organizaciones matemáticas propuestas para el nivel
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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Organizaciones Matemáticas propuestas para
el nivel secundario relativas al Teorema de
Pitágoras: una descripción desde la Teoría
Antropológica de lo Didáctico
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
2020
Organizaciones Matemáticas propuestas para el
nivel secundario relativas al Teorema de
Pitágoras: una descripción desde la Teoría
Antropológica de lo Didáctico
Tesista: Prof. Yesica Eugenia Torres
Tesis de Licenciatura
realizada bajo la dirección
de la Dra. Verónica Parra,
presentada en la Facultad
de Ciencias Exactas de la
Universidad Nacional del
Centro de la Provincia de
Buenos Aires, como
requisito parcial para la
obtención del título de
Licenciado en Educación
Matemática
Tandil, julio del 2020
Quiero agradecer:
A la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
(UNCPBA) y a la Facultad de Ciencias Exactas por apoyarme en mi formación
profesional.
Al Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT) por
ayudarme a dar los primeros pasos en el área de investigación en Educación
Matemática
A mi directora Dra. Verónica Parra por su paciencia, confianza y apoyo
intelectual recibido en cada etapa de mi formación, por compartir sus
conocimientos y brindarse a la realización de este trabajo en un marco de respeto,
afecto y entusiasmo.
A mis padres, pilares de mi vida, por alentarme, acompañarme y darme fuerzas
para continuar creciendo y avanzando en esta hermosa profesión.
A mi hermana por haberme escuchado tantas veces y darme aliento para seguir y
no bajar los brazos.
A Pochito, mi compañero fiel, mi humano de cuatro patitas que siempre me hizo
el aguante durante largas horas dormido sobre los apuntes.
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ÍNDICE
Resumen ........................................................................................................................... 5
Organización de la investigación ...................................................................................... 6
CAPITULO 1: Delimitación y justificación de la investigación ...................................... 8
Definición y estado actual del problema ....................................................................... 8
Justificación de la Investigación ................................................................................. 10
Algunos antecedentes al respecto ............................................................................... 11
Objetivo(s) General(es) ............................................................................................... 12
Objetivo (s) Particular(es) ........................................................................................... 12
Preguntas de la Investigación ..................................................................................... 12
CAPÍTULO 2: Marco teórico: la teoría antropológica de lo didáctico (TAD) .............. 14
Introducción ................................................................................................................ 14
Componentes de las praxeologías ............................................................................... 14
Praxeologías puntuales, locales, regionales y globales ............................................... 16
Indicadores del grado de completitud de una OM local ............................................. 17
CAPÍTULO 3: Aspectos metodológicos ........................................................................ 20
Metodología de la investigación ................................................................................. 20
CAPÍTULO 4: Caracterización de las OM en términos de sus componentes, niveles de
la OM y grado de completitud ........................................................................................ 26
Caracterización en términos de sus componentes ....................................................... 26
Clasificación de las OM en puntuales, locales, regionales y globales ........................ 31
CAPÍTULO 5: Conclusiones .......................................................................................... 35
CAPÍTULO 6: Referencias ............................................................................................ 40
ANEXO 1 ....................................................................................................................... 46
Tabla I: Descripción de los trabajos relativos a la enseñanza del Teorema de Pitágoras
.................................................................................................................................... 46
ANEXO 2 ....................................................................................................................... 59
Tabla 2: Descripción de los libros utilizados para trabajar la enseñanza del Teorema
de Pitágoras ................................................................................................................. 59
ANEXO 3 ....................................................................................................................... 62
Tabla 3: Descripción e identificación de las OM y sus componentes ........................ 62
5
Resumen
Esta investigación es de tipo descriptiva y se aborda desde una perspectiva didáctica. Se
utiliza como referente teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD)
(Chevallard, 1992, 1997, 1999, 2000, 2013, 2017). Se trata de una investigación centrada
en identificar y describir los componentes (tareas, técnicas, tecnologías y teorías) de las
Organizaciones Matemáticas (OM) propuestas para enseñar en un conjunto de 34 libros
de texto de Secundaria relativas al teorema de Pitágoras. Se intenta concluir sobre nivel
de estas OM, tratando de delimitar si se tratan de OM puntuales, locales, regionales o
globales y sobre su grado de completitud a partir de los indicadores propuestos por
Fonseca (2004, Bosch, Fonseca y Gascón, 2004).
La investigación fue impulsada por la preocupación que reviste el estudio de la
matemática no solo en la escuela secundaria sino en los diferentes niveles de
escolarización. En particular, nace del estudio de las dificultades en torno al Teorema de
Pitágoras en la Educación Secundaria; para el cual me situaré en el marco de la Teoría
Antropológica de lo Didáctico. Al respecto, en el marco de la TAD se han nombrado y
descripto diversos fenómenos tales como el autismo temático (Chevallard, 1999; 2001),
autismo institucional (Gascón, 2003), autismo disciplinar (Chevallard, 2001), encierro
evaluativo (Parra y Otero, 2009), la perdida de sentido de las razones de ser de las OM a
enseñar, la transparencia del saber matemático (Fonseca, 2004) y la monumentalización
del saber (Chevallard, 2004, 2005, 2017).
6
Organización de la investigación
En el Capítulo 1 se delimita y justifica el problema de la investigación. Aquí se indica
cuál es el estado actual del conocimiento sobre la cuestión, se justifica la investigación,
se definen los objetivos generales, los objetivos particulares; y se formulan las preguntas
de estudio.
En el Capítulo 2 se describe la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) (Chevallard;
1992, 1997, 1999, 2000) a partir de los supuestos básicos de la misma. Se describen los
conceptos de organización matemática (OM) y organización didáctica (OD). Se
caracterizan los fenómenos didácticos (autismo temático, autismo institucional, autismo
disciplinar, incompletitud de las OM, transparencia, monumentalización del saber). Se
describe la organización praxeológica (local, global y puntual) y se detallan los
indicadores del grado de completitud de una OM local a partir de los propuestos por
Fonseca (2004) y Bosch, Fonseca y Gascón (2004).
El Capítulo 3 hace referencia a los aspectos metodológicos. Se presentan las acciones e
instrumentos desarrollados para intentar dar respuesta a las preguntas de investigación,
teniendo en cuenta los componentes de las praxeologías: tareas, técnicas, tecnologías y
teorías; los indicadores de Fonseca (2004) relativos al grado de completitud de una OM
local y los niveles de las praxeologías propuesta en el marco de la TAD: praxeologías
puntuales, locales, regionales y globales (Chevallard, 1999).
En el Capítulo 4 se lleva a cabo la caracterización de las OM propuestas en el conjunto
de los 34 libros de texto escolares a partir de los elementos componentes de una
praxeología. Se trata además de determinar el nivel de las praxeologías y dar indicios
sobre su grado de completitud.
El Capítulo 5 corresponde a las reflexiones finales.
El Capítulo 6 contiene las referencias bibliográficas.
En Anexos colocamos las diferentes tablas generadas para el desarrollo de este
manuscrito.
7
Capítulo 1 Delimitación y justificación de la Investigación
8
CAPITULO 1: Delimitación y justificación de la investigación
Definición y estado actual del problema
El marco de la antropología de lo didáctico (TAD) (Chevallard, 1997, 1999, 2000, 2013,
2017) es un referencial adecuado para describir y analizar cuestiones complejas referidas
al estudio de la Matemática. Resulta adecuado pues, en este marco se formulan y
describen una serie de fenómenos didácticos emergentes del sistema educativo y porque,
además, la TAD no sólo considera las actividades de enseñanza y aprendizaje en el aula
como objeto de estudio sino también, todo el proceso que va desde la creación y
utilización del saber matemático hasta su incorporación en la escuela como saber
enseñado. Este proceso o más precisamente, el foco en tal proceso conduce a considerar
un amplio abanico de variables, incluyendo la formación del profesorado de secundaria.
Al respecto, Bosch y Gascón (2009) distinguen tres importantes contribuciones de la
TAD:
[…] la manera de plantear el problema de la formación y delimitar el ámbito empírico en
el que éste debe situarse y abordarse; la propuesta y experimentación de dispositivos de
formación; y, finalmente, la puesta en evidencia de fenómenos que inciden en el
desarrollo de esta formación (Bosch y Gascón, 2009, p.1).
Con relación a los fenómenos didácticos, en el marco de la TAD se ha identificado y
descripto el fenómeno denominado “autismo”, el de la pérdida de sentido de las razones
de ser de las praxeologías, la desconexión e incompletitud de las organizaciones
matemáticas y más recientemente, el fenómeno de la monumentalización del saber
(Chevallard, 2001; 2004, 2005, 2017; Bosch, Fonseca y Gascón, 2004; Fonseca, Bosch,
Gascón, 2010)
Según Chevallard (2001), para que una cuestión matemática se estudie en una institución
escolar debe recorrer una jerarquía de niveles que comienza en la humanidad, continúa
por la civilización, la sociedad, la escuela, la pedagogía y luego, los denominados niveles
más específicos, propios del ámbito de la matemática. Dentro de los niveles más
específicos se consideran el nivel de la cuestión en sí misma y el del tema del que forma
parte esa cuestión, entre otros. Y es aquí, donde desde la TAD se define y describe el
fenómeno del “autismo temático”. Se observa un “abandono”, involuntario, por parte del
profesor, de los niveles superiores de organización, desde el de la sociedad y la escuela
hasta incluso el de los sectores, lo que provoca un retraimiento de su acción sobre el nivel
de los temas. Este “encierro” constituye el fenómeno didáctico rotulado por Chevallard
(1999) como “autismo temático” del profesor. No hay que olvidar que existe asimismo
una especie de autismo disciplinar (Chevallard, 2001) que se manifiesta en que una
cuestión de una disciplina no podría ser estudiada en otra. Esto suele advertirse en
expresiones del tipo, por ejemplo, “este tema es de Geografía, no de Matemática”. Gascón
(2003) prefiere referirse a “autismo temático de la institución” y no del profesor. Alude a
que el profesor está sujeto a este fenómeno y que sólo puede incidir localmente y en un
grado relativamente insignificante. Finalmente, Parra y Otero (2009) proponen referir a
9
encierro evaluativo, detectado en un estudio de casos donde tanto los docentes como los
estudiantes centraban el proceso de estudio en las cuestiones probables de incluirse en los
exámenes.
El autismo temático debe ser considerado, por tanto, como un fenómeno que condiciona
el conjunto de las cuestiones matemáticas que pueden ser estudiadas en las instituciones
escolares y, las posibles formas de estudiar dichas cuestiones. Según Gascón (2004) este
fenómeno se presenta, además, en muchas de las investigaciones en Didáctica de la
Matemática puesto que varias de ellas asumen, implícitamente, el encierro en los temas.
Por ejemplo, sus propuestas para modificar el currículo de matemática de la Enseñanza
Secundaria no llegan a cuestionar la estructura de los sectores en que se divide cada una
de las disciplinas ni, mucho menos, las áreas (“aritmética”, “álgebra”, “cálculo”,
“estadística” y “probabilidad”) en que tradicionalmente se ha estructurado la matemática
escolar (Gascón, 2004).
En resumen, el autismo temático es un fenómeno que afecta a la institución escolar en su
conjunto y no sólo a los sujetos de la misma. Su creciente y negativa incidencia sobre el
problema del currículo se materializa en la desaparición no sólo de las razones de ser de
las OM enseñadas sino incluso de ciertos sectores, como la geometría analítica y hasta de
áreas completas de la matemática, como la propia geometría. También se materializa en
la transparencia de las disciplinas en general y de la matemática en particular. Esta
“transparencia” consiste en considerar a la matemática por sí y para sí misma, como si no
fuese necesario justificarla ni mostrar su utilidad. Esta transparencia se corresponde con
el carácter rígido, desconecto y poco articulado de las organizaciones matemáticas
(Fonseca, 2004; Bosch, Fonseca y Gascón, 2004). Estos autores, en particular Fonseca,
se han centrado en caracterizar las discontinuidades matemáticas y didácticas entre la
Secundaria y la Universidad. Han mostrado en qué sentido las organizaciones
matemáticas (OM) que se estudian en Secundaria son puntuales (centradas en un único
tipo de tareas), rígidas y poco articuladas entre sí. Al mismo tiempo, han puesto de
manifiesto la ausencia de una actividad matemática universitaria que retome las OM que
se estudian en Secundaria, las desarrolle adecuadamente, las articule y las integre en otras
más amplias y completas. Estas conclusiones se obtienen al analizar las OM a partir de
un conjunto de indicadores del grado de completitud construido, precisamente, por
Fonseca (2004) y los cuales mencionaremos en el capítulo correspondiente al marco
teórico.
Por su parte, Gascón (2002) señala que se acepta acríticamente un modelo epistemológico
de las matemáticas, que es el dominante por ejemplo en muchas instituciones docentes de
nivel universitario, y que reduce la “actividad matemática” a series del tipo “definición-
especulación-teorema-prueba”. Esta epistemología reduccionista expresa la “enseñanza
de las matemáticas” fuera de las actividades matemáticas.
Como se mencionó al inicio de esta sección, otro de los fenómenos didácticos descriptos
por la TAD es el denominado, metafóricamente por Chevallard (2004, 2005) como
10
monumentalización del saber: en una enseñanza monumental, la actividad del alumno se
describe a partir de una analogía con la visita a un museo. Los estudiantes son los
visitantes del mismo y el profesor, el guía de esa visita. Allí, los estudiantes sólo transitan
por el museo admirando las obras de arte que el guía les presenta y explica. En esa visita,
sólo pueden admirar y venerar las obras sin fotografiarlas y menos aún, manipularlas. En
el aula, esto se traduce en que el alumno sólo puede reproducir la obra que le es presentada
por el profesor. Se genera así un proceso de estudio donde sólo se hace un inventario de
las obras a estudiar, con raras y hasta ausentes conexiones entre ellas. Otra consecuencia
gravísima de la monumentalización es la instalación de un proceso sistemático y muy
arraigado de eliminación de las preguntas, preguntas que han sido, en algún momento, el
origen de los saberes, y que son sustituidas por la enseñanza de respuesta (Chevallard,
2007; Morales Paredes, 2013).
Cada uno de los fenómenos antes descriptos condicionan no sólo lo que es posible
estudiar en el aula sino también la manera de realizar este estudio y conducen a un
cuestionamiento en torno a cuál debería ser el equipamiento praxeológico útil (y
necesario) del que deben disponer los profesores de matemática del nivel secundario
(Bosch y Gascón, 2009). Este equipamiento, tal como su nombre lo indica, se compone
de praxeologías que, junto a otra serie de recursos, le permiten al profesor diseñar y
gestionar sus clases. Entre los recursos utilizados por los profesores para el diseño de sus
clases, el libro de texto o manuales es uno de los muy frecuentemente utilizados. Resulta
fundamental entonces analizar ese tipo de recurso particular. En este trabajo, nos
centramos en el Teorema de Pitágoras en el nivel secundario, enfocándonos en las
praxeologías propuestas para enseñar en un conjunto de 34 libros de texto. Según
Chevallard, Bosch y Gascón (1997, p. 117), aunque el hecho de que en la escuela se
enseñe el Teorema de Pitágoras y no la elasticidad es el resultado de decisiones humanas;
la forma concreta como aparece el Teorema de Pitágoras en el currículo actual es, a su
vez, una consecuencia de las leyes que rigen el desarrollo interno del currículo de
matemáticas. Resulta así que el currículo de matemática no es arbitrario, como tampoco
lo es la manera en que se transforma la matemática en el seno de una institución escolar.
Justificación de la Investigación
El trabajo que se presenta aquí nace del estudio de las dificultades que surgen en la
enseñanza y aprendizaje del Teorema de Pitágoras en la Educación Secundaria; para el
cual me situaré en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Se trata de una
investigación centrada en identificar y describir los componentes (tareas, técnicas,
tecnologías y teorías) de las Organizaciones Matemáticas (OM) propuestas para enseñar
en un conjunto de 34 libros de texto de Secundaria relativas al teorema de Pitágoras. Se
intenta concluir sobre el nivel de estas OM, tratando de delimitar si se tratan de OM
puntuales, locales, regionales o globales y sobre su grado de completitud, a partir de lo
que en ellos se propone. En esta investigación se propone hacer un estudio minucioso
sobre ese conjunto de libros de texto de Secundaria a fin de identificar las tareas, técnicas,
11
tecnologías y teorías explicitadas en cada uno de ellos sobre el Teorema de Pitágoras. En
los currículos oficiales de la provincia de Buenos Aires, en el diseño curricular de 2do
año, se incluye el Teorema de Pitágoras como tema a estudiar en las clases de matemática,
como instrumento para resolver situaciones diversas, entre ellas cálculo de perímetros y
áreas. Resulta importante desarrollar este análisis no sólo para describir las praxeologías
propuestas para enseñar en un conjunto de libros de texto, en torno al Teorema de
Pitágoras, sino también porque muchos docentes utilizan los libros como uno de los
recursos principales, y en algunas ocasiones, el único, para el desarrollo de las clases en
el aula y para la preparación fuera de ellas. En este sentido, se pretende que esta
investigación permita, al menos, propiciar una reflexión sobre las praxeologías propuestas
en un conjunto de libros de texto. Es clave entonces analizar el tipo de praxeologías
disponibles en ese recurso para los profesores, ya que, son una parte importante de sus
recursos disponibles.
Algunos antecedentes al respecto
Para tratar de delimitar el problema de la investigación y para acercarnos al estado actual
del conocimiento sobre la temática, se tomaron como referencia 22 trabajos de
investigación referidos al Teorema de Pitágoras, de los cuáles, 18 corresponden a
artículos de revistas (indexadas), 3 actas de congreso reconocidos y 1 simposio
internacional. La selección de estos artículos se centró en la disponibilidad de los mismos
y acceso a ellos, además de considerar revistas indexadas y congresos más difundidos. Si
bien se trata de un pequeño conjunto de artículos, que, por supuesto podría ampliarse, se
pretende con ellos aproximarse a la temática relativa al Teorema de Pitágoras y su
enseñanza. Con la intención de describir estos artículos, se confeccionó una tabla, en la
cual se colocaron datos relativos a cada uno de los trabajos: nombre del trabajo, lugar de
publicación, autores, año de publicación, problema que aborda, preguntas y/u objetivos,
marco teórico que utiliza, la metodología de la investigación y los resultados más
relevantes.
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Tabla 1: Descripción de los trabajos relativos a la enseñanza del teorema de Pitágoras
Esta descripción permitió concluir que ninguno de estos 22 trabajos se enfoca en
identificar y describir los componentes (tareas, técnicas, tecnologías y teorías) de las
Organizaciones Matemáticas (OM) propuestas para enseñar en un conjunto de libros de
12
texto de Secundaria relativas al Teorema de Pitágoras y tampoco se intenta concluir sobre
nivel de las OM propuestas para enseñar ni sobre su grado de completitud. La mayoría de
ellos (Grupo Alquerque, 2003; Vargas, Vargas-Gamboa, Araya, 2013; Casás Ferreo,
2010; Cortegoso, Iglesias-Gómez Cabrero, 1992) utiliza el juego u otro soporte técnico
como disparador para trabajar la equivalencia de superficies, la construcción de triángulos
y demás figuras de análisis; a modo de incentivar al alumno a ser capaz de descubrir,
crear y desarrollar habilidades matemáticas que le permitan desarrollar un pensamiento
social que le permita establecer una conexión con el mundo del trabajo, entre otras cosas.
Otros refieren (Martyniuk, 2009; Echavarría-Bermúdez, Galeano, 2011; Duque, Gómez,
2013; Barreto, García, 2009) a demostraciones en el aula a fin de elaborar Programas
Educativos para satisfacer el deseo de aprender en relación a proyectos personales; guías
de trabajo para una mejor adaptación y modificación en diferentes niveles y contextos y
un enfoque histórico de hechos para realizar mediciones y construcciones.
Objetivo(s) General(es)
Describir, caracterizar y clasificar las organizaciones matemáticas (OM) propuestas en
los libros de texto del nivel secundario.
Contribuir al desarrollo del área de investigación en Enseñanza de la Matemática.
Objetivo (s) Particular(es)
Identificar las tareas, los tipos de tareas, las técnicas, tecnologías y teorías que componen
las organizaciones matemáticas (OM) propuestas para enseñar, entorno al Teorema de
Pitágoras, en un conjunto de libros de texto destinados al nivel secundario argentino.
Clasificar estas OM tratando de delimitar si se tratan de OM puntuales, locales, regionales
o globales y dar indicios sobre su grado de completitud.
Preguntas de la Investigación
1.1. ¿Qué características, en términos de componentes, tienen las organizaciones
matemáticas (OM) propuestas para enseñar entorno al Teorema de Pitágoras, en un
conjunto de 34 libros de texto destinados al nivel secundario argentino?
1.2.¿Cómo se clasifican estas OM, en términos de puntuales, locales, regionales o
globales?
1.3. ¿Cuál es el grado de completitud de esas mismas OM?
13
Capítulo 2 Marco teórico: la teoría antropológica de lo didáctico
14
CAPITULO 2: Marco teórico: la teoría antropológica de lo didáctico
(TAD)
Introducción
Esta investigación adopta como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo
didáctico (TAD) (Chevallard, 1997, 1999, 2000, 2013, 2017); teoría que sitúa la actividad
matemática, y en consecuencia la actividad del estudio en matemáticas, en el conjunto de
actividades humanas y de instituciones sociales (Chevallard, 1999, p.1).
El postulado de base de la TAD admite que toda actividad humana regularmente realizada
puede describirse con un modelo único, que se resume con la palabra de praxeología
(Ibid., p1). Esta palabra proviene de la unión de los términos “praxis” y “logos”. El saber
aparece así organizado en dos niveles. El primer nivel es el que remite a la práctica que
se realiza, la praxis o saber-hacer, es decir, los tipos de problemas o tareas que se estudian
y las técnicas que se construyen y utilizan para abordarlos. El segundo nivel recoge la
parte descriptiva, organizadora y justificadora de la actividad, que se denomina logos o,
simplemente, saber. Incluye las descripciones y explicaciones que se elaboran para hacer
inteligibles las técnicas, esto es, el discurso tecnológico (la “razón”, logos, de la técnica
y, en última instancia, el fundamento de la producción de nuevas técnicas) y la teoría que
da sentido a los problemas planteados, permite interpretar las técnicas y fundamentar las
descripciones y demostraciones tecnológicas.
Tipos de tareas, técnicas, tecnologías y teorías son las cuatro categorías de elementos que
componen una organización o praxeología. Cuando se trate de la matemática, se dirá una
praxeología matemática. Pero estos componentes no sólo definen una praxeología
matemática a partir de “la matemática” a estudiar (sus tipos de tares, técnicas, tecnologías
y teorías) sino también forman las denominadas praxeologías didácticas. Estas últimas
estructuran las maneras de gestionar y desarrollar el estudio de las anteriores, es decir, de
las praxeologías matemáticas. Aparecen así, dos aspectos o dimensiones inseparables del
estudio de la matemática: lo que se estudia (materializado en una o un conjunto de
praxeologías matemáticas) y la manera de estudiarlo (una o varias praxeologías
didácticas). En el caso de las praxeologías didácticas, cada uno de sus componentes se
dice que son colaborativos.
En el marco de la TAD “hacer matemáticas” consiste entonces en poner en práctica una
praxeología matemática para realizar un determinado tipo de tareas y “estudiar
matemáticas” consiste en construir o reconstruir determinados elementos de una
praxeología matemática para dar respuesta a una determinada cuestión problemática
(incluyendo un tipo de tarea para el cual no existe o no está disponible una praxeología
adecuada para resolverla).
Componentes de las praxeologías
15
Describiremos a continuación, los componentes de una praxeología: tareas, tipos de tareas
y géneros de tareas; técnicas; tecnologías y teorías.
Tareas:
Una tarea supone un objeto relativamente preciso (Chevallard, 1999). Se entiende por
tarea un problema, un ejercicio, una actividad, una pregunta, etc. Es un objeto – en el
sentido de la TAD – al que se debe buscar una manera de hacer. En la mayoría de los
casos, una tarea (y el tipo de tareas asociado) se expresa por un verbo: limpiar el piso de
la habitación; dividir el entero 10 por el entero 5; integrar la función ln(x) entre x = 1 y x
= 2 (Chevallard, 1999); calcular el límite de la función f(x) = x + 1 cuando x tiende a 3.
(Parra, 2008).
Tipos de tareas:
Un tipo de tareas es un grupo de tareas cuya manera de hacer es compartida. Es decir, una
misma técnica permite resolver las tareas. Al igual que las tareas, los tipos de tareas,
suponen también un objeto relativamente preciso. Algunos ejemplos teniendo en cuenta
lo expresado en las tareas serían: limpiar una habitación; dividir un entero por otro;
integrar una función real entre x = a y x = b, siendo a y b números reales; calcular el límite
de la función real f(x) cuando x tiende a un valor finito.
Géneros de tareas:
Análogamente al agrupamiento de tareas en tipos de tareas, diremos que los tipos de tareas
se asocian formando géneros de tareas. Concretamente un género de tareas no existe más
que bajo la forma de tipos de tareas, cuyo contenido está especificado (Chevallard, 1999).
Por ejemplo: limpiar; calcular; subir; etc. es lo que se llamará un género de tareas y
generalmente se denotan utilizando verbos.
Tareas, tipos de tareas, géneros de tareas no son datos de la naturaleza, son “artefactos”,
“obras”, construcciones institucionales, cuya reconstrucción en tal institución, y por
ejemplo en tal clase, es un problema completo, que es el objeto mismo de la didáctica
(Chevallard, 1999).
Técnicas:
Una tarea requiere, al menos en principio, de una manera de realizarla, una determinada
manera de hacer, es decir, requiere una técnica para resolverla. Una técnica no
necesariamente es de naturaleza algorítmica o casi algorítmica, es la manera de hacer para
resolver la tarea propuesta. Pintar un paisaje, fundar una familia son tipos de tareas para
las cuales no existe forzosamente una técnica algorítmica. Las técnicas son relativas, esto
significa que una técnica tiene éxito sobre algunas tareas y no sobre otras. Esto es lo que
se denomina “alcance de la técnica” (Chevallard, 1999). Esto conduce a ampliar las
técnicas de manera tal que permitan resolver tareas de un mismo tipo o bien, modificar e
incluso reemplazar las técnicas. Una praxeología relativa a un tipo de tareas T contiene
pues, en principio, una técnica ô relativa a T. contiene así un “bloque” designado por [T/
16
ô], que se denomina bloque práctico-técnico y que se identificará genéricamente con lo
que se denomina un saber hacer: un determinado tipo de tareas, T y una determinada
manera, ô, de realizar las tareas de este tipo. En una institución I dada, y a propósito de
un tipo de tareas T dado, existe en general una sola técnica, o al menos un pequeño
número de técnicas institucionalmente reconocidas, con la exclusión de técnicas
alternativas posibles – que pueden existir efectivamente, pero en otras instituciones
(Chevallard, 1999).
Tecnologías:
Se entiende por tecnología, y se indica generalmente por θ, un discurso racional –el logos-
sobre la técnica –, discurso cuyo primer objetivo es justificar “racionalmente” la técnica
para asegurarse de que permite realizar las tareas del tipo T, es decir, realizar lo que se
pretende. Cualquiera que sea el tipo de tareas T, en una determinada Institución, la técnica
ô relativa a T está siempre acompañada de al menos un embrión o más frecuentemente
aún, de un vestigio de tecnología θ. En numerosos casos, incluso, algunos elementos
tecnológicos están integrados en la técnica (Chevallard, 1999).
Una segunda función de la tecnología es la de explicar, de hacer inteligible, de aclarar la
técnica. Desde este punto de vista, en matemáticas, la función de justificación predomina
tradicionalmente, por medio de la exigencia demostrativa, sobre la función de
explicación. Una tercera función corresponde a un empleo más actual del término de
tecnología: la función de producción de técnicas (Chevallard, 1999).
Teorías:
El discurso tecnológico contiene afirmaciones, más o menos explícitas, de las que se
puede pedir razón. Se pasa entonces a un nivel superior de justificación-explicación-
producción, el de la teoría, Θ, que retoma, en relación a la tecnología, el papel que esta
última tiene respecto a la técnica (Chevallard, 1999). Por ejemplo, en las proposiciones
que justifican las técnicas, la teoría sería la demostración de las mismas. En el caso en el
cual la tecnología es la definición del límite de funciones, por ejemplo, el cuestionamiento
de esta tecnología nos conduce a la teoría de la construcción de los números reales como
el límite de sucesiones anidadas (o encaje de intervalos racionales) (Parra, 2008).
Praxeologías puntuales, locales, regionales y globales
Se pueden distinguir cuatro niveles de praxeologías (Chevallard, 1999; Bosch, Espinoza,
Gascón, 2003):
• Praxeologías puntuales: son aquellas que se construyen alrededor de un único tipo
de tareas teniendo una técnica común.
• Praxeologías locales: están formadas por la articulación de las organizaciones
matemáticas puntuales entorno a un discurso tecnológico común, es decir,
teniendo una tecnología común a cada una de las técnicas.
17
• Praxeologías regionales: están formadas por la articulación de organizaciones
matemáticas locales alrededor de una teoría común, es decir, una teoría común a
cada una de las tecnologías.
• Praxeologías globales: son producto de la agregación de organizaciones
regionales, sería una teoría de las teorías. (Bosch, Espinoza, Gascón, 2003).
Es importante mencionar que esta “clasificación” es relativa. Una praxeología puede ser,
por ejemplo, local en una Institución, pero puntual en otra.
Indicadores del grado de completitud de una OM local
Fonseca (2004) y Fonseca, Bosch y Gascón (2010) proponen dos tipos de conjuntos de
indicadores del grado de completitud de una OM local. Uno de esos conjuntos
corresponde al proceso de estudio a través del cual se reconstruirá esa OM. Intervienen
en este caso, los momentos del estudio (Chevallard, 1999). Es decir, Fonseca (2004)
formula este primer conjunto de indicadores en función de esos momentos del estudio. El
segundo tipo de conjunto de indicadores corresponde a la OM ya construida, haciendo
abstracción, tal como lo plantea Fonseca (2010, p.11) del proceso de estudio. En este
trabajo utilizaremos este segundo conjunto de indicadores pues no se ha analizado ningún
proceso de construcción de una OM sino, se analiza una OM propuesta (finalizada) en un
conjunto de libros de texto. Por lo tanto, detallaremos esta segunda formulación tal como
la presenta Fonseca (2004) y Fonseca, Bosch y Gascón (2010, p.12-13):
OML1. Los tipos de tareas y técnicas aparecen “integrados” (en contraposición a
“aislados” e independientes entre sí) y contienen tareas matemáticas relativas al
cuestionamiento tecnológico, esto es, tareas cuya realización permitirá responder
a cuestiones relativas a ciertas características de las técnicas matemáticas
(dominio de validez, economía, justificación, interpretación de los resultados que
se obtienen con ella, etcétera).
OML2. Para cada uno de los tipos de tareas que forman parte de la OM local en
cuestión, existen diversas técnicas matemáticas potencialmente útiles para llevar
a cabo dichas tareas y en la propia OM local existen criterios operativos para elegir
en cada caso la técnica más adecuada.
OML3. Los objetos matemáticos (técnicas, tareas, nociones, teoremas, etc.) son
relativamente independientes de los objetos materiales (ostensivos) que se utilizan
en cada caso para representarlos materialmente. Esta característica de la OM local
requiere que ésta contenga diversos objetos ostensivos (gráficos, verbales,
gestuales, etc.) para representar un mismo objeto matemático.
OML4. Las tareas y las técnicas que forman parte de la OM local permiten
“variaciones” de todo tipo, esto es, son relativamente “flexibles”. En particular,
tanto las tareas como las técnicas puedan ser “invertidas” (no de manera única)
18
para dar origen a nuevas tareas y nuevas técnicas que denominamos inversas de
las anteriores.
OML5. La OM local en cuestión contiene tareas matemáticas cuya realización
permite interpretar el funcionamiento de las técnicas matemáticas que se utilizan
en dicha OM y, también, el resultado de aplicar dichas técnicas. Este indicador no
se cumple en aquellas instituciones donde la interpretación del funcionamiento de
las técnicas que se utilizan (y la interpretación del resultado que se obtiene al
aplicarlas) no forma parte de la responsabilidad asignada a la comunidad de
estudio.
OML6. En la OM local en cuestión deben aparecer, de manera relevante, tareas
matemáticas abiertas, esto es, tareas matemáticas cuyos “datos” e “incógnitas” no
estén completamente determinados de antemano. Entre dicho tipo de tareas
matemáticas deben citarse, en primer término, las que requieren un proceso de
modelación matemática.
OML7. El discurso tecnológico-teórico de la OM local en cuestión, esto es, el
discurso matemático que sirve para interpretar y justificar la práctica matemática,
debe incidir efectivamente sobre ésta y debe permitir, en particular, construir
técnicas matemáticas nuevas capaces de ampliar los tipos de tareas y flexibilizar
la práctica matemática (Fonseca, Bosch, Gascón, 2010, p.12-13).
19
Capítulo 3 Aspectos metodológicos
20
CAPITULO 3: Aspectos metodológicos
Metodología de la investigación
La investigación es de tipo descriptiva y tiene por objetivos: identificar las tareas, los
tipos de tareas, las técnicas, tecnologías y teorías que componen las organizaciones
matemáticas (OM) propuestas para enseñar, entorno al Teorema de Pitágoras, en un
conjunto de 34 libros de texto pertenecientes al Ciclo Básico (1ro, 2do y 3er Año)
destinados al nivel secundario argentino, y clasificar estas OM tratando de delimitar si se
tratan de OM puntuales, locales, regionales o globales y dar indicios sobre su grado de
completitud. La selección del Ciclo Básico se debe a que es en ese ciclo en que se propone
enseñar en Teorema de Pitágoras.
La selección de estos 34 libros de texto, y no de otros, se debe al acceso a los mismos por
parte de la investigadora. Los libros, editados a partir de los años 1975 hasta el 2016 y
producidos por variados grupos editoriales, se recopilaron de la Biblioteca de los
establecimientos de la ciudad de Bragado (provincia de Buenos Aires) donde la
investigadora desempeña sus funciones docentes. También algunos de estos libros fueron
aportados por colegas desde sus bibliotecas personales. Los libros fueron rotulados con
una Mi, con i desde 1 hasta 34.
M1: Entre Números II – actividades de matemática.
M2: Entre Números III – actividades de matemática
M3: Carpeta de Matemática II
M4: Carpeta de Matemática III
M5: Matemática II
M6: Matemática 8 – Haciendo Números
M7: Carpeta de Matemática 7
M8: Carpeta de Matemática 8
M9: Matemática - Estadística y Probabilidad 7
M10: Matemática II
M11: Matemática 7
M12: Matemática 8
M13: Matemática 8
M14: Logikamente
M15: Matemática III
M16: Matemática 1
M17: Matemática 8
M18: Matemática 3
M19: Matemática I
M20: Matemática 8
M21: Matemática 1
M22: Matemática II
M23: Matemática - Estadística y Probabilidad 8
21
M24: Matemática 8
M25: Matemática 2
M26: Matemática 8 - Estadística y probabilidad en estudio
M27: Matemática 7 - Estadística y Probabilidad en estudio
M28: Matemática II - Actividades Clave
M29: Matemática I - Actividades Clave
M30: Matemática 2
M31: Matemática 3 - Tapia
M32: Matemática II -Para resolver problemas
M33: Matemática I - Nueva carpeta
M34: Matemática Dinámica 3
El primer objetivo de este trabajo de tesis se asocia a la primera pregunta de investigación,
formulada de la siguiente manera: ¿Qué características, en términos de componentes,
tienen las organizaciones matemáticas (OM) propuestas para enseñar entorno al Teorema
de Pitágoras, en un conjunto de libros de texto destinados al nivel secundario argentino?
Para responder esta pregunta a partir de lo que se propone en el conjunto de libros
considerado, se construyeron dos tablas. La primera de ellas (la Tabla 2) pretende
describir de forma más amplia el libro, por ejemplo, nombre de los autores, año escolar
al cual está destinado, editorial, etc. La segunda tabla (la Tabla 3) pretende identificar y
detallar la OM allí propuesta a partir de la identificación de cada uno de sus componentes.
En la primera columna de la tabla 2 se colocó el nombre del libro; en la segunda columna,
su editorial; en la tercera columna, el nombre del(los) autor(es); en la cuarta columna, el
año de edición del libro; en la quinta columna se tuvo en cuenta el año escolar al cual
estaba destinado el libro de acuerdo a lo explicitado en él; en la sexta columna se hizo
referencia al nombre del capítulo en el cuál cada libro incorporaba el Teorema de
Pitágoras y en la séptima columna, se indicó los capítulos anteriores y posteriores en el
cual se incorporaba el Teorema de Pitágoras.
Nombre
del libro
Editorial Autor(es) Año de
edición
Año
escolar
Capítulo
del
Teorema
de
Pitágoras
Entre qué
capítulos
Tabla 2: Descripción de los libros utilizados para trabajar la enseñanza del teorema de Pitágoras
En la tabla 3, en la primera columna se hizo referencia nuevamente al nombre del libro;
en la segunda columna se colocó la(s) tarea(s) propuesta(s) en el libro; en la tercera
columna, las técnicas propuestas para resolver esa tarea; en la cuarta y quinta columna,
las tecnologías y teorías posibles de identificar para cada técnica y tarea, respectivamente.
A continuación, se detalla qué fue considerado como “tarea”, “técnica”, “tecnología” y
“teoría”.
22
• Tareas (t): se consideró una tarea a los ejercicios/actividades/problemas que se
abordan o estudian y proponen en cada libro, ya sean resueltos o no, y se rotuló
con la letra t.
• Técnicas (τ): se consideró una técnica a las herramientas que se construyen y
utilizan para abordar ese problema y se rotuló con la letra τ.
• Tecnología (θ): se consideró una tecnología a las descripciones y explicaciones
que se proponen en el libro como una manera de explicar o de justificar las
técnicas empleadas y/o propuestas. Se rotuló con la letra θ.
• Teoría (Θ): se consideró una teoría a aquellas justificaciones y/o explicaciones
que se explicitaban o inferían como maneras de justificar las tecnologías. Se rotuló
con la letra Θ.
Libro Tarea (t) Técnicas (τ) Tecnología (θ) Teoría (Θ) Tabla 3: Descripción e identificación de las organizaciones matemáticas en términos de sus componentes
La segunda pregunta de investigación de este trabajo es ¿Cómo se clasifican estas OM,
en términos de puntuales, locales, regionales o globales?
Para responder esta pregunta se tienen en cuenta los 4 niveles de praxeologías formulados
por Chevallard (1999) y Bosch, Espinoza, Gascón (2003):
➢ Puntuales: son aquellas que se construyen alrededor de un único tipo de tareas
teniendo una técnica común.
➢ Locales: están formadas por la articulación de las organizaciones matemáticas
puntuales entorno a un discurso tecnológico común, es decir, teniendo una
tecnología común a cada una de las técnicas.
➢ Regionales: están formadas por la articulación de organizaciones matemáticas
locales alrededor de una teoría común, es decir, una teoría común a cada una de
las tecnologías.
➢ Globales: son producto de la agregación de organizaciones regionales, sería una
teoría de las teorías.
La Tabla 3 permitió detallar cada tarea, precisada en cada uno de los libros, así como las
técnicas, tecnologías y teorías. Luego, esas tareas se agruparon en tipos de tareas. El
criterio para este agrupamiento fue identificar aquellas tareas que se resuelven con una
misma técnica. Esto permitió determinar los diferentes tipos de tareas propuestos en cada
libro, las técnicas asociadas a esos tipos y en caso de explicitarse, las tecnologías y teorías.
De esta forma se alcanzó a responder la segunda pregunta.
La tercera y última pregunta de este trabajo es ¿Cuál es el grado de completitud de esas
praxeologías matemáticas?
23
Para responder esta pregunta se utilizaron los indicadores del grado de completitud de
una OM local (OML) formulados por Fonseca (2004, Fonseca, Bosch y Gascón, 2010) y
que se han descripto en el capítulo relativo al marco teórico. Para ello se generaron
descriptores para cada uno de esos indicadores a partir de la formulación de Fonseca
(2004). Se denotan con un subíndice numérico en cada uno de los indicadores.
OML1
OML11: Los tipos de tareas y técnicas aparecen integrados.
OML12: Las tareas matemáticas relativas al cuestionamiento tecnológico están
presentes
OML2
OML21: Para cada tipo de tareas existen diferentes técnicas.
OML22: En la propia OM existen criterios para elegir la técnica más adecuada.
OML3
OML31: La OM local contiene diversos objetos ostensivos (gráficos, verbales,
gestuales, etc.) para representar un mismo objeto matemático.
OML32: Los objetos matemáticos son independientes de los objetos (ostensivos) que
se utilizan para representarlos.
OML4
OML41: Las tareas y las técnicas son relativamente “flexibles”.
OML42: Las tareas y las técnicas puedan ser “invertidas” (no de manera única) para
dar origen a nuevas tareas y nuevas técnicas.
OML5
OML51: La OM contiene tareas matemáticas que permiten interpretar el
funcionamiento de las técnicas.
OML52: La OM contiene tareas matemáticas que permiten interpretar el resultado de
aplicar las técnicas.
OML6
OML61: Las tareas matemáticas abiertas están presentes (esto es, tareas matemáticas
cuyos “datos” e “incógnitas” no estén completamente determinados de antemano).
OML62: La OM contiene tipos de tareas que requieren un proceso de modelación
matemática.
OML7
OML71: El discurso tecnológico-teórico de la OM incide efectivamente sobre ésta.
OML72: El discurso tecnológico-teórico de la OM permite construir técnicas
matemáticas nuevas capaces de ampliar los tipos de tareas y flexibilizar la práctica
matemática.
Se generó la tabla 4 para identificar cual o cuales de estos indicadores podían detectarse
(o no) en cada OM propuesta en cada uno de los 34 libros de texto. Para ello, se consideran
en las primeras columnas, cada tipo de tarea, las técnicas y tecnologías propuesta en cada
caso. Luego, en las columnas siguientes, los descriptores de cada uno de los siete
indicadores, donde se colocan cruces para determinar cuál o cuáles de ellos están
presentes.
24
Mi T
τ θ
OML1 OML2 OML3 OML4 OML5 OML6 OML7
OM
L1
1
OM
L1
2
OM
L2
1
OM
L2
2
OM
L3
1
OM
L3
2
OM
L4
1
OM
L4
2
OM
L5
1
OM
L5
2
OM
L6
1
OM
L6
2
OM
L7
1
OM
L7
2
Tabla 4: Identificación y presencia de los indicadores propuestos en cada libro
25
Capítulo 4 Caracterización de las OM propuestas en libros de texto
relativas al teorema de Pitágoras.
26
CAPITULO 4: Caracterización de las OM en términos de sus
componentes, niveles de la OM y grado de completitud
Caracterización en términos de sus componentes
El primer objetivo de este trabajo se asocia a la primera pregunta de investigación,
formulada de la siguiente manera: ¿Qué características, en términos de componentes,
tienen las organizaciones matemáticas (OM) propuestas para enseñar entorno al Teorema
de Pitágoras, en un conjunto de libros de texto destinados al nivel secundario argentino?
Para ello, se analizaron 34 libros de texto que proponían el Teorema de Pitágoras, de los
cuales, 19 corresponden a segundo año, 9 libros corresponden al primer año y 6 libros a
tercer año del Ciclo Básico del nivel Secundario. El análisis de cada uno de ellos se
realizó, tal como se indicó en la metodología, a partir de la identificación de las posibles
tareas (t), técnicas (τ), tecnologías (θ) y teorías (Θ) además de detallar los capítulos entre
los cuales se comprendía el que abordaba el Teorema de Pitágoras. En este caso, cabe
destacar que, en los libros de texto de 1er año, el capítulo del Teorema de Pitágoras se
trabaja después de la unidad de construcciones geométricas y antes de la unidad de
números enteros; en 2do año se trabaja después de la unidad de cuadriláteros y antes de
la unidad de probabilidad y estadística y en 3er año antes de la unidad de sistemas de
ecuaciones y después de la unidad de movimientos.
Para el caso de los componentes de la OM, se generó la tabla 3
Libro Tarea (t) Técnicas (τ) Tecnología (θ) Teoría (Θ)
A partir de la tabla se obtuvo lo siguiente:
• Un total de 201 tareas.
• Dentro de la segunda columna, correspondiente a la tarea, se realizó una
subdivisión de acuerdo a las maneras de resolverlas. De aquí, se pudieron obtener
11 tipos de tareas diferentes que están conformados por la siguiente cantidad de
tareas:
o 122 tareas pertenecen al T11: Calcular el valor de la hipotenusa, diagonal,
lado/s, metros.
o 54 tareas pertenecen al T12: Calcular el valor del área, perímetro, apotema,
altura, superficie lateral, base, alto, distancia, metros.
o 2 tareas pertenecen al T21: Identificar los triángulos y la posibilidad de
formar un triángulo.
o 1 tarea pertenece al T22: Identificar el valor de los lados.
o 2 tareas pertenecen al T31: Determinar si se trata de un triángulo y la
veracidad o falsedad de la situación.
27
o 5 tareas pertenecen al T32: Determinar si se cumplen las condiciones, si se
trata de un triángulo, la figura obtenida y si es posible la construcción del
triángulo.
o 2 tareas pertenecen al T33: Determinar las ternas pitagóricas y a que lados
corresponden los datos.
o 4 tareas pertenecen al T41: Comprobar la relación pitagórica, las ternas, si
los triángulos son rectángulos y el teorema.
o 4 tareas pertenecen al T42: Comprobar el valor del lado y las ternas
pitagóricas.
o 4 tareas pertenecen al T51: Construir triángulos rectángulos y ternas
pitagóricas.
o 1 tarea pertenece al T52: Construir un cuadrado.
El gráfico de barras, generado a partir de los datos anteriores, representa esta cantidad de
tareas para cada uno de los tipos detallados:
Hay una preponderancia de dos géneros: T11: Calcular el valor de la hipotenusa, diagonal,
lado/s, metros (122 tareas) y T12: Calcular el valor del área, perímetro, apotema, altura,
superficie lateral, base, alto, distancia, metros (54 tareas).
• Dentro de la segunda columna, correspondiente a la tarea, se realizó una
subdivisión de acuerdo a las maneras de resolverlas. De aquí se pudieron obtener
5 tipos de genero de las tareas diferentes conformados de la siguiente manera:
o G1: Calcular, con un total de 176 tareas
o G2: Identificar, con un total de 3 tareas
o G3: Determinar, con un total de 9 tareas
0
20
40
60
80
100
120
140
T11 T12 T21 T22 T31 T32 T33 T41 T42 T51 T52
Tipo de Tarea
Tipo de Tarea
28
o G4: Comprobar, con un total de 8 tareas
o G5: Construir, con un total de 5 tareas
El gráfico de torta, generado a partir de los datos anteriores, representa esta cantidad de
tareas para cada uno de los géneros detallados:
• Con respecto a las técnicas, cabe destacar que las mismas rondan en:
o Reemplazar datos en figuras de análisis para saber qué lado está
faltando. (T11, T12, T22, T33)
o Reemplazar valores en la fórmula del Teorema de Pitágoras. (T42)
o Evaluar la propiedad triangular para hacer posible la construcción del
triángulo. (T51, T21)
o Realizar esquemas y ubicar valores para luego reemplazarlos en la
formula del Teorema de Pitágoras. (T21, T31)
o Descomponer figuras de análisis para comprobar el teorema. (T21, T22)
o Descomponer y relacionar las ternas pitagóricas. (T41, T33)
o Construir a través de datos el triángulo pedido. (T51)
• Con respecto a la tecnología, es importante destacar que este tipo de componentes
han sido inferidos ya que no se explicitan en los textos considerados. Nada se dice
sobre las justificaciones y/o explicaciones, menos aún, producciones, de tal o cual
técnica.
• En cuanto a la teoría, los libros de texto no proponen ninguna alusión que pueda
ser considerada como tal.
88%
2%
4%4% 2%
Género de la Tarea
G1: Calcular
G2: Identificar
G3: Determinar
G4: Comprobar
G5: Construir
29
A continuación, se muestran distintas tareas prototípicas tomadas de algunos de los libros
de texto. Se trata de ejemplificar cada género con una de esas tareas prototípicas aludiendo
al género en el que se la ha ubicado, al tipo de tareas que se le asoció, a la técnica que la
permitiría resolver y al logos inferido.
Para el género de tareas G1: Calcular, se ha considerado una tarea propuesta en el M1 (Ver
Figura 1). Esta tarea se resuelve de la siguiente manera: t: Señala el ángulo recto de cada
triángulo y calcula la longitud del lado que falta indicar, para ello, se debe τ: Reemplazar
la fórmula del Teorema de Pitágoras con los valores dados, para obtener el que falta. Esta
tarea pertenece al tipo de tareas siguiente: T: Calcular el lado que falta. La tecnología que
permitiría justificar esta técnica es precisamente θ: La formulación del Teorema de
Pitágoras.
Figura 1: Tarea propuesta en el M1
Para el género de tareas G4: Comprobar, se ha considerado una tarea propuesta en el M5
(Ver Figura 2). Esta tarea se resuelve de la siguiente manera: t: Arma tu propia
comprobación del teorema de Pitágoras, pero ahora superponiendo el cuadrado más chico
sobre el mayor y descomponiendo el otro, para ello, se debe τ: Descomponer la figura de
análisis para comprobar el teorema. Esta tarea pertenece al tipo de tareas siguiente: T:
Comprobar el teorema. La tecnología que permitiría justificar esta técnica es
precisamente θ: La formulación del Teorema de Pitágoras.
Figura 2: Tarea propuesta en el M5
30
Para el género de tareas G3: Determinar, se ha considerado una tarea propuesta en el M12
(Ver Figura 3). Esta tarea se resuelve de la siguiente manera: t: Decidí, sin medir los
ángulos, si hay algún triángulo rectángulo entre los siguientes. Solo podés usar los datos
indicados en las figuras, para ello, se debe τ: Reemplazar los valores en la fórmula del
Teorema de Pitágoras. Esta tarea pertenece al tipo de tareas siguiente: T: Determinar si
los triángulos son rectángulos. La tecnología que permitiría justificar esta técnica es
precisamente θ: La formulación del Teorema de Pitágoras.
Figura 3: Tarea propuesta en el M12
Para el género de tareas G2: Identificar, se ha considerado una tarea propuesta en el M1
(Ver Figura 4). Esta tarea se resuelve de la siguiente manera: t: Tacha las ternas de
números que no puedan representar la medida de los lados de un triángulo (todas están en
la misma unidad de longitud). Luego, rodea las que corresponden a triángulos
rectángulos, para ello, se debe τ: Evaluar la propiedad triangular para la cuál es posible
la construcción del triángulo. Esta tarea pertenece al tipo de tareas siguiente: T:
Identificar la posibilidad de formar un triángulo. La tecnología que permitiría justificar
esta técnica es precisamente θ: La formulación del Teorema de Pitágoras.
Figura 4: Tarea propuesta en el M1
Para el género G5: Construir, se ha considerado una propuesta considerada en el M5 (Ver
Figura 5). Esta tarea se resuelve de la siguiente manera: t: Utiliza el teorema de Pitágoras
31
para construir un cuadrado cuya área sea el doble de la del cuadrado amarillo, para ello,
se debe τ: Teniendo en cuenta la figura de análisis construir el cuadrado pedido. Esta
tarea pertenece al tipo de tareas siguiente: T: Construir un cuadrado. La tecnología que
permitiría justificar esa técnica es precisamente θ: La formulación del Teorema de
Pitágoras.
Figura 5: Tarea propuesta en el M5
Clasificación de las OM en puntuales, locales, regionales y
globales
A partir de la tabla de análisis y en función de los tipos de OM se infiere en que el tipo
de OM que predomina es local, ya que, si bien en los libros de textos no hay una
tecnología explícita, como investigador aseguro que se podrían considerar OM locales.
Grado de completitud de las OM
A continuación, en la siguiente tabla, se evaluará la presencia y/o ausencia de los
indicadores propuestos por Fonseca
Mi
OML1 OML2 OML3 OML4 OML5 OML6 OML7
OML11 OML12 OML21 OML22 OML31 OML32 OML41 OML42 OML51 OML52 OML61 OML62 OML71 OML72
M1 X X X X X
M2 X X X X X
M3 X X X X X
M4 X X X X X
M5 X X X X X
M6 X X X X X
M7 X X X X X
M8 X X X X X
32
M9 X X X X X
M10 X X X X X
M11 X X X X X
M12 X X X X X
M13 X X X X X
M14 X X X X X
M15 X X X X X
M16 X X X X X
M17 X X X X X
M18 X X X X X
M19 X X X X X
M20 X X X X X
M21 X X X X X
M22 X X X X X
M23 X X X X X
M24 X X X X X
M25 X X X X X
M26 X X X X X
M27 X X X X X
M28 X X X X X
M29 X X X X X
M30 X X X X X
M31 X X X X X
M32 X X X X X
M33 X X X X X
M34 X X X X X
Las cruces (sus presencias y ausencias) de la tabla anterior permiten aludir al grado de
completitud de la organización matemática. Los indicadores que se identifican son 5.
Conviene aclarar que esta identificación no se ha considerado en sentido fuerte. Es decir,
se ha considerado presente tal o cual indicador si existe algún indicio de el mismo:
33
OML11: Los tipos de tareas y técnicas aparecen integrados. Se ha considerado una
“presencia” de este indicador pues para cada tipo de tarea es posible determinar al menos
una técnica que permite resolver las tareas de ese tipo.
OML21: Para cada tipo de tareas existen diferentes técnicas. En este caso, se han
identificado y/o inferido para algunas tareas, dos posibles maneras de resolverlas. Por
ejemplo: En cada caso, las tres longitudes deben ser las de los lados de un triángulo
rectángulo. Rodea las longitudes de los triángulos intrusos. Tarea propuesta en el M6
OML32: Los objetos matemáticos son independientes de los objetos (ostensivos) que se
utilizan para representarlos. Cabe aclarar que, el mismo, se identifica en muy pocos casos.
OML51: La OM contiene tareas matemáticas que permiten interpretar el funcionamiento
de las técnicas, Se ha considerado aquí esta presencia pues hay algunas tareas que ponen
a prueba los alcances y limitaciones del Teorema de Pitágoras. Por ejemplo: Señala el
ángulo recto de cada triángulo y calcula la longitud del lado que falta indicar. Tarea
propuesta en el M1
OML62: La OM contiene tipos de tareas que requieren un proceso de modelación
matemática. Se considera en este caso una presencia de este indicador cuando hay alguna
tarea que considera un “contexto” para la misma. De esta forma, se ha considerado la
modelización en un sentido muy débil.
Los indicadores no detectados son 9, son los siguientes:
OML41: Las tareas y las técnicas son relativamente “flexibles”.
OML42: Las tareas y las técnicas puedan ser “invertidas” (no de manera única) para dar
origen a nuevas tareas y nuevas técnicas.
OML71: El discurso tecnológico-teórico de la OM incide efectivamente sobre ésta.
OML72: El discurso tecnológico-teórico de la OM permite construir técnicas matemáticas
nuevas capaces de ampliar los tipos de tareas y flexibilizar la práctica matemática.
OML12: Las tareas matemáticas relativas al cuestionamiento tecnológico están presentes
OML22: En la propia OM existen criterios para elegir la técnica más adecuada.
OML31: La OM local contiene diversos objetos ostensivos (gráficos, verbales, gestuales,
etc.) para representar un mismo objeto matemático.
OML52: La OM contiene tareas matemáticas que permiten interpretar el resultado de
aplicar las técnicas.
OML61: Las tareas matemáticas abiertas están presentes (esto es, tareas matemáticas
cuyos “datos” e “incógnitas” no estén completamente determinados de antemano).
A partir de esta identificación (y no identificación) de los indicadores, es posible suponer
que las OM propuestas en este conjunto de 34 libros de texto tienen un bajo de grado de
completitud.
34
Capítulo 5 Conclusiones
35
CAPITULO 5: Conclusiones
Este trabajo consideró como referente teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(TAD) (Chevallard, 1992, 1997, 1999, 2000, 2013, 2017) con el objetivo de identificar y
describir los componentes (tareas, técnicas, tecnologías y teorías) de las Organizaciones
Matemáticas (OM) propuestas para enseñar en un conjunto de 34 libros de texto de
Secundaria relativas al Teorema de Pitágoras. Además, se propuso concluir sobre nivel
de estas OM, tratando de delimitar si se tratan de OM puntuales, locales, regionales o
globales y sobre su grado de completitud a partir de los indicadores propuestos por
Fonseca (2004, Bosch, Fonseca y Gascón, 2004).
Las conclusiones a las que se ha arribado a partir de la descripción de ese conjunto de
textos escolares se formulan a continuación, aportando una posible respuesta a las
preguntas formuladas al inicio del manuscrito.
¿Qué características, en términos de componentes, tienen las organizaciones matemáticas
(OM) propuestas para enseñar entorno al Teorema de Pitágoras, en un conjunto de libros
de texto destinados al nivel secundario argentino?
Se analizaron 34 libros de texto que proponían el Teorema de Pitágoras, de los cuales, 19
corresponden a segundo año, 9 libros corresponden al primer año y 6 libros a tercer año
del Ciclo Básico del nivel Secundario. El análisis de cada uno de ellos se realizó, tal como
se indicó en la metodología, a partir de la identificación de las posibles tareas (t), técnicas
(τ), tecnologías (θ) y teorías (Θ) además de detallar los capítulos entre los cuales se
comprendía el que abordaba el Teorema de Pitágoras. En este caso, cabe destacar que, en
los libros de texto de 1er año, el capítulo del Teorema de Pitágoras se trabaja después de
la unidad de construcciones geométricas y antes de la unidad de números enteros; en 2do
año se trabaja después de la unidad de cuadriláteros y antes de la unidad de probabilidad
y estadística y en 3er año antes de la unidad de sistemas de ecuaciones y después de la
unidad de movimientos.
De un total de 201 tareas, se pudieron obtener 11 tipos de tareas diferentes y se pudieron
obtener 5 tipos de género de las tareas diferentes.
Estas 201 tareas se distribuyen de la siguiente manera, según los tipos de tareas
identificados:
o 122 tareas pertenecen al T11: Calcular el valor de la hipotenusa, diagonal,
lado/s, metros.
o 54 tareas pertenecen al T12: Calcular el valor del área, perímetro, apotema,
altura, superficie lateral, base, alto, distancia, metros.
o 2 tareas pertenecen al T21: Identificar los triángulos y la posibilidad de
formar un triángulo.
o 1 tarea pertenece al T22: Identificar el valor de los lados.
o 2 tareas pertenecen al T31: Determinar si se trata de un triángulo y la
veracidad o falsedad de la situación.
36
o 5 tareas pertenecen al T32: Determinar si se cumplen las condiciones, si se
trata de un triángulo, la figura obtenida y si es posible la construcción del
triángulo.
o 2 tareas pertenecen al T33: Determinar las ternas pitagóricas y a que lados
corresponden los datos.
o 4 tareas pertenecen al T41: Comprobar la relación pitagórica, las ternas, si
los triángulos son rectángulos y el teorema.
o 4 tareas pertenecen al T42: Comprobar el valor del lado y las ternas
pitagóricas.
o 4 tareas pertenecen al T51: Construir triángulos rectángulos y ternas
pitagóricas.
o 1 tarea pertenece al T52: Construir un cuadrado.
A su vez, los 11 tipos de tareas se distribuyen de la siguiente manera en los géneros de
tareas:
o G1: Calcular, con un total de 176 tareas, que representa el 88% de las
mismas.
o G2: Identificar, con un total de 3 tareas, que corresponde casi al 2% de las
tareas.
o G3: Determinar, con un total de 9 tareas que contiene al 4%.
o G4: Comprobar, con un total de 8 tareas, y que es aproximadamente el
4%.
o G5: Construir, con un total de 5 tareas, representando alrededor del 2%.
Se concluye entonces, en una preponderancia del Género de tareas relativo a “Calcular”
y del tipo de tareas “T11: Calcular el valor de la hipotenusa, diagonal, lado/s, metros”.
Esto da indicios de una OM preponderantemente sesgada al cálculo con una cantidad
insignificante de tareas que pongan en juego otros aspectos de la matemática, tales como
las verificaciones, la identificación de datos, construcciones, etc.
Con respecto a la tecnología, es importante destacar que este tipo de componentes han
sido inferidos ya que no se explicitan en los textos considerados. Nada se dice sobre las
justificaciones y/o explicaciones, menos aún, producciones, de tal o cual técnica.
En cuanto a la teoría, los libros de texto no proponen ninguna alusión que pueda ser
considerada como tal.
Se concluye entones en la identificación de OM con una amplia preponderancia del
bloque práctico-técnico por sobre el bloque tecnológico-teórico, que casi podría decirse
está completamente ausente, salvo por algunas inferencias que es posible hacer.
Detallando más aún, para cada libro de texto, se concluye además que:
• M1 tiene como tipos de tareas T11 (3), T12 (2) y T21 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con
G1 (5) y G2 (1)
• M2 tiene como tipos de tareas T11 (1) y T12 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con G1 (2)
37
• M3 tiene como tipos de tareas T11 (3), T12 (4), T31 (1) y T32 (1) mientras cuenta con genero de la
tarea con G1 (7) y G3 (2)
• M4 tiene como tipos de tareas T11 (1) y T12 (8) mientras cuenta con genero de la tarea con G1 (9)
• M5 tiene como tipos de tareas T11 (2), T41 (1), T51 (2) y T52 (1) mientras cuenta con genero de la
tarea con G1 (2), G4 (1) y G5 (3)
• M6 tiene como tipos de tareas T11 (3), T12 (2) y T41 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con
G1 (5) y G4 (1)
• M7 tiene como tipos de tareas T11 (4) y T12 (2) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (7)
• M8 tiene como tipos de tareas T11 (5) y T12 (2) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (7)
• M9 tiene como tipos de tareas T11 (3) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (3)
• M10 tiene como tipos de tareas T11 (4) y T12 (5) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (9)
• M11 tiene como tipos de tareas T11 (7) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (7)
• M12 tiene como tipos de tareas T11 (1), T12 (1) y T32 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con
G1 (2) y G3 (1)
• M13 tiene como tipos de tareas T12 (1) y T42 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (1)
y G4 (1)
• M14 tiene como tipos de tareas T11 (6) y T12 (7) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (13)
• M15 tiene como tipos de tareas T11 (8), T12 (1), T42 (2) y T51 (1) mientras cuenta con genero de la
tarea con G1 (9), G4 (2) y G5 (1)
• M16 tiene como tipos de tareas T11 (6), T12 (2) y T41 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con
G1 (8) y G4 (1)
• M17 tiene como tipo de tareas T32 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con G3 (1)
• M18 tiene como tipo de tareas T11 (4) y T21 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con G1 (5)
• M19 tiene como tipo de tareas T11 (7) y T12 (4) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (11)
• M20 tiene como tipo de tareas T11 (1) y T12 (1) mientras cuenta con genero de la tarea con G1 (2)
• M21 tiene como tipo de tareas T11 (4) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (4)
• M22 tiene como tipo de tareas T11 (4) y T21 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (4) y
G2 (1)
• M23 tiene como tipo de tareas T11 (6) y T51 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (6) y
G5 (1)
• M24 tiene como tipo de tareas T11 (5) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (5)
• M25 tiene como tipo de tareas T11 (2) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (2)
• M26 tiene como tipo de tareas T11 (3) y T12 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (4)
• M27 tiene como tipo de tareas T11 (3) y T41 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (3) y
G4 (1)
• M28 tiene como tipo de tareas T11 (1) y T12 (2) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (3)
• M29 tiene como tipo de tareas T11 (1) y T12 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (2)
• M30 tiene como tipo de tareas T11 (11), T12 (4), T22 (1), T32 (1) y T33 (1) mientras cuenta con género
de la tarea con G1 (15), G2 (1) y G3 (2)
• M31 tiene como tipo de tareas T11 (2) y T12 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (3)
• M32 tiene como tipo de tareas T11 (5), T32 (1) y T33 (1) mientras cuenta con género de la tarea con
G1 (5) y G3 (2)
• M33 tiene como tipo de tareas T11 (4), T12 (1), T31 (1) y T42 (1) mientras cuenta con género de la
tarea con G1 (5), G3 (1) y G4 (1)
• M34 tiene como tipo de tareas T11 (3) y T12 (1) mientras cuenta con género de la tarea con G1 (4)
Respecto a la segunda pregunta de este trabajo: ¿Cómo se clasifican estas OM, en
términos de puntuales, locales, regionales o globales?
38
Se concluye, a partir del análisis de la tabla que detalla los componentes de cada OM, que
las OM pueden considerarse “locales”. Si bien, como se indicó previamente, no se
explicitan elementos tecnológicos-teóricos, sí es posible inferir diversas justificaciones
de técnicas a partir de algunas tareas y entonces, podría considerarse la existencia de al
menos, “un embrión de tecnología”, tal como lo propone Chevallard (1999).
Finalmente, considerando la tercera pregunta: ¿Cómo determinar el grado de completitud
en las praxeologías matemáticas entorno al Teorema de Pitágoras propuestas en ese
conjunto de libros de texto?
Considerando los indicadores de Fonseca (2004) para este análisis, respecto a la
completitud de la OM se concluye que estas OM tienen un bajo grado de completitud:
• Si bien los libros presentan tareas que hacen referencia a la interpretación y
justificación del objeto de estudio, no se observa la comparación entre técnicas
para la solución de una tarea. Por otro lado, la mayoría de las tareas observadas
en los libros se encuentran relacionadas, haciendo que dependan una de otra con
respecto a la técnica utilizada para su solución.
• En algunas tareas se puede notar la presencia de varias técnicas y criterios para su
mejor solución
• En cuanto a la teoría queda de manifiesto que los libros no abordan dicho concepto
• En cuanto a la tecnología se justifica la importancia de haber considerado tal o
cual técnica de resolución.
Se infiere este bajo de completitud a partir de la presencia (algunos en sentido débil) de
los indicadores rotulados por OML1, OML2, OML3 y OML6 y a partir de la ausencia de
los rotulados como OML4, OML5 y OML7.
Tal como se indicó en el primer capítulo, este trabajo, además de los objetivos específicos,
tenía como objetivo general, aportar al desarrollo del área de investigación en Enseñanza
de la Matemática propiciando una reflexión sobre las praxeologías propuestas en un
conjunto de libros de texto. Esta reflexión es clave pues los textos escolares constituyen
una parte importante de los recursos de los profesores tanto para la planificación como
para el desarrollo de las clases.
Como futuras proyecciones de este trabajo, se pretende continuar con perspectivas de
análisis, tales como:
✓ Ampliar la cantidad de libros trabajados
✓ Comparar las OM de cada libro
✓ Generar una posible organización de tareas para la enseñanza del Teorema de
Pitágoras cuyo producto resulte con un deseable grado de completitud.
39
Capítulo 6 Referencias
40
CAPITULO 6: Referencias
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Berio, A; Gasol, L; Graciana, A. (2005) Matemática 7 - Estadística y Probabilidad en
estudio. Puerto de Palos: Buenos Aires
Bindstein, M; Hanfling, M. (1993) Matemática 1. Aique: Buenos Aires
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Englebert, S; Pedemonti, S; Semino, S. (1990) Matemática 3. AZ: Buenos Aires
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Buenos Aires
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Buenos Aires
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Aique: Buenos Aires
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Garaventa, L; Legorburu, N; Rodas, P; Schaposchnik, R. (2006) Matemática I - Nueva
carpeta. Aique: Buenos Aires
Gogfroit, S; Guayán, C; Oleaga, M. (2012) Matemática 2. Mandioca: Buenos Aires
Guelman, N; Itzcivich, H; Pavesi, L; Rudy, M. (2011) Matemática 8. Estrada: Buenos
Aires
Jaller, A; Pérez, M. (2016) Entre números III. Santillana: Buenos Aires
Kaczor, P. (2002) Matemática 8. Santillana Hoy: Buenos Aires
Kaczor, P; Outón, V; López, A; Pérez, M. (2011) Matemática II. Santillana: Buenos
Aires
Kaczor, P; Outón, V. (2016) Entre números II. Santillana: Buenos Aires
Kaczor, P; Piñeiro, G; Serrano, G. (2001) Matemática 8. Santillana: Buenos Aires
Kasczor, P; Piñeiro, G; Serrano, G. (2012) Matemática II - Actividades Clave.
Santillana: Buenos Aires
Kurzrok, L; Altman, S; Arnejo, M; Comparatore, C. (2017). Matemática 2. Tinta
Fresca: Buenos Aires
Latorre, M; Spivak, L; Kaczor, P; de Elizondo, M. (2001) Matemática - Estadística y
Probabilidad 7. Puerto de Palos: Buenos Aires
Latorre, M; Spivak, L; Kaczor, P; de Elizondo, M. (1997) Matemática 8. Santillana:
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Laurito, L; Trama, E; Ziger, D. (2001) Matemática - Estadística y Probabilidad 8.
Puerto de Palos: Buenos Aires
Lois, M. (2002) Matemática 7. Santillana Hoy: Buenos Aires
Matemática 8 - Haciendo Números Santillana : Buenos Aires
Pérez, M; Romero, G. (2013) Carpeta de Matemática III. Santillana: Buenos Aires
Pisano, J P. (2006) Logikamente. Logikamente: Buenos Aires
Piñeiro, G; Righetti, G; Serrano, G; Pérez, M. (2011) Matemática III. Santillana:
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Seveso, J; Wykowski, A; Ferrarini, G. (1997) Matemática 8. Kapelusz: Buenos Aires
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Vázquez, N; Tapia, A; Tapia, C. (1980) Matemática 3 – Tapia. Estrada: Buenos Aires
45
Anexos
46
ANEXO 1
Tabla I: Descripción de los trabajos relativos a la enseñanza del Teorema de Pitágoras En la siguiente tabla, se analizaron distintos trabajos (artículos de revistas, actas de congreso, simposios) referidos al análisis y estudio del Teorema
de Pitágoras. Para el análisis de los mismos, se trabajó sobre el problema a abordar, las preguntas de investigación, el marco teórico, la metodología
y los resultados más relevantes de cada uno.
Nombre del Artículo Revista y/o Congreso
donde fue publicado
el artículo
Autores Año de la
publicación
Problema que
aborda
Pregunta/s de
investigación/Objetivos de la
misma
Marco teórico
que utiliza
Metodología
utilizada
Resultados más
relevantes
Una nueva
demostración
geométrico-algebraica
del teorema llamado de
Pitágoras
SUMA: Revista 52
para la enseñanza y el
aprendizaje de las
matemáticas
Josep
María
Lamarca
Junio 2006 Demostración
del teorema de
Pitágoras,
calculando de
dos formas
diferentes el
área del
rectángulo
construido en la
figura de
análisis.
El producto de la base por la
altura y la suma de las tres
áreas cuadradas y las diez
áreas triangulares cuya
yuxtaposición engendra el
rectángulo considerado ¿da
origen al triángulo
considerado? ¿Permite
demostrar el teorema?
Demostración
geométrico-
algebraica
Cálculo de áreas Demostrar el
teorema de
Pitágoras a
través del
cálculo de áreas
cuadradas y
triangulares
Dos demostraciones
dinámicas del teorema
de Pitágoras
SUMA: Revista 3 para
la enseñanza y el
aprendizaje de las
matemáticas
Vicente
Meavilla
Seguí
1989 Que el alumno
orientado por el
docente, pueda
descubrir el
teorema de
Pitágoras
¿Cuál fue la contribución del
sabio de Samos a dicho
teorema?
¿Los egipcios pudieron ser
capaces de demostrar el
teorema de Pitágoras para el
triángulo rectángulo isósceles?
¿Los matemáticos de las
civilizaciones más antiguas
estuvieron familiarizados con
Demostración
dinámico-
manipulativa
Transmisión de
conocimientos y
orientación de
aprendizajes (que
el docente no sea
mero transmisor
sino orientador)
Los alumnos al
finalizar sus
estudios de
educación
secundaria, son
capaces de
aplicar el
teorema, pero
desconocen su
significado y el
47
el teorema de los tres
cuadrados? ¿Pitágoras no fue
ciertamente el descubridor del
teorema que lleva su nombre?
mensaje
geométrico que
se encierra en
él.
Desconocen las
numerosas
demostraciones
y aplicaciones
del mismo
Rompecabezas del
teorema de Pitágoras
SUMA: Revista 43
para la enseñanza y el
aprendizaje de las
matemáticas
Grupo
Alquerque
Junio 2003 Presentar al
teorema como
un puzzle de
Pitágoras
¿Cómo demostrar el teorema
de Pitágoras a través de un
rompecabezas?
¿El teorema de Pitágoras fue
conocido antes por los
babilonios, hindúes, chinos y
egipcios?
A lo largo de la historia ¿qué
nombres recibió por cada uno
de estos? ¿Qué utilidad tendría
el tangram chino?
Historia de la
Matemática
(orígenes y
usos)
Historiografía
de las
demostraciones
pitagóricas en
distintas épocas
históricas
Juegos -
rompecabezas
Uso de los
rompecabezas
para trabajar
equivalencias de
superficies y
como
complemento a
las
comprobaciones
numéricas y
demostraciones
algebraicas
Una experiencia con el
teorema de Pitágoras
según lowo
SUMA: Revista 11 y
12 para la enseñanza y
el aprendizaje de las
matemáticas
Manuel
Cortegoso
Iglesias –
Enrique
Gómez
Cabrero
1992 Presentar el
teorema de
Pitágoras a
través de la
elaboración de
juegos
¿Por qué sería tan importante
en la construcción trazar
ángulos rectos con mucha
exactitud? ¿Cómo lo hacen los
albañiles?
Historia de la
Matemática
(orígenes y
usos)
Introducción
histórica al
teorema de
Pitágoras
Juegos Pitágoras
enseño como los
albañiles
egipcios podían
tensar un
triángulo
rectángulo con
una cuerda de
12 nudos.
El teorema de
Pitágoras a partir de la
manipulación con
geoplanos
SUMA: Revista 25
para la enseñanza y el
aprendizaje de las
matemáticas
Josetxu
Arrieta
Gallastegui
– José Luis
Álvarez
García –
Junio 1997 Explicar tareas
en contextos
diferentes para
que tanto en la
ESO como así
también en la
¿Cómo encontrar la medida
exacta de los diferentes
segmentos que nos permitan
ordenarlos según su longitud?
Concepción
constructivista
del proceso de
aprendizaje
Geoplanos
(construcción de
figuras
geométricas)
Generalizar a
otros contextos
el teorema y
satisfacer los
principios psico-
pedagógicos de
48
Antonio
Eugenio
González
García
formación
inicial del
profesorado, los
estudiantes
aprendan de
manera
significativa el
teorema de
Pitágoras.
intervención que
se deducen de
una concepción
constructivista
del proceso de
aprendizaje de
los
conocimientos
científicos
explicitados en
el diseño
curricular
Algunas
demostraciones
geométricas de la
irracionalidad de raíz
(2)
SUMA: Revista 63
para la enseñanza y el
aprendizaje de las
matemáticas
Natalia
Casás
Ferreo
Febrero 2010 Presentar
pruebas visuales
sobre la
irracionalidad
de la raíz de 2
¿Son de utilidad las tres
demostraciones? ¿Qué tienen
en común?
Demostración
Demostraciones
geométricas
publicadas en
las últimas
décadas
Demostraciones
geométricas
Demostración por
reducción al
absurdo
Las
demostraciones
empleadas
comparten
varios
elementos en
común: son
demostraciones
por reducción al
absurdo y
emplean el
método del
descenso
infinito.
Deducción y extensión
más general del
Teorema de Pitágoras
NUMEROS: Revista
de Didáctica de las
Matemáticas. Volumen
75
Julio C.
Barreto
García; L.
B. José
Antonio
Páez
28 de mayo de
2010
Trabajar otras
explicaciones
del Teorema de
Pitágoras según
la idea de área
¿Sólo se puede aplicar a
triángulos rectángulos? ¿Qué
otras figuras geométricas
entran en juego?
Resolución de
problemas con
procedimiento
de enseñanza-
aprendizaje
La Didáctica del
Análisis
Matemático,
considerando
los procesos
Estudio de casos
Métodos
Geométricos
Demostración
general del
Teorema de
Pitágoras usando
Cálculo Integral
Pasar de un caso
particular en el
cual los lados
del triángulo
rectángulo
tienen
cuadrados sobre
sus lados, a un
caso poco
general en el
49
asociados de
definición,
prueba y
demostración,
para describir
los procesos
cognitivos de
aprendizaje de
los estudiantes
cuál sean
triángulos
equiláteros,
pentágonos,
otros polígonos,
semicírculos,
lúnulas, etc.
Otras deducciones o
extensiones del
Teorema de Pitágoras a
lo largo de la historia
como recurso didáctico
NUMEROS: Revista
de Didáctica de las
Matemáticas.
Volumen 70
Julio C.
Barreto
García
28 de febrero
de 2009
Extensiones del
Teorema de
Pitágoras en su
acepción
geométrica
¿Es posible mantener un
triángulo equilátero que tenga
la misma área que la suma de
otros dos triángulos
equiláteros de base?
Didáctica de la
Matemática
Uso del modelo
propuesto por
Duval, que
restringe un
poco el
concepto de
visualización al
de aprehensión
en el cual
concibe las
especies de las
cosas sin hacer
juicio de ellas o
sin negar o
afirmar
Modelo propuesto
por Duval, en el
cual se restringe
un poco el
concepto de
visualización al
de aprehensión
En el estudio de
esta extensión o
generalización
del Teorema de
Pitágoras, los
estudiantes
aprendieron a
cuadrar
triángulos
rectángulos
equiláteros con
regla y compás,
aplicando la
teoría dada en la
cuadratura de un
rectángulo o en
la cuadratura de
un triángulo de
los Elementos
de Euclides.
Deducción del
Teorema de Pitágoras a
lo largo de historia
como recurso didáctico
en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
de la Matemática
Ideas y recursos para el
aula
Julio César
Barreto
García
Que se
comprendan los
conceptos a
través de la
reconstrucción
de un método,
de tal manera
¿Conceptos significativos?
¿Relacionar términos
geométricos?
Didáctica de la
Matemática.
Propuesta de
Duval (1998) y
desarrollos de
Torregrosa, G. y
Enfoque histórico
Deducción que se
realiza partiendo
de nociones
de áreas de
figuras
geométricas
Se trata de un
estudio del
Teorema de
Pitágoras desde
una acepción
geométrica
realizado en
50
que no
mecanicen
reglas sino más
bien que se
logre aumentar
y relacionar los
conceptos
adquiridos
previamente de
tal manera que
se logre una
mejor
comprensión.
Quesada, H
(2007)
elementales y sus
propiedades, y el
estudio de
los productos
notables de la
suma y de la
diferencia del
cuadrado de dos
cantidades desde
un punto de vista
geométrico
diversos eventos
de Educación
matemática
tanto nacionales
como
internacionales
donde
participaron
diferentes
estudiantes y
profesores de
esta área.
Pitágoras ayuda al
fiscal
NUMEROS: Revista
de Didáctica de las
Matemáticas
Carlos
Duque
Gómez
2013 Se utiliza el
Teorema de
Pitágoras como
argumento en el
juicio contra un
acusado en un
asunto de
drogas en las
cercanías de un
colegio.
¿Hasta qué distancia podemos
considerar que es “cerca”?
¿Qué dice la ley al respecto?
¿Hay matemáticas en todo
esto? ¿Cómo puede utilizarse
el teorema de Pitágoras como
argumento en el juicio contra
un acusado?
Didáctica de las
Matemáticas
El formato de
trabajo y
algunos
aspectos de
metodología,
organización y
presentación
siguen líneas
similares a las
definidas en
"Un paseo por el
Proyecto
Tunguska"
(Morales,C.,
2009, pp. 341-
346)
Guías de trabajo
Propuesta de
trabajo
interdisciplinar
Adaptación y
modificación a
diferentes
niveles y
contextos
Integración de
conocimientos,
herramientas y
procedimientos
de trabajo del
alumnado en
torno a una
misma situación
y desde más de
una disciplina
El Teorema de
Pitágoras en la escuela
Acta de Congreso:
Universidad de los
Andes – Funes –
Repositorio Digital de
Carlos
julio
Echavarría
; Catalina
Octubre de
2011
Conocer
estrategias para
la enseñanza del
Teorema de
Pitágoras en el
¿Es bueno el aprendizaje por
descubrimiento basado en las
propias experiencias? ¿Se
construye conocimiento a
través de la experimentación?
Geometría
Euclidiana –
Niveles de
pensamiento
Metodología de
Aula Taller. Esta
metodología
consiste en
enseñar las
Se pretende que
el aprendizaje
de las
matemáticas sea
una actividad
51
Documentos en
Educación Matemática
Bermúdez
Galeano
cual se
mostrarán y
estudiarán
algunos
rompecabezas
geométrico, Van
Hiele (1957)
matemáticas de
una forma
novedosa, la
metodología
central es la
realización de
actividades en
ambiente de taller,
donde el
conocimiento se
adquiere por
descubrimiento
planteado, es
decir, de
aprender-
haciendo. Esta
metodología
permite el trabajo
inter-
disciplinario y en
grupo.
constructiva,
que el
estudiante tenga
la oportunidad
de deducir,
descubrir, crear
conocimiento y
desarrollar
habilidades
matemáticas
durante una
actividad social
que se le
proponga.
Una aproximación al
Teorema de Pitágoras
en el contexto de Van
Hiele
Acta de Congreso:
Universidad de los
Andes – Funes –
Repositorio Digital en
Educación Matemática
Ubaldo
Restrepo
Castrillán ;
Sandra
Milena
Zapata;
Carlos
Mario
Jaramillo
López
2012 Conocer los
procesos de
razonamiento de
los estudiantes,
con el fin de
poder ofrecer a
los estudiantes
propuestas
efectivas para
desarrollar en
las aulas una
labor pertinente.
¿Cuáles son los descriptores
de niveles de razonamiento
que exhibe un estudiante de
grado quinto, en cuanto a una
aproximación al Teorema de
Pitágoras, mediante la
construcción del concepto de
área?
¿Cómo mediante el concepto
de área, hacer un acercamiento
al teorema de Pitágoras, con el
fin de hacerlo más interesante,
significativo y comprensible
Aplicación del
teorema de Van
Hiele al
concepto de
aproximación
local, de José
Luis Llorens
Fuster.
El trabajo de
investigación se
aborda desde una
perspectiva
cualitativa. El tipo
de estudio que se
desarrollará en
esta investigación
es el estudio de
casos.
La validez de
los descriptores
de nivel permite
establecer como
razonan los
estudiantes
seleccionados,
en relación con
una
aproximación al
Teorema de
Pitágoras, a
través del
concepto de
área. La
52
aplicación de
una entrevista
semi-
estructurada de
carácter
socrático, para
una
aproximación a
la comprensión
del Teorema de
Pitágoras. El
diseño de un test
fundamentado
en la entrevista
socrática, acerca
del concepto de
área.
Demostraciones del
Teorema de Pitágoras
para todos
Acta de Congreso:
Universidad de los
Andes – Funes –
Repositorio Digital en
Educación Matemática
María
Consuelo
Cañadas
Santiago
2001 Como utilizar
distintas
demostraciones
del Teorema de
Pitágoras para
detectar modos
de razonamiento
que ayuden a
elaborar y
organizar un
plan de
actuación
¿Lograr equilibrio entre el
aprendizaje formal y abstracto,
con el aprendizaje a partir de
las propias experiencias? ¿La
demostración sirve para
explicar o no tiene nada que
ver?
Demostración La metodología
de trabajo hace
referencia a la
motivación de las
personas adultas.
Programas
educativos
voluntariamente
debido al deseo
personal por
aprender, una
necesidad en
relación a sus
proyectos
personales
Demostraciones
de un mismo
Teorema en una
clase donde sus
dos
características
principales son
la diversidad y
el nivel básico
de
conocimientos
matemáticos. Es
de gran
importancia el
papel que
desempeña la
demostración en
el aula.
53
La demostración del
Teorema de Pitágoras
como posibilidad para
el estudio conjunto de
la geometría y el
álgebra
VII CIBEM Lilian
Esquinelat
o da Silva;
Inocèncio
Fernández
Balieiro
Fieho
2013 Dificultades de
los alumnos
para establecer
relaciones entre
los contenidos
geométricos y
los contenidos
algebraicos
¿Cómo escoger de manera
criteriosa los problemas que
serán propuestos para los
alumnos?
Teorías de las
Situaciones
Didácticas de
Brousseau
Resolución de
problemas con
procedimiento de
enseñanza-
aprendizaje de la
Matemática como
metodología que
puede llevar a los
alumnos a
“aprender y
aprender”
Elaborar
actividades que
relacionan los
contenidos
teniendo como
foco principal el
Teorema de
Pitágoras. La
metodología de
resolución de
problemas
buscando que
los alumnos
tengan una
nueva relación
con la disciplina
Deducciones del
Teorema de Pitágoras a
lo largo de la historia
como recurso didáctico
en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
de la matemática
Simposios:
Universidad Nacional
abierta – Área de
Matemática
Julio César
Barreto
García
Comprender
conceptos a
través de la
reconstrucción
de un método,
de tal manera
que no
mecanicen
reglas, sino que
logren aumentar
y relacionar los
conceptos
adquiridos
previamente de
tal manera que
se logre una
mejor
comprensión
¿Construir una teoría para
deducir el Teorema de
Pitágoras desde una acepción
geométrica?
Modelo
propuesto por
Duval, en el
cual se restringe
el concepto de
visualización al
de aprehensión
Enfoque histórico,
por medio de ella
el estudiante
descubrirá como
generar los
conceptos a través
de métodos que
aprenderá en clase
Los estudiantes
aprenderán
partiendo de
situaciones
intuitivas a
generar posibles
demostraciones
geométricas del
Teorema de
Pitágoras, a la
vez que
“cuadrarán”
figuras
geométricas a
partir del
proceso
inductivo
54
La enseñanza de la
matemática en el nivel
medio
REDINE: Red de
investigación
Educativa
Martyniuk
Norma
Caronía
Silvia
2009 Develar el papel
que deberá
desempeñar el
Teorema de
Pitágoras en el
tercer ciclo de la
EGB
¿Cuáles son las razones que
dieron origen al Teorema de
Pitágoras? ¿Qué aspectos del
teorema se trabajaron desde la
antigüedad? ¿Por qué causa
surge su demostración? ¿Qué
papel desempeña
históricamente el Teorema de
Pitágoras? ¿A qué tipo de
cuestiones responde el
Teorema de Pitágoras? ¿Qué
conocimientos son necesarios
para demostrarlo? ¿Cuáles
podrían ser las dificultades
que presenta su demostración?
¿Qué cuestiones y aspectos del
Teorema de Pitágoras se
trabajan en los libros de textos
de EGB?
Paradigma
descriptivo
interpretativo y
reflexivo.
Dentro de la
Teoría
Antropológica
de lo didáctico
Estudio histórico
de los hechos
Se percibe que
el surgimiento
del Teorema de
Pitágoras en la
antigüedad fue
producto de la
necesidad de
realizar
mediciones y
construcciones.
Se efectúa el
reconocimiento
de la incidencia
que tuvo el
Teorema de
Pitágoras en la
evolución de las
matemáticas
Deducción Geométrica
del Teorema de
Pitágoras en
Trigonometría como
Recurso Didáctico en
el Proceso de
Enseñanza-Aprendizaje
de la Matemática
Instituto Universitario
de Tecnología
“Antonio José de
Sucre”
Julio Cesar
Barreto
García
Se mostrará el
Teorema de
Pitágoras en
trigonometría
partiendo de su
acepción
geométrica, es
decir, tomando
en
consideración el
área de las
figuras
geométricas que
están sobre los
lados de un
triángulo con un
ángulo oblicuo
¿Es importante la
memorización de la teoría?
¿Es bueno que nuestros
alumnos adquieran
conocimientos a partir de la
construcción del mismo?
Cognición y
procesos
cognitivos
Didáctica de la
Matemática
Se evidenció
que el trabajo en
equipo es muy
importante
sobre todo
cuando se
construye el
aprendizaje a
partir de figuras
geométricas
realizadas en
cartulina de
colores o en
foami, lo que
permite a los
integrantes del
grupo
55
y que
denominamos
triángulo
oblicuángulo.
configurar y
reconfigurar los
procedimientos
a través de
procesos
llegando luego a
razonamientos
que les permiten
crear un
aprendizaje
significativo,
teniendo
presente que la
comunicación
en el aula de
matemática.
Aprendizaje del
teorema de Pitágoras
utilizando la Estrategia
de modelación a través
del uso de Applets
CLAME: Revista
oficial del comité
Latinoamericano de
Matemática Educativa
A.C.
María del
Rosario
Arenas y
Lorenza
Llanes,
Ruth
Rodríguez
Determinar si la
modelación
matemática
como estrategia
de enseñanza
del Teorema de
Pitágoras con el
uso de applets
geométrico
mejora el
aprendizaje en
los alumnos de
segundo de
secundaria,
dado que crea
un ambiente de
aprendizaje
favorable en el
aula.
¿Se incrementa la capacidad
de reflexión?
Modelización Se fundamenta en
una investigación
cualitativa como
metodología de
investigación
En la
investigación se
constató que la
modelización
además de ser
un puente entre
las matemáticas,
y las
experiencias de
la vida cotidiana
de los alumnos,
proporciona un
ambiente de
aprendizaje
provechoso en
el aula.
56
El teorema de
Pitágoras como
Paradigma de la
enseñanza de la
geometría plana:
simplificar no siempre
simplifica
RELIME: Revista Alejandro
R. y Garcia
Diego
Noviembre
2002
Poner de
manifiesto, al
considerar como
un caso la
demostración
del teorema de
Pitágoras, cómo
el estudio de la
historia y
filosofía de las
matemáticas
puede arrojar
luz para
percatarse sobre
la existencia de
conflictos
cognitivos en la
práctica
docente.
¿Para qué tuvimos que
aprender todo lo anterior? ¿De
dónde surgió la nueva
demostración?
Demostración Método sintético
y analítico
Al ser capaces
de explicarle al
alumno cuál era
la meta
principal,
entonces él, al
final, debería
tener una idea
precisa de
donde partió, a
donde llegó y
como le fue
posible hacerlo.
La enseñanza del
teorema de Pitágoras:
una experiencia en el
aula con el uso del
GeoGebra según el
modelo de Van Hiele
UNA: Revista Gilberto
Vargas
Vargas y
Ronny
Gamboa
Araya
Junio 2013 Se presentan los
resultados de
una experiencia
llevada a cabo
con estudiantes
de secundaria,
respecto al tema
de teorema de
Pitágoras y su
recíproco,
apoyada con el
uso del
GeoGebra y en
el modelo de
razonamiento
geométrico de
Van Hiele.
¿Qué técnicas se emplearon
para la recolección de la
información?
Modelo de
razonamiento
geométrico de
Van Hiele
Empleo del
software
GeoGebra
Aquellos
estudiantes que
desarrollaron las
actividades
apoyados por el
GeoGebra se
sintieron más
motivados a
estudiar
matemáticas, en
especial
geometría, que
aquellos que lo
hicieron con el
enfoque
tradicional.
57
Las representaciones
gráfico-geométricas del
Teorema de Pitágoras
en un aula inclusiva.
Revista: Nodos y
Nudos
Samuel
Enrique
Galvis
Martínez,
Rafael
Alejandro
González
Puello,
Elizabeth
Torres
Puentes.
Octubre 2017 Mostrar las
estrategias de
representación
gráfico-
geométricas del
Teorema de
Pitágoras,
usadas por un
grupo de
estudiantes
videntes e
invidentes en el
contexto de un
aula inclusiva.
¿Cómo favorecer la
comprensión de las
representaciones y la
construcción geométrica del
Teorema de Pitágoras, en
estudiantes videntes y con
limitación visual, por medio
del diseño, gestión y
evaluación de una secuencia
didáctica que privilegie la
adaptación de material
inclusivo?
Modelo de Van
Hiele
Teoría de las
Situaciones
Didácticas de
Brousseau (1986)
La investigación
logró establecer
una estrategia
para que el
estudiante
invidente
manifestara sus
comprensiones
y las
confrontara con
las de sus
compañeros, así
se logró
promover una
comunicación
gráfico-
geométrica en el
aula inclusiva.
Reduccionismo
Didáctico y creencias
de profesores acerca
del Teorema de
Pitágoras.
BOLEMA: Boletín de
Educación Matemática
Aarón
Víctor
Reyes-
Rodríguez,
Carlos
Rondero-
Guerrero,
Juan
Alberto
Acosta-
Hernández,
Marcos
Campos-
Nava,
Agustín
Alfredo
Diciembre
2017
Identificar como
las creencias
que sostienen
profesores en
servicio sobre el
Teorema de
Pitágoras, son
indicadores de
un
reduccionismo
didáctico
relativo a este
resultado
matemático.
¿Cuáles son las creencias que
predominan en los profesores
de matemáticas acerca del
Teorema de Pitágoras?
Didáctica de la
matemática:
cuestionarios,
entrevista semi-
estructurada
Investigación de
carácter
exploratorio y
cualitativo.
Se observó que
los profesores
otorgan poca
importancia a la
justificación de
resultados
matemáticos,
restringiendo
esta actividad a
la identificación
de algunos
casos
particulares.
Poco interés de
los profesores
por la génesis y
evolución
58
Torres-
Rodríguez.
histórica de este
saber,
limitándose en
la mayoría de
los casos a
mencionar que
su creador es el
matemático
griego
Pitágoras.
Enseñanza de la
matemática en el nivel
medio – La enseñanza
del Teorema de
Pitágoras
REDINE: Red de
Investigación
Educativa
Martyniuk
Norma;
Caronía
Silvia
2009 Analizar el
papel que
desempeña en la
enseñanza del
Teorema de
Pitágoras y su
demostración en
EGB 3
¿Cuáles son las razones que
dieron origen al Teorema de
Pitágoras?
¿Qué aspectos del teorema se
trabajaron desde la
antigüedad?
¿Por qué causa surge su
demostración? ¿Qué papel
desempeñaba históricamente
el Teorema de Pitágoras?
¿A qué tipo de cuestiones
responde el Teorema de
Pitágoras? ¿Qué
conocimientos son necesarios
para demostrarlo? ¿Cuáles
podrían ser las dificultades
que presenta su demostración?
¿Qué cuestiones y aspectos del
Teorema de Pitágoras se
trabajan en los libros de textos
de EGB 3?
La investigación
se enmarca
dentro del
paradigma
descriptivo,
interpretativo y
reflexivo.
Surgió
pertinente
encuadrarla
dentro de la
teoría
Antropológica
de lo Didáctico,
la cual sitúa a la
actividad
matemática y en
consecuencia la
actividad del
estudio en
matemática, en
el conjunto de
las actividades
humanas y de
las instituciones
sociales.
Este trabajo se
realizó
comenzando por
un estudio
histórico de los
hechos que
motivaron el
surgimiento del
conocido
Teorema de
Pitágoras para
destacar su papel
en el tiempo a
través de
consultas de
libros, artículos
divulgados en
revistas, etc.;
luego un análisis
del contenido
matemático en el
marco de la
Teoría
Antropológica de
lo Didáctico
Se percibe que
el surgimiento
del teorema de
Pitágoras en la
antigüedad fue
producto de la
necesidad de
realizar
mediciones y
construcciones.
Se intentó
explicar las dos
funciones del
Teorema de
Pitágoras: como
herramienta y
como objeto a
demostrar.
59
ANEXO 2
Tabla 2: Descripción de los libros utilizados para trabajar la enseñanza del Teorema de Pitágoras En la siguiente tabla, se hizo referencia al análisis de los libros seleccionados para trabajar el Teorema de Pitágoras. En la misma se tuvo en
cuenta el año, el autor y los capítulos entre los que se trabajó el Teorema.
Nombre del
Libro
Editorial Autor Año de
Edición
Año Capítulo del
T de P
Entre qué Capítulos
M1 Entre números II
- actividades de
matemática
Santillana Kaczor Pablo, Outón
Verónica
Año 2016 2º Cap. 7: Perímetros y Áreas.
Teorema de Pitágoras.
Volúmenes.
Cap. 6: Cuadriláteros. Cuerpos Geométricos y Cap. 8:
Estadística y Probabilidad
M2 Entre números
III - actividades
de matemática
Santillana Jaller Ariel, Pérez Martín Año 2016 3º Cap. 5: Figuras
Geométricas
Cap. 4: Funciones. Sistemas de Ecuaciones. Y Cap. 6:
Movimientos
M3 Carpeta de
Matemática II
Santillana Berman Andrea, Kazcor
Pablo
Año 2014 2º Cap. 9: Perímetros, áreas y
volúmenes
Cap. 8: Cuadriláteros. Cuerpos Geométricos y Cap. 10:
Probabilidad y Estadística
M4 Carpeta de
Matemática III
Santillana Pérez Martín, Romero
Gustavo
Año 2013 3º Cap. 5: Figuras
Geométricas
Cap.4: Funciones. Sistemas de Ecuaciones y Cap. 6:
Movimientos
M5 Matemática II Santillana Berman Andrea, Dacunti
Daniel, Pérez Martín,
Veltri Ana Verónica
Año 2007 2º Cap. 7: Perímetros y Áreas.
Teorema de Pitágoras.
Cap. 6: Ecuación de la Recta y Cap. 8: Estadística y
Probabilidad
M6 Matemática 8 -
Haciendo
Números
Santillana 2º Cap. 8: Áreas. Teorema de
Pitágoras
Cap. 7: Funciones
M7 Carpeta de
Matemática 7
Aique Garaventa Luis,
Legorburu Nora, Rodas
Patricia
Año 2006 1º Cuadernillo 4. Cap. 6:
Medidas en las Figuras
Planas
Cuadernillo 3. Cap. 5: Los números Racionales y
Cuadernillo 5. Cap. 7: Los Cuerpos Geométricos y sus
Medidas
M8 Carpeta de
Matemática 8
Aique Garaventa Luis,
Legorburu Nora, Rodas
Patricia, Turano Claudio
Año 2005 2º Cuadernillo 4. Cap.4: Las
Figuras Planas: sus
características y sus
medidas.
Cuadernillo 3. Cap. 3: Ángulos y Construcciones
Básicas y Cuadernillo 5. Cap. 5: Los Cuerpos: sus
características y sus medidas
60
M9 Matemática -
Estadística y
Probabilidad 7
Puerto de
Palos
Latorre María Laura,
Spivak Laura, Kaczor
Pablo, L. de Elizondo
María Celina
Año 2001 1º Cap. 5: Figuras Planas Cap. 4: Números Racionales y Cap. 6: Funciones
M10 Matemática II Santillana Kaczor Pablo, Outón
Verónica, López Alicia,
Pérez Martín
Año 2011 2º Cap. 9: Áreas y Perímetros.
Teorema de Pitágoras.
Volúmenes.
Cap. 8: Cuadriláteros. Cuerpos Geométricos y Cap. 10:
Estadística y Probabilidad
M11 Matemática 7 Santillana
Hoy
Lois Manuel Año 2002 1º Cap. 9: Perímetros y Áreas Cap. 8: Construcciones Geométricas y Cap. 10:
Números Enteros
M12 Matemática 8 Santillana
Hoy
Kaczor Pablo Año 2002 2º Cap. 10: Pitágoras. Áreas Cap. 9: Probabilidad. Estadística y Cap. 11: Volúmenes
M13 Matemática 8 Santillana Latorre María Laura,
Spivak Laura, Kaczor
Pablo, L. de Elizondo
María Celina
Año 1997 2º Cap. 8: Figuras Planas y
Cuerpos
Cap. 7: Probabilidad y Estadística y Cap. 9: Simetrías,
Rotaciones y Traslaciones
M14 Logikamente Logikamente Pisano Juan Pablo Año 2006 2º Tomo II: Tema 19:
Pitágoras
Tomo II: Tema 18: SIMELA y Tema 20: Perímetro
M15 Matemática III Santillana Piñeiro Gustavo, Righetti
Gabriela, Serrano Gisela,
Pérez Martín
Año 2011 3º Cap. 2: Álgebra, geometría
y números
Cap. 1: Números enteros y racionales y Cap. 3:
Números reales
M16 Matemática 1 Santillana Amenedo Mariana,
Carranza Susana,
Diñeiro María Teresa,
Grau Jorge, Latorre
María Laura
Año 1995 1º Cap. 13: Triángulos Cap. 12: Potenciación y Radicación y Cap. 14:
Nociones básicas de geometría del espacio
M17 Matemática 8 Estrada Guelman Nancy,
Itzcivich Horacio, Pavesi
Lorena, Rudy Marcelo
Año 2011 2º Cap. 10: El Teorema de
Pitágoras
Cap. 9: Estadística y Cap. 11: Ecuación de la recta
M18 Matemática 3 AZ Englebert Susana,
Pedemonti Stella,
Semino Susana
Año 1990 3º Cap. 2: Homotecia,
semejanza
Cap. 1: Revisión de operaciones con números enteros y
racionales. Estructuras y Cap.3: Polinomios
M19 Matemática I Losada S.A. Ferrari María Angélica,
Henríquez Asunción,
Magariños Héctor,
Massa Héctor
Año 1966 1º Cap. 15: Áreas Cap. 14: Figuras circulares y cuerpos redondos y Cap.
16: Volúmenes
61
M20 Matemática 8 Santillana Kaczor Pablo, Piñeiro
Gustavo, Serrano Gisela
Año 2001 2º Cap. 10: Cuerpos y figuras
planas
Cap. 9: Probabilidad y estadística y Cap. 11: Volúmenes
M21 Matemática 1 Aique Bindstein Mirta,
Hanfling Mirta
Año 1993 1º Cap. 11: Potencias y raíces Cap. 10: Ángulos, rotaciones, traslaciones
M22 Matemática II Kapeluz Effenberger Pablo Año 2014 2º Cap. 5: Triángulos y
Cuadriláteros
Cap. 4: Ángulos y Cap. 6: Números racionales
M23 Matemática -
Estadística y
Probabilidad 8
Puerto de
Palos
Laurito Liliana, Trama
Eduardo, Ziger Dora
Año 2001 2º Cap. 5: Triángulos Cap. 4: Ángulos y Cap. 6: Números racionales
M24 Matemática 8 Kapelusz Seveso Julia, Wykowski
Ana, Ferrarini Graciela
Año 1º Cap. 9: La relación
pitagórica
Cap. 8: Ecuaciones y rectas y Cap. 10: Estadística y
probabilidad
M25 Matemática 2 Mandioca Gogfroit Sandra, Guayán
Celina, Oleaga
Magdalena
Año 2012 2º Cap. 5: Triángulos y
cuadriláteros
Cap. 4: Ángulos y Cap. 6: Números racionales
M26 Matemática 8 -
Estadística y
probabilidad en
estudio
Puerto de
Palos
Aristegui Rosana,
Graciani Alicia, Mancini
Graciela, Ríos Laura,
Sobico Cecilia
Año 2005 2º Cap. 5: Triángulos Cap. 4: Ángulos y Cap. 6: Cuadriláteros y Polígonos
M27 Matemática 7 -
Estadística y
Probabilidad en
estudio
Puerto de
Palos
Berio Adriana, Gasol
Laura, Graciana Alicia
Año 2005 1º Cap. 5: Figuras Planas Cap. 4: Rectas y Ángulos y Cap. 6: Representaciones
gráficas y proporcionalidad
M28 Matemática II -
Actividades
Clave
Santillana Kascor Pablo, Piñeiro
Gustavo, Serrano Gisela
Año 2012 2º Cap. 10: Cuerpos y figuras
planas
Cap. 9: Probabilidad y estadística y Cap. 11: Volúmenes
M29 Matemática I -
Actividades
Clave
Santillana Andrés Marina, Latorre
María Celina, Piñeiro
Gustavo
Año 2012 1º Cap. 9: Perímetro y
superficies
Cap. 8: Construcciones geométricas y Cap. 10:
Volumen, capacidad y masa
M30 Matemática 2 Tinta fresca Kurzrok Liliana, Altman
Silvia, Arnejo Mabel,
Comparatore Claudia
Año 2017 2º Cap. 5: El Teorema de
Pitágoras y sus aplicaciones
Cap. 4: Las figuras geométricas y Cap. 6: Los números
reales
M31 Matemática 3 -
Tapia
Estrada Vázquez Nally, Tapia
Alicia, Tapia Carlos
Año 1980 3º Cap. 6: Semejanza de
polígonos
Cap. 5: Homotecia. Semejanza y Cap. 7: Funciones
trigonométricas
M32 Matemática II -
Para resolver
problemas
Santillana Álvarez María Dolores,
Hernández Joaquín,
Kalzisky Raquel
Año 2010 2º Cap. 9: Áreas. Teorema de
Pitágoras. Volúmenes
Cap. 8: Cuadriláteros. Ángulos entre paralelas. Cuerpos
y Cap. 10: Estadística y probabilidad
62
M33 Matemática I -
Nueva carpeta
Aique Garaventa Luis,
Legorburu Nora, Rodas
Patricia, Schaposchnik
Ruth
Año 2006 1º Cuadernillo 4 - Cap. 7:
Medidas en las figuras
planas
Cuadernillo 3: Cap. 6: Ecuaciones y Cuadernillo 5: Cap.
9: Proporcionalidad
M34 Matemática
Dinámica 3
Kapelusz Varela Leopoldo,
Foncuberta Juan
Año 1975 3º Geometría - Cap. 6: La
relación pitagórica
Cap. 5: El producto escalar y Cap. 7: Trigonometría:
Matemática para astrónomos y navegantes
ANEXO 3
Tabla 3: Descripción e identificación de las OM y sus componentes En la siguiente tabla se trabajó sobre cada actividad propuesta en el libro de texto referida al Teorema de Pitágoras, donde se identificó el tipo de
tareas, el género, las técnicas utilizadas, la tecnología y la teoría aplicada
LIBRO TAREA TIPO DE
TAREA
GENERO
DE LA
TAREA
TECNICAS TECNOLOGIA TEORIA
Entre
Números II
– actividades
de
matemática
t111: Señala el ángulo recto de cada triángulo y calcula la longitud
del lado que falta indicar.
t211: Tacha las ternas de números que no puedan representar la
medida de los lados de un triángulo (todas están en la misma
T11: Calcular
el lado que
falta
T21:
Identificar la
posibilidad de
G1: Calcular
G2:Identificar
τ111: Reemplazar
la fórmula del
Teorema de
Pitágoras con
los valores
dados, para
obtener el que
falta.
τ 211: Evaluar la
propiedad
triangular para
θ111: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
ubicar los datos y
averiguar según la
fórmula el lado que
está de incógnita.
θ 211: Esta técnica
permite predecir que
ternas corresponden
63
unidad de longitud). Luego, rodea las que corresponden a
triángulos rectángulos.
formar un
triángulo
la cuál es
posible la
construcción del
triángulo
a un triángulo sin
necesidad de realizar
su construcción.
t121: Averigua el perímetro y el área del romboide.
t121: Calcula el área del triángulo isósceles cuyo perímetro es de
36 m.
t111: La plaza de un pueblo vista desde arriba es un cuadrado de 85
m de lado. ¿Cuántos metros ahorra aproximadamente don
Cansancio, que cruza la plaza por la diagonal, en lugar de ir por el
borde? Redondea el resultado a un valor entero.
T12: Calcular
perímetro y
área
T12: Calcular
el área
T11: Calcular
los metros
ahorrados
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ121: Reemplazar
los datos en la
figura, para
saber qué lado
está faltando
τ121: Reemplazar
los datos en la
figura, para
saber qué lado
está faltando
τ111: Reemplazar
los datos en la
figura, para
saber qué lado
está faltando
θ121: Esta técnica
permite, luego de
ubicar los datos,
buscar el lado
faltante
θ121: Esta técnica
permite, luego de
ubicar los datos,
buscar el lado
faltante
θ111: Esta técnica
permite, luego de
ubicar los datos,
buscar el lado
faltante
64
t111: El círculo del esquema tiene 4 cm de diámetro y está dividido
en 6 porciones iguales. a- ¿Cuánto mide el ángulo señalado con un
arquito?
b- Uní en forma consecutiva los puntos marcados en la
circunferencia, de modo que te quede un polígono. ¿Qué nombre
recibe? ¿Qué clases de triángulos lo forman?
c- ¿Cuánto mide cada uno de los lados del polígono?
d- ¿Es un polígono regular? ¿Por qué?
e- Calcula cuánto mide la altura de uno de los triángulos que
forman el polígono (redondea a los centésimos). ¿Con qué
elemento del polígono coincide esa altura? Utiliza este hecho para
calcular el área del polígono.
T11: Calcular
el ángulo, los
lados, la
altura
G1: Calcular
τ111: Reemplazar
los datos en la
figura, para
saber qué lado y
ángulo está
faltando
θ111: Esta técnica
permite luego de
ubicar los datos,
buscar el lado
faltante
Entre
Números III
– actividades
de
matemática
t111: a- Calcula lo que se pide en cada caso. Realiza una figura de
análisis.
I: la diagonal de un cuadrado de 3 cm de lado
II: la altura de un triángulo equilátero de 6 cm de lado
III: el lado de un rombo cuyas diagonales miden 4 y 6 cm
IV: la apotema de un hexágono regular de 5 cm de lado
T121: b- Calcula el perímetro y el área de los polígonos de la
actividad anterior. ¿En cuáles tienes que usar lo que habías
hallado?
T11: Calcular
los lados que
faltan
T12: Calcular
el área y el
perímetro
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Reemplazar
los datos en la
figura, para
saber que lados
están faltando
τ121: Reemplazar
los datos en la
figura, para
θ111: Esta técnica
permite luego de
ubicar los datos en
cada una de las
figuras, buscar el
lado que está
faltando
θ121: Esta técnica
permite luego de
ubicar los datos en
65
I: un cuadrado de 3 cm de lado
II: un triángulo equilátero de 6 cm de lado
III: un rombo cuyas diagonales miden 4 y 6 cm
IV: un hexágono regular de 5 cm de lado
saber que lados
están faltando
cada una de las
figuras, buscar el
lado que está
faltando
Carpeta de
Matemática
II
t111:
a- Averigua la longitud del lado que falta indicar.
t311: b- Alicia dice que dibujo un triángulo rectángulo con una
hipotenusa de 12 cm, un cateto de 8 cm y otro de 10 cm. Pablo le
contesta que no es posible. ¿Quién tiene razón?
t321: c- Miguel tiene como norma de seguridad no separar el pie de
su escalera más de medio metro de la pared, por una posible
pérdida de estabilidad. ¿Cumple esas condiciones, si la escalera
está apoyada como muestra el dibujo? ¿Por qué?
T11: Calcular
el lado
T31:
Determinar la
veracidad o
falsedad de la
situación
T32:
Determinar si
se cumplen
las
condiciones
G1: Calcular
G3:
Determinar
G3:
Determinar
τ111: Reemplazar
la fórmula del
Teorema de
Pitágoras con
los valores
dados, para
obtener el que
falta.
τ311: Realizar el
esquema y
ubicar los
valores según la
información,
luego
reemplazar la
fórmula del
Teorema de
Pitágoras
τ321: Teniendo
en cuenta el
dibujo utilizar la
fórmula del
Teorema de
Pitágoras para
saber si se
cumplen las
θ111: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
ubicar los datos y
averiguar según la
fórmula el lado que
está de incógnita.
θ311: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
ubicar los datos y
averiguar según la
fórmula si esto es o
no posible.
θ321: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
ubicar los datos y
demostrar si las
condiciones son las
adecuadas
66
t121: d- Calcula la altura del árbol y la distancia en línea recta que
debe recorrer un pájaro desde la cima del árbol hasta la piedra A.
Redondea a los centésimos.
T12: Calcular
la altura y la
distancia
G1: Calcular
condiciones
pedidas.
τ121: Teniendo
en cuenta la
figura, averiguar
y reemplazar en
la fórmula los
datos que faltan
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
ubicar los datos y
demostrar si las
condiciones son las
adecuadas
t121: e- ¿Cuál es el área del triángulo equilátero?
T12: Calcular
el área
G1: Calcular
τ121: Ubicar los
datos en la
figura para
luego
reemplazarlos
en la fórmula y
obtener los datos
que faltan
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque luego de
ubicar los datos
permite saber qué es
lo que está faltando
67
t121: d- ¿Cuál es el perímetro del rombo?
t111: f- ¿Cuánto mide, aproximadamente, la apotema de un
hexágono regular de 240 cm de perímetro? Realiza un esquema
t111: g- ¿Cuántos metros camina Ariel, si realiza el recorrido
señalado con flechas rojas? Redondea a los centésimos
t121: h- Calcula el perímetro del romboide verde con dos cifras
decimales
T12: Calcular
el perímetro
T11: Calcular
el valor de la
apotema
T11: Calcular
los metros
que camina
T12: Calcular
el perímetro
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ121: Ubicar los
datos en la
figura para
determinar qué
es lo que me
está faltando
τ111: Realizar el
esquema y
ubicar el valor
de los lados
conocidos
τ111: Ubicar los
valores datos
como datos en la
figura de
análisis
τ121: Ubicar los
datos en la
figura para
determinar qué
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque a través del
esquema se puede
saber con qué dato
cuento para luego
averiguar por medio
del
θ111: Teorema de
Pitágoras el valor del
lado
Esta técnica permite
determinar que lados
faltan
θ111: Esta técnica
permite determinar
la ubicación de los
datos que tengo para
calcular el que está
faltando a través del
empleo de la fórmula
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque a través del
esquema se puede
saber con qué dato
68
es lo que me
está faltando
cuento para luego
averiguar por medio
del Teorema de
Pitágoras el valor del
lado
Carpeta de
Matemática
III
t111: a- Calcula la medida de los lados que faltan.
t121: b- Para sostener una pared recta, Pablo, el albañil, la apuntala
con dos vigas, una de 15 m y otra de 25 m, como muestra el
dibujo, aseguradas en el suelo con estacas. La distancia entre la
primera estaca y la segunda es de 9 m.
I: ¿Cuál es el alto de la pared?
II: ¿Cuál es la distancia entre las dos estacas?
T11: Calcular
los lados
T12: Calcular
el alto y la
distancia
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Utilizar
ecuaciones para
hallar el valor de
x y luego
reemplazar para
hallar el valor de
cada lado
τ121: Ubicar los
datos en la
figura para
calcular los
lados que faltan
θ111: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
encontrar el valor de
cada lado del
triángulo rectángulo
θ121: Esta técnica es
la más adecuada ya
que permite a través
del Teorema de
Pitágoras hallar los
lados que faltan
t121: c- Calcula el perímetro de un cuadrilátero, si las medidas de
sus lados fuesen las indicadas en el dibujo.
T12: Calcular
el perímetro
G1: Calcular
τ121: Ubicar los
datos en la
figura de
análisis y luego
hallar por medio
de la fórmula
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite a
través de la fórmula
hallar el lado que
está faltando
69
t121: d- el cuadrado es una figura que cumple con las definiciones
de varios tipos de polígonos. Escribí tres formas distintas de
calcular su área
t121: e- el área del rombo es 60 m2
I: sin hacer todos los cálculos, indica el área del rectángulo y
explica cómo te diste cuenta
II: ¿Cuál sería el perímetro del rombo, si un lado del rectángulo
fuese el triple del otro?
T12: Calcular
el área
T12: Calcular
área y
perímetro
G1: Calcular
G1: Calcular
del Teorema de
Pitágoras el lado
que está faltando
para obtener el
perímetro
τ121: Trabajar
con fórmulas de
distintas figuras
geométricas
τ121: Ubicar los
datos para hallar
los que faltan en
cada figura de
análisis
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite hacer
un análisis de cada
figura
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
trabajar con el
análisis de las
figuras
70
t121: f- El trapecio abcd es isósceles, además, ae mide 12 cm y cd
mide 58 cm. Calcula el perímetro del trapecio abcd si el área del
rectángulo abfe es 480 cm2
t121: g- el pentágono de la figura es regular. Su apotema mide
alrededor de 8 cm, mientras que od mide 10 cm. Calcula el
perímetro y el área del pentágono
t121: h- el lado de un hexágono regular mide 8 cm ¿Cuál es su
área?
T12: Calcular
el perímetro
T12: Calcular
perímetro y
área
T12: Calcular
el área
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ121: Ubicar los
datos en la
figura de
análisis para
reemplazar en la
fórmula y hallar
el valor del lado
τ121: Ubicar los
datos en la
figura (tener en
cuenta que todos
los vértices de
un polígono
regular
equidistan de su
centro)
τ121: Ubicar los
datos y con
ayuda de la
fórmula del
Teorema de
Pitágoras
θ121: Esta técnica es
la más adecuada ya
que al reemplazar
permite obtener el
lado del triángulo
rectángulo
θ121: Esta técnica es
la más adecuada
porque permite
obtener el valor del
lado para luego
trabajar sobre su área
y perímetro
θ121: Esta técnica es
la más adecuada ya
que permite hallar el
valor del lado para
calcular el área
71
t121: i- En la figura, abgc es un paralelogramo
I: ¿Qué elementos tienen en común el paralelogramo abgc y el
triángulo cdg para calcular el área de cada uno? Calcúlalas
II: el área del trapecio abfc es de unos 56 cm2. Calcula el área del
triángulo fgc
III: Calcula el área del triángulo fgd
IV: ¿Cuánto mide el segmento ge, si el cd mide 30 cm?
T12: Calcular
el área
G1: Calcular
τ121: Ubicar los
datos en las
figuras de
análisis, para
luego hallar los
valores de los
lados que faltan
θ121: Esta técnica es
la más adecuada ya
que permite trabajar
sobe el área de
distintas figuras
Matemática
II
t411:
a- Arma tu propia comprobación del teorema de Pitágoras, pero
ahora superponiendo el cuadrado más chico sobre el mayor y
descomponiendo el otro.
t511:
b- ¿Te acordas de las ternas pitagóricas? Relaciona esos números
con los lados de un triángulo rectángulo. Pensá cuál de ellos
corresponde a la hipotenusa, elegí dos ternas pitagóricas y,
para cada una, construí el triángulo rectángulo que le
corresponde.
t111:
c- ¿Se podrá pasar un mural cuadrado de 2 m de lado por una
puerta de 1,80m de alto por 1 m de ancho? Pensa que la
diagonal del rectángulo que delimita la puerta es la máxima
T41:
Comprobar el
teorema
T51: Armar y
construir
ternas
pitagóricas
T11: Calcular
la hipotenusa
G4:
Comprobar
G5: Armar y
construir
G1: Calcular
τ411:
Descomponer la
figura de
análisis para
comprobar el
teorema
τ511:
Descomponer y
relacionar las
ternas
pitagóricas
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura de
θ411: Es la técnica
más adecuada para
comprobar lo ya
demostrado
θ511: Técnica que
permite comprobar
la relación entre los
lados del triángulo
rectángulo
θ111: Técnica que
permite averiguar el
dato que falta
72
altura que puede tener el mural para pasar. Busca un triángulo
adecuado y aplica el teorema de Pitágoras.
t521:
d- Utiliza el teorema de Pitágoras para construir un cuadrado
cuya área sea el doble de la del cuadrado amarillo.
T52: Construir
un cuadrado
G5: Construir
análisis
averiguar el dato
faltante
τ521: Teniendo
en cuenta la
figura de
análisis
construir el
cuadrado pedido
θ521: Técnica que
permite la
construcción a través
de la aplicación del
Teorema de
Pitágoras
t511:
e- Usa la “técnica de los albañiles” para construir con regla y
compás un ángulo recto con vértice en o y con el segmento oa
incluido en uno de sus lados.
T51:
Construcción
de un
triángulo
rectángulo
G5:
Construcción
τ511: A través
del segmento
dado, construir
el triángulo
θ511: Técnica que
permite construir el
triángulo rectángulo
73
t111:
f- El dibujo muestra la estructura del techo de una casa, vista
desde el frente.
a- ¿Cuántos metros de listón de madera lleva?
b- ¿Qué superficie queda cubierta por el vidrio? (Desprecia el
espesor del listón)
T11: Calcular
los lados del
triángulo
G1: Calcular
τ111: Ubicar los
datos y
averiguar los
lados del
triángulo
θ111: Esta técnica
permite hallar el
valor de los lados
Matemática
8 – Haciendo
Números
t111:
a- Completa el cartel. Tené en cuenta que las rutas que llegan a
Casablanca son perpendiculares.
t111:
b- Esta escalera tiene 3,4m de largo, ¿a qué distancia de la pared
hay que colocar su base para que la punta se apoye a 3 m del
piso?
T11: Calcular
el lado que
falta
T11: Calcular
el lado que
falta
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Colocar los
datos en la
imagen y
averiguar lo que
falta
τ111: Colocar los
valores en la
figura de
análisis para
hallar el lado
faltante
θ111: Esta técnica
permite hallar el lado
que falta
θ111: Técnica que
permite hallar el
cateto que falta con
el teorema de
Pitágoras
74
t411:
c- En cada caso, las tres longitudes deben ser las de los lados de
un triángulo rectángulo. Rodea las longitudes de los
triángulos intrusos
t111:
d- La diagonal de un prisma recto de base rectangular mide 25
cm y su altura, 20 cm. Además, uno de los lados de la base
mide 9 cm, ¿cuánto mide el otro lado?
T41:
Comprobar la
relación
pitagórica
T11: Calcular
la medida del
lado
G4:
Comprobar
G1: Calcular
τ411: Reemplazar
en la fórmula
para saber que
terna es la
correcta
τ111: Realizar
una figura de
análisis a modo
de ayuda y
ubicar los datos
dados
θ411: Esta técnica
permite hallar la
terna
correspondiente
θ111: Técnica que
permite hallar el lado
que falta
t121:
e- ¿Cuál es el área de la figura roja?
T12: Calcular
el área
G1: Calcular
τ121: Trabajar
con los datos
que muestra la
figura para
θ121: Técnica que
permite hallar el lado
que falta
75
t121:
f- Calcula la altura del cono.
T12: Calcular
el área
G1: Calcular
hallar la altura
del triángulo
τ121: Tener en
cuenta los datos
para luego hallar
la hipotenusa
θ121: Técnica que
permite reemplazar
los lados de la figura
de análisis para
hallar el que falta
Carpeta de
Matemática
7
t111:
a- Calculen el largo aproximado de la parte naranja del tobogán.
t111:
b- Una escalera de 2,5 m está apoyada en una pared, separada
1,5 m del zócalo y llega a una altura de 1,8 m. Averigüen si la
pared fue construida en escuadra, o sea, si la pared y el piso
forman un ángulo recto.
T11: Calcular
la hipotenusa
T11: Calcular
el valor de los
lados
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Colocar los
datos en la
figura y hallar el
que falta
τ111: Reemplazar
los datos en la
fórmula del
teorema de
Pitágoras para
comprobar si es
correcto
θ111: Técnica que
permite hallar el lado
que falta
θ111: Esta técnica
permite comprobar
si el triángulo es
rectángulo
76
t111:
c- ¿A qué altura está el barrilete? ¿Y el asiento de la hamaca?
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura de
análisis, colocar
los datos para
saber que lados
están faltando
θ111: Técnica que
permite trabajar en la
búsqueda de los
lados que están
faltando
t111:
d- Los chicos de 7º A formaron un equipo de fútbol para jugar
contra 7º B y para no gastar tanto en camisetas decidieron
comprar remeras blancas y colocarles una banda de color
cruzada en el frente y en la espalda. ¿Cuántos metros de cinta
hay que comprar, aproximadamente, para las 10 camisetas del
equipo?
t121:
e- Realicen los siguientes cálculos
I- El área de un triángulo isósceles de 26 cm de perímetro
cuya base mide 6 cm.
T11: Calcular
el lado que
falta
T12: Calcular
área,
perímetro y
apotema
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura hallar el
lado que falta
τ121: Trabajar
sobre las figuras
de análisis y
averiguar lo que
falta
θ111: Técnica que
permite hallar el
valor que falta
θ121: Técnica que
permite hallar los
lados que faltan
77
II- El perímetro de un trapecio isósceles de 18,75 cm2 de
área, cuyas bases miden 4 cm y 8,5 cm respectivamente.
III- La medida de la apotema de un hexágono regular de 1 cm
de radio.
Carpeta de
Matemática
8
t111:
a- Los siguientes triángulos son rectángulos. Escriban, en cada
caso, una expresión que permita calcular el lado de color.
t111:
b- Completen la siguiente tabla, teniendo en cuenta que, A, B y
C son las medidas en cm de los lados de un triángulo.
t111:
c- Una paloma está posada en el extremo de una antena de 2,5 m
de altura; otra paloma está en un bebedero ubicado a 9 m de la
base de la antena. ¿A qué distancia se encuentran las palomas
entre sí?
T11: Calcular
el lado que
falta
T11: Calcular
el lado que
falta
T11: Calcular
el lado que
falta
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Trabajar
sobre la terna
pitagórica
τ111: Realizar
una figura de
análisis para
ubicar los datos
y saber qué es lo
que está faltando
τ111: Con ayuda
de una figura de
análisis, ubicar
los objetos para
determinar qué
es lo que está
faltando
θ111: Técnica que
permite hallar la
fórmula que
permitirá encontrar
el lado pedido
θ111: Esta técnica
permite aplicar la
fórmula del Teorema
de Pitágoras para
encontrar el lado
buscado
θ111: Esta técnica
permite hallar el
valor del lado que
falta
78
t111:
d- Completen la tabla teniendo en cuenta la figura de análisis.
Redondeen los valores a los centésimos, cuando sea
necesario.
T121:
e- Calculen el perímetro del triángulo isósceles rst, sabiendo que
rs = st.
t111:
f- La base de un triángulo rectángulo es de 12 cm y la altura
mide las tres cuartas partes de la base. Hallen la medida de la
hipotenusa.
t121:
g- La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10
cm.
I- ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?
II- ¿Cuánto mide la altura correspondiente a la hipotenusa?
h- Calculen el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro
mide 48 cm.
T11: Calcular
el lado que
falta
T12: Calcular
el perímetro
T11: Calcular
la hipotenusa
T12: Calcular
perímetro,
área y altura
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura, ubicar el
valor de los
lados en cada
caso para
averiguar el
faltante
τ121: Teniendo
en cuenta la
figura de
análisis
encontrar el
valor del lado
que falta
τ111: Realizar un
esquema a modo
de ayuda para
ubicar los datos
τ121: Realizar
una figura de
análisis a modo
de ayuda para
ubicar los datos
θ111: Técnica que
permite encontrar el
valor de los lados
pedidos
θ121: A través del
empleo de la fórmula
del Teorema de
Pitágoras se puede
hallar el valor que
falta para encontrar
el perímetro
θ111: Con la fórmula
del Teorema de
Pitágoras hallar el
lado que falta
θ121: Técnica que
permite tener una
visión más clara de
lo que el ejercicio
me está pidiendo
79
Matemática –
Estadística y
Probabilidad
7
t111:
a- Calculen el valor del lado faltante en cada uno de los
siguientes triángulos rectángulos.
t111:
b- Un faro de 20 m de altura ilumina con un rayo de luz a un
bote. El rayo de luz mide 150 m. ¿A qué distancia se
encuentra el bote del pie del faro?
t111:
c- Una escalera está apoyada en la pared de un edificio. Si la
escalera llega a una altura de 3 m y la base de la escalera está
a 2 m del edificio, ¿cuál es el largo de la escalera?
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Utilizar una
figura de
análisis como
ayuda para
ubicar los datos
τ111: Realizar
una figura de
análisis y ubicar
los datos
τ111: Realizar
una figura de
análisis y ubicar
los datos
θ111: Utilizar la
fórmula del Teorema
de Pitágoras para
reemplazar y
encontrar el valor del
lado pedido
θ111: Reemplazar los
valores en la fórmula
del Teorema de
Pitágoras
θ111: Reemplazar los
valores en la fórmula
del Teorema de
Pitágoras
Matemática
II
t111:
a- Calcula cuanto mide el tercer lado de cada triángulo
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
τ111: Teniendo
en cuenta el
dibujo, hallar el
lado que falta
θ111: Reemplazar el
valor de los lados en
la fórmula del
Teorema de
Pitágoras
80
t111:
b- Completa la siguiente tabla.
t111:
c- Un tornado quebró una antena de telefonía móvil, que quedó
como indica el dibujo. Se la debe reemplazar por otra
exactamente igual. ¿Qué altura tendrá la nueva antena?
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Con ayuda
de una figura de
análisis colocar
los datos para
saber que me
está faltando
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura, hallar el
lado que está
faltando
θ111: Reemplazar en
la fórmula del
Teorema de
Pitágoras
θ111: Reemplazar los
valores que tengo
como dato en la
fórmula del Teorema
de Pitágoras para
hallar el lado que
falta
t121:
d- Calcula el área de un rectángulo de 12 cm de base y 13 cm de
diagonal. Hace una figura de análisis; te ayuda a pensar, no es
necesario hacerla a escala.
t121:
e- Calcula la altura de este triángulo isósceles. ¿Cuánto miden su
perímetro y su área?
T12: Calcular
el área
T12: Calcular
altura, área y
perímetro
G1: Calcular
G1: Calcular
τ121: Realizar
una figura de
análisis para
saber que dato
está faltando
τ121: Teniendo
en cuenta la
imagen hallar
θ121: Técnica que
permite encontrar el
lado que falta para
luego hallar el área
θ121: Reemplazar los
valores en la fórmula
81
t111:
f- ¿Cuántos metros se ahorra una persona que cruza por su
diagonal una plaza cuadrada de 100 m de lado, en lugar de
caminar por sus lados para llegar desde A hasta B?
t121:
g- Las diagonales de un rombo miden 12 cm y 16 cm. Hace una
figura de análisis y calcula lo que mide el lado del rombo, su
perímetro y su área.
t121:
h- Encontrar el dato que falta para hallar el área de este trapecio
isósceles y calcula.
T11: Calcular
el valor del
lado
T12: Calcular
el valor del
lado, su área
y perímetro
T12: Calcular
el área
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
los datos que
faltan
τ111: Colocar los
datos en la
figura de
análisis para
hallar el lado
que falta
τ121: Realizar
una figura de
análisis para
ubicar los datos
τ121: Teniendo
en cuenta la
figura, hallar el
valor del lado
que falta
del Teorema de
Pitágoras
θ111: Reemplazar en
la fórmula del
Teorema De
Pitágoras
θ121: Técnica que
permite luego
reemplazar los datos
en la fórmula del
Teorema de
Pitágoras
θ121: Técnica que
permite hallar los
valores que se
necesitan
82
t121:
i- Se quiere calcular el área de esta figura formada por seis
triángulos equiláteros congruentes de 4 cm de lado.
a- ¿Cuánto mide la altura de cada triángulo?
b- Calcula el área de la figura
T12: Calcular
el valor del
lado y el área
G1: Calcular
τ121: Ubicar el
valor de los
lados en la
figura de
análisis
θ121: Técnica que
permite trabajar
sobre cada figura
para luego obtener el
área de la misma
Matemática 7 t111:
a- Calcula la medida del cateto bc del triángulo rectángulo abc.
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura de
análisis, hallar el
lado que está
faltando
mediante la
fórmula de
Pitágoras
θ111: Técnica que
permite hallar el
valor del lado,
reemplazando la
fórmula
83
t111:
b- Una hormiga parte del punto verde y quiere llegar al rojo.
¿Cuál es el camino más corto y cuántos centímetros tiene que
caminar?
t111:
c- Observa el dibujo y calcula la altura x que alcanza una
escalera de 150 cm de largo.
t111:
d- Observa el dibujo y, sin hacer cuentas, indica la altura que
alcanza la misma escalera si se desliza y se separa de la pared
120 cm.
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor del
lado que falta
T11: Calcular
el valor del
lado que falta
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura de
análisis, hallar el
valor del lado
que falta
mediante la
fórmula de
Pitágoras
τ111: Reemplazar
los datos en la
figura de
análisis y con
ayuda de la
fórmula de
Pitágoras
reemplazar los
valores
τ111: Reemplazar
los datos en la
figura de
análisis y con
ayuda de la
fórmula de
Pitágoras
reemplazar los
valores
θ111: Técnica que
permite reemplazar
los valores datos
como dato para
hallar el que falta
θ111: Técnica que
permite obtener el
valor del lado que
falta
θ111: Técnica que
permite obtener el
valor del lado que
falta
84
t111:
e- ¿Cuánto mide la base de este triángulo isósceles si su área es
de 19,2 dm2? ¿Cuál es su perímetro?
t111:
f- ¿Cuánto mide la base mayor de este trapecio isósceles si su
área es de 11 cm2?
t111:
g- ¿Cuánto mide la diagonal menor de este rombo si se área es
de 384m2? ¿Cuál es su perímetro?
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: En la figura
de análisis
colocar todos los
datos para
obtener el
faltante
τ111: Teniendo
en cuenta los
datos de la
figura de
análisis, hallar el
valor del lado
que falta
τ111: Reemplazar
los valores en la
θ111: Técnica que
permite hallar el
valor del lado
buscado
reemplazando en la
fórmula de Pitágoras
θ111: Técnica que
permite reemplazar
los valores con los
que se cuenta en la
fórmula de Pitágoras
θ111: Técnica que
permite saber qué
lado está faltando
85
figura de
análisis
para calcularlo
mediante la fórmula
de Pitágoras
Matemática 8 t321:
a- Decidí, sin medir los ángulos, si hay algún triángulo
rectángulo entre los siguientes. Solo podés usar los datos
indicados en las figuras.
t111:
b- Todos los triángulos dibujados debajo tienen un ángulo
recto. Calcula el área y el perímetro de cada uno a partir de
los datos indicados en las figuras. Para calcular los datos
que faltan no vale medir.
T32:
Determinar si
los triángulos
son
rectángulos
T11: Calcular
el valor del
lado
G3:
Determinar
G1: Calcular
τ321: Reemplazar
los valores en la
fórmula del
Teorema de
Pitágoras
τ111: Reemplazar
los valores en la
fórmula de
Pitágoras según
las
características
de cada
triángulo
θ321: Técnica que
permite saber si se
trata de un triángulo
rectángulo
θ111: Técnica que
permite trabajar
sobre las ternas
pitagóricas
t121:
c- Los dos triángulos son isósceles, ambos tienen un perímetro
de 23 cm. En el primero uno de los lados iguales mide 8 cm,
y en el segundo, 10 cm. ¿son iguales las áreas? ¿Cuánto
miden?
T12: Calcular
el área
G1: Calcular τ121: Colocar los
datos en cada
figura de
análisis, luego
hallar el área
θ121: Técnica que
permite saber si son
iguales sus áreas
86
Matemática 8 t421:
a- Indiquen cuáles de estas ternas son las medidas en cm de los
lados de un triángulo rectángulo
I: 3cm, 4cm, 5cm
II: 6cm, 9cm, 15cm
T42:
Comprobar
los valores de
los lados
G4:
Comprobar
τ421: Reemplazar
los valores de
los lados en la
fórmula de
Pitágoras
θ421: Técnica que
permite saber si son
ternas pitagóricas
t121:
b- Hallen el perímetro del triángulo abc isósceles sabiendo que
ac = 12 cm, m es el punto medio de ac y h = 8 cm
T12: Calcular
el perímetro
G1: Calcular τ121: Trabajar
sobre la figura
de análisis
ubicando los
datos para luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica
θ121: Técnica que
permite hallar el lado
que falta para
encontrar el
perímetro de la
figura
Logikamente t111:
a- Calcular el lado que falta del triángulo
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
τ111: Reemplazar
en la fórmula
pitagórica
θ111: Técnica que
permite encontrar el
lado que está
faltando
87
t111:
b- Un obrero apoya la base de una escalera de 17 m de largo en
el piso, separada a 8 m de la pared de un edificio. Calcular la
altura a la que llega la punta de la escalera sobre la pared del
edificio.
t121:
c- La torre Eiffel proyecta a las 3 de la tarde una sombra de 55 m
de largo. Si se mide la distancia entre la punta más alta de la
torre y el punto donde termina su sombra tenemos 305 m.
calcular usando el teorema de Pitágoras, la altura de la torre.
T11: Calcular
el lado que
falta
T12: Calcular
la altura
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Reemplazar
los datos en la
figura de
análisis para
luego llevarlos a
la fórmula
pitagórica
τ121: Reemplazar
los datos en la
figura de
análisis para
luego ser
reemplazados en
la fórmula
pitagórica
θ111: Técnica que
permite obtener el
lado que falta
θ121: Técnica que
permite encontrar el
valor de la altura
88
t111:
d- En un rectángulo de 35 mm x 120 mm se traza su diagonal.
¿Cuánto mide esta diagonal?
t121:
e- En un rectángulo de 55 mm de base, se traza su diagonal. La
diagonal trazada mide 305 mm. ¿Cuánto mide la altura del
rectángulo?
t121:
f- Maximiliano está remontando su barrilete. El largo del hilo
desenredado es de 15,9 m. el barrilete está justo encima de su
hermana, que está a 8,4 m de distancia de Maximiliano.
Calcular la altura a la que está en ese momento el barrilete del
piso. Maxi y su hermana miden los dos 1,5 m.
T11: Calcular
el valor de la
diagonal
T12: Calcular
el valor de la
altura
T12: Calcular
la altura
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica
τ121: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica
τ121: Colocar los
datos en la
figura de
análisis y luego
aplicar la
fórmula
pitagórica
θ111: Técnica que
permite encontrar el
valor de la diagonal
θ121: Técnica que
permite encontrar el
valor de la altura
θ121: Técnica que
ayuda a calcular el
valor de la altura
89
t111:
g- Mariano hace un rectángulo uniendo fósforos. Para la base
usó 36 fósforos y para la altura 15 fósforos. ¿Cuántos fósforos
necesita para hacer su diagonal?
t121:
h- Desde la punta de un faro, una persona ata una cuerda de 91
m de largo y la ubica a 35 m de distancia del faro. Calcular la
altura del faro.
t111:
i- Alejandro compro una escuadra que en sus lados más cortos
mide 20 cm y 21 cm ¿Cuánto mide su lado más largo?
T11: Calcular
el valor de la
diagonal
T12: Calcular
el valor de la
altura
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
τ121: Colocar los
datos en la
figura de
análisis para
hallar luego el
valor del lado
que falta a
través del
reemplazo de los
datos en la
fórmula
pitagórica
τ111: Colocar los
datos en la
figura de
análisis para
hallar luego el
valor del lado
que falta a
través del
reemplazo de los
datos en la
fórmula
pitagórica
θ111: Técnica que se
utiliza para encontrar
el valor del lado que
falta
θ121: Técnica que
permite analizar y
trabajar sobre el
teorema de Pitágoras
θ111: Técnica que
permite analizar y
trabajar sobre el
teorema de Pitágoras
90
t121:
j- Mario apoya una escalera de 8,2 m en una pared, separada a
1,8 m de la mima. ¿A qué altura del piso estará el escalón más
alto de la escalera?
T12: Calcular
el valor de la
altura
G1: Calcular τ121: Colocar los
datos en la
figura de
análisis para
hallar luego el
valor del lado
que falta a
través del
reemplazo de los
datos en la
fórmula
pitagórica
θ121: Técnica que
permite analizar y
trabajar sobre el
teorema de Pitágoras
t111:
k- Hallar el valor del lado del rombo. Si sabemos que la base del
rectángulo mide 80 cm y la altura del rectángulo mide 18 cm.
t121:
l- Dentro de una circunferencia dibujamos un rectángulo de 30
cm de base, perfectamente centrado dentro de la misma. El
radio de la circunferencia es 17 cm. ¿Cuánto mide la altura de
este rectángulo?
T11: Calcular
el valor del
lado
T12: Calcular
el valor de la
altura
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Trabajar
sobre la figura
de análisis
ubicando los
datos para luego
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
τ121: Trabajar
sobre la figura
de análisis
ubicando los
datos para luego
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
θ111: Técnica que se
utiliza para hallar el
valor que falta
θ121: Técnica que se
utiliza para hallar el
valor que falta
91
t121:
m- La base mayor de un trapecio isósceles mide 142 cm, la base
menor mide 100 cm y los lados miden 35 cm. Hallar la altura
del trapecio.
T12: Calcular
el valor de la
altura
G1: Calcular τ121: Trabajar
sobre la figura
de análisis
ubicando los
datos para luego
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
θ121: Técnica que se
utiliza para hallar el
valor que falta
Matemática
III
t421:
a- ¿Es posible que el lado de un cuadrado mida 5cm y su
diagonal, 7 cm?
t111:
b- Calcula la medida de los lados de un cuadrado sabiendo que
su diagonal mide 12 cm.
T42:
Comprobar el
valor del lado
T11: Calcular
el valor de los
lados
G4:
Comprobar
G1: Calcular
τ421: Ubicar los
datos en una
figura de
análisis y luego
reemplazar los
valores en la
fórmula
pitagórica para
comprobar la
terna
τ111: Con ayuda
de una figura de
análisis ubicar
los datos y
hallar por medio
de la fórmula
pitagórica lo que
aún se
desconoce
θ421: Técnica que
permite obtener la
veracidad o no de la
terna a trabajar
θ111: Técnica que
permite reemplazar y
hallar el valor
faltante
92
t111:
c- Calcula la medida aproximada de la diagonal de un cuadrado
que tiene 16 cm de perímetro.
T11: Calcular
el valor de la
diagonal
G1: Calcular τ111: Con ayuda
de una figura de
análisis ubicar
los datos y
hallar por medio
de la fórmula
pitagórica lo que
aún se
desconoce
θ111: Técnica que
permite reemplazar y
hallar el valor
faltante
t421:
d- ¿Es posible que el cateto de un triángulo rectángulo isósceles
mida 6 cm y su hipotenusa, 8 cm?
t111:
e- Calcula la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
isósceles si cada cateto mide 9 cm.
t111:
f- Calcula la medida de cada cateto de un triángulo rectángulo
isósceles si su hipotenusa mide 10 cm.
T42:
Comprobar el
valor del lado
T11: Calcular
el valor de la
hipotenusa
T11: Calcular
el valor de los
lados
G4:
Comprobar
G1: Calcular
G1: Calcular
τ421: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazarlos
en la terna
pitagórica
τ111: Realizar
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
τ111: Realizar
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
θ421: Técnica que
permite averiguar el
valor que falta
θ111: Técnica que
permite averiguar el
valor que falta
θ111: Técnica que
permite averiguar el
valor que falta
93
t111:
g- Un triángulo rectángulo isósceles tiene catetos de 7 cm.
I: Calcula la medida de la hipotenusa.
II: Si se duplican los catetos, ¿Cuánto medirá la hipotenusa?
III: ¿es cierto que, si se duplican los catetos, la hipotenusa
también se duplica?
t111:
h- Calcula el valor de cada lado indicado con la letra a.
t511:
i- Construí un triángulo rectángulo con los siguientes datos. Si
no es posible, explica por qué.
I: 3cm, 4cm, 5cm
II: 9cm, 7cm, 5cm
III : 2cm, 2cm, 3cm
t111:
j- Encontrar tres medidas para los lados de un triángulo
rectángulo y explica por qué estás seguro de que con ellas lo
podrás construir.
T11: Calcular
la medida de
la hipotenusa
T11: Calcular
el valor del
lado
T51: Construir
triángulos
rectángulos
T11: Calcular
los valores
para los lados
de un
triángulo
rectángulo
G1: Calcular
G1: Calcular
G5: Construir
G1: Calcular
τ111: Realizar
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
τ111: Teniendo
en cuenta la
figura,
reemplazar los
valores en la
fórmula
pitagórica
τ511: Reemplazar
los datos en la
fórmula
pitagórica para
comprobar si es
posible su
construcción
τ111: Trabajar
con la fórmula
pitagórica para
reemplazar
valores que
hagan posible la
terna
θ111: Técnica que
permite averiguar el
valor que falta
θ111: Esta técnica
permite hallar el
valor del lado que
falta
θ511: Técnica que
permite hallar la
terna pitagórica
θ111: Técnica que
permite comprobar
la construcción de un
triángulo rectángulo
94
t111:
k- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm.
¿cuánto mide la hipotenusa?
t121:
l- Los lados de un triángulo equilátero miden 12 cm. ¿cómo
harías para calcular su altura?
T11: Calcular
el valor de la
hipotenusa
T12: Calcular
el valor de la
altura
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los valores y
mediante la
fórmula
pitagórica hallar
el lado que falta
τ121: Reemplazar
en la fórmula
pitagórica los
datos para hallar
el valor que falta
θ111: Técnica que
permite obtener el
lado que falta
θ121: Técnica que
permite obtener el
lado que falta
Matemática 1 t111:
a- Un granjero, que utilizó 1700 m de alambre para cercar su
campo triangular, afirma que la relación entre los lados de
éste es la siguiente: un lado mide el doble que el otro, y el
tercero supera a la suma de los otros dos en 500 m, su hijo
asegura que se equivoca. ¿Quién tiene razón?
T11: Calcular
el valor de los
lados
G1: Calcular
τ111: Reemplazar
los datos en la
fórmula
pitagórica con
ayuda de una
figura de
análisis
θ111: Esta técnica
permite saber si es
verdad o no
95
t121:
b- En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden 6 cm.
Indiquen entre que valores puede variar la medida de la base.
t111:
c- Dos lados de un triángulo miden 3 y 4,5 cm. ¿entre que
valores puede estar comprendida la medida del otro lado?
t111:
d- Calculen la medida de los lados congruentes de un triángulo
isósceles, sabiendo que su base mide 4 cm y la altura
correspondiente a ella es de 6 cm.
t411:
e- Dadas las medidas en centímetros de los tres lados de un
triángulo, ¿cuáles de ellos son rectángulos?
I: 6; 7,5; 4,5
II: 4; 8; 5
III: 5; 13; 12
T12: Calcular
la base
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor de los
lados
T41:
Comprobar si
los triángulos
son
rectángulos
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
G4:
Comprobar
τ121: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
τ111: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
τ111: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica
τ411: Reemplazar
los valores
dados en la
fórmula
pitagórica
θ121: Técnica que
permite saber la
veracidad de lo
expuesto
θ111: Técnica que
permite hallar el lado
que falta
θ111: Técnica que
permite hallar el lado
que falta
θ411: Técnica que
permite hallar la
veracidad
96
t111:
f- El teleférico de la ciudad Vista Linda sale de la base de una
montaña hasta su cima. De acuerdo con los datos del dibujo,
calculen:
I: ¿qué distancia recorre el teleférico desde la base de la
montaña hasta su cima?
II: ¿qué distancia hay desde la ciudad Vista Linda hasta la
ciudad Arroyo Seco?
t111:
g- Una antena, de 20 m de altura, se encuentra sujeta por un
cable de 35 m. Calculen la distancia existente entre la base de
la antena y el extremo del cable.
t121:
h- ¿Cuál es el perímetro del barrilete?
T11: Calcular
el valor de los
lados
T11: Calcular
el valor del
lado
T12: Calcular
el perímetro
G1: Calcular
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Reemplazar
los datos en la
fórmula
pitagórica,
teniendo en
cuenta la figura
de análisis
τ111: Realizar
una figura de
análisis, ubicar
la información y
reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica
τ121: Reemplazar
los datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
del lado que
falta, el cual
permitirá
θ111: Técnica que
permite encontrar el
valor de los lados
θ111: Técnica que
permite hallar el lado
que falta
θ121: Técnica que
permite hallar el lado
que falta
97
obtener el
perímetro de la
figura
t111:
i- José tiene un terreno rectangular de 280 m por 210 m.
Construyo una valla siguiendo la diagonal del terreno.
¿cuántos metros de valla utilizó?
T11: Calcular
el valor de la
diagonal
G1: Calcular τ111: Realizar
una figura de
análisis para
saber qué lado
está faltando y
luego
reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
encontrarlo
θ111: Técnica que
permite obtener el
dato que falta
Matemática 8 t321:
a- Dibujen un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm. ¿Será
un triángulo rectángulo?
T32:
Determinar si
se trata de un
triángulo
rectángulo
G3:
Determinar
τ321: Reemplazar
los valores datos
en la fórmula
pitagórica para
verificar la terna
θ321: Técnica que
permite saber si es
posible la terna
Matemática 3 t111:
a- Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo sabiendo
que las longitudes de los lados consecutivos son 10 cm y 7 cm.
T11: Calcular
el valor de la
diagonal
G1: Calcular
τ111: Realizar
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111: Técnica que
permite hallar el
valor del lado que
falta
98
t111:
b- Calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado
tiene una diagonal de 18 cm.
t111:
c- Calcular la longitud del lado de un rombo sabiendo que las
longitudes de sus diagonales son 24 cm y 32 cm.
T11: Calcular
el valor del
lado
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
G1: Calcular
τ111: Realizar
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ111: Realizar
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111: Técnica que
permite hallar el
valor del lado que
falta
θ111: Técnica que
permite hallar el
valor del lado que
falta
t121:
d- Calcular la longitud de la altura correspondiente a la base de
un triángulo isósceles sabiendo que la longitud de cada lado
congruente es 25 cm y la longitud de la base es 30 cm.
t111:
e- Calcula x en cada caso.
T12: Calcular
el valor de la
altura
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
G1: Calcular
τ121: Realizar
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ111: Reemplazar
los datos en la
fórmula
θ121: Técnica que
permite hallar el
valor del lado que
falta
θ111: Técnica que
permite hallar el
99
pitagórica para
hallar el lado
que falta
valor del lado que
falta
Matemática I t121:
a- El área de un triángulo es 630 cm2. ¿cuál será la altura si la
base es 18 cm?
t111:
b- Triángulo ABC rectángulo en A; si b = 5 cm y c =12 cm.
Calcular a
t111:
c- Triángulo ABC rectángulo en A, si a = 17 cm y b = 8 cm.
Calcular c
t111:
d- Triángulo ABC isósceles y rectángulo en A; a = 5 cm:
Calcular b y c
T12: Calcular
el valor de la
altura
T11:
Calcular el
valor de la
hipotenusa
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor de los
lados
G1: Calcular
G1:
Calcular
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ121: Realizar
una figura de
análisis y
reemplazar los
valores para
hallar lo que
está faltando
τ111:
Realizar una
figura de
análisis y
reemplazar los
valores para
hallar lo que
está faltando
τ111:
Realizar una
figura de
análisis y
reemplazar los
valores para
hallar lo que
está faltando
τ111:
Realizar una
figura de
análisis y
θ121: Técnica que
permite hallar el
valor del lado que
falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
100
t111:
e- Triángulo ABC rectángulo en A; b = c = 1 cm. Calcular a
t121:
f- Triángulo equilátero ABC, l = 5 cm, calcular la altura.
T11:
Calcular el
valor de la
hipotenusa
T12:
Calcular el
valor de la
altura
G1:
Calcular
G1:
Calcular
reemplazar los
valores para
hallar lo que
está faltando
τ111:
Realizar una
figura de
análisis y
reemplazar los
valores para
hallar lo que
está faltando
τ121:
Realizar una
figura de
análisis y
reemplazar los
valores para
hallar lo que
está faltando
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
θ121:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
t121:
g- Calcular el área del trapecio ABCD con los datos de la figura.
T12:
Calcular el
área
G1:Calcular
τ121:
Reemplazar los
valores teniendo
en cuenta la
figura de
análisis
θ121:
Técnica que se
utiliza para hallar el
valor que falta
101
t121:
h- Hallar la expresión del área de un cuadrado conociendo su
diagonal.
t111:
i- Rectángulo ABCD, AB = 3 cm, BD = 5 cm, calcular AC
t111:
j- Cuadrado ABCD de lado = 10 cm, calcular la diagonal.
T12:
Calcular la
expresión del
área
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
G1:
Calcular
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ121:
Realizar una
figura de
análisis para
luego armar la
expresión de
cálculo
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
halla el lado que
falta
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ121:
Técnica que permite
hallar la expresión
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
102
t111:
k- Rombo ABCD de lado = 5 cm y una diagonal = 6 cm.
Calcular la otra diagonal.
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
G1:
Calcular
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
Matemática 8 t111:
a- En la figura vemos los triángulos rectángulos que conocían
los antiguos egipcios e hindúes.
I: calculen las medidas a y b.
II: escriban las dimensiones de otro triángulo rectángulo de
lados enteros.
T11:
Calcular el
valor de los
lados
G1:
Calcular
τ111:
Ubicar los datos
y reemplazar en
la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado que falta
t121:
b- Calcular el área del rombo
T12:
Calcular el
área
G1:
Calcular
τ121:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar lo que
está faltando
θ121:
Técnica que permite
hallar el valor de lo
que se está buscando
103
Matemática 1 t111:
a- Un poste telefónico de 8 m esta sostenido, en posición
vertical, por un cable de acero tirante, de 10 m, sujeto al
extremo del poste y al piso. ¿a qué distancia de la base del
poste está sujeto el otro extremo del cable?
t111:
b- Eliana camina 2 km al norte, luego 5 al este; vuelve a marchar
hacia el norte otros 4 km y finalmente retoma el rumbo este
para recorrer 3 km más. Calculen la distancia entre el punto
de partida y el de llegada.
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
Esta técnica permite
encontrar el dato que
está faltando
θ111:
Esta técnica permite
encontrar el dato que
está faltando
t111:
c- Calculen el perímetro de un cuadrado sabiendo que su
diagonal mide 3 cm,
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
Esta técnica permite
encontrar el dato que
está faltando
104
Matemática
II
t111:
a- Calcular la longitud del segmento verde
t111:
b- Hallar la longitud del segmento am
T11: Calcular
el valor del
lado
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ111: Reemplazar
en la fórmula
pitagórica el
valor de los
lados para hallar
el que falta
τ111:
Reemplazar en
la fórmula
pitagórica el
valor de los
lados para hallar
el que falta
θ111: Esta técnica
permite encontrar el
dato que está
faltando
θ111:
Esta técnica permite
encontrar el dato que
está faltando
t111:
c- Una escalera de 10 m de largo se apoya contra una pared con
una separación de 6 m. ¿A qué altura de la pared llega la
escalera?
t111:
d- Una antena de 84 m está sostenida desde su extremo por un
tensor de 91 m. ¿A qué distancia de la antena se sujetó el
tensor?
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y luego
θ111:
Esta técnica permite
encontrar el dato que
está faltando
θ111:
Esta técnica permite
encontrar el dato que
está faltando
105
t211:
e- Aplicar la propiedad pitagórica y clasificar los siguientes
triángulos.
T21:
Identificar los
triángulos
G2:
Identificar
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar el valor
que falta
τ211:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
clasificarlos
según sus
propiedades
θ211:
Técnica que permite
saber de qué
triángulo se trata
Matemática –
Estadística y
probabilidad
8
t111:
a- Calculen el valor del lado faltante en cada uno de los
siguientes triángulos rectángulos.
t111:
b- Obtengan el valor de la hipotenusa en cada uno de los
siguientes triángulos rectángulos.
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor de la
hipotenusa
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado desconocido
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado desconocido
106
t111:
c- Unan con una flecha cada triángulo con el valor del lado
desconocido.
t511:
d- Construyan, utilizando regla y escuadra.
I: un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 5 cm y 6 cm.
II: un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan 4,5 cm.
t111:
e- Calculen.
I: la medida de ab.
T11:
Calcular la
medida de un
lado
T51:
Construir
triángulos
T11:
Calcular los
lados que
faltan
G1:
Calcular
G5:
Construir
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ511:
Construir con
elementos de
geometría
triángulos donde
además se puede
tener en cuenta
la fórmula
pitagórica para
saber si es o no
posible
τ111:
Teniendo en
cuenta las
figuras de
análisis,
reemplazar los
datos en la
fórmula
correspondiente
para hallar lo
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor del
lado desconocido
θ511:
Técnica que permite
saber si es o no
posible su
construcción
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor de los
lados que faltan
107
II: la medida de qp.
III: la medida de ap y pb.
que se pide en
cada caso
t111:
f- Calcule el elemento pintado de rojo.
T11: Calcular
el valor del
lado
G1: Calcular
τ111: Teniendo
en cuenta las
figuras de
análisis
θ111: Técnica que
permite hallar el
valor que se
desconoce
108
t111:
g- Hagan el dibujo y resuelvan los siguientes problemas.
I: en un triángulo isósceles, sus lados iguales miden 6 cm y la base
10 cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo?
II: a un terreno rectangular de 6 m por 8 m se lo quiere dividir
diagonalmente con alambre. ¿Cuántos metros de alambre se
necesitan?
III: una franja de color rojo atraviesa diagonalmente un azulejo
cuadrado de 3 cm de lado. ¿Cuántos cm mide la franja?
IV: para que una palmera de 3 m de altura no se tuerza, le ataron
desde la punta de la copa una cuerda de 5 m con una estaca en la
tierra. ¿Qué distancia hay del pie de la palmera a la estaca?
T11:
Calcular el
valor de cada
lado
G1:
Calcular
reemplazar la
fórmula
pitagórica para
encontrar el
valor de cada
lado
τ111:
Realizar la
figura de
análisis
correspondiente
a cada caso,
ubicar los datos
y reemplazar en
la fórmula
correspondiente
ara hallar lo que
se pide en cada
caso
θ111:
Técnica que permite
trabajar y hallar cada
uno de los lados a
identificar
Matemática 8 t111:
a- Dados los siguientes triángulos rectángulos, hallar el lado que
falta.
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
De esta manera se
puede hallar el lado
que se desconoce
109
t111:
b- Si un cuadrado tiene lado 3 dm. ¿cuánto mide su diagonal?
t111:
c- En un rectángulo de altura 7 cm y base el doble de la altura.,
¿Cuánto mide la diagonal?
t111:
d- Se tiene un rectángulo de lados 6 cm y 8 cm:
I: calcula la distancia entre el centro del rectángulo y cada uno de
los vértices.
II: ¿cuál es el perímetro de cada uno de los triángulos en que
queda dividido el rectángulo por sus diagonales?
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
T11:
Calcular el
valor que
falta
G1:
Calcular
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
que se
desconoce
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
θ111:
De esta manera se
puede hallar el lado
que se desconoce
θ111:
De esta manera se
puede hallar el lado
que se desconoce
θ111:
De esta manera se
puede hallar el lado
que se desconoce
110
t111:
e- En un cuadrado de lado l, la distancia entre el centro y un
vértice es 3√2 dm. ¿cuánto mide l?
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
que se
desconoce
τ111:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
que se
desconoce
θ111:
De esta manera se
puede hallar el lado
que se desconoce
Matemática 2 t111:
a- Realicen la figura de análisis y respondan
I: ¿Cuál es la altura de un rectángulo cuya base mide 20 cm y su
diagonal, 25 cm? ¿Y el área?
II: ¿Cuál es la diagonal de un rectángulo cuya base mide 8 cm y su
perímetro, 28 cm?
T11:
Calcular el
valor del lado
que falta
G1:
Calcular
τ111:
Realizar la
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
correspondiente
para hallar lo
que se busca
θ111:
Técnica que se
emplea para hallar lo
que se desconoce en
cada caso
t111:
b- En un triángulo isósceles cada uno de sus lados congruentes
es 2 cm más largo que el lado desigual y su perímetro es de 85
cm. Calculen la longitud de cada lado.
T11:
Calcular la
longitud de
cada lado
G1:
Calcular
τ111:
Realizar la
figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazar en la
fórmula
correspondiente
para hallar lo
que se busca
θ111:
Técnica que se
emplea para hallar lo
que se desconoce en
cada caso
111
Matemática 8
– Estadística
y
probabilidad
en estudio
t111:
a- Señalen con un color la hipotenusa da cada triángulo y
calculen el valor de x
t121:
b- Lean atentamente cada solución y señalen, los errores en el
procedimiento.
Enunciado: Calcular el perímetro del triángulo bac rectángulo (a
es el ángulo recto)
Datos: bc = 7 cm y ac = 5 cm
t111:
c- Si se tienen 2 varillas de 2 m y 3 m de longitud, ¿cuánto debe
medir como máximo una tercera varilla para poder formar un
triángulo? ¿cuánto puede medir la tercera varilla si el
triángulo debe ser rectángulo? ¿existe una única posibilidad?
T11:
Calcular el
valor del lado
T12:
Verificar la
solución y
calcular el
perímetro
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
G1:
Verificar y
calcular
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
valores dados en
la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ121:
Reemplazar
nuevamente los
valores para
encontrar el
error
τ111:
Realizar una
figura de
análisis y
reemplazar en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111: Técnica que se
emplea para calcular
el lado que falta
θ121:
Técnica que se
emplea para
determinar la verdad
o falsedad en cada
caso
θ111:
Técnica que permite
hallar el lado que
falta
t111:
d- Observen el plano de la plaza y calculen cuántos metros debe
caminar por la diagonal una persona que está en A para llegar
a B.
T11:
Calcular el
lado que falta
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar en
la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
Técnica que permite
hallar el lado que
falta
112
Matemática 7
– Estadística
y
Probabilidad
en estudio
t411:
a- Coloquen una cruz en el grupo que puede representar los
lados de un triángulo rectángulo
t111:
b- Calculen el valor de x e y. Escriban la medida de los lados
desconocidos.
t111:
c- Un poste de 4m de altura está sostenido por un cable de acero
tirante de 5 m de longitud sujeto al extremo del poste y al
piso. ¿A qué distancia de la base del poste está sujeto el otro
extremo del cable?
T41:
Comprobar
las ternas
T11:
Calcular el
valor de los
lados
T11:
Calcular el
valor del lado
G4:
Comprobar
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ411:
Reemplazar en
la fórmula
pitagórica para
determinar si es
posible la
construcción de
cada triángulo
τ111:
Reemplazar en
la fórmula
pitagórica para
hallar el valor
que falta
τ111:
Reemplazar en
la fórmula
pitagórica para
θ411:
Técnica que permite
determinar si es o no
posible la
construcción de cada
uno
θ111:
Técnica que permite
encontrar el valor del
lado que se
desconoce
θ111:
Técnica que permite
encontrar el valor del
113
hallar el valor
que falta
lado que se
desconoce
t111:
d- Mercedes participa de una competencia en bicicleta y debe
recorrer un circuito como se indica en el esquema. Si pudiese
desplazarse en línea recta desde el punto de partida hasta el
punto de llegada, ¿cuántos km menos podría recorrer?
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
valores dados en
la fórmula para
obtener el lado
que falta
θ111:
Técnica que permite
obtener el lado que
está faltando
Matemática
II –
Actividades
Clave
t121:
a- La pirámide de Kefrén tiene 144 m de altura, y una base
cuadrada de 216 m de lado. Calculen su superficie lateral.
T12:
Calcular la
superficie
lateral
G1:
Calcular
τ121:
Realizar una
figura de
análisis, ubicar
los datos en la
misma y luego
reemplazarlos
en la fórmula
correspondiente
para hallar los
valores que
faltan
θ121:
Técnica que permite
hallar el valor que se
desconoce
114
t111:
b- En la figura vemos los triángulos rectángulos que conocían
los antiguos egipcios e hindúes.
I: Calculen las medidas a y b
II: Escriban las dimensiones de otro triángulo rectángulo de lados
enteros
T11:
Calcular el
valor de los
lados
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar los lados
que faltan
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor que se
desconoce
t121:
c- Calculen el área del rombo
T12:
Calcular el
área
G1:
Calcular
τ121:
Reemplazar los
datos en la
fórmula para
encontrar el lado
que falta
θ121:
Técnica que se
emplea para hallar el
lado que se
desconoce
Matemática I
– Actividades
Clave
t111:
a- En el triángulo pqr el ángulo q es recto. Completen la tabla
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula para
encontrar el lado
que falta
θ111:
Técnica que se
emplea para hallar el
lado que se
desconoce
t121:
b- El rectángulo tiene 6 cm de ancho y 15 cm de largo. Hemos
recortado un triángulo y nos quedó sólo la parte verde.
Calculen al área de la superficie verde.
T12:
Calcular el
valor del área
G1:
Calcular
τ121:
Colocar los
datos sobre la
figura de
θ121:
Técnica que se
emplea para hallar el
115
análisis para
hallar mediante
el reemplazo de
la fórmula los
lados que faltan
lado que se
desconoce
Matemática 2 t111:
a- Calculen, en cada triángulo rectángulo, el lado indicado con
una letra.
t111:
b- Calculen el lado indicado con una letra en cada figura.
Escriban lo que usan para calcularlos.
t221:
c- ¿Se puede armar un triángulo rectángulo con tres segmentos
que miden 65 cm, 16 cm y 63 cm? Expliquen por qué. En
caso afirmativo, determinen cuál sería la hipotenusa del
triángulo.
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor del lado
T22:
Identificar el
valor de los
lados
G1:
Calcular
G1:
Calcular
G2:
Identificar
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
τ221:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ111:
Técnica que se
emplea para hallar el
lado que se
desconoce
θ111:
Técnica que se
emplea para hallar el
lado que se
desconoce
θ221:
Técnica que se
emplea para hallar el
lado que se
desconoce
116
t111:
d- I: Martín tiene un triángulo rectángulo y construye otro
triángulo rectángulo en el que uno de los catetos mide el
doble del anterior y el otro queda igual. ¿Es cierto que la
hipotenusa mide el doble? ¿Por qué?
II: Ezequiel tiene un triángulo rectángulo y construye otro
triángulo rectángulo en el que los dos catetos miden el doble del
anterior. ¿Es cierto que la hipotenusa mide el doble? ¿Por qué?
III: Sebastián tiene un triángulo rectángulo y construye otro en el
que la hipotenusa mide el doble de la hipotenusa anterior. ¿Es
cierto que los catetos también miden el doble? ¿Por qué?
IV: ¿La relación entre la hipotenusa de un triángulo rectángulo y
sus catetos es de proporcionalidad directa? ¿Por qué?
t331:
e- Para averiguar la medida de un triángulo rectángulo, Manuel
hace esta cuenta: a = √3252 - 362
I: ¿El lado a es un cateto o la hipotenusa? ¿Por qué?
II: ¿Qué lados del triángulo se dieron como dato?
III: ¿Cuánto mide cada lado del triángulo?
IV: Contesten las preguntas anteriores si en lugar de esa cuenta,
Manuel hubiera hecho a = √3252 + 362
t111:
f- Dos lados de un triángulo rectángulo miden 10 m y 15 m.
¿Cuánto mide el tercer lado? ¿Hay una sola opción? ¿Por
qué?
T11:
Calcular el
valor de los
lados
T33:
Determinar a
qué lados
corresponden
los datos
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
G3:
Determinar
G1:
Calcular
τ111:
Realizar figuras
de análisis para
cada situación,
colocar los
valores que
tenemos como
dato y luego
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar lo que se
desconoce
τ331:
Realizar figuras
de análisis a
modo de ayuda,
ubicar los datos
y determinar
reemplazando
en la fórmula
correspondiente
de que lados se
está hablando
τ111:
Realizar figuras
de análisis para
ubicar los datos
θ111:
Técnica que permite
hallar los valores
desconocidos
θ331:
Técnica que permite
reconocer el valor de
cada lado
θ111:
De esta manera se
puede hallar el valor
117
t111:
g- Un barco sale del puerto de Buenos Aires. Viaja 200 km al
norte, luego 300 km al este y para en una isla. ¿A qué
distancia del puerto de Buenos Aires está la isla?
t111:
h- Una escalera de pintor permite llegar a una altura de 6 m con
una abertura máxima de 2 m. Cada dos escalones, hay una
distancia de 30 cm. ¿Cuántos escalones pueden colocarse de
cada lado?
t121:
i- Calculen el área y el perímetro de un triángulo rectángulo si la
hipotenusa mide 30 cm y un cateto es el doble del otro.
Expliquen como hicieron para calcularlos.
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor del lado
T12:
Calcular área
y perímetro
G1:
Calcular
G1:
Calcular
G1:
Calcular
y luego
reemplazar la
información en
la fórmula
pitagórica
τ111:
Realizar figuras
de análisis para
ubicar los datos
y luego
reemplazar la
información en
la fórmula
pitagórica
τ111:
Realizar figuras
de análisis para
ubicar los datos
y luego
reemplazar la
información en
la fórmula
pitagórica
τ121:
Realizar figuras
de análisis para
ubicar los datos
y luego
reemplazar la
información en
la fórmula
pitagórica
del lado que se
desconoce
θ111:
De esta manera se
puede hallar el valor
del lado que se
desconoce
θ111:
De esta manera se
puede hallar el valor
del lado que se
desconoce
θ121:
De esta manera se
puede hallar el valor
del lado que se
desconoce
118
t321:
j- Indiquen con cuáles de estas medidas es posible construir un
triángulo rectángulo. Expliquen por qué.
t121:
k- Calculen el área de un triángulo equilátero de 5 cm de lados.
Explique qué hacen para calcularlos.
t111:
l- Martín necesita colgar un cuadro sobre la pared a 5 m del
piso. Para poder martillar cómodamente necesita que la
escalera quede ubicada de modo que él esté 1,5 m más arriba.
Si consigue una escalera de 6 m de alto, ¿a qué distancia de la
intersección entre el piso y la pared debe ubicarla?
T32:
Determinar si
es posible la
construcción
del triángulo
T12:
Calcular el
área
T11:
Calcular el
valor del lado
G3:
Determinar
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ321:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
saber si es
posible la
construcción de
cada triángulo
rectángulo
según los datos
de cada terna
τ121:
Realizar una
figura de
análisis y luego
ubicar los datos
para ser
reemplazados en
la fórmula
pitagórica
τ111:
Realizar una
figura de
análisis y luego
ubicar los datos
para ser
reemplazados en
la fórmula
pitagórica
θ321:
Técnica que permite
saber si es o no
posible la
construcción
θ121:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
θ111:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
119
t111:
m- Calculen el valor de x en esta figura.
t111:
n- En esta figura, AB = 7 cm, AD = 9 cm y CD es el doble de
BD. Encuentren la medida del lado AC.
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar lo
desconocido
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar lo
desconocido
θ111:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
θ111:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
t111:
o- Calculen los lados de cada uno de estos cuadriláteros
I: ABCD romboide. AC = 50 cm, BD = 20 cm, AOB triángulo
isósceles
II: ABCD rectángulo. AB es el doble que AD y AC = 25 cm
t111:
p- ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo que tiene un área
de 49 cm2 y cuya base es 4/9 de la altura? ¿Por qué?
T11:
Calcular el
valor de los
lados
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar lo
desconocido
τ111:
Realizar una
figura de
análisis a modo
de ayuda, ubicar
θ111:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
θ111:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
120
t121:
q- La diagonal de un cuadrado es 3 unidades mayor que la altura.
¿Cuánto mide la altura del rectángulo si la base mide 12 cm?
¿Por qué?
t121:
r- Calculen el perímetro y el área del romboide ABCD del cual
se sabe que BO = AC, BC = 10 cm y la diagonal menor es un
tercio de la mayor.
T12:
Calcular el
valor de la
altura
T12:
Calcular el
valor del área
y perímetro
G1:
Calcular
G1:
Calcular
los valores y
luego
reemplazar en la
fórmula para
obtener los
valores
desconocidos
τ121:
Realizar una
figura de
análisis a modo
de ayuda, ubicar
los valores y
luego
reemplazar en la
fórmula para
obtener los
valores
desconocidos
τ121:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
encontrar el
valor del lado
que está faltando
θ121:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
θ121:
Técnica que permite
conocer el valor del
lado que falta
Matemática 3
- Tapia
t111: T11: G1:
Calcular
τ111: θ111:
121
a- De acuerdo con los datos calcula el valor de los lados
restantes.
Calcular el
valor del lado
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
encontrar el
valor del lado
que falta
Técnica que permite
halla el valor del
lado desconocido
t121:
b- Datos: ab = 20 m , ac = 30 m . Calcula el perímetro de abcd
t111:
c- Datos: ac = 18 cm , ab = 2 bc . Calcular ab y bc
T12:
Calcular el
perímetro
T11:
Calcular el
valor de los
lados
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ121:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
encontrar el
valor del lado
que falta
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
encontrar el
valor del lado
que falta
θ121:
Técnica que permite
halla el valor del
lado desconocido
θ111:
Técnica que permite
halla el valor del
lado desconocido
Matemática
II – Para
resolver
problemas
t331:
a- Si tres números naturales pueden ser las medidas de los lados
de un triángulo rectángulo, forman una terna pitagórica. Un
ejemplo de esto son los números 3, 4 y 5, porque 32 + 42 = 52.
¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas?
T33:
Determinar
las ternas
pitagóricas
G3:
Determinar
τ331:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
encontrar el
θ331:
Técnica que permite
halla el valor del
lado desconocido
122
t111:
b- ¿cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus
catetos son de 40 cm y 9 cm, respectivamente?
t111:
c- Calcula la longitud del lado B con los datos de la figura.
t111:
d- Andrea hace este cálculo para hallar el lado desconocido de
un triángulo rectángulo: x = √372 - 352
I: ¿Las medidas de qué lados del triángulo conoce Andrea?
II: ¿Qué lado calcula? ¿Cuánto mide?
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor del lado
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
G1:
Calcular
G1:
Calcular
valor del lado
que falta
τ111:
Realizar una
figura de
análisis a modo
de ayuda, ubicar
los datos y
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar los
valores que se
desconocen
τ111:
Reemplazar los
datos de la
figura en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
del lado que
falta
τ111:
Realizar una
figura de
análisis a modo
de ayuda, ubicar
los datos y
θ111:
Técnica que permite
halla el valor del
lado desconocido
θ111:
Técnica que permite
halla el valor del
lado desconocido
θ111:
Técnica que permite
halla el valor del
lado desconocido
123
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar los
valores que se
desconocen
t321:
e- I: ¿Qué clase de triángulos quedan determinados al trazar una
de las diagonales de un rectángulo?
t111:
f- II: Dibuja un rectángulo de 6 cm de base y 4 cm de altura.
Calcula la medida de su diagonal aplicando el teorema de
Pitágoras. Redondea el resultado a los décimos.
g- III: Medí con la regla y verifica si la longitud de la diagonal
coincide con el resultado que obtuviste.
t111:
h- Las diagonales de un rombo miden 12 m y 16 m,
respectivamente. ¿Podes calcular la medida del lado?
T32:
Determinar la
figura
obtenida
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
T11:
Calcular la
medida del
lado
G3:
Determinar
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ321:
Realizar una
figura de
análisis para
comprobar los
resultados
τ111:
Reemplazar los
valores en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que está faltando
τ111:
Con ayuda de
una figura de
análisis, ubicar
los datos y
reemplazarlos
en la fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ321:
Técnica que permite
obtener la figura con
sus propiedades
θ111:
Técnica que permite
encontrar el lado
desconocido
θ111:
Técnica que permite
encontrar el lado
desconocido
124
Matemática I
– Nueva
carpeta
t111:
a- Calculen el largo aproximado de la parte verde del tobogán.
t311:
b- Una escalera de 2,5 m está apoyada en una pared, separada
1,5 m del zócalo y llega a una altura de 1,8 m. Averigüen si la
pared fue construida en escuadra, es decir, si la pared y el piso
forman un ángulo recto.
t111:
c- Los chicos de 7º A formaron un equipo de fútbol para jugar
contra 7º B. Como no querían gastar tanto en camisetas,
decidieron comprar remeras blancas y colocares una banda de
color cruzada en el frente y en la espalda. ¿Cuántos metros de
cinta hay que comprar, aproximadamente, para las 10
camisetas del equipo?
T11:
Calcular el
valor del lado
T31:
Determinar si
se trata de un
triángulo
rectángulo
T11:
Calcular los
metros de
cinta
G1:
Calcular
G3:
Determinar
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos de la
figura en la
fórmula
correspondiente
para hallar el
lado que falta
τ311:
Reemplazar los
datos de la
figura en la
fórmula
correspondiente
para saber si se
trata de una
terna pitagórica
τ111:
Reemplazar los
datos de la
figura en la
fórmula
correspondiente
para saber los
metros que se
necesitan
θ111:
Técnica que permite
encontrar el lado
desconocido
θ311:
Técnica que permite
saber si cumple o no
con las propiedades
θ111:
Técnica que permite
hallar el valor de los
lados para
determinar la
cantidad de cinta
125
t421:
d- ¿Cuál de los siguientes cálculos permite hallar la altura de un
triángulo equilátero de 6 cm de lado?
t111:
e- Tomen la figura como referencia y completen la siguiente
tabla.
T42:
Comprobar
las ternas
pitagóricas
T11:
Calcular el
valor del lado
G4:
Comprobar
G1:
Calcular
τ421:
Reemplazar los
datos de la
figura en la
fórmula
pitagórica para
determinar si
son ternas
τ111:
Reemplazar los
valores en la
fórmula
pitagórica para
hallar el lado
que falta
θ421:
Técnica que permite
saber si se trata o no
de triángulos
rectángulos
θ111:
De esta manera se
permite hallar el
valor del lado
desconocido
t111:
f- Respondan a las siguientes preguntas
I: ¿A qué altura está el barrilete?
II: ¿Y el asiento de la hamaca?
T11:
Calcular el
valor de los
lados
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar las
medidas en la
fórmula
correspondiente
para hallas los
lados que faltan
θ111:
De esta manera se
permite hallar el
valor del lado
desconocido
126
t121:
g- Realicen los cálculos necesarios para hallar:
I: El área de un triángulo isósceles de 26 cm de perímetro cuya
base mide 6 cm.
II: El perímetro de un trapecio isósceles de 18,75 cm2 de área,
cuyas bases miden 4 cm y 8,5 cm, respectivamente.
III: La medida de la apotema de un hexágono regular de 1 cm de
radio.
T12:
Calcular el
valor del área,
perímetro y
apotema
G1:
Calcular
τ121:
Reemplazar las
medidas en la
fórmula
correspondiente
para hallas los
lados que faltan
θ121:
De esta manera se
permite hallar el
valor del lado
desconocido
Matemática
Dinámica 3
t111:
a- Completar la siguiente tabla
T11:
Calcular el
valor del lado
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
del lado que
falta en cada
caso
θ111:
Técnica que permite
encontrar el lado
desconocido
t111:
b- Calcular la diagonal de un rectángulo de 58 cm de perímetro y
10 cm de altura.
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
G1:
Calcular
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
del lado que
falta
θ111:
Técnica que permite
encontrar el lado
desconocido
127
t121:
c- Calcular el área de un rectángulo cuya diagonal mide 53 y
uno de sus lados mide 36.
t111:
d- Se sabe que los lados de un campo rectangular miden 150 m y
78 m, respectivamente. ¿Cuántos metros tiene la diagonal?
T12:
Calcular el
valor del área
T11:
Calcular el
valor de la
diagonal
G1:
Calcular
G1:
Calcular
τ121:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
del lado que
falta
τ111:
Reemplazar los
datos en la
fórmula
pitagórica para
hallar el valor
del lado que
falta
θ121:
Técnica que permite
encontrar el lado
desconocido
θ111:
Técnica que permite
encontrar el lado
desconocido