INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE CALKIN EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES QUINTO SEMESTRE GRUPOS B MATEMTICAS IV (ACM-0406) lgebra Lineal ING. JULIO CSAR PECH SALAZAR Subtema 1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos.

Material de apoyo

MATEMTICAS IVINGENIERA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES Clave de la asignatura: ACM-0406UNIDADI

NOMBRE

TEMAS Y SUBTEMAS

Nmeros complejos

1.2

Operaciones fundamentales con nmeros complejos

1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos.Sean Z1 y Z2 nmeros complejos. defina:

A. Z1 + Z2 (adicin de complejos)La adicin de nmeros complejos es una operacin binaria tal, que para todo par de complejos (x1 , x2) , (x3 , x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas. O sea: (x1, x2) + (x3 , x4) = (x1 + x3 , x2 + x4). * En Forma Binmica : Es decir, se suman algebraicamente entre s por separado sus partes reales y sus partes imaginarias. Ejemplo : * Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i

B. Z1 - Z2 (sustraccin de complejos):Sean Z1, Z2 dos nmeros complejos, definimos la operacin sustraccin as : Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2) Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2. Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b ) Entonces : Z1 - Z2 = Z1 + ( - Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x - a, y - b). * En forma Binmica : Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre s y las partes imaginarias entre s. Entonces : Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i.

C.

(conjugado de un complejo):

Llamaremos conjugados a dos complejos Z y respecto al eje real . Si se cumple, por tanto, que Z = a + bi y = a - bi

que tengan sus afijos simtricos con

diremos que es el conjugado del complejo Z. En la prctica, para determinar el conjugado de un complejo basta cambiar en ste el signo de la parte imaginaria. * En Forma de pares ordenados: Si Z = (a , b) Entonces : = (a , -b)

D. Z1 Z2 ( multiplicacin de complejos ) :Se multiplican segn la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 . Al final se reducen trminos semejantes. La multiplicacin puede hacerse ms directamente observando que : (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 ac + (ad + bc)i + bd(-1) = (ac - bd) + (ad + bc)i * En forma de pares ordenados : Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y) dos nmeros complejos, entonces, por definicin : Z1 Z2 = (a , b) (x , y) = (a x - b y , a y+b x).

E. (Z1)-1 ( Inverso De Un Complejo )

Llamaremos el inverso de Z1 = a1 + b1 es : = , 0). Sea el conjunto (a,b) y el elemento simtrico : Z1 = (x , y). Por definicin : (a , b) (x , y) = (1 , 0). Es decir ; ( ax - by, ay + by) = (1 , 0)

, tal que Z Z1 =(1

y tambin

Al resolver el sistema obtenemos:

F.

(divisin de complejos): Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fraccin y se racionaliza el denominador de esta fraccin, multiplicando ambos trminos de la fraccin por la conjugada del denominador y se sustituye i2 por -1.

Operaciones con nmeros complejos. Suma. La suma z + w de los nmeros complejos z = a + b i, w = c + d i, es el nmero complejo z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i Ejemplos. (4 + 3 i) + (5 + 9 i) = (4 + 5) + (3 + 9) i = 9 + 12 i (-6 + 4 i) + (8 7 i) = (-6 + 8) + (4 7) i = 2 3 i

El conjunto de los nmeros complejos es cerrado con respecto a la suma, adems esta operacin tiene las siguientes propiedades: Conmutativa: z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i = (c + a) + (d + b) i = (c + d i) + (a + b i) = w + z Asociativa: (z + w) + u = ((a + b i) + (c + d i)) + (e + f i) = ( (a + c) + e) + ((b + d) + f) i = ( a + (c + e)) + (b +( d + f)) i = (a + b i) + ((c + d i) + (e + f i)) = z + (w + u). El elemento identidad respecto a la suma es el nmero complejo 0 = 0 + 0 i. Todo nmero complejo z = a + b i tiene un inverso aditivo z = -a - b i, porque (a + b i) + (a - b i) = 0. Resta. La resta z w de los nmeros complejos z = a + b i, w = c + d i, es la suma de z y del inverso aditivo de w, z - w = z + (-w) = (a + b i) + (-c - d i) = (a - c) + (b - d) iEjemplos: (9 - 5i) - (4 + 7i) = (9 - 4) + (-5 + 7)i = 5 + 2i.

(3 - 5i) - (6 + 7i) = (3 - 6) + (-5 - 7)i = -3 - 12i

Resolver los siguientes reactivos 1) Calcular la siguiente operacin (6 + 3 i) + (4 + 5 i) a) 10+8i b) 23+44i c) 24+45i d) 35+23i e) 45+45i 2) Calcular la siguiente operacin (12 9 i) (4 14 i) a) 8+5i b) 18+13i c) 23+23i d)34+56i e) 56+35i 3) Calcular la siguiente operacin 3 5 5 1 i + i 8 2 6 7 11 37 i 24 14 a) 11 37 i 2 4 b) c)

21 47 i 24 14 34 57 i 24 14 9 10 i 24 14

d)

e)

4)

Calcular la siguiente operacin

(2 - 7i)(3 + 4i).

a) 34-13i b) 45+45i c) 78+98i d) 46-67i e) 78-98i 5) Calcular la siguiente operacin 3i - (2 - 4i)

a) -2+7i b) -4+8i c) -6+6i d) 4+10i e) 9+11i

Bibliografa propuestaGrossman Stanley J. lgebra Lineal Mc. Graw-Hill Murria R. Spiegel Variables Complejas (Series Schaum) Mc. Graw-Hill