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Ourense, 16-18 de noviembre de 2006
Una revisión del supuesto de convergencia en las regiones europeas bajo
el prisma de la inestabilidad†.
Jesús Mur(*), Fernando López (**) y Ana Angulo(*)
(*) Departamento de Análisis Económico Universidad de Zaragoza Gran Vía, 2-4. (50005) Zaragoza. e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] (**) Departamento de Métodos Cuantitativos e Informáticos Universidad Politécnica de Cartagena. Paseo Alfonso XIII, 50 - 30203 Cartagena. (Murcia). e-mail: [email protected]
Resumen
El trabajo se centra en el problema de la falta de estabilidad en los coeficientes de dependencia espacial. El supuesto de homogeneidad de este tipo de parámetros es una hipótesis mantenida que raramente se cuestiona a pesar de que, en muchas situaciones, existen fuertes indicios en su contra. En el trabajo tomamos como caso de discusión un modelo de β-convergencia con efectos espaciales para la renta per cápita de las regiones europeas. A continuación desarrollamos los Multiplicadores de Lagrange necesarios para contrastar la existencia de varios regímenes de dependencia espacial, que aplicamos al caso mencionado. La evidencia obtenida nos lleva a cuestionar el supuesto de estabilidad en las relaciones de dependencia transversal que afecta en la distribución de la renta en Europa.
Keywords: Dependencia espacial; Ruptura estructural; Convergencia regional.
JEL Classification: C21; C50; R15
† Agradecimientos: Este trabajo ha sido posible gracias al apoyo financiero obtenido del proyecto con
código SEJ2006-02328/ECON del Ministerio de Educación y Ciencia del Reino de España.
1
1- Introducción
La literatura sobre crecimiento económico y convergencia es muy amplia
como lo atestiguan los distintos trabajos que en los últimos años se han ocupado en
ofrecer un ‘estado de la cuestión’ (Durlauf y Quah, 1999, Fingleton, 2003a, Magrini,
2004, Rey y Janikas, 2005, Arbia, 2006). En Paralelo, la aceptación alcanzada por
la Nueva Geografía Económica con su insistencia en la estrecha relación existente
entre Geografía y Economía (Barro y Sala-i-Martí, 1995, Krugman, 1999, Puga,
1999, o Fujita et al., 2001), ha otorgado un renovado protagonismo a las regiones
en la Economía contemporánea. En este contexto de gran ebullición, una línea que
ha consolidado su posición es la que completa la perspectiva exclusivamente
temporal del análisis introduciendo elementos espaciales. Quah (1996, p.954), uno
de sus precursores, lo expone muy gráficamente cuando dice que, para explicar la
distribución regional de la renta, ‘physical location and geographical spillover matter
more than do national, macro factors’.
En términos prácticos, la discusión anterior ha servido para subrayar la
importancia de dos aspectos clave como son los de dependencia espacial y
heterogeneidad. El primero se encuentra vinculado al concepto fuerte de
externalidad (Kubo, 1995), por el que las decisiones de un agente localizado en un
punto concreto se ven mediatizadas por acontecimientos que han tenido lugar en
áreas distantes. No se trata solo de una cuestión técnica sino del hecho más
relevante de que, en muchas ocasiones, ‘the traditional Baumol specification is
misspecified’ (Rey and Montouri, 1999, p.154). Las consecuencias de una errónea
especificación de la dinámica espacial del modelo son severas (Anselin, 1988), lo
que debe servir de estímulo ‘to provide the precise platform for econometric
analysis’ (Fingleton, 2003b, p.5).
La heterogeneidad responde a la singularidad de cada punto del espacio, que
colisiona con la imposición de modelos con estructuras rígidas y uniformes. Como lo
explican Rey y Janikas (2005, p.160): ‘Incorporation of such heterogeneity is
crucial to an improved understanding for regional dynamics’. Evans y Karras (1996)
abogan por el empleo de especificaciones panel, lo cual no siempre es factible a no
ser que se disponga de suficiente información muestral. En un contexto más
restrictivo, en el que se dispone únicamente de algunos cortes transversales, la
discusión ha evolucionado en torno a los conceptos de ‘cluster’ espacial (Quah,
1996) y de ruptura estructural (Le Gallo et al. 2003).
El objetivo que perseguimos con este trabajo es avanzar en la relación
existente entre heterogeneidad y dependencia en un modelo econométrico de corte
transversal, situando la discusión en el contexto de un modelo de convergencia
2
para la renta per cápita regional. En la sección 2 fusionamos ambos aspectos en
una ecuación de β-convergencia estándar. En la sección 3 desarrollamos una serie
de instrumentos econométricos útiles para abordar el problema planteado, que
aplicamos al caso europeo en la sección 4. El trabajo finaliza con una sección de
conclusiones.
2- Dependencia espacial y heterogeneidad en modelos de β-convergencia.
En la actualidad existen pocas dudas sobre la conveniencia de incorporar
elementos de heterogeneidad y de dependencia espacial en todo tipo de
especificaciones econométricas de corte transversal; en particular, también en las
asociadas a modelos de crecimiento sobre el espacio. La reciente monografía de
Arbia (2006) o el volumen editado por Fingleton (2003a) son suficientemente
convincentes. Sin embargo, cuando se examina cómo ha evolucionado esta
discusión desde el trabajo de Armstrong (1995), se percibe un cierto desequilibrio
entre la práctica cotidiana y su justificación. El problema es que la última tan a
penas se ha planteado formalmente. Esto es, estimada una ecuación en la que se
observan síntomas de sub-especificación, inmediatamente se trata de corregir estos
defectos introduciendo todo tipo de elementos espaciales.
La justificación de los ajuste introducidos en la ecuación suele ser bastante
débil (Fingleton y López-Bazo, 2006), utilizando argumentos genéricos como la
importancia de los efectos de desbordamiento o la existencia de peculiaridades
regionales, pero sin profundizar demasiado en sus implicaciones. Por ejemplo,
Baumont et al. (2003, p. 145) seleccionan un modelo con dependencia sustantiva,
entre otras razones, porque: ‘the more a region is surrounded by dynamic regions
with high growth rates, the higher will be its growth rate. In other words, the
geographical environment has an influence on growth process’; o, como sugiere
Fingleton (1999, p.11), para minimizar las consecuencias de una especificación
débil, es conveniente ‘to absorb these (los efectos de la omisión de variables
relevantes) by modifying the standard reduced form so that it contains a spatially
autoregressive structure’. Sin embargo, la cuestión que no se acaba respondiendo
es, realmente, la más interesante: ¿por qué surgen esas relaciones de dependencia
o de heterogeneidad?
El trabajo de López-Bazo et al. (2004) constituye una excepción dado que
los autores elaboran, expresamente, un modelo de crecimiento donde los
mecanismos de interdependencia entre las regiones ocupan una posición central. La
fórmula que utilizan consiste en introducir externalidades en forma de ‘regional
spillovers in the technology of production on the steady state level of capital and
product and on the process of growth.’ (p. 46). En otras palabras, se trata de
3
conferir una dimensión espacial al proceso de generación de externalidades
asociadas al conocimiento. La solución que se implementa en el trabajo es simple y
se resume en la siguiente función de producción:
k hrt rt rtrt
k hrt t (rt) (rt)
y A k h
A k h
τ τ
γτ τρ ρ∆
⎫= ⎪⎬
⎡ ⎤= ⎪⎣ ⎦ ⎭
(1)
siendo rty la productividad media de la región r en el período t, rtk y rth las
dotaciones de capital físico y humano, respectivamente, por unidad de trabajo y
rtA un índice que refleja el estado de la tecnología. Este último es el que canaliza
los mecanismos de interacción dado que ‘is assumed to depend on the technological
level of the neighbors, which in turn is related to their stock of both type of capital’
(p.47). El término t∆ introduce un factor de crecimiento lineal y exógeno en la
tecnología, el cual se combina con los resultados de la interacción entre las
regiones. En esa ecuación, (rt)kρ y (rt)hρ se refieren a las dotaciones de capital
físico y humano existente en el entorno de la región r. Los parámetros del modelo
son las elasticidades del trabajo y del capital, hτ y kτ respectivamente, y γ que
mide la externalidad entre las economías.
Tras resolver la dinámica de transición hacia el equilibrio, los autores
obtienen la ecuación de β-convergencia tradicional, pero con efectos espaciales:
0 1α γθ θ= + + + +y 0 0 y ug lny lny gW W (2)
siendo gy y lny0 los vectores, de orden (Rx1), con las observaciones
correspondientes a la tasa de crecimiento y a la productividad en el período inicial,
y W la matriz (RxR) de contactos. Además, T0 1 e βθ −⎡ ⎤= −⎣ ⎦ , siendo β el ratio de
convergencia, y ( )
T
1k h
1 e1
β
θτ τ
−−=
− +. Los resultados obtenidos parecen corroborar las
expectativas de modo que: ’knowledge (...) diffuses over space, thus improving
technology in all regions. (...) such spillovers affect the steady state and the
process of growth of each region’ (López-Bazo et al., 2004, p. 69).
Parent y Riou (2005) también centran la atención en el proceso de difusión
espacial del conocimiento en Europa. Utilizando un enfoque diferente (analizan
datos sobre la distribución de patentes) concluyen que: ‘(...) knowledge diffusion in
space is crucial for the convergence process’ (Parent y Riou, 2005, p.748). Sin
embargo, sus resultados también revelan la existencia de una rica heterogeneidad
4
en la forma y en la intensidad con la que tienen lugar esos efectos de
desbordamiento. En particular, encuentran evidencia ‘of an increasing spatial
dependence1 as we move from the core of Europe to the peripheral regions’
(p.767). El recorrido incluye efectos locales positivos (más significativos a medida
que nos desplazamos del centro), neutros y también negativos (en regiones
aisladas y con problemas de comunicación con el resto). Estos efectos actúan
incluso en regiones cuya capacidad de innovación es reducida.
Con respecto al caso que nos ocupa, la consecuencia inmediata del trabajo
de Parent y Riou (2005) es que debería flexibilizarse el comportamiento del
parámetro γ en la expresión (1). Si, en el caso más extremo, asumimos que ese
parámetro es específico a cada región, la expresión (1) debería re-escribirse como:
k h
r
rt rt rtrt
k hrt t (rt) (rt)
y A k h
A k h
τ τ
γτ τρ ρ∆
⎫= ⎪⎬
⎡ ⎤= ⎪⎣ ⎦ ⎭
(3)
De igual modo, la regresión de β-convergencia tiene que evolucionar hacia
especificaciones de tipo panel, tal como preconizan Evans y Karras (1996):
r rr rr 0 1 rry y0 0g lny lny g uγα θ θ= + + + +W W (4)
La composición del factor de escala, αr, ahora es mixta combinando una
parte común con otra que es específica para cada región. El parámetro que
acompaña al retardo espacial de la tasa de crecimiento de la renta per cápita
también es peculiar de cada región, y mide directamente los efectos locales de
desbordamiento. Obviamente, el problema de (4) es que intervienen demasiados
parámetros, 2(R+1), que demandan, al menos, tres cortes transversales. Si la
opción panel no es factible, por carecer de información suficiente, podemos pensar
en, al menos, dos alternativas. Una opción evidente consiste en imponer
restricciones sobre el grado de heterogeneidad admisible en la muestra; esto es, en
lugar de un parámetro para cada punto del espacio podría bastar con introducir
varias rupturas para crear un conjunto de clubes de convergencia. La segunda
exige la endogeneización de esos parámetros para lo que será necesario modelizar
tanto la generación como el proceso de difusión sobre el espacio de los efectos de
desbordamiento.
1 El término ‘spatial dependence’, tal como lo emplean los autores en el texto, debe interpretarse aquí en
el sentido de intensidad de los efectos de desbordamiento producidos.
5
La vía que queremos explorar es la de la imposición de restricciones sobre
los parámetros de interacción espacial. En particular, vamos a tratar de avanzar
hacia especificaciones como la de (4), introduciendo un régimen discreto, tipo
centro-periferia, en el rango de valores del parámetro γ. Tal como se discute en la
sección que continúa, la estimación de un modelo de corte transversal con esas
características no plantea mayores dificultades, por lo que centramos la atención en
cómo contrastar la existencia de heterogeneidad en los parámetros de interacción
espacial.
3- Inestabilidad en modelos corte transversal.
El problema que hemos planteado no es original, aunque sí mantiene ciertas
particularidades. La discusión por la que hemos transitado nos remite a la literatura
dedicada a los LISA (Local Indicators of Spatial Association; Getis y Ord, 1992,
Anselin, 1995) y a las GWR (Geographically Weighted Regressions; Fotheringham
et al., 1999). La peculiaridad que queremos introducir con respecto a la primera es
que no estamos tan interesados en detectar ‘pockets of spatial nonstationarity’
(Anselin, 1995, p.94), como en contrastar, y estimar, hasta qué punto la intensidad
de la dependencia espacial existente en distintas zonas del espacio es similar
(nuestro planteamiento se encuentra más próximo al de Leung et al., 2000, y Ord y
Getis, 2001). Con respecto al GWR, un aspecto que diferencia nuestra aproximación
es que el foco de inestabilidad lo vinculamos a comportamientos inestables en los
elementos de dependencia espacial del modelo, con poca presencia en este tipo de
análisis (a pesar de los resultados de Brunsdom et al., 1998, Leung et al., 2003, o
Lesage y Pace, 2004).
Como se ha dicho, el problema que plantea la especificación de (4) es el de
los parámetros incidentales dado que es necesario estimar dos nuevos parámetros
por cada nueva observación, lo cual genera un déficit de información muestral. Las
soluciones que proponíamos al final de la sección segunda (planteamiento panel o
endogeneización de las rupturas) presuponen el aporte de nueva información en el
modelo, muestral o teórica. Existe otra alternativa, que es la que utilizan
Fotheringham et al. (1999) para justificar el enfoque GWR: recurrir a la estimación
local de los parámetros correspondientes a cada punto. Este sistema proporcionará
estimaciones locales sesgadas e inconsistentes de los parámetros del modelo, pero
el tamaño del sesgo será (probablemente) inferior al de otros métodos de
estimación que no traten el problema de la heterogeneidad. No es la solución
óptima, aunque puede ser aceptable.
Lesage y Pace (2004) trasladan este planteamiento al parámetro
autoregresivo de un modelo SLM, proponiendo un algoritmo de estimación que ellos
6
denominan SALE (acrónimo de Spatial Autocorrelation Local Estimation). Mur et al.
(2006) insisten en la misma dirección, hablando de estimación Zoom. En definitiva,
se trata, de desarrollar un algoritmo que resuelva, para cada punto, la estimación
de una ecuación con estructura dinámica espacial. En nuestro caso:
rr
(r) (r) (r)(r) (r) (r) (r)r 0 1 ry 0g lny uγα θ θ= + + + +
r r
(r)(r)y0lny gW W (5)
donde el superíndice ‘(r)’ indica que los datos corresponden al sistema compuesto
por las m regiones más próximas a la r-ésima (incluida ella misma); W(r) es la
matriz de pesos correspondiente a ese sistema local.
Si el Proceso Generador de Datos (DGP en adelante) es el de (4), las
estimaciones que se obtengan serán sesgadas puesto que el parámetro γ cambia
para cada punto del espacio y en (5) se está suponiendo que es el mismo para las
m regiones seleccionadas en torno al punto r. Sin embargo, si este parámetro
evoluciona sobre el espacio de acuerdo a cierta (aunque desconocida) sistemática,
el tamaño del sesgo asociado a esa estimación puede llegar a ser aceptable.
La Estimación Zoom es una alternativa interesante en caso de extrema
inestabilidad, o a título meramente descriptivo, pero no resulta útil cuando la
heterogeneidad se reduce a la existencia de varios regímenes de dependencia
espacial. Si remitimos los resultados de Parent y Riou (2005) a un modelo Centro-
Periferia con dos regímenes, la ecuación (4) se convierte en:
*
0 12
y y y x u
u~N(0, I)
⎫= + + β +γ γ ⎪⎬⎪σ ⎭
W W (6)
siendo y=gy, x=[lny0; Wlny0], β=[θ0; θ1]; γ0 es el parámetro de autocorrelación
espacial que domina en una parte del espacio (el Centro, por ejemplo) mientras
que en la otra parte (la Periferia) interviene un parámetro diferente, cuyo valor es
γ0+ γ1 (γ1 mide la diferencia entre ambos regímenes). Además, W es la matriz de
pesos habitual empleada para describir los canales de interacción espacial que
actúan en el modelo. Esta interacción presenta ciertas peculiaridades en forma de
una intensidad diferente en el Centro y en la Periferia. Utilizaremos la matriz W*
para afectar uno de esos conjuntos de regiones (la Periferia, por ejemplo). Es
importante señalar que, para conseguir los objetivos buscados, la estructura global
de las interacciones debe ser respetada. Esto es, la matriz W* que interviene en
(6) tiene que reproducir exactamente la misma información que aparece en W para
las regiones involucradas, mientras que las restantes vendrán con dato cero (en
nuestro caso, las filas y columnas de las regiones de la Periferia contendrán la
7
misma información numérica en ambas matrices, mientras que las del Centro en la
matriz W* contendrán solo ceros).
La discusión es similar si los mecanismos de dependencia los relegamos a la
perturbación aleatoria. La especificación correspondiente a este caso es la habitual:
*0 1
2
y x u
u u u
~N(0, I)
= β + ⎫⎪
= + + εγ γ ⎬⎪
ε σ ⎭
W W (7)
El tratamiento teórico de este problema, en cualquiera de las dos
situaciones, (6) o (7), no supone dificultades específicas y puede abordarse por
métodos de máxima-verosimilitud (ML en adelante). De hecho, Huang (1984),
Anselin (1990), Rietveld y Wintershoven (1998), LeGallo et al. (2003) y LaCombe
(2004) entre otros, tratan situaciones similares. Las dificultades pueden aparecer
por la complejidad de los algoritmos, la cual crece exponencialmente con el número
de regímenes. Por esta razón resulta muy interesante disponer de instrumentos,
como los que se proponen a continuación, que nos permitan discutir si es necesario
avanzar hacia especificaciones como las de (6) y (7) o basta con modelos más
simples.
Tal como se demuestra en el Apéndice A, en ambas situaciones podemos
contrastar la existencia de ruptura estructural en el parámetro de dependencia
espacial, asociada a la matriz W*, sin necesidad de resolver la estimación del
modelo amplio de (6) o de (7). Tomando como referencia la primera especificación,
el estadístico del contraste es el siguiente:
21
20 1 2LAGbreak asA lag1
y ' u tr: 0H (1)LM: 0H e
−⎡ ⎤−⎢ ⎥=γ ⎫ σ⎣ ⎦⇒ = χ⎬≠γ ⎭
**W WB
∼ (8)
siendo u el vector de residuos de la estimación ML de (6), bajo la hipótesis nula de
(8), 0I= − γB W , 2σ y 0γ las estimaciones ML correspondientes de ambos
parámetros, también bajo la hipótesis nula y lage la estimación ML de la varianza
de la restricción que contrastamos.
En el caso del modelo con estructura de dependencia espacial en el error de
(7), el Multiplicador de Lagrange es:
8
21
20 1 2ERRbreak asA err1
u ' u tr: 0H (1)LM: 0H e
−⎡ ⎤−⎢ ⎥=γ ⎫ σ⎣ ⎦⇒ = χ⎬≠γ ⎭
**BW WB
∼ (9)
Todos los elementos que intervienen en este Multiplicador proceden del
modelo de (7), estimado bajo la hipótesis nula. En particular, u es el vector de
residuos ML, 0I= − γB W , 2σ y 0γ las estimaciones ML de estos dos parámetros,
y erre la varianza estimada de la restricción que se contrasta en (9).
4- Una aplicación al caso de las regiones europeas.
En esta sección vamos a presentar los resultados de la aplicación del modelo
de β-convergencia al caso europeo, durante la parte final de la década de los
noventa. Como variable de análisis centramos la atención en el producto interior
bruto per cápita regional, medido en unidades de paridad de poder adquisitivo
(PPS). Los datos empleados provienen de REGIO y cubren el periodo 1998-2002. La
muestra incluye un total de 1274 regiones correspondiente a la división en NUTS III
de los 25 países miembros de la Unión europea, junto a los 2 de próxima
incorporación (EU27), descritos con mayor detalle en el Apéndice B.
En la Figura 1 se presenta la estructura espacial de los datos
correspondientes a la tasa de variación del PIBpc en el periodo analizado. Las
regiones con mayores tasas de crecimiento se encuentran localizadas en las zonas
mas exteriores del continente, constituidas por los países de nueva incorporación
(Polonia, Estonia, Letonia, Lituania, etc.) junto a otros como España, Irlanda y
Grecia. También en el centro de Europa existen regiones con elevadas tasas de
crecimiento, especialmente en la zona del Benelux. En el extremo opuesto, las
regiones con problemas de escaso crecimiento en el PIBpc (algunas con tasas
negativas) se agrupan mayoritariamente en el interior del continente. Países como
Italia, Francia o Alemania, son los que más entradas registran en este grupo.
A pesar de las irregularidades que encontramos en la distribución espacial de
las tasas de crecimiento, en la Figura 1 emerge con cierta claridad una estructura
Centro y Periferia, enunciada con anterioridad en múltiples ocasiones, y de modo
más reciente por LeGallo et al. (2003), Fisher y Stirbock (2006), LeGallo y Dall’erba
(2006) o Ertur et al. (2006). Parece obvio que también existe un fuerte patrón de
dependencia espacial, sea cual sea el estadístico y la matriz de contactos que se
emplee en el análisis. El estadístico de Moran, cuyos resultados reproducimos en la
Tabla 1, detecta mayor dependencia a medida que ampliamos tanto el radio de
9
influencia, k, como el número mínimo de vecinos, r. Sólo en el caso de k=50 y r=1
no puede confirmarse la presencia de dependencia espacial.
Figura 1: Box map de la tasa de crecimiento del PIBpc
Outlier considerando 1.5 del rango intercuartílico.
Tabla 1: Test de Moran usando diferentes matrices de pesos2.
r → 1 2 4 k ↓ I z I z I Z 50 0.0391 1.50 0.1483 6.50 0.1717 8.80 100 0.1477 8.44 0.1529 9.22 0.1623 10.36 200 0.1821 19.72 0.1802 19.87 0.1782 20.02 400 0.1698 35.88 0.1697 36.14 0.1696 36.26
Para simplificar la exposición, en lo que sigue tomaremos como matriz de
contactos de referencia la correspondiente al caso de k=100 y r=2, W(100,2) que a
partir de ahora llamaremos simplemente W.
2 Vease el Apéndice B para las características de las matrices de contacto especificadas.
10
En estas condiciones, no resulta extraño que al plantear un modelo de β-
convergencia sin efectos espaciales, los resultados de la estimación refuten
claramente esa especificación. La ecuación que planteamos inicialmente es de tipo
condicional, tal como aparece en (13). En la matriz X incluimos algunas variables
con incidencia en el estado estacionario de cada región; en particular, el peso del
sector agrícola en el PIB regional (pag), la densidad de población (den) y la
distancia del centroide regional a Bruselas (din). Estas variables se refieren a
aspectos muy básicos de la dinámica de convergencia aunque han sido utilizadas
con frecuencia en este tipo de aplicaciones (Fingleton, 2003a, Arbia, 2006).
Xα θ β= + + +y 0lny ug (13)
Los resultados obtenidos de la estimación de ese modelo se reproducen en
la Tabla 2.
TABLA 2. Estimación del modelo base sin efectos espaciales.
Estimador t-ratio
α 0.7258 (7.5575)
θ -0.1377 (-6.2031)
dis 0.0046 (6.6029)
den 0.0000 (5.8467)
pag -0.0031 (-4.1456)
MEDIDAS DE DIAGNÓSTICO R2=0.1061 Estadístico p-valor
Jarque-Bera 1253409 (0.0000)
Koenker-Bassett 7.5447 (0.1097)
Moran I 2.4802 (0.0131)
LM(error) robusto 2.6567 (0.1031)
LM(lag) robusto 8.0502 (0.0045)
LM-sarma 13.7708 (0.0010)
Es evidente que el modelo básico de (13) no resulta admisible: esa
especificación necesita completarse con elementos espaciales, en forma de
heterogeneidad y de dependencia transversal. Como primera aproximación al
problema de la heterogeneidad hemos recurrido a la estimación GWR del modelo
utilizando diferentes valores de m3:
(i) (i)(i)(i) (i) (i) 2y 0 (i)g yln ; ~N(0, I)u u= + θ +α σ (14)
3 Debe recordarse que m indica el número de regiones incluidas en los sistemas locales de estimación
(para cada i se incluyen las m regiones más próximas).
11
donde el superíndice ‘(i)’ indica que los datos corresponden al sistema local
articulado en torno a la región i-ésima. Los resultados se resumen en la Figura 2.
Figura 2: Estimación Zoom de la ecuación de β-convergencia.
Figura 2.1. m=40 Figura 2.2. m=80
Figura 2.3. m=160 Figura 2.4. m=320
En los cuatro mapas hemos coloreado de rojo claro aquellas localizaciones
en las que θ(i) es significativo, y de un tono mas oscuro si, además de ser
significativo ese parámetro, la regresión local correspondiente presenta
dependencia espacial. Por último, se ha coloreado de azul aquellas regiones en las
que θ(i) no es significativo, pero los residuos presentan dependencia espacial.
Parece claro que a medida que ampliamos el tamaño de la lupa (valor de
m), el patrón espacial que emerge se hace más regular. Un bloque consistente de
regiones francesas, británicas, holandesas, belgas y alemanas aparecen coloreadas
en azul, síntoma de ausencia de convergencia en un contexto local de
autocorrelación espacial. Para las restantes donominan los tonos rojos, sinónimo de
convergencia (con o sin correlación espacial).
La información que resume la Figura 2 no contradice la que nos ofrecen
otros instrumentos de naturaleza similar. Por ejemplo, el estadístico de Getis-Ord
12
(Ord y Getis, 1995) ha sido utilizado a menudo para identificar clusters de regiones4
(por ejemplo, en Fisher y Stirbock, 2006, o LeGallo y Dall’erba, 2006). La definición
precisa del estadístico es conocida:
R*
ij j ij 1*
i * *21i i
w y W yG
[RS W ]/(R 1)
=
−
=σ − −
∑ (15)
donde R
* 21i ij
j 1S w
=
= ∑ ; ( )*i ij jij iW w w
≠= +∑ y σ es la desviación típica muestral
de y. Un valor de *iG positivo y significativo indica que en torno al punto i existe un
cluster de regiones con valor alto en la variable; la interpretación será a la inversa
caso de ser negativo. Los resultados que obtenemos en nuestro caso se muestran
en la Figura 3, donde las regiones coloreadas de rojo (841 regiones) forman el
cluster correspondiente a las regiones ricas mientras que las coloreadas en azul
(433 regiones) constituyen el grupo de las regiones pobres. En la terminología
usada con anterioridad, la primeras formarían el Centro y las segundas la Periferia.
Figura 3: Regimenes espaciales. Criterio de Getis-Ord.
Fusionando ambos enfoques, el de la estimación Zoom de la Figura 2 con la
asociada al estadístico de Getis-Ord de la Figura 3, la agrupación final que
proponemos para nuestra aplicación aparece en la Figura 4.
4 No es la única alternativa; en el trabajo de Ertur. et al (2006) se plantea la utilización del Scatterplot de
Moran para la selección de los regímenes, poco útil en nuestro caso.
13
Figura 4: Regimenes espaciales identificados para el caso europeo.
El Centro está formado por una macro región caracterizada porque en sus
integrantes no encontramos síntomas de convergencia. En este cluster se incluyen
un total de 744 unidades procedentes del oeste de Alemania, Holanda, Bélgica,
Luxemburgo, Austria, Reino Unido, Irlanda, Francia e Italia (en los últimos dos
casos, se excluyen las regiones del sur). Las otras 530 regiones forman la Periferia,
caracterizadas por que, presumiblemente, sí que avanzan hacia la convergencia.
Esta nítida dicotomía Centro-Periferia que advertimos en los datos nos
aconseja reformular la especificación base de (13) para incorporar una ruptura
estructural en los parámetros fundamentales de la ecuación de β-convergencia (no
parece necesario extenderla también a las variables condicionantes). Además de la
ruptura, también existen fuertes relaciones de dependencia espacial, que actúan de
forma (aparentemente) desigual sobre el continente europeo. En definitiva, la
ecuación de (13) debe evolucionar hacia el siguiente ADL(1,1) extendido:
C0 P0 C1CC C P P P C
P1 P
DD D D D
D * X
α α θ θ θ
γ γ βθ
= + + + + +
+ + + + +
y 0 00
0 y y
lnyg lny lny
ulny g g
W
W W W* (16)
donde DC y DP son las variables dicotómicas asociadas al Centro y a la Periferia
respectivamente, y W* la matriz que permite introducir un mecanismo de
dependencia espacial diferencial en las regiones de la Periferia. Los resultados de la
estimación se desglosan en la Tabla 3.
En las dos primeras columnas reproducimos los resultados de la estimación
del modelo de (16), sin incluir elementos de dependencia espacial. Los coeficientes
de β-convergencia (θP0 y θC0) son significativos, aunque con valores muy diferentes
para las regiones del Centro y de la Periferia: para las primeras obtenemos una
tasa de convergencia anual del 0,39% mientras que las regiones periféricas lo
14
hacen al 0,63%. Sin embargo, el modelo parece claramente subespecificado, tal
como señalan los estadísticos incluidos en la parte inferior de la Tabla.
TABLA 3: Modelos β-convergencia estimados con regímenes espaciales.
Sin efectos espaciales
(MCO)
ADL(1,1), sin
regímenes en γ. (ML)
ADL(1,1), con
regímenes en γ. (ML)
Estima t-ratio Estima t-ratio Estima. t-ratio
Pα 0.0739 (3.6743) 0.0700 (3.4864) 0.0752 (3.7288)
Cα 0.1758 (3.6168) 0.1467 (3.0428) 0.1082 (2.2599)
P0θ -0.0140 (-4.6899) -0.0150 (-5.0878) -0.0139 (-4.7138)
C0θ -0.0089 (-3.7713) -0.0083 (-3.5848) -0.0075 (-3.2522)
P1θ 0.0094 (3.0524) 0.0102 (3.3569) 0.0086 (2.8196)
C1θ -0.0064 (-1.2789) -0.0045 (-0.9093) -0.0021 (-0.4222)
dis 0.0007 (5.0410) 0.0006 (4.4718) 0.0006 (4.8371)
den 0.0000 (5.7030) 0.0000 (5.3939) 0.0000 (4.9316)
pag -0.0004 (-3.1224) -0.0004 (-3.6204) -0.0004 (-3.5462) γ -- -- 0.1840 (4.2757) 0.1293 (2.4709)
*γ -- -- -- -- 0.2621 (3.7100)
MEDIDAS DE DIAGNÓSTICO Estadístico p-valor Estadístico p-valor Estadístico p-valor
Jarque-Bera 54368.91 (0.0000)
Koenker-Bassett 32.62 (0.0002)
Moran I 6.03 (0.0000)
LM(error) robusto 11.78 (0.0006)
LM(lag) robusto 5.80 (0.0160)
LM-sarma 38.91 (0.0000) LAGbreakLM 8.53 0.0035
INDICADORES DE CONVERGENCIA
Tasa (%) Periferia 0.63% 0.68% 0.62%
vida media 49.1 45.9 49.6
Tasa (%) Centro 0.39% 0.37% 0.33%
vida media 77.7 82.9 92.1
En consecuencia, hemos procedido a estimar un modelo con efectos
espaciales como el de (16), pero sin introducir rupturas en el parámetro de
interacción espacial, γ. La estimación de este modelo se presenta en la tercera y
cuarta columna, donde observamos que el coeficiente de dependencia espacial es
estadísticamente fuerte. Las velocidades de convergencia se han alterado
ligeramente (ahora es del 0.37% en el Centro y del 0.68% en la Periferia), al igual
que el resto de parámetros estimados en el modelo. Sin embargo, el contraste
LAGbreakLM indica que la intensidad de la relación de dependencia transversal no es
homogénea sobre el espacio: existen diferencias, al menos, entre el Centro y la
Periferia.
15
La estimación del modelo con ruptura estructural en todos los parámetros
(salvo los que acompañan a variables condicionantes) se presenta en las columnas
quinta y sexta. En estos resultados sorprende la notable diferencia existente en las
estimaciones del parámetro de dependencia espacial dependiendo del régimen
considerado. Así la correspondiente al cluster de regiones centrales es
relativamente débil (0.13 es su estimación ML), mientras que en las regiones
periféricas la estimación de ese parámetro se eleva hasta 0.39. Los ajustes en el
resto de parámetros, incluida la velocidad de convergencia, son poco relevantes.
5- Conclusiones.
Heterogeneidad y dependencia son elementos característicos de los modelos
econométricos con base espacial. A menudo ambos tópicos se tratan de forma
separada aunque, como es bien conocido, emiten síntomas similares y tienden a
confundirse con demasiada frecuencia. En este trabajo hemos tratado con un
problema híbrido, que se encuentra pivotando entre los dos tópicos, como es el de
la inestabilidad en los mecanismos de interacción espacial del modelo.
La cuestión ha sido discutida con anterioridad, entre otros, por Brunsdom et
al (1999) y por Lesage y Pace (2004). La aportación de nuestro trabajo se centra
en la vertiente del diagnóstico, como medida previa necesaria antes de resolver
algoritmos de estimación local costosos, que incluyen elementos de dependencia
espacial. En concreto, desarrollamos dos Multiplicadores de Lagrange que necesitan
solo de la estimación ML del modelo de la hipótesis nula (sin rupturas
estructurales), y que son relativamente flexibles para adaptarse a situaciones
diferentes. Para ilustrar nuestra propuesta, hemos resuelto una aplicación dedicada
al supuesto proceso de convergencia en la renta per cápita de las regiones
europeas, durante la parte final de la década de los años noventa. La evidencia que
obtenemos revela la existencia de fuertes rupturas en los mecanismos de
convergencia que afectan (en términos del clásico modelo Centro-Periferia) tanto a
los parámetros estructurales como a los que gobiernan las relaciones de interacción
espacial.
16
Apéndice A
En este Apéndice vamos a obtener las expresiones de los Multiplicadores de
Lagrange de (8) y (9) con los que contrastamos la existencia de una ruptura en el
parámetro de dependencia espacial. La primera parte del apéndice la dedicamos al
caso de un modelo con dependencia sustantiva, la segunda a un modelo con
dependencia residual y finalizamos con una breve referencia al contraste LR de
Factores Comunes.
Modelo de corte transversal con estructura de dependencia sustantiva
La especificación de referencia es la de la expresión (6) en el texto:
*
0 12
y y y x u
u~N(0, I)
⎫= + + β +γ γ ⎪⎬⎪σ ⎭
W W (A1)
cuya función de log-verosimilitud se ajusta al caso tradicional:
( ) ( )2
2y x ' y xR Rl(y; ) log(2 ) log( ) log
2 2 2− β − β
ϕ = − π − − +σσ
B BB (A2)
siendo ϕ el vector de parámetros del modelo, ϕ=[β,γ0,γ1,σ2]’, y B una matriz
cuadrada de orden (RxR), *0 1I= − −γ γB W W . El vector gradiente es el siguiente:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
*' 22
1
2
x ' y xlog
y ' ' y x
l(y; ) 1g(y; ) logy ' y x
y x ' y xR2 2
− β⎡ ⎤⎢ ⎥
∂⎢ ⎥− β + σ⎢ ⎥∂γ⎢ ⎥∂ ϕ
ϕ = = ⎢ ⎥∂∂ϕ − β + σσ ⎢ ⎥∂γ⎢ ⎥
⎢ ⎥− β − β⎢ ⎥− +⎢ ⎥σ⎣ ⎦
BB
W B
BBW
B B
(A3)
Bajo el supuesto de que no hay ruptura en el coeficiente de dependencia
espacial, el vector gradiente se simplifica en:
( )0
0 1 *' 1 *HA 1 02
00
: 0Hg(y; ) y ' u: 0 tr IH
0
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=γ ⎫⎢ ⎥⇒ =ϕ⎬ ⎡ ⎤≠γ − −γ⎢ ⎥⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
W W W (A4)
17
siendo 0γ y 2σ la estimación ML de γ0 y σ2 y u la correspondiente serie de
residuos del modelo restringido:
0
2
y y x u
u~N(0, I)
= + β +γ ⎫⎪⎬⎪σ ⎭
W (A5)
La estructura de la matriz Hessiana es laboriosa:
2
*'2
2 22 ' * 2
2 20 10
2 2 2* *' 2 * ' * 2 * '
2 20 1 1
*2 2 2 2 4
l(y; )'
1x ' x x ' ' y x ' y x ' u
log log 1y ' x y ' ' y y ' y y ' ' u1
log log 1y ' x y ' y y ' y y ' u
1 1 1 R u ' uu ' x u ' y u ' y2
ϕ∂ =∂ϕ∂ϕ
⎡ ⎤⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂
− −⎢ ⎥σ σ∂ ∂γ γ∂ γ σ⎢ ⎥
− ⎢σ ∂ ∂⎢ − −σ σ⎢ ∂ ∂γ γ ∂ γ σ⎢
⎢− +⎢
σ σ σ σ σ⎣ ⎦
W W
B BW W W WW W
B BW W W W W W
W W
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
(A6)
La matriz de información evaluada bajo a la hipótesis nula es la siguiente:
{
}{
}{
}{
0
2
H
' *'1 1
' ' *' 1 1 ' 1 1' 1 ' 1
2 2 *1 1 1 1
' * *' *' 1 1 1 12*' 1
2 * 21 1
l(y; )( ) E'
x 'x x ' x x ' x 0
'x ' x ' x ' x'x ' x tr
2 tr 2 tr1
'x ' x 'x ' x'x ' x
2 tr 2 tr
− −
− − − −− −
− − − −
− − − −−
− −
⎡ ⎤ϕ∂ϕ = − =⎢ ⎥∂ϕ∂ϕ⎣ ⎦
β β
β β β ββ
+ +σ σ
β β β βσ β+ +σ σ
I
W WB B
W W W WB B B BW WB B
W W W WB B B B
W W W WB B B BWB
W WB B }*' 1
* *1 1
' *'1 12
tr
R0 tr tr2
−− −
− −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦
WBW WB B
W WB B
(A7)
El Multiplicador de Lagrange para el contraste indicado en (A4) se obtiene de
la forma usual:
( ) ( ) ( )0 0
10 1 2LAGbreak H H H0 asA 1
2*1 *
22LAG
break aslag
: 0H g ' g (1)LM: 0H
y ' u tr(1)LM
e
−
−
=γ ⎫ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ϕ ϕ ϕ χ⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥≠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦γ ⎭
⎡ ⎤−⎢ ⎥
σ⎣ ⎦= χ
I
W WB
∼
∼
(A8)
18
El término lage del denominador es la varianza asintótica de la restricción
correspondiente a la hipótesis nula, obtenida como:
[ ]0
lag H1 1'* *
1 1* *2
1'*
' 1 1 1 1' * 2 *2
' 1 *
a b ' be
'x ' xa 2tr
xx '1b 'x ' x 2 tr
tr
− −− −
−
− − − −
−
= − ϕ
β β→ = +
σ⎡ ⎤β⎢ ⎥⎢ ⎥→ = β β + σ⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎣ ⎦
V
W WB B W WB B
W B
WW W WB B B B
WB
(A9)
La matriz [ ]0H
ϕV que interviene en esta última expresión es estimación ML
de la matriz de varianzas y covarianzas del vector de parámetros del modelo de la
hipótesis nula de (A4).
El Multiplicador de Lagrange de (A8) puede generalizarse con facilidad al
caso más general en el que se existen p regímenes diferentes en el coeficiente de
autocorrelación. El modelo amplio correspondiente a este caso es:
p *
s0 ss 12
y y y x u
u~N(0, I)=
⎫= + + β +γ γ∑ ⎪⎬⎪σ ⎭
W W (A10)
La hipótesis nula será de tipo conjunto:
( ) ( ) ( )0 0
0 1 2 p
A j
12LAG
break H H H0 as
: 0H: 0H
g ' g (p)LM−
= = = =γ γ γ ⎫⎪⎬∃ ≠γ ⎪⎭
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ϕ ϕ ϕ χ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦I
…
∼
(A11)
El gradiente reproducirá la estructura que se indica en (A4), con una
ecuación del tipo *s 1 *
s2y ' u tr −−
σW
WB para cada régimen de autocorrelación. De
forma similar deberá ampliarse la matriz Hessiana y la de información.
Modelo de corte transversal con estructura de dependencia residual
La especificación que debemos utilizar en este caso es la de la expresión (7):
*0 1
2
y x u
u u u
~N(0, I)
= β + ⎫⎪
= + + εγ γ ⎬⎪
ε σ ⎭
W W (A12)
19
La función de log-verosimilitud es la siguiente:
( ) ( )2
2y x ' ' y xR Rl(y; ) log(2 ) log( ) log
2 2 2− β − β
ϕ = − π − − +σσ
B BB (A13)
donde ϕ es el vector de parámetros ϕ=[β,γ0,γ1,σ2]’ y B la matriz de difusión, de
orden (RxR), *0 1I= − −γ γB W W . El vector gradiente es:
2
0
2 * 2
1
2 2
x ' 'log
u ' '
l(y; ) 1g(y; ) logu ' '
R '2 2
ε⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎢ ⎥ε + σ⎢ ⎥∂γ⎢ ⎥∂ ϕ
ϕ = = ∂⎢ ⎥∂ϕ ε +σ σ⎢ ⎥∂γ⎢ ⎥⎢ ⎥ε ε
− +⎢ ⎥σ σ⎣ ⎦
BB
W
BW
(A14)
con u y x= − β y u (y x )ε = = − βB B . Bajo el supuesto de que no hay ruptura en el
coeficiente de dependencia espacial, el modelo de (A12) se simplifica en:
02
y x uu u
~N(0, I)
⎫= β +⎪
= + εγ ⎬⎪
ε σ ⎭
W (A15)
por lo que el gradiente se convierte en:
( )0
0 1 * 1 *HA 1 02
00
: 0Hg(y; ) u ' u: 0 tr IH
0
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=γ ⎫⎢ ⎥⇒ =ϕ⎬ ⎡ ⎤≠γ − −γ⎢ ⎥⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
BW W W (A16)
siendo 0γ y 2σ la estimación ML de γ0 y σ2 en el modelo de (A15) y u la serie de
residuos asociada. A partir del gradiente de (A14) es inmediato obtener la matriz
Hessiana:
20
2
2
*2
2 22 * 2
2 20 10
2 2* *' 2 *' * 2 *
2 20 1 1
*2 2 2 2
l(y; ) 1'
1x ' ' x x ' u x ' u x ' ' u
log log 1u ' ' x u ' u u ' u u ' ' u
log log 1u ' ' ' x u ' u u ' u u ' ' u
1 1 1 R u ' 'u ' ' x u ' ' u u ' u2
ϕ∂ = −∂ϕ∂ϕ σ
σ
∂ ∂− −σ σ
∂ ∂γ γ∂γ σ
∂ ∂− −σ σ
∂ ∂γ γ ∂γ σ
− +σ σ σ σ
B B WB B B BW
B BB'W W'W W BW' W
B BB BW W W W W W
BB B B W B'W 4u
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
σ⎣ ⎦
B
(A17)
al igual que la matriz de información correspondiente a la hipótesis nula:
( ) ( )( ) ( )
0
2
H
2 ' 2 *1 1 1 1 1
2 1 * 2 * * *1 1 1 12
*1 12
l(y; )( ) E'
x ' ' x 0 0 0
0 ' 2 tr 2 tr ' tr' ' '1
0 ' 2 tr 2 tr ' tr' ' ' '
R0 tr tr' '2
− − − − −
− − − − −
− −
⎡ ⎤ϕ∂ϕ = − =⎢ ⎥∂ϕ∂ϕ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥
σ σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ σσ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦
I
B B
W W W W WB B B B B
W B W W W WB B B B
W WB B
(A18)
Finalmente, el Multiplicador de Lagrange para el contraste de (A16) toma la
siguiente expresión:
( ) ( ) ( )0 0
10 1 2ERRbreak H H H0 asA 1
21
22ERR
break aserr
: 0H g ' g (1)LM: 0H
u ' u tr(1)LM
e
−
−
=γ ⎫ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = θ θ θ χ⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥≠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦γ ⎭
⎡ ⎤−⎢ ⎥
σ⎣ ⎦= χ
**
I
BW WB
∼
∼
(A19)
En el denominador aparece la varianza asintótica de la restricción
contrastada en la hipótesis nula, erre , cuya expresión concreta es:
21
12err 11 12 * *
' 1 12 *
1 *
11 12
12
e2 tr '' b b
2 tr 'b
tr '
2 tr ' tr ''R
tr '2
−
−− −
− −
−
−− −
−
⎡ ⎤σ= ⎢ ⎥−⎢ ⎥σ⎣ ⎦
⎡ ⎤σ→ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤σ⎢ ⎥→ = ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦
W WB B D
W WB B
WB
W W WBB BD
WB
(A20)
Al igual que en el caso anterior, el Multiplicador de (A19) puede
generalizarse para tratar con p regímenes diferentes en el coeficiente de
autocorrelación espacial. El modelo amplio será:
p *s0 ss 1
2
y x u
u u u
~N(0, I)=
= β + ⎫⎪⎪= + + εγ γ∑ ⎬⎪
ε ⎪σ ⎭
W W (A21)
La hipótesis nula vuelve a ser de tipo conjunto:
( ) ( ) ( )0 0
0 1 2 p
A j
12ERR
break H H H0 as
: 0H: 0H
g ' g (p)LM−
= = = =γ γ γ ⎫⎪⎬∃ ≠γ ⎪⎭
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ϕ ϕ ϕ χ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦I
…
∼
(A22)
El gradiente mantendrá la estructura del indicado en (A16), con una
ecuación del tipo *s 1 *
s2u ' u tr −−
σ
BW WB para cada uno de los p regímenes que
intervienen en el parámetro de autocorrelación. La matriz Hessiana y la de
información deberán ampliarse de forma similar.
El contraste de Factores Comunes, LRCOM, bajo una ruptura estructural
Para ampliar esta discusión, queremos hacer una breve referencia al
contraste de Factores Comunes, como instrumento para discriminar entre modelos
con autocorrelación sustantiva y residual. Obviando el problema de la ruptura
estructural, la propuesta de Burridge (1981) se basa en el Ratio de Verosimilitudes.
En primer lugar es necesario estimar el modelo de la hipótesis nula, a continuación
el de la hipótesis alternativa y por último comparar las verosimilitudes obtenidas
con el estadístico LRCOM (Mur y Angulo, 2006):
22
A 0
22
0
A
2COM H H
y x uy y x x
u u~N(0, I)
~N(0, I)
: 0H: 0H
2 l(y) l(y) ~ (k)LR
⎫= β += γ + β + δ + ε⎫⎪ ⎪= γ + ε⎬ ⎬
ε ⎪σ ⎭⎪ε σ ⎭
γβ + δ = ⎫⎬γβ + δ ≠ ⎭
⎡ ⎤⇒ = − χ⎣ ⎦
Null Hypothesis Alternative Hypothesis
W WW
(A23)
siendo 0Hl(y) y
AHl(y) la log-verosimilitud obtenida bajo la hipótesis nula y
alternativa, respectivamente. La distribución asintótica del estadístico asume que
en el vector β hay k parámetros, que dan lugar a las k restricciones no lineales que
se contrastan en (A23). Caso de existir una ruptura estructural en el parámetro de
dependencia espacial, el Ratio de Verosimilitudes se convierte en:
* *0 10 1*
0 1 22
0 00
11
A 00
11
COM
y x uy y y x x x
u u u~N(0, I)
~N(0, I)
: 0H
0
: 0H
0
L
= β + ⎫⎫= + + β + + + εγ γ⎪ δ δ ⎪= + + εγ γ ⎬ ⎬
ε ⎪⎪ σ ⎭ε σ ⎭
β + =γ ⎫δ⎪⎪β + =γ δ⎪⎬β + ≠γ δ ⎪⎪
β + ≠γ δ ⎪⎭
⇒
Null Hypothesis Alternative Hypothesis
W WW WW W
A 0
2H H2 l(y) l(y) ~ (2k)R ⎡ ⎤= − χ⎣ ⎦
(A24)
La única peculiaridad que hay que hacer notar es que el número de
restricciones que ahora se contrastan son 2k.
23
Apéndice B
Los datos empleados en el análisis provienen del banco de datos REGIO de
EUROSTAT y cubren el periodo 1998-2002. La muestra incluye un total de 1274
regiones correspondiente, básicamente, a la división en NUTS III de los 25 países
miembros de la Unión Europea junto a los 2 de próxima incorporación (EU27). La
lista completa de países con el número de regiones procedentes de cada uno de
ellos aparece en la Tabla B1.
TABLA B1: Relación de países incluidos y número de regiones.
Alemania 439 Estonia 5 Lituania 10
Austria 35 Finlandia 20 Luxemburgo 1
Bélgica 43 Francia 96 Malta 2
Bulgaria 28 Grecia 52 Polonia 45
Chipre 1 Holanda 40 Portugal 28
Dinamarca 15 Hungría 20 Reino Unido 134
Eslovaquia 8 Irlanda 8 Republica Checa 14
Eslovenia 12 Italia 103 Rumania 42
España 48 Letonia 6 Suecia 21
Por distintos motivos se han excluido varias regiones, entre las que se
encuentran las Islas Canarias, Ceuta, Melilla y los archipiélagos portugueses de las
Azores y Madeira.
Como variable endógena vamos a centrar la atención en el producto interior
bruto per cápita regional, medido en unidades de paridad de poder adquisitivo
(PPS). Las variables explicativas densidad de habitantes por kilómetro cuadrado y
peso, en porcentaje, del sector agrícola sobre el PIB regional proceden también de
REGIO y se hallan referidas al año inicial, 1998. La distancia del centroide regional
a Bruselas (tomada como centro de gravedad del sistema geopolítico europeo) se
ha obtenido por elaboración propia. Por último, las matrices de contactos usadas en
la aplicación combinan dos criterios: el de los r vecinos más próximos y el del radio
de influencia, k. De esta forma, inicialmente hemos especificado una matriz binaria
Wb como:
{ }
{ }
bij r
is bs (i s ) ij r
bij
bij ij
is bs ( i s ) ij ij
(k , r) 1 if j N (i)wif min d k(k, r) 0 if j N (i)w
(k, r)w(k, r) 1 if d kwif min d k(k, r) 0 if d kw
≠
≠
⎧ = ∈⎧> ⇒⎪ ⎨ = ∉⎪ ⎩
⎪= ⎨⎪ = ≤⎧⎪⎪ ≤ ⇒ ⎨⎪ = >⎪⎩⎩
(B1)
24
donde dij es la distancia en kilómetros entre los centroides de las regiones i y j y
Nr(i) es el conjunto de las r regiones más próximas a la región i. Una vez construida
la matriz Wb, la última se ha estandarizado por filas de la forma usual:
bij
ij R bijj 1
(k, r)w(k, r)w(k, r)w=
=∑
. A lo largo del ejercicio hemos utilizado diferentes valores
de k (radio de distancia entre centroides) y r (número mínimo de vecinos para cada
región) para verificar la robustez de los resultados.
25
Referencias
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Barro, R. y X. Sala-i-Martí. 1995. Economic Growth. New York: McGraw Hill.
Baumont C., C. Ertur y J. Le Gallo. 2003. Spatial Convergence Clubs and the
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Brunsdom, C., S. Fotheringham y M. Charlton. 1998. Spatial Nonstationarity and
Autoregresive Models. Environment and Planning A. 30: 957-973.
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Durlauf, S. y D. Quah. 1999. The New Empirics of Economic Growth. En J. Taylor
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Elsevier: Amsterdam.
Ertur C., J. LeGallo y C. Baumond (2006) The Regional Convergence Process, 1980-
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37: 249-265.
Fingleton B. 1999. Estimates of Time to Economic Convergence: An Analysis of
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