J) PROBLEMAS PROPUESTOS 1.Siunapruebasecomponede12preguntasdeverdadero-falso,a.decuantas maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?, b. S deantemanoelmaestroledicequelaprimerapreguntaesverdadera,cuntas maneras tiene de contestar esta prueba?. a. r=4,096 maneras b. r=2,048 maneras 2. Un fabricante tiene dificultades para obtener registros consistentes de resistencias a latensinentretresmquinaslocalizadasenlaplantadeproduccin,ellaboratorio deinvestigacinyellaboratoriodecontroldecalidad,respectivamente,almismo tiempo hay cuatro posibles tcnicos Toms, Enrique, Rafael y Javier- quienes operan almenosunadelasmquinasapruebaregularmente,a.cuntosparesoperador-mquina deben incluirse en un experimento planeado en el que cada operador maneje todaslasmquinas?,b.Siserequierequecadaparoperador-mquinapruebeocho especimenes,cuntosespecimenesdepruebasenecesitanparaelprocedimiento ntegro? Nota: un espcimen se destruye cuando se mide su resistencia a la tensin. a.a.r=12paresb.r=96 especimenes 3. Un inspector de construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevode departamentos, ya sea el lunes, el martes, mircoles o jueves, a las 8 A. M., a las 10 A. M. o a las 2 P. M. , a. cuntas maneras tiene este inspector de hacer las revisiones del cableado?,b.Obtengalasmanerasenqueelinspectorpuederealizarlasrevisiones del cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de rbol. a y b. r=12 maneras 4.SiloscincofinalistasdeuntorneointernacionaldegolfsonEspaa,Estados Unidos,Portugal,UruguayyJapn,a.Digadecuantasmanerasesposiblequese otorgueunprimero,segundolugarytercerlugar,b.Considerandoqueelprimer lugar lo gana Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos, cuantas maneras hay de que se otorguen los lugares antes mencionados?. a. r=60 maneras, b. r=3 maneras 5.Unacomputadoradepropsitoespecialcontienetresconmutadores,cadaunode los cules puede instalarse de tres maneras diferentes. De cuantas maneras diferentes puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? r= 27 maneras 6.Decuantasmanerasordenadaspuedeprogramarundirectordetelevisinseis comerciales en los seis intermedios para comerciales durante la transmisin televisiva del primer tiempo de un partido de hockey?, si, a. los comerciales son todos diferentes, b.dosdeloscomercialessoniguales,c.Sihaycuatrocomercialesdiferentes,unode los cuales debe aparecer tres veces, mientras que cada uno de los otros debe aparecer una sola vez. a. r=720 maneras b. r=360 maneras c. r=120 maneras 7. Determine el nmero de maneras en las que un fabricante puede seleccionar dos de las quince ubicaciones para un almacn. r=105 maneras 8. Una caja de 12 bateras recargables, contiene una defectuosa, de cuantas maneras uninspectorpuedeseleccionartresdelasbaterasy,a.obtenerladefectuosa,b.no obtener la defectuosa. a. r=55 maneras, b. r=165 maneras 9.Eldepartamentodesuministrostieneochodiferentesmotoreselctricosycinco diferentes interruptores de arranque. De cuantasmaneras pueden seleccionarse dos motoresydosconmutadoresparaunexperimentodeunaantenaderastreo?,r=280 maneras 10.Alosparticipantesdeunaconvencinselesofrecen6recorridospordapara visitarlugaresdeintersdurantelostresdasdeduracindelevento.Encuantas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno de ellos? r=18 formas 11.Undeterminadozapatosefabricaen5estilosdiferentesyen4coloresdistintos para cada uno. Sila zapatera desea mostrara su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores, cuntos pares distintos debern colocar en el aparador? r=20 12. Un estudiante de primer ao debe tomar un de ciencia, uno de humanidades y otro dematemticas.Sipuedeescogerentrecualquierade6cursosdeciencias,4de humanidades y 4 de matemticas, cuntas maneras tiene de seleccionar las materias? r=96 maneras 13.Unurbanistadeunanuevasubdivisinofrecealosclientesprospectosparala compradeunacasa,laposibilidaddeseleccionarcualquierade4diseosdiferentes, tres sistemas de calefaccin, cochera con puertas o sin ellas, y patio o prtico, cuntos planes distintos estn disponibles para el comprador? r= 48 planes 14. Si una prueba de seleccin mltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, a. en cuantas formas diferentes puede unestudianteescogerunarespuestaparacadapregunta?,b.encuantasformas puedeunestudianteescogerunaalternativaparacadapreguntaytenertodaslas respuestas incorrectas? a. r= 1024 b. r=243 15.Untestigodeunaccidentedetrnsitoenelqueelcausantehuy,leindicaal policaqueelnmerodematrculadelautomviltenalasletrasDUHseguidaspor tresdgitos,elprimerodeloscualeserauncinco.Seltestigonopuederecordarlos otros dos dgitos, pero est seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el nmero mximo de registros de automvil que debe verificar la polica. r=72 registros 16.a)Decuantasmaneraspuedenformarse6personasparasubiraunautobs?, b.sitresdeellasinsistenenseguirseunaalaotra,encuantasformasesesto posible?,c.Si dos personas se rehsan a seguirse una a la otra? a. r=720 b. r=144 c. r=480 maneras 17. a) cuntos nmeros de tres dgitos pueden formarse con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y6,sicadaunosolopuedeusarsesolounavez?,b)cuntosdeestosnmerosson nones?, c) cuntos son mayores que 330? a. r=180 b. r=75 c. r=105 nmeros 18.Encuantasformaspuedensentarseenunalnea4niosy5nias,sideben colocarse alternadamente? r=2880 formas 19. Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. En cuantas formas diferentespuedensentarsea.sinrestricciones?,b.sisesientanporparejas?,c.si todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres? a. r=40,320 b. r=384 c. r=576 20. Cuntos mens que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco se puede ofrecersisepuedeseleccionarentre4sopasdiferentes,3clasesdeemparedados,5 postres y 4 refrescos? r=240 mens 21.Encuantasformaspuedenllenarselas5posicionesinicialesdeunequipode baloncesto con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas? r=6720 formas 59280 22. Se sacan tres boletos de la lotera, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercerpremios.Encuentreelnmerodepuntosmuestralesenoparaotorgarlossi cada concursante conserva solo un boleto. r=59,280 puntos 23.Encuantasformaspuedenplantarse,alolargodelalneadivisoriadeuna propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 arces, si no se distingue entre los rboles de la misma clase? r=1,260 formas 24.Nuevepersonassalendeviajeparaesquiarentresvehculoscuyascapacidades son de 2, 4 y 5 pasajeros, respectivamente. En cuntas formas es posible transportar a las 9 personas hasta el albergue con todos los vehculos? r=4,410 formas 25.Cuntasformashaydeseleccionara3candidatosdeuntotalde8recin graduadosyconlasmismascapacidadesparaocuparvacantesenunafirma contable? R=56,,21,,10 formas 26.Enunestudioquerealizaronencalifornia,eldecanoLesterBreslowyeldoctor JamesEnstromdelaSchoolofPublicHealthdelaUniversityofCaliforniaenlos Angeles,seconcluyquealseguir7sencillasreglasdesalud,lavidadeunhombre puede alargarse, en promedio 11 aos, y la de las mujeres siete. Estas 7 reglas son: no fumar,hacerejercicioregularmente,tomaralcoholsoloenformamoderada,dormir sieteuochohoras,conservarunpesoapropiado,desayunarynocomerentre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas, a. si actualmentelasviolatodas?,b.sinuncatomabebidasalcohlicasysiempre desayuna? a. r=21 formas b.r=10 formas 27. Un dispositivo Biomecnico para emergencias mdicas puede operar 0, 1 o 2 veces pornoche.Traceundiagramaderbolparademostrarqueexisten10maneras diferentes en las que puede operar para un total de 6 veces en cuatro noches. UNIDAD II. PROBABILIDAD En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestin, pero es posible tener siempre lacertezatotalentodoproyectooactividadquesedesearealizar?,esmuydifcil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por ms simple que este sea,steestsujetoaunagrandiversidaddefactoresqueafectansuocurrencia, entonces que es lo ms aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basndose en estadsticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisin basados en esta informacin. A)CONCEPTO. Laprobabilidadseencargadeevaluartodasaquellasactividadesendondesetiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidadestpresenteencasientodaslasactividadesquesepretendarealizar, ejemplos: -Cualquier proyecto de Ingeniera o de otras reas -Competencias deportivas -Juegos de azar, etc., etc. Cmo podemos calcular probabilidades? 1. Haciendo uso de las estadsticas. En este caso, se hace uso de la informacin que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa, y despus de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas. Ejemplo.Determinelaprobabilidaddequeenciertalneadeproduccinse manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la produccin de la ltima semana en esta lnea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8 productos defectuosos. p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana = 18 / 1500 = 0.012 Loanteriornosindicaqueesmuyprobableque1.2productosdecada100quese manufacturen en esa lnea sern defectuosos. Porquseutilizparacalcularlasprobabilidadeslainformacindelasemana inmediata anterior?. Debido a que esta refleja la situacin que guarda actualmente la produccin de la lnea mencionada. 2.Basndoseenlaexperimentacin.Haycasosenlosquedespusderepetirun nmeromuygrandedevecesunexperimento,esposibledeterminarlas probabilidades de ocurrencia de algunos eventos, tales como: La probabilidad de que aparezca guila al lanzar una moneda equilibrada, la probabilidad de que aparezca el nmero 3 en un dado, etc., etc. Ejemplos: p(guila) =1/2 = 0.5 p(aparezca el nmero 3)= 1 / 6 = 0.1666 3. Asignando probabilidades. En este caso se hace uso de las probabilidades obtenidas medianteestadsticasylaexperimentacinyseasignanaloseventospreviamente descritos y a partir de ellas se determinan probabilidades de otros eventos. Acontinuacinsedefinenalgunascuestionesimplcitasenelclculode probabilidades. a)Espaciomuestral(o).-Eselconjuntodetodoslosresultadosposiblesdeun experimento. Es nuestro Universo. Ejemplos: 1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento. o= {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral. o = {AA, AS, SA, SS} b) Evento A.- El evento A es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplos: 1.SeaAeleventodequeaparezcaunnmeroparenellanzamientodeundado, entonces; A = {2,4,6} 2. Sea B el evento de que aparezcan dos guilas en tres lanzamientos de una moneda normal, entonces; Como o = {AAA, AAS, SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS} Luego B = {AAS, SAA, ASA} a)a) Sea | un evento que carece de elementos. | = {} Como se observa los experimentos y eventos probabilsticos se pueden expresar con la notacindeconjuntosyacontinuacinseenumeranalgunasoperacionesquees posible realizar con los eventos. 1) AB Es el evento que ocurre si y solo s A ocurre o B ocurre o ambos ocurren. AB = 2) AB Es el evento que ocurre s y solo s A y B ocurren a un mismo tiempo. 3) Ac Es el complemento de A. Es el evento que ocurre s y solo s A no ocurre. 1)1) Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes o exclusivos si AB = | Ejemplo: En un saln de clase hay 15 alumnos, 7 de los cules son de tercer semestre, 5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto semestre de la carrera de Ingeniera Qumica, de los cuales 4, 2 y 1 respectivamente dominan el Ingls, si se selecciona un alumno A B o AB AB o + B A AB = + + AB AB o AB = A Ac o A B o al azar de este grupo, a. cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea dequintosemestre?,b.culeslaprobabilidaddequeseadeterceroocuarto semestre?, c. cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de tercer semestreydomineelingls?,d.culeslaprobabilidaddequeelalumno seleccionadonodomineelingls?,e.DigasiloseventosTyQsonmutuamente excluyentes, diga si los eventos Q e I son mutuamente excluyentes? Solucin: Empezaremos por definir algunos eventos; T = evento de que un alumno sea de tercer semestre Cu = evento de que un alumno sea de cuarto semestre Q = evento de que un alumno sea de quinto semestre I = evento de que un alumno domine el ingls a.a. p(alumno seleccionado sea de quinto semestre) = p(Q) = 3/15 = 0.2 b.b. p(alumno seleccionado sea de tercero o cuarto semestre)= p(T Cu) = = p( T) + p(Cu) = 7/15 + 5/15 = 12/15 = 0.8 c.c.p(alumnoseadetercersemestreydomineelingls)=p(TI)=4/15= 0.26667 d.d. p(alumno seleccionado no domine el ingls) = p(Ic ) = 8/15 = 0.53333 e.e. Los eventos T y Q son mutuamente excluyentes dado que TQ = | Los eventos Q e I no son eventos mutuamente excluyentes, ya que QI= {1} Yaquehayunalumnoquecumpleconamboseventos,esdequintosemestrey domina el ingls. B) AXIOMAS Y TEOREMAS. ParaelclculodeprobabilidadeshayquetomarencuentalosAxiomasyTeoremas que a continuacin se enumeran. 1)LaprobabilidaddequeocurrauneventoAcualquieraseencuentraentreceroy uno. 0 s p(A) > 1 2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral o debe de ser 1. p(o) = 1 3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B) Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces; p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An) TEOREMAS TEOREMA 1. Si | es un evento nulo o vaco, entonces la probabilidad de que ocurra | debe ser cero. p(|)=0

DEMOSTRACIN: Sisumamosa|uneventoAcualquiera,como|yAsondoseventosmutuamente excluyentes, entonces p(A|)=p(A) +p(|)=p(A). LQQD TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 p(A) DEMOSTRACIN: Si el espacio muestral o, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego o=AAc, portanto p(o)=p(A) + p(Ac) y comoen el axioma dos se afirma que p(o)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD TEOREMA 3. Si un evento A c B, entonces la p(A) s p(B). A o A Ac o DEMOSTRACIN: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A),portanto,B=A(B\A)yp(B)=p(A)+p(B\A),luegoentoncessip(B\A)>0 entonces se cumple que p(A)sp(B). LQQD TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) p(AB) DEMOSTRACIN:SiAyBsondoseventoscualquiera,entonceseleventoAse puedesepararendoseventosmutuamenteexcluyentes,(A\B)yAB,portanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) p(AB). LQQD TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) p(AB). DEMOSTRACIN: o A B\A B AB A\B AB o AB AB o Si AB = (A \ B)B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(AB) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) p(AB). LQQD COROLARIO: ParatreseventosA,ByC,p(ABC)=p(A)+p(B)+p(C)p(AB)p(AC) (BC) + p(ABC). A B C o ABABC BC AC