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SISTí^IA LINEAL DE FUNCIÓN
TRANSFERENCIA ARBITRARIA
Tesis previa a la obtención del título de Ingeniero en
la especializacion de Electrónica y Telecomunicaciones de
la Escuela Politécnica Nacional.
EDISGON UOMEHO MAirTIKEZ
febrQro 1975
Certifico que este trabajo ha
sido realizado en su totali-
dad por el Seílor.
í;dísson ííomero Martínez»
Dr. Bruce Hoeneisen
PI'ÍSCTOIÍ DE TESIS.
Cuito
Febrero de 1.975
EN MEMORIA DE KI
PADRE
IV
P R O L O G O
Si bien el conocimiento de las Ciencias exactas en cier-
to modo proporciona al estudiante una arma excepcional para 011
frentar los fenómenos de la naturaleza, creo que la principal
cuestión a abordar en una Universidad, es la formación de hom-
bres concientes que cuando se enrolen en la sociedad, sean ele
mentos activos dentro del proceso de cambio de la sociedad ca-
duca en que vivimos.
Ouiero por tanto expresar un agradecimiento más formal a
quienes de una forma u otra ayudaron a mi formación como hora -
bre dentro cíe la Escuela Politécnica. A ellos mi especial mea
ción en este documento por cuanto creo que han aportado en lo
suficiente para que sea un elemento de cambio.
EDISSON :?OMEUG MARTÍNEZ.
SISTEKA LINEAL DE FUECION DE
TRANSFERENCIA ARBITRARIA
INDICA GENERAL
FAGINA
CAP1TULC- I: INTRODUCCIÓN:
Resumen general del trabajo de
esta Tesis.
CAriTTiLO II: OPTIME5ACION EXPERIMENTAL DIC
1 . Introduce ion 10
2. Línea cíe retardo Electro Mag- 10
nética.
3. Tiempo de retardo. 11
4. Impedancia carácter i stica. 12
5. Atenuación. 12
CAI'ITULO III: MODELOS TEÓRICOS D3i LA LINEA
RE PETARDO.
^íodelo teórico I 21
Modelo teórico II. 23
CAPITULO IV: f. ODOS D'iil OPERACIÓN:
Factor de- acoplamiento. 27
VIPÁGINA
bocio proporcional. 30
Modo integral•
&odo con Amplificador Opera- 32
cional.
CAPITULO V: APLICACIONES.
Filtro de un polo. 34
Filtro cíe dos polos. 37
Generador de caracteres* 39
Convolucionador analógico de 41
señales.
CAPITULO VI: MODULO C0?¡ CRISTA!. FISZi ELÉCTRICO.
Sistema de retardo* 43
Sistema de alimentación. 51
Sistema de Carga Zo 53
APÉNDICE I: MODULO DE UNA LINEA DE TRANSMI- 55
SION.
AriiNDICE II: LINEA DE TRANSMISIÓN DE DOS CON- 58
APÉNDICE Til: PfíFJkíITIVIííAS DE LA BAQUELITA. 61
63
CAPITULO I
Como es sabido, cualquier sistema lineal de dos puertos, se ca
racteriza por su respuesta a un impulso, la misma que es la traris
forjada de Fourier de la función de transferencia. Fn el presente
trabajo analizaremos un sistema, que puede tener, en principio,
cualquier respuesta al impulso dada*
SISTEMA* H
to por la ecuación di ferencial lineal de coeficientes constantes,1) j-n-j
Q o Ya Q o* Xa
"3? + ""'Tí?7'
i-n-2dxa (1.-D
Si la señal de entrada es de la forma Q. 5 la señal de sali
eju/t
, '* Q-n-i(juj) +"•••• f Qodonde r/(u>J , es por definición la función de transferencia.
Ahora bien, si en vez de tener
x, = ¡xt(«» eju; J«jj-a
^J^1 í.
JU/fc
(1.3)
la señal XP será*
x» «
- 2 -
v X, ( ) la podemos obtener por transformadas de Fourier, de tal
manera aue
= /Xiti.) 6 O*t (1 c:2 u / ^ * -
Consideremos ahora el caso en el que x, es una función impulso cf(-t)
X,•CD Jwt
* t"U)
o
J-t(1.6)
(1.7)
Las ees (X » 6) y (1.7) nos demuestran que la resr>uesta de 1 si s_
tema a un impulso es la transformada de Fourier de la función de
transferencia.
Para explicar el funcionamiento del sistema lineal de función
de transferencia arbitraria, supongamos una varilla cargada sobre
un -olano conductor, entre los cuales introducimos una placa que la
llamaremos "Placa de funciones", en la que tenemos impresa una fun,
ci.ón f(x)* Fig» 1.2
-a
ib)
-a
Kn la i?'ig. podemos observar que la varilla inducirá en la pía
ca de funciones una carga Q1 proporcional al ancho f(x,), por otra
parte, si hacemos que la varilla se desplace con velocidad v, en
el sentido de 'lfxn, obtendremos en la placa de funciones, una carga
proporcional a f(x*vt).
En el presente trabajo vamos a construir un sistema similar al
de la _Fig. 1..2, reemplazando el efecto de la varilla, por un impul-
so de voltaje que se desplaza en el sentido positivo de x, con ve
locidad v, en una. línea de transmisión., Fste sistema detallarnos en
la Fig. 1.3 y I.it
TuTt
r,s 1.3
Al introducir a la entrada del sistema de la Fig. 1.3 una se-
ñal impulso, ésta viajará en el sentido -*• x hasta que se absorbe en
la carga adaptada 2-o*
Este impulso d.e voltaje originará un campo eléctrico que indu-
cirá cargas eléctricas en lr> placa de funciones, proporcionales a
su ancho f(x»vt). Como veremos en el capítulo IV este análisis es
válido si la tensión en la placa de funciones no varía apreciable -
mente,
Del análisis anterior podernos deducir que la Csrqá. obtenida en
la placa de funciones, será proporcional a la función impresa en
ella, por tanto ral introducir a nuestro sistema una señal impulso
obtendremos como respuesta la función f(x) impresa en la placa de
funciones.
Esto quiere decir que si queremos un sistema cuya función de
transferencia es H(W)9 bastará con imprimir en la placa de funcio_
nes, la respuesta del sistema a un impulso que no es -ycra cosa que
la transformada de Fourier de la función de transferencia H(u> ) ,
ec (l'*6)t « »r)"fe?rdr Ja $eí)-a' portwe.J'0 de on tni^r^Jc»^ Cf"'9 A^J
Otro método de lograr un sistema con función de- transferencia
arbitraria, es utilizando una línea de retardo pie isoeléctrica, co_
mo el detallado en la Fig. 1.5
- 5 -
Cuando a la entrada del sistema de la Fig. 1.5 introducimos un
impulso de voltaje, éste producirá en el cristal 1 una deformación,
que al ser transmitida al cristal II, originará en él una onda, lo_n
gitudlnal de sonido, que va. acompañada por un vector de polarización
P, debido a la propiedad de los crintales piezoeléctricos,
De igual manera que en el caso de la, varilla cargada y de la -
línea de transmisión, en el presente caso se inducirá en la placa
de funciones una carga proporcional a la función impresa en ella,
esta vez debido a la presencia del vector polarización P.
Gomo rodemos observar., en los métodos expuestos, necesitamos
de un modo de obtener la. información de la placa de funciones, los
diversos modos de lograrlo se exponen en el capítulo IV, ñor otra
parte debemos anotar que dadas las condiciones físicas de los sist£
¡ñas, su utilidad está limitada a respuestas al impulso de duración
menor que el tiempo de retardo tr=rl/v de la línea de retardo, donde
1 es la longitud de la línea de retardo, y v la velocidad de propa-
gación del impulso en la línea de retardo*
Veamos ahora algunas aplicaciones de un sistema lineal de fun.
ción de transferencia arbitraria, como el de nuestro análisis -
- Tin filtro de un polo de frecuencia central fo y un factor de
TT/o Q^calidad Q, = . •*• tiene una respuesta al impulso *— A&W&ftj* t.
Bastará por tanto, imprimir esta función en la placa de fun
ciónes para obtener dicho filtro.
- Un filtro de dos polos en las frecuencias f., y f0 tiene una-Oít
respuesta al ImpUlsoC (>6ey?2lTjit + •ÓCnSTtfa.t ) y deberemos
Ahora bien, cuando construimos sistemas simples como los antes
mencionados, resulta más fácil obtenerlos con circuitos cíe elemen
tos concentrados* Sinembargo consideremos un filtro con una respues
ta de frecuencia cuadrada como la indicada en la Fig* 1.6, cuya res
puesta a un impulso es la función sámplin Fig. 1*7, entonces la me
jor manera de obtenerlos será mediante nuestro sistema.
1.6
í.í
__ "7 _
Como ejemplo elijamos construir un sistema que sea capaz d.e g_e
nerar en la pantalla de un tubo de rayos catódicos, palabras o ex
presiones de geometría propia y determinada. Para ello nos bastará
con obtener variaciones de Ion desplazamientos en los ejes "x" y !fy;
en función del tiempo, de la figura deseada y construir con ellos
una placa de funciones, los resultados obtenidos del sistema los in
troduciremos en las correspondientes entradas horizontal y vertical
del osciloseopió y habremos generado el carácter deseado.
Supongamos que caleremos obtener el carácter de la Fig. 1.8
ti4
En la fisura rodemos observar que a cada tiomno to. t-, , t^ . . ,_\_y ¿
t n le corresponde un va 1 or de ''x n y u no de !Tyf;, de e s t a mañera ~oo -
demos obtener las funciones x(t) y y(t) como en la Fig. 1.9
Si con estas señales construimoñ una placa de funciones como
la de la. Fig. 1*10, cuando sean introducidas a nuestro sistema, ob
tendremos a su salida una señal x(t) y otra y(t) que enviadas al »
horizontal y vertical de un osciloscopio» respectivamente generará
la señal original representada en la Fig* 1.8
O4.10
Otra interesante aplicación de nuestro sistema es corno convo-
lucionador ¿-.¿alógico.
De la ec 1.4 podemos observar aue
(1.8)
donde Xf («*) es la transformada de Fourier de x, (ec 1.5") y H (10) es
la función de transferencia (ec 1.2).
En la ec 1.8 podemos hacer X, (tu ) R( xo) =X,( *o) , por tanto la
donde JGt( 10) será la transformada, de Fourier de X^;y de las ec 1.
y 1.9 podemos obtener
(1.10)
... a _
esta relación cuando se la define en el dominio el el tiempo se la co_
noce como la convolucion
x2 = >:, * h (*•:) (1.11)
donde h (t) es Ir.1 t r a n s f o r ni 3 d a d e Fo u r i e r de 1 a fu n c 1 ó n de t r a n s f e
renda y el símbolo •* significa convolucion.
De esta manera, cuando tenemos una función h(t) impresa en la
placa de funciones de nuestro sis teína e introducimos al sistema una
señal x¿í)a la salida del sistema obtendremos una señal xv/igual a _•>
]-'n resumen, el sistema de función de transferencia arbitraria
se p u e de usar c o mo
- Filtro de cualouier respuesta d.e frecuencia
- Generador de caracteres analógicos
- Generador de formas de onda complejas
- Convolucionador analógico de señales
- 10 -
CAPITULO II_
OPTII'ÍISACIOrí KXPEEIMlL'.-lTAL DK LA LINEA DF. RETARDO.-
1. Introducción, - Sn el capí.tule I hemos hecho un breve análisis
de dos métodos de o b t e n e r u n s i s t e ni a 11 n e a 1 de
función áe- transferencia arbitraria, en el presente capítulo tra
taremos de analizar las características físicas y eléctricas del
sistema de retardo electromagnético como el expresado en la Fig..
2.1
• gE.i
2* Línea de Hetardo Electromagnética..- Dado que nuestro laboratorio
dispone de osciloscopios cií
ya frecuencia de corte- está en 15 KHz. o menos y un generador de pul
sos cuya frecuencia de transición es de l^IIz, y puesto que necesita
inos que el pulso cié voltaje que viaja en la línea de retardo induz-
. ca voltaje en los caracteres de "'oás alta frecuencia, hemos constru_L
do corno primera aproximación una línea de retardo de las siguientes
características
Longitud
Ancho
N. de capas
Alambre
U) del alambre
cn
/V° zfO
- 11
-
los resultados experimentales de la línea se anotan a continuación
°£ - l/i.?6 "*%7 (con las placas de tierra sobre el alambra
-2o - 10 k jo.
adernás podernos observar una gran distorsión en el pulso que apare-
cía a la salida do la línea.
Corno podemos observar, estos resultados nos obligan a sacrifi
car en parte el tiempo de retardo para conseguir una menor atenua-
ción de la señal, causa por la cual construirnos una segunda línea
con las siguientes características
M\e espiras = 2..570 espiras
= 2.5 crn.
— 15 cm.
=- 1
« XV"40 AWtí»
~¿Lde alambre = 10 T mt
los resultados obtenidos con esta línea son los siguientes
o¿ = 3,3 r?e%y ( a 15 mm de la Capa de alambre)
3.3 k ¿*-
f
» Tiempo de retardo,- La línea ue vamos a considerar es la de la
^F/g2.3
- 12
"%*™%ZL*,n*S0-n. 7T77Í
K.JOL
lAli r
O&ClíOSCOP.
H.P. WQ-C
Uft£A
A*&°
Si en una línea de transmisión cualesquiera que está terminada
en una impedancir? distinta de su impedancia característica, Introdu
cimos un pulso de voltaje a su entrada, ésta se reflejará en los ter
mínales de salida y retornará hacia la entrada. Es obvio que la di
ferencia de tiempo entre la serial de entrada y la onda reflejada se
rá el doble- del tiempo de retardo. Este es el procedimiento de medí
da expresado en la Fig. 2.íf Resultado Fig. 2.7
¿f. Impedancia Característica.- Con el procedimiento descrito pode-
mos evaluar también la impedancia ca
raeterística, puesto que la impedancia característica será el valor
de impedancla colocado a la salida p-ra el cual la onda reflejada
sea mínimo o cero. Resultado Fig. 2.8 para ds O
5* Atenuación.- Para medir la atenuación del sistema utilicemos el
circuito de la Fig. 2.5
ftsrrAftpo
CUÍ Ctt.2.
- 13 -
Mediante el procedimiento de la Fig. 2.5 podemos obtener una
relación entre la señal de entrada y la señal de salida, la misma
que nos determina la constante de atenuación.. Resultado Fig. 2.9..
para d «= 1. 5 aw.*»*•
Debemos por otra parte recordar que los parámetros de la lí-
nea de retardo varían al cambiar las dimensiones físicas de la lí_
nea y con ellos las características electromagnéticas del siste-
ma de retardo (Ver apéndice I) causa por la cual resumimos algu-
nos de los resultados de la.s mediciones en función de la distancia
bobina tierra nd" en las fig.. 2.6 y 2.7
Otro procedimiento para evaluar la atenuación es colocar en
el sistema ya concluido una placa de funciones cuya señal o seña-
les no tengan atenuación. De esta manera introduzcamos una placa
T i- l¿f -
como la de la ft g.l y observeraos la señal a la salida» .Ft 2*2 cuan
_do el sistema es alimentado por un iHpulso»
2.2
en la Ft. 2,2 podemos observar que cuando el impulso está en el in:L
ció de la placa de funciones, el resultado es l.^dlv^ clones de ampl:L
tud mientras que a la salida es aproximadamente 0.6/5diviciones, por
lo tanto- «K o.zr
= O.6T5
- - 3 . /S
E» /a
/* ,"f i o ?.// se resumen lo> resalíac/oa Je es/í
-ir oos
OUÍ ki.* P OjUOa
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0 0 0 0 0 0 0 0
o o o o o o o o/A/^o o o o o o o o o o
7
PLACA DE TIERRA
3 A Q U E L I T A
3ACXUELITA 303INADA-
3AQUELITA
PLACA DE FUNCIONES
PAPELPLACA DE T IERRA
Fig. 2.11
longitud de la línea = 25 cm.; ancho de la línea = 15 cm.; d = 1.5 mm.;
- 0.1 mm.; diámetroTflel alambre = 40 AWG; atenuación = 3.3 nep/m; im-
p o ^ n n r i a característica Zo = 3.3 Ka.; tiempo de retardo =
CAPITULO III
Modelo Teórico j. .. - En este mo d e lo vamos a c onsi d.er ar qu e el c o ndu£
tor de la bobina de nuestro sistema de retardo
está entendido en toda su longitud, sobre un plano conductor en un
dieléctrico de permltividadg^ entre ellos como lo indica la FIg.. 3*1
.= 4.0 f
OL
-
Este modelo lo analizaremos en base del estudio realisado en
el apéndice II para el caso de conductores par -líelos, míe sto que el
plano conductor de la Fig. 3-1 proporciona un plano de ref re xión ,
que nos permite considerar p^ra el análisis el conductor y su ima
gen.- Sinembargo puesto que el análisis del apéndice II obtiene las
relaciones de capacidad e Induc táñela para una distancia b entre
conductores tenemos que realizar la corrección correspondiente de
un .factor de 2, debido a que la distancia entre el plano y el con.
ductor es b/2 de tal manera que de 2»¿f yA^.7
c -
I -L -
= IN
..?, ALIO
_Lc.
... 22 -
las ¡üishias que para el caso de I? muy pequeño, <5-o se reducen a
donde
L - Irtduct ancla por u n i d n d de longitud
C - c apac i t a n.c i a por uní d a d de 1 o agi tud
^ o - iuroe dañe i a c ar ac t e r í s t i c a
¿* - constante de atenuación
.Área a. el co- . A-
G = conductancia ñor unidad de longitud
Xf - permeabilidad magnética del medio ( baquelitaarl ~¡í //<> )
^ = permití vi dad dieléctrica del medio ( baquelita= ¿f . 3 6 o )
tr - tiempo de retardo
& - 1 o n g i t u d. d e la línea del s i s t e m a d. e r e t a r d o
<x - r a d i. o del c o n el u c t o r
b = d i s t a n c i a e n t r e c o n d. u c t o r e s - 2 d
d =• distancia d. e 1 c o n d u c t o r al plano
Los datos numéricos que vnmos a utilizar en el cal cu], o son los sj_
suieiltes * d.
P'
ramos a continuación «i
- 2-3 -
cL
-,JÍ 0
c<
*
MODELO I
*11.409 nF/m
*167.95 /yH/m
121.2 ,n_
, *0 , 3397 ncp/m
5,54 y</ seg
MODELO II
¥482,62 pF/m
• •*7.49 mN/m
3.95 ka.
•3.5B3 nep/m
7.6 A"seg
EXPERIMENTAL
'V
! 475,8 pF/m Cuadro A3.ÍFila 1
tr4,94 m!!/m
3.3 KÍX Fig. 2.8
3.3 nep/m^ Fip;. 2.6
2.3 //seg Fig. 2.7
Todos los valores son por mctlro de linea fie retardo.
CUADRO 3.1
Kodelo Teórico II.- En este modelo tonr;-remos on cuenta el valor de
inductyncia de ln bobina del conductor central,
de la linea de retardo, asi corno, la capacidad que existe entre
las caras de la bobina y las placas de tierra, tal corno lo explica
la fi£. 3.2 , 3-3 y 3-;-:-
O ^ O O O O O G G
OO0OGO00
^
• 77
En la Fig, 3-2 henos considerado un corte transversal de nues-
tro sistema de retardo, en ella rodemos observar que existen dos ca
pacltancias de los conductores a tierra las irr'smas que están en pa
ralelo y se si^bolizian por C en la "Fig. 3./f. Fn la Flg1. 3*3 hacernos
notar la consideración hecha en nuestra línea de retardo, es decir
que los conductores de la bobina forman las ni a cas centrales désele
Ci- ~jr (a-aiy por tanto
que pase por dentro de la bobina y que tenga una longitud "1M.
Es evidente que la densidad de flujo magnético B dentro de la
bobina tendrá algún valor, puesto que siendo la bobina de longitud
infinita, todas las líneas de flujo estarán sola/mente dentro de
ella, mientras que la densidad de flujo magnético fuera de ella -
por la misma razón será cero* De esta manera
(3,5)
donde
B » densidad de flujo magnético
= flujo magnético
s * área por la que atraviesa el flujo magnético
n = nú m ero de e s p i r a s por unid a d de Ion g i. t u el
puesto que la inductancia se define por
*n— i ¿_ ~ y-Z
Los datos numéricos empleados para el cálculo de los distintos
parámetros son .>
001673
//, sr 4^¿~
- 26.
*//
5 =¿ = /. 5"
r-
Los resultados se expresan en el cuadro
- 2? -
CAPITULO IV
En el capítulo I hemos discutido en forma rápida, el procedi-
miento para lograr que nuestro sistema de tenga una función de trans
ferencia arbitraria y hemos concluido que 4En la placa de funciones
se induce una c^rga proporcional a la función impresa en ella.
Factor de Acoplamiento -. Antes de analizar los distintos modos de p_
peración, estudiemos en que proporción del
Si a la entrada del sistema introducimos una señal como la de
la Fig. ¿f.3, después de un tinnpo t1 la señal habrá recorrido una
OO- ¿o -
es ls velocidad de la onda en nuestro sisteme de retardo y A"t es el
ancho del pulso de la Fig, ¿1.3. También existirá, en consecuencia
un campo eléctrico que cae sobre la. placa de funciones en el área
A --
f=,s 4.3
Puesto que la bobina es de alambro muy fino (:#¿fO,
y las espiras están colocadas una junto a otra, podernos considerar,
para el análisis, como que la bobina, son dos placas como las expli
cadas en la Fig» ¿u¿f y ¿f..5
29
U I I I lUJJ
T.<? 4.S"
En las Fig. ¿¡../f y ¿u .5 es fácil deducir que existe tres tinos
de capacidades conectadas como en la i?ig. ¿u,6 definidas como sigue
C-. - capacidad del trozo Ax de 1:? bobina a la plnca de funciones
G^ = capacidad placa de funciones-lugar de potencial cero de la bolxij
na
Donde hemos omitido l^s capacidades Bobina-tierra por cuanto no tie_
nen influencia, en el cálculo del factor de acoplamiento.
v,
777T TnTf
SAL/DA
Representemos estas capacidades en función de sus caracteríeti^
cas físicas
Ci =: —
C:
<£,- 30 „, +&x/y
ft*i<f*'J77 /- 3)
ñor otra parteOV
cíe tal manera que
v, '_**-**/•*.
f ***£( ñ~£7
lograr que la relación ¿u 5 sea máxima» Para lograrlo hemos hecho
sea mínimo (tornando un dieléctrico de papel £r= 2.99) Y
que Axf(>:( ) sea máxima (hemos escogido una función paso para que A.X
sea máxima ) „
MODOS DE OPILACIÓN. -
Modo proporcional. - El circuito equivalente de la. Fig. ¿f.6 indica
aue la salida riel sistema se encuentra en para
lelo con los capacitancias • Cp y 03 . Conectemos esta salida a la -
entrada de un amplificador de alta impedancia como el de la Fig. 4.7
oHh-f
"Rin -»•
3V
s—wv-e
-r
SIST£riAAMPJ.I
000.
SM-infin
- 30 -
La impedancía de entrada de este circuito deberá cumplir con
la relación
para las frecuencias de .interés
de esta manera por la ecuación 4*5 el voltaje a la salida del sist£
¡na esV, = K
y la señal de salida será una función proporcional a la función im
presa en la placa de funciones y. cuando la señal de entraba ^ un vtnipvAs>o
Modo Int egral»- La indisponibilidad de un generador de impulsos ade_
cuado nos llevó a usar el generador de ira "pulsos PUL
SE GE-íERATOR HEULETT PACKAKD MODVL 21¿fA el mismo que genera un
pulso aceptable desde O, l\ />eo que significa que éste ocupará algo
más de 4 centímetros de la línea de retardo.
Un ejemplo del pulso generado por este generador es el mostra-
do en la Fig. 4.8
este resultado nos obliga a pensar. una solución para cuando se tra
baja con un pulso cuyo período es muy grande .
Supongamos que a la salida del sistema equivalente de la Fig.
¿t.6 introducimos una resistencia de valor muy peoueño que cumpla
con la relación
nara las frecuencias \jj de interés
tonces el circuito equivalente será
1ENTRADA
SALIDA
(4.1o)de esta manera cuando a la entrada del sistema introduzcamos una s£
nal paeo/fCi) cuya transformada áe Fourier es
\AM= Í/RC.)
= e- t /RC.
Con Amplificador Operacional. - Otra solución es utilizar un araplifi_
cador opcracionel con una alta impe-
dancia de entrada y de voltaje de entrada aproximadamente nulo de -:-
tal manera que los efactóey de, G,, y 0^ se reduzcan a valores despree. • • —,
- 33 --
donde
y por tanto
C\^ i V,d*
si a la entrada del sistema introducirnos una señal 5s**te V"
como la de la Fig» -.11
<S(t)
entonces la ecuación 4.17 será
cT(t) -
y/, =
-i I/, • '8)
donde C-, es proporcional a la función impresa en la placa de fundo.
nea.
el circuito del amplificador o per ac i o nal es el siguiente
» v*!t>r«s KA-
- 34 -
CAPITULO V
APLICACIONES.
Guando tenemos un sistema lineal cuya función de transferencia
es arbitraria, pode ¡nos hacer que el sistema se comporte como desee;
mos con tan solo cambiar la función de transferencia, o respuesta a
un impulso.
Sinernbargo puesto que nuestro sistema tiene algunas limitacio-
nes como son -atenuación (3. £***$&) 5 tiempo de retardo (2-3 ¿* **Q )
construcción física blindada que origina frecuencias de resonancia,
las aplicaciones se reducen a. aquellas cuya función cíe transferen-
cia tiene una transformada de Fourier do período menor que el tiem
p o de r e t a r d o , y c u y a s res p u e s t a s de f ' r e c u e n c i a s e a n m e n o r e s que la
frecuencia de resonancia del sistema. Otras limitaciones se verán
conforme tratemos las diferentes aplicaciones.
Filtros de un Polo, - Supongamos que queremos obtener un filtro de"" """ "" ~ ..... * ....... " --¿t f .
Inf4\- & Sen 2T7foXun polo de respuesta nllj - *-
cuya frecuencia central es fo y cuyo factor de mérito es 0.
Como se indica en el capitulo 1 , un filtro cuya respuesta do
frecuencia tiene una frecuencia central fo, tiene como respuesta
"(""J
con el fin de comprobar esta afirmación obtengamos la transformada
de Fourier de ttHJque llamaremos nO-u)
H
(t?i U)* U)» lo
cuyo módulo máximo está en u , A
por tanto
> £ f'
y los nú n tos de ni e di a ampl i tu d en ( 5" 5" )
¿V* /?-«-'/ « &* -/2
donde (x 1 y 2. son las frecuencias ang'ulare/en los mintos de media
am p 1 i t u d , como lo i n d i c a la Fi g . 5.1, d e t a 1 m a ñera que
J2&.
siendo O el factor de mérito y fo la frecuencia central de la res-
puesta de frecuencia del filtro.
- 36 -
función H (*) deseada impresa en ella, como la que se muestra en la
fotografía^!.
como podemos observar en la it. 5.1 las señales "Sinusoidales
impresas no tienen atenuación por lo tanto la constante de atenúa.
ción oC será la misma que el sistema es decir 3-3 ne.p/9ff.
Con el fin de observar en el osciloscopio la respuesta de fre_
cuencia del filtro construido, hemos utilizado el sistema de la -
Fig. 5.2
0¿¿/¿0*CO^/O
HKQ.T SU701\ -*1 «
y 4BT»lE
^ T»v
j
K.AOoa 06
l«.rrtdowc. (UjTILUMVU^1 OWT
>
OUT S 1 S T£- M 0
f O
5.2.
La Ft ' * 5.2 muestra la respuesta de frecuencia del filtro di
2.4 MU* en la que cada divición corresponde a 0.5 /v//2
ft
piltro de dos rolos.- un el caso de desear un filtro con dos
polos será suficiente imprimir una pla-
ca cuya señal impresa sea la suma dj dos señales sinusoidales,
como muestra, la iH.5.3
utilizando el sistema de la ig. 5.2 heñios podido observar
la respuesta de frecuencia de la tft. 5 «4
í¡n la l''t. 5.5 hemos (:uerido lir.cer notar, uno de los pro-
blemas i ue enrrent-mos dadac las dimensiones físicas de nu-
eGtro sistema.
Gomo sabemos , la respuesta al impulso de un filtro-Dct
de un polo es Mi) = t (wn¿rrjt-L)y estas continúan lv st. el
t = oo sin'.vrnbargo en nuestro sistema tenemos por tan solo .,
t — 2. 3de duración <vue es el tiempo de retardo del
sistema
/t 5-. 5-
Fste resultado puede ser expresado matemáticamente como el pro
ducto de h( t ) por una. función Gate 61 U} con periodo £ = 2-3 /^J<SS
y amplitud. Unidad corno lo muestran las Fig. 5.3, 5.¿f y 5,5.
ío 5.5"
cuya respuesta de frecuencia es la convolución de las transformadas
de Fourier de las señales multiplicadas que en el caso de un filtro
de un polo es la convolución de la respuesta de frecuencia del fil
tro con la transformada de Fourier de la señal de la Fig. 5.3 que
es una samplin, esto es;
= H San
- 39
U>0
5". 6
que en el caso de un filtro cíe dos polos tiene el resultado mostra-
do en la l?t . _5.5
Generador de Caracteres»- "En el Capítulo I hemos realizado un bre-
ve 'estudio para cuando deseamos generar
un carácter cualesquiera en un tubo de rayos catódicos y hemos con
cluido que para ello necesitamos generar las funciones x(t ) y y(i}
del carácter deseado.
Por otra parte sabemos que si a nuestro sistema introducimos -
un escalón de voltaje, en los terminales de salida obtendremos la
señal impresa en la placa de funciones. Característica que nos per-
mite obtener cualquier señal con solo imprimir su forma en la placa
antes mencionada.
Sea nuestro carácter la palabra "resn como la mostrado en la -
Fig. 5-9 cns la misma que podemos obtener las señales y(-t ) y x( *t )
que se muestran en las Fig» 5.10 y 5.11 en línea de puntos.
Puesto que nuestro sistema introduce un factor de atenuación
2 donde ¿X = 3.3 *12JP debemos corregir las curvas de IPS Fig. 5*10
tiplicando la linea de puntos por Caf-t
<S£IXERADORDE
IM'PUSOs
n2 S/5T£rfA 2 *(^)
OSC1LO1C.
t. -ti
•tía
I/-GP-t«
/ ./ /
-io
-taz
-ti.*
/
/ / I
?-t¿
* ¿ /
^
~y°¡
/ 7-"-
*~¿
//
/
•65-1
°v
.o
\,
\ ' '
\n
DO ff
fat*
.
9-5
»J*/>
"••*
'•">•
«*>„
5»-f
c H
-o—
- ¿fl --
Convolucionador analógico cíe señales» - Como quedó demostrado en el
Capi tu 1 o I cu 3 n rl o i n t ro d u c i_
mos en el sistema una señal x, (~t ) Ir señal que obtenemos a la sa
lida es Y--¿ ( ~L ) y la relación matemática que las relaciona es
x*U) = *, U) * h{-0
donde h(-t) es la transformada de Fourier de la función do transfe •
rencía.
Por lo tanto bastará imprimir una placa de funciones con una
de las señales a convolucionar e introducir en el sistema la según
da señal y a la salida del sistema obtendremos la convolución de -
1as dos señales.
£8
nica, éste responde con una onda eléctrica que se propaga con la
velocidad del sonido a travéz del cristal..
En la Fig* 6.1 mostramos el modelo teórico sobre el cual rea
lizaremos nuestro estudio*.
1
11I
X
L
1
' — *
t 6.2.
5.8
MODFLO CCTT CRISTAL FIEZOKLFCTRICO
Sistema de Retardo.- Con el fin de reducir el tamaño de la línea
de retardo y por tanto del sistema de nues-
tra consideración, pensemos en las posibilidades* que nos "oresenta
un cristal pie zo ele ctrie o.
Cuando a un cristal pie30eléctrico aplicamos una fuerza iTiecá
nica, éste responde con una onda, eléctrica que se propaga con la
velocidad del sonido a travéz del cristal,
En la Fig* 6,1 mostramos el inod.e 1 o teórico sobre el cual rea
usaremos nuestro estudio*
T/.Í 6.2.
Debido a la presencia del amplificador operacional, la dife-
rencia de potencial entre la placa de funciones y tierra es prác-
ticamente despreciable causa por la cual el presente análisis lo
haremos en base del vector polarización P.
.- ¿fú-
tales piezoeléc trieos que se conocen . pertenece al sistema exago
nal, con un eje de simetría corno el mostrado en la Fig» 6.2, que lo
llamaremos eje M5rM.
Ti =A 5L -1 J
r O KJ i j &VY> (' E xn'•y fj •*• fe- j
donde I i = tensor de tensión : £vrn =•j j *j
Si - tensor deformaciones
X-w = tensor intensidad de campo
J * - tensor polarización
*
*- wy r matriz de constantes piezoelcctricas
niatriz de constantes piezoeléc trie as
de la ees (6.1), y (6.2) son;
XLi í —
"C,.C,2
£/ac^oo
oo
C,*¿r//C/3
- O«oo
-^0
¿>
CaC/3C»3
O
O
O
o0
C_ / í
~* ¿- /
oC^voo
J»oo
ooooC**C/v
o- £fV
o
o
ooo
Ci4C/^ - C"'*
o-^ £///
o
w/' ~ ¿//»x-"
(6.1)
(6.2)
w/ ,
r¡ -definamos ahora los tensores cíe tensión y deformación como
/x*
/y *
T7 /// /6 / ff
rff T7/ »
dónele los sub-índlces de la matriz del lado izquierda significan el
primero la dirección de la. tensión y el segundo el eje normal a, lo
cara en la que está aplicada la tensión de tal manera que ly* s_e
rá la tensión explicada en la Fig. 6.3
\-
n-&>-
,4 6.3
por condición de niomcnto rotacional igual a cero podríamos demos-
trar que 7y* =• / *y(6.10)
3f
Sé/2 $*
$«/.
Sr2.
clónele los subíndices indican el primero la dirección de deformación
de la cara cuya normal señala «1 segundo.
Los factores de las ecuaciones (6.8) y (6,2) se refieren a las ma-
trices del lado derecho de las ecuaciones (6.9) y (6.ll)
Por la ecuación (6.2) podemos ver que el vector polarización
puede estar en cualquier dirección, por esta razón, débenos obtener
un cristal cortado cíe tal manera que se origine un vector polariza-
ción transversal y que a la vez sea máximo.
Supongamos por tanto que realizarnos un corte con un ángulo res_
pecto al eje z igual a <* corno se muestra en la Fig. 6.A*
:plf 6.c¿
En la Fig. 6»^ se muestra que el giro de un ángulo °¿ desde
el Eje ^ puede representarse como un cambio cíe ejes coordenados
de ( y- , <á , Z ) a ( *' , y' ,¿') los mismos que están relacionados por
IX
S1
.*' „
5
-¿,«**C O - ¿«W
c i ó
*•
—X
*_ * _
(6.12)
el onde (R) es 1 a matriz transformación
en el caso de una transformación tensorial
donde (P) significa la matriz transpuesta de (!R)
Tsupongamos ahora que realizarnos una deformación en el sentido del
eje " E1 en una cantidad por unidad de longitud £ 5 por lo tanto
1 - ' <í * S ' <T '
S3' *<£ (6.17)
y el tensor deformaciones en el sistema ( x' (*j '^ 'Jostará dado ^or
la matriz
(6.18)o o o
0 O O
O 0 £
- Oí"
r i
T
- if8 -
" cuíX £? se»?*
o * 0
- ,S«n¿c o c¿>5«
o o o
0 O O
o o £
c^t <*, o — » e-w •£
o r <P
a«rf ¿ac. o cofaí
«5 3<7ja^ c> ^ ae-n« coi-x
0 0 °
£ ¿es* í*«of o £ <^»x^
" J-c
(6.19)
reemplazando (6.3) y (6.19) en (6.8)
sen
Tz =
-77
-pr =
£> O
/*•* " * C/t"
Ctt
(6.20)
reeianlazando las ecuaciones (6.20) y (6 .^ ) ^f (6.7) er> (6.2)
(6.21)
(6.23)
— ZiQ
debemos ahora retornar al sistema (y ,^, 'Z1} con el fin de hacer raá
xirno el vector polarización transversal, esto es
p.'p,'
p,Pz
(6.23)
de tal raaaera que reemplazando ( 6.22) en (6.23) tendremos
f - ¿f I" f C u - C » * ) « i i i •+ Cv ^-í
A <* ' <T/V J
cuya componente transversal estará dad,?, por
(6.2?)
ot co r¿* -*
de tal manera que, para que se cumpla la ec 6.28
4 (fV*-M*) se*i *<* 4- 2 W
donde <r^c ¿i - * . - 9 .
(6.28)
(6.29)
M -
CU =
loor tanto la ec 6. 29 será— . -O
(6.30)
de donde ¿* =
(6.3D
rización en el Eje de coordenadas (X ; *j ,? dadas por la ec 6.24
80-86 (Ó*
ahora estamos en condiciones de determinar el ángulo para el cual -
no existe más que una componente transversal del vector polariza-
ción y será el ángulo de la resultante de los vectores polarización
transversales, como lo muestra la Fig. 6.5
6.6
donde x , y f E son los ejes cristalográficos del cuar
T~1 • f "1i115-, 6.2
Sistema de Alimentación. - El a n á 1 i s i s d or-1 s i s t e m a de r e t a r d o lo h e - -
¡nos hecho considerando que producimos una
deformación <f en el sentido del Eje Zr a lo largo del cristal, c£
m o lo rnu e s t r a la e c 6.18 * tf n consecuencia d e b e m os c o n s t r u i r u n sis-
tema de alimentación que al introducirle una señal eléctrica
ca una deformación física, esta condición la satisface un cristal
piezoeléctrico, que para nuestro análisis será también de cuarzo.
(6.33)
A = X''* ' f •*• Jf ' r* 7** "»
J*
¿»//
(6.34)
que son deformaciones longitudinales en el sentido de :< y de y res-
pe c t i v a. m ente. En e s t a s e c u a c i o n e s p o d e ni o s ver que el c ? m p o q u e tí e b_e
mos producir es en el sentido de las x, cnusa por la cuf?l podemos _e
legir la configuración de la Fi.g. 6.7 para nuestro sistema de ali-
mentación.
rm
donde para producir el campo eléctrico en el sentido de x utiliza
mos dos placas que las llamaremos "placas de tensión" , en las quí
aplicamos una diferencia cíe voltaje*
- 53 -
Sistema de Carga 2o .- Al igual que 1? linca de retardo elcctroma£
nética en la linea plezoeléctrica n-'.cesita-
nios acoplar al sistema con una carga tsl, que elimine las ondas f-e
$lej3cÍ3$ ., o lo que es lo mismo, absorba vibraciones mecánicas y
de sonido r existen algunos materiales que cumplen con estas condi-
ciones, p a r a nú c s t r o m o d e 1 o teórico m e n c i o n E >.r e m os 1 a. cera.
CJ
í
e
'-'UPO «— — -w
. 1.1 Ci, =
1
"- 61 A* :
. flflV TW
ri ~*i
t^ . . - ÁX — . ta-í
- 'L¿
: ,
L * I n d u c t a n c i a por u n i el a el el e lo n £ i t u el
£ - Desistencia por unidad de longitud
C- = Capac i da el por uni d ad de longi tu el
*-* ~ Concluc táñele, por unidad de longitud
F n e 1 pu n t o b tí e 1 c i r c; u i t o e q u i v a 1 e n te te n e m o s u n a c o r r i en
J Ax. y una diferencia de potencial €2 * L ^e/0x J^x de tal
manera núe
eix
A 1.1
A 1.2
¿y*
4^d*
J t¿>L)¿
- 56
A 1.5*. ¡f * •*• j «*yt
A i . 6
f j. i 2
A 1.
5* - . f < 3 « ••• J w i c X E + J ^ L ) A 1.8
A 1.9
donde ¿¿ y jí son reales y /S>o para que la. solución ensayada r
prese n t e u n a o n d •= que se propaga se g un
fi .
En u n ni e d i o n o c¡ i s p e r s i v o 1 a c o n s t a n t e de fase fó es propor-
cional a. la velocidad de fase ¿// - W/& y ésta es igual a la velo-
c i d a d d e p; r u "n o uo == ¿^ , y oí t i e m -o o de r e t: i r o ser á
57 -
ir = ( A.13
t
- 58 -
sistema que vamos a analizar es el de la Fie;. A 2»!
Elijamos una área de Integración cilindrica alrededor de uno
de los conductores como en la Fig. A 2.2
A 2. 2.A2.1
X
•C = l o n g i t u d d e 1 c o n ductor
£ - intensidad de campo eléctrico
T - distancia a la que consideramos el campo eléctrico
¿L - per mi ti vi dad de inedio
<?r = vector unitario en coordenadas cilindricas
59
•6C
V *
i / - JL, A? -^"-g-
.y la capacidad por un idad de longitud entr
*X TTéo
A2.3
¿T "V
Duesto que a. ¿_<L
A?
rr A2./t
donde H es la intensidad de campo magnético y su valor para el ca
so de la figura queda determinado por
: iirr A2.5
que
77 O.
y puesto que
ra.
Sumando la inductancla intorna por unidad de longitud de-; cada
conductor se obtiene ls Induct ancla total por unidr-id de longitud
de la línea
?/* %. #I =2 7*-— -\- —^~-— A, PL / *fr
con el fin de justificar el segundo término de la ecuación realice_
rao s el siguiente anal i si s
¿¿,
la corriente cue atravieza el conductor r?or una sección de radio V
S 77a?
A2.9a
-
- 61—
APÉNDICE III
Para este estudio práctico nos basaremos en la definición de
permitividad
donde g = permití, vi dad del medio
£ - capacidad entre las placas
A = área de las placas
O - distancia entre las píricas
W7T
3
C
375 cm
375 ¿rw3
60
610
son
^ 4.36
34.2 5"