Dedico: A mi esposa Sara Corredor ya mis hijos Luca, Carlos y Jairo

LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

y LOSSISTEMAS

La presentacin y disposicin en conjunto de LAS MA TEMA TICAS FINANCIERAS y LOS SISTEMAS son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ningn sistema o mtodo. electrnico o mecnico (incluyendo el fotocopiado, la grabacin o cualquier sistema de recuperacin y almacenamiento de informacin), sin consentimiento por escrito del editor.

1986, EDITORIAL

L1MUSA, S. A. de C. V.

Balderas 95, Primer piso, 06040 Mxico 1, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial. Registro No. 121 Primera edicin: 1986Impreso en Mxico

(5557).

ISBN 968-18-2162-9

LAS MATEMATICAS FINANCIERAS V LOS SISTEMAS

PrefacioHe resuelto apartarme del tratamiento clsico dado a la enseanza de las matemticas financieras al no incluir tablas de ninguna especie, buscando el objetivo de que el estudiante obtenga una gran destreza e~ el manejo de las frmulas, de las calculadoras y de las microcomputadoras. En el contenido del texto incluyo los aspectos tericos desarrollando paralelamente aplicaciones mltiples, mostrando la forma de sistematizarlas a travs de elementales diagramas de flujo sin intentar escribir los programas en ningn lenguaje por considerar que la transcripcin del diagrama a programa escrito, no representa P!ficultad ya que es una secuencia lgica. Tomando como punto de partida el inters simple en el cual no haremos mayor nfasis; pasaremos a profundizar en el estudio del inters compuesto por ser ste el ms usual en las transacciones financieras y mercantiles de hoy, continuando con el interesante tema de las anualidades y analizando en seguida la importancia de los gradienres lineales y geomtricos, siendo ste uno de los muy contados textos que estudia los gradientes combinndolos con cuotas constantes; concluimos con un captulo sobre aplicaciones prcticas. Todo lo anterior es fruto de la recopilacin de los temas que normalmente trato en mi ctedra de matemticas financieras en la Universidad Central de Bogot. En cursos de menor profundidad se omite la aplicabilidad de los sistemas a la matemtica financiera, as como todo o parte de lo concerniente a gradientes, por lo tanto un curso bsico de matemticas financieras puede quedar circunscrito a los captulos 1, 11,111YV sin sistemas. Quiero hacer pblico mi agradecimiento al doctor Hctor Bonilla Estvez quien me anim a escribir esta obra.

Profesor tit4lar del departamento de Matemticas de la UnilJcrsidad Central, profesor UnilJerstdad Ja!Je~t~na BO$ot, Colom.bia

111 . C!;JEDITORIALI;SPAACOlOM!3IA

.,---.

L IMUSA ,.

VENI:ZUElA

pueRTO RtCO ;,"

Contenido

Captulo I

INTERES SIMPLE.. 1-1 1-2

. . . . . .. .. . . ..

.. .. .. . . .. . . .....o'.

1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 4 6 7 7 9 11 14

Introduccin El inters simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definiciones: 1-2-1 Inters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2-2 Tasa de inters 1-2-3 Tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2-4 Capital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3 Clculo del inters 1-4 Clasesde inters simple 1-5 Clculo del monto simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-6 Clculo del valor presente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-7 Tabla de das 1-8 Descuento '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-9 Descuento bancario 1-10 Descuento racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11 Descuentos en cadena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-12 Ecuaciones de valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Captulo 2

INTERES COMPUESTO..... 2-1 Introduccin...... ........ 2-2 Clculo del inters compuesto 2-3 Definiciones: 2-3-1 Tasa efectiva. . . . . . . . 2-3-2 Tasa nominal 2-3-3 Perodo. . . . . . . . . . . 2-4 Clculo del monto 2-5 Clculo del valor presente . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

17 17 18 19 19 19 20 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Clculo del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clculo de la tasa de inters Tasas equivalentes 2-8-1 Definicin de tasas equivalentes . . . . . . 2-9 Desvalorizacin monetaria ... . . . . . . . . . . . . . . 2-9-1 Indice diario de correccin monetaria 2-10 Certificados de valor constante' . . . . . . . . . . . . . . 2-11 Smbolos de diagramacin 2-12 Inters anticipado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-13 Ecuaciones de valor en inters compuesto 2-14 Tiempo equivalente 2-15 La interpolacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-16 Clculo del~ tasa en una ecuacin de valor Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Captulo 3 ANUALIDADES

2-6 2-7 2-8

. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. ,. . . . . . .. . . . . . ..

. . . . . .. . . . . . ..

21 22 22 23 23 24 24 25 27 28 29 30 30 32

3-13 Anualidades diferidas ciertas . 3-14 Anualidades anticipadas ciert~ . ~: : ~: : : : : : : : ~: : : : : : : 3-14-1 Relacin de anualidades 3-14-2 Frmula especfica .... : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3-14-3 Relacin de anualidades 3-14-4 Frmula especfica ::::::::::::::::::: 3-15 Anualidades perpetuas " . 3-15-1 Clculo de la frmula 3-15-2 Clculo diferente ."""

57 57 58

59 60 6263

""

37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 39 41 42 42 45 46 48 51 52 54 55

Costo capitalizado ,3716-1. Clculo del ~~st~ 'C~~it~i~~d~ . : ~,:::,: : : :: : : ~: 3-17 Anualidades ciertas - caso general . 66 3-18 Clculo de tasa combinada 71 3-19 Amortizacin con correcci~' ~~~~t~ri~ : : : : : : : : : : : : : : 72 3-20 Anualidades contingentes . 72 3-21 Anualidades con tasa anticipada de inters . 73 Problemas propuestos . ...................................... 74'>.-

3-16

.

6363 64 65

3-1

3-2

3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12

Definiciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-1-1 Anualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-1-2 Renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-1-3 Perodo de la renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-1-4 Plazo de la anualidad Clasificacin de las anualidades 3-2-1 Ordinarios o vencidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-2-2 Anticipadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-2-3 Anualidad inmediata 3-2-4 Anualidad diferida 3-2-5 Anualidad cierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-2-6 Anualidad perpetua 3-2-7 Anualidad contingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Valor de una anualidad ordinaria cierta Clculo de la renta en una anualidad Tablas de amortizacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-5-1 Distribucin de un pago . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tablas de capitalizacin Clculo del tiempo en \lna anualidad Clculo de la tasa de inters (Tasa interna de retorno T IR). . . . . . . . . . . . . . . . . .. Diagrama de flujo para el clculo de T I R en una anualidad : . . . . . . . . . . . . .. Anualidades ciertas ordinarias con cuotas extraordinarias Diagrama de flujo para la elaboracin de una tabla de amortizacin ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Diagrama integrado ............................

Captulo 4 GRADIENTES

..............

.fI

4-1 4-2

Definicin .. Gradiente aritmti~~ 4-2-1

.

Clculo del v~~~ ~~~s~~t~ ~;adi~~t~' . aritmtico . Diagrama de flujo para la elaboracin de una tabla de amortizacin con crecimiento lineal de la cuota 4-3 Distribucin de un pago' : : : : : : ~: : : :: : : : : : : : : : : : : : : 4-4 Gradiente geomtrico " . 4-4-1 Clculo ?e~ valor presente del gradieIite geometnco . 4-4-2 Clculo del valor final del gradiente geomtrico . 4-5 Diagrama de flujo . 4-6 Sistemas combinados 4-6-1 Clculo de la d~l i~t~;~e~~d~ '~~a' .... amortizacin . Clculo de la cuota del int~;~e~{~d~ ~~'u'~a' . capitalizacin . 100 4-6-3 Diagrama de flujo, tabla de capitalizacin . 101 4-6-4 Sistema combinado: gradiente geomtrico con cuota constante 103 4-6-5 Diagrama de flujo de a~~rtiz~~i'~ ~~~bi~~d~ : : 107 4-6-6 Diagrama integrado de capitalizacin . 108 Problemas propuestos .................................................................. 111

d~.~~

~~~t~

d~

Captulo 5APLICACIONES VARIAS

117 . . . . . . . . . . . . . . . . 117 117 118 118 120 121 121 122 123 125 126 129 131 132 134 136

5-1

Fondo de amortizacin 5-1-1 Definicin 5-2 Depreciacin 5-2-1 Definiciones 5-3 Agotamiento 5-4 Bonos 5-4-1 Definiciones 5-4-2 Clculo del precio de compra 5-4-3 Clculo de la T IR 5-4-4 Clculo del precio de compra de un bono en general 5-4-5 Tabla de inversin para bonos 5-4-6 Bonos con fecha de redencin opcional 5-4-7 Bonos seriados 5-4-8 Programa para bonos 5-5 Ttulos de capitalizacin Problemas propuestos '

Inters simple

En la misma forma en que se paga un arriendo por el uso de una casa, - en igual forma se debe pagar un arriendo por el uso de un dinero prestado, por esta razn todas las actividades financieras tienen como norma cobrar un inters cuando se presta un dinero. Es de advertir que las entidades financieras tales como bancos y corporaciones de ahorro obtienen la mayor parte de sus ingresospor los intereses que pagan sus deudores. Existen dOf clases de inters, el inters simple y el inters compuesto. En el inters simple el capital permanece inalterado durante todo el tiempo, en cambio en el inters compuesto el capital vara a travs del tiempo. En la actualidad son muy pocas las transacciones que se efectan a inters simple, en cambio la gran mayora se hacen a inters compuesto. Por esta razn trataremos el inters simple en forma rpida y analizaremos en detalle el uso y manejo del inters compuesto.

--1-2-1 Inters: es el pago que se hace por alquiler de un dinero y lo representaremos por 1. 1-2-2 Tasa de inters: es la cantidad de dinero que se paga por el alquiler de $100 en la unidad de tiempo y se representa por i (mientras no se d ninguna especificacin en contrario la tasa de inters se dar para el ao). , 1-2-3 Tiempo: es la duracin del prstamo (normalmente la unidad de tiempo es el ao) y lo representaremos por t.

124 Capital: es el dinero que se presta, comnmente se le denomina capital inicial, valor presente o valor actual y lo representamos por P.

pero su resultado vara dependiendo de la forma como sea calculado t, por tanto tenemos: Inters simple ordinario con tiempo exacto, frmula 1 = p i t. 31 1 = 1.000 X 0,1 -360

El inters es una funcin directa de: el capital inicial, la tasa de inters y el tiempo. De acuerdo a lo anterior tenemos: 1 = p i t.

=

$861 '

La unidad de tiempo normalmente es el ao y este puede ser de 360 das o de 365 das denominndose ordinario en el primer caso y exacto en el segundo. Sin embargo hay dos formas como puede ser medido el tiempo durante el cual se hace el prstamo; que ese tiempo sea medido en forma exacta segn los das del calendario o en forma aproximada, suponiendo que todos los meses tienen 30 das, en el primer caso se dice que es un inters simple bien sea ordinario o exacto pero que el tiempo del prstamo fue calculado con tiempo exacto y en el segundo se dice que es calculado con tiempo aproximado. De lo anterior nos resulta que existen cuatro clases de inters simple as: ORDINARIOO

30 1= 1.000 X 0,1-= $833 360 '

31 1 = 1.000 X 0,1 -= $849 365 '

1 = 1.000 X 0,1 Definicin

----365

=

$8 22 '

con

tiempo exacto

COMERCIAL 360 DIAS Inters simple EXACTOO

{ con tiempo aproximado

~~ ?eno~~a monto simple, al capital final formado por el capital llllclal mas Intereses y lo representaremos por S.

lS CALCULO DEL MONTO SIMPLEcon { con tiempo aproximado tiempo exacto REAL 365 - 366 DIAS Segn lo expuesto en 1 - 4 S = p + 1 pero 1 = p i t reemplazando se tiene S = P + P i t Yfactorizando S = P (1 + i t).Ejemplo 2

Hallar el valor final de un documento de valor nominal $20.000 con intereses al 32% y un plazo de 8 meses. Ejemplo 1 Calcular las diferentes clases de inters simple para un prstamo al 10%de $1.000 si el tiempo del prstamo es el mes de enero de 1984. Solucin: Dado que no hay especificaciones en contrario, la tasa del 10%es para todo el ao. Todas las clases de inters simple usan la misma frmulaI

O

1

No. ENE

FEB MAR

ABR

MAY

JUN

JUL

AGO

SEP

OCT

NOV

DIC

No.

s = p (1

+ i t)

=

20.000 (1

+ 0,32 1 2)

8

=

$ 24.266,67

lo anterior significa que un valor de $ 20.000 hoy se convertir en $24.266,67 al cabo de 8 meses. CALCULO DEL VALOR PRESENTE

1 2 3 4 5

1 32 60 2 33 61 3 34 62 4 35 63 5 36 64 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 -

91 92 93 94 95

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181.-

182 213 244 274 305 183 214 245 275 306 184 215 246 276 307 185 216 247 277 308 186 217 248 278 309

335 336 337 338 339

1 2 3 4 5

1.6

Si se conoce el valor final y deseamos conocer el valor presente podemos despejar P de la frmula deducida en 1.5 y tendremos: .

6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 14 15 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

65 96 66 97 67 98 68 99 69 100 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120-

187 218 249 279 310 340 6 188 219 250 280 311 341 7 189 220 251 281 312 342 8 190 221 252 282 313 343 9 191 222 253 283 314 344 10 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Ejemplo 3

Hallar el valor presente de $50.000 al 36%en 10 meses:p

tI I

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

I II I

o

1

2

3

202 233 203 234 204 23q 205 236 206 237 207 208 209 210 211 212 238 239 240 241 242 243

10 36 1+ O,. X -.-. 12

50,000 ..

:;=

$38.461,54

. .

-

-

-

17 TABLA DE DIAS La tabla de das la util~aremos para el clculo del inte,r~s simple or dinario o real pero con tielIlpo exacto. . . .. En los ejemplos 2 Y 3 seutilz el inters s~~ple ord!nuw COn tiempo apro:ldmado, pero si en el ejemplo 2 huhJe$emos d~ch?en lugar de "un plazo de 8:~el;les" del 23 de marzo al 15 de n?Vle~~r~, entonces habramol;lutdl:liado la. tabla qu.e,SI'! muestra a contmuaGlpn.

Ejemplo 4

Calcular los das transcurridos viembre segn la tabla: :.. '. '. ~ . .

entre el 23 d marzo y el15 de n.

,15 ~noviembre:;= 31~ .23-marzo;;;=;'82 . ,,' '. " 237

7

Ejemplo 5

Calcular los das transcurridos entre' el 16 de septiembre de 1984 y el 25 de febrero de 1985. Das transcurridos entre el 16 de septiembre de 1984 Y el 31 de diciembre 1984 = 106 Das transcurridos hasta el 25 de febrero de 1985 = 56 162

Ejemplo 6

,Resolver el ejemplo 2 si el plazo es del 23 de marzo al 15 de noviembre.

mento dado, puede llegar a verse avocado a que su capital de trabajo se ~nc~entre respaldado por una serie de documentos pero no tener la hqUld~z necesaria ni siquiera para pagar sueldos, en consecuencia se ~e oblIgado a vender esos documentos es decir a negociar su cartera a fm de obtener liquidez inmediata. Existen compaas de financiamiento comercial denominadas FACTORING cuya funcin principal es comprar esos documentos y cobrarlos a su vencimiento. Naturalmente esas compaas no van a pagar por el documento el mismo valor que van a cobrar al vencimiento del mismo, sino que van a pagar una cantidad menor, es decir que van a h~cer un descuento. El descuento puede hacerse de dos maneras diferentes que explicaremos a continuacin. 1-9 DESCUENTO BANCARIO Al descuen~o bancario co~nmente se le denomina descuento (a secas) y ,consIste en cobrar mtereses por anticipado calculados sobre el valor fmal del documento. Representaremos por: V.D. = ~~lor presente del documento en el momento de su transacClOn,es decir es el valor final menos el descuento. D = Descuento. d = tasa de descuento. S = valor final del documento t = tiemp? que transcurre entre la fecha de negociacin (venta) de del mIsmo.

237) S = p (1 + i t) = 1.000 ( 1 + 0,32 360 = $1.210,67Ejemplo 7

Hallar el valor final y la fecha de vencimiento de un documento de valo~ nominal $25.000, fechado ellO de junio a un plazo de 130 das con un inters real del 33%.Solucin:

130) S = p (1 + i t) = 25.000 (1 + 0,33 365 = $ 27.938,36

,rpar~: ~~ila:{~habii~aiiits ~~1at~bla el'i O d~jJriii> y 'al valo 'qub h :se encuentre all le agregamos 130. 10 de junio = 161 plazo = 130 18 de octubre = 291

"

De las definiciones anteriores podemos concluir que: D=Sdt 1-10 DESCUENTO RACIONAL La otra fomla de calcular el descuento, se llama DESCUENTO RACIONAL, pero a diferencia del BANCARIO, para referirnos a l tenemos que llamarlo por su nombre completo "DESCUENTO RACION~L", de otra forma nos estaramos refiriendo al descuento bancano. .El descuento racional es de mucho menor uso que el bancario, posl?lemente. porCI,ue cantidad que se descuenta es menor y porque la su calculo eXIgemas trabajo. Representaremos por: D.R. = descuento racional.

En la prctica comercial encontramos muy frecuente la negociacin de documentos antes de su vencimiento por ejemplo en el caso de un fabricante que vende sus artculos a varios minoristas A, B, C, etc." pero es costumbre que esa mercanca sea vendida para pagar al cabo, de cierto tiempo, respaldando la deuda con un documento que puede ser un cheque, letra, pagar, etc. Sin embargo el fabricante en un mo-

S P d

= valor final=

Ejemplo 9

valor presente

= tasa de descuento.

Una compaa de inversiones entrega un pagar con vencimiento en 3 meses y valor final de $100.000. Si va a ser descontado por un banco al 32% 2 meses antes del vencimiento, determinar: a) el valor del documento en la fecha de transaccin y el descuento; b) si el documento es descontado racionalmente, determinar el valor en la fecha de transaccin y el descuento racional.S

Solucin:a)

pero P = 1 + i t S 1 + it 1) (1 + i t 1 \

2 D = S d t = 100.000 X 0,32 1 2 = $5.333,33 V.D.

D.R. = S -

S (1 -

1

+ i t = S 1 + i t - 1 + i t)it )

= S - D = 1.000.000 - 5.333,33 = $94.666,67 = S ( 1 + td t ) = 10 O.000 (0,32 0,32 2/12 ) = $ 5.063,29 d X 1+ X 2/12=

b)

DR ..

D.R.

=

S (1 + i t

V.D.R. pero la tasa de inters i es la tasa de descuento d, por tanto podemos dar como resultado final

100.000 - 5.063,29

=

$94.936,71

Ejemplo 10

Se depositan a trmino fijo de un ao $ 50.000 en una corporacin que paga el 32%. Si el documento es descontado por otra entidad financiera al 38% 4 meses antes del vencimiento, determinar el valor de la transaccin. Solucin: Primero debemos determinar el valor final del documento: S=p

Ejemplo 8

Si a un industrial le han entregado un documento (por ejemplo un cheque) por valor final de $60.000 con ve_n.cimient~ 45 das y de-, en sea negociar el documento con llna companla factonng al 3%mensual cunto le entregarn?

(1

+

i t)

= 50.000 (1 + 0,32 -~~) = $66.000

D= Sd t

= 60.000 X 0,03 X 30 = $ 2.700

45

4 D = S d t = 66.000 X 0,38 X 12

= $8.360

bservese que en este caso hemos dividido por 30 debido a que la tasa es mensual, pero si hubisemos utilizado la tasa a~lUal36% entonces habramos tenido necesidad de dividir por 360 aSl: D= Sdt

= 60.000 X 0,36 X 360 = $2.700 = 60.000 - 2.700 = $57.300Es muy frecuente que se hagan varios descuentos sobre el mismo documento, esto recibe el nombre de descuento en cadena, en este caso

45

V.D. = S - D

el siguiente descuento mente. Ejemplo 12

se aplica sobre el saldo anterior y as sucesivaUna ecuacin de valor es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal la cual representaremos por una lnea a trazos y a esa fecha deben ser transladadas todas las cantidades ya sean deudas o pagos. En inters simple-la respuesta puede variar un poco, dependiendo de la ubicacin de la fecha focal, por tanto debe ser un dato del problema. La tasa de inters a la cual se translada una cantidad ya sea deuda o pago a la fecha focal se llama rendimiento. Ejemplo 13 Una persona debe pagar $3.000 en 4 meses y $8.000 en 10 meses si ofrece pagar $ 2.000 el da de hoy y el resto en 6 meses. Cul debe ser el valor del pago para que las deudas queden canceladas? Suponga un rendimiento del 24% y la fecha focal en 6 meses.

El almacn G.B.C. ofrece los siguientes descuentos: 25% por venta al por mayor; 5% por pago de contado, 6% por temporada. Si el valor de una factura es de $85.000. Cul es el descuento nico?

85.000 63.750 60.562,50

25%5%

6%

63.750 60.562,50 56.928,75

28.071,25 85.000

= 0,33025 = 33,025%

Solucin:3.000I

8.000

I

Lnea del tiempo

V IR antes del descuento S S(l-d) S (1 - d) (1 - d2)

descuento di d2 d3

S (1- d)S (1 - d) (1- d2) S (1 - d) (1 - d2) (1 .:....3) d2.000

O

14

I I

16

/10 fecha focal

X

1I

I~I

d = S- S (1-

dd (1 - d2) S

,

(1 - dn)

El O representa el da de hoy, los dems nmeros en la lnea del tiempo representan las fechas de los vencimientos de las deudas o de los pagos. Obsrvese que hemos colocado las deudas a ~n lado de la lnea del tiempo y los pagos van hacia el otro lado de la misma. Para plantear la ecuacin del valor, debemos transladar las deudas a la fecha focal utilizando la tasa del 24%; entonces la deuda de $3.000 debe avanzar 2 meses del mes 4 al mes 6, por tanto se convertir en 3.000 (1 + 0,24 1 2).Ahora la deuda de $8.000 debe ser ubicada en la fecha focal, por tanto ser necesario hallar el valor presente en 4 meses esto es:

2

8.000 1 + 0,24

--12

6 2.000 (1 + 0,24 1 2) El pago de $X ya est ubicado en la fecha focal, por lo cual no requiere que se le haga ninguna modificacin. Una ecuacin de valor significa que la suma de las deudas es igual a la suma de los pagos cuando todas las cantidades han sido trasladadas a la fecha focal, por tanto 3.000 ( 1

Tanto deudas como pagos deben ser trasladados a la fecha focal. Para el pago que se hace en 2 meses X (1 + 0,04 X 4) Para el pago que se hace en 4 meses X (1 + 0,04 X 2) Para el pago que se hace en 6 meses X no requiere modificacin. Para la deuda 500.000 (1 + 0,04 X 6) Ahora procedemos a plantear la ecuacin:X (1 + 0,04 X 4) + X (1 + 0,04 X 2) + X

= 500.000 (1 + 0,04 X 6)=

1,16 X factorizando

+

1,08 X

+X

620.000

X (1,16 + 1,08 + 1) = 620.000X=

+ 0,24 12 +

2)

4 1 + 0,241"2

8.000

6 2.000 (1 + 0,24 1 2) + X

$191.358,02

Lo cual significa que es lo mismo pagar $3.000 en 4 meses y $8.000 en 10 meses que pagar $2.000 el da de hoy y $8.287,41 en 6 meses. Ejemplo 14 Un comerciante compra artculos por valor de $500.000 y ofrece hacer 3 pagos iguales uno en 2 meses, otro en 4 meses y otro en 6 meses. Suponiendo que la tasa de inters de financiacin es del 4% mensual (suponer que ste es el rendimiento), cul debe ser el valor de los pagos? Suponga la fecha focal en 6 meses.

Luego la deuda de $ 500.000 podr ser cancelada si se hacen 3 pagos de $191.358,02 c/u en 2, 4, 6 meses respectivamente. Es frecuente indicar las deudas por su valor inicial, por lo tanto deber conocerse la tasa de inters y la fecha de vencimiento de cada deuda a fin de calcular su valor final y as poderlo ubicar en la lnea de tiempo. Observe la manera tan diferente como se indican las deudas en el ejemplo 14 y en el ejemplo 15. Ejemplo 15 Una persona debe $ 7.000 para pagar con intereses al 27% y vencimiento en 3 meses y $10.000 con intereses al 26% y vencimiento en 15 meses. Si el rendimiento es del 24% y la fecha focal est en 10 meses. Cunto deber pagar el da de hoy sabiendo que har un pago de $ 5.000 al final de un ao?

X

:k

I I

-------...7.000 (1

II I I I 1 I I

+

0,27 1 2)

3

----

10.000 (1

+ 0,26

~~)

.-------2~------4

CJ

10I I

6I

I

I II I f.f.

1: 5.000I I I I

14

En 3 meses el monto de la deuda es $ 7.000 (1

+ 0,27 :2) y debe

1. Hallar el valor al vencimiento y la fecha de vencimiento de cada uno de los siguientes documentos: V/R nominal Fecha inicial 01-03-84 17-10-84 23-08-84 Plazo 6 meses 200 das 185 das 30% 33%% 28% inters real Tasa

ser trasladado a la fecha focal utilizando el rendimiento; por tanto 7 se tiene; 7.000 (1 + 0,27 1~-) (1 + 0,24 1 2} En los 15 meses el monto de la deuda es 10.000 (1

a)b) c)

10.000 15.QOO 12.500

+ 0,26 ~~)

. pero debemos devolvernos hasta el mes 10 usando la frmula P=1+ i t

S

de donde se obtiene:

Respuestas:

a) $11.50010.000 (1

01-09-84 05-05-85 24-02-85

+ 0,265

-H-)

b)

$17.770,83 $14.273,97

c)

1 + 0,24 12 , 10.000 (1 15\

2. Calcular la tasa de inters a la cual el monto de $10.000 es $11.436 en 8 meses.

7.000 (1

+ 0,27 1 2j (1 + 0,24 1 2) +

3

7

+ 0,26 12)5

Respuesta:

21,54%.

1 + 0,241:2

5.000

2-

+X

0+

0,24 ~~)

1 + 0,24 12 10.000 (1,325) 1,1

3. Una persona solicita un prstamo a un banco con garanta personal por la suma de $ 75.000. Si el banco le concede un plazo de 90 das y le cobra un inters del 29% cul es el descuento cobrado sin tomar en cuenta los costos de apertura del crdito y cul es el descuento tomndolos en cuenta? Suponga los costos de apertura en $ 445 que incluyen seguros, papelera, estudio del crdito etc.

7.000 (1,0675) (1,14) 8.518,65

+

= 5.000 + X (1,2)1,04

+ 12.045,45 = 4.807,69 + 1,2 XX = $13.130,34

4. Un banco descuenta una letra de cambio de $80.000 con vencimiento en 60 das. La tasa de inters aplicada es del 32% pero adems cobra el 0,5% por otros conceptos. Cul ser el valor neto a recibir? Sugerencia: utilizar tasa del 32,5%. Respuesta: $75.666,67.

Observacin 1: mientras no se diga lo contrario deber utilizarse un inters ordinario. Observacin 2: mientras no se diga lo contrario las tasas son anuales.

5. Cual es el valor del documento que queda en poder del banco si el prestatario recibe neto $ 25.000 por un prstamo a 90 das si le cobran un inters del 30%, sin tomar en cuenta los costos de apertura del crdito y tomndolos en cuenta? Suponga que los costos son los mismos del problema 3. Respuestas: $27.027,03y

$27.508,11.

6. En el problema 3 cul es la verdadera tasa cobrada si tomamos en cuenta los costos de apertura del crdito? Respuesta: 31,37%. 7. Un documento de valor final $20.000 va a ser descontado 6 meses antes del vencimiento al 34%. Hallar la diferencia entre el descuento bancario y el descuento racional y sacar una conclusin. Respuesta: $494,02. 8. Cul es el descuento nico y la cantidad descontada, que el alma cn ABC le hace a un cliente a quien le estn concediendo los siguientes descuentos sobre una factura de $60.000. Por volumen de venta: 30%. Por embalaje 8%. Por pago contra entrega 7%. Respuesta: 40,11% $24.064,80. 9. Una deuda de $350.000 con vencimiento en 3 meses se va a cancelar mediante un pago de $100.000 el da de hoy, $200.000 en 2 meses y el resto en 5 meses. Suponiendo un inters del 34% . Hallar el valor del resto. Ponga la fecha focal en 3 meses. Respuesta: $37.863,89. 10. Una persona debe cancelar un pagar de valor nominal $ 50.000 e intereses del 38% con vencimiento en 6 meses. Si ofrece cancelar el pagar mediante un pago de $10.000 a efectuarse el da de hoy, y el resto en dos pagos iguales de $ X c/u a realizarse en 4 y 10 meses respectivamente. Determinar el valor de los pagos. Utilizar como fecha focal 4 meses y suponer un rendimiento del 27%. Respuesta: $ 24.4 74,43. 11. Una persona debe $ 50.000 con vencimiento en 3 meses e intereses del 24% , $ 60.000 con vencimiento en 10 meses e intereses del 28% y $40.000 con vencimiento en 16 meses sin inters. Si hoy paga $ 35.000 cunto deber pagar al final de 18 meses para cancelar las deudas? Suponga un rendimiento del 22% y la fecha focal en 12 meses. Respuesta: $147.658,21. 12. Cuntas clases de inters hay? Explquelas.13. Qu es descuento bancario? 14. Qu es descuento racional? 15. Qu es descuento en cadena? 16. Qu es una ecuacin de valor?S1 P

Inters compuesto2-1 INTRODUCCION

~n el inters ~imple el capital permanece constante durante todo el tIem~o del. prestamo, en c~mbio en el inters compuesto el capital c~mbIa al fm~ de cada penodo, debido a que los intereses se le adi?lOn~,nal capItal para f?rmar un nuevo capital. En otras palabras: el I~teres compuesto consIste en calcular intereses sobre el monto antenor para formar un nuevo monto. Lo anterior se puede mostrar en la siguiente grfica.

S3 S2

2

PERIODOS

P S1 S3 S4

capital inicial monto al final del primer perodo monto al final del tercero perodo monto al final del cuarto perodo

S2 - monto al final del segundo perodo

2-2 CALCULO DEL INTERES COMPUESTO Supongamos que se invierten $1.000 a la taBa del 8% semestral durante dos aos. Perodos 1 2 3 4 Capital inicial 1.000 1.080 1.166,40 1.259,71 Intereses 80 86,40 93,31 100,78 Capital final 1.080 1.166,40 1.259,71 1.360,49 2-3-2 Tasa nominal: la tasa que se da para todo un ao, la denominaremos tasa nominal y la representamos por J. Como podr observarse no es aplicable directamente en la frmula. Msadelante veremos que existe una relacin entre la tasa efectiva y la tasa nominal. 2-3-1 Tasa efectiva: la tasa que se utiliza en la frmula anterior se denomina tasa efectiva, la representamos por i y corresponde a la tasa del perodo.

El comportamiento del capital qued mostrado en la tabla anterior y se puede representar algebraicamente as: PeroCapital inicial dos 1 2 3 P P (1 + i) P(1+i)2

Inters Pi P (1 + i) i P (1 + SI

Capital final

2-3-3 Perodo: el tiempo que transcurre entre el pago de un inters y otro se denomina perodo y el nmero total de perodos se representa por n mientras que el nmero de perodos que hay en un ao se representa por m.

= P + P i = P (1 + i)

De lo anterior se deduce que i = ~.m

S2 - P (1 + i) + P (1 + i) i P (1 + i) (1 -+ i) = P (1 + W S3 P (1 +

W

W

+ P (1+ i)2 i

i

P (1 + i)2 (1 + i) = P

d + i)3

n

P (1 + i)n-l

P (1 + i)n-l i

+ i)n Sn = P (1

A la tasa nominal siempre se le adiciona (como si fueran apellidos) dos palabras que pueden ser: convertible mensualmente o convertible trimestralmente o convertible semestralmente. Ejemplo 1 Si se dice que J = 8% C.T. (convertible trimestralmente) significa que la tasa para todo el ao es el 8% pero cada tres meses se cobran intereses y se adicionan al capital para formar un nuevo monto, naturalmente la tasa que se cobra cada 3 meses es solamente el 2% . Si aplicamos la frmula i

Por lo tanto podemos concluir que la frmula del inters compuesto es:

= -

J

m

se tiene: J

= 8%, m = 4

porque en el ao hay 4 trimestres luego 8 7 4 por tanto i = 2%. Donde: S P capital final capital inicial tasa de inters para el perodo nmero total de perodos. Ejemplo 2 Si J = 24% C.S. (convertible semestralmente) significa que para todo el ao se paga el 24% pero cada 6 meses cobra el inJ 24 ters calculado al 12% entonces i = m = 2 = 12%.

Ejemplo 3 Si J = 24% C.M. (convertible 24 i= = 2%. mensualmente) significa que =

2=+

32

16%. Adems hay 3 semestres, entonces i)-n = $80.000 (l

n=3

12

P = S (1

+

0,16)-3

= $51.252,61

2-4 CALCULO DEL MONTOLos bancos y ciertas entidades financieras a fin de captar dinero del pblico emiten certificados de depsito a trmino C.D.T. Los dineros as recolectados son vueltos a prestar pero a tasas mayores, obteniendo de esta forma Utilidades. Los e.D.T. se emiten por perodos de 3 meses, de 6 meses, de 9 meses y de un ao. Plazos mayores no son aconsejables debido a que se dificulta prever si las tasas imperantes en el mercado sufrirn variaciones. El clculo del valor final del C.D. T. se hace por medio de la frmula del inters compuesto S = P (1 + i)n la cual fue deducida en la seccin 2-2. El modo de aplicarla se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 Calcular el monto de $15.000 al 24% C.T. en 6 aos y 3 meses.

2-6 CALCULO DEL TIEMPOSi de la frmula S = P (1 + i)n despejamos n tenemos:

p=tomando

S

(1 + i)n

logaritmos lag (S/P) = n lag (1 + i). log (S/P) n=---log (1 + i)

pero debe tenerse en cuenta que n nos representa el nmero total de perodos y que este debe convertirse en aos, meses y das. Ejemplo 6 Cunto tiempo se necesita para que $ 3.200 se convierta en $7.400 al 31% C.T.?

. J 24 1= - = = 6%

m

4

i= En 6 aos hay 24 perodos 25. y en los 3 meses hay 1perodo. En total

"4

31

= 7,75%

1 7.400 og "i2OO log (1

+

0,0775)

esto implica que hay 11,2311 trimestres que dividido por 4 nos da el nmero de aos 2,807775 luego hay 2 aos y sobra 0,807775 de ao. Para averiguar cuntos blece una proporcin as: meses hay en la fraccin de ao, se esta-

0,807775 X

de donde

X = 9,6933

P= ---

S lo cual nos indica que hay 9 meses y sobra 0,6933 de mes por lo que se establece una nueva proporcin 1 30 de $ 80.000 en 18 meses suponiendo un 0,6933 X de donde X = 20,799 aprox. 21 das

(1 + i)n

Ejemplo 5 Cul es el valor presente inters del 32% C.S.?

~ecurdese

que i

= ~

y en este caso m

=

2) pero como los montos

deben ser iguales se tendr que: i =/f-1 (1 pero debe tenerse en cuenta que i es la tasa del perodo. Ejemplo 7 A qu tasa nominal convertible semestralmente, es $ 9.000 en 31h aos? el monto de $ 3.000 2-8-1 Definicin de tasas equivalentes Dos tasas son equivalentes si teniendo diferentes perodos de convertibilidad nos producen el mismo monto al final de un ao. Ejemplo 8 Hallar una tasa nominal convertible trimestralmente equivalen-

+ 0,08)1 = (1 + -02 de donde resulta J = 7,846% C.S.

Solucin:En este caso los perodos dos, por tanto = son semestrales y en 3% aos hay 7 pero-

7

9.000 3.000 - 1 = 0,16993 = 16,993% C.S.

te al 12% C.M. Solucin:Se evalan los montos al final de un ao con cada una de las tasas y se igualan los resultados as:

J = 2 X 16,993 = 33,986%

2-8 TASAS EQU IVALENTESSupongamos que se invierten $ 1.000 al 8% C.S. durante 1 ao, el monto final ser: $1.000 (1 + 0,04)2 = $1.081,60. Ahora supongamos que se invierten $ 1.000 al 8% C.T. durante un ao, el monto ser: $1.000 (1 + 0,02)4 = $1.082,43. De lo anterior se deduce que hubiese sido ms costoso si la tasa hubiese sido del 8% C.M. Ahora supongamos que alguien nos dice: "Usted est autorizado para cobrar el 8% efectivo anual, sin embargo se le permite que cobre los intereses mensual o trimestral o semestralmente si hace la correspondiente rebaja en la tasa, de tal suerte que el resultado final siempre sea igual al 8% efectivo". Entonces nos podemos plantear el siguiente problema: Cul ser la tasa nominal convertible semestralmente que nos produce el mismo monto que el 8% efectiva anual? Para resolverlo calcularemos el monto de $ 1 al final de un ao con el 8% efectivo.

E xtrayendo

' . ralZ cuarta se tiene:

(1

0,12)3 + 12

=

(1

J) + "4' de

donde se obtiene J = 12,12% C.T. Luego el 12% C.M. es equivalente al 12,12% C.T. Ejemplo 9 Hallar una tasa nominal convertible te al 24% C.S. trimestralmente equivalen-

(1 y el monto de $1 con una tasa J nominal convertible semestralmen-

+~)

024,\2

=

(

1

+"4

J)4

donde

J = 23,32% C.T.

te ser:En algunos pases debido a la desvalorizacin (disminucin de su valor con respecto al oro) o debido a la inflacin (aumento general de

precios), el dinero va perdiendo su capacidad de compra desestimulando el ahorro, favoreciendo a los deudores quienes devuelven el dinero con una capacidad de compra inferior, y presionando altas tasas de inters por parte de las entidades financieras como compensacin. El ndice de correccin monetaria se representa por ic y es una tasa de inters a la cual se debe colocar un dinero hoy, para que con el monto de ese dinero lo que se pueda hacer hoy se pueda realizar en el futuro. En Colombia el ic se calcula de acuerdo a.la siguiente frmula:

Ejemplo

11

Suponiendo una tasa de correccin monetaria del 21 % efectivo una tasa adicional del 5% sobre los UPAC y el precio del UPAC en $812. Determiriar el valor que habrn acumulado $10.000 en un ao.

Con los $10.000

podr comprar

10.000 812

= 12,31527

UPAC puesto

que la tasa sobre los UPAC es del 5% al final de un ao tendr:

ndice de precios al consumidor promedio ponderado de tasa de inters de los certificados de depsito a trmino C.D.T. La tasa ic es la que se aplica al sistema UP AC (Unidad de poder adquisitivo constante en Colombia) que es un sistema monetario mediante el cual se mantiene actualizado el valor de una inversin. 2-9-1 Indice diario de correccin Supongamos que el terminado mes del zando el principio ndice de correccin monetaria

al final de un ao un UPAC valdr 812 (1 + 0,21) = $ 982,52 por tanto habr acumulado 12,931034 X 982,52 = $12.705, en consecuencia su ganancia ser 12.705 - 10.000 = $ 2.705 y su verdadera rentabilidad ser: 2.705 10.000

=

0,2705

=

27,05%

ndice de correccin monetaria para un deao es del 20,88% anual, por tanto utilide tasas equivalentes podemos calcular el monetaria diaria.

Ejemplo

10

El valor del UPAC el 2 de agosto de 1984 es $ 811,58 cul ser su valor el da 23 del mismo mes? Suponga: i = 0,0005196641. Solucin: Diferencia de das S=

c==>

La sistematizacin ha entrado con mucha fuerza en el mundo de las finan~~s" po~ esta ~azn mostraremos varios diagramas de flujo que permItIran SIstematIzar nuestros clculos, para ello debemos identificar los smbolos que utiliZaremos.

iniciacin y terminacin

_____I ~L==

proceso

=

21.

=oJo

IMPRESION

811,58 (1

+ 0,0005196641)21

Los certificados de valor constante son emitidos por las corporaciones de ahorro y vivienda y vienen a ser depsitos a trmino en UPAC, los cuales reconocen una correccin monetaria y una tasa de inters adicional sobre los UPAC. Para explicar el funcionamiento de esta clase de depsitos lo haremos con el siguiente ejemplo.

o

serie de instrucciones que deben repetirse

2-12

INTERES ANTICIPADO

Cobrar un inters anticipado es lo mismo que hacel\ un descuento lo cual podemos ver muy claro en el siguiente ejemplo: Si me prestan $ 1.000 a un ao de plazo pero me 'cobr~n intereses por anticipado a la tasa del 30% entonces me entregan $700 y deber pagar $1.000 al final de un ao, y esto es lo mismo que aplicar la frmula de descuento as:

= S d t = 1.000 X 0,3 = $ 300 V.D. = S - D = 1.000 - 300 = $700D Por tanto podemos afirmar que la tasa anticipada de inters es la misma tasa de descuento. Por otra parte, se observa que muchas entidades financieras ofrecen pagar por anticipado intereses a trmino fijo, y as mismo ellas colocan esos dineros usando el mismo procedimiento. La verdadera tasa que cobran esas entidades es la relacin existente entre lo pagado y lo realmente recibido esto es: D i=--= Sdt S - Sdt d 1-d

V.D.

i es la tasa vencida, d es la tasa anticipada y t es la unid dad de tiempo. La frmula i = ---nos sirve para calcular la tasa

en donde

1-d

log (SjP) N = M log (1 + JjM)

vencida conociendo la tasa anticipada, y si deseamos hallar la tasa anticipada, conociendo la tasa vencida, basta despejar d de la frmula anterior y tenemos: i d=-1+ iEjemplo 12

Aqu se ha utilizado la frmula: J S=p ( 1+ M

)MN

Si una entidad financiera paga en depsitos a trmino fijo de un ao una tasa anticipada del 32% cul es la tasa que paga efectivamente? Solucin: El concepto de tasa efectiva es la que se cobra al final del perodo, en otras palabras: una tasa efectiva es una tasa vencida, por tanto d 0,32 i= --= 1- O,32 1-d

Donde: S = valor final P = valor presente J = tasa nominal M = perodos por ao N = nmero de aos y fraccin por tanto el nmero total de perodos ser M' N A = nmero de aos (enteros) D = nmero de meses (enteros) G = nmero de das: (enteros) ENT = entero

= 47,059%

En el futuro cuando encontremos tasas anticipadas, el primer paso ser hallar la tasa efectiva y continuar nuestro proceso normalmente.

29

Ejemplo 13Dada una tasa vencida del 33% hallar una tasa anticipada equivalente: i d = 1 0,33' $

L~4c~;14imPlicaque slo podr aceptar la nueva propuesta si le pagan . ,72 a 3 meses y $14.184,72 a 12 meses.

+ i = 1 + 0,33 = 24,812%

2-14 TIEMPO EQUIVALENTEUn conjunto de obli~aciones con diferentes fechas de vencimiento se pueden. cancelar medIante un solo pago igual a la suma de los valores del con!unto de o?ligaciones si se hace en una fecha determinada Ha~ada tlempo eqUIvalente. Lo anterior se explicar con el siguiente ejemplo.

Los mismos principios expuestos para las ecuaciones de valor en inters simple, son vlidos cuando se plantean en inters compuesto; el nico cambio que ocurre adems de la tasa de inters, es que como dato de problema no se da la posicin de la fecha focal y su ubicacin se deja a libre eleccin del lector, esto se debe a que en inters compuesto no hay variacin de la respuesta, en cambio en inters simple puede haber una pequea variacin de la respuesta si se cambia la posicin de la fecha focal.

Ejemplo 15Una persona debe $ 10.000 con vencimiento en 3 meses, $15.000 a y $ 20.000 con vencimiento en 12 meses. Si hace un pa o ~n8~0 determinar el tiempo equivalente. Suponga un rendimiento lel /0 C.M.

~o.meses

Ejemplo 14A un inversionista, le deben cancelar dos pagares as: $ 5.000 con vencimiento en 7 meses e intereses del 18% C.T.; $ 20.000 con vencimiento en 15 meses e intereses del 24% C.s. Si al inversionista le proponen cancelar las deudas mediante dos pagos iguales uno a 3 meses y otro a 12 meses cul debera ser el valor de los pagos suponiendo un rendimiento del 24% C.M.? Solucin:!

i

10.000

15.000

1 1 I 20.000

5.000 (1 + 0,045)2.333 ...

..----_

II

_

X3 10 45.000n

II

--IX

12

:

20.000 (1

+ 0,12)2.5

12I

L

.

I I

,1

1

5 Colocamos arbitrariamente la fecha focal en 12 meses. El pago nico debe ser de $10.000 + 15.000 + 20000 = $45 000, 1 t' 1 '. , e lempo entre e .pago de $ 45.000 y. la fecha focal es n. Si planteamos la ecuacin de valor tenemos: 10.000 (1

1I I

Si escogemos arbitrariamente

12 meses como fecha focal tenemos:

5.000 (l + 0,045) 2.333 {1 + 0,02)5 X{l

+ 20.000 (1 + 0,12)2.5 (l + 0,02)

-3

=

+

0,015)9

+ 15.boo

{1

+ 0,015)2 +

20.000=

+ 0,02)9 + X6.117,52

= 45.000 {1

+ 0,015)n

+ 25.019,26=

X (1,195092569)

+

x:

46.887,28 46.887,28 45.000

= 45.000 {1,015)n = 1,oi5n

X ~ 14.184,72

= 1,041939556

tomando logaritmos base 10 tenemos: log 1,041939556

= n log 1,015_ 4 - 2,759II

0,017842525 00064660422 ,

I

5.000

8.000

entonces hay 2,7594 perodos de la fecha focal, pero en este caso los perodos son meses luego hay 2 meses y la fraccin de mes corresponde a 23 das. Para conocer la fecha X basta restar los 2 meses y 23 das de la fecha focal as: fecha focal12 meses = 11 meses

1-~j~~,l,3.000

1 II I 121

1l.pOOI

1I

+ 30 das

Si escogemos los 12 meses como fecha focal y los traslados a la fecha focal se hacen a la tasa i efectiva mensual. La ecuacin de valor resultante es: 5.000 (1 + i)9 + 8.000 (1 + , Simplificando se tiene: La interpolacin es un proceso que consiste en intercalar uno o varios nmeros entre dos dados; de forma tal que los nmeros que se intercalen, formen con los nmeros dados, o una progresin aritmtica y entonces se denomina interpolacin lineal, o una progresin geointrica y entonces se denomina interpolacin geomtrica. La interpolacin no da un resultado exacto sino aproximado, pero indudablemente el error que se presenta cuando se utiliza la interpolacin no es muy grande, adems este error se puede reducir sustancialmente si el intervalo entre los nmeros dados no es muy grande. En matemticas financieras, la interpolacin lineal es la ms utilizada y por eso ser el sistema que utilizaremos. El proceso lo explicaremos en el ejemplo 16.2-16 CALCULO DE LA TASA EN UNA ECUACION DE VALORI

W =

3.000 (1 + i)12 + 11.000

5 (1 + i)9 + 8 (1 + 5 (1 + i)9 + 8 (l +

W= W -

3 (1 + i)12 + 11 3 (1 + i)12 = 11

Escogiendo al azar una tasa, por ejemplo el 3%, calculamos: 5 (1 + 0,03)9 + 8 (1 + 0,03V - 3 (l + 0,03)12=

10,73378

l'

I

Observamos que el resultado est por debajo de 11 y nos proponemos buscar dos tasas de inters no muy separadas de tal manera qu los v~lores de la funcin resulten uno por encima de 11 y otro po~ debajO.de 11. Entonces, para que el valo:(de la funcin sea mayor debemos Incrementar la tasa por ejemplo al 4% , 5 (1 + 0,04)9 + 8 (1 + 0,04)2 - 3 (1 + 0,04)12

= 10,96626241

Un conjunto de obligaciones puede ser equivalente a otro conjunto Como el val d 1 f "'. . si se escoge una tasa adecuada. En este caso para hallar la tasa aQe- '1 or e a UnClO? SIgueSIendo inferior a 11 volvemos a calcu ar con una tasa mayor dIgamoSel 50/< . cuada se usa la interpolacin. o .Ejemplo 16

5 (1 + 0,05)9 + 8 (1 + 0,05)2 - 3 (1 + 0,05)12 = 11,1890721

Hallar la tasa nominal convertible mensualmente a la cual un pago de r Ahora ya tenemos los dos valores que n ' . os propontamos buscar y $ 5.000 en 3 meses y otro de $ 8.000 en 10 meses es eqUIvalentea un I procederemos a interpolar- para ello dI'SP 1 t b' onemos e ra aJo haciendo pago de $3.000 hoy y otro de $11.000 en 1 ano. el SIguienteraciocinio:

.

-

I .

,

2. Hallar el monto de $23.000 en 2 aos y 5 meses al 30% C.s. Respuesta: $ 45.196,08. 3. Qu depsito debe ser hecho hoy en un fondo que paga el 24% C.M. para tener disponibles $60.000 al cabo de 2 aos? Respuesta: $37.303,29. 4. Una corporacin financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de $ 300.000 con vencimiento en 10 meses y un inters del 36% C.M. A los 4 meses solicita que le sea descontada por otra institucin financiera que cobra el 4% mensual, cunto recibir la corporacin por la letra? 10,966JJ 11,000 11,189 Cul de las tres opciones debe escoger? Respuesta: la opcin a. 6. Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% trimestral (esto es al 34% C.T.) al final de 4 aos representar $ 500.000. Determinar la cantidad que se deber pagar si la deuda se cancela al cabo de 18 meses. Respuesta: $306.412,93.

A qu tasa el valor ser 11? 4 [[ X5 -

la relacin existente entre los nmeros de la derecha debe ser la misma que entre los nmeros de la izquierda, por tanto podemos establecer las siguientes relaciones:

Diferencia menor Diferencia mayor

Diferencia menor Diferencia mayor

4-X4-5---=

10,966 -11 10,966 - 11,189

4-X -:-1

7. A qu tasa nominal convertible trimestralmente el monto de $3.000 ser $9.000 en 3 aos? Respuesta: $38,349% C.T. 8. a)b)

entonces X = 4,152%. Pero esta es una tasa efectiva mensual y la nominal convertible mensualmente ser:

A qu tasa efectiva anual se duplica un capital en 2 aos? A qu tasa nominal convertible semestralmente se duplica un capital en 2 aos? A qu tasa nominal convertible mensualmente se duplica un capital en 2 aos?

e)

R~lPuestas: a) 41,42%; b) 37,84% C.S.; e) 35,163% C.M.Problemas propuestos - Captulo II

1. Hallar el valor final de un. documento d~ valor nominal $50.000 a un plazo de 3 aos y 6 meses si elinters es del 32% C.T. Respuesta: $146.859,68.

9. Los TAN en el mercado primario (Ttulos de ahorro nacional comprados. directame.nte a la entidad que los emite, es decir al Banco de la Repblica) son emitidos a $46.948,50 para ser redimidos en 90 das en la suma de $ 50.000. Hallar a) La rentabilidad trimestral y la rentabilidad efectiva mensual; b) si la reten-

cin en la fuente es del 3,7% sobre la utilidad, hallar la rentabilidad trimestral y la rentabilidad efectiva mensual. Respuestas: a) 6,5%b)

trimestral

2,121% mensual 2,039% mensual

6,244% trimestral

18. Una entidad financiera ofrece pagar un inters del 8% por trimestre anticipado. Si se depositan $ 40.000 a trmino fijo de un ao con reinversin de intereses calcular: a) la tasa efectiva trimestral pagada; b) la tasa efectiva anual pagada y e) el monto recibido al final del ao.

10. Si un certificado de depsito a trmino en el mercado pri~ario es emitido a $93.677 para ser redimidos a $100.000 en 90 dlas, calcular la rentabilidad trimestral Y la rentabilidad mensual; a) sin tomar en cuenta la retencin en la fuente y b) tomando en cuenta la retencin del 3,7% . Respuestas: a) 6,75% trimestralb)

19. Hallar la tasa efectiva anual equivalente al: pado y b) 32% anual anticipado. Respuestas: a) 29,87%; b) 47,06%.a)

2,201% mensual 2,116% mensual

6,484% trimestral

20. Halla la tasa anual anticipada equivalente al do; b) al 2,3% mensual vencido. Respuestas: a) 23,077%; b) 23,881%.

30% anual venci-

11. Cunto tiempo se necesita para que $ 3.000 se tripliquen al 20% C.T? Respuesta: 5,62927 aos = 5 aos, 7 meses, 17 das.

12. Cunto tiempo se necesita para duplicar un capital al 30% C.M.? Respuesta: 2,33925 aos = 2 aos, 4 meses, 2 das.

21. Un comerciante compra mercancas para pagar as: $ 25.000 de cuota inicial, $ 40.000 a 2 meses y $50.000 a 5 meses. Suponiendo un inters del 32% C.M. Cul es el precio de contado de la mercanca?

13. Hallar una tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 12% C.T. Respuesta:J = 11,882% C.M.

22. Una persona tiene 3 deudas as: $ 5.000 con vencimiento en 5 meses e intereses del 20%

C.T.

14. Hallar una tasa nominal convertible semestralmente equivalente al 24% C.T. Respuesta: J = 24,72% C.S. 15. Hallar una tasa efectiva anual que sea equivalente al 30% C.M. (efectivo anual es lo mismo que convertible anualmente). Respuesta:J = 34,489% efectivo anual.

$10.000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% C.S. $ 20.000 con vencimiento en 21 meses e intereses del 30% efectivo. Estas deudas se van a cancelar mediante 2 pagos iguales uno el da de hoy y otro al final de 2 aos. Suponiendo un rendimiento del 24% C.M. Hallar el valor de los pagos. Respuesta: $ 22.022,88.

16. Suponiendo una tasa efectiva anual de correcci?, .moneta;ia ?el 21% y una tasa adicional del 5% sobre los depositos a termmo fijo en UPAC. Calcular el valor que habr de acumular al cabo de un ao la suma de $ 16.000. Suponga el precio del UPAC en $820. Respuesta: $ 20.328. 17. De acuerdo a las condiCiones expuestas en el problema No. 16 determinar la verdadera rentabilidad. Respuesta: 27,05%.

23. Hallar el tiempo X en que debe hacerse un pago de $ 20.000 para cancelar dos pagos uno de $10.000 en 6 meses y otro de $10.000 en 20 meses, suponiendo intereses del 21,6% C.M. Rel~puesta: 12,564 meses. 24. Una persona debe $ 8.000 a 3 meses y $ 10.000 a 10 meses si ofrece pagar $ 5.000 hoy en qu fecha deber pagar $ 13.500 para cancelar la deuda? Suponga intereses al 21 % C.M. Respuesta: 11,796 meses.

36

LAS MATEMATICAS FINANCIERAS y LOS SISTEMAS

A 25.

u tasa nominal convertible mensualmente un pago de $10.000 q t d $15000 en 10 meses es equivalente a $6.000 en 3 meses Y o ro e . en 1 mes y $ 21.000 en 18 meses.

Respuesta:

13,644%

C.M.

26 Una deuda de $ 2.000 con vencimiento en 4 m~ses Y otra de . $ 6 000 con vencimiento en 12 meses, se cancelaran con ~n de '$ 3.000 en 6 meses y otro de $ 7 .000 ~n 18 mese~. ue asa nominal convertible trimestralmente se esta cobrando.

p:gO

AnualidadesUna serie de pagos de igual valor hechos a iguales intervalos de tiempo recibe el nombre de Anualidad, grficamente se puede representar as:R

Respuesta:

76,512%

C.T. del inters compuesto?

27. Cul es la caracterstica . l? 28. Qu es tasa nomma . 29. Qu es tasa efectiva?

30. Qu son tasas equivalentes? 31. Cmo se relaciona la tasa anticipada Y la tasa vencida?

.~3-1 DEFINICIONES

32. En qu consiste el tiempo 33. Qu es interpolar?

equivalente?

3-1-1 Anualidad: es una secuencia de pagos de igual valor que se hacen a iguales intervalos de tiempo. Es de aclarar que el nombre anualidad no implica que los pagos tengan que ser anuales, sino que el nombre se da en general a cualquier secuencia de pagos iguales hechos a iguales intervalos de tiempo, sin importar si los pagos son mensuales, trimestrales, semestrales, etc. 3-1-2 Renta: 3-1-3 Perodo y otro. es el rago peridico de la renta:y lo representaremos

por R. entre un pago

es el tiempo que transcurre

3-1-4 Plazo de la anualidad: es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer perodo y el final del ltimo perodo. El nmero de perodos lo representaremos por n. 3-2 CLASI FICACION DE LAS ANUALIDADES

3-2-1 Ordinarios o vencidas: son aquellas anualidades en que el pago de la renta se hace al final de cada perodo, por ejemplo el pago del salario de un trabajador.

LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

y LOS SISTEMAS

Anticipadas: son aquellas en que el pago de la renta s~hace al principio de cada perodo, por ejemplo el pago del arnendo de una casa. Anualidad inmediata: es aquella en que el primer pago se hace en el primer perodo y puede ser anticipada o vencida. Anualidad diferida: es aquella en que el primer pago se hace despus de transcurridos cierto nmero de perodos tal como se aprecia en la figura de abajo.

En la primera parte de este captulo analizaremos las anualidades en las cuales el perodo de pago coincide con el perodo de inters, y las denominaremos anualidades simples, y hacia el final de este mismo captulo analizaremos el caso general de las anualidades, o sea los casos en que el perodo de pago no coincide con el perodo de inters.

Anualidad cierta: es aquella en la cual se conoce cu~ndo empieza y cuando termina; por tanto es conocido el n~mero de perodos n, por ejemplo el pago de una deuda medIante una amortizacin. Anualidad perpetua: es la que se sabe cuando empieza, pero en teora no tiene fin. Anualidad contingente: es aquella en que su iniciacin o su terminacin dependen de un evento continge~te .co~,o la muerte y un ejemplo de estas son las pensiones de JubllaclOn. El siguiente cuadro sinptico nos aclara lo anterior. Cierta Perpetua { Contingente Cierta Perpetua { Contingente Cierta Perpetua { Contingente Cierta Perpetua { Contingente

Una anualidad tiene 2 valores: el valor final y el valor presente; en el primer caso todos los pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al principio de la anualidad. Hagamos los clculos para hallar el valor final de una anualidad ordinaria, inmediata y cierta. El valor final lo representaremos por el smbolo Slil i en el cual S = valor final, n = nmero de perodos, i = tasa de inters de la anualidad. No se pierde generalidad si suponemos que la renta sea de $1.

IfI 1 I

---1 1

I[

----.1 1

O

"'

Si situamos sobre n una fecha focal y planteamos la ecuacin de valor tendremos: Para trasladar cada valor aplicamos la frmula S = P (1 + i)n pero en cada caso P = 1 Y n ser el nmero de perodos, por el cual hacemos el traslado, por tanto el pago que est en n no se traslada, el que. est en n - 1 se traslada por un perodo entonces queda en (1 +' i), el que est en n - 2 se traslada por 2 perodos, entonces queda en (1 + i)2 y as sucesivamente vamos trasladando todos los pagos hasta que lleguemos al ltimo o sea el que est ubicado en 1 y este se trasladar por n - 1 perodos quedando en la forma de (1 + i)n -1 y la ecuacin de valor quedara as:

si a la ecuacin (1) la multiplicamos

por (1 + i) tendremos:

sm i (1 + i) = (1 + i) + (1 + i)2

+ (1 + i)3 + ... + (1 + i)n (2)

O

~

1

2'----------29

LJ 1S

30

Smi(l+i) Slll i

(1 1

+ i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)n+ (1

+ i) + (1 + i)2 + .. , + (1 + i)U -1i)n - 1

S = 2.000 S

301 2112 % = 2.000 (1 + 0,025)30 - 1 = $ 87.805,410,025

Snl i (1 + i) - sm i = (1 Sl i X i = (1 + i)n -1 (1+ i) n -1 Smi=----Siendo (3) la frmula

+

A= RaDl i = 2.000

a 301

1 - (1 2112 % = 2.000 ------= $41.860,59

+ 0,025)-300,025

de el valor final de una anualidad ordinaria,

cierta e inmediata. . El valor presente de esta misma anualidad se representa por el smbolo a m i en donde a representa valor presente. El clculo de a III i es muy sencillo, basta con actualizar el valor final por n perodos as:

1 l

Il

I

~

Existen las tablas financieras en donde encontramos los valores de sm i y de am i, pero teniendo en cuenta el avance de la tcnica, basta en la actualidad, una pequea calculadora de bolsillo para efectuar el clculo utilizando la frmula por esta razn evitaremos al mximo el uso de esas tablas. El uso de las frmulas S = R Sl i y de A = R am i implica que en un momento dadp la incgnita a despejar sea R, n o i. Por tanto, mediante ejemplos, analizaremos cada caso separadamente.

II

t

t(1 + l')n - 1 .1

a ill i

~

I

Si despejamos Ren la frmula en forma similar R = AjQnl i. Ejemplo 2

S = R Sl i se tiene:

R = SjSn i y

am i = sm i (1

+ i) -n =

(1

+ i) -n =

1 - (1

+ i) -n

tI1.\

Siendo am i = 1 - (~1

+ i) -n el valor presente de una anualidad

Una persona contrae una deuda de $500.000 para ser cancelada mediante pagots sle(rnetstralesldur1ante ?allhaos. a) Calcular el valor del pago semes raes o es ea cuar e lv or de la cuota de amortizacin). Suponga intereses del 28% C.S.

ordinaria cierta. Las frmulas anteriores fueron deducidas por una renta de $1, pero si la renta hubiese sido de $ R el valor final. o el valor pre~ente habra sido R veces mayor por tanto S = R Sll Y A = R ll.

a

Ejemplo 1 Hallar el valor presente y el valor final de 30 pagos de $2.000 hechos al final de cada mes suponiendo intereses del 30% C.M.

R= Ajali=

500.000/

1 - (1 + 0,14)-5 014

,

_ - $145.641,77

caso el total de pagos es 5 y se han hecho 2 faltan 3 ent hallamos e1va1 presente de estos 3 pagos as: . , , onces or Una tabla de amortizacin nos muestra el comportamiento de la deuda, perodo a perodo, y debe contener ms o menos 5 columnas. La primera nos debe indicar el nmero de perodos, la segunda el saldo de la deuda o capital insoluto, la tercera la cuota, que en este caso es constante y se calcula mediante la frmula respectiva, la cuarta nos muestra los intereses que se calculan aplicando la tasa al saldo de la deuda, y la quinta que nos muestra la amortizacin, abono a capital, que se calcula haciendo la diferencia entre la cuota, que es el total de lo que peridicamente paga el deudor, menos los intereses. Ejemplo 3 Elaborar una tabla de amortizacin para el ejemplo No. 2. nO

j----l~_XI I

R

R

R

___.Jt

l

Con R

=

145.641,77

x = 145.641,77

a3114%

=

338.126,60.

Los clculos dan una diferencia de O01 debid . ciones. ' o a aproxImaLos intereses los hallamos multiplicando el capital insoluto o saldo de la deuda por la tasa de inters. 338.126,60 X 0,14

= 47.337,72

Saldo 500.000 424.358,23 338.126,61 239.822,57 127.755,95O

Cuota 145.641,77 145.641,77 145.641,77 145.641,77 145.641,77

Inters 70.000 59.410,15 47.337,73 33.575,15 17.885,82

Amortizacin 75.641,77 86.231,62 98.304,04 112.066,62 127.755,95

La amortizacin es la diferencia entre la cuota menos los intereses: '

1 2 3 4 5

Ejemplo 5 ~n~persona solicita un prstamo de $1.000.000 para ser amorIza o en pagos mensuales durante 15 aos con intereses del 27% C.M. Hallar la distribu~in del pago 115 y hallar el saldo des us de haber efectuado dIChopago. p Solucin: Primero calculamos la cuota.R R R

3-5-1 Distribucin de un pago Es importante poder hacer la distribucin de la .cuota pagada entre intereses y abono a capital sin necesidad de hacer toda la tabla. El procedimiento utilizado ser explicado en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 Hallar la distribucin del pago 3 del ejemplo 3.

1I

:----'1--1:-------11.000.000=

180

1.000.000

n

Saldo

Cuota

Inters

Amortizacin R=

I

2 3

338.126,60 145.641,77 47.337,72 98.304,05

a 1801 2,25%

1.000.000 43,63456481 = $22.927,61

El inters del perodo 3 es calculado en base al saldo del perodo 2, por tanto debemos hallar el capital insoluto despus de haber hecho el segundo pago, y este saldo insoluto ser igual al valor presente de los pagos que faltan por hacer; como en este

Como queremos hallar la distribucin del pago 115 deb hallar el capital insoluto despus de haber efectuado el 114 quedan por hacer 180 -114 = 66 pagos El val p gt de estos 66 pagos es: . or presen e

er::o~

x\

I-tSaldo

R

R2------------;;:66

R

t

t

Con R = 22.917,61

X = 22.917,61 Intereses:

a661 2,25%

=

784.025,31=

784.025,31 X 0,0225 22.917,61 -17.640,57 784.025,31Intereses 17.640,57

$17.640,57=

Amortizacin: Capital insoluto: n 114 115

$5.277,04

5.277,04

= $778.748,27. Amortizacin 5.277,04

Una tabla de capitalizacin nos muestra cmo va aumentando un capital perodo a perodo y debe contener ms o menos 5 columnas. La primera la representamos por n y nos indica el nmero de perodos. La segunda nos muestra el capital reunido hasta el perodo indicado. La tercera nos muestra los intereses que en cada perodo gana el capital y se calcula aplicando la tasa al capital reunido. La cuarta nos muestra la cuota que peridicamente debe depositar el ahorrador, se calcula mediante la respectiva frmula, en nuestro caso ser constante y la quinta nos debe mostrar el incremento del capital en cada perodo y es igual a los intereses del perodo ms la cuota . Ejemplo 6 Elaborar una tabla para capitalizar $300.000 en 1,5 aos haciendo depsitos trimestrales iguales. Suponga intereses del 32% C.T. Solucin: Primero calculamos la cuota peridica

Cuota 22.917,61

784.025,31 778.748,27

Convenciones: KR= -----~ 1-(1+T)-N

300.000I

=

D*T

el nmero del pago que se va a distribuir deuda inicial tasa efectiva de inters nmero total de pagos saldo de la deuda inters por perodo amortizacin

I

D T N R S 1 A

==

Si colocamos la fecha focal en 6 tenemos:y

y

planteamos la ecuacin de valor

3000.000 = R S618% de donde R = 300.000/s131 8%R=------

R

* (1-(1 +

T)