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Serie AmoxtliCon un enfoque integrador

JOSUÉ ESPINOZA RANGEL

Prohibida su reProducción

Geometría Analítica

Primera Edición 2020Copyright © Delta LearningISBN: 978-602-070-921-7Impreso en MéxicoContacto: 800 450 7676

[email protected]

Todos los derechos reservados. Ninguna parte de estas publicaciones puede reproducirse, almacenarse en un sistema de recuperación o transmitirse de ninguna forma o por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabación o de otra manera, sin el consentimiento previo del editor, incluyendo, entre otros, en cualquier red u otro almacenamiento o transmisión electrónica, o transmisión para aprendizaje a distancia.

Editor en jefe: Zito Octavio Alejandre Rosas

Autor: Josué Espinoza Rangel

Correctora: Samantha Pérez Durán

Diseño: Gabriel de la Rosa y el equipo de Argonauta Comunicación

Imagenes: Adobe Stock

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PARCIAL 1

Elementos de Geometría Analítica

Sistema de coordenadas en el plano cartesiano • Plano cartesiano• Sistemas de coordenadas rectangulares• Distancia entre dos puntos• División de un segmento en una razón dada• Punto medio de un segmento

Lugar geométrico básico: La Recta • Pendiente y ángulo de inclinación• Condición de paralelismo y perpendicularidad• Ángulo entre dos rectas• Formas de la ecuación de la recta• Distancia de un punto a una recta

8

141515161921

262728323540

Pág.

PARCIAL 2

Reconocimiento y construcción de los lugares geométricos: Circunferencia, parábola y elipse

Lugar geométrico básico: La Circunferencia• Elementos de la circunferencia• Ecuaciones de la circunferencia• Aplicaciones de la circunferencia

Lugar geométrico: La Parábola• Elementos y características de la parábola• Ecuaciones de la parábola• Aplicaciones de la parábola

Lugar geométrico: La Elipse• Elementos y características de la elipse• Ecuaciones de la elipse• Aplicaciones de la elipse

54

61626470

74757683

86878895

Pág.


PARCIAL 3

Tratamiento visual y representaciones múltiples de los lugares geométricos

Lugar geométrico: La Hipérbola• Elementos y características de la hipérbola• Ecuaciones de la hipérbola• Aplicaciones de la hipérbola en situaciones contextuales

Analiza los elementos y la estructura de la ecua-ción general de segundo grado para las cónicas• Análisis de la ecuación general para la circunferencia• Análisis de la ecuación general para la parábola•Análisisdelaecuacióngeneralparaidentificar

una cónica

Tratamiento visual y representaciones múltiples de los lugares geométricos: simetría, interseccio-nes, extensión y comportamiento asintótico• Intersecciones con los ejes coordenados• Simetría de un lugar geométrico• Extensión de un lugar geométrico• Asíntotas horizontales y verticales

107

114116117

127

132

132134

136

142144144145146

Pág.


Este libro responde a los principios de la Nueva Escuela Mexicana que permite al alumno ser artífice de su propio aprendizaje, a través del desarrollo de competencias que, con la guía del docente, favorecerán la educación significativa.

La estructura de la obra permite al docente adecuarse a sus planeaciones estratégicas y cumplir con los lineamientos solicitados para el bachillerato tecnológico, asimismo, el alumno tendrá claridad en la comprensión de los temas ya que cuenta con ejercicios donde se explica a detalle la forma en que se resuelven, por lo que practicará lo aprendido.

También se generan actividades didácticas que afianzan sus conocimientos y favorecer el desa-rrollo del aprendizaje basado en proyectos.

Con ayuda de las Tecnologías de la Información y Comunicación el estudiante podrá ampliar sus aprendizajes y fortalecer sus competencias. En cada parcial se trabajan con pocas actividades para profundizar los aprendizajes, ya que en muchas ocasiones, al desarrollar demasiadas com-petencias, no logramos concretarlas eficientemente.

Por otra parte, la definición de conceptos posee un lenguaje sencillo y claro que con apoyo de los gráficos y la escritura matemática adecuada permite entender con claridad los contenidos.Deseo que esta obra sea de mucha utilidad en tu formación académica y que los aprendizajes acumulados sean puestos en práctica en la vida cotidiana, pues el análisis geométrico nos per-mite entender cómo se comporta nuestro entorno.

Presentación


Estructura del libro

Una de las formas de recupe-rar los conocimientos previos necesarios para ir adquiriendo los nuevos es por medio de una Evaluación Diagnóstica, la cual encontrarás al inicio de cada bloque.

El Desarrollo Formativo del Estudiante, proporciona tan-to a docentes como estudiantes, compartir las metas y evaluación de los objetivos planteados a lo largo del par-cial, su función es brindar la retroalimentación tan nece-saria al proceso de enseñanza aprendizaje.

Actividades transversales: Dentro de los libros de texto en-contrarás Actividades Transversales, las cuales contienen aprendizajes interdisciplinarios donde se vinculan los cono-cimientos de las otras asignaturas que cursas en el presente semestre.

El aprendizaje de manera colaborativa se aborda a través del Proyecto Intégrate, el cuál se desarrolla en tres etapas a lo largo de cada Bloque, donde se ponen a prueba los conocimientos, habilidades y actitudes que vas adquiriendo a lo largo de los temas.

Durante el desarrollo de los temas y para complementar la información a través de las TIC, se incluyen Códigos QR.

El desarrollo de habilidades so-cioemocionales que encaminen a las y los jóvenes a generar ambien-tes escolares y de promoción del aprendizaje se incluye en los tex-tos por medio de las Actividades Socioemocionales.

Una manera de validar tus aprendizajes esperados es por medio del Portafolio de Evidencias, el cual recopila los productos de aprendizaje en cada uno de los temas a lo largo del bloque.

Realidad Aumentada

Todos los textos de Editorial Delta Learning, contienen actividades de transversalidad apegadas a los Prin-cipios de la Nueva Escuela Mexicana.

Nueva EscuelaMexicana

Nueva Escuela Mexicana

Las Actividades de Aprendizaje las podrás identificarporesteícono.

Una de las innovaciones que poseen los libros de texto de la Editorial Delta Learning son las Actividades de Rea-lidad Aumentada, donde a través de nuestra aplicación DELTA LEARNING RESOURCES podrás observar modelos en 3D para brindarte un nuevo enfoque a situaciones de aprendizaje.

6



El presente libro se encuentra alineado a estos principios que marca el rumbo de la educación en nuestro país, los podrás identificar con la palabra NEM, seguida del principio y una actividad que los incentive.

En la Editorial Delta Learning estamos a la vanguardia en los cambios en el Sistema Educativo de México y por lo tanto, todos nuestros ejemplares cuentan con el apego a los siete principios de la Nueva Escuela Mexicana.

Principios

Fomento de laidentidad con México

Responsabilidad ciudadana: honestidad

Transformación de la sociedad

Respeto de ladignidad humana

Interculturalidad Cultura de paz Respeto por lanaturaleza y cuidadodel medio ambiente

7


Eje• Lugares geométricos y sistemas de Referencia. Del pensamiento

geométrico al Analítico.

Componente• Sistema de referencia y localización: Elementos de Geometría

Analítica.

Contenidos Centrales• La Geometría analítica como método algebraico para la

resolución de tareas geométricas. El tratamiento de los sistemas de coordenadas.

• Conceptos básicos del sistema de coordenadas rectangulares, orientación y posición en el plano. El papel del origen de coordenadas en los sistemas de referencia.

Contenidos específicos• Sistema de coordenadas cartesiano. Me oriento en el plano:

¿puedo hacer un mapa del sitio en el que vivo? ¿Qué ruta es más corta?

• Los lugares geométricos básicos: la recta. ¿Cómo se construye la ecuación de la recta? ¿Cuáles son sus invariantes? Camino en línea recta, y el láser, ¿cómo lo hace? Algunos ejemplos de la naturaleza, ¿conoces algunos?

• Otros lugares geométricos: la elipse, la parábola y la hipérbola.• ¿Qué significan esas palabras?, ¿de dóndevienen, conoces su

historia? • La longitud de segmento, el punto medio, la perpendicular a un

segmento, entre otras. Intersección de rectas y demás lugares geométricos. ¿Puedes doblar un papel que deje marcado en su doblez dos segmentos perpendiculares?, ¿dos segmentos paralelos?, ¿cómo lo hiciste?

Parcial

1Elementos de Geometría Analítica

8


Aprendizajes esperados• Caracteriza de forma analítica los problemas geométricos de

localización y trazado de lugares geométricos. • Ubica en el plano, en distintos cuadrantes, y localiza puntos en

los ejes y los cuadrantes mediante sus coordenadas. • Interpreta y construye relaciones algebraicas para lugares

geométricos. Ecuación general de los lugares geométricos básicos.

Productos esperados• Colocar en un sistema cartesiano, tres lugares de la zona en la

que vivo. • Calcular la distancia más corta entre la escuela y mi casa. • Representar en un plano dos rectas paralelas, encontrar sus

ecuaciones. • Localizar una recta en el plano y bosquejar su perpendicular por

un punto dado.

Competencias genéricas• CG 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue.• Enfrentalasdificultadesqueselepresentanyesconsciente

de sus valores, fortalezas y debilidades.• CG 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e

interpretación de sus expresiones en distintos géneros.• 2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y

expresión de las ideas, sensaciones y emociones. • CG 4. Escucha, interpreta y emite mensajes en distintos contextos

utilizando medios, códigos y herramientas apropiadas.• 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones

lingüísticas,matemáticasográficas.• CG 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas

a partir de métodos establecidos.• 5.1Sigueinstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,

comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Competencias disciplinares• M1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante

la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

• M4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionales,medianteel lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

• M6. Cuantifica, representa y contrasta experimental omatemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

9


La recta

Ecuaciones de la recta

Ángulo entre rectas

Paralelismo y perpendicularidad

Distancia de un punto a una recta

Pendiente y ángulo de inclinación

Presentación del ParcialEn el primer parcial “Elementos de la geometría analítica” se abordan dos grandes temas que son: los sistemas de coordenadas y la recta, que puedes visualizar en el siguiente diagrama.

Sistema de coordenadas

División de un segmento en una

razón dada

Distancia entre dos puntos

Sistema de coor-denadas rectan-

gulares

Punto medio de un segmento

Plano cartesiano

10


Fase 1

El presente proyecto transversal está dividido en tres etapas (una por cada parcial), en la primera parte realizarás una investigación respecto a las distintas células y cómo llevan a cabo procesos de crecimiento y reproducción, con ello harás comparativos con cre-cimientos de tipo lineal o no lineal. Durante el segundo parcial se elaborará un experimento donde podrás observar el crecimiento en una población bacteriana y se efectuará un análisis mediante el uso del plano cartesiano y algunas cónicas. Para terminar en el último parcial se elaborará un breve documental con las eviden-cias e información recabada desde el primer parcial agregando un análisis de los lugares geométricos implementados en la interpre-tación de los datos.

Producto esperadoReporte de investigación impreso referente al crecimiento celular.

DesarrolloEn coordinación con tu docente formen equipos de trabajo y elaboren un cronograma de actividades donde distribuyan los tiempos que utilizarán para reunirse o trabajar desde casa, re-cuerda que el trabajo en equipo deberá reflejar la aportación de todos los integrantes y cada uno de ustedes deberá conocer los avances y contenidos de la investigación, busquen en qué área es bueno cada uno y aprovéchenla.

Comiencen por buscar bibliografía impresa o en internet referen-te al crecimiento celular en cada uno de los reinos que existen (Animalia, Plantae, Fungi, Protista y Monera).

En el transcurso del parcial se te indicará que harás con ésta in-formación.

ProyectoIntégrate

ProyectoIntégrate

11


EvaluaciónDiagnóstica

EvaluaciónDiagnóstica

1. Un termómetro marca -10 grados centígrados, hay un cambio brusco y sube 15 grados, luego vuel-ve a cambiar bajando 6 grados y subiendo 2 grados y, finalmente, baja 5 grados. ¿Cuál es la temperatura final?

A) - 4B) 0C) 4D) 17

2. Un camionero destina Destina!"deldíaparatrabajar,#"paradescansoyalimentación,y!"para

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para dormir. ¿Cuántas horas de tiempo libre le quedan para prac-ticar algún deporte?

A) 8B) 6C) 4D) 10

3. Determina las coordenadas de los vértices de la figura siguiente

A) A(-3,4), B(4,3), C(2,-3), D(-5,-1)B) A(4,-3), B(3,4), C(-3,2), D(-1,-5)C) A(-3,-4), B(4,3), C(2,-3), D(-5,1)D) A(-3,4), B(4,3), C(-2,3), D(5,-1)

4. Localiza en el siguiente sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos:

A(-5,3), B(3,-2), C(-1,-2), D(2,5), E(0,-5), F(4,0)

5. Realiza la siguiente operación


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6. Encuentra la hipotenusa del triángulo rectángulo cuya base mide 3 cm y su altura mide 4 cm.

A) 7 cmB) 1 cmC) 5 cmD) 25 cm

7. Despeja la incógnita y de la siguiente ecuación


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Resuelve cada uno de los siguientes planteamientos para evaluar tus conocimientos previos.

12


2020 Es el es año de los juegos olímpicos, re-presentantes de diversos países se reúnen para competir en distintas disciplinas y buscar ob-tener la medalla de oro; las matemáticas tam-bién tienen sus olimpiadas internacionales, los siguientes ejercicios son muestra de ellos, cada uno de los parciales de este libro tendrá esta sección, ponte a prueba y resuélvelos, si no lo-gras encontrar una respuesta no la solicites al docente, desafíate a encontrarla.

1.- Un número de tres cifras es equilibrado si alguna de sus cifras es el promedio de las otra dos, por ejemplo, el 528 es equilibrado pues

Pues 5 = $%&$ . ¿Cuántos números equilibrados de tres cifras hay?

2.- En un triángulo ∆()* con lados de longitudes enteras en centímetros, se sabe que el

radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ∆()* mide +,& centímetros

. ¿Cuántos números equilibrados de tres cifras hay?

2.- En un triángulo




con lados de longi-tudes enteras en centímetros, se sabe que el ra-dio de la circunferencia circunscrita al triángulo Pues 5 = $%&

$ . ¿Cuántos números equilibrados de tres cifras hay?



mide



radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ∆()* mide +,& centímetros centímetros y el área es 84 centímetros cuadrados. Determinar las longitu-des de los lados del triángulo.

8. Determina la ecuación de la siguiente recta:

A) -2x+3y+3=0B) 2x+3y-3=0C) 2x-3y-3=0D) -2x-3y-3=0

9. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-2,5) y B(6,-1)

A) 14B) 15C) 10D) 4

Si respondiste correctamente de 8 a 9 preguntas considera tu resultado como Bueno, de 5 a 7 fue Regular, en cambio, si tus respuestas correctas fueron menos de 5, es necesario que refuerces tus conocimientos previos de Aritmética, Álgebra y Geometría.

Reto

13


Parcial 1

Sistema de coordenadas en el plano cartesiano

APERTURA

DESARROLLO

Hace algunos años, cuando querías llegar a algún lugar desconocido, las indica-ciones eran algo como: “sigue derecho por tres cuadras, da vuelta a la izquierda y camina hasta encontrar un semáforo y gira a la derecha…”, hoy día basta sólo con enviar tu ubicación para que el GPS de tu Smartphone haga todo el trabajo, y no sólo te da las indicaciones de cómo llegar, sino también busca la ruta más corta por distintos medios de transporte, sin duda es una maravilla, no obstan-te nos impide desarrollar algunas competencias importantes para ubicarnos. Saber interpretar las coordenadas del GPS no sólo debe consistir en copiar y pegar en un mapa digital, sino conocer algunos principios de longitud y latitud. La latitud es la distancia que hay entre cualquier paralelo y el ecuador, mientras que la longitud es la distancia en grados, entre cualquier meridiano y el meri-diano de Greenwich. Esas competencias nos permitirán realizar un croquis para llegar a cualquier ubicación, leer un mapa para encontrar una dirección y si a esto lo fortalecemos con el uso de algún software o una aplicación podemos tener un mejor desarrollo de nuestras competencias. En este curso aprenderás a desarrollar ambos tipos de habilidades con el uso de la Geometría Analítica.

En los cursos previos de Álgebra y Geometría y Trigonometría recopilaste los fundamentos necesarios para la asignatura que hoy estas desarrollando. La Geometría Analítica une los conceptos de las representaciones gráficas de lugares geométricos con su interpretación al-gebraica; las ideas fundamentales de esta dis-ciplina matemática fueron publicadas por René Descartes en 1637 en su obra titulada El discur-so del método, donde generó un apartado llama-do “Geometría”, en donde desarrolló un nuevo sistema para estudiar ésta área de las matemá-ticas que consiste en el uso del sistema de coor-denadas cartesianas y nombrado así en su ho-nor. Este sistema utiliza un plano cartesiano en el que a cada punto se le asigna una pareja de números reales que los identifica llamada coor-denada, de éste modo cualquier lugar geomé-trico puede ser representado por coordenadas cartesianas.

La Geometría Analítica aborda dos problemas fundamentales durante su desarrollo, estos se señalan a continuación:

1. Dado un lugar geométrico es necesario en-contrar su ecuación.

2. Dada una ecuación es necesario encontrar el lugar geométrico que la describe.

Puedes tener acceso al audio libro El discurso del método en el siguiente enlace o código QR:

https://youtu.be/mGLvNE09d6I

14


Plano cartesiano

Sistema de coordenadas rectangulares

El plano cartesiano se forma con la intersección perpendicular de dos rectas numéricas, la inter-sección de éstas rectas se conoce como origen, la recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las ordenadas, en la notación de los ejes es importante colocar pun-tas de flecha en los extremos ya que es la ma-nera adecuada de representar una línea recta.

Cada una de las partes que forman al plano car-tesiano se conocen como cuadrantes y a cada punto se le asigna una coordenada o par orde-nado de la forma P(x,y).

La numeración que se encuentra a la derecha del origen es positiva al igual que la que se en-cuentra hacia arriba del origen, mientras que la

Si se cuenta con un sistema coordenado lineal, los puntos sólo están restringidos en un solo eje, de éste modo el análisis de lugares geomé-tricos sería muy limitado, por tanto, el uso de un sistema coordenado bidimensional permite un desplazamiento en dos direcciones.

En un sistema de coordenadas rectangulares es importante establecer el orden en el que se podrán escribir cada uno de los elementos, una coordenada está formada por dos valores, uno que pertenece al eje X y otro al eje Y, es nece-sario que siempre se escriba el elemento en x y posteriormente el elemento en y, de éste modo la coordenada o par ordenado deberá ser (x,y), de éste modo el sistema coordenado rectangu-lar establece una relación en cada uno de los puntos del plano y un par ordenado de números reales.

Para encontrar un punto en el plano cartesiano se sugiere que se busque primero el valor en el eje X y posteriormente en el eje Y de la siguiente forma.

numeración que se encuentra a la izquierda y hacia abajo del origen es negativa, el siguiente esquema nos muestra cada uno de los elemen-tos del plano.

Si deseamos encontrar el punto P(-2,4) primero ubicaremos el valor de la abscisa en -2 (sobre el eje X) y posteriormente buscamos el valor 4 en el eje Y, trazamos un par de segmentos per-pendiculares a los ejes y en la intersección de ambos podremos localizar el punto como se muestra en la figura siguiente:

15


I. En la siguiente imagen coloca cada uno de los elementos que forman a un plano cartesiano, así como sus nombres.

II. En parejas, busquen en Google Maps el mapa de su localidad e imprímanlo, tracen un plano cartesiano donde el origen coincida con la plaza principal de la comunidad, posteriormente selec-cionen 5 puntos de interés como la escuela, la presidencia municipal, el banco, la iglesia y ge-neren las coordenadas en el sistema rectangular para ubicar esos lugares. Intercambien los planos con otros compañeros y respondan las siguien-tes preguntas:

a) ¿Las coordenadas son iguales para ubicar los mismos puntos?

b) ¿Qué diferencias encuentras en cada uno de los planos?

c) ¿Qué tipo de coordenadas se utilizan paraque la ubicación no cambie?

III. Ubica los siguientes puntos en el plano car-tesiano ! −1,2 ,& 2,4 ,) *

+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6+ ,

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actividad deaprendizaje 1

Parcial 1

Distancia entre dos puntos

Un concepto de suma importancia para la com-prensión en el análisis geométrico es el de dis-tancia, el cual lo usamos muy a menudo; ¿cómo lo definirías con tus propias palabras? Una dis-tancia en matemáticas se define como: la longi-tud del segmento de recta comprendido entre dos puntos en un plano o el espacio.

Recuerda que no existen distancias negativas, por tanto, el signo negativo en un valor de dis-

tancia servirá para indicar un sentido o direc-ción. Y para obtener la distancia bastará con en-contrar la diferencia respecto a la posición final y la posición inicial.

Para encontrar la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano retomaremos el concepto del Teorema de Pitágoras, tomemos en conside-ración el siguiente plano donde se representan los puntos A( x1 , y1 ) y B( x2 , y2 )

16


¿Puedes encontrar un triángulo rectángulo? ¿Cuánto mide la base? ¿Cuánto mide la altura? ¿Qué coordenada tiene el vértice donde se en-cuentra el ángulo recto?

Para la base del triángulo formado la distancia se obtiene a partir de la diferencia x2 – x1 y para la altura se tiene y2 – y1 .

El Teorema de Pitágoras se escribe como:

c2 = a2 + b2

La hipotenusa c representa la distancia entre el punto A y el punto B, la cual denotaremos como:

! −1,2 ,& 2,4 ,) *+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6

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. Si sustituimos los valores del triángulo en el teorema tenemos:

! −1,2 ,& 2,4 ,) *+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6

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!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!& = (5 − (−3))+ + (4 − (−2))+!& = (5 + 3)+ + (4 + 2)+!& = (8)+ + (6)+!& = 64 + 36!& = 100!& = 10A

Finalmente, si despejamos la distancia obten-dremos la ecuación para el cálculo de la distan-cia entre dos puntos en el plano cartesiano.

! −1,2 ,& 2,4 ,) *+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6

+ ,

7 1.5 − *+ ,9 3 *

+ , 1

!&.!&+ = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!(−3,4)y&(5,−2)e=* = −3,@* = 4,=+ = 5y@+ = −2

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!& = (5 − (−3))+ + (4 − (−2))+!& = (5 + 3)+ + (4 + 2)+!& = (8)+ + (6)+!& = 64 + 36!& = 100!& = 10A

Es así como la distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cua-drados de las diferencias de las correspondien-tes coordenadas.

EjemploDetermina la distancia entre los puntos A(-3,4) y B(5,-2)

En primer lugar nombramos las abscisas y las ordenadas de tal modo que x1 = –3, y1 = 4, x2 = 5 y y2 = –2

17


Parcial 1

Ahora aplicamos la ecuación

! −1,2 ,& 2,4 ,) *+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6

+ ,

7 1.5 − *+ ,9 3 *

+ , 1

!&.!&+ = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!(−3,4)y&(5,−2)e=* = −3,@* = 4,=+ = 5y@+ = −2

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!& = (5 − (−3))+ + (4 − (−2))+!& = (5 + 3)+ + (4 + 2)+!& = (8)+ + (6)+!& = 64 + 36!& = 100!& = 10A

! −1,2 ,& 2,4 ,) *+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6

+ ,

7 1.5 − *+ ,9 3 *

+ , 1

!&.!&+ = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!(−3,4)y&(5,−2)e=* = −3,@* = 4,=+ = 5y@+ = −2

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!& = (5 − (−3))+ + (4 − (−2))+!& = (5 + 3)+ + (4 + 2)+!& = (8)+ + (6)+!& = 64 + 36!& = 100!& = 10A

Sustituimos los valores de las coordenadas

! −1,2 ,& 2,4 ,) *+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6

+ ,

7 1.5 − *+ ,9 3 *

+ , 1

!&.!&+ = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!(−3,4)y&(5,−2)e=* = −3,@* = 4,=+ = 5y@+ = −2

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!& = (5 − (−3))+ + (4 − (−2))+!& = (5 + 3)+ + (4 + 2)+!& = (8)+ + (6)+!& = 64 + 36!& = 100!& = 10A

Aplicamos leyes de los signos

! −1,2 ,& 2,4 ,) *+ , 0 ,- 5, 6 ,0 0, −8 ,2 3, 23 ,4 −4,−5 ,5 0, − 6

+ ,

7 1.5 − *+ ,9 3 *

+ , 1

!&.!&+ = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!(−3,4)y&(5,−2)e=* = −3,@* = 4,=+ = 5y@+ = −2

!& = (=+ − =*)+ + (@+ − @*)+!& = (5 − (−3))+ + (4 − (−2))+!& = (5 + 3)+ + (4 + 2)+!& = (8)+ + (6)+!& = 64 + 36!& = 100!& = 10ARecuerda que la aplicación de la ecuación anterior es una modificación del teo-rema de Pitágoras, si formamos un triángulo rectángulo usando el vértice en (–3, –2) podemos encontrar las distancias de la base y la altura del triángulo y el resultado es el mismo.

18


I. Encuentra el valor de la longitud de los seg-mentos que unen cada par de puntos proporcio-nadosutilizandolasecuacionescorrectas,realizalagráficaycompruebaturesultadoformandountriángulo rectángulo; comparte tus resultados con tus compañeros y retroalimenten sus res-pectivosprocedimientos.

a. ! 5,7 , % 2,3

b. ((−6,−12), . −9,4

c. 1 5,−4 , 2 −3,2

d. 3(−4,2), 4(8,7)

e. 6 −3,−2 , 7(−5,−1)

f. 8 9

:,9

;, <

9

=,9

>

g. ? 9

:,:

>, @ −

9

=,:

>

h. A 5,− 2 , B 4 5, 6

i. C 3 5,−5 3 , D 10 3, 6 5

j. F G, H , I(−G,−H)

a. ! −2,2 , % 7,−1 , ( 3,−8

b. . 3,1 , 1 2,7 , 2 −1,6

c. 3 0,0 , 4 0,4 , 6(3,0)

II. Los siguientes ejercicios proporcionan los vér-ticesdedistintostriángulos,calculaelperímetrode cada uno de ellos.

a. ! 5,7 , % 2,3

b. ((−6,−12), . −9,4

c. 1 5,−4 , 2 −3,2

d. 3(−4,2), 4(8,7)

e. 6 −3,−2 , 7(−5,−1)

f. 8 9

:,9

;, <

9

=,9

>

g. ? 9

:,:

>, @ −

9

=,:

>

h. A 5,− 2 , B 4 5, 6

i. C 3 5,−5 3 , D 10 3, 6 5

j. F G, H , I(−G,−H)

a. ! −2,2 , % 7,−1 , ( 3,−8

b. . 3,1 , 1 2,7 , 2 −1,6

c. 3 0,0 , 4 0,4 , 6(3,0)

III. Resuelve los siguientes problemas de aplica-ción, trabaja con un compañero o compañera en binas y compartan sus procedimientos, externen sus dudas y complementen ideas. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-2,3) y B(5,-8), ¿cuál es su pe-rímetro y área? Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto (x , y) equidista de los dos puntos (–3, 5),(7, –9). Demostrar que la circunferencia cuyo centro es (2, –1) pasa por los puntos (6, 2),(–2, –4),(5, –5) y (–1, 3).


División de un segmento en una razón dada

Consideremos ahora que un segmento de recta debe ser dividido en una razón dada, recordemos que una razón es un cociente que relaciona dos elementos, observa la siguiente figura.

El punto P divide al segmento !"!# en la razón $% , para este caso el numerador determina la cantidad de partes que hay en el

segmento !"! en el segmento !!# de éstr como: & = ()(((+

.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,

$4 y !#(2,1) encuentra la razón & que el punto ! "

$ ,"$"8 divide al segmento !"!#

& = . − .".# − .

Sustituimos los valores de los puntos dados en la ecuación y resolvemos las operaciones

& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10

Si resolvemos el problema con las ordenadas tendremos el mismo resultado

& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

en la razón !"!# en la razón $% , para este caso el numerador determina la cantidad de partes que hay en el


.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

, para este caso el numerador determina la cantidad de partes que hay en el segmento

!"!# en la razón $% , para este caso el numerador determina la cantidad de partes que hay en el


.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

y el denominador muestra la cantidad de partes que hay en el segmento



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

de éste modo la ra-

zón en que se divide el segmento se puede escribir como:



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

.

19


Parcial 1

A partir de estas ecuaciones si se despeja la in-cógnita x y y obtendremos las ecuaciones para encontrar las coordenadas del punto P(x,y) que divide a un segmento en una razón dada.



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

EjemploSean los puntos



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

y



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

encuentra

la razón r que el punto



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

divide al seg-mento



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

Para resolverlo lo haremos utilizandos las ecua-ciones de la razón de un segmento.



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

Sustituimos los valores de los puntos dados en la ecuación y resolvemos las operaciones.



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

Si resolvemos el problema con las ordenadas tendremos el mismo resultado.



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

Si puedes observar las razones tienen un signo negativo, ¿qué interpretación de las a éste re-sultado?

Grafiquemos cada uno de los puntos para com-prender mejor el ejercicio.

Traslademos ésta definición al plano cartesiano, observa la siguiente gráfica.

Se forman dos triángulos semejantes, de tal modo que podemos escribir la siguiente relación:



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

Pero usando la ecuación de la distancia entre dos puntos tenemos:



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

Del mismo modo



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

Es así como obtenemos las ecuaciones para encon-trar la razón que divide un punto a un segmento.



.

ión:

!"!!!#

= !",!- = ,!

-!#

!",!- = . − ."

.# − .

,!-!#

= 0 − 0"0# − 0

& = . − .".# − .

& = 0 − 0"0# − 0

. = ." + &.#1 + &

0 = 0" + &0#1 + &

untos !" "# ,



& = . − .".# − .


& =13 −

12

2 − 13=2 − 3653

=−1653

= − 330 = − 1

10


& = 0 − 0"0# − 0

& =1318 −

34

1 − 1318=52 − 5472518

=− 272518

= − 36360 = − 1

10

20


El punto P(6,5) divide al segmento el segmento !"!# , la razón es positiva, en caso contrario la razón será negativa.

Ejemplo

Dados los extremos con los puntos !"(4,1) y !# 5,−2 y la razón , = −2, encuentra las

coordenadas del punto de división ! del segmento !"!#

en la razón r = –2

Como la razón es negativa, el punto que divide al segmento se encuentra fuera del mismo, es decir, es externo al segmento.

Como puedes observar el punto P está fuera del segmento, por tanto, el signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extre-mos del segmento o fuera de ellos pero siempre sobre la misma recta, es decir, el punto deberá ser colineal con los puntos de los extremos. Si el punto P(x,y) está en el segmento el segmento !"!# , la razón es positiva, en caso contrario la razón será negativa.

Ejemplo



, la ra-zón es positiva, en caso contrario la razón será negativa.

EjemploDados los extremos con los puntos P1(4,1) y P2(5,–2) y la razón r = –2, encuentra las coor-denadas del punto de división P del segmento

el segmento !"!# , la razón es positiva, en caso contrario la razón será negativa.

Ejemplo



Aplicamos la ecuación para obtener la abcisa y la ordenada y susitituimos los valores

! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5

El punto /(6,5) divide al segmento /#/& en la razón % = −2

como % = ##, observ

segmento /#/& en dos segmentos de recta iguales, entonces: /#/ = //&

% = /#///&

= /#//#/

= 1

La forma de encontrar las coordenadas del punto medio es muy sencilla, si a la ecuación de la

! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 3(−4,2) y 4(6,−8) Para encontrar la abscisa utilizamos su ecuación y sustituimos los valores.

! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1

Del mismo modo para la ordenada.

. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3

Así el punto medio está dado por la coordenada /7 1,−3

Si quisieras encontrar el punto medio de un seg-mento ¿qué razón tendría ese punto respecto al segmento? La respuesta es 1, se denota como

! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5


como % = ##, observ


% = /#///&

= /#//#/

= 1


! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo


! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1


. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3


, observa la siguiente imagen y reflexiona

al respecto.

Punto medio de un segmento

21


Parcial 1

EjemploHallar las coordenadas del punto medio del seg-mento que une los puntos A(-4,2) y B(6,-8)

Para encontrar la abscisa utilizamos su ecuación y sustituimos los valores.

! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5


como % = ##, observ


% = /#///&

= /#//#/

= 1


! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo


! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1


. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3



! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5


como % = ##, observ


% = /#///&

= /#//#/

= 1


! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo


! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1


. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3

Así el punto medio está dado por la coordenada /7 1,−3 Así el punto medio está dado por la coordenada Pm (1,-3)

Si el punto P divide al segmento

! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5


como % = ##, observ


% = /#///&

= /#//#/

= 1


! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo


! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1


. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3


en dos segmentos de recta iguales, entonces:

! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5


como % = ##, observ


% = /#///&

= /#//#/

= 1


! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo


! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1


. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3


! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5


como % = ##, observ


% = /#///&

= /#//#/

= 1


! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo


! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1


. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3


La forma de encontrar las coordenadas del pun-to medio es muy sencilla, si a la ecuación de la razón de un segmento sustituímos el valor de la razón del punto medio tenemos lo siguiente:

! = !# + %!&1 + %

! = 4 + −2 51 + −2

! = 4 − 101 − 2 = −6

−1 = 6

. = .# + %.&1 + %

. = 1 + −2 −21 + −2

. = 1 + 41 − 2 =

5−1 = −5


como % = ##, observ


% = /#///&

= /#//#/

= 1


! = !# + %!&1 + % = !# + !&

1 + 1 = !# + !&2

. = .# + %.&1 + % = .# + .&

1 + 1 = .# + .&2

Ejemplo


! = !# + !&2 = −4 + 6

2 = 1


. = .# + .&2 = 2 + (−8)

2 = −3


I. Determina la razón en que el punto P divide al segmen-to de recta con extremos en los puntos A y B

a. ! 0,2 , % −2,4 y ( 2,0

b. ! −1,4 , %(0,3) y ((3,0) c. !(3,−4) , % 0,2 y ((2,−2) d. ! 3,5 , % −1,4 y ( −5,3

e. ! ./ ,

01 , %(2,1) y ( .

0 ,.0.2

f. ! −5,1 , %(4,3) y ( −3, .03

a. !(6,−4), % −3,2 ,6 = ./

b. ! −8,−5 , % −6,7 , 6 = 3

c. !(3,−2), %(−6,7), 6 = 1:

d. ! 5,−4 , % 2,−1 , 6 = −2

e. !(2,4), %(4,5), 6 = − 0/

a. 1,3 , 2,5

b. 6,3 , 2,7

c. 8,−9 , −13,−5

d. −6,−6 , −2,−2

e. (10, −9), (−8,−1) f. <

= ,:0 , :

1 ,1=

g. 2, 5 , 3, − 7

prolongaciónde!%de

a. segmento (.(/?


CIERRE

22


II. Hallar las coordenadas del punto de división del segmento !" en cada uno de los casos planteados y traza los segmentos en el plano cartesiano.

a. ! 0,2 , % −2,4 y ( 2,0

b. ! −1,4 , %(0,3) y ((3,0) c. !(3,−4) , % 0,2 y ((2,−2) d. ! 3,5 , % −1,4 y ( −5,3

e. ! ./ ,

01 , %(2,1) y ( .

0 ,.0.2

f. ! −5,1 , %(4,3) y ( −3, .03

a. !(6,−4), % −3,2 ,6 = ./

b. ! −8,−5 , % −6,7 , 6 = 3

c. !(3,−2), %(−6,7), 6 = 1:

d. ! 5,−4 , % 2,−1 , 6 = −2

e. !(2,4), %(4,5), 6 = − 0/

a. 1,3 , 2,5

b. 6,3 , 2,7

c. 8,−9 , −13,−5

d. −6,−6 , −2,−2

e. (10, −9), (−8,−1) f. <

= ,:0 , :

1 ,1=

g. 2, 5 , 3, − 7

prolongaciónde!%de

a. segmento (.(/?

III. Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos.

a. ! 0,2 , % −2,4 y ( 2,0

b. ! −1,4 , %(0,3) y ((3,0) c. !(3,−4) , % 0,2 y ((2,−2) d. ! 3,5 , % −1,4 y ( −5,3

e. ! ./ ,

01 , %(2,1) y ( .

0 ,.0.2

f. ! −5,1 , %(4,3) y ( −3, .03

a. !(6,−4), % −3,2 ,6 = ./

b. ! −8,−5 , % −6,7 , 6 = 3

c. !(3,−2), %(−6,7), 6 = 1:

d. ! 5,−4 , % 2,−1 , 6 = −2

e. !(2,4), %(4,5), 6 = − 0/

a. 1,3 , 2,5

b. 6,3 , 2,7

c. 8,−9 , −13,−5

d. −6,−6 , −2,−2

e. (10,−9), (−8,−1) f. <

= ,:0 , :

1 ,1=

g. 2, 5 , 3, − 7

prolongaciónde!%de

a. segmento (.(/?

IV.Enequiposdetrabajoresuelvanlossiguientesejerciciosquetienenunnivelmayor de complejidad, aclaren sus dudas con su docente en caso de ser necesario.

a) Hallar las coordenadas del punto situado en la prolongación de

a. ! 0,2 , % −2,4 y ( 2,0

b. ! −1,4 , %(0,3) y ((3,0) c. !(3,−4) , % 0,2 y ((2,−2) d. ! 3,5 , % −1,4 y ( −5,3

e. ! ./ ,

01 , %(2,1) y ( .

0 ,.0.2

f. ! −5,1 , %(4,3) y ( −3, .03

a. !(6,−4), % −3,2 ,6 = ./

b. ! −8,−5 , % −6,7 , 6 = 3

c. !(3,−2), %(−6,7), 6 = 1:

d. ! 5,−4 , % 2,−1 , 6 = −2

e. !(2,4), %(4,5), 6 = − 0/

a. 1,3 , 2,5

b. 6,3 , 2,7

c. 8,−9 , −13,−5

d. −6,−6 , −2,−2

e. (10, −9), (−8,−1) f. <

= ,:0 , :

1 ,1=

g. 2, 5 , 3, − 7

prolongaciónde!%de

a. segmento (.(/?

de tal ma-nera que dista cinco veces más de A que de B, siendo A(-1,8) y B(3,2).

b) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8), y su punto me-dio es (4,3). Hallar el otro extremo.

c) Un punto P(–14,-4) está entre los puntos P1 (–6,4) y P2 (–18,-8). ¿En qué razón divide P al segmento

a. ! 0,2 , % −2,4 y ( 2,0

b. ! −1,4 , %(0,3) y ((3,0) c. !(3,−4) , % 0,2 y ((2,−2) d. ! 3,5 , % −1,4 y ( −5,3

e. ! ./ ,

01 , %(2,1) y ( .

0 ,.0.2

f. ! −5,1 , %(4,3) y ( −3, .03

a. !(6,−4), % −3,2 ,6 = ./

b. ! −8,−5 , % −6,7 , 6 = 3

c. !(3,−2), %(−6,7), 6 = 1:

d. ! 5,−4 , % 2,−1 , 6 = −2

e. !(2,4), %(4,5), 6 = − 0/

a. 1,3 , 2,5

b. 6,3 , 2,7

c. 8,−9 , −13,−5

d. −6,−6 , −2,−2

e. (10, −9), (−8,−1) f. <

= ,:0 , :

1 ,1=

g. 2, 5 , 3, − 7

prolongaciónde!%de

a. segmento (.(/?

?

d) Demostrar que los puntos (2,-2),(-8,4),(5,3) son losvérticesdeun triángulorectángulo y demostrar que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tresvértices.

23


Parcial 1

ActividadSocioemocional


El lugar de donde eres¿Has pensado cuál es tu papel dentro de los diferentes grupos a los que perteneces? En ocasiones perdemos de vista la importancia que tenemos como miembros de una familia o comunidad, pero hay una historia compartida que se expresa cotidiana-mente y que influye en la forma de ser y de experimentar la vida. Por eso es tan rele-vante reconocer y asumir que tu papel en la sociedad es único y muy valioso.El reto es expresar la importancia de asumir compromisos de acuerdo con el rol que desempeñas en la sociedad.

Actividad 1.Describe brevemente aquí o en tu cuaderno cómo es tu comunidad escolar, qué te gusta, qué no te gusta y qué quisieras cambiar:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a. Contesta las siguientes preguntas aquí o en tu cua-derno:¿Qué beneficios traerá a tu comunidad escolar aque-llo que quieres cambiar?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b. Propón alguna acción para que mejoré tu comuni-dad escolar.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad 2.Reflexionen colectivamente respecto a qué papel desempeñan dentro de su comunidad escolar y pro-pongan acciones para construir una convivencia pa-cífica y fundamentada en el respeto y solidaridad.

“Llevadera es la laborcuando muchos

comparten la fatiga”.Homero.

Reafirmo y ordenoTu papel como integrante de la sociedad es único. En la escuela, asumir compromisos y trabajar para crecer entre todos, fortalece tu comunidad. La convivencia y el cuidado del entorno escolar depende de cada uno de los que lo conforman, responsabilizarse de ello también te hará sentir en armonía contigo y con los demás.

Para tu vida diariaIdentifica algunas situaciones problemá-ticas de la comunidad (colonia o barrio) en donde vives, conversa con tu familia qué pueden hacer para apoyar en su resolución y qué beneficios les traería.

24


¿Quieres saber más?Te invitamos a ver el siguiente video en dónde conocerás algunas formas de ayudar y comprometerte con tu comunidad.Puedes buscarlo en YouTube como “Adolescentes emprenden proyectos para ayudar a sus comunidades” o con un clic en la siguiente dirección: https://youtu.be/cbUnwNnY80g

Concepto claveRol social:Es el papel que los individuos desempeñan en una sociedad, a partir de las conductas que se esperan de ellos, y desde el cual cumplen con una función dentro de su comunidad.

Fase 2

Con la información que has recabado hasta el momento deberás entregar tu reporte con los siguientes criterios.

Portada: Deberá incluir los datos de tu escuela, tu equipo de tra-bajo y tu proyecto de investigación.

Introducción: Describir a grandes rasgos la investigación que rea-lizaste y el porqué es importante su estudio.

Relación de la Biología con la Geometría Analítica: Buscarás ejemplos de crecimiento y a partir de sus gráficas ubicarás en el plano cartesiano el comportamiento de los seres vivos que in-vestigaste, deberás incluir al menos 5 ejemplos con sus gráficas.

Gráficas: Con ayuda de Geogebra graficarás en el plano cartesia-no algunos puntos que representen el crecimiento de al menos 5 tipos de seres vivos, puedes representar cambios de volumen, cambios de longitud, etc. Une los puntos y observa cómo se com-portan las gráficas. Los gráficos los harás con base a la investiga-ción que hayas realizado.

Conclusiones: Cada integrante dará sus puntos de vista del tra-bajo realizado.

Bibliografía: Incluir las fuentes de consulta utilizadas.

El reporte se deberá entregar en la fecha acordada con tu do-cente y con las especificaciones que acuerden en el aula. Busca la rúbrica al final del parcial para que hagas una autoevaluación antes de entregar tu reporte de investigación.

ProyectoIntégrate

ProyectoIntégrate

25


Parcial 1

Lugar geométrico básico: La recta

La recta es un bello lugar geométrico ya que tiene una vasta variedad de aplica-ciones en distintas áreas de conocimientos, pero, ¿cómo se construye la ecua-ción de la recta?, ¿cuáles son sus invariantes?, para responder a éstas preguntas desarrollaremos éste tema.

Recordemos que la recta tiene sus orígenes en la Geometría formal, que apren-diste el semestre anterior, fue desarrollada por Euclides.

El concepto de la recta establece que es una sucesión infinita de puntos con-tinuos en una misma dirección. Otra definición sugiere que la recta es el lu-gar geométrico de los puntos tales que, tomados dos cualesquiera del lugar geométrico, el valor de la pendiente siempre será constante.

A través del tiempo han surgido distintas definiciones de la recta, por citar algunas:

• Es la línea cuyos puntos intermedios hacen sombra a sus extremos. (Platón, 427 a.C. – 347 a. C.)

• Es el conjunto de puntos que permanecen invariantes cuando un cuerpo gira alrededor de dos de sus puntos. (Leibniz, 1646 – 1716)

• Es el camino más corto entre dos puntos. (Legendre, 1752 – 1833)• Es la línea que, trazada de un punto a otro, no se vuelve ni a la derecha ni

a la izquierda, y es la más corta que puede trazarse entre esos dos puntos. (Simpson, 1687 – 1768)

• La recta es una serie de puntos, cada uno de los cuales equidista de tres puntos dados. (Fourier, 1768 – 1830)

Con tus propias palabras escribe qué definición darías para una recta ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

APERTURA

26


Pendiente y ángulo de inclinación

Para analizar la recta como lugar geométrico es importante determinar que es una pendiente y un ángulo de inclinación.

El término pendiente seguramente lo has es-cuchado en frases como: “Esa pendiente está muy inclinada”, “la pendiente del camino lo hizo rodar”, entre otras.

Una pendiente nos permite determinar qué tan inclinada se presenta una recta y se encuentra a través de la tangente del ángulo de inclinación de la misma recta. Recordemos que la tangente se obtiene del cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a un ángulo determinado de la siguiente forma:

tan $ = &'()(**,-).(*&'()(*'/0'&)1()

2 = tan $

tan $ = 345365

= 04 − 0684 − 86

2 = 04 − 0684 − 86

$ = '9&('12

2 = :;<:=>;<>=

2 = ?<(<6)B<(<4) =

?C6BC4 =

DD = 1

Es decir la pendiente (m) se obtiene a partir de la siguiente expresión:

tan $ = &'()(**,-).(*&'()(*'/0'&)1()

2 = tan $

tan $ = 345365

= 04 − 0684 − 86

2 = 04 − 0684 − 86

$ = '9&('12

2 = :;<:=>;<>=

2 = ?<(<6)B<(<4) =

?C6BC4 =

DD = 1

Analicemos la siguiente gráfica

Dados los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) se traza una recta que pasa por ambos puntos, la recta trazada tiene un ángulo de inclinación y por tan-to una pendiente, con las proyecciones trazadas se forma el triángulo ΔP1 P2 Q y para el ángulo θ la tangente se obtiene de la siguiente forma:

tan $ = &'()(**,-).(*&'()(*'/0'&)1()

2 = tan $

tan $ = 345365

= 04 − 0684 − 86

2 = 04 − 0684 − 86

$ = '9&('12

2 = :;<:=>;<>=

2 = ?<(<6)B<(<4) =

?C6BC4 =

DD = 1

De este modo la pendiente también puede en-contrarse como:

tan $ = &'()(**,-).(*&'()(*'/0'&)1()

2 = tan $

tan $ = 345365

= 04 − 0684 − 86

2 = 04 − 0684 − 86

$ = '9&('12

2 = :;<:=>;<>=

2 = ?<(<6)B<(<4) =

?C6BC4 =

DD = 1

Y el ángulo de inclinación se encuentra como:

tan $ = &'()(**,-).(*&'()(*'/0'&)1()

2 = tan $

tan $ = 345365

= 04 − 0684 − 86

2 = 04 − 0684 − 86

$ = '9&('12

2 = :;<:=>;<>=

2 = ?<(<6)B<(<4) =

?C6BC4 =

DD = 1

Es importante recordar que, si obtenemos un ángulo negativo, es necesario sumar 180°.

EjemploUna recta pasa por los puntos A(-2,-1) y B(3,4). Determina su pendiente y el ángulo de inclina-ción.

Hacemos uso de la ecuación para el cálculo de la pendiente y sustituimos los valores.

tan $ = &'()(**,-).(*&'()(*'/0'&)1()

2 = tan $

tan $ = 345365

= 04 − 0684 − 86

2 = 04 − 0684 − 86

$ = '9&('12

2 = :;<:=>;<>=

2 = ?<(<6)B<(<4) =

?C6BC4 =

DD = 1

En este caso la pendiente es igual a la unidad.

Ahora para encontrar el ángulo de inclinación usamos la siguiente ecuación:

m = tanθ

DESARROLLO

27


Parcial 1

Si m=1 entonces sustituimos en la ecuación previa y despejamos el ángulo.

1=tanθ θ=arc tan(1) θ=45°

La recta entonces tiene un ángulo de inclinación de 45°.

Condición de paralelismo y perpendicularidad

Una de las aplicaciones para el uso de la pen-diente es su implementación para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares entre sí. 1. Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Dos rectas Dosrectas!"y!′"′son

%& = − 1%*

a. ! −2,−3 , " 5,4

b. 0 3,1 , 1 −2,4

c. 2 − 3* ,

&45 , 6 &

3 ,*3

d. 7 8* , 5 , 9 5

3 , 1

e. : 2,2 , ; −2,−4

pendiente<8pasapor

y Dosrectas!"y!′"′son

%& = − 1%*

a. ! −2,−3 , " 5,4

b. 0 3,1 , 1 −2,4

c. 2 − 3* ,

&45 , 6 &

3 ,*3

d. 7 8* , 5 , 9 5

3 , 1

e. : 2,2 , ; −2,−4

pendiente<8pasapor

son parale-las sólo si sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas se denotan como m1 y m2, entonces la condición de paralelismo se es-tablece como:

m1 = m2

2. Dos rectas Dosrectas!"y!′"′son

%& = − 1%*

a. ! −2,−3 , " 5,4

b. 0 3,1 , 1 −2,4

c. 2 − 3* ,

&45 , 6 &

3 ,*3

d. 7 8* , 5 , 9 5

3 , 1

e. : 2,2 , ; −2,−4

pendiente<8pasapor

y Dosrectas!"y!′"′son

%& = − 1%*

a. ! −2,−3 , " 5,4

b. 0 3,1 , 1 −2,4

c. 2 − 3* ,

&45 , 6 &

3 ,*3

d. 7 8* , 5 , 9 5

3 , 1

e. : 2,2 , ; −2,−4

pendiente<8pasapor

son perpendiculares entre sí, si la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario a la pendiente de la otra recta. De éste modo la condición de per-pendicularidad puede establecerse como:

Dosrectas!"y!′"′son

%& = − 1%*

a. ! −2,−3 , " 5,4

b. 0 3,1 , 1 −2,4

c. 2 − 3* ,

&45 , 6 &

3 ,*3

d. 7 8* , 5 , 9 5

3 , 1

e. : 2,2 , ; −2,−4

pendiente<8pasapor

Existen dos casos particulares en el uso de las pendientes, cuando una recta tiene un ángulo de inclinación de 90° la pendiente es indefinida, es decir, no tiene pendiente, esto resulta cuan-do la recta es paralela al eje Y o perpendicular al eje X.

28


Cuando la recta es paralela al eje X el ángulo de inclinación es nulo y la pendiente vale cero.

I.Enlassiguientesrectasdeterminaquétipodependienterepresentayquétipodeángulodeinclinacióntienen.

a) b)


29


Parcial 1

c) d)

II. Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas determinadas por cada pareja de puntos:


%& = − 1%*

a. ! −2,−3 , " 5,4

b. 0 3,1 , 1 −2,4

c. 2 − 3* ,

&45 , 6 &

3 ,*3

d. 7 8* , 5 , 9 5

3 , 1

e. : 2,2 , ; −2,−4

pendiente<8pasapor

III. Resuelve los siguientes problemas con un compañero y compartan sus procedimientos y dudas.

a. Una recta de pendiente


%& = − 1%*

a. ! −2,−3 , " 5,4

b. 0 3,1 , 1 −2,4

c. 2 − 3* ,

&45 , 6 &

3 ,*3

d. 7 8* , 5 , 9 5

3 , 1

e. : 2,2 , ; −2,−4

pendiente<8pasapor pasa por el punto

A(3,2); la abscisa de otro punto B de la recta es -4; calcula su ordenada.

b. Hallar las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son:A(2,6), B(8,3) y C(-2,-1)

c. Hallar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos (2,-3) y (2,4) con la recta que une el origen y el punto (6,2)

d. Encuentra la pendiente de la recta paralela a la recta formada por los puntos A(2,1) y B(-4,-3).

e.Realiza lagráficade la rectaquepasaporelorigen y es perpendicular a la recta formada por los puntos A(6,-2) y B(-4,5).

30


Hoy día el internet es algo indispensable en el desarrollo de múltiples actividades, sin embargo, tener acceso a él no es tan fácil en muchas comunidades en el país. Cuando los proveedores de este servicio no pueden llegar a ciertas zonas me-diante el cableado correspondiente recurren a otras formas como los enlaces de punto a punto mediante antenas transmisoras. Para que los técnicos especialistas puedan validar la viabilidad de la instalación de éste tipo de enlaces recurren a ciertos softwares para validar la inclinación de las antenas, así como su alineación y posición.

Para ésta actividad requerirás trabajar con Google Earth, este programa lo pue-des descargar de manera gratuita en el siguiente enlace: https://qrgo.page.link/M8WPd

Una vez abierto el software, traza una ruta entre dos puntos, dando clic en el ico-no de “Agregar ruta” de la barra de herramientas.

En la parte izquierda de la pantalla en el apartado de “Lugares”, podrás visualizar la ruta que creaste, da clic derecho y selecciona “Mostrar perfil de elevación”, esto te mostrará una nueva ventana donde podrás observar la elevación del te-rreno en la ruta que escogiste.

Momento STEM

31


Parcial 1

Lo que deberás hacer es encontrar la pendiente de la recta que una los dos pun-tos que hayas elegido, toma uno de los puntos con las coordenadas del origen y determina la pendiente con las ecuaciones vistas anteriormente.

Si tuvieras que instalar dos antenas, ¿qué ángulos de inclinación deberán tener para establecer el enlace? Recuerda que si la distancia entre las dos antenas se ve interferida por una elevación del terreno no será factible la instalación, por lo tanto, escoge dos posiciones donde se pueda establecer el enlace.

Ángulo entre dos rectas

Cuando se conocen las pendientes de dos rec-tas, se puede saber si éstas son paralelas, o no, en el caso de que no lo sean, pueden ser per-pendiculares o tener un ángulo distinto a 90°, para hallar éste ángulo analizaremos la siguiente gráfica.

32


De la Geometría plana recordamos que en todo triángulo la suma de dos de los ángulos internos es igual al valor del ángulo exterior no adyacen-tes a ellos. Con base en esto podemos ver que en la gráfica se forma un triángulo cuyos vérti-ces se perciben con las intersecciones entre las rectas y con la intersección del eje X, por tanto, se deduce que:

θ2=θ1+α

Despejando α

α=θ1–θ2

Si aplicamos la tangente a cada miembro de la igualdad tenemos:

tan α=tan (θ1–θ2)

Ahora aplicamos la identidad trigonométrica de la tangente de la diferencia de ángulos:

tan $ = tan &' − &) = tan &) − tan &'1 + tan &' tan &)

tan $ = ,) −,'1 +,',)

,-. =5 − 3−4 − 6 = − 2

10 = −15

,.5 =−2 − 5

−7 − (−4) =73

,-5 =−2 − 3−7 − 6 =

513

tan $ = ,) −,'1 +,',)

Para ∠:

tan: =513 − −15

1 + 513 −15

=513 +

15

1 − 113

=38651213

= 494780 =

1930

∠: = >?@ tan 1930 = 32°20B50.8′′

Para ∠E

tanE =−15 −

73

1 + 73 −15

=−38151 − 7

15=−3815815

= −388 = −194

∠E = >?@ tan −194 + 180° = 101°53B19.1′′

Para ∠F

tan F =73 −

513

1 + 513

73=

7639

1 + 3539=76397439

= 7674 =

3837

∠F = >?@ tan 3837 = 45°45B50.03′′

∴ ∠: + ∠E + ∠F = 180°

Recordemos que m1=tan θ1 y m2=tan θ2, entonces:tan $ = tan &' − &) = tan &) − tan &'1 + tan &' tan &)

tan $ = ,) −,'1 +,',)

,-. =5 − 3−4 − 6 = − 2

10 = −15

,.5 =−2 − 5

−7 − (−4) =73

,-5 =−2 − 3−7 − 6 =

513

tan $ = ,) −,'1 +,',)

Para ∠:

tan: =513 − −15

1 + 513 −15

=513 +

15

1 − 113

=38651213

= 494780 =

1930

∠: = >?@ tan 1930 = 32°20B50.8′′

Para ∠E

tanE =−15 −

73

1 + 73 −15

=−38151 − 7

15=−3815815

= −388 = −194

∠E = >?@ tan −194 + 180° = 101°53B19.1′′

Para ∠F

tan F =73 −

513

1 + 513

73=

7639

1 + 3539=76397439

= 7674 =

3837

∠F = >?@ tan 3837 = 45°45B50.03′′

∴ ∠: + ∠E + ∠F = 180°

Una vez conocido éste valor, encontrar el segun-do ángulo entre las rectas resulta muy sencillo si se le considera como ángulo suplementario.

EjemploUn triángulo se forma con los vértices A(6,3), B(-4,5), y C(-7,-2) como se muestra en la siguien-te gráfica. Determina sus ángulos internos.

Las pendientes de los segmentos son las siguientes:


tan $ = ,) −,'1 +,',)

,-. =5 − 3−4 − 6 = − 2

10 = −15

,.5 =−2 − 5

−7 − (−4) =73

,-5 =−2 − 3−7 − 6 =

513

tan $ = ,) −,'1 +,',)

Para ∠:

tan: =513 − −15

1 + 513 −15

=513 +

15

1 − 113

=38651213

= 494780 =

1930

∠: = >?@ tan 1930 = 32°20B50.8′′

Para ∠E

tanE =−15 −

73

1 + 73 −15

=−38151 − 7

15=−3815815

= −388 = −194

∠E = >?@ tan −194 + 180° = 101°53B19.1′′

Para ∠F

tan F =73 −

513

1 + 513

73=

7639

1 + 3539=76397439

= 7674 =

3837

∠F = >?@ tan 3837 = 45°45B50.03′′

∴ ∠: + ∠E + ∠F = 180°

A partir de las pendientes podemos encontrar los valores de los ángulos internos utilizando la ecuación:


tan $ = ,) −,'1 +,',)

,-. =5 − 3−4 − 6 = − 2

10 = −15

,.5 =−2 − 5

−7 − (−4) =73

,-5 =−2 − 3−7 − 6 =

513

tan $ = ,) −,'1 +,',)

Para ∠:

tan: =513 − −15

1 + 513 −15

=513 +

15

1 − 113

=38651213

= 494780 =

1930

∠: = >?@ tan 1930 = 32°20B50.8′′

Para ∠E

tanE =−15 −

73

1 + 73 −15

=−38151 − 7

15=−3815815

= −388 = −194

∠E = >?@ tan −194 + 180° = 101°53B19.1′′

Para ∠F

tan F =73 −

513

1 + 513

73=

7639

1 + 3539=76397439

= 7674 =

3837

∠F = >?@ tan 3837 = 45°45B50.03′′

∴ ∠: + ∠E + ∠F = 180°

Para ∠A


tan $ = ,) −,'1 +,',)

,-. =5 − 3−4 − 6 = − 2

10 = −15

,.5 =−2 − 5

−7 − (−4) =73

,-5 =−2 − 3−7 − 6 =

513

tan $ = ,) −,'1 +,',)

Para ∠:

tan: =513 − −15

1 + 513 −15

=513 +

15

1 − 113

=38651213

= 494780 =

1930

∠: = >?@ tan 1930 = 32°20B50.8′′

Para ∠E

tanE =−15 −

73

1 + 73 −15

=−38151 − 7

15=−3815815

= −388 = −194

∠E = >?@ tan −194 + 180° = 101°53B19.1′′

Para ∠F

tan F =73 −

513

1 + 513

73=

7639

1 + 3539=76397439

= 7674 =

3837

∠F = >?@ tan 3837 = 45°45B50.03′′

∴ ∠: + ∠E + ∠F = 180°

33


Parcial 1

Para ∠B


tan $ = ,) −,'1 +,',)

,-. =5 − 3−4 − 6 = − 2

10 = −15

,.5 =−2 − 5

−7 − (−4) =73

,-5 =−2 − 3−7 − 6 =

513

tan $ = ,) −,'1 +,',)

Para ∠:

tan: =513 − −15

1 + 513 −15

=513 +

15

1 − 113

=38651213

= 494780 =

1930

∠: = >?@ tan 1930 = 32°20B50.8′′

Para ∠E

tanE =−15 −

73

1 + 73 −15

=−38151 − 7

15=−3815815

= −388 = −194

∠E = >?@ tan −194 + 180° = 101°53B19.1′′

Para ∠F

tan F =73 −

513

1 + 513

73=

7639

1 + 3539=76397439

= 7674 =

3837

∠F = >?@ tan 3837 = 45°45B50.03′′

∴ ∠: + ∠E + ∠F = 180°

Para ∠C


tan $ = ,) −,'1 +,',)

,-. =5 − 3−4 − 6 = − 2

10 = −15

,.5 =−2 − 5

−7 − (−4) =73

,-5 =−2 − 3−7 − 6 =

513

tan $ = ,) −,'1 +,',)

Para ∠:

tan: =513 − −15

1 + 513 −15

=513 +

15

1 − 113

=38651213

= 494780 =

1930

∠: = >?@ tan 1930 = 32°20B50.8′′

Para ∠E

tanE =−15 −

73

1 + 73 −15

=−38151 − 7

15=−3815815

= −388 = −194

∠E = >?@ tan −194 + 180° = 101°53B19.1′′

Para ∠F

tan F =73 −

513

1 + 513

73=

7639

1 + 3539=76397439

= 7674 =

3837

∠F = >?@ tan 3837 = 45°45B50.03′′

∴ ∠: + ∠E + ∠F = 180°

I. En equipos de trabajo elaboren un collage en elqueejemplifiquendistintasaplicacionesdon-de se pueda percibir ángulos formados por la in-terseccióndedossegmentosrectilíneosycómosepodríautilizar laecuaciónparaelcálculodeángulos entre rectas en cada uno de ellos.

II. Trazar en un plano cartesiano los puntos dados y hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyosvérticesson:

a. A(5,3), B(-3,5), C(2,-1)b. A(1,3), B(-2,4), C(3,-1)c. A(2,3), B(-4,5), C(1,-2)d. A(0,2), B(10,-2), C(3,-5)e. A(1,2), B(3,6), C(7,-1)

III. En parejas, resuelvan los siguientes plantea-mientos, recuerdendiscutir susprocedimientosyreflexionartantoensusaciertoscomoensuserrores.

a. Encontrar la tangente del ángulo que for-man las rectas determinadas por los puntos A(-2,2), B(6,4) y C(2,7), D(-1,-2).

b. Demostrar que los cuatro puntos A(2,2), B(5,6), C(9,9) y D(6,5)sonvérticesdeunromboy que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

c. ¿Cuál es la pendiente de la recta que forma un ángulo de 135°, con la recta que pasa por los puntos de coordenadas A(-3,5) y B(0,1)?

d. Al cortarse dos rectas forman un ángulo de 150°,silarectafinaltienependientePendiente !" !,calcula, calcula la pendiente de la recta inicial.


34




La dimensión que estás desarrollando es Relaciona T, en la habilidad Con-ciencia social, éstas actividades apoyan el establecimiento de relaciones constructivas con otras personas y con la sociedad. Relaciona T es la dimen-sión interpersonal que agrupa aquellas habilidades que permiten relacionar-se mejor con los demás, tales como la empatía, la escucha activa o la resolu-ción de conflictos interpersonales. Ingresa al siguiente enlace:

https://qrgo.page.link/DzPv4 para descargar la ficha 2.6 La empatía para re-solver conflictos y desarróllala con tu docente en el aula.

CIERRE

Formas de la ecuación de la recta

La recta puede representarse de forma analítica de muchas maneras, es importante que tengas presente algunos conceptos de Álgebra para el manejo de ecuaciones lineales antes de con-tinuar, de no ser así, visita el siguiente enlace para tener un repaso del tema https://qrgo.page.link/5HywY

A partir de la definición de una pendiente po-dremos desarrollar las ecuaciones que definen el lugar geométrico de la recta, analicemos la siguiente gráfica:

Se tiene un punto dado P1 (x1, y1 ) y un punto cualquiera P(x,y), apliquemos el concepto de pendiente con las coordenadas dadas

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

35


Parcial 1

Si eliminamos el denominador tenemos:! = # − #%

& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Si reacomodamos los términos tendremos la ecuación de la recta en su forma pun-to-pendiente.

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Si tenemos ahora dos puntos dados P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ), podemos encontrar el valor de la pendiente y utilizarlo en la ecuación anterior, a ésta forma se le conoce como la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Si de la ecuación de la recta en su forma pun-to-pendiente despejamos la incógnita y

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Y consideramos la ordenada al origen con coor-denadas B(0,b) podemos sustituir en la ecua-ción anterior y encontrar la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen.

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Cuando en una recta se conocen sólo las in-tersecciones con los ejes se tienen los puntos A(a,0) (abscisa al origen) y B(0,b) (ordenada al origen), para encontrar una nueva ecuación usa-remos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y sustituiremos los valores mencionados.

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Dividimos toda la ecuación entre b y encontra-mos la ecuación simétrica de la recta.

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

36


Existen también dos casos especiales en las rec-tas con intersecciones en los ejes:

1. Cuando una recta tiene intersección sólo en el eje X se dice que es paralela al mismo y por tanto su ecuación se enuncia como:

x = a

2. Cuando una recta sólo interseca el eje Y, es decir, es paralela al mismo eje, su ecuación se escribe como:

y = b

Cuando las ecuaciones anteriores se igualan a cero y sus coeficientes en los términos lineales son números reales, se puede enunciar la ecua-ción de la recta en su forma general como en la siguiente ecuación.

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

A partir de los coeficientes de una ecuación ge-neral se pueden obtener los elementos necesa-rios para poder graficar el lugar geométrico, es decir, dada una ecuación podemos encontrar el lugar geométrico, de este modo, despejaremos la incógnita y

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Así podemos encontrar la pendiente de la recta a través del siguiente cociente:

37


Parcial 1

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

De igual modo encontramos la ordenada al origen:

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Si igualamos la ecuación general a la unidad podremos encontrar también la abscisa al origen.

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Por tanto, la abscisa al origen se obtiene del siguiente cociente:

! = # − #%& − &%

!(& − &%) = # − #%

# − #% = !(& − &%)

# − #% =#) − #%&) − &%

(& − &%)

# = ! & − &% + #%

# = !& + +

# − 0 = + − 00 − - (& − -)

# = −+- & + +

+- & + # = +

&- +

#+ = 1

/& + 0# + 1 = 0

0# = −/& − 1

# = −/0 & −10

! = −/0

+ = −10

/& + 0# = −1

−/1 & −01 # = 1

&−1/

+ #−10

= 1

- = −1/

Como te has dado cuenta existen distintas formas de representar una recta analíticamen-te, sin embargo, cada ecuación se utilizará de acuerdo a los datos que se tengan en el problema planteado. Observa la siguiente tabla donde se resumen los distintos tipos de ecuaciones de la recta.

EjemploEncuentra la ecuación general y simétrica de la recta que pasa por los puntos P1(-1,2) y P2(2,-5), así como las intersecciones con los ejes.

Partimos de la siguiente ecuación:

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

Sustituimos los valores proporcionados:

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

Elementos dados Ecuaciones Dos puntos Punto y pen-

diente

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

38


Multiplicamos la ecuación anterior por 3

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

La ecuación anterior es la ecuación general de la recta. Para encontrar la ecuación simétrica será necesario igualar a uno la ecuación.

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

Multiplicamos por -1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

Aplicamos el cociente del recíproco a los coefi-cientes

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

De éste modo tenemos la ecuación simétrica y podemos localizar las intersecciones con los ejes que se encuentran en los puntos

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

y

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

.

EjemploDada la ecuación de la recta 2x–5y+5=0, en-cuentra la gráfica del lugar geométrico y las in-tersecciones con los ejes.

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! = )& + +

! − !# = )(& − &#) &, +

!+ = 1

! − !# =!% − !#&% − &#

(& − &#)

! − 2 = −5 − 22 − −1 & − −1

! − 2 = −72 + 1 & + 1

! − 2 = −73 & + 1 (3)

3! − 6 = −7 & + 1

3! − 6 = −7& − 7

7& + 3! + 1 = 0

7& + 3! = −1

7& + 3! = −1 (−1) −7& − 3! = 1

&−17

+ !−13

= 1

os −#4 , 0 y 0,− #

6 . 2& + 5 = 5!

5! = 2& + 5

! = %8 & + 1

Con la ecuación de la forma pendiente ordenada al origen se puede obtener la siguiente gráfica.

Como podemos observar una de las intersec-ciones se encuentra en el punto (0,1), para en-contrar la intersección en el eje X utilizaremos la ecuación simétrica. 2" − 5% = −5 − '

(

− *( " + % = 1

-./0+ 1

' = 1

La segunda intersección se encuentra en el punto −(* , 0

La segunda intersección se encuentra en el punto

2" − 5% = −5 − '(

− *( " + % = 1

-./0+ 1

' = 1

La segunda intersección se encuentra en el punto −(* , 0

39


Parcial 1

Distancia de un punto a una recta

¿Alguna vez te preguntaste cual es el camino más corto para llegar de un punto a otro? Segu-ramente si, y habrás descubierto también que una línea recta siempre será la distancia más corta entre un lugar y otro, sin embargo, cuando necesitamos conocer la distancia de un punto a una recta ya existente debemos agregar una condición más.

Observa la siguiente gráfica donde se presenta un punto P(x,y) y una recta.

¿Cuál es la distancia más corta del punto P a la recta? Las tres opciones son líneas rectas, pero sólo una tiene la menor distancia.

En efecto el segmento Segment!"es

recta$% + '( + ! = 0es

+ = $%, + '(, + !$- + '-

El

+ = $%, + '(, + !$- + '-

+ = 2 1 + (−7) 4 + 32- + (−7)-

S

+ = 2 − 28 + 34 + 49

E

+ = −2353

5353

+ = 23 5353 9 ≈ 3.169

es el que tiene la menor longitud, ¿qué diferencia presenta res-pecto a los otros dos segmentos? El segmento

Segment!"es

recta$% + '( + ! = 0es

+ = $%, + '(, + !$- + '-

El

+ = $%, + '(, + !$- + '-

+ = 2 1 + (−7) 4 + 32- + (−7)-

S

+ = 2 − 28 + 34 + 49

E

+ = −2353

5353

+ = 23 5353 9 ≈ 3.169

es perpendicular a la recta. De este modo tenemos lo siguiente.

La distancia del punto P(x1 ,y1) a la recta Ax+By+C=0 está dada por la siguiente expresión:

Segment!"es

recta$% + '( + ! = 0es

+ = $%, + '(, + !$- + '-

El

+ = $%, + '(, + !$- + '-

+ = 2 1 + (−7) 4 + 32- + (−7)-

S

+ = 2 − 28 + 34 + 49

E

+ = −2353

5353

+ = 23 5353 9 ≈ 3.169

El valor del numerador deberá ser en valor abso-luto, de éste modo se garantiza que la distancia siempre sea positiva.

EjemploEncuentra la distancia del punto P(1,4) a la recta 2x-7y+3=0.

Utilizaremos la ecuación vista previamente.

Segment!"es

recta$% + '( + ! = 0es

+ = $%, + '(, + !$- + '-

El

+ = $%, + '(, + !$- + '-

+ = 2 1 + (−7) 4 + 32- + (−7)-

S

+ = 2 − 28 + 34 + 49

E

+ = −2353

5353

+ = 23 5353 9 ≈ 3.169

40


Sustituiremos los valores proporcionados en el problema, recuerda que las coordenadas del punto se sustituyen en los valores de la ecua-ción de la recta.

Segment!"es

recta$% + '( + ! = 0es

+ = $%, + '(, + !$- + '-

El

+ = $%, + '(, + !$- + '-

+ = 2 1 + (−7) 4 + 32- + (−7)-

S

+ = 2 − 28 + 34 + 49

E

+ = −2353

5353

+ = 23 5353 9 ≈ 3.169

Simplificamos las operaciones correspondien-tes.

Segment!"es

recta$% + '( + ! = 0es

+ = $%, + '(, + !$- + '-

El

+ = $%, + '(, + !$- + '-

+ = 2 1 + (−7) 4 + 32- + (−7)-

S

+ = 2 − 28 + 34 + 49

E

+ = −2353

5353

+ = 23 5353 9 ≈ 3.169

Eliminamos la raíz del denominador y se aplica el valor absoluto al numerador

Segment!"es

recta$% + '( + ! = 0es

+ = $%, + '(, + !$- + '-

El

+ = $%, + '(, + !$- + '-

+ = 2 1 + (−7) 4 + 32- + (−7)-

S

+ = 2 − 28 + 34 + 49

E

+ = −2353

5353

+ = 23 5353 9 ≈ 3.169

I. Trabajen en equipos de 3 personas y dados los siguientes pares de puntos que pertenecen a una recta, encuentren las ecuaciones en su forma si-métrica,general,puntopendienteygrafiquenlarecta correspondiente.

a. !(3,5) y '(7,2) b. *(1,3) y ,(6,5) c. . −3,−5 y 0 8,1

d. 2(2,4) y 4(−9,2)

a. 36 − 27 + 40 = 0

b. 6 + 87 + 3 = 0

c. 6 + 97 − 4 = 0

d. 6 − 27 − 5 = 0

e. 36 − 37 = 1

a. ; 3,−6 26 − 77 + 3 = 0

b. ; −2,5 36 + 47 − 5 = 0

c. ; −3,−7 7 − 3 = 0

d. ; −4,0 6 + 3 = 0

e. ; −1,7 126 + 57 + 26 = 0

II.Enparejasdetrabajografiquenlasrectasda-das por cada una de las ecuaciones dadas, pue-den usar más de un método.

a. !(3,5) y '(7,2) b. *(1,3) y ,(6,5) c. . −3,−5 y 0 8,1

d. 2(2,4) y 4(−9,2)

a. 36 − 27 + 40 = 0

b. 6 + 87 + 3 = 0

c. 6 + 97 − 4 = 0

d. 6 − 27 − 5 = 0

e. 36 − 37 = 1

a. ; 3,−6 26 − 77 + 3 = 0

b. ; −2,5 36 + 47 − 5 = 0

c. ; −3,−7 7 − 3 = 0

d. ; −4,0 6 + 3 = 0

e. ; −1,7 126 + 57 + 26 = 0

III. Encuentra la distancia de los puntos dados a las rectas solicitadas.

a. !(3,5) y '(7,2) b. *(1,3) y ,(6,5) c. . −3,−5 y 0 8,1

d. 2(2,4) y 4(−9,2)

a. 36 − 27 + 40 = 0

b. 6 + 87 + 3 = 0

c. 6 + 97 − 4 = 0

d. 6 − 27 − 5 = 0

e. 36 − 37 = 1

a. ; 3,−6 26 − 77 + 3 = 0

b. ; −2,5 36 + 47 − 5 = 0

c. ; −3,−7 7 − 3 = 0

d. ; −4,0 6 + 3 = 0

e. ; −1,7 126 + 57 + 26 = 0


41


Parcial 1

IV. Resuelve los siguientes problemas de apli-cación, comparte con el grupo tus procedi-mientos y retroalimenta tus conocimientos con tus compañeros. a. Una pieza de equipo comprada hoy en

$80,000 se devalúa linealmente hacia un valor de chatarra de $2,000 después de 20 años. Escriba una ecuación de su valor V des-pués de n años.

b. Un automóvil se mueve con velocidad cons-tante y recorre 60 km en media hora, si ese mismo automóvil recorre 150 km en una hora con 15 minutos, encuentra la ecuación que relaciona la distancia y en kilómetros recorrida

porelautomóvil,entérminosdeltiempoxenhoras.

c.Unapistoladegotchatiene150balasdepin-tura (x) y el promedio de disparos por minuto es de 8 unidades. Considerando un compor-tamientolineal,¿encuántotiemposequedarásin balas?

d. El servicio de TV por cable cuesta $240 al mes, lo que incluye 150 canales. Si se desea tener canales extras, el costo adicional es de $5.50 por cada canal. i. Determina el modelo lineal para el pago

mensual y por x canales.ii. Traza lagráficacorrespondienteyescribe

cuál es la ordenada al origen.Actividad

Socioemocional


¿Sabías que? Existe evidencia de que el aprendizaje de HSE contribuye a:

• Lograr un mejor desempeño académico• Generar un clima escolar positivo• Lograr trayectorias laborales exitosas• Prevenir situaciones de riesgo en las y los jóvenes: embarazo adolescen-te, abandono escolar, drogadicción, violencia, entre otros.

Ingresa al siguiente enlace: https://qrgo.page.link/DzPv4 para descargar la ficha 3.6 Plan para propiciar relaciones constructivas

42


Leedetenidamentelasiguientelecturaycontestalosrequerimientosexpuestosalfinaldeella,trabajaenequiposdetrabajopararealizarlasactividades.

Actividad transversal

Como hemos visto, cada estación de crecimiento en la vida de un árbol deja su registro en el anillo de xi-lema secundario formado en el tronco. Los anillos de crecimiento son visibles debido a las diferencias en la densidad de la madera producida al comenzar la estación de crecimiento y la que se produjo al final de la estación. La madera formada al comienzo de la estación tiene células grandes con paredes delgadas mientras que, al finalizar, la madera tiene células más pequeñas con paredes proporcionalmente más gruesas. Dentro de una capa de crecimiento dada, el cambio de la madera inicial a la final puede ser bas-tante gradual, pero se ve un cambio distintivo donde las células pequeñas, de paredes gruesas, de la ma-dera final de una estación de crecimiento lindan con las células de mayor tamaño y de paredes delgadas de la madera inicial de la siguiente estación de cre-cimiento.

El ancho de las capas de crecimiento puede variar notablemente de un año a otro, dependiendo de fac-

1 Curtis, H., Barnes, S. (2001). Biología (p. 977): Medica Panamericana

tores ambientales tales como la luz, la temperatura, las lluvias, el agua disponible en el suelo y la dura-ción de la estación de crecimiento. En condiciones favorables, los anillos de crecimiento son anchos; en condiciones desfavorables son estrechos. En las re-giones semiáridas, donde caen muy pocas lluvias, los árboles funcionan como pluviómetros sensibles.

La información que suministran los anillos de creci-miento de las gimnospermas y las angiospermas está siendo utilizada no sólo para reconstruir las con-diciones climáticas del pasado, sino también para ayudar a predecir las condiciones futuras. Con un conocimiento más preciso de los climas pasados que el que aportan los registros humanos –aun aquellos de los últimos siglos– es posible determinar patro-nes cíclicos de cambios en las temperaturas, y en las lluvias y sequías. Esta información es de importancia considerable, por ejemplo, para planificar un manejo sensato de nuestros recursos finitos de agua dulce y su distribución.

El registro de los anillos1

43


Parcial 1

I. Diseña una ecuación lineal para describir el proceso de crecimiento de un árbol conside-randodosvariables,unaparamedireldiámetrodeltroncoyotraparadeterminareltiempo,exprésalaensuformaordinaria(pendiente-ordenadaalorigen)yreflexionarespectoaquérepresenta la pendiente en el contexto del crecimiento del árbol. Toma como base fotogra-fíasdecortestransversalesdeárbolesobuscaentucomunidadalgúnárboltaladodondepuedan apreciarse los anillos del árbol.

II. Los factores ambientales permiten acelerar o disminuir el crecimiento, genera dos ecua-ciones más considerando los factores antes citados y contrasta las pendientes generadas en cada una de ellas.

III. Generen un debate grupal donde expongan la importancia del cuidado de los árboles e investiguenrespectoalamodificacióngenéticadelosmismosparaaumentarlaproduccióndemaderaoincrementarlaproduccióndeoxígeno.Utilicenlasgráficasquerealizaronparaargumentar sus ideas.

44


Sistema de Posicionamiento GlobalEl Sistema de Posicionamiento Global (GPS) es un ser-vicio propiedad de los EE.UU. que proporciona a los usuarios información sobre posicionamiento, navega-ciónycronometría.Estesistemaestáconstituidoportres segmentos: el segmento espacial, el segmento de control y el segmento del usuario. La Fuerza Aérea de los Estados Unidos desarrolla, mantiene y opera lossegmentos: espacial y de control.

Los satélites del GPS proporcionan servicios a usua-rios civiles y militares. El servicio a civiles es gratuito y está a disposición de todos los usuarios de manera permanente y global. El servicio militar se presta a las fuerzas armadas de los Estados Unidos, sus aliados y los organismos de gobierno debidamente autorizados.

Realidad Aumentada

45


Parcial 1

Desarrollo formativodel estudiante

Para ubicarnos en un mapa necesitamos hacer uso de coorde-nadas, hoy día incluso enviamos a través de las redes sociales información referente a donde nos encontramos en cada mo-mento.

Reúnete en equipos de cuatro integrantes e investiguen cada uno de los distintos tipos de coordenadas geográficas exis-tentes y qué herramientas se utilizan para su conversión de un sistema a otro, elaboren un reporte de su investigación donde incluyan lo siguiente:

- Portada.- Introducción.- Tipos de coordenadas.- Tipos de sistemas de ubicación geográfica.- Coordenadas en distintos sistemas del lugar de donde vi-

ven, además de exportar uno de los mapas a Geogebra y ubicar el mismo punto en un plano cartesiano.

- Conclusiones.

Acuerden con su docente una fecha de entrega y revisen la rúbrica de evaluación para realizar su investigación.

Criterio Descripción Nivel I(0-5)

Nivel II(6-8)

Nivel III(9-10)

Trabajocolaborativo Propicialaparticipación,inclusiónyres-peto de todos los integrantes del equipo, moderalasparticipacionesypropicialatoma de decisiones consensuadas.

Uso de TICS IndagautilizandolasTICparapresentaruntrabajoeficiente,presentandoundominioen el uso de Geogebra.

Coordenadas Muestra evidencia de cada uno de los tiposdecoordenadasexistentesasícomosus diferentes sistemas y establece una relación en cada una de ellas.

Presentación La presentación es clara y concisa, presen-taenordeneltrabajodeinvestigaciónytransmiteeficazmentesusresultados.

Total

Calificación

46


Conflicto por celos Aspectos culturales que inluyen en mi perspectiva ¿Cómo lo transformaría?



Perspectiva y culturaPara comprender cómo la cultura se relaciona con nuestras emociones y con la ma-nera en que afrontamos los conflictos en la vida diaria, es importante reconocer, de todo lo que nos rodea, qué aspectos son culturales y la relación que guardan con nuestras actitudes.Cuando estamos molestos, por ejemplo, podemos pensarlo dos veces antes de ofen-der a alguien o actuar arrebatadamente diciendo cosas que no queríamos. La manera y las palabras que elegimos son culturales y pueden ser modificadas. ¿Te has pregun-tado cómo influye tu entorno en tus relaciones y sus conflictos?El reto es distinguir qué aspectos de tu cultura han influido en tu perspectiva respec-to a un conflicto de pareja.

Actividad 1.a. En equipos de 4 integrantes, lean la siguiente de-nición de cultura:

Es el conjunto de costumbres, creencias, ideas, tradiciones, orientaciones y rasgos idiomáticos que caracterizan a una comunidad o grupo de personas. La cultura, a diferencia de los aspec-tos biológicos, es creada por las personas y es contextual, es decir que se vincula con el área geográfica y el tiempo en que vivimos.

b. Analicen esta denición a partir de sus propios rasgos culturales y hagan una lista de al menos 4 elementos de ellos, por ejemplo: hablar español, es-cuchar cierto tipo de música, etc.

Nota: nuestros comportamientos frente a las demás personas son rasgos de nuestra cultura. Hay aspectos que vale la pena conservar, como cuando somos amorosos o asertivos, pero los aspectos violentos, es mejor cambiarlos para bien de todos.

c. Discutan si su manera de ver, entender y afrontar los conictos tiene que ver con esos rasgos culturales y por qué.

Actividad 2.Hay aspectos de nuestra cultura que pueden estar relacionados con ser negativos o violentos, pero po-demos modicarlos.

Con ayuda de tus compañeros de equipo piensa y completa la siguiente tabla identicando aspectos culturales, cómo inuyen en tu perspectiva ante un conicto de pareja, por ejemplo, alguno que sea re-sultado de los celos. Anota cómo los transformarías de manera positiva. Puedes utilizar la siguiente tabla aquí o en tu cuaderno:

“La cultura es, en primerlugar, expresión de una

nación, de sus preferencias,de sus tabús, de sus modelos”.

Frantz Fanon .

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Parcial 1

Reafirmo y ordenoLos componentes de nuestra cultura suelen orientar nuestra perspectiva, darnos pautas actitudinales y pueden influenciarnos de manera constructiva o perjudicial. Es cues-tión de analizarlos detenidamente y, revisar nuestras actitudes y comportamientos y los aspectos que los legitiman como las creen-cias, los medios de comunicación, entre otros. La manera en que expresamos nues-tras emociones es cultural y siempre puede ser modificada para mejorar nuestras rela-ciones. Esto se conoce como transformación y podemos intentarla día con día.

Para tu vida diariaNuestras actitudes, que suelen reflejarse en nuestros puntos de vista frente a un conflic-to, son producto de nuestra cultura. A través de ellas también podemos influir en quienes nos rodean: ser amable, actuar con justicia, con amor y respeto; verás que tus allegados comenzarán a aprender de ti como tú has aprendido. Además, siendo consciente de cómo te influyen algunos rasgos culturales, puedes aprender a mirar los conflictos des-de otro punto de vista, sin dejar de ser quien eres, para buscar soluciones creativas.

¿Quieres saber más?Hay películas que te pueden ayudar a com-prender la relación cultura-conflicto y a replantearte la manera en que los obser-vas y afrontas, como La boda de mi mejor amigo1, Juno2, El viaje de Chihiro3, donde los protagonistas afrontan con creatividad sus conflictos, pasando por procesos de trans-formación y sin olvidar quienes son.

Concepto claveRasgos culturales:Son las costumbres, creencias, ideas, tradi-ciones, orientaciones e idioma que caracte-rizan a una comunidad o grupo de personas.

GlosarioTransformación:En términos de resolución pacífica de con-flictos, implica una postura responsable de reconocimiento de aquello que resulta vio-lento para modificarlo hacia el bienestar de las partes involucradas.

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1. La temperatura en un día soleado es de 30°C ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

°" = $% °& + 32

a. * = −,

- , / = 4

b. * = −2, / = 4

c. * = −,- , / = 2

d. * = −2, / = 2

a) 48.6b) 60.4c) 77d) 86

2. Carlos compra cuatro cajas de naranjas y cada una pesa entre 18 y 20 kilogramos. Si vende 2 ca-jas y 15 kilogramos más, entonces le sobraran entre ____________ y ____________ kilogramos de naranjas.

a) 21-25b) 36-40c) 51-55d) 57-65

3. En una panadería hay 3 panaderos, cada uno pro-duce determinada cantidad de hojaldras. El prime-ro produce 100 en media hora, el segundo 100 por hora y el tercero 150 por hora. ¿Cuántas conchas producirán entre los tres en 4 horas?

a) 1800b) 900c) 450d) 2250

4. En una compañía de autos, 30% de los emplea-dos son miembros de algún club deportivo; de ellos, 20% se ubica en la zona sur. Si la compañía cuenta con 300 empleados, ¿cuántos de ellos asisten a un club deportivo en la zona sur?

a) 18b) 20c) 60d) 150

5. Alberto vive en la casa ubicada en el sitio A; su mejor amigo, en la casa marcada con la letra B y su novia, en la casa marcada con la letra C. Van a asistir juntos a un concierto, y tiene que pasar a recogerlos. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos que tie-ne que visitar para realizar su cometido?

a) (-3,1),(4,-2)b) (-3,4),(1,-2)c) (1,-3),(-2,4)d) (3,-1),(-4,2)

6. ¿Cuál es el valor de la pendiente (m) y la ordena-da en el origen (b) de la recta que se muestra en la gráfica?

°" = $% °& + 32

a. * = −,

- , / = 4

b. * = −2, / = 4

c. * = −,- , / = 2

d. * = −2, / = 2

Hacia la pruebaPLANEA

A

B

C

49


Parcial 1

7. ¿Cuál es la gráfica que representa la paralela a la recta 3x-4y–8=0 con ordenada al origen 3?

a)

b)

c)

d)

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Transformación de la sociedad

Mapeo para la Vigilancia e Investigación de Brotes1

La caja de herramientas de la epidemiología es diversa y maravillosa. Los métodos estadísticos de por sí son un desafío intelectual: se pueden obtener números para cuantificar asociaciones de aquí a la eternidad. Después de todo, ¿a quién no le gusta sentarse frente a un escritorio ordenado con un montón de resultados para descifrarlos? Pero ¿qué pasaría si una imagen nos pudiera dar la misma información que aquellas hojas y hojas de números? Para quienes somos más visuales, en epidemiología comúnmente se usan mapas para presentar información complicada de manera sucinta y clara.

MapasEl estudio epidemiológico documentado más antiguo se basó en mapas. En su investigación sobre un brote de cólera en Londres en 1854, el Dr. John Snow usó mapas (Figura 1) y datos estadísticos para rastrear el origen del brote, que lo llevó hasta una bomba pública de agua en la calle Broad y de-mostró que el pozo se había contaminado por una alcantarilla de un colector cercano.

Figura 1. Mapa de John Snow de los casos de cólera en Londres, Inglaterra en 1854.

Un ejemplo más reciente (Figura 2) muestra un mapa creado durante la vi-gilancia participativa de enfermedad y actividades de respuesta en torno a la influenza aviar en la zona rural de Indonesia en 2005. El mapa fue creado muestra la secuencia de eventos durante un brote de influenza aviar alta-mente patogénica H5N1 en las aves de una pequeña villa.

La enfermedad, inicialmente, se esparció a través de la villa desde la casa 1 a la casa 5; la enfermedad también apareció en una segunda villa cercana de 12 hogares (designada como número 6 en el mapa) y en una granja local con comercio de parrilladas (esquina superior derecha).

La investigación subsiguiente reveló que los residentes de la casa 1 y de los hogares de la segunda villa trabajaban en la granja y probablemente intro-dujeron el virus H5N1 a sus comunidades llevándolo a sus casas en sus za-patos y ropa. 2 Recuperado el 20 de enero de 2020 de: [https://nciph.sph.unc.edu/focus/vol5/is-sue2/5-2Mapping_espanol.pdf]. Texto adaptado con fines didácticos.

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Parcial 1

Figura 2. Mapa que documenta un brote de influenza

Sistemas de Información GeográficaAdemás de los mapas dibujados a mano, los epide-miólogos también pueden aprovechar sofisticados programas de programa informático para mostrar y analizar información espacial. Un sistema de infor-mación geográfica (SIG) es un programa computa-cional diseñado para almacenar, manipular, anali-zar, y mostrar datos en un contexto geográfico.

Las capacidades de un SIG son ideales para usar en vigilancia y control de enfermedades infecciosas, y en investigaciones y respuesta a brotes.

Los SIG pueden ayudar a:• Optimizar la recolección de datos y su ad-

ministración;• Fortalecer el análisis de datos;• Fortalecer la infraestructura y soporte para

brotes;• Hacer mapas de dinámicas epidemiológicas en

tiempo casi real;• Planificar y dirigir una respuesta rápidamente;• Comunicar información rápidamente;

• Monitorear cambios en enfermedades a través del tiempo;

• Planificar y monitorear programas de interven-ción y erradicación; y

• Ayudar en la preparación para emergencias ha-ciendo mapas de datos de vigilancia en tiempo casi real, para una detección temprana de brotes.

Sistemas de Posicionamiento GlobalLos sistemas de posicionamiento global (GPS) agre-gan funcionalidades adicionales al SIG y aumentan las capacidades durante una investigación de brote. Los GPS son una herramienta crítica en la investi-gación de epidemiología en la cual es esencial la identificación precisa de sujetos de investigación, su ubicación, y distancias a elementos geográficos rela-cionados. Las unidades de GPS permiten a los usua-rios ubicar sus posiciones en un mapa electrónico en cualquier momento usando tecnología satelital.

El avance de las enfermedades, en especial enfer-medades infecciosas, es inevitablemente espacial. (8). La infección se desplaza de individuo a indivi-duo siguiendo una red de contactos dentro de una población mediante transmisión local e incluso global. Tal como las agencias de salud han ido des-cubriendo progresivamente, la capacidad de un SIG de capturar información geoespacial es idealmente adecuada para la vigilancia y control de enfermeda-des infecciosas. El SIG es también altamente rele-vante para cubrir las demandas de investigaciones de brote y respuesta.

Para reflexionar

Ahora reflexiona con las siguientes preguntas:

¿Por qué el uso de mapas es importante en investigaciones epidemiológicas?

¿Cómo se involucra la Geometría Analítica en éste campo de investigación?

¿Por qué es importante poseer la ubicación de un brote de una epidemia?

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Portafolio deEvidencias

Criterio DescripciónNivel I(0-5)

Nivel II(6-8)

Nivel III(9-10)

Trabajo colaborativo

Propicia la participación, inclusión y respeto de todos los integrantes del equipo, modera las participaciones y propicia la toma de decisiones consensuadas.

Uso de TICSIndaga utilizando las TIC para presentar un trabajo eficiente, presentando un dominio en el uso de Geogebra.

GráficasLas gráficas presentadas cuentan con todos los elementos del plano cartesiano y establecen rela-ciones de crecimiento en distintos seres vivos.

Relación transversalIncluye la relación del estudio del crecimiento con otras ciencias como la Biología y la Ética en sus conclusiones.

Presentación El reporte es claro y limpio y cumple con las especificaciones solicitadas.

Total

Calificación

Criterios de evaluación Cumple No cumpleSe extrae la información de cada ejercicio para su solución.

Elabora las gráficas necesarias para la solución del problema.

Emplea adecuadamente el plano cartesiano

Realiza las operaciones correspondientes desarrolladas paso a paso

Obtiene resultados correctos

Desarrolla todos los procedimientos en orden y limpieza.

Evalúa tu desempeño, elige la calificación que representa el nivel que alcanzaste, escríbela en la casilla correspondiente, divide el total entre 5 y anota el resultado.

Autoevaluación y heteroevaluación

Lista de cotejo para evaluación de los ejercicios propuestos

Coevaluación

Evaluación de las actividades socioemocionales

Autoevaluación¿Qué funcionó bien y qué efectos positivos se observaron al realizar las actividades?

Escribe tus dificultades o áreas de oportunidad que analizaste en las actividades socioemocionales

¿Qué lecciones contribuyeron a identificar situaciones que favorecen el desarrollo de la confianza, el respeto y por tanto la seguridad psicológica?

¿Por qué me involucré o no, en las actividades guiadas por el docente?, ¿tuve confianza en el grupo durante el desarro-llo de las lecciones?

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p rohibida su repcc

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