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Joaquín Bernal MéndezCurso 2013/2014

Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

Movimiento oscilatorio

Física I

Grado en Ingeniería de Organización Industrial

Primer Curso

2

Índice

Introducción: movimiento oscilatorioRepresentación matemática del MAS

Dinámica del MASPeriodo y frecuenciaVelocidad y aceleración

Energía del MASSistemas oscilantes:

Muelle verticalPéndulo simple

Oscilaciones amortiguadasOscilaciones forzadas: resonancia

3


Movimiento periódicoEjemplos:

Barcas sobre el aguaBandera al vientoPéndulo de un relojMoléculas en un sólidoV e I en circuitos de corriente alterna

En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio

4


Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS)

¿Por qué estudiar el MAS?Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio

Aproximación válida en muchos casos de movimiento oscilatorio

Componente básico de la ecuación del desplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos

5

Índice






6

Representación matemática del MAS: dinámica del MAS

Cuerpo unido a un muelle

F kx

0 0x

x• k : constante del muelle

• Signo: fuerza restauradora

F

• Segunda ley de Newton:

F ma kx kx

am

Condición de MASpara la aceleración

7

Representación matemática del MAS

Segunda ley de Newton:

Solución:

F ma kx 2

20

d xm kx

dt

22 2

20 con:

d x kx

dt m

( ) cos( )x t A t

sen( )dx

A tdt

2

2 22

cos( )d x

A t xdt

• Comprobación:

8

Representación matemática del MAS

Significado físico de las constantes:

A Amplitud (m)

Frecuencia angular (rad/s)

Constante de fase (rad)

Determinación de A y

( ) cos( )x t A t

(0) sen( )v A (0) cos( )x A Dos ecuaciones

con dos incógnitas

9

Representación matemática del MAS: Ejemplo

x

0t

02A

(0) sen( ) 0v A 0(0) cos( )x A A

Solución:

0( ) cos( )x t A t

x

t

0

0

A A

0A

0A

0A

10

Representación matemática del MAS: Resumen

Fuerza que provoca un MAS:

Ecuación diferencial del MAS

Ecuación del MAS

F kx

22

20

d xx

dt

( ) cos( )x t A t

Ley de Hooke

11

Representación del MAS:periodo y frecuencia

Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir un ciclo completo

( ) ( )x t x t T

( ) cos( )x t T A t T 2T x

t2

T

T

TUnidades: segundos (s)

12

Representación del MAS:periodo y frecuencia

Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo)

Para el resorte:

-11 Unidades: s Hz

2f

T

1 1

2

kf

T m

22

mT

k

k

m

La frecuencia no depende de la amplitud

13

Representación del MAS: aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones:

Medida de masas a partir de periodo de oscilación

El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973)

14

Representación del MAS: aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones:

Medida de masas a partir de periodo de oscilación

Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un piano.

15

Representación del MAS: velocidad y aceleración

( ) sen( )dx

v t A tdt

22 2

2( ) cos( ) ( )

d xa t A t x t

dt

( ) cos( )x t A t Posición:

Velocidad:

Aceleración:maxv A

2maxa A

(para el resorte)k

Am

(para el resorte)k

Am

El signo indica el sentido

El signo indica el sentido

16


( ) cos( )x t A t

( ) sen( )v t A t

• Desfase /2 con x(t)

• Desfase /2 con v(t)

• Desfase con x(t)

cos( )2

A t

2( ) cos( )a t A t 2 cos( )A t

• Suponemos =0

A

-A

-A

A

-A2

A2

x

( )v t

( )a t

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

T

17

A

-A

-A

A

-A2

A2

x

( )v t

( )a t

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

T


-A2

x

x

x

x

x

0t 0v 2a A

4Tt

2Tt

v A 0a

0v 2a A

18

A

-A

-A

A

-A2

A2

x

( )v t

( )a t

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

Tx

x


34Tt

t T

v A 0a

0v 2a A

x

x

x2Tt

0v 2a A

19

Índice






20

Energía del MAS

Si no hay rozamiento: energía mecánica constante

Energía cinética:

Energía potencial:

cteE K U

21

2K mv

0

( ) (0)x

muelleU x U W Fdx 0

x

Kx dx 21

2kx

21( )

2U x kx

21

Energía del MAS

Energía mecánica:

( ) cos( )con:

( ) sen( )

x t A t

v t A t

2 21 1

2 2E mv kx

2 2 2 2 21 1sen ( ) cos ( )

2 2E mA t kA t

Usando: (para un resorte)2m k

2 2 2 2

1

1 1(sen ( ) cos ( ))

2 2E kA t t kA

22

Energía del MAS

21

2E kA

¡ No depende de la masa !

2max

1

2x A E U kA

2 2max max

1 10

2 2x E K mv kA

• La energía se trasvasa continuamente de cinética a potencial y viceversa

K

21

2E kA

23

U(x) para una partícula en el fondo de un cuenco esférico

Energía del MASCualquier partícula que se desplaza ligeramente de su equilibrio sufre un MAS ya que cualquier curva puede aproximarse cerca del mínimo con una parábola:

24

Índice






25

Supongamos muelle vertical

Definimos eje y hacia abajo

Fuerza del muelle

Sistemas oscilantes: muelle vertical

yF kyu

y

26

Añadimos una masa m

Aparece una fuerza adicional, el peso:

Se puede hallar el alargamiento del muelle ( y0 ):

Condición de equilibrio:


yP mgu

0F P

0mg ky

0

mgy

k Puede usarse

para medir kk

27

Hacemos oscilar el sistema:

Definimos:


mg ky ma 0y y y

mg ky ky 2 2

2 2

d y d yma m m

dt dt

0

mgy y y y

k

2

2

d ym ky

dt

28

Solución:


2

2

d y ky

dt m

Ecuación diferencial

de un MAS

cos( )y A t

k

m

2; 2

mT

k

El único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio

29

Índice






30

Sistemas oscilantes: péndulo simple

Objeto de masa m

Suspendido de una cuerda ligera (mc<<m) de longitud L

Extremo superior fijo

Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones

¿Es un M.A.S.?

31


2

2sen

d smg m

dt usando: s L

2

2sen

dg L

dt

senmg ma

Si sen 2

2

d g

dt L

Ecuación diferencial de un MAS

Segunda Ley de Newton:

32


2

2

d g

dt L

Solución:

0 cos( )t con: g

L

Periodo del péndulo simple:

22

LT

g

¡ T no depende de m !

¡ T no depende de !

33

Péndulo simple: aplicaciones

El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones:

Técnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad.

Medida del tiempo: péndulo de un reloj

34

Índice






35

Oscilaciones amortiguadas (I)

Las oscilaciones en sistemas oscilantes reales no son permanentes: rozamiento

Este efecto puede incluirse en los cálculos:

Segunda Ley de Newton:

constante con:

velocidad

bR bv

v

Fuerza resistiva:

Amortiguamiento lineal (muy habitual)

kx bv ma 2

2

dx d xkx b m

dt dt

k

36

Oscilaciones amortiguadas (II)2

20

d x dxm b kx

dt dt

Solución: 2( ) cos( )b

tmx t Ae t

2 220 ;

2 2

k b b

m m m

Ecuación:

0

k

m

Frecuencia natural(corresponde a b=0)

0 El sistema oscila con frecuencia menor

que si no hubiera rozamiento (b=0)

37

Oscilaciones amortiguadas (III)

2( ) cos( )b

tmx t Ae t

La amplitud decrece exponencialmente

decrece más rápido cuanto mayor es b

38

Oscilaciones amortiguadas (IV)

La solución propuesta es válida para

Si : el sistema no oscila

02b m 2

20 2

b

m

Sistema subamortiguado

02b m

Críticamente amortiguado

Sobreamortiguado0( 2 )b m

0( 2 )b m

Cuanto mayor sea bmás tarda en alcanzar el

equilibrio

39

Índice






40

Oscilaciones forzadas

En un sistema amortiguado la energía decrece con el tiempo

Para mantener las oscilaciones es preciso suministrar energía de forma continua

Esto precisa la acción de una fuerza externa

0 cos( )eF F t

41

Oscilaciones forzadas: resonancia

Movimiento del oscilador forzado:Estado inicial transitorio

Estado estacionario: Oscila con e y A(e)

Energía es constante (suministrada=disipada)

Resonancia: ocurre cuando 0e

El sistema oscila con amplitud y energía máximas

42

Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows

• El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente colgante de Tacoma Narrows (Washington, USA) debido a las vibraciones provocadas por el viento.

• El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses.

43

Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows

44

Resonancia: ejemploBahía de Fundy

La bahía de Fundy se conoce por registrar la máxima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros).Se cree que el nombre “Fundy” data del siglo XVI, cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo“ (río profundo).El folklore popular afirma que las mareas son causadas por una ballena gigante que chapotea en el agua. Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (12.4 horas).

45

Resonancia: ejemploBahía de Fundy

46

Resumen del temaEl MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio.La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidalLa energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento.Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante.Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas.Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia

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