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PROLOGMÁTICA 2011III CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA

3.er Año de Secundaria

1. Sea N el menor entero positivo que multiplicado por

33 resulta un número cuyos dígitos son todos iguales

a 7. Determine el valor de la suma de los dígitos de N.

A) 20 B) 18

C) 23

D) 25 E) 27

2. De los alumnos que estudian en una universidad se

observó que la probabilidad que tiene un alumno para

estudiar los cursos A, B y C son 8/25, 11/50 y 9/20

respectivamente. Además, la probabilidad de que

estudie los tres cursos es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad

de estudiar solamente dos cursos, si la probabilidad de

estudiar por lo menos un curso es 0,55?

A) 0,20 B) 0,24

C) 0,32

D) 0,44 E) 0,40

3. Sean A, B y C tres magnitudes. Cuando C es constante,

A y B están relacionados según la siguiente tabla:

A 24 36 48 60 72 mB 4 9 16 25 36 64

cuando B es constante se tiene

A 36 16 9 4 1C 2 3 4 6 n

para las 3 magnitudes se tiene

A 9 2 y

B x 2 32

C 4 6 3

Tercer Año de SecundAriA

Calcule m + n + x + y

A) 148 B) 150

C) 152

D) 154 E) 160

4. Los nueve primeros números naturales 3º, se escriben

en el siguiente "cuadrado mágico" en el cual la suma

de los números en cada fila, en cada columna y en

cada diagonal es la misma. Halle M + N + P, si además

a < b.

N

M ba

ab P

A) 15 B) 18

C) 36

D) 45 E) 27

5. Las notas de seis alumnos de PROLOG en el curso

de Aritmética constituyen una muestra unimodal,

la moda es 12 y la mediana es 14. La calificación se

realizó en la escala vigesimal (de 0 a 20), siendo la nota

mínima para aprobar 10. Se sabe además que dos

alumnos tienen notas que están en la relación de 2 a 1,

el producto de las notas de un par de alumnos es 180

y todos aprobaron. Determine el valor de la varianza

de dicha muestra de datos.

A) 6,75 B) 7,64

C) 9,15

D) 11,73 E) 12,89

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6. Indique la suma de los valores enteros que satisfacen

23

< x - 1x + 3

< 79

A) 46 B) 52

C) 60

D) 68 E) 75

7. La ecuación polinomial

x4 - 2x3 - 3x2 + 2x + 1=0

presenta una raíz de la forma

12

− + −a b c ;

calcule el valor de a + b - c.

A) -2 B) 0

C) 1

D) 2 E) 5

8. Dado el polinomio P( )=x3 + 3x2 - 3x - 9

halle P 4 2 13 3+ −( ) .

A) 27 B) 23

C) 17

D) 7 E) 2

9. Sea P (x)=x4 - 5x3 + 4x2 + 3x + 4

calcule P P2 3 2 3+( )+ −( ) .

A) 7 B) 10

C) 12

D) 15 E) 24

10. Sea z un complejo tal que

z + 2= 10

z - i= 13

halle el menor valor de Re(z) + Im(z)

A) -12/5 B) -14/5

C) -5/6

D) 0 E) 13/5

11. Halle el número real k de modo que la solución de la

inecuación: 2x -1x+2

> k, sea el intervalo

⟨- ∞; - 2⟩ ∪ ⟨3; + ∞⟩

A) 1 B) 2

C) - 1

D) -3 E) 5

12. Si a < b < 0 y S es el conjunto de solución de la

ecuación: |x - a| + b = |x + a|- b;

entonces el conjunto S es

A) {a} B) {- b}

C) {a; b}

D) {a; - b} E) {a + b; a - b}

13. Sean las matrices A= x-1

1y

y B = 4z

xy

donde x, y,

z no son todos cero. Si AB es la matriz nula, entonces

el valor de (x + y + z) es

A) -1 B) 6

C) 4

D) 0 E) - 4

14. Si y = x + 1x

; entonces la expresión

x4 + x3 - 4x2 + x + 1=0 se convierte en:

A) y2 - 2y + 6=0

B) y2 - y - 6=0

C) x2 (y2+ 2y - 6)=0

D) x2 (y2+ y - 6)=0

E) x2 (y2- y + 6)=0

15. En una circunferencia de radio la unidad se inscribe

un heptágono regular ABCDEFG. Halle el valor de

(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(AG).

A) 6 B) 7

C) 8

D) 14 E) 49

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3.er Año de Secundaria

16. En el gráfico mostrado se tiene que AB=AC; BD=DE y

m S NDE=m S MDE. Calcule el valor de x.

20º

x

A C

N

B

D E

M

A) 20º B) 25º

C) 30º

D) 35º E) 40º

17. Si los polígonos mostrados son regulares y el lado

del hexágono mide ( 6 – 2); calcule el perímetro del

cuadrado.

A) 6 3

B) 8 2

C) 4 6

D) 4 2

E) 8

18. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD

(m S A=m S B=90º). En CD se ubica su punto medio

M, tal que AM y BD se cortan perpendicularmente en

el punto T. Si AT=8 y TM=1, calcule AB.

A) 12 B) 11

C) 5 7

D) 65 E) 5 13

19. Se tiene un triángulo equilátero ABC, M es punto

medio de AB y P es un punto de la región interior

del triángulo, tal que: m S MPB=m S APC=90º.

Si AC=4 7; calcule el área del triángulo BPC.

A) 4 3 B) 8

C) 4 5

D) 6 E) 3 6

20. Si A, B y C son puntos de tangencia y m MN=q; calcule

el valor de x.

A) q4

B) 45º - q4

C) q8

B

C

x

A

N

M

D) 45º - q8

E) 90º - q8

21. Desde la parte superior de una torre cuya altura es

de 5 m, se observa al NE la parte superior de otra

torre cuya altura es 10 m con un ángulo de elevación

a y la parte superior de una tercera torre que está

en la dirección S75ºE y de altura 2 m con un ángulo

de depresión b. Además desde la parte superior de

la torre de menor altura se observa al NO la parte

superior de la torre de mayor altura con un ángulo de

elevación q. Halle el valor de

8 3cotq(tana + 2tanb)

3tana · cotb

A) 1/5 B) 4/5

C) 6/5

D) 9/5 E) 12/5

22. Del gráfico, halle tana.

O

α

X

Y

(−3; 4)

A) - 7/12 B) - 12/7 C) - 5/12

D) - 12/5 E) - 12/13

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23. Si

f (x)=asenx + bcosx+c;

halle el valor de

f x f x

f x f x

π π

π π

−( ) − +

+( ) − −

232

en términos de a y b.

A) a - ba + b

B) a + bb - a

C) a + 2bb + a

D) 2a + ba - b

E) ab

24. En el gráfico, AB=BC; halle el valor de q, para que la

tanq sea mínima.

θ

H

D

A

B C

A) 37º B) 53º

C) 60º

D) 23º E) 30º

25. Se han escrito nueve enteros positivos diferentes en un tablero de 3 × 3, de modo que la suma de los tres números escritos en una misma fila o columna es un cuadrado perfecto. Si n es el mayor número en el tablero, encontrar el menor valor posible de n.

A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 19

26. Sea abcde un número de cinco dígitos no nulos tal

que es múltiplo de 11 y, además se cumple que edcba

es múltiplo de 8. Halle el mayor valor que puede

tomar la suma de sus dígitos.

A) 38 B) 39

C) 40

D) 41 E) 42

27. Se disponen de S/.100 para comprar 40 sellos de S/.1; S/.4 y S/.12; ¿cuántos sellos de S/.12 deberán comprarse; si por lo menos se debe comprar un sello de cada clase?

A) 10 B) 6 C) 8 D) 3 E) 9

28. La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes que viene da 38. Sabiendo que todas las fechas mencionadas corresponden a un mismo año; ¿qué día cae el 4 de septiembre de dicho año?

A) lunes B) sábado C) jueves D) domingo E) viernes

29. Se sabe que x + 3 =x2 + x + 2; además x =3x + 2; calcule n; si n + 2 =2.

A) -1 B) 10 C) 1 D) 2 E) 3

30. Los 2/3 de los profesores del Colegio PROLOG son mujeres, 14 de los varones son solteros, mientras que los 3/5 de los profesores varones son casados. ¿Cuál es el número total de profesores del Colegio PROLOG?

A) 110 B) 105 C) 100 D) 95 E) 70