SISTEMAS NUMÉRICOS

Es una serie de elementos que se utilizan para representar una

cadena de caracteres (numéricos).

Un sistema numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se

utilizan para representar datos numéricos o cantidades. Se

caracterizan por su base que indican el número de símbolos distinto

que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor

de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Estas

cantidades se caracterizan por tener dígitos enteros y fraccionarios.

Si (aj) indica cualquier dígito de la cifra, b la base del sistema de

numeración y además de esto la cantidad de dígitos enteros y

fraccionarios son n y k respectivamente, entonces el número

representado en cualquier base se puede expresar de la siguiente

forma:

Nb = [an-1.an-2.an-3..........a3.a2.a1.a0, a-1.a-2.a-3 .......a-k] b

Donde: j = {n-1, n-2,.........2, 1, 0,-1, -2,......, -k} y n + k indica la

cantidad de dígitos de la cifra.

Características

Todo sistema numérico debe tener unos símbolos

Todo sistema numérico debe tener una base

Ejemplo

- Decimal - Binario - Octal - Hexadecimal

DECIMAL: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Símbolos base 10.

BINARIO: 0,1 Símbolos base 2.

OCTAL: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Símbolos base 8.

HEXADECIMAL: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C ,D ,E, F Símbolos

base16.

CONVERSIONES

Decimal a Binario: se hace divisiones sucesivas por dos.

Ejemplo:

45 ÷ 2 = 101101

DECIMAL BINARIO OCTAL HEXADECIMAL

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

18 10010 22 12

19 10011 23 13

20 10100 24 14

Aquí podemos ver las potencias que son las siguientes:

20 = 1

21 = 10

22 = 100

23 = 1000

24 = 10000

25 = 100000

26 = 1000000

27 = 10000000

28 = 100000000

29 = 1000000000

210 = 10000000000

211 = 100000000000

212 = 1000000000000

213 = 10000000000000

214 = 100000000000000

Hechos de la Suma

Aquí miraremos como son las operaciones de la suma

0+0 = 0

1+0 = 1

0+1 = 1

1+1 = 0 y llevo 1

1+1 = 0 y llevo 1

1+1+1 = 1 y llevo 1

1+1+1+1 = 0 llevo 2 unos

Ejemplo:

Pasar 96 a binario

96 = 64 + 32

1000000 = 64 100000 = 321100000 = 96

Suma

110111 11111 11010 + 1111110001111

Resta

El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema

decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal

para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los

términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo

y diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando

una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1,

lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada

debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.

Ejemplo

1001101 - 10111 110110

Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46

(3=690)

10001 11011001 -01010 -10101011 ———— —————— 00111 00101110

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse.

Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar

mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del

arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer

errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos

cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————— = ————— ————— ————— 010000101011 0100 0010 1011

Multiplicación

El algoritmo del producto en binario es igual que en números

decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0

multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro

del producto.

Ejemplo

Multipliquemos 10110 por 1001

10110 * 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110

División

La división en binario es similar a la de decimal, la única diferencia es

que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben

ser realizadas en binario.

Ejemplo