Optimización simultánea de

Varias Variables de respuesta

GEORGE DERRINGER

Laboratorios Batelle Columbus, 505 King Avenue, Columbus, Ohio 43201

RONALD SUICH

California State University, Fullerton, California 92634

Un problema que enfrenta la comunidad de desarrollo de producto es la selección de un conjunto de condiciones

lo que resultará en un producto con una conveniente combinación de propiedades. Esto es esencialmente una

problema de la optimización simultánea de varias variables de respuesta (lo deseable

combinación de propiedades) que dependen de un número de variables independientes o conjuntos de

condiciones. Harrington, entre otros, ha abordado este problema y ha presentado un desira

enfoque de la función de durabilidad. Este papel se modificar su enfoque e ilustrar cómo varios respuesta

variables pueden transformarse en una función de conveniencia, que puede ser optimizada por univariado

técnicas. Su uso será ilustrado en el desarrollo de un compuesto de caucho para neumáticos de las pisadas.

Introducción

A

problema común en el desarrollo de productos in

volves la selección de un conjunto de condiciones, la

X, lo que resultará en un producto con una deseable

combinación de propiedades, la Y Esencialmente, esto

se convierte en un problema en el optimiza simultánea

ción de la Y, o variables de respuesta, cada una de ellas

depende de un conjunto de variables independientes, Xl,

X 2, •••, Xp. Como ejemplo de la goma indus

prueba, considerar el problema de un compuesto de la banda de rodadura del neumático.

Aquí tenemos una serie de variables de respuesta, tal

como índice de abrasión de PICa, módulo de 200 por ciento, elon

tamiento en la rotura y dureza. Cada una de estas re

las variables de respuesta depende de la vari de ingrediente

ables, la x, como hidratada silano nivel, sílice

acoplador de nivel y azufre.Queremos seleccionar

los niveles de la x que maximizará la Y

Desafortunadamente, los niveles de la X s que maximizar YI

no podría incluso acercarse a maximizar Y2•

Una aproximación a este problema ha sido a través de

el uso de programación lineal. Hartmann y

Beaumont [3] y Nicholson y Pullen [5] detallada

esquemas de gramil optimización basados en el lineal

Dr. Derringer es Investigador Principal en el Batelle Mem

Instituto Orial.

Dr. Suich es profesor asociado en el Departamento de

Management Science.

Palabras clave: Conveniencia, multivariante, Opti

mization, regresión

modelo de programación. Sin embargo, un importante disadvan

Tage de estos esquemas es la filosofía que

se basan. Estos métodos implican la optimización

de la variable de respuesta de un sujeto a las limitaciones en

las restantes variables de respuesta. A menudo, sin embargo,

el objetivo es alcanzar el mejor equilibrio entre

varias variables de respuesta diferentes. En el desarrollo

un compuesto para manguera de radiador, por ejemplo, es

más realista para dar la absorción de agua, calor resist

Ance y resistencia a la tracción igual pesos en el

optimización que para optimizar la resistencia mientras

manteniendo las otras propiedades dentro de límites especificados.

Harrington [2] presentó un esquema de optimización

utilizando lo que llamó la función de deseabilidad.

Gatza y McMillan [1] dieron una ligera modificación

de la función de Harrington. Empleamos una diferente

forma de esta función e ilustrar su uso en la

ejemplo del desarrollo de un compuesto de caucho

para peldaños del neumático. Vamos a maximizar esta función

Utilice un método de búsqueda de patrón similar a ése pre

tantes por Hooke y Jeeves [4]. Además, también nos va parcela esta función de conveniencia contra dos

variables independientes con el tercer lugar en su

nivel óptimo.

Desarrollo

Supongo que cada una de las variables de respuesta k es reinterpretaron

calculado para las variables independientes de p por

i = 1,2,..., k

j = 1,2,... . , ni

donde fi denota que la relación funcional be

interpolación ¥ i y Xl, X 2, •••, Xp. Observamos que esto

función puede ser diferente para cada ¥ i y representa fi

Esta relación excepto por un término de error Eij. Si nos

hacer la suposición usual que E(Eij) = 0 para cada uno

yo, entonces podemos relacionar el promedio o esperado re

sponses YJi a las variables independientes de p por

i = 1,2,..., k.

En la práctica, fi generalmente se desconoce. La habitual

procedimiento debe fi aproximada, a menudo (pero no nec

encarga) por una función polinómica. Nosotros entonces esti

compañero YJi por Yi, el estimador obtenido a través de

técnicas de regresión.

La función de deseabilidad implica transformación

de cada variable de respuesta estimado Yi a un desira

bility valor di, donde 0:: di s:: s 1. El valor de di

aumentos como la "conveniencia" de las correspondientes

aumenta la respuesta. Los desirabilities individuales son

luego combinaron mediante la media geométrica.

D = (dl X d2 X ••• X dk

)

l/k (1)

Este valor único de D da la evaluación general

de la conveniencia de los niveles de respuesta combinada.

Claramente la gama de re caerá en el intervalo [0, 1]

y D se aumenta como el equilibrio de las propiedades

llega a ser más favorable. D también tiene la propiedad

eso si cualquier di = 0 (es decir, si uno de la respuesta

variables es inaceptable) entonces D = 0 (es decir, la

producto en general es inaceptable). Es por estos

las razones que la media geométrica, en lugar de algunos

otra función del d/s como la aritmética

significa, fue utilizado.

Transformaciones unilaterales

En la transformación de Yi di dos casos surgen: unilateral

y transformaciones de la conveniencia de dos caras. Para el

caso unilateral, di aumenta como Yi aumenta y es

empleado cuando Yi debe maximizarse. (Minimiza

ción de Yi es equivalente a maximización de - Yi).

Muchas transformaciones son posibles-nos vamos con

Sider las transformaciones dadas por

o Yi::s ¥ i *

di =

¥ i * < Yi < ¥ i *

(2)

1

y graficados en la figura 1.

El valor ¥ i * da el mínimo aceptable

valor de Yi. El usuario especifica este valor de ¥ i *,

sabiendo que cualquier valor menor de Yi daría lugar a

an overall unacceptable product, since Yi ::s ¥i*

FIGURE 1. Graph of Transformation (2) for Various

Values of r

would make di = 0, and thus D = 0, which indicates

an unacceptable product. For example, if ¥i is the

tensile strength of a radiator hose, a value of ¥i

below ¥i* = 1500 psi would result in a product that

could be unacceptable in the judgment of the man

agement regardless of how desirable the other re

sponse variables might be.

The value ¥i* gives the highest value of Yi.

Actually, since we are considering a one-sided trans

formation here, there is no highest value of Yi.

However, from a practical viewpoint, one can think

of ¥i*

as the value for Yi such that higher values of

Yi have little additional merit. For example, ¥i*

might be the tensile strength such that higher val

ues of tensile strength would add little to the quality

of the hose. Therefore, di would remain at 1.

The value of r used in the transformation would

again be specified by the user. Figure 1 indicates a

large value of r would be specified if it were very

desirable for the value of Yi to increase rapidly

above ¥i*. In other words, even though ¥i* is an

acceptable value the desirability of the product

would be greatly increased by having Yi consider

ably greater than ¥i*. Again using the radiator hose

example, even though any tensile strength above

¥i* = 1500 psi would be acceptable, management

puede encontrar valores considerablemente superiores a 1500 psi

altamente deseable y así elegir un valor grande de r,

decir r = 10. Como puede verse, el tren de di de conveniencia

aumenta lentamente como Yi aumentos. Por lo tanto, a max

imize di y de tal modo Di, Yi debe ser enormemente in

arrugada sobre ¥ i *. Por otra parte, un valor pequeño

r especificar si los valores de Yi consid

erably sobre ¥ i * no eran de importancia crítica. A

valor de r = 0.1, por ejemplo, significa que cualquier

fue casi tan deseable como valor de Yi sobre ¥ i *

cualquier otro valor de Yi sobre ¥ i *.

Transformaciones de dos caras

La transformación de dos caras se presenta cuando el

respuesta variable Yi tiene tanto un mínimo y un

restricción máxima. Examinaremos el transporte

formaciones dadas

di = (3)

o

En esta situación Yi * es el mínimo aceptable

valor de Yi y Yi * es el máximo aceptable

valor. Los valores de Yi fuera de estos límites haría

el producto inaceptable. El valor seleccionado

Ci sería ese valor de Yi más

deseable y en cualquier lugar puede seleccionarse entre

Yi * y Yi *. Los valores de s y t en los dos lados

transformaciones jugar mucho el mismo papel como r

en la transformación de un solo lado.

En la figura 2 varios diferentes valores de t y s son

trazado. Para la Ilustración, cabe señalar que el Ci era

elegido para mentir en 0.25 de la distancia entre Yi * y Yi *. Esta figura muestra también que grandes valores para

s y t serán seleccionados si fuese muy deseable

for the value of Yi to be close to Ci. In this case the

desirability di would not get large until Yi got close

to Ci. On the other hand, if almost any value of Yi

above Yi* and below Yi* were acceptable, then

small values of s and t would be chosen. Moderate

values for s and t (near 1) would represent a com

promise between the two extremes. One could also

select a large value of s and a small value of t if it

were desirable for Yi to increase rapidly to Ci while

almost any value of Yi above Ci but below Y;* was

also desirable.

FIGURE 2. Graph of Transformation (3) for Various

Values of sand t

The procedure outlined can be used to maximize

some of the d/s (corresponding to certain Y/s) while

in essence putting constraints on the other Y/s.

This, of course, would be similar to a linear pro

gramming approach. For those Y/s that are subject

to constraints one uses extremely small values of

the exponents (r, s, and t) and permits Yi* and Yi*

to act as the boundary values.

The original transformation proposed by Har

rington [2] is of the form di = exp( -exp( -Y;» for

the one-�ided transformation and di = exp( - I Yi I S)

for the two-sided transformation. Gatza and Mc

Millan [1] used di = {exp[-exp(-Yi)]-exp(-l)}/

[1 - exp( -1)], a modification of Harrington's which

produces negative values of di for unacceptable

properties. The transformations presented in this

paper may be viewed as a type of generalization of

those above. We no longer restrict ourselves to

particular members of the exponential family but

consider transformations that offer the user greater

flexibility in the setting of desirabilities. As an ex

ample, the use of Ci in (3) allows the user to set the

most deisrable value of Yi anywhere between the

lower and upper boundaries (Yi* and Yi*) rather

than exactly in the middle. Harrington's and Gatza

and McMillan's transformations may be closely ap

proximated by selection of the parameters (r, s, and

t) in (2) and (3) and may be viewed as special cases.

Method of Optimization

We have assumed that Yi is a continuous function

of the Xh• From (2) and (3) we see that the d/s are

a continuous function of Y/s and from (1) that D is

a continuous function of the d/s. Therefore, it fol

lows that D is a continuous function of the Xh• As

a result, existing univariate search techniques can

be used to maximize D over the independent vari

able domain. In essence, the desirability function

condenses a multivariate optimization problem into

a univariate one. An added benefit of the method is

the ability to plot D as a function of one or more

independent variables.

Example

In the development of a tire tread compound, the

optimal combination of three ingredient (indepen

dent) variables-hydrated silica level Xl, silane cou

pling agent level X2, and sulfur level X3-was

buscó. Las propiedades para optimizar y con

Straint niveles fueron los siguientes.

Índice de abrasión de PICO, Yl

Módulo de 200%, Y2

Alargamiento en la rotura, Y3

Dureza, Y4

120 < Y1

1000 < Y2

400 < Y3 < 600

60 < Y4 < 75

FIGURA 3. Gráfico de transformación (2) utilizado para Y1

y ejemplo de la pisada de Y2 para neumático

Yl y Y2 las transformaciones unilaterales

dada por (2) se utilizaron y se muestran en la figura 3.

Como puede verse, hemos creado Yl * = 120 y Y2 * = 1000.

Cualquier valor de 1\ inferior a 120 dio lugar a un unaccept

neumático capaz de pisada compuesto. De una práctica stand

punto, establecemos Yl * = 170 y Y2 * = 1300. Es decir, nos

considera cualquier índice de abrasión de PICO por encima de 170 a

ser tan deseable como uno en 170. En este ejemplo,

establecemos r = 1 en la transformación de (2)

Yl y Y2• esto se hizo porque sentíamos que

la conveniencia aumentó en forma lineal.

Y3 y Y4 las transformaciones de dos caras

dada por (3) se utilizaron y se muestran en la figura 4.

Aquí Y3 * = 400 y Y3 * = 600 mientras Y4 * = 60 y

Y4 * = 75. Para cada uno de estos, se seleccionaron los puntos medios

C3 = 500 y C4 = valor como el más deseable 67.5

FIGURA 4. Gráfico de transformación (3) utilizado para Y3

y ejemplo de la pisada de Y4 para neumático

de constantes Y3 y Y4• otra vez de s = 1 y t = 1

fueron utilizados, ya que pensamos que una transformación lineal

expresa nuestra evaluación de la conveniencia.

Una detallada compuesto de tres variables, rotativo, central

muestra con seis puntos de centro (se muestra en la tabla 1) era

employed to generate the data which was then

fitted to the second degree polynomials

3 3 3

Yi = bo + L bLxL + L L bLmXLXm

L�l L�l m�L

i = 1,2,3,4.

(4)

The resultant fitted coefficients are given in Table

2, along with the standard errors for each Yi• Since

it is important to have a good estimator Yi of 1/i for

this optimization technique care should be taken to

use good regression and design techniques, along

with experience. It was felt from past experience

that at least a second degree polynomial would be

required to provide an adequate fit to the data. A

central composite response surface design was em

ployed because of favorable past experience with

such designs. With less previous experience, how

ever, one could certainly utilize standard procedures

in design and regression (including stepwise regres- .

sion) in obtaining estimators Yi•

The next step was to use the coefficients given in

Table 2 along with various values of Xl, X2, and X3

to obtain the Y/s. Each Yi was then transformed

into a di, using (2) and (3) as illustrated in Figures

3 and 4. The four d/s were combined into a single

Dusing (1). Hence, for each level of Xl, X2, and X3,

a D value was obtained. We then searched through

TABLE 2. Regression Coefficients and Standard Error for Responses

the levels of Xl, X2, and X3 to find the optimum

value for D. All of this was, of course, done on a

computer. The algorithm we employed generally

converged in fewer than 250 iterations. The result

ing optimum formulation is shown in Table 3. The

maximum composite desirability was 0.583 and all

of the constraints have clearly been met. The value

of 0.583 has little numerical meaning, except to

indicate the level of the X's where the maximum D

occurs. Aside from finding the maximum D, how

ever, the experimenter is generally interested in

how stable the optimum is. For example, do small

changes in the independent variables result in sharp

decreases in D? Since D is a function of the X

variables, it can be plotted to answer such ques

tions.

+1

-1

Std.

b33 b12 b13 b23 Error

-l. 57 5.13 7.13 7.88 5.61

199.17 69.38 94.13 104.38 328.69

0.43 8.75 6.25 l. 25 20.55

-0.32 -1.63 0.13 -0.25 l.27

Figures 5, 6, and 7 show the contour plots

(sketched from a grid of D values) of D for two

independent variables with the other held at its

TABLE 3. Optimum Compound and Predicted

Properties

FIGURE 5. Contour Plots of D for X1 and X2 for Tire

Tread Example

FIGURE 6. Contour Plots of D for X1 and X3 for Tire

Tread Example

FIGURE 7. Contour Plots of 0 for X2 and X3 forTire

Tread Example

optimum. For example, Figure 5 shows the plot of

Xl versus X2 with X3 held at its optimum, that is,

X3 = -0.868. All three of these plots show the

surface to be relatively flat near the maximum,

meaning that small departures from optimality of

the X values would not appreciably decrease the

desirability.

Obviously, the approach utilized in this example

is not the only possible approach. Another feasible

method would involve studying the coefficients in

the fitted equations and overlaying contour plots.

However, the optimum reached in Table 3 did prove

to be satisfactory from a production standpoint,

although slight deviations from the optimum levels

of the X's were instituted for other reasons. This

proved no great problem in this example, since the

surface is relatively flat near the optimum.

Computer Program

We have available, and will provide upon request,

a copy of the FORTRAN computer program used

to maximize D in terms of the Xh• This program

also enables one to generate a response surface of

D as a function of two of the independent variables,

holding the other independent variables constant.

This can then be used to obtain contour plots. It

should be noted that any good optimization pro

gram may be used.

Summary

The simultaneous optimization of several re

sponses has often been accomplished by a hit-or

miss approach. In such a procedure, numerous for

mulations are evaluated until one is found which is

within all constraints. This becomes the "optimum"

formulation. The desirability function approach is

a considerable improvement over this method and

usually not only requires fewer formulations to be

evaluated but also results in more desirable prop

erty levels. Furthermore, the advantage of being

able to plot the desirability surface to determine its

sensitivity to small changes in the independent

variables is significant.

References

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