Sistemas de Orden Superior

Sistemas de orden superior

Introducción

• Los sistemas de orden superior contienen ceros y polos adicionales que afectan al comportamiento tanto en régimen transitorio como permanente.

Sistemas de orden superior

Sistemas de segundo orden con polo adicional

• La función de transferencia de un sistema de segundo orden con polo adicional es la siguiente:

( )H ss s bs

n

n n

( ) =+ + +

ωξ ω ω

2

2 22

1

1Im(s)

Re(s)

P1

P2

-1/bo

σ

θ θp

ωd

P3

Sistemas de orden superior

• La respuesta transitoria viene dada por la siguiente expresión:

• Que podemos comparar con la de un sistema de segundo orden puro.

( ) ( )[ ]ptd

t

etsene

ty θθθθθωθ

σσ

2pp2

sensensen

1)( −−

++++−=

( )

+

−−= − θω

ξω σ tseneKty d

tn

211)(

Sistemas de orden superior

• Su efecto sobre la respuesta transitoria dependerá de la posición relativa del nuevo polo con respecto al par de polos complejos conjugados:

Sistemas de orden superior

Respuesta transitoria de sistemas de orden superior

• Partimos de una función de transferencia genérica del tipo:

on

nn

n

om

mm

m

asasasa

bsbsbsbsH

++++++++= −

−

−−

11

1

11

1)(

( )( )

H s K

s z

s p

jj

m

ii

n( ) =+

+

=

=

∏

∏1

1

Sistemas de orden superior

• Separando polos en el origen, polos reales y polos complejos queda:

• Y descomponiendo en fracciones simples:

( )( ) ( ) ( )

H s K

s z

s s s j s j

jj

m

lh k k k k

hh

qh k k

( ) =−

− − + − −

=

==

∏

∏∏1

11

σ α ω α ωυ λ λ

γ

( ) ( ) ( )H s

A

s

B

s

C

s j

C

s j

uu

u

lhu

h

uuh

qku

k k

uuk

ku

k k

u

h k

( )*

= +−

+− +

+− −= == ==

∑ ∑∑ ∑∑1 11 11σ α ω α ω

υ λγ

Sistemas de orden superior

• Agrupando términos:

• Con lo que estos sistemas pueden verse como una combinación de sistemas de primer y segundo orden.

( ) ( )( )H s

A

s

B

s

M s N

s s

uu

u

lhu

h

uuh

qku ku

k k k

uuk

h k

( ) = +−

++

− + += == ==∑ ∑∑ ∑∑

1 11 2 2 211 2σ α ω α

υ λγ

Sistemas de orden superior

• La respuesta ante escalón vendrá dada por Y(s)=H(s)/s. Descomponiendo en fracciones simples:

( ) ( )

( ) ( )∑

∑∑∑∑∑

+−−

+

+−+

−+=

= == ==

)(

)(

*

1 11 11

sUadebidosnostérmijs

P

js

P

s

N

s

MsY

ukk

ku

k uu

kk

kuq

h uu

h

hul

uuu

kh

ωα

ωασ

γ λυ

• Pasando al dominio temporal:

( ) ( )

( ) ( )( ) [ ]( )∑∑ ∑

∑ ∑∑

+−−

+

−+

−=

−−

= =

= =

−

=

−

)(Largcos!1

2

!1!1)(

1-1

1 1

1 1

1

1

1

sUadebidosnostérmiPetu

P

etu

Nt

u

Mty

kuktu

k u

u

ku

q

h u

uhul

u

uu

k

k

h

h

ωαγ λ

υσ

Sistemas de orden superior

Sistemas de orden reducido

• En algunos casos, los sistemas de orden superior pueden simplificarse para dar lugar a sistemas de orden inferior más fáciles de analizar.

– A) Dominancia: Polos y ceros alejados.– B) Cancelaciones: Pares de polos y ceros próximos.

Sistemas de orden superior

• A) Polos dominantes:

d

>10 d

Sistemas de orden superior

• B) Cancelaciones:

Sistemas de orden superior

• Hay que verificar analíticamente o por medio de simulaciones que la simplificación es admisible:

• Pueden imponerse condiciones al nuevo sistema.– P. E. garantizar el mismo comportamiento estático:

ssHsK

sssH eqeqss

1)(lim

1)(lim 00 →→ =

Sistema reducido