OPTIMIZACIÓNDÍA 45 * 1º BAD CS

OPTIMIZACIÓN

• En el campo científico, económico, social o político, nos encontramos con funciones que hay que OPTIMIZAR, es decir hallar los puntos máximos y/o mínimos.

• FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) PRINCIPAL• Es aquella que el enunciado nos señala que su valor debe ser el mayor

posible (Máximo) o el menor posible (Mínimo). • Si presenta una sola incógnita, y = f(x), se deriva la expresión respecto de

la misma y la derivada se iguala a cero. Resolviendo la ecuación resultante tendremos el valor de ‘x’ para el cual el valor de la función, el valor de ‘y’ , es máximo o mínimo.

• FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) AUXILIAR • Tenemos que obtener del enunciado tantas ecuaciones auxiliares como

incógnitas menos una. • Despejando y sustituyendo, al final tendremos que tener una sola

ecuación , la principal, con una sola incógnita. • Derivamos respecto de dicha incógnita e igualamos a cero la expresión

derivada. • Resolviendo la ecuación habremos encontrado el valor o valores de las

incógnitas para los cuales la función presenta un valor máximo o mínimo relativo.

• Ejemplo_1:

• Hallar dos números tales que su suma sea 24 y su producto sea el mayor posible.

• Resolución: • Sean x e y los dos números pedidos.

• Ecuación Principal: Producto: P = x.y ( dos incógnitas) • Ecuación Auxiliar : Suma: 24 = x + y• • Despejamos “y” de la E. Auxiliar: y = 24 - x

• Sustituimos su valor en la E. Principal : P = x. (24-x)• • O sea P = 24.x – x2 , derivamos e igualamos a cero• P´ = 24 – 2.x = 0 ; y resolvemos: 24 = 2x x = 12 • Como y = 24 – x = 24 – 12 = 12 x= y = 12 es la solución.

• Ejemplo_2:

• Una alambrada de 100 m rodea a una finca rectangular bordeada por un río. Hallar sus dimensiones sabiendo que la superficie que abarca es la mayor posible.

• Resolución: • Sean l y a el largo y el ancho de la finca.• Ecuación Principal: Superficie: S = l.a ( dos incógnitas) • Ecuación Auxiliar : Alambrada: 100 = l+2a• • Despejamos “l” de la E. Auxiliar: l = 100 – 2.a• • Sustituimos su valor en la E. Principal : S = (100-2.a).a • O sea S = 100.a – 2.a2 • derivamos e igualamos a cero• S´ = 100 – 4.a = 0 ; 100 = 4.a • a= 100/4 = 25 l = 100 – 2.a • l =100 – 50 = 50 m• Solución: a=25 m, l = 50 m• Superficie= 25.50 = 1250 m2

a a

l

• Ejemplo_3:

• Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio para que el área del mismo sea el mayor posible.

• Resolución: • Rectángulos inscritos en una

determinada circunferencia hay infinitos, pero sólo uno de ellos tendrá un área mayor que los demás.

• Ecuación Principal:• Area A = a.b • ( hay dos incógnitas, a y b )• Ecuación Auxiliar :• 102 = a2 + b2 • por Pitágoras.

Ø=10b

a

El diámetro, que es el doble del radio, es siempre la diagonal de cualquier rectángulo inscrito en la circunferencia.

• Continuación del Ejemplo_3:

• Despejamos “a” de la E. Auxiliar: a = √ ( 100 – b2 )• • Sustituimos su valor en la E. Principal : A = b. √ ( 100 – b2 )

• Introducimos b dentro de la raíz para facilitar la derivada:

• A= √ ( 100.b2 – b4 ) = ( 100.b2 – b4 )1/2 • derivamos e igualamos a cero

• A’ = (1/2). ( 100.b2 – b4 )1/2 - 1 .(200.b - 4.b3 ) = 0 ; o sea:

• (200.b - 4.b3) / 2. ( 100.b2 – b4 )1/2 = 0

• 200.b – 4.b3 = 0 Factorizado 4.b.(50 – b2) = 0

• O sea 4.b.(7,07 + b).(7,07 – b) = 0• b= 0 NO vale, b=- 7,07 NO vale , b = 7,07 Vale como solución• a = √ ( 100 – b2 ) = √ ( 100 – 50 ) = 7,07 = a CUADRADO

• Ejemplo_4:

• Una hoja de papel de plata debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior, inferior, izquierdo y derecho deben ser de 2 cm, 2 cm, 3 cm y 1 cm respectivamente. Determinar las dimensiones de la hoja para tener el menor gasto de papel.

• Resolución: • Sean x = ancho texto impreso• e y= largo del texto impreso

• Ecuación Principal:• S = (3+x+1).(2+y+1)• Ecuación Auxiliar:• x.y = 18

• Despejamos y: y = 18 / x• La sustituimos en la ecuación principal:• S = (x+4).(y+3) = (x+4).( 3 + 18/x)• S = 3.x + 12 + 18 + 72 / x• S´ = 3 + 0 + 0 – 18 / x2 = 0• 3 = 18 / x2 x2 = 18 / 3 = 6• x = √ 6 y = 18 / √ 6 = 3. √ 6

3+x+1

2+y+2

x.y=18

• Ejemplo_5:

• El beneficio de una empresa de automóviles viene dado por • B(x)= – 20000000 + 800000.x – 0,2.x3 , donde x es el número de vehículos

producidos semanalmente.• Hallar la producción que hace máximo el beneficio, en el supuesto de que la

empresa pueda fabricar semanalmente:• a) Hasta 800 vehículos. b) Menos de 1200 vehículos.

• Resolución:

• La función es cúbica: Tendrá un máximo y un mínimo relativo.• B’(x) = 800000 – 0,6.x2 = 0 x2 = 800000/0,6 = 1333333 x = 1155• B(1155) = – 20000000 + 800000.1155 – 0,2.11553 =• =– 200000000+924999999 – 308159775 = 415 840 225

• a) Como 800 es menor del máximo relativo, calculamos su beneficio correspondiente:

• B(800) = – 20000000 + 800000.800 – 0,2.8003 =• =– 200000000+640000000 – 102400000 = 337 600 000• • b) Como 1155 es menor de 1200, 1155 es la solución.

• Ejemplo_6:

• El beneficio de un manantial, en miles de € diarios, es:• B(x)= – x2 + 10.x – 21 , donde x es el precio al que se vende la botella de

agua.• Hallar el precio que hace máximo el beneficio, así como dicho beneficio.

• Resolución:

• La función es cuadrática y convexa, pues a= -1 >0• Tendrá un máximo relativo en el vértice.• B’(x) = – 2.x + 10 = 0 x = 5 € la botella.• B(5) = – 25 + 50 – 21 = 50 – 46 = 4 miles de € diarios.

• Ejemplo_7:

• Con un alambre de 1 m de longitud hemos formado un rectángulo de doble largo que ancho y un círculo. ¿Qué dimensiones deben tener dichas figuras para que la suma de sus áreas sea lo mayor posible?.

• Resolución:

• Sean a y b las dimensiones del rectángulo.• Sea r el radio del círculo.

• Ecuación Principal: Suma de Áreas: S = a.b + π.r2 ( tres incógnitas) • Ecuaciones Auxiliares: Suma de Perímetros 1 = (2.a+2.b) + (2. π.r)• b = 2.a

• Sustituimos b en las otras dos ecuaciones:• Ecuación Principal: S = a.2.a + π.r2 = 2.a2 + π.r2

• Ecuación Auxiliar: 1 = 2.a+2.2.a + 2. π.r = 6.a + 2. π.r• • Despejamos a o r: a = (1 – 2. π.r) / 6 = 0’167 – 1’047.r• La sustituimos en la ecuación principal: S = 2.(0’167 – 1’047.r ) 2 + π.r2

• S = 0’056 – 0’7.r + 2’192.r2 + 3,14.r2 ; que derivando queda:• S’ = - 0,7 + 4’384.r + 6’28.r = 0 ,, 10’664.r = 0,7 r = 0,065 m• Como a = 0’167 – 1’047.r = (0,167 – 0,068) = 0,099 • Y por tanto b= 2.a = 2.0’099 = 0,198

• P = 0,198 + 0,396 + 0,406 = 1

• EJEMPLO 8

• El número de pulsaciones por minuto que una persona adquiere al ir a una academia es:

• y = 350 x / (x + 10) , donde x es el tiempo en horas. • Hallar el número de horas que debe abonar para adquirir el máximo de

p.p.m.

• Derivamos: y ‘ = [350.(x+10) – 1.(350.x)] / (x+10)2 = 3500 / (x+10)2 • Igualamos a cero para hallar el punto máximo:• 3500 / (x+10)2 = 0 3500 = 0 Imposible.• No hay máximo.• ¿Significa eso que el número de p.p.m. que puede adquirir es ilimitado?.

• Veamos que no, pues hay una asíntota horizontal que nos lo impide.• y = lím 350 x / (x + 10) = [oo / oo] = lim 350 / ( 1 + 10/x) = 350 / 1 = 350• x oo x oo

-10 0 10 20 30 Tiempo en horas de clase

350

Nº de pulsaciones por minuto

35