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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

Comportamiento Cualitativo de Sistemas PlanaresPráctica No. 3 Lab. de Control Avanzado Sem.: 2014-I

Diseño: Jesús David Avilés Velázquez

Objetivos

I. El alumno analizará el comportamiento cualitativo de los sistemas planares alrededor de lospuntos de equilibro. Aplicará el método de linealización de Lyapunov al sistema de segundoorden del péndulo simple.

II. El alumno examinará y observará los diagramas de fase y las respuestas del estado en el dominiodel tiempo del péndulo simple, mediante la aplicación pplane y el editor de Matlab.

1. Cuestionario previo

Conteste las preguntas siguientes:

i.- ¿Qué significan los puntos de equilibrio de un sistema dinámico? ¿Cómo se calculan?

ii.- Menciona el concepto de los sistemas dinámicos planares.

iii.- ¿Que representa una trayectoria en el plano de fase? ¿Qué es un retrato de fase?

iv.- Describe el método de linealización de un sistema no lineal.

v.- Explica el concepto de un punto de equilibrio hiperbólico y relacionalo con el método de linea-lización de Lyapunov.

vi.- Enuncia la transformación de una matriz A a la forma canónica de Jordan (ver (Chen , 1999)).

2. Desarrollo de la Práctica

Considere el sistema no forzado del péndulo simple, que está conformado por una barra unida a unpunto de masa (ver figura 1).

Figura 1: Péndulo simple.

ΣN :

x1 = x2

x2 = −K1x2 −K2 sin(x1)y = x1

(1)

El comportamiento dinámico del péndulo simple está representado por el sistema no lineal ΣN

(Sastry , 1999), donde el estado está determinado por x1 = θ es la posición angular de la barra yx2 = ω es su velocidad angular. Adicionalmente, el sistema cuenta con un encoder que mide laposición angular de la barra del péndulo. El parámetro K1 es proporcional al amortiguamiento de lafricción y K2 es un parámetro asociado a la longitud del péndulo.

Departamento deIngeniería Eléctrica

1




Los puntos del equilibrio del sistema no lineal son:

xe1 xe2

xe =

Cuadro 1: Puntos de equilibro de ΣN

Aplicando el método de linealización al sistema del péndulo simple no forzado ΣN alrededor delpunto de equilibrio, que está ubicado en el origen, se tiene el sistema linealizado

ΣL :

xδ =

xδ, xδ (0) = xδ0

yδ =[ ]

xδ,

(2)

donde xδ = x− x0.

Actividadesa.- En Matlab crea un archivo titulado pendulo.m y desarrolla los modelos dinámicos del pén-

dulo simple ΣN y ΣL, mediante el método de Euler utilizando un tamaño de paso de 0.333 y untiempo de simulación de 20 segundos. Compara cada una de variables del estado de ΣN y ΣL

en un gráfico.

b.- Visualiza las respuestas del estado en el dominio del tiempo para los sistemas referidos, con-siderando los parámetros que se encuentran en las dos primeras columnas de la tabla 2. Analizala estabilidad de ambos sistemas ΣN y ΣL considerando el primer método de Lyapunov, el delinealización.

c.- Simultáneamente, analiza y observa si las trayectorias del diagrama de fase, alrededor del puntode equilibrio xe = (0, 0), para el sistema no lineal ΣN coinciden con las del sistema linealizadoΣL. Usa el comando plot de Matlab en combinación con la función quiver para visualizarlos diagramas de fase del sistema ΣN y ΣL del péndulo simple.

d.- Ejecuta el programa pplane.m en Matlab e incorpora los modelos de ΣN y ΣL para corro-borar los resultados del punto anterior. Examina las opciones complementarias que tiene esteprograma.

e.- Calcula los valores característicos y la forma de Jordan para la matriz del sistema A, contem-plando los valores de K1 y K2 de la tabla 2.

Recomendación: para los incisos (b) y (c), indaga el método de linealización (indirecto) deLyapunov y el concepto de punto de equilibrio hiperbólico (ver adicionalmente (Khalil, 2002;Zak , 2003)).


2




Parámetros Valores propios Forma de Jordan Tipo Punto de Equilibrio / EstabilidadK1 K2 λ1 λ2 ΣL ΣN

9.81 2

−9.81 2

9.81 −0.1

−9.81 25

9.81 25

0 25

2 1

−2 1

9.81 0

−9.81 0

0 0

Cuadro 2: Parámetros y comportamiento cualitativo del sistema ΣN y ΣL .

Es preciso mencionar que algunos valores de K1 y K2 de la tabla 2 no representan algún sentido físicopara el sistema del péndulo simple; son presentados para visualizar los diferentes comportamientoscualitativos de los diagramas de fase.


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3. Contenido del Reporte

El reporte incluirá tres aspectos principales: (i) introducción, contendrá una descripción del tema quese ha desarrollado, considerando la respuesta a las preguntas del cuestionario previo. (ii) desarrollo, seexplicará minusciosamente cada uno de los puntos que han sido tratados en la presente práctica, y (iii)conclusión, se realizará una crítica de las cuestiones primordiales en esta práctica. Adicionalmente,en el apartado de apéndice, que estará ubicado al final del reporte, se colocará el código del archivode Matlab utilizado en la práctica.

Referencias

C.T. Chen Linear System Theory and Design. Oxford University Press, Third edition, 1999.

H. K. Khalil Nonlinear Systems. Prentice Hall, New York, USA, Third edition, 2002.

S. Sastry Nonlinear Systems. Analysis, Stability and Control. Interdisciplinary applied mathematics, Systemsand control, Springer, 1999.

S. Zak Systems and Control. Oxford University Press, First edition, 2003.


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