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1

Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa

Paquete de Geometría de Maple

Objetos geométricos soportados por el paquete de geometría

puntosegmentosegmento de línea dirigidotriángulocuadradocircunferenciaelipseparábolahipérbolacónicas (incluyendo casos degenerados)

Los objetos geométricos mencionados se crean a través de los siguientes comandos/ funciones:

circle conic dsegment ellipse

hyperbola line parabola point

segment square triangle

Objetos geométricos relacionados con la línea:

AreConcurrent AreParallel ArePerpendicular Equation

FindAngle ParallelLine PerpenBisector PerpendicularLine

slope

Objetos geométricos relacionados con la circunferencia:

Apollonius area AreOrthogonal center

CircleOfSimilitude Equation powerpc RadicalAxis

RadicalCenter radius similitude TangentLine

2


Punto

Definición de un punto

point(P, Px, Py)

point(P, [Px, Py])

Donde

P - nombre asignado al punto

Px - coordenada horizontal del punto P

Py - coordenada vertical del punto P

Ejemplo 1

Definición geométrica del punto A:

A

Acceso a las coordenadas del punto:

Acceso a la coordenada horizontal del punto:

3

Acceso a la coordenada vertical del punto :

3

Detalles del punto definido:

name of the object A

form of the object point2d

coordinates of the point

3


Ejemplo 2

Forma alterna de definir el punto (como una lista o par de coordenadas):

B

name of the object B



4


Coordenadas de un punto

Calcula las coordenadas de un punto dadocoordinates(P)

Donde

P - punto

Ejemplo

Definir dos puntos:

Calcular las coordenadas del punto A:

Calcular las coordenadas del punto P:

5


Nombre de los puntos finales de un segmento o un segmento dirigido, o los vértices de un triángulo o de un cuadrado

Regresa el nombre de los puntos finales de un segmento o un segmento dirigido, o los vértices de un triángulo o de un cuadrado.

DefinedAs(obj)

Donde

obj - segmento, segmento dirigido, triángulo, o cuadrado

Ejemplo

Definir tres puntos:

Definir un segmento a partir de los dos puntos definidos:

Nombre de los puntos extremos del segmento:

Acceso a las coordenadas de los extremos del segmento:

Definir un tercer punto:

C

Definir un triángulo a partir de tres puntos:

6


T

Nombre de los vértices de un triángulo:

Acceso a las coordenadas de los vértices del triángulo:

7


Segmento

Definición de un segmento

segment(seg, [P1, P2])

dsegment(seg, [P1, P2])

dsegment(seg, P1, P2)

Donde

seg - nombre del segmento

P1, P2 - Dos puntos

Ejemplo

Definir dos puntos:

Definir el segmento a partir de dos puntos:

Detalles del segmento definido:

name of the object AB

form of the object segment2d

the two ends of the segment

Puntos que forman el segmento:

Coordenadas de los puntos extremos:

8


Punto medio

Encontrar el punto medio de un segmento delimitado por dos puntos

midpoint(C, A, B)

midpoint(C, seg)

Donde

C - nombre del punto medio

A, B - dos puntos

seg - segmento

Ejemplo

Definición de dos puntos:

Calcular el punto medio de A y B:

Pm

Detalles del punto medio:

name of the object Pm



Acceso a las coordenadas del punto medio:

9


Línea

Definición de una línea

line(l, [A, B])

line(l, eqn, n)

Donde

l - nombre de la línea

A, B - dos puntos

eqn - representación algebraica de la línea (un polinomio o una ecuación)

n - (opcional) una lista con los nombres del eje horizontal-x y el eje vertical-y

Definición de una línea que pasa por dos puntos

Definición de dos puntos

Definición de una línea que pasa por dos puntos

l

Detalle de la línea definida

name of the object l

form of the object line2d

equation of the line

10


Definición de una línea a partir de su ecuación

Definición de una línea a partir de su ecuación

l2

Detalles de la ecuación l2

name of the object l2



11


Pendiente de una línea

Calcular la pendiente de una líneaslope(l)slope(A, B)

Donde

l - línea

A, B - dos puntos

Ejemplo

Definir la línea:

Calcular la pendiente de la línea dada su ecuación:

3

Definir dos puntos:

Calcular la pendiente de la línea a partir de dos de sus puntos:

1

12


Distancia entre dos puntos o de un punto a una recta

Encontrar la distancia entre dos puntos o de un punto a una recta

distance(P1, P2)

distance(P1, l)

Donde

P1, P2 - puntos

l - línea

Ejemplo 1


Calcular la distancia entre los dos puntos dados:

Ejemplo 2


Calcular la distancia entre los dos puntos dados:

Ejemplo 3

Definición de un punto y una recta:

Cálculo de la distancia del punto A a la recta l:

13


Ejemplo 4

Definición de un punto y una recta:

Cálculo de la distancia del punto A a la recta l:

14


Intersección entre dos líneas, una línea y un círculo, o dos círculos

Encontrar la Intersección entre dos líneas, una línea y un círculo, o dos círculos

intersection(obj, f, g)

Donde

obj - nombre

f, g - líneas o círculos

Ejemplo 1

Dibujo hecho con Geogebra

Definición de dos líneas:

Definición de un círculo:

Intersección entre las dos líneas:

15


In

Detalles de la intersección:

name of the object In



Acceso directo a las coordenadas de la intersección:

16


Ejemplo 2


Intersección entre una línea y un círculo:

Detalles de la intersección:

Acceso directo a las coordenadas de la intersección:

17


18


Ángulo entre dos líneas o dos círculos

Encontrar el ángulo entre dos líneas o dos círculos

FindAngle(u, v)

Donde:

u, v - dos líneas o dos círculos

Ejemplo


Definir las dos líneas:

Encontrar el ángulo entre las dos líneas:

19


Definir dos circunferencias:

Encontrar el ángulo entre los círculos:

20


Línea paralela

Definición de una Línea paralela

ParallelLine(lp, P, l)

Donde

lp - nombre de la línea paralela

P - punto

l - línea

Ejemplo


Definir una línea l y un punto A:

Encontrar la línea paralela a la línea l y que pase por el punto A:

lp

21


Detalle de la línea encontrada:

name of the object lp



22


Línea perpendicular

Definición de una línea perpendicular

PerpendicularLine(lp, P, l )

Donde

lp - nombre de la línea perpendicular

P - punto

l - línea

Ejemplo


Definir una línea l y un punto A:

Encontrar la línea perpendicular a la línea l y que pase por el punto A:

lp

23


Detalle de la línea encontrada:

name of the object lp



24


Triángulo

Definición de un triángulo

triangle(T, [A, B, C], n)

triangle(T, [l1, l2, l3], n)

triangle(T, [side1, side2, side3])

triangle(T, [side1, 'angle'=theta,side3], n)

Donde

T - nombre del triángulo

A, B, C - tres puntos

l1, l2, l3 - tres líneas

lado1, lado2, lado3 - tres lados del triángulo

lado1, 'angle'=theta, lado3

- lado1 y lado3 del triángulo, theta el ángulo entre estos dos lados

n - (opcional) lista de dos nombres representado los nombres de los ejes horizontal y verticañ

Definición de un triángulo a partir de tres puntos

Definir tres puntos:

Definición del triángulo T1 a partir de tres puntos:

Detalles del triángulo definido:

25


name of the object T1

form of the object triangle2d

method to define the triangle points

the three vertices

Puntos que forman los vértices:

Coordenadas de los vértices:

Definición de un triángulo a partir de tres líneas

Definir tres líneas

Definir el triángulo T2 a partir de las tres líneas:

T2

Detalles del triángulo definido:



method to define the triangle points

the three vertices

Coordenadas de los vértices:

Definición de un triángulo a partir de sus tres lados

26


Definición de un triángulo a partir de tres lados:

T3

Detalles del triángulo:



method to define the triangle sides

the three sides of the triangle

Cálculo del área del triángulo:

Verificar si es equilátero:

true

Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos

27


Definir el triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos:

T4

Detalles del triángulo:



method to define the triangle angle

the two sides and the angle between them

28


Altura de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Encontrar la altura de un triángulo

altitude(hA, A, ABC, H)

Donde

ha - Altura del triángulo ABC

A - Vértice del triángulo ABC

ABC - Triángulo

H - nombre (opcional)

Ejemplo


29


Definir el triángulo a partir de sus tres vértices:

Obtener la altura desprendida a partir del vértice A:

hA1

Detalles de la altura obtenida:

name of the object hA1



Obtener la altura con el parámetro H (opcional), segmento que va del vértice A al lado opuesto:

hA1

Detalles de la altura obtenida:

name of the object hA1



30


Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Definición de la bisectriz de un triángulo

bisector(bA, A, ABC, P)

Donde

bA - Bisectriz A del triángulo ABC

A - Vértice del triángulo ABC

ABC - Triángulo

P - nombre (opcional)

Ejemplo

31



Definir el triángulo a partir de las coordenadas de sus vértices:

ABC

Definir la bisectriz (ecuación) bA del vértice A:

bA

Detalles de la bisectriz

32


name of the object bA



Definir la bisectriz (segmento) bA del vértice A:

bA

Detalles del segmento de la bisectriz

name of the object bA



Bisectrices de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Definición de las medianas de un triángulomedian(mA, A, ABC, M)

Donde

mA - mediana A del triángulo ABC

A - vértice A del triángulo ABC

ABC - triángulo ABC

M - nombre (opcional)

Ejemplo

33



Definición del triángulo ABC a partir de las coordenadas de sus tres vértices:

ABC

Cálculo de la ecuación de la mediana que va del vértice A la mitad del lado opuesto:

mA

Detalles de la mediana:

name of the object mA



Utilizar el parámetro M para obtener el segmento de línea AM. M representa las coordenadas del punto medio del lado BC:

mA

34


Detalles del segmento AM:

name of the object mA



35


Ortocentro de un triángulo

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus tres alturas.

Definición del ortocentro de un triángulo:

orthocenter(H, g)

Donde

H - nombre del ortocentro

g - triángulo

Ejemplo


Definir los tres vértices del triángulo:

Definir el triángulo:

36


ABC

Obtener el ortocentro del triángulo:

H

Detalles del ortocentro:

name of the object H



Coordenadas del ortocentro:

37


Área de un triángulo, cuadrado, círculo o elipse

Calcula el área de un triángulo, cuadrado, círculo o elipsearea(obj)

Donde

obj - triángulo, cuadrado, o elipse

Ejemplos

Definir el triángulo ABC a partir de tres puntos:

ABC

Calcular el área del triángulo ABC:

38


92

Ejemplo

Definir el cuadrado ABCE a partir de cuatro puntos:

ABCE

Calcular el área del cuadrado ABCE:

9

Ejemplo

39


Definir la elipse e a partir de su ecuación:

e

Calcular el área de la elipse e:

15.391

40


Cuadrado

Definir un cuadradosquare(Sq, [A, B, E, F] )

Donde

Sq - nombre del cuadrado

A, B, E, F - cuatro puntos

Ejemplo

Definir cuatro puntos (en un orden correcto):

Definir el cuadrado:

Cu

Cómo se definió el cuadrado:

41


Detalles del cuadrado:

name of the object Cu

form of the object square2d

the four vertices of the square

the length of the diagonal 18

Acceso a las coordenadas de cada uno de los vértices:

Acceso la longitud de la diagonal:

Calcular el área del cuadrado:

9

42


Construir un cuadrado

Construir un cuadrado

MakeSquare(sqr, l)

Donde

sqr - nombre del cuadrado

l - lista

Opciones de la lista:

[p1,p2,'diagonal']: construye el cuadrado a partir de los vértices opuestos.

[p1,p2,'adjacent']: construye el cuadrado a partir de dos vértices adyacentes.

[p1,'center'=c]: construye el cuadrado a partir de un vértice y el centro del cuadrado.

Ejemplo

43


Definir cinco puntos:

Construir un cuadrado a partir de dos vértices opuestos:

Cu

Detalles del cuadrado construido:

name of the object Cu




Construir un cuadrado a partir de dos vértices adyacentes (regresa dos cuadrados):


Construir un cuadrado a partir de un vértice y su centro:

44


Cu2


name of the object Cu2




45


Polígono estrella regular

Dibujar un polígono estrella regular

RegularStarPolygon(p, n, cen, rad )

p - nombre del polígono estrella regular

n - número racional positivo > 2

cen - punto, centro del polígon

rad - número, radio del círculo circunscrito al polígono

Ejemplo

pgon

1 2 3

0

1

2

46


name of the object pgon

form of the object RegularPolygon2d

the side of the polygon

the center of the polygon

the radius of the circum-circle 1.7

the radius of the in-circle

the interior angle5

the exterior angle5

the perimeter

the area

the vertices of the polygon

47


Circunferencia circunscrita a un triángulo

Definición de una circunferencia circunscrita a un triángulo

circumcircle(cc, T, cn)

Donde

cc - nombre de la circunferencia circunscrita

T - triángulo

'centername' = cn - cn es el centro de la circunferencia circunscrita opcional

Ejemplo


Definición del triángulo T a partir de sus tres vértices:

48


T

Cálculo de la ecuación de la circunferencia circunscrita Ec al triángulo

Ec

Detalles de la ecuación:

name of the object Ec

form of the object circle2d

name of the center OO

coordinates of the center

radius of the circle 5

equation of the circle

49


Circunferencia inscrita a un triánguloEncontrar la circunferencia inscrita a un triánguloincircle(ic,T, 'centername'=cn)

Donde

T - triángulo

ic - nombre del círculo inscrito

'centername'=cn - (opcional) cn centro del círculo inscrito

Ejemplo


Definir el tríangulo a partir de sus tres vértices:

Encontrar la circunferencia enscrita al triángulo T:

Inc

50


Detalles de la circunferencia:

name of the object Inc


name of the center o


radius of the circle


51


Nombre del centro de una circunferencia/ círculo, elipse o hipérbola

Regresa el nombre del centro de una circunferencia/ círculo, elipse o hipérbolacenter(cn, c)

Donde

cn - nombre (opcional)

c - circunferencia/ círculo, elipse o hipérbola

Ejemplo

Definir el círculo C a partir de su ecuación:

c

Nombre del centro del círculo:

center_c

Encontrar las coordenadas del centro:

Detalles del círculo/ circunferencia:

name of the object c


name of the center center_c




52


Circunferencia

Definición de una circunferencia

circle(c, [A, B, C], n, 'centername'=m)circle(c, [A, B], n, 'centername'=m)circle(c, [A, rad], n, 'centername'=m)circle(c, eqn, n, 'centername'=m)

Donde

c - nombre de la circunferencia

A, B, C - tres puntos

rad - radio de la circunferencia (número)

eqn - representación algebraica de la circunferencia (i. e. polinomio o ecuación)

n - (opcional) lista de dos nombres representando los nombres de los ejes horizontal y vertical

'centername'=m - (opcional) m es el nombre del centro del la circunferencia creada

Definición de una circunferencia a partir de tres puntos

Definición de una circunferencia a partir de tres puntos

c1

Ecuación de la circunferencia definida

Nombre del centro

O1

Coordenadas del centro

53


Longitud del radio

Detalle de la circunferencia definida

name of the object c1


name of the center O1


radius of the circle16


54


Definición de una circunferencia a partir de los puntos extremos de sudíametro

Definición de una circunferencia a partir de los puntos extremos de su díametro

c2

Ecuación de la circunferencia

Detalles de la ecuación



name of the center Co




55


Definición de una circunferencia a partir de las coordenadas del centro y el radio

Definición de una circunferencia a partir de las coordenadas del centro y el radio

c3

Ecuación de la circunferencia




name of the center C




Definición de una circunferencia a partir de su representación algebraica

Definición de una circunferencia a partir de su representación algebraica

c4

Coordenadas del centro

56


Área de la circunferencia

Detalles de la circunferencia



name of the center O4




Tangente a una circunferencia

Encontrar la línea tangente a una circunferencia en un punto localizado en la circunferencia

tangentpc(l, P, c)

Donde

l - nombre de la línea tangente

P - punto

c - círculo

Ejemplo

57


Definir el punto y la circunferencia:

Encontrar la tangente a la circunferencia en el punto dado:

l

Detalle de la línea tangente:

name of the object l



Acceso a la ecuación:

58


59


Tangente(s) a una circunferencia desde un punto externo

Encontrar la tangente(s) a una circunferencia desde un punto externo a la circunferencia

TangentLine(obj, P, c, n)

Donde

obj - nombre

P - punto

c - círculo

n - (opcional) lista de dos nombres

Ejemplo


60


Definir el punto y la circunferencia:

Encontrar las líneas tangentes a la circunferencia desde el punto dado:







61


Parábola

Definición de una parábola

parabola(p, [A, B, C, E, F], n )

parabola(p, ['focus'=fou, 'vertex'=ver], n )

parabola(p, ['directrix'=dir, 'focus'=fou], n )

parabola(p, eqn, n )

Donde

p - nombre de la parábola

A, B, C, E, F - cinco puntos distintos

'focus'=fou - punto, foco de la parábola

'vertex'=ver - punto, vértice de la parábola

'directrix'=dir - línea, directriz de la parábola

eqn - representación algebraica de la parábola (i. e. polinomio o ecuación)

n - (opcional) lista de dos nombres representando los nombres del eje horizontal y el eje vertical

62


Definición de una parábola a partir de su ecuación

Definición de una parábola a partir de su ecuación

Vértice de la parábola y sus coordenadas

Foco de la parábola y sus coordenadas

Directriz de la parábola y su vértice

Detalle de la parábola

name of the object p1

form of the object parabola2d

vertex

focus

directrix

equation of the parabola

Definición de una parábola a partir de las coordenadas de su vértice y de su foco

Definición de una parábola a partir de las coordenadas de su vértice y de su foco

p2

63


Ecuación de la parábola

Directriz de la parábola y su vértice




vertex

focus

directrix


Definición de una parábola a partir de las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz

Definición de una parábola a partir de las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz




vertex

focus

directrix


64


Definición de una parábola a partir de cinco puntos distintos

Definición de una parábola a partir de cinco distintos puntos

Detalle de la parábola encontrada



vertex

focus

directrix


65


Elipse

Definición de la elipse

ellipse(p, [A,B,C,E,F], n)ellipse(p, ['directrix'=dir, 'focus'=fou, 'eccentricity'=ecc], n)ellipse(p, ['foci'=foi, 'MajorAxis'=lma], n)ellipse(p, ['foci'=foi, 'MinorAxis'=lmi], n)ellipse(p, ['foci'=foi, 'distance'=dis], n)ellipse(p, ['MajorAxis'=ep1, 'MinorAxis'=ep2], n)ellipse(p, eqn, n )

Donde

p - nombre de la elipse


'directrix'=dir - dir, directriz de la elipse

'focus'=fou - foco, coordenadas de la elipse

'eccentricity'=ecc - ecc, excentricidad de la elipse (una constante)

'foci'=foi - foi, focos de la elipse (lista de dos puntos)

'MajorAxis'=lma - Ima, longitud del eje mayor

'MinorAxis'=lmi - Imi, longitu del eje menor

'distance'=dis - dis, suma de la distancia de cualquier punto sobre la elipse al foco

'MajorAxis'=ep1 - ep1, puntos extremos del eje mayor de la lista (lista de dos puntos)

'MinorAxis'=ep2 - ep2, puntos extremos del eje menor (lista de dos puntos)

eqn - representación algebraica de la elips (i. e. polinomio o ecuación)

n - (opcional) una lista de dos nombres representado los nombres de los ejes vertical y horizontal

66


Definir una elipse a partir de su representación algebraica

Definir una elipse a partir de su representación algebraica

Centro y coordenadas de la elipse

Focos y coordenadas de la elipse

Longitud del eje mayor y del eje menor

Detalles de la elipse

name of the object e1

form of the object ellipse2d

center

foci

length of the major axis 8

length of the minor axis 6

equation of the ellipse

67


Definición de una elipse a partir de sus focos y la longitud de su eje mayor

Definición de los focos

Definición de la longitud del eje mayor

Definición de una elipse a partir de sus focos y la longitud de su eje mayor



center

foci




Simplificación de la ecuación obtenida

68


Definición de una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje menor

Definición de los focos

Definición de la longitud del eje menor

Definición de una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje menor

Ecuación de la elipse




center

foci

length of the major axis



Simplificación de la ecuación

69


Hipérbola

Definición de la hipérbola

hyperbola(p, [A, B, C, E, F], n)hyperbola(p, ['directrix'=dir, 'focus'=fou, 'eccentricity'=ecc], n)hyperbola(p, ['foci'=foi, 'vertices'=ver], n)hyperbola(p, ['foci'=foi, 'distancev'=disv], n)hyperbola(p, ['vertices'=ver, 'distancef'=disf], n)hyperbola(p, eqn, n)

Donde

p - nombre de la hipérbola

A, B, C, E, F - cinco diferentes puntos

'directrix'=dir - dir, directriz de la hipérbola (línea)

'focus'=fou - fou, foco de la hipérbola (punto)

'eccentricity'=ecc - ecc, excentricidad de la hipérbola (constante mayor de uno)

'vertices'=ver - ver, vértices de la hipérbola (lista de dos puntos)

'foci'=foi - foi, focos de la hipérbola (lista de dos puntos)

'distancev'=disv - disv, distancia entre los dos vértices

'distancef'=disf - disf, distancia entre los dos focos

eqn - representación algebraica de la hipérbola (i. e. un polinomio o una ecuación)

n - (opcional) una lista representando los nombres de los ejes vertical y horizontal

70


Definición de una hipérbola a partir de su ecuación

Definición de una hipérbola a partir de su ecuación:

Centro de la hipérbola y sus coordenadas:

Focos y sus coordenadas:

Vértices y sus coordenadas:

Asíntotas y sus ecuaciones:


name of the object h1

form of the object hyperbola2d

center

foci

vertices

the asymptotes

equation of the hyperbola

71


Definición de una hipérbola a partir de sus vértices y focos

Definición de los focos:

Definición de sus vértices:

Definición de una hipérbola a partir de sus vértices y focos:



center

foci

vertices

the asymptotes


72


Definición de la hipérbola a partir de sus focos y la distancia entre susvértices

Definición de los vértices:

Definición de la distancia entre los vértices:

Definición de la hipérbola a partir de sus focos y la distancia entre sus vértices:

h3



center

foci

vertices

the asymptotes


Simplificación de la ecuación:

73


Definición de la hipérbola a partir de sus vértices y la distancia entre sus focos

Definición de los vértices:

Definición de la distancia entre los focos:

Definición de la hipérbola a partir de sus vértices y la distancia entre sus focos

Ecuación de la hipérbola:



center

foci

vertices

the asymptotes


74


Definición de la hipérbola a partir de cinco puntos

Definición de los cinco puntos:

Definición de la hipérbola a partir de cinco puntos:

Ecuación de la hipérbola:




center

foci

vertices

the asymptotes


Simplificando la ecuación:

75


Las cónicasDefinición de una cónica

conic(p, [A, B, C, E, F], n)

conic(p, [dir, fou, ecc], n)

conic(p, eqn, n)

Donde

p - nombre de la cónica


dir - línea, directriz de la cónica

fou - punto, foco de la cónica

ecc - número positivo, excentricidad de la cónica

eqn - representación algebraica de la cónica

n - lista de dos nombres representando los ejes horizontal y vertical (opcional)

Ejemplo 1

76



Definición de 5 puntos:

Definición de la cónica a partir de cinco puntos:

c1

Detalles de la cónica encontrada:

77




vertex

focus

directrix


78


Ejemplo 2

Definición de una cónica a partir de su expresión algebraica:

ellipse: the given equation is indeed a circle

c2



name of the center center_c2




79


Ejemplo 3


Definición de una cónica a partir de su expresión algebraica:

c3



center

foci




80


Ejemplo 4


Definición de la directriz:

Definición del foco:

Definición de la excentricidad:

Definición de una cónica a partir de su directriz, foco y excentricidad:

c4

81




vertex

focus

directrix


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