CÁLCULO DE LÍMITES

Cálculo práctico:

Al calcular un límite, si se trata de una función continua, antes que nada debes de sustituir, si obtienes una operación factible, la realizas y has terminado.

Son operaciones factibles:

0

)()(

=∞

∞=∞

∞=∞⋅∞−∞=−∞+−∞

−∞=+∞−∞=∞+∞∞=+∞

∞−

∞

k

k

±∞=∞

=∞

∞=⋅−∞−∞=⋅∞

<

−∞=⋅−∞∞=⋅∞

>

0

0

)(0

)(0

kk

kkSi

kk

kSi

00

010

01

1000

0

0

=

+∞=

=<<

=

∞=>

=≠

=∞<∞=∞>

∞+

∞−

∞

∞−

∞

kk

kSi

kk

kSi

kkSikSikSi

k

k

Son indeterminaciones:

±∞=∞

∞∞

∞⋅∞−∞ ∞

0;0;;1;;

00;0; 00 k

Límites de polinomios:

Cuando ±∞→x , se obtiene ∞+ , o ∞− , según el signo del coeficiente y según el exponente de la mayor potencia. Cuando →x a un número,solo hay que sustituir. Límites de funciones racionales: (Cociente de dos polinomios)

)0(0

≠kk Se obtiene siempre ∞± . Hay que calcular los límites laterales.

00 Se descomponen (Ruffini) numerador y denominador,

simplificando posteriormente.

∞∞ Cuando ±∞→x , aplicar la regla de los grados o dividir por la

máxima potencia. - Si el mayor grado está en el numerador: ∞±- Si el mayor grado está en el denominador : 0 - Si tienen el mismo grado:

rdenominadodelgradomayordeterminodelcoef

numeradordelgradomayordeterminodelcoef

,∞−∞ Se realiza previamente la operación con los polinomios.

Límites de funciones irracionales:

00,∞−∞ Si las raíces son de índice 2, multiplicar y dividir por el

conjugado.

∞∞ Cuando ±∞→x y hay raíces, dejar en el radicando sólo las

potencias de mayor exponente y aplicar la regla de los grados o dividir por la máxima potencia.

±∞1 Aplicar la fórmula:

( )e xgxfxg

axaxxf )(1)()( lim)(lim ⋅−

→→=

Límites de funciones definidas a trozos:

- Si es un punto intermedio, se sustituye el valor de x en el trozo de función que corresponda y ese será el valor del límite.

- Si es un punto donde la función cambia de definición, hay que calcular los limites laterales, con los “trozos” correspondientes de la función.