operadores ii campos -...
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Dr. José Manuel Donoso
http://plasmalab.aero.upm.es/~jmdv/
Dpto. Física Aplicada, ETSIAE, Universidad Politécnica de Madrid
OPERADORES II
CAMPOS Operadores diferenciales
Física II 2019-20
TOPICS: Herramientas matemáticas ,derivada parcial, gradiente, rotacional…,
Programa.
2 Física II- Operadores
( ) ( ) 0div rot = ∇ ⋅ ∇× =v v
( ) ( ) 0rot grad V V= ∇× ∇ =
cerrs V V
E d A = divE dV E dV ⋅ = ∇ ⋅∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Introducción. Motivación.
3 Física II- Operadores
Campos en física ¿qué es un campo? ¿cómo visualizarlo y medirlo?.Matemáticamente, es una aplicación unívoca desde un punto de un espacio a otro.
• Aquí es propiedad mensurable escalar o vectorial dependiente del punto de medida:
Visualización: campo escalar por superficies isoescalares, el vectorial por líneas de campo:
3
3 3( ; ) ( , , ; ) a fijo
( ) ; :( ) ; :
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x z z
g t g x y z t t
T T T
w x y z w x y z w x y z≡
= →
= → = + +
r
rr
r
w w ww i j k
:Notaciónr xi yj zk
x y z
= + +
= + +r
i j k
Gradiente de un escalar. Derivada direccional.
4 Física II- Operadores
• La variación infinitesimal de la propiedad escalar p será:
• Reescrita como producto escalar, define el vector gradiente de p
p p pdp i j k dlx y z dp grad p dl
dl dx i dy j dz k
p dl ∂ ∂ ∂
= + + ⋅ ∂ ∂ ∂ ⇒ ∇ ⋅= ⋅ = = + +
p p pdp dx dy dzx y z∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
• Define el operador gradiente que se representa por Nabla:
• La dirección del vector desplazamiento elemental dl puede estar orientada sobre una curva dada. Ejm: sobre la recta x=9y=3z,
( )
p p pgrad p i j kx y z
i j k operador Nab
p
lax y z
∂ ∂ ∂= = + +
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
+ +=∂ ∂
∇
∇∂
/ 9 / 3dl dx i dx j dx k= + +
Derivada direccional
5 Física II- Operadores
•La variación de p puede medirse a lo largo de una dirección dada. •Si dl yace sobre un segmento infinitesimal de curva con orientación dada u.
cos n l
l
dp dp dn dp dp u udl dn dl dn dn
dpdp grad máxl
ul
pd
pd
α= ⋅ = = ⋅
= ⋅ ⇒ = ∇
•Define la derivada direccional de p en el punto Q siguiendo la orientación del versor u. •Si u yace sobre puntos de una curva γ , puede encontrarse tal curva que maximiza la derivada. El módulo del gradiente da la derivada direccional máxima: grad P , se orienta hacia donde p aumenta.
( )( )l
l l
ldp grad p dl grad p dl u pdp p u
u dl
grad p udl
= ∇
= ⋅ = ⋅ = ∇ ⋅
⋅ ⋅=
nu lu
αPi
+
1 pi
Q 1i ip p +<
Así, si γ está sobre una superficie p=cte=K, la derivada direccional de p a lo largo de γ será nula. El vector gradiente es normal a las superficies equiescalares p=K y se orienta en sentido creciente de valores de K
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
Divergencia de un vector y rotacional de un vector
6 Física II- Operadores
• Si w es un campo vectorial sus líneas de campo yacerán sobre curvas γ tangentes a él en cada punto, es decir, las (dos) ecuaciones diferenciales de las curvas vienen de: • La operación diferencial resultante del producto formal del operador gradiente y el
vector dado es un escalar, llamado divergencia de w: (en cartesianas)
0 .yx z
w dlww wdl w
dx dy dz
dl dxi dy j dzk dr
→
× = ⇒ = =
= + + =
P Q
( )w P( )w Q
yx zww wdiv w w
x y z∂∂ ∂
= ∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂
vrobar que si v v( ), v. 3 P; r
dr u
drEjm si w r w = ∇ ⋅ = ⋅= →∇⋅ =
Divergencia de un vector y rotacional de un vector
7 Física II- Operadores
•También la operación siguiente da un vector, el resultante de hacer actuar formalmente el operador nabla vectorialmente sobre el vector dado w
• Da el operador rotacional (rotor) de w en coordenadas cartesianas (cuidado, ver tablas para otros sistemas coordenados).
•Un ejemplo de vector irrotacional (sin rotor) es el propio radiovector r o cualquier vector radial dependiente sólo de su módulo r:
• SIGNIFICADO FÍSICO DE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL: relacionados con los conceptos de FLUJO y CIRCULACIÓN de un vector.
( ) , .
y yx xz z
x y z
z yx
w ww ww wi j ky z z x
i j k
rot w w wx y z
w w w
w = etcw wy z
x y
=
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= ∇× = ∇∧ =
∂ ∂ ∂
∂ ∂∇×
−∂
∂
: ( ) (| |) ( ) 0rSi w r w r g r r rot wr
= ± = ⇒ =
Operadores de segundo orden y algunas propiedades
8 Física II- Operadores
• También pueden definirse operaciones que dan derivadas segundas de campos escalares y vectoriales , como:
2( ) ,( ) , ( ) ( ), ( ( ))
( ) ( )dado V grad V Vdado div grad div rot rot
div gradV Laplaciano de VV V→ =∇→ =∇ ∇× ∇×⋅ = ∇ ∇ ⋅ =
= ∇⋅∇ = ∇rv r v v v v vv
IMPORTANTE: (demostradlo por cálculo directo) • La divergencia de un rotacional es cero, el rotacional de un vector es un vector solenoidal:
•Y el rotacional de un gradiente es cero, el gradiente de un campo escalar es un vector irrotacional:
•La expresión siguiente define la laplaciana de un vector:
( ) ( ) 0div rot = ∇ ⋅ ∇× =v v
( ) ( ) 0rot grad V V= ∇× ∇ =
2 2 2 2
2
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
x y z en cartesianas
rot rot grad div laplacian
i v j v k v∇ ⋅∇×= = − =∇× ∇ −
∇ = ∇ + ∇ + ∇
∇vvv v v
vv
NOTA: Propiedades
9 Física II- Operadores
2 2 2
2 2 22( ) V
x y zLaplaciano de V V V ∂ ∂ ∂
+ + ∂ ∂ ∂ →∇ ≡ =∆
• Siendo en cartesianas:
• Si T y P son campos escalares, v y w campos vectoriales, con a y b constantes escalares, serán útiles las propiedades siguientes (demostración como ejercicio).
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
aT bP a T b P TP T P P Ta b a b T T Ta b a b T T T
∇ + = ∇ + ∇ ∇ = ∇ + ∇∇⋅ + = ∇⋅ + ∇⋅ ∇⋅ = ∇ ⋅ + ∇⋅
∇∧ + = ∇∧ + ∇∧ ∇∧ =∇ ∧ + ∇∧∇⋅ ∧ = ⋅∇∧ − ⋅∇∧
v w v w v v vv w v w v v v
v w w v v w
Ejer. Comprobar las relaciones siguientes, que saldrán a menudo en clase:
2
1
3 2
23
2 212 12
2 2 2
1 1
2
) 0 ; ( )
( ) '( )
3 0 (si 0)
( ( ) con ( , , ),
r r r
r
rr
r r r r
rr rr
d r r
r f r f r
r
g r x y z r x y z
= = −
= ∇
= ⋅ = −
∇ = ∇ = − ∇ =
∇⋅ = ∇⋅ = ≠ ∇⋅ =
∇× = + += ∫
r ru u u
r r
u r r
r
r
(es una traslación de origen)Repetir los cálculos con la con constan e, tsustitución de por = 00 r r R r -rImportante:
Coordinates. Line, surface and volume Elements.
10 Física II- Electrostática conductores
Operador gradiente en otros sistemas de coordenadas
11 Física II- Operadores
•Expresión analítica del vector gradiente en coordenadas cilíndricas (r,φ,z)
•En caso de simetría axial, con T dependiente sólo de la distancia al eje OZ:
• Superficies equiescalares cilíndricas , con gradiente radial respecto del eje OZ.
•Expresión analítica del vector gradiente en coordenadas esféricas (r,θ,φ) :
•Si T sólo depende de la distancia al origen (simetría esférica), las superficies equiescalares son esferas y el gradiente es radial. Dibujadlas.
1( , , ) rT TT r z u u k
r zTr ϕϕ
ϕ∂ ∂
∇ = +∂
+∂
∂∂
2 2( ) ; ,rT T xi y jT T r T u r r x yr r r
ρ⊥
∂ ∂ += →∇ = = ≡ = = +
∂ ∂
1 1( , , )senr
T TT r u u ur r
Tr θ ϕθ ϕ
θ θ ϕ∂ ∂
∇ = +∂
+∂ ∂∂
2 2 22 2 2 ( )
.( ) ; ,rx y z xr
ejmx x r
T T xi y j zkT r u r x y zr r r
+ +∂∂= =
∂ ∂
∂ ∂ + +∇ = = = + +
∂ ∂
Divergencia y laplaciano en geometría radial cilíndrica y esférica:
12 Física II- Operadores
Para un vector radial [o escalar p] dependiente sólo de la variable radial r=ρ, distancia al eje OZ, y la divergencia [laplaciano] en coordenadas cilíndricas es:
( )2 1(
( )1(
)
(
)
) ,;
(
) rr
r rrur
pp r div
r vv r v r u div
grad p
vr r
r xi yj
r rr r r
=
∂ ∂ ∇ = =
=∂
= ⇒ =
∂ ∂
+∂
Para un vector radial [o escalar p] dependiente sólo de la variable radial r, distancia al origen, la divergencia [laplaciano] en coordenadas esféricas es:
( )22
2
2
2
,
1( ) (
( )1( ) ( ) ;
)
r r rrr vv r v r div v
r rru ur
pp r div grad p r
r xi yj zk
rr r r
=
∂ ∂ ∇ = = ∂ ∂
∂= ⇒ =
∂+
= +
La demostración es inmediata (hacedla). En caso de no recordar la expresión ¿cómo hacerlo? Ejer. ¿Cómo sería la divergencia de un vector que sólo tiene en cilíndricas componente φ y ésta depende sólo de la variable radial r=ρ , o sea ? (sol. Poniéndolo en cartesianas, sale 0) ( ) ( )v r v r uϕ ϕ=
Problemas
13 Física II- Operadores
Problemas
14 Física II- Operadores
Obtened, en función de n, el flujo Φ del campo A a través de una superficie esférica de radio R centrada en el origen y particularizar para n del caso 2) ¿es nulo Φ? . La misma cuestión para el campo B, con flujo a través de un cilindro de radio R y altura H.