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Introducción Circuitos Bloques

Organización del Computador 1Lógica Digital 1: álgebra de Boole y compuertas

Dr. Ing. Marcelo Risk

Departamento de ComputaciónFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Septiembre 2009

Dr. Ing. Marcelo Risk Organización del Computador 1 Lógica Digital 1: álgebra de Boole y compuertas

Introducción Circuitos Bloques Álgebra de Boole

Lógica digital

La computadoras necesitan almacenar datos e instruccionesen memoria.

Sistema binario: solo dos estados posibles.

Porqué?Es mucho más sencillo identificar entre sólo dos estados.Es menos propenso a errores



Diseño de circuitos

Circuitos que operan con valores lógicos:Verdadero = 1Falso = 0

Idea: realizar diferentes operaciones lógicas y matemáticascombinando circuitos.



Álgebra de Boole

Figura: George Boole (1815-1864).

George Boole, desarrolló unsistema algebraico paraformular proposiciones consímbolos.

Su álgebra consiste en unmétodo para resolver problemasde lógica que recurre solamentea los valores binarios:

verdadero y falso.on y off.1 y 0.

tres operadores:AND (y).OR (y).NOT (no).



Álgebra de Boole

Las variables Booleanas sólo toman los valores binarios: 1 ó 0.

Una variable Booleana representa un bit que quiere decir:Binary digIT



Operadores básicos: AND

Un operador booleano puede ser completamente descriptousando tablas de verdad.

El operador AND es conocido como producto booleano (.):

X Y X AND Y0 0 00 1 01 0 01 1 1



Operadores básicos: OR

El operador OR es conocido como producto booleano (+):

X Y X OR Y0 0 00 1 11 0 11 1 1



Operadores básicos: NOT

El operador NOT se nota con una barra X :

X X0 11 0



Funciones booleanas

Tabla de verdad de esta función F(x,y,z) = xz+y

El NOT tiene mayor precedencia que todos

El AND mayor que el OR

x y z z xz xz+y0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 1 0 1 0 10 1 1 0 0 11 0 0 1 1 11 0 1 0 0 01 1 0 1 1 11 1 1 0 0 1



Identidades

Identidad 1.A = A 0+A = ANula 0.A = 0 1+A = AIdempotencia A.A = A A+A = AInversa A.A = 0 A+A = 1Conmutativa A.B = B.A A+B = B+AAsociativa (A.B).C = A.(B.C) (A+B)+C = A+ (B+C)Distributiva A+B.C = (A+B).(A+C) A.(B+C) = A.B+A.CAbsorción A.(A+B) = A A+A.B = Ade Morgan A.B = A+B A+B = A.B



Identidades: ejemplo de aplicación

Usando identidades booleanas podemos reducir esta función:F(x,y,z) = (x+y).(x+y).(x.z)

(x+y)(x+y)(x+z) de Morgan(xx+xy+yx+yy)(x+z) Distributiva(x+xy+yx+0)(x+z) Idempotencia e inversa(x+x(y+y))(x+z) Nula y distributiva(x)(x+z) Inversa, identidad y nulaxx+xz Distributivaxz Inversa e identidad



Fórmulas equivalentes

Varias fórmulas pueden tener la misma tabla de verdad:Son lógicamente equivalentes.

En general se suelen elegir las formas canónicasSuma de productos:

F1(x,y,z) = xy+zx+yz

Producto de sumas:F2(x,y,z) = (x+y)(z+x)(y+z)



Suma de productos

Es fácil convertir una función auna suma de productos usandola tabla de verdad.

Elegimos los valores que dan 1 yhacemos un producto (AND) dela fila (negando si aparece un0)?.

Luego sumamos todo (OR):

x y z xz+y0 0 0 00 0 1 0

→ 0 1 0 1 ←→ 0 1 1 1 ←→ 1 0 0 1 ←

1 0 1 0→ 1 1 0 1 ←→ 1 1 1 1 ←

F(x,y,z) = (xyz)+ (xyz)+ (xyz)+ (xyz)+ (xyz)



Circuitos booleanos

Las computadores digitales contienen circuitos queimplementan funciones booleanas.

Cuando más simple la función más chico el circuito:Son más baratos, consumen menos, y son mas rápidos!

Podemos usar las identidades del algebra de Boole parareducir estas funciones.



Compuertas lógicas

Una compuerta es un dispositivo electrónico que produce unresultado en base a un conjunto de valores de valores deentrada:

En realidad, están formadas por uno o varios transitores, perolo podemos ver como una unidad.Los circuitos integrados contienen colecciones de compuertasconectadas con algún propósito.



Compuertas lógicas

Las más simples: AND, OR, y NOT:

Se corresponden exactamente con las funciones booleanasque vimos.



Compuertas lógicas

Una compuerta muy útil: el OR exclusivo => XOR

La salida es 1 cuando los valores de entrada difieren.



Implementación de funciones booleanas

Combinando compuertas se pueden implementar funcionesbooleanas.

Este circuito implementa la siguiente función: F(x,y,z) = x+yz



Ejemplo: función mayoría



Compuertas lógicas combinadas

NAND y NOR son doscompuertas lógicascombinadas.

Con la identidad deMorgan se puedenimplementar con AND uOR.

Son más baratas ycualquier operaciónbásica se puederepresentar usándolascualquiera de ellas (sinusar la otra)?.



NAND y NOR



Ejemplos

NOT usando NAND: simplemente unir las dos entradas.

Utilizando solo NAND o NOR realizar circuitos con la mismafuncionalidad que el AND y OR.



Circuitos combinatorios

Producen una salida específica al (casi) instante que se leaplican valores de entrada.

Implementan funciones booleanas.

La aritmética y la lógica de la CPU se implementan con estoscircuitos.



Sumador

Como podemos construir uncircuito que sume dos bits X e Y?

F(X ,Y ) = X +Y (sumaaritmética)

Que pasa si X = 1 e Y = 1?

X Y Suma carry0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 0 1



Semi-Sumador

Podemos usar un XOR para lasuma y un AND para el carry.

A este circuito se lo llamasemi-sumador.



Sumador

Co 1X 1Y 1

1 0

sumadorX

Y

Ci

Co



Sumador: estructura interna

Semisumador

X

Y

Ci

Co

Semisumador

C

C

X

Y



Sumador: estructura interna y tabla de verdad

X Y Ci Suma Co0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1



Sumador de 4 bits

A4 A3 A2 A1

+ B4 B3 B2 B1

C5 C4 C3 C2 C1

A1

B1

AsSS

AsS

AsS

Ae

AsS

Ae

AeA2B2

A3B3

A4B4

C1

C2

C3

C4

C5



Decodificadores

Los decodificadores de n entradas pueden seleccionar una de2n salidas.

Son ampliamentes utilizados.

Por ejemplo:Seleccionar una locación en una memoria a partir de unadirección colocada en el bus memoria.



Decodificadores: ejemplo

Decodificador 2-a-4:



Multiplexores

Selecciona una salida a de variasentradas.

La entrada que es seleccionadacomo salida es determinada porlas líneas de control.

Para seleccionar entre nentradas, se necesitan log2nlíneas de control.

DemultiplexorExactamente lo contrario almultiplexor.Dada una entrada ladirecciona entre n salidas,usando log2n líneas decontrol.



Multiplexor: ejemplo

Multiplexor 4-a-1:



Función mayoría



Función mayoría con multiplexor



Ejemplo

Construir una ALU de 1 bit.

3 entradas:A, B, carry.

4 operaciones:A.B, A+B, NOT B, Suma(A,B,Carry).

Salidas:Resultado, Carry out.



ALU de 1 bit



ALU de 8 bits



Memoria ROM

Entradas SalidasI4 I3 I2 I1 I0 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 00 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 10 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 10 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0

. .

. .

. .1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1



ROM con decoder


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