opció b - tabarcallibres.com · 4 eso matemàtiques rodolfo esteve / maribel deusa / pascual...

4

eso

MatemàtiquesRodolfo Esteve / Maribel Deusa / Pascual Montesinos

Ernesto Veres / Antonio J. Ramírez

opció B

COMUNITAT

VALENCIANA

EAVV5754_Frontis 28/8/08 12:56 Página 3

Aquest llibre correspon al quart curs opció B de l’Educació SecundàriaObligatòria, àrea de Matemàtiques, i forma part dels materials curricularsd’Editorial ECIR.

Fotografia. Arxiu ECIR/FOTOLIA/ISTOCK PHOTO

Il·lustració Portada:Sidney

Il·lustracions. Salvador Ferrando/Disseny gràfic ECIR/Kino Garrido

Disseny i il·lustració coberta.Valverde Iborra

Disseny d’interior.Disseny gràfic ECIR

Edició. Editorial ECIR

Impressió. Indústries gràfiques ECIR (IGE)

© ÉS PROPIETAT

Rodolfo Esteve Arolas

Maribel Deusa Francés

Pascual Montesinos Estevan

Ernesto Veres Ferrer

Antonio J. Ramírez Fernández

Editorial ECIR, SA

Dipòsit legal:V-3239-2008

I.S.B.N.: 978-84-9826-413-5

Imprés a Espanya – Printed in Spain

Vila de Madrid, 60 - 46988 - P. I. Font del Gerro - PATERNA (València)Tels: 96 132 36 25 - 96 132 36 55 - Mòbil: 677 431 115 - Fax: 96 132 36 05Correu electrònic: [email protected] - http://www.ecir.com

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només pot ser realitza-da amb l’autorització dels seus titulars, llevat les excepcions previstes per la llei.Adreceu-vos a CEDRO (Centre Espanyol deDrets Reprogràfics,www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra.

4

eso

Ma

tem

àtiq

ue

s


Presentació de la unitat

Desenvolupament de la unitat

Títol de la unitat.Fotografies relatives al tema que il·lustren el contingut dela unitat.Algunes idees relacionades amb el tema que presentenexemples passats, presents o futurs d’aplicació dels seuscontinguts.

Els epígrafs s’estructuren en una exposicióteòrica en què es destaquen clarament lesdefinicions de termes matemàtics i exemplesdesenvolupats de l’aplicació.Fàcil identificació dels exemples gràcies a laicona que els representa.En els marges de les pàgines s’insereixinformació addicional que contribueix a lacomprensió de la teoria.De vegades, la informació més rellevant esressalta mitjançant dibuixos que insisteixen enla seua importància.Al final de cada epígraf solen proposar-sediversos exercicis. D’aquesta manera potpracticar-se alló aprés abans de passar alsconceptes següents.

Tancament de la unitatEn les últimes pàgines de cada temas’inclou un conjunt d’exercicis per apoder treballar els conceptesdesenvolupats en la unitat.El tema acaba amb una autoavaluaciótipus test que serveix per a posar aprova l’assimilació dels contingutsestudiats i alhora permet treballarl’autonomia i la iniciativa personals.

Descobreix el teu llibre


1. Els nombres irracionals .................................................................................................................................. 122. Els nombres reals: la recta real ...................................................................................................................... 133. Intervals .......................................................................................................................................................... 144. Valor absolut: distància .................................................................................................................................. 155. Estimacions, aproximacions, arredoniments i errors .................................................................................... 18Exercicis ............................................................................................................................................................ 20Autoavaluació .................................................................................................................................................. 23

TEMA 1. EL NOMBRE REAL .................................................................................................... 10

1. Potències. Propietats........................................................................................................................................ 262. Arrels amb índex “n”........................................................................................................................................ 273. Operacions amb radicals ................................................................................................................................ 284. Transformacions .............................................................................................................................................. 295. Racionalització ................................................................................................................................................ 316. Reducció de radicals a un mateix índex ........................................................................................................ 327. Potències d’exponent fraccionari .................................................................................................................... 33Exercicis ............................................................................................................................................................ 34Autoavaluació .................................................................................................................................................. 39

TEMA 2. POTÈNCIES I ARRELS ................................................................................................ 24

1. Polinomis amb una indeterminada ................................................................................................................ 422. Operacions amb polinomis .............................................................................................................................. 433. Divisió per (x – a). Regla de Ruffini................................................................................................................ 464. Valor numèric d’un polinomi. Teorema de la resta ........................................................................................ 475. Factorització de polinomis .............................................................................................................................. 486. Fraccions algebraiques .................................................................................................................................... 507. Operacions amb fraccions algebraiques ........................................................................................................ 52Exercicis ............................................................................................................................................................ 54Autoavaluació .................................................................................................................................................. 57

TEMA 3. POLINOMIS ............................................................................................................ 40

1. Equacions de primer grau .............................................................................................................................. 602. Equacions de segon grau ................................................................................................................................ 613. Suma i producte de les arrels ........................................................................................................................ 644. Equacions reductibles a quadràtiques .......................................................................................................... 665. Aplicació de les equacions a la resolució de problemes ................................................................................ 68Exercicis ............................................................................................................................................................ 70Autoavaluació .................................................................................................................................................. 73

TEMA 4. EQUACIONS DE 1r I 2n GRAU .................................................................................... 58

ÍNDEX


1. Sistema d’equacions lineals .......................................................................................................................... 762. Mètode de reducció ........................................................................................................................................ 773. Mètode d’igualació ........................................................................................................................................ 784. Mètode de substitució.................................................................................................................................... 795. Mètode gràfic ................................................................................................................................................ 806. Sistema d’equacions no lineals .................................................................................................................... 827. Inequacions lineals amb una incògnita........................................................................................................ 838. Inequacions lineals amb dues incògnites .................................................................................................... 849. Sistema d’inequacions lineals amb dues incògnites .................................................................................... 8510. Resolució de problemes ................................................................................................................................ 86Exercicis ............................................................................................................................................................ 88Autoavaluació .................................................................................................................................................. 91

TEMA 5. SISTEMA D’EQUACIONS I INEQUACIONS LINEALS ...................................................... 74

1. Magnituds directament i inversament proporcionals .................................................................................. 942. Proporcionalitat composta .............................................................................................................................. 953. Repartiments proporcionals............................................................................................................................ 964. Percentatges. Percentatges encadenats ........................................................................................................ 975. Interés simple i compost. Anualitats.............................................................................................................. 99Exercicis ............................................................................................................................................................102Autoavaluació ..................................................................................................................................................105

TEMA 6. PROPORCIONALITAT .............................................................................................. 92

1. Vectors en el pla ..............................................................................................................................................1082. Components d’un vector ................................................................................................................................1093. Mòdul d’un vector. Distància en el pla ..........................................................................................................1104. Operacions amb vectors ..................................................................................................................................1115. Punt mitjà d’un segment ................................................................................................................................1136. Ecuació de la recta en el pla ..........................................................................................................................1147. Paral·lelisme de rectes ....................................................................................................................................116Exercicis ............................................................................................................................................................118Autoavaluació ..................................................................................................................................................121

TEMA 7. GEOMETRIA EN EL PLA ............................................................................................106

1. Translacions i girs............................................................................................................................................1242. Homotècia en el pla ........................................................................................................................................1263. Semblança en el pla ........................................................................................................................................1284. Àrees i volums de figures semblants ..............................................................................................................1295. Teorema de Tales. Aplicacions ........................................................................................................................131Exercicis ............................................................................................................................................................134Autoavaluació ..................................................................................................................................................137

TEMA 8. SEMBLANÇA EN EL PLA ............................................................................................122


1. Cosinus d’un angle agut ..................................................................................................................................1402. Sinus d’un angle agut......................................................................................................................................1423. Tangent d’un angle agut..................................................................................................................................1434. Relacions entre raons trigonomètriques ........................................................................................................1445. Raons dels angles de 30°, 45° i 60° ................................................................................................................1466. Altres raons trigonomètriques ........................................................................................................................1477. Aplicacions........................................................................................................................................................148Exercicis ............................................................................................................................................................150Autoavaluació ..................................................................................................................................................153

TEMA 9. TRIGONOMETRIA ....................................................................................................138

1. Relacions funcionals. Funció ..........................................................................................................................1562. Domini d’una funció ........................................................................................................................................1573. Gràfics simètrics ..............................................................................................................................................1594. Sentit de variació d’una funció. Extrems ......................................................................................................1605. Extrems d’una funció ......................................................................................................................................1616. Punts de tall amb els eixos ............................................................................................................................1637. Resolució d’equacions amb calculadora gràfica ............................................................................................1648. Funcions periòdiques ......................................................................................................................................1669. Funcions contínues ..........................................................................................................................................167Exercicis ............................................................................................................................................................168Autoavaluació ..................................................................................................................................................171

TEMA 10. FUNCIONS I GRÀFICS ............................................................................................154

1. La funció afí ....................................................................................................................................................1742. La funció quadràtica........................................................................................................................................1773. Funcions definides a trossos ..........................................................................................................................1804. La funció exponencial ......................................................................................................................................1815. La funció logarítmica ......................................................................................................................................1826. Logaritme de productes, quocients, potències i arrels ..................................................................................1847. Funció de proporcionalitat inversa ................................................................................................................1868. Taxa de variació mitjana ................................................................................................................................1889. Aplicacions........................................................................................................................................................189Exercicis ............................................................................................................................................................190Autoavaluació ..................................................................................................................................................195

TEMA 11. FUNCIONS USUALS................................................................................................172


1. Fases d’un estudi estadístic ............................................................................................................................1982. Taula de freqüències ........................................................................................................................................1993. Gràfics associats a una taula de freqüències ................................................................................................2014. Paràmetres de posició......................................................................................................................................2045. Paràmetres de dispersió ..................................................................................................................................2076. Dispersió relativa: coeficient de variació........................................................................................................2097. Diagrames de caixa..........................................................................................................................................210Exercicis ............................................................................................................................................................212Autoavaluació ..................................................................................................................................................215

TEMA 12. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL ..........................................................196

1. Diagrames en arbre ........................................................................................................................................2182. Variacions. Variacions amb repetició ..............................................................................................................2193. Nombre factorial. Permutacions ....................................................................................................................2224. Combinacions ..................................................................................................................................................2245. Nombre combinatori. Propietats ....................................................................................................................2266. Triangle de Tartaglia. Binomi de Newton ......................................................................................................228Exercicis ............................................................................................................................................................230Autoavaluació ..................................................................................................................................................233

TEMA 13. COMBINATÒRIA ....................................................................................................216

1. Experiments aleatoris i successos ..................................................................................................................2362. Probabilitat ......................................................................................................................................................2383. Probabilitat condicionada: dependència i independència de successos ........................................................2404. Taules de contingència ....................................................................................................................................242Exercicis ............................................................................................................................................................244Autoavaluació ..................................................................................................................................................247

TEMA 14. PROBABILITAT........................................................................................................234

SOLUCIONARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248


TEMA

1 EL NOMBRE REAL

3.1502230170609028549475856072174789

φ = + =1 52

1 618033989, ...

L’Home de Vitruvi el va realitzarLeonardo da Vinci agafant com abase els textos de Vitruvi, arqui-tecte romà del segle I a.C., en elsquals tracta les proporcions delcos humà.El centre del quadrat està en elsgenitals i el del cercle, en elmelic. La relació entre el costatdel quadrat i el radi del cercle ésla raó àuria o nombre d’or Φ,nombre irracional el valor delqual és:

Home de Vitruvi (1490) que forma part de laGaleria de l’Acadèmia de Venècia.

01_EAVV5754 26/8/08 07:56 Página 10

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989...

π ≈π ≈

Els nombres irracionals desmuntaven la teoria pitagòrica de concepció de l’univers i peraixò van decidir mantindre’ls en secret. Hipaso de Metapont, deixeble de Pitàgores, ésconsiderat com el descobridor dels irracionals.Per aquest descobriment va ser expulsat de l’Escola Pitagòrica i els seus antics companysvan exigir una tomba amb el seu nom per a fer-li entendre que, per a ells, havia mort.No obstant això, la tradició atribueix el nom del famós nombre irracional π a les primereslletres de Pitàgores, el seu enemic més acèrrim.

01_EAVV5754 26/8/08 07:56 Página 11

El nombre real Tema 112

1 ELS NOMBRES IRRACIONALS

EL NOMBRE REAL

Tema

1

Saps que la fracció representa la divisió de a entre b. Si fas

aquesta divisió, el quocient és un nombre exacte o un nombre deci-mal que pot ser exacte o periòdic.

Però és fàcil comprendre que hi ha altres decimals que teneninfinites xifres decimals i aquestes no es repeteixen d’una maneraperiòdica. Aquest és el cas per exemple dels nombres següents:

0, 10203040506070…; 1,2345678910…; 4,1002003004005006007…

Aquestos nombres no són el resultat de la divisió de dos nom-bres enters i reben el nom de nombres irracionals.

abEls nombres irracionals ja eren

coneguts pels pitagòrics, encara queells mateixos van decidir no divul-gar-ne l’existència.

L’historiador Proclo va escriure:«Es diu que els que han divulgat

els nombres irracionals han perittots en un naufragi; per tant, allò queno es puga expressar amb nombresordinaris (les fraccions) ha de serabsolutament mantingut en secret».

Un altre nombre irracional és elnombre π de valor aproximat3,141592654..., que expressa la rela-ció entre la longitud d’una circum-ferència i el seu diàmetre.

Un nombre irracional és un nombre amb una part deci-mal d’infinites xifres no periòdiques. El conjunt dels nombresirracionals es denota I.

EL NOMBRE D’OR

Un dels primers nombres irracionals de què hi ha constància ésel nombre d’or, que es representa per Φ. Els grecs de l’escola dePitàgores van denominar així la relació entre la diagonal i el cos-tat del pentàgon regular.

El valor exacte és i l’expressió decimal és

1,618033989…

Totes les arrels quadrades de nombres enters no quadrats per-

fectes , etc. són nombres irracionals.2, 3, 5, 7

Φ =+1 52

A

B C BCBA

= Φ

Longitud de la circumferència

diàmetre de la circumferència

L = ππ × d = 2ππr

d’ací

= π

Observa quines operacions ambnombres irracionals poden donarcom a resultat un nombre no irracio-nal.

(3 + π) + (4 – π) = 7

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 12

Tema 1 El nombre real 13

2 ELS NOMBRES REALS: LA RECTA REAL

El conjunt dels nombres naturals es denota N = { 0, 1, 2, 3,...}i amb aquestos podem graduar la recta natural:

El conjunt dels nombres enters s’indica Z = {..., –3, –2, –1, 0, 2,3,...} i amb aquestos s’ampliava la recta natural i es formava larecta entera:

Les fraccions de nombres enters amb b ≠ 0, formaven el con-

junt dels nombres racionals, anomenat Q. Els naturals, enters,decimals exactes i periòdics són expressions de nombres racionals.Amb aquestos completàvem la recta racional:

Una vegada representats els nombres racionals, no has de pen-sar que la recta està «plena», ja que hi queden molts buits que hau-ran de ser ocupats pels nombres irracionals.

En representar els nombres reals en la recta, aquesta es comple-ta totalment i constitueix la recta real: tot nombre real està repre-sentat per un punt de la recta i, recíprocament, tot punt de la rectareal correspon a un nombre real.

ab

0 1 2 3 4

-3 0 1-2 -1 2 3 4

A O

-3 0 1-2 -1 2 3 4-13

πΦ5 2-

-3 0 1-2 -1 2 3

A CB

-52

13

32

125

El conjunt format pels nombres racionals i els irracionals s’anomena conjunt dels nombres reals i es denota R.

Al nombre –3 s’associa el punt Ade la recta i es diu que el punt A téabscissa –3.

EXEMPLES

1 Observa com se situen en la recta real els nombres:

2 , 3, 5, 2 , 3, 5– – –

0−3 −2 −1 1 2 3

5− 5− 3

− 23

2

234

1A partir del primer triangle rectangle isòsceles decatets 1 es construeixen nous triangles rectanglesde catets 1 i la hipotenusa de l’anterior.

L’ABSCISSA DE A ÉS , LA DE B ÉS I LA DE C ÉS 3. I TU, QUÈ FAS AIXÍ?

32

-53

JO HE VINGUT AIL·LUSTRAR AIXÒ DELSNOMBRES, PERÒ CRECQUE NO ÉS AÇÒ...

01_EAVV5754 28/8/08 13:01 Página 13


3 INTERVALS

Dos nombres reals qualssevol a i b (sent a � b) determinen uninterval a què pertanyen tots els nombres compresos entre a i b, elsextrems pertanyeran o no depenent del tipus d’interval.

TIPUS D’INTERVALS

De vegades els claudàtors se substitueixen per punts farcits (•)o buits (º).

EXEMPLES

2 Representa l’interval [1, 5[ i escriu la desigualtat que verifiquen els punts de l’interval.

L’interval [1, 5[ està representat pel segment comprésentre l’1 i el 5, inclòs l’1 i exclòs el 5. La desigualtat serà: 1 ≤ x < 5

3 Determina a quin interval correspon el segment

L’interval a què correspon el segment és ]–2, 3[

0 1 2 3 4 5

–2 0 3

a b

a b

a b

a b

Condició

a ≤ x ≤ b

a < x < b

a ≤ x < b

a < x ≤ b

Nombres compresos entre a i b,inclosos a i b

Nombres més grans que ai més xicotets que b

Nombres compresos entre a i b,inclòs a i exclòs b

Nombres compresos entre a i b,exclòs a i inclòs b

[a, b]

] a, b[

[a, b[

] a, b] semiobert per l’esquerra

semiobertper la dreta

obert

tancat

és a dir... s’escriu i és uninterval...

es representa...

EXERCICIS

Completa la taula següent:1 Condició Interval Representació

2 < x ≤ 3

[ –1, 4 [

3 < x < 5

–2 0 2

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 14


4 VALOR ABSOLUT: DISTÀNCIA

Recorda que el valor absolut d’un nombre x s’expressa |x| i esdefineix:

|x | = x si x és positiu|x | = –x si x és negatiu|x | = 0 si x = 0

El valor absolut d’un nombre ésel que té si es prescindeix del signe.

Si x i y són dos punts qualssevol de la recta, es defineix ladistància entre ambdós com d (x, y) = |x – y |.

La distància entre els dos punts és sempre una quantitat positi-va o nul·la.

Si x > y llavors d (x, y) = x – y

Si x < y llavors d (x, y) = y – x

Si x = y llavors d (x, y) = 0

Si a és un nombre real qualsevol, l’expressió | x – a | < rindica que la distància entre a i un nombre qualsevol x ésmés xicoteta que r.

d(x, a) < r equival a | x – a | < r equival a a – r < x < a + r

En la pràctica s’identifica nom-bre real amb punt de la recta real.

EXEMPLES

4 Dóna el valor absolut dels nombres següents: 8; –4,5; 3 – π; 5 –

|8| = 8; |–4,5| = 4,5; |3 – π| = π – 3, perquè, 3 – π és negatiu; |5 – | = – 52626

26

EXEMPLES

5 Determina els valors de x que verifiquen les equacions següents en valor absolut:a) |x – 2| = 3 b) |5 – x| = 4 c) |2x – 1|= 3 d) |x| = 5

a) Per la mateixa definició de valor absolut, x – 2 podrà ser 3 o –3, perquè ambdós donen com a valor absolut 3. x – 2 = 3 ⇒ x = 5 ; x – 2 = –3 ⇒ x = –1

Les solucions de l’equació en valor absolut són x = –1 i x = 5

b) |5 – x| = 4 ⇒ 5 – x = 4 ⇒ x = 1 ; 5 – x = –4 ⇒ x = 9Les solucions són x = 1 ; x = 9

c) |2x – 1| = 3 ⇒ 2x – 1= 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 ; 2x – 1= –3 ⇒ 2x = –2 ⇒ x = –1Les solucions són x = –1 ; x = 2

d) |x|= 5 ⇒ x = 5 ; x = –5

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 15


Gràficament:

També es pot escriure que x ∈ ]a – r, a + r[.

Anàlogament:

d(x, a) ·≤≤ r equival a | x – a | ≤≤ r equival a a – r ≤≤ x ≤≤ a + r

I es pot escriure x ∈∈ [[a – r, a + r]]

Si a és un nombre real qualsevol, l’expressió |x – a|< r indica quela distancia entre a i un nombre qualsevol x és més gran que r.

d(x, a) > r equival a |x – a| > r equival a x > a + r i x < a – r

També es pot escriure: x ∈∈]]– ∞, a – r [[ U ]] a + r, +∞ [[

Anàlogament:

d (x,a) ≥≥ r equival a |x – a|≤≤ r equival a x ≥≥ a + r i x ≤≤ a – r

I es pot escriure: x ∈∈]]−− ∞, a – r]] U [ a + r, + ∞ [

aa–r[ [

a+r

x

aa–r[[

a+r

x

aa–r[[

a+r

x

EXEMPLES

6 Els punts x de l’interval:

verifiquen indistintament: d(x, 2) ≤ 2 ; |x – 2| ≤ 2 ; 0 ≤ x ≤ 4 ; x ∈∈ [ 0,4 ]

Si l’interval fóra obert els extrems 0 i 4 no hi pertanyerien i les desigualtats serien estrictes (< en lloc de ≤).

20

[[41 3

x

–1 5

RECORDA:

EN L’INTERVALOBERT ]a,b[

ESTAN ELS NOMBRESCOMPRESOSENTRE a I b..

EN L’INTERVAL TANCAT [a,b] TAMBÉESTAN TOTS ELS NOMBRES COMPRESOSENTRE a I b, INCLOSOS ELS MATEIXOSa I b.

01_EAVV5754 28/8/08 13:02 Página 16


EXEMPLES

7 Els punts x de l’interval:

verifiquen indistintament: x < –2 i x > 2 ; d (x,0) > 2 ; |x| > 2 i x ∈]–∞, –2 [∪] 2, +∞[

Si en la solució entraren els punts –2 i 2, les desigualtats no serien estrictes, serien ≥ o ≤.

8 Determina la solució de les desigualtats en valor absolut següents:

a) |x – 1| ≤≤ 3 b) |x – 1| ≥≥ 3 c) |x + 2|< 1 d) |x + 2|> 1

a) Si |x – a| ≤ r equival a a – r ≤ x ≤ a + r, aplicant-ho a l’exemple |x – 1| ≤ 3 obtindrem, ⇒ 1 –3 ≤ x ≤ 1 +3 ⇒ –2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ [ –2, 4]

b) Si |x – a| ≥ r equival a x ≥ a + r i x ≤ a – r, aplicant-ho a l’exemple |x – 1| ≥ 3 obtindrem, x ≥ 1 + 3i x ≤ 1 – 3 llavors x ≥ 4 i x ≤ –2 ⇒ x ∈ ] –∞, –2] ∪ [ 4, +∞ ]

c) Si |x – a| < r equival a a – r < x < a + r, aplicant-ho a l’exemple |x + 2| < 1, per tant a = –2, llavors –2 – 1 < x < –2 + 1 ⇒ –3 < x < –1 ⇒ x ∈ ] –3, –1[

d) Si |x – a| > r equival a x > a + r i x < a – r, aplicant-ho a l’exemple |x + 2| > 1 per tant a = –2, llavors x > –2 + 1 y x < –2 –1 ⇒ x > – 1 y x < – 3 ⇒ x ∈ ]–∞, –3 [∪] –1, +∞[

0–2

[[2–1 1

x

EXERCICIS

Quina condició verifiquen els punts x assenyalats en la figura següent?

On situaries en la recta real els nombres x que disten de 3 menys de dues unitats?

Completa les desigualtats següents i representa sobre la recta real els nombres x que les verifiquen:

a) d(x, 2) < 3 equival a �� < x < �� b) d(x, 1) ≤ 5 equival a �� ≤ x ≤ ��

c) Si 1 ≤ x ≤ 5 llavors | x – 3 | ≤ �� d) Si x ∈ [0, 3] llavors �� ≤ x ≤ ��

Vertader o fals?

a) d(x, 3) = 2 només si x = 1 b) Si x ∈ [–2, 2] llavors d(x, 0) = 2

c) d(– 4, 3) = d(– 4, 0) + d(0, 3) d) Si x ∈ ]0, 4[ llavors d(x, 2) < 2

e) d(x, 3 ) > 5 equival a x > 8 i x < –2 f) x ∈ ] − ∞, 2 [∪] 6, + ∞ [ llavors d (x, 4) > 2

2

4

5

30 1-1-2 2 3

[x

[

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 17


5 ESTIMACIONS, APROXIMACIONS, ARREDONIMENTS I ERRORS

A) Estimacions

Estimar un resultat és deduir-ne un valor aproximat.

B) Aproximacions i arredoniments

Moltes vegades no cal manejar totes les xifres d’un resultat, peraixò se’n sol donar com a resultat una aproximació.

L’ordre d’una aproximació depén de l’exactitud que es vulgaaconseguir i pot ser per defecte o per excés.

L’aproximació per defecte sempre és més xicoteta que el nombredonat i l’aproximació per excés sempre és més gran.

De les dues aproximacions d’un nombre la que produeix menyserror s’anomena arredoniment. Per a fer un arredoniment cal, enprimer lloc, fixar-ne l’ordre (centenes, unitats, desenes, centèsimes,etc.), perquè així es determinen les xifres que considerarem, i des-prés aplicar la regla següent:

EXEMPLES

8 Si una parcel·la té 856,748 m2, aproximacions distintes són:

Ordre d’aproximació Per defecte Per excés

Entera

A les desenes

A les centèsimes 856,75

856,8856,7

856

856,74

857

Regla de l’arredoniment

Si la primera xifra que no s’escriu és més xicoteta que 5, es deixa aques-ta xifra tal com està i posem zeros a la dreta si és necessari.

Si la primera xifra que no s’escriu és més gran o igual que 5, l’últimaxifra a escriure s’augmenta una unitat i posem zeros a la dreta igual-ment.

⇒EXEMPLES

9 La longitud d’una corda és de 34,562 m. Arredoniments distints són:

Arredoniment enter: 35 m Arredoniment a les desenes: 34,6 m Arredoniment a les centèsimes: 34,56 m.

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 18


C) Errors

Quan el valor exacte A d’una quantitat se substitueix per unvalor aproximat A’ es comet un error.

S’anomena error absolut la diferència, en valor absolut, entreel valor exacte i el valor aproximat.

S’anomena error relatiu el quocient entre l’error absolut i elvalor real.

L’error absolut mesura la imprecisió que acompanya qualsevolmesura; ens informa de la precisió de l’aparell utilitzat o de comd’acurades han sigut les nostres mesures. L’error relatiu, no obs-tant això, indica més bé la qualitat dels mesuraments: a un errorrelatiu més xicotet, més bona és la qualitat de mesura.

En moltes ocasions no es coneix el valor exacte de la magnituda mesurar amb la qual cosa és impossible conéixer l’error que escomet, per això se sol donar el resultat acompanyat d’una cota omarge de l’error comés.

Si A = valor exacte i A’ = valor aproximat, es:

Error absolut | |; Error relatiu= =A A’ |A–

– AA’|A

EXEMPLES

10 Si en una parcel·la de 100 m de llargària la nostra mesura és de 101 m i en un trajecte de 6 km mesurem6,001 km, en ambdós casos ens hem equivocat en 1 metre i, per tant, l’error absolut comés és el mateix.

L’error relatiu comés en cada cas ja no és el mateix perquè:

En la parcel·la: error relatiu = = 0,01

En el trajecte: error relatiu = = 0,000166…

Per tant, la segona mesura és de més qualitat perquè es comet un error relatiu més xicotet.

16000

1100

EXEMPLES

11 En mesurar la longitud d’un bolígraf amb un regle graduat obtens una longitud compresa entre 12,5 cmi 12,7 cm. Per tant:

12,5 < longitud < 12,7

Podem dir que la longitud del bolígraf és de 12,6 cm amb un error més xicotet d’1 mm. La cota de l’errorseria, en aquest cas, d’1 mm.

HA SIGUT UN GRAN ERROR POSAR-MEA LLEGIR AÇÒ QUAN HAVIA D’ESTARESTUDIANT “MATES”.

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 19


EXERCICIS

6 La longitud d’una circumferència de radi 1,25 cm, ésun nombre irracional? Dóna un valor aproximat adeumil·lèsimes.

7 El costat d’un quadrat d’àrea 5 cm2, és un nombreirracional?

8 Esbrina un valor aproximat de Φ fins a les milionè-simes.

9 Esbrina un valor aproximat fins a les mil·lèsimes delnombre A = 2 + π + Φ. Com classificaries aquestnombre?

10 Indica a quin conjunt numèric pertany cadascundels nombres següents:

a) b) 3 c) –5 d) 7 e) f) �

11 Representa gràficament en la recta real els nombressegüents:

a) b) 2,5 c) d) e) f)

12 Representa en la recta real els nombres:

a) –3 b) 0,25 c) 2,7 d) e)

13 En la figura següent, quins nombres poden ser P, Q,R i S? Pots afirmar que són enters?, racionals?, irra-cionals?

VALOR ABSOLUT I INTERVALS

14 Dona el valor absolut de cadascun dels següents nom-bres:

–1; 5,32; –3,45; ; ; 10–3

15 Mateix exercici:

– 2; 2 – ; – ; –

16 Completa la taula següent:

a) Es pot concloure que |a+b| < |a|+|b| ?

b) Quan seria certa la igualtat?

Del 17 al 23. Determina els nombres reals x que verifi-quen les igualtats o desigualtats següents:

17 |x | = 2 |x | = π |x | =

18 |x – 3| = 1 |x + 2| = 4 |x – 4| = 4

19 |x | < 2 |x | < |x | ≤ 5

20 |x – 1| < 2 |3 – x | < 1 |x – 6| ≤ 3

21 2 < x + 1 < 3 3 < x – 2 < 6

22 |x – 1| ≥ 3 |x – 3| > 1

23 |x | > 2 |x| ≥ 5

Del 24 al 26. Expressa la relación donada de la forma x ∈ ] a, b [ ó x ∈ [a, b]. Fes-ne, en cada cas, la represen-tació gràfica.

24 |x – 4| < 2; |x + 3| < 1

25 |2 – x | < 3; |– x + 4| < 2,5

26 3 ≤ x + 1 ≤ 4; 2 ≤ 2 + 4x ≤ 10

Del 27 al 29. Expressa la relació donada de la forma

x ∈]– ∞, a [ U ] b, + ∞ [ ó x ∈]– ∞, a ] U [ b, + ∞ [

Fes-ne, en cada cas, la representació gràfica.

ba

ba

ba

ba

ba

ba

cba

c32

ba

cba

23

cba

8671053

–35

56

–52

35

− 65

45

2313

212

0 1-1 2

P Q SR

a b a+b |a| |b| |a+b| |a|+|b|2 5–4 –7–5 33 –6

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 20


27 |x –3|>2 |x –1| ≥ 5

28

|2x +1| ≥ 0 |3x – 4 | ≥ 5

29 |x +1|>3 |x +2| ≥ 1

Del 30 al 32. Determina els nombres a i ε perquè la rela-ció donada siga equivalent a |x – a|≤ ε

30

31

32

NOMBRES REALS

Del 33 al 35. De cadascuna de les qüestions plantejadess’ofereixen quatre respostes. Contesta si cadascuna ésvertadera o falsa.

33 Si una circumferència té 10 cm. de radi, llavors:

La longitud és exactament 62,8 cm.

L’àrea del cercle és aproximadament 314,16 cm2.

No es pot expressar amb xifres el valor exacte dela longitud de la circumferència.

L’àrea del cercle, en cm2, és cinc vegades més granque la longitud de la circumferència, en cm.

34 Si X = 43,28571, llavors:

43,3 és un arredoniment de tipus 10–1.

43,2 és una aproximació decimal fins a les desenesper defecte.

43,28 és una aproximació més bona que 43,29.

43,286 és un arredoniment fins a les mil·lèsimes.

35 Si a és un nombre irracional i b un nombre real qual-sevol, llavors:

a2 és un nombre irracional.

3 + a és un nombre irracional.

a + b és un nombre irracional.

És un nombre irracional.

36 De la figura següent es dedueix que:

d = 0 c és racional

d = 0,25 a = –3

37 De la figura següent es dedueix:

|a | = |d | –b > c

b > a c + d = e

38 És cert que = π ? Raona la resposta.

39 En un quadrat de 28 m2 d’àrea, calcula:

El valor exacte del perímetre.Un arredoniment fins a les mil·lèsimes d’aquest valor.

40 En un quadrat de costat 5 cm esbrina una aproxima-ció fins a les desenes del valor de la diagonal.

41 El quadrat de la figura següent té 3 cm de costat.

Calcula el perímetre i l’àrea del cercle circumscrit.Dóna el valor exacte i un valor arredonit fins a lesmil·lèsimes.

42 El quadrat de la figura té 5 cm de costat.

Calcula el perímetre i l’àrea del cercle inscrit. Dóna elvalor exacte i un arredoniment fins a les mil·lèsimes.

b

a

355113

dc

ba

dc

ba

ab

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

x ∈ −[ ]4 6 2 1, ; ,c

x ∈ −[ ]1 4 2 6, ; ,bx ∈[ ]3 2 7 8, ; ,a

x ∈ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

54

,cx ∈⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

34

,bx ∈⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

32

72

,a

x ∈ −[ ]6 2,cx ∈[ ]–1, 4bx ∈[ ]1, 3a

x x–5 ó –3≤ ≥dx x3 ó 0≥ ≤c

ba

dc

x

x

> 5< –1

⎫⎬⎭

bx

x

> 3< 2

⎫⎬⎭

a

ba

-2a b -1 c 0 d 1

a b c0 d e

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 21


APROXIMACIONS. ERROR I ACOTACIÓ D’ERRORS

43 Esbrina un valor per defecte del nombre π amb unerror més xicotet que una milionèsima.

44 Si es pren 5,124 com un valor aproximat de5,1247634189, quina cota de l’error s’ha pres?

45 Dóna un valor aproximat de amb un error mésxicotet que una mil·lèsima.

46 Calcula la longitud de la diagonal d’un quadrat de cos-tat 1,5 m amb un error més xicotet que un mil·límetre.

47 Fes els arredoniments següents:

43250 a milers 385 a centenars

73,268 a desenes 0,2445 a centèsimes

123,62 a enters 45,82648 a mil·lèsimes

48 La iarda és una unitat de longitud usada als EUA i alRegne Unit: 1 iarda = 0,9144 metres. Arredoneix ametres les longituds següents expressades en iardes.

La longitud d’un camp de futbol americà és de80 iardes

El recorregut del camp de joc de l’Open d’Augus-ta mesurava 7445 iardes el 2007.

El rècord de llançament de javelina el 2007 va serde 107,7 iardes.

49 Arredoneix a hores els temps següents:

230 min. 38 min. 428 min. 159 min.

50 El pes teòric P, en kg, d’un home d’alçada h, en cm, vedonat per la fórmula:

P = 0,9 ×

on a és l’edat en anys.

Calcula el pes teòric d’un jugador de basquetbolde 25 anys i 2,10 m d’alçada.

Calcula el pes teòric d’un home de 30 anys i 1,70m d’estatura.

51 El pes teòric P, en kg, d’una dona d’alçada h, en cm, iedat a anys, ve donat per la fórmula:

P = 0,8 ×

Calcula el pes teòric d’una dona de 27 anys i 1,65 m d’estatura.

Quina seria l’«edat teòrica» d’una dona d’1,68 md’estatura i de 56 kg de pes?

52 Siguen a, b i c tres nombres reals no nuls, tals que ab + bc + ca = 0

Calcula la suma

53 Una casserola cilíndrica té 20 cm de diàmetre. Quinessón les alçàries possibles si ha de contindre entre 2,5 i3 litres de líquid?

54 Un paquet de llet té forma de paral·lelepípede recte.La base té dimensions 6,2 i 9,5 cm. Quina alçària hade tindre aquesta caixa per a poder contindre entre0,98 i 1,01 litres de llet?

55 ABCD és un rectangle de dimensions AB = 20 cm iAD = 16 cm.

M és un punt del costat CD.

Esbrina les posicions del punt M de manera que l’àrea del triangle ADM siga més xicoteta o igual a unquart de l’àrea del trapezi ABCM.

56 Rectangle auri.

Observa com s’ha obtingut el rectangle AEFD a partirdel quadrat ABCD.

Quina és la longitud del segment PC ?

Quin és el valor de x?

Quina relació hi ha entre el costat més gran i el mésxicotet del rectangle AEFD?

c

b

a

b cbc

c aca

a bab

++

++

+

b

a

ha

– 10010

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

a

ha

– 100100

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dcba

c

b

a

fe

dc

ba

7

D C

BA P E

2

1

D C

BA

x

E

2

F

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 22


AUTOAVALUACIÓ

1 El nombre real es pot escriure com:

1, 7 1,732050... Cap de les respostes anteriors.

2 Els punts x que verifiquen la desigualtat 2 ≤≤ x < 5 són els que estan en l’interval:

[ 2,5 ] [ 2,5 [ ] 2,5 [ Cap de les respostes anteriors.

3 L’afirmació “un nombre irracional no pot ser escrit com el quocient de dos enters” és:

Falsa. Certa per als nombres negatius.

Certa. Cap de les respostes anteriors.

4 El conjunt dels nombres reals està format per:

Els nombres naturals i els enters negatius. Els nombres racionals i els enters.

Els nombres racionals i els nombres irracionals. Cap de les respostes anteriors.

5 Quin és el valor absolut de 7 – ?

Cap de les respostes anteriors.

6 Quins nombres reals verifiquen la igualtat següent: | x + 5 | = 4?

Només el –1. –1 i –9.

No hi ha cap nombre que complisca la igualtat. Cap de les respostes anteriors.

7 L’expressió 3 ≤≤ x ≤≤ 7 equival a:

d(7, x) d(x, 5) x ∈ ]3, 7[ Cap de les respostes anteriors.

8 L’expressió |x – 5| < 1 equival a:

x ∈ ]4, 6[ d(x, 5) = 1 –5 < x < 1 Cap de les respostes anteriors.

9 3,1416 és un valor aproximat de ππ amb un error més xicotet que:

Milionèsima. No és un valor aproximat, és un valor exacte.

Una deumil·lèsima. Cap de les respostes anteriors.

10 El coneixement de l’error absolut i l’error relatiu en una mesura que hem dut a terme, ens informen de:

Si hem utilitzat l’instrument adequat. El grau d’aproximació i la qualitat de la mesura.

No té massa interés per al mesurament. Cap de les respostes anteriors.dc

ba

dc

ba

dcba

dcba

dc

ba

d– 50 7+c7 50–b50 7–a

50

dc

ba

dc

ba

dcba

dc

)

b1710

a

3

01_EAVV5754 26/8/08 07:57 Página 23

opció b - tabarcallibres.com · 4 eso matemàtiques rodolfo esteve / maribel deusa / pascual...

Documents