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PROLOGMÁTICA 2012IV CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA

3.er Año de Secundaria

1. Consideremos dos rectas paralelas y coplanares L

1 y L 2, luego se toman n puntos de L

1 y n puntos de L

2. Si se toman 3 puntos de los 2n puntos considerados, existen 180 casos en los que dichos 3 puntos son los vértices de un mismo triángulo, ¿cuántos de dichos triángulos, sus lados no contienen a otros puntos de los 2n aparte de los vértices?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 100 E) 120

2. En una habitación hay 2n personas, cada una con un polo, cada polo tiene impreso un número del 1 al 2n (todos tienen números diferentes). Se selecciona aleatoriamente 3 personas y se anota su número de polo. Se sabe que la probabilidad de que el menor de los tres números anotados sea n es 3/44. Si las 2n personas se distribuyeran aleatoriamente alrededor de una mesa circular, ¿cuál es la probabilidad de que estén alternadas las personas cuyos polos tienen numeración par con los de numeración impar?

A) 1/462 B) 1/216 C) 2/231 D) 1/210 E) 2/165

3. En una muestra de 20 empresas del sector metalúrgico se obtuvieron los siguientes datos sobre el número de empleados (x) y sus ingresos anuales en millones de u.m.

N.º deempleados

(x)

Ingresos anuales (y)

50 – 100 100 – 250 250 –1000

10 - 30 6 2 0

30 - 50 1 1 0

50 - 100 0 0 10

¿Cuál es la suma del número que representa los ingresos medios anuales y el que representa el número de empleados medio?

Tercer Año de SecundAriA

A) 414,5 B) 485,5 C) 487,5 D) 492,5 E) 493,5

4. Seis alumnos rinden un examen calificado en escala vigesimal (del 0 al 20), siendo sus notas valores enteros. De acuerdo a la siguiente información

• La nota aprobatoria es 10. • La moda es 12 y la mediana es 14. • El producto de dos notas es 180. • Ningún alumno desaprobó. • Hay dos notas que están en la relación de 2 a 1. Calcule la varianza de las seis notas.

A) 10,45 B) 10,94 C) 11,76 D) 12,35 E) 12,89 5. En una reunión hay 4 argentinos, 5 brasileños y 6

peruanos. Calcule el número de comisiones diferentes de 10 personas que se pueden formar si debe contener al menos 2 peruanos, el número de peruanos no debe ser mayor que el número de argentinos y el número de argentinos no debe ser mayor que el número de brasileños.

A) 423 B) 480 C) 500 D) 535 E) 575

6. Si en R se cumple que ( )log log 01

ba c

ac + + = -

,

calcule el valor equivalente de2 2 2log( 1) log( 1) log( 1)

log( ) log( ) log( )a b ca b b c a c

+ + + + ++ + + + +

A) 1 B) - 1 C) 2 D) 3 E) - 2

7. Determine cuántas soluciones presenta la ecuación logarítmica ( )2log 4 1 log 1x x x+ = + + .

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de tres.

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8. Se tiene el siguiente sistema mixto

52

4

xyx y

< < + =

Halle la variación de z = (x - 1)(7 -y)

A) z ≥ -4 B) - 3 < z < 12 C) - 4 < z ≤ 32 D) 5 < z < 32 E) –5 < z < 21

9. Se define una función { }: 0f - →R R tal que ( )2

54

· 40xx

f f x

=

Determine f * ( f *: función inversa)

A) 3 24

x+ B) 45x

C) 3 2

4x

D) No tiene inversa E) 54x

10. Una de las soluciones de la ecuaciónx4 - 8x2 + 8 = 0

es a b c d+ + - , siendo a; b; c y d números

naturales. Determine ( 2)·( )a b c d+ + .

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Sabiendo que

(a - b)c - (1 + ab)d = 1

(a - b)d + (1 + ab)c = 2

calcule el valor de (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + d2).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Halle el valor entero de N que satisface:

Si x x x x N N+ + + + = ∈ +1 2 6 3 1, [ , ]entonces

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

13. Si P (x) es un polinomio de primer grado tal que

P (P (x) + x) + P (x) = 3x + 3

halle el máximo valor de P (-2).

A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 6

14. Si se cumple que

x y

x y

+ =

+ + + =

3

1 1 52 2

determine el valor de x x y y+ +

+ +

2 21 1 .

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. Si se cumple que

x + y = 2a ax + 2y = 4a a2x + 4y = 6a + 4

halle el valor de a.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

16. Calcule el área de la región triangular DPM si M es

punto medio de AC; AB=5; BC=7 y AC=8.

A CD M

B

P

A) 5 22

B) 5 34

C) 5 38

D) 4 33

E) 35

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3.er Año de Secundaria

17. Se tiene un triángulo ABC se traza la ceviana interior

BD, si AD=2; DC= 5–1 y mBAD=9º.

Calcule mBDC.

A) 69º B) 75º C) 84º

D) 108º E) 72º

18. Si x, y, z son las medidas de los lados de las regiones

cuadrangulares sombreadas encuentre la relación

verdadera.

A

B

G

NMy

CQzx

PE

A

A) x =  yz B) 1x

= 1y

+ 1z

C) x =  y+ z

D) x = 2xyx+y

E) x =  xy4

19. En el gráfico G es baricentro del triángulo ABC,

además, 3sena – cosa = 3, halle el valor de tanx.

α

A CM

G

x

B

A) 3 B) 32

C) 12

D) 13

E) 23

20. Se tiene un rombo ABCD en BC y CD se toman los

puntos E y F respectivamente tal que BE=CF, se

traza la diagonal BD que intersecta a AE y AF en P y Q

respectivamente, si con las medidas de los segmentos

BP, PQ y QD se puede formar un triángulo. Calcule la

medida de uno de los ángulos de dicho triángulo.

A) 30º B) 45º C) 60º

D) 90º E) 37º

21. M y N son puntos de tangencia. ABCD: cuadrado,

halle AMMB

.

B

M

T

N C

A D

A) 52

B) 5 + 12

C) 13 + 12

D) 5 + 22

E) 5 + 32

22. Dos estaciones de radar tienen que calcular la altura

de un avión por ubicación simultánea. Del primer

radar se observa el avión en la dirección N 14

NE con un ángulo de elevación de 30º, del segundo radar

se observa el avión en la dirección O 14

NO con un ángulo de elevación de 60º. Halle la altura a la que se encuentra el avión, si la distancia entre los radares es d km.

(Nota: 30=5,48)

A) (0,540)d km

B) (0,316)d km

C) (0,439)d km

D) (0,500)d km

E) (0,548)d km

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23. En el gráfico mostrado, halle el valor de

tana + tanb + tanq, si se cumple que AB=4 · BM.

A) 3136

B) – 3136

C) 3631

Y

M

X

B(4n; 6)

A(–3n; 8)

αβ

θ

D) – 3631

E) 12736

24. En el gráfico, calcule TH en términos de a y r

XCO

T

B

H

r

Y

α

A) r senα α2 2

+

cos

B) r senα α2 2

−

cos

C) r cos tanα α2 2

+

D) r cos tanα α2 2

−

E) r secα α2 2

+

csc

25. En una caja hay 10 pares de guantes de color marrón y 10 pares de guantes negros. ¿Cuántos guantes como mínimo se deben sacar para tener la certeza de extraer un par de guantes útiles?

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

26. Si

E = 1 + 22 + 23 + 24 + 25 + ... + 21018 y N=3828

Halle el residuo de la quinta parte de E veces más

que N.

A) 5 B) 2 C) 7

D) 1 E) 6

27. En este instante son las 9 h 20 min y 30 s, un reloj empieza a adelantarse a razón de 27 min cada 5 h. ¿Qué ángulo formarán las agujas horario y segundero cuando el reloj marque la hora correcta por segunda vez?

A) 180º B) 179,75º C) 179,25º D) 179,5º E) 178,75º

28. Un explorador se encuentra acampando al pie de una montaña perfecta cónica, cuya altura es 25 60 y el radio de su base es 50 km. Quiere rodear dicha montaña volviendo al punto de partida por el camino más corto. ¿Qué longitud tiene dicho camino?

A) 200p km B) 200 km C) 100 2 km D) 250 km E) 200 2 km

29. Si A = 6x2 + 3x - 5 y B = 5 + 3x - 6x2, calcule la suma de los valores máximos o mínimos que pueden tomar A y B.

A) 43/4 B) 0 C) - 43/4 D) 21/2 E) - 21/2

30. En la figura halle el perímetro de la región sombreada.

A) 110 B) 105 C) 100

4 u

D) 95 E) 70