orientaciones académicas

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UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA VICERRECTOR ´ IA ACAD ´ EMICA ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES C ´ ATEDRA DE MATEM ´ ATICAS SUPERIORES ORIENTACIONES ACAD ´ EMICAS VARIABLE COMPLEJA C ´ ODIGO: 03246 Semana B Este curso utiliza Plataforma Inform´ atica Moodle Programas a los que pertenece este curso Licenciatura en la Ense ˜ nanza de la Matem ´ atica. Elaborado por: Master Alberto Soto Aguilar [email protected] 2202-1847 Evaluaci ´ on a cargo de: Licda Yoilyn Rojas Salazar Tercer cuatrimeste 2015

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Orientaciones académicas

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Page 1: Orientaciones académicas

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIAVICERRECTORIA ACADEMICAESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALESCATEDRA DE MATEMATICAS SUPERIORES

ORIENTACIONES ACADEMICASVARIABLE COMPLEJA

CODIGO: 03246

Semana B

Este curso utilizaPlataforma Informatica Moodle

Programas a los que pertenece este cursoLicenciatura en la Ensenanza de la Matematica.

Elaborado por:Master Alberto Soto Aguilar

[email protected]

Evaluacion a cargo de:Licda Yoilyn Rojas Salazar

Tercer cuatrimeste 2015

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VARIABLE COMPLEJA Codigo: 03246

1. Introduccion

Estimado estudiante:

La Variable Compleja es el area de la Matematica que estudia, el algebra de numeros comple-jos, la convergencia de sucesiones de numeros complejos, la continuidad y derivabilidad de lasfunciones de variable compleja ası como las series de potencias de numeros complejos. Por sucaracter integrador representa una materia idonea para complementar la formacion del profesio-nal en la Ensenanza de la Matematica.

Este documento detalla el programa del curso Variable Compleja, para la carrera de Licencia-tura en la Ensenanza de la Matematica de la UNED. Se indica el proposito, los objetivos, la formay temas de evaluacion.

Consulte este documento en cualquier momento que necesite informacion. Si la consulta noes evacuada, no dude en comunicarse con nosotros al telefono 2202-1847 o por medio de la pla-taforma de curso en los diferentes espacios para consultas. Recuerde que usted aprendera (enla mayorıa de los casos) por sus medios, y que el material didactico de este curso, las orienta-ciones didacticas y los demas servicios, son facilitadores para esta labor. Horario de atencion aestudiantes Martes y jueves de 1:00 pm a 4:30 pm.

2. Objetivo del curso

Aprovechar el caracter integrador que ofrece el estudio de las funciones de variable complejaentre Algebra, Analisis, Topologıa, Calculo Diferencial y Calculo integral Integral y completar laformacion profesional como docente de matematica.

3. Proposito del Curso

En este curso se estudian los numeros complejos y las funciones complejas de variable comple-ja. Ofrece los conocimientos sobre convergencia de sucesiones y series definidas sobre numeroscomplejos y el calculo diferencial e integral en funciones de variable compleja.

Dado que este curso es del nivel de Licenciatura en la ensenanza de la matematica y se esperadel estudiante que conjugue tanto lo aprendido en el nivel de bachillerato como la experienciay vision como docente en el area de matematica. La Variable Compleja inicia su estudio con eldescubrimiento de los llamados, en forma incorrecta, numeros imaginarios y en la solucion dela ecuacion x2 + 1 = 0. Como se notara en este curso existe una gran cantidad de resultados delanalisis real y calculo diferencial e integral que se deducen como consecuencias del estudio de lasfunciones y conjuntos sobre los numeros complejos.

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4. Contenidos

El curso esta dividido en seis grandes temas.

1. Topologıa en C.

a) El plano complejo

b) Conjuntos abiertos y cerrados

c) Conjuntos conexos

d) Compacidad

2. Funciones

a) Las funciones elementales definidas en C: polinomiales, racionales, exponenciales, lo-garıtmicas, trigonometricas, hiperbolicas.

b) Puntos de ramificacion y ramas.

c) Lımites

d) Continuidad

3. Series en C

a) Sucesiones

b) Series

c) Series de potencias

4. Diferenciacion compleja

a) Derivadas

b) Funciones analıticas

c) Puntos singulares

d) Curvas en C

5. Integracion

a) Integrales de lınea

b) Regiones simples, regiones multiplemente conexas

c) Teorema de Green

d) Teorema de Cauchy

6. Aplicaciones conformes

a) Jacobiano

b) Transformacion conforme

c) Puntos fijos

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5. Materiales

Los materiales del curso estaran disponible en forma digital y podran ser descargados de laplataforma del curso una vez usted haya ingresado al entorno.

Referencias bibliograficas

1. Apostol, T.M.: (1991) Analisis Matematico :2da Edicion. Reverte, Barcelona: Espana

2. Apostol, T.M. (1989) :Calculus, vol. I 2da Edicion. Reverte, Barcelona: Espana

3. Apostol, T.M.(1984) :Introduccion a la teorıa analıtica de numeros. Edicion. Reverte, Barce-lona: Espana

4. Brown J. W. & Churchill R. V. (2004), Variable compleja y aplicaciones. McGraw-Hill,

5. Lascurain , A. (2013): Curso Basico de Variable compleja. Facultad de Ciencias, UNAM,Mexico.

6. Levinson Curso de Variable Compleja. Reverte, Barcelona (2003)

7. Spiegel, M.R.et al (2011).Variable compleja. Serie Schaum: Mexico Mc-Graw Hill

6. Sugerencias al alumno en su estudio.

1. Este curso contiene material de cierto nivel de abstraccion, las definiciones y los teoremasdeben ser comprendidos y en algunos casos memorizados.

2. Lea con atencion los objetivos que aparecen en este documento antes de iniciar el estudio decada tema y revise, cuando haya estudiado el tema, que ha logrado los objetivos propuestos,pues la evaluacion del curso se hace con base en dichos objetivos.

3. Es importante que la lectura de los contenidos se haga cuidadosamente procurando seguircada uno de los ejemplos que se dan, es conveniente que trate de realizar todos los ejerciciosque se proponen para cada tema.

4. En caso de duda en algunos contenidos de este curso, tome nota y consulte mediante losespacios que se han destinado para este fin en la plataforma del curso en Internet o con eltutor presencial, no se quede con la duda.

5. Los teoremas y propiedades que se presentan en el texto, ası como los corolarios son el fun-damento matematico, es conveniente una lectura detallada. Ademas, debe conocer el enun-ciado y las demostraciones de los teoremas, entenderlos y aplicarlos cuando los ejercicios lorequieran.

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6. Este curso se ofrece en este cuatrimestre bajo la modalidad Hıbrida, esto significa que elmaterial didactico y los espacios para la entrega de tareas es dentro de la plataforma Mood-le del curso. En este espacio tambien habra actividades que junto con las pruebas escritasordinarias completan la evaluacion del curso. La plataforma tambien cuenta con espaciospara las consultas y discusion de temas.

7. Este es un curso requiere de planeamiento y una distribucion eficiente del tiempo.

7. La Plataforma Informatica

Para este curso la herramienta principal es la la plataforma informatica. En ella usted tendra laoportunidad de:

Accesar al material didactico, a las guıas de lectura y formato para los proyectos de investi-gacion.

Participar de los comentarios y discusiones que se realicen en los foros.

Entregar las tareas y los proyectos para su calificacion.

Tener espacios de intercambio academico con sus companeros, companeras y el personaldocente de la catedra.

Todas las actividades se realizaran en internet y a modo de referencia, se necesitara disponerde aproximadamente cuatro horas semanales para realizar las actividades propuestas durante las12 semanas del cuatrimestre. Las actividades de plataforma tienen fecha de caducidad por lo queno debe descuidar estas fechas. Las tareas y proyectos se entregan en correspondencia al domingode semana B. Por lo que es muy importante que usted participe en forma activa. La fecha de iniciode las actividades 14 de setiembre del 2015. Recuerde que es un requisito imprescindible para queusted participe de esta plataforma disponer de una cuenta de correo electronica personal.

8. Evaluacion del curso

Los instrumentos de evaluacion de este curso son: ensayos, participacion activa en los forosde discusion y la presentacion de informes de investigacion. Este curso no tiene pruebas escritasordinarias presenciales.

8.1. Nota Final

La nota final del curso se obtendra por medio de la siguiente distribucion

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Instrumento Porcentaje2 pruebas escritas ordinarias 50 %4 Tareas 20 %6 actividades en lınea 20 %1 Proyecto 10 %

El curso se aprueba con nota mınima de 7.00 y se regira por lo establecido en el Reglamentode la Condicion Academica de los estudiantes de la UNED.

9. Calendario de Actividades:

Las fechas aquı publicadas se hacen considerando que la distribucion con la semana B.

10. Tareas

En el presente cuatrimestre, se realizaran cuatro (4) tareas compuestas por ejercicios de desa-rrollo. Revise la fecha de entrega, esta coincide con los domingos de semana B. Las tareas tendranun valor del 20 % de la evaluacion final y se debera digitalizar porque su entrega se hara por me-dio de la plataforma del curso en un archivo .PDF. Con esto usted podra conocer la calificacionde su tarea en los ocho dıas siguientes a la fecha de entrega, con la ventaja de que usted cono-cera cuales son sus errores y podra corregirlos para mejorar el aprovechamiento del curso. Se lesugiere que la haga en computadora porque esto le beneficia para el desarrollo de las habilidadesy destrezas necesarias para su ejercicio profesional.

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Las soluciones presentadas en cada tarea son individuales y forman parte de la evaluacion delcurso, por lo que se rige por el reglamento de condicion academica del estudiante de la UNED.

TAREA I

Entrega Domingo 27 de setiembre antes de las 11:55 pm.

1. El plano complejo:

a) SeaA(1,−2),B(−3, 4),C(2, 2) puntos en el plano complejo que denotan los tres verticesdel triangulo ABC. Encuentre la longitud de la mediana desde C al lado AB.

b) Encuentre la ecuacion en el plano complejo de los puntos del cırculo de radio 4 y centroen (−2, 1).

2. Dado S el conjunto de todos los puntos a + bi, donde a y b son racionales, que estan dentrode un cuadrado con vertices en 0, i, 1, 1 + i, determine:

a) Si S es abierto o cerrado,

b) Si S es conexo,

c) Si S es compacto.

3. Si z = ew donde z = r(cos θ + i sen θ) y w = u + iv, demostrar que u = ln r y v = θ + 2kπ,k = 0,±1,±2, · · · ası que w = ln z = ln r + i(θ + 2kπ) y determine cual es el valor principal.

4. Sea w = f(z) = (z2 + 1)12 . Muestre que z = ±i son los puntos de ramificacion de f(z) y

determine sus ramas.

TAREA II

Entrega Domingo 11 de octubre antes de las 11:55 pm.

1. Demuestre que lımz→i3z4−2z3+8z2−2z+5

z−i = 4 + 4i.

2. Determine si la siguiente serie es convergente o divergente, en caso de ser convergentesindique el valor de convergencia

un =n

n+ 3i− in

n+ 1

3. Determine la convergencia o divergencia de

∞∑n=1

wn

5n2

dondew =

√3 + i

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4. Determine la region de convergencia de

∞∑n=1

(z + 2)n−1

(n+ 1)34n

TAREA III

Entrega Domingo 8 de noviembre antes de las 11:55 pm.

1. Determine la derivada de f(z) = z tan−1(ln z).

2. Determine si el enunciado a continuacion es Verdadero o Falso:

a) Si f(z) es analıtica en z0, es continua en z0: . . . . . . . . .

b) Si f(z) es continua en z0, es siempre analıtica en ese punto: . . . . . . . . .

c) Si f(z) = u + iv es analıtica en una region R, sus segundas derivadas parciales soncontinuas en R: . . . . . . . . .

d) Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es tal que satisface ∂u∂x

= ∂v∂y

, ∂u∂y

= − ∂v∂x

, entonces f(z) esanalıtica: . . . . . . . . .

3. Halle el valor numerico de∮C

(5z4−z3+2)dz al rededor del cuadrado de vertices (0, 0), (1, 0),(1, 1) y (0, 1).

4. Hallar el valor numerico de∮Czdz al rededor del cırculo |z − 2| = 3.

TAREA IV

Entrega Domingo 22 de noviembre antes de las 11:55 pm.

1. Determine el valor de∫ 4−3i3+4i

(6z2+8izdz) a lo largo de la lınea recta que une los puntos 3 + 4i

y 4 − 3i y a lo largo del cırculo |z| = 5 que tambien une dichos puntos, ¿Es esta integralindependiente del camino a utilizar?.

2. Halle el Jacobiano de la transformacion u = x2 − xy + y2, v = x2 + xy + y2.

3. Dibuje las imagenes del cırculo (x− 3)2 + y2 = 2 y la recta 2x+ 3y = 7 con la transformacionw = 1

zy determine cuando las imagenes del cırculo y la recta se intersecan en el mismo

angulo en que se intersecan el cırculo y la recta.

4. Pruebe que la transformacion bilinealw = αz+βγz+δ

tiene un punto fijo si y solamente si (δ+α)2 =

4(αδ − βγ) 6= 0

Proyecto

El proyecto consistira en una revision bibliografica y documental de alguno de los temas afinesal curso. El tema y las pautas de entrega se hara oportunamente en la plataforma del curso.

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Recomendaciones

1. Acceda el aula virtual del curso al menos dos veces por semana.

2. Al ingresar revise todas las informaciones disponible, las nuevas actividades o los nuevosrecursos. Revise tambien las participaciones en los foros.

3. Revise el calendario en el que se detalla las fechas de las actividades y entrega de documen-tos.

4. Utilice las herramientas de comunicacion (mensajes) que provee la plataforma de Aprendi-zaje en Lınea para estar en contacto con sus companeros y con el personal de la catedra.

5. Si desea contestar o completar el aporte de un companero o companera, haga click en laopcion de Responder.

6. Las normas de cortesıa y respeto deben mostrarse en todo momento, recuerde que comocualquier espacio universitario, su comportamiento esta sujeto al reglamento de condicionacademica del estudiante.

En caso de . . .Contingencias administrativas Contingencias tecnicas Contingencias academicas

No puede ingresar al cursoen lınea. Su clave o contra-sena no parece funcionar.Usted ingresa pero el cursono aparece.Alguna otra semejante

La pagina de la UNED noesta disponibleNo logra accesar a la paginade la plataforma.

No aparecen las calificacio-nes de las actividadesAlgunas respuestas no seleen, no son correctas o noaparece la opcion.Alguno de los recursos noestan disponibles o no se vi-sualiza correctamente.

Comuniquese con ...Programa de aprendizaje enLıneacorreo:[email protected]: 2234-3236 ext.3545 o 3546

Direccion de Tecnologıa, In-formacion y ComunicacionesTelefonos: 2527-2285 o bien2224-2402

Catedra de Matematicas [email protected]: 2202-1847

El Programa de Aprendizaje en Lınea ofrecera la videoconferencia: Induccion a la Plataformade Aprendizaje en Lınea: Moodle informese en el centro universitario el horario de la mismao consulte en el Programa de Videoconferencia (2234-3236 ext 3541) las sedes remotas que seabriran.

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