consistencia de la teorıa fue probado por J. B. Rosser medianteun metodo muy similar.

4.5.2. Segundo Teorema de Godel

El enunciado del segundo teorema hace referencia a una formula, Consis T , que puedeconstruirse en cualquier teorıa T (ver mas abajo), y que afirma que la teorıa T es consis-tente. La sentencia Consis T expresa sencillamente, utilizando de nuevo la “equivalencia”entre demostraciones y operaciones numericas, ((no existe una demostracion de 0 = 1)) (laausencia de demostracion para alguna formula es equivalente la consistencia de la teorıa,debido al principio de explosion). Entonces se tiene:

Teorema 4.2 (Segundo teorema de incompletitud de Godel) En toda teorıa aritmeti-ca recursiva que sea consistente, Consis T no es un teorema.

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Para demostrar que Consis T no es un teorema, se ha de utilizar una vez mas lanumeracion de Godel y la capacidad expresiva de las teorıas aritmeticas para convertir elprimer teorema de incompletitud en el teorema formal Consis T ⇒ ¬∃xP (x), donde P esla propiedad mencionada anteriormente de ((ser una demostracion de G)). Puesto que Gafirma su propia indemostrabilidad, este teorema formal es equivalente a Consis T ⇒ G,por lo que si Consis T fuera demostrable, por pura deduccion formal G tambien lo serıa,lo cual es imposible si T es consistente (segun el primer teorema de incompletitud).

El segundo teorema de incompletitud impone serias limitaciones a la hora de demos-trar la consistencia de una teorıa formal T : nunca podra hacerse utilizando unicamente lapropia T . Si se utiliza una extension T ′ en la que Consis T pueda demostrarse, la propiaconsistencia de T ′ no podra demostrarse ni en T ni en T ′.

4.5.3. Numeracion de Godel

La numeracion de Godel es una herramienta que permite relacionar las teorıas forma-les con la aritmetica. El lenguaje de una teorıa formal de primer orden esta compuestopor una cantidad —a lo sumo— numerable de signos, como por ejemplo:

∃,⇒, |,=, x, y, z, ..., 0,+,×, S

en el caso del lenguaje de la aritmetica de Peano, donde ademas de los sımbolos logicosy las variables, aparecen algunos sımbolos adicionales para la arimetica (donde S es elsımbolo para denotar ((el numero siguiente a))). Tambien el conjunto de todas las cadenas(sucesiones finitas de signos) es numerable, ası como el conjunto de las sucesiones finitasde cadenas.

Una numeracion de Godel es una asignacion de un unico numero natural para cadaelemento de cada uno de estos tres conjuntos: signos, cadenas de signos y sucesiones decadenas.

Ejemplo 4.1 Una posible codificacion para los signos, cadenas y sucesiones de cadenases la siguiente. Para los signos se adopta:

((∃))→ 10, ((⇒))→ 11, (())→ 12, ((|))→ 13, (( = ))→ 14, ((0))→ 15,

((S))→ 16, (( + ))→ 17, ((× ))→ 18, ((x))→ 20, ((y))→ 2000, ((z))→ 200000, ...

Dada una cadena de signos, se adopta el criterio de ((apilar)) los numeros de Godel desus signos, con un 77 inicial para indicar que se trata de una cadena:

((x + [5] = 0)) se torna en: 77− 20− 17− 16− 16− 16− 16− 16− 15− 14− 15, esdecir, en 7720171616161616151415

Para una sucesion de cadenas de signos, puede adoptarse un convenio similar, conun 88 inicial, para indicar que se trata de una sucesion:

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La sucesion ((0 = 1, y + 1 = 0)) se convierte en: 88 − 77 − 15 − 14 − 16 − 15 − 77 −2000− 17− 16− 15− 14− 15, es decir en: 8877151416157720001716151415

Puesto que la manipulacion de estos signos, cadenas y sucesiones puede traducirseen manipulacion de unos ciertos numeros, tanto la sintaxis que distingue las cadenasde signos ((con sentido)) —las formulas— como el calculo deductivo que distingue lassucesiones de cadenas ((que demuestran algo)) —las demostraciones— se ven traducidas aoperaciones aritmeticas. Es decir, existen una serie de relaciones y funciones aritmeticasque se corresponden con las reglas sintacticas y del calculo deductivo, como por ejemplo:

Sig x : x es (el numero de Godel de) un signo

Cad x : x es (el numero de Godel de) una cadena (de signos) (Se omite ((el numerode Godel de)) en adelante)

Suc x : x es una sucesion (de cadenas)

Form x : la cadena x es una formula

Ax x : la formula x es un axioma

Cons(x, y, z): ((x es una formula consecuencia inmediata de las formulas y y z))

Dem(x, y): ((la sucesion x es una demostracion de la formula y))

La forma precisa de estas funciones y relaciones es laboriosa y depende del criterioque se haya escogido para efectuar la numeracion de Godel. En particular la relacion Axx ha de construirse teniendo en cuenta un cierto conjunto de axiomas concreto, luego larelacion Dem hace refencia a una teorıa concreta que no se ha especificado.

Ejemplo 4.2 Es sencillo entender ahora como deben definirse algunas de estas relacio-nes segun la numeracion de Godel mostrada antes:

Sig x ≡ x esta entre 10 y 18 (ambos inclusive), o es de la forma 20·100i(coni > 1)

Cad x ≡ En base 10, x es de la forma 88n(s1)...n(sk), donde cada n(si) representalas cifras de un numero tal que

Sig n(si) es cierto

Suc x ≡ En base 10, x es de la forma 77n(π1) · · · π(sk) donde cada n(πi) repre-senta las cifras de un numero tal que

Cad n(πi) es cierto

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4.5.4. Expresabilidad Recursidad

Mediante la numeracion de Godel, es posible ((traducir)) los signos y reglas de unateorıa formal T en numeros y operaciones aritmeticas. Es posible ir mas alla, ya que Tes una teorıa aritmetica y se pueden ((recodificar)) las mencionadas operaciones medianteel lenguaje formal de T, al igual que se puede hacer con otras funciones y relacionesaritmeticas como por ejemplo:

La funcion ((multiplicar por 2)) esta representada por la formula: y = [2]× x

La relacion de orden x ≤ y, puede expresarse mediante: ∃z, z + x = y

La relacion ((x e y son primos entre sı)) puede expresarse como: ∀z, ∼ x = z × y ∧∼ y = z × x

Cada una de estas relaciones es expresada por su formula correspondiente, en elsentido de que si dos numeros estan relacionados, puede demostrarse la expresion formalcorrespondiente; y cuando no lo estan, puede refutarse. Por ejemplo:

Ejemplo 4.3 Para cada entero n, se tiene que si n es par puede probarse la expresionformal ∃x, [n] = [2]× x; y si es impar, puede refutarse dicha formula.

Para cada par de enteros m y n, si se tiene m ≤ n puede demostrarse la formula ∃z,z + [m] = [n]; cuando m > n, puede refutarse dicha expresion.

Que las relaciones presentadas en la seccion anterior —como Dem— sean expresables,implica que una teorıa formal aritmetica es lo suficientemente potente como para ((hablar))de las caracterısticas de una teorıa formal arbitraria y, en particular, de sı misma.

Probar que todas estas relaciones y funciones son expresables es sencillo si son re-cursivas, es decir, si pueden calcularse o verificarse mediante un algoritmo, ya que puededemostrarse que toda relacion recursiva es expresable en una teorıa aritmetica.

Las teorıas formales para las que esto es posible —asignar los numeros de Godel demanera que distinguir los signos, cadenas, sucesiones, formulas, consecuencias y axiomas,puede llevarse a cabo con un algoritmo— son las llamadas teorıas recursivas, y por elloesta caracterıstica se asume como hipotesis en los teoremas de incompletitud.

4.5.5. Diagonalizacion

Para construir la sentencia autorreferente G ha de idearse una manera para que unaformula hable de las propiedades de su numero de Godel correspondiente. Esto ha dehacerse de manera indirecta, ya que dada una formula φ con numero de Godel n, otra

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formula que ((hable)) de φ mediante el numeral [n] en general tendra un numero de Godelmayor que n, y por tanto no puede ser la propia φ. Esto se consigue mediante el llamadolema diagonal.

En una teorıa aritmetica recursiva, dada una formula φ(x) existe una sentencia ψ connumero de Godel n tal que puede demostrarseψ ↔ φ([n]).

En definitiva, dada una propiedad cualquiera φ(x) existe una sentencia ψ que afirma((mi numero de Godel cumple la propiedad φ)).

4.5.6. Demostracion del primer teorema

Sea una teorıa formal aritmetica y recursiva T ω − consistente. Sea la formula ¬∃z,DEM(z, x), donde DEM es la formula que expresa la relacion numerica Dem —relativaa la teorıa formal T—. Por el lema de diagonalizacion existe una sentencia G con numerode Godel g, para la que se demuestra G↔ ¬∃z, DEM(z, [g]), es decir, que afirma ((ningunnumero codifica una demostracion (en T ) de la formula representada por g)), o de otromodo, ((no soy demostrable (en T ))). La negacion de esta sentencia, ¬G, es equivalente a∃z, DEM(z, [g]), o ((mi negacion es demostrable (en T ))).

Supongase entonces que G puede demostrarse. Entonces existe un numero n que cum-ple Dem(n, g), y en T puede probarse entonces DEM([n], [g]), lo cual implica formal-mente ∼ G; y esto es imposible si T es consistente. Por tanto no existe una demostracionde G, y se cumple ∼ Dem(n, g) para todos los numeros n, lo cual resulta en un nume-ro infinito de teoremas formales ∼ DEM([n], [g]) para cada numeral [n]. Como T esω − consistente, no puede ocurrir entonces que ∃x, DEM(x, [g]) sea un teorema, por loque ∼ G es indemostrable, y T es indecidible.

4.5.7. Demostracion del segundo teorema

La demostracion del segundo teorema de incompletitud requiere de un hecho tecnicoque Godel originalmente no probo. Sea una teorıa T en las condiciones anteriores y sea laformula Consis T ≡ ∼ ∃z, DEM(z, [k]), donde k es el numero de Godel de la sentencia0 = 1. Consis T afirma que la teorıa T es consistente (pues deja algo sin demostrar). Laversion formal (de la primera parte) del primer teorema de incompletitud puede expre-sarse como ConsisT ⇒∼ ∃y, DEM(y, [g]) y esto es equivalente precisamente a ConsisT ⇒ G. De modo que, de poder probar formalmente esta sentencia, Consis T serıaindemostrable puesto que se tendrıa entonces una demostracion de G, en contradiccioncon el primer teorema.

El hecho tecnico que se necesita es precisamente una prueba de que la demostraciondel primer teorema de incompletitud puede ((traducirse)) en una demostracion formal dela sentencia Consis T →∼ ∃y, DEM (y, [g]). Esto es posible en toda teorıa aritmeticarecursiva, ya que verifican unas ciertas condiciones de demostrabilidad.

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4.5.8. Mal entendidos entorno a los teoremas Godel

Puesto que el primer teorema de la incompletud de Godel es tan famoso, ha dadoorigen a multitud de malentendidos. Aquı resumimos algunos:

1. El teorema no implica que todo sistema axiomatico interesante sea incompleto. Porejemplo, la geometrıa euclıdea se puede axiomatizar de forma que sea un sistemacompleto. (De hecho, los axiomas originales de Euclides son casi una axiomatiza-cion completa. Los axiomas que faltan expresan propiedades que parecen tan obviasque fue necesaria la aparicion de la idea de la prueba formal hasta que se echa-ron en falta). Sin embargo hasta en un sistema completo como el de la geometrıahabra construcciones imposibles (triseccion del angulo, cuadratura del cırculo).

2. El teorema solo se aplica a sistemas que permitan definir los numeros naturalescomo un conjunto. No basta con que el sistema contenga los numeros naturales.Ademas debe ser capaz de expresar el concepto “x es un numero natural” usandolos axiomas y la logica de primer orden. Hay multitud de sistemas que contienen alos numeros naturales y son completos. Por ejemplo, tanto los numeros reales comolos numeros complejos tienen axiomatizaciones completas.

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5. Metodologıa

El presente trabajo esta expresada una recopilacion de informacion de libros, Inter-net, en el cual se expresan cinco paradojas, las cuales se eligieron por tener una mayorrelevancia para nuestro aprendizaje y para que los estudiantes las comprendan de unamanera mas facil, ya que en la formacion de la carrera no se nos ha ensenado el tipo, elgrado de importancia de las paradojas.

Se hizo una respectiva investigacion a cada una de ella obteniendo como resultado grancantidad de informacion, de la cual se trato de resumir haciendo enfasis en los resultadosmas importantes para la facil comprension de la mayorıa de los y las estudiantes.

Luego de la recopilacion de la informacion se continua con la demostracion conside-rando reflejar la mas explicativa, y ası poder compartir dicha demostracion con los y lasestudiantes.

Este trabajo puede ser ampliado contribuyendo con recopilacion de otras paradojaslas cuales no se han tomado en cuenta por falta de tiempo como estudiantes, ya queparadojas existen una gran variedad, ademas se puede detallar a un mas haciendo enfasisen su historia y en los nuevos descubrimientos que hasta la actualidad existen.

Las limitaciones que en el camino hemos encontrado son:

1. Falta de tiempo para la investigacion.

2. Falta de recurso didactico como: libros, revistas, documentos, etc.

3. Falta de personal el cual conozca la cantidad de paradojas que en la actualidadexisten.

4. Falta de asesor para el asesoramiento de la investigacion en cuanto a las paradojas.

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6. Conclusiones

A partir de la investigacion realizada concluimos que:

• Las paradojas han sido y seran siempre importantes para el desarrollo de las matemati-cas

• para ampliar los conocimientos de matematicas se requiere de ingenio, perseveranciay estar dispuesto a aceptar diversos puntos de vista acerca de lo estudiado

• Los nuevos descubrimientos en matematicas pueden fortalecerla o mostrar sus debili-dades

• A pesar de ser incompletas, las matematicas han demostrado ser una herramientaefectiva para la comprension y analisis de los fenomenos que nos rodean

• Ası como sucedio con las paradojas antiguas el desarrollo de las matematicas pudeayudar, en el futuro, a dar luz a los grandes misterios que actualmente se resisten a lacompresion humana

• Los conceptos en apariencia mas simple encierran una gran complejidad debido a ladificultad de justificar su definicion

• Las herramientas matematicas que actualmente usamos con tanta naturalidad son elproducto del esfuerzo y cooperacion de varias generaciones de matematicas

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