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PROLOGMÁTICA 2012IV CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA

2.o Año de Secundaria

5. En un recipiente se tienen 60 L de vino y agua donde

el volumen del vino es 2 veces más del agua. Si se

extraen 12 L de la mezcla y se agregan 20 L de otra

mezcla, donde la cantidad de vino y el total es de 2 a 5,

calcule la razón aritmética del volumen de vino y agua

que hay al final.

A) 14 B) 18 C) 24

D) 20 E) 12

6. Se tienen cierto número de bolas blancas, rojas y

azules, donde se cumple que por cada 3 blancas hay 2

rojas y por cada 4 azules hay 5 rojas. Si la cantidad de

azules excede a la tercera parte de las blancas en 12,

calcule la razón aritmética de la cantidad de bolas rojas

y blancas.

A) 30 B) 10 C) 20

D) 15 E) 24

7. Sea A=[a; b] y x ∈R, se define

( ).........si:

; .........si:0..............si:

a x x ad x A x b x b

x A

− <= − > ∈

Establezca el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

I. d (x; A) ≥ 0 ∀x ∈R

II. Si 2

a bx

+= entonces d (x; A) ≠ 0

III. Si a = b y 2

a bx

+= entonces d (a; A) > 0

A) VFV B) VFF C) VVF

D) FVV E) VVV

1. La suma de los n primeros términos de una sucesión

se calcula mediante Sn=an2 + bn + 5; ∀ a ∈Z0+; si

las sumas de los 7 y 9 primeros términos de dicha

sucesión son 187 y 293 respectivamente, calcule el

término de lugar 24 de dicha sucesión

A) 152 B) 134 C) 140

D) 146 E) 145

2. Si an n n

n nn =+ +

+

2 5 31

3 ( )( )

calcule ann=∑

1

2000

De como respuesta la suma de sus cifras

A) 13 B) 19 C) 12

D) 20 E) 17

3. Determine a + b + c del menor número de la forma

abcabc, sabiendo que tiene 16 divisores y que a, b

y c son cifras diferentes.

A) 4 B) 3 C) 5

D) 6 E) 7

4. La siguiente es la tabla de divisores de un número.

*****c

****

105*

**a***

****b*

Entonces a + b + c es:

A) 2 345 B) 3 450 C) 1 340

D) 1 345 E) 1 351

Segundo Año de SecundAriA

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Colegios PROLOGPROLOGMÁTICA 2012IV CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA

8. Sabiendo que

I. a + b = 2

II. a >0 ∧ b < 0

III. El conjunto solución de

2 2ax b bx a a b

b a ab+ − +

− > es ⟨– ∞; 4⟩

determine a · b

A) – 18 B) – 15 C) – 12

D) – 24 E) – 36

9. Luego de resolver el sistema de ecuaciones

1681

1681

2627

1

2 2

2 2

+

=

+ =

x y

x y

Calcule x2 – y2

A) 1 B) 7/25 C) 1/2

D) -1 E) -7/25

10. El dominio máximo de la función f definida por

2012

( )12

f xx x

=− +

es { }; a b−∞ − . Determine a · b

A) 36 B) – 36 C) 12

D) 48 E) – 48

11 Si antilogx2 + cologx2 = 0 calcule el valor de x6

A) 6 B) 4 C) 8

D) 64 E) 27

12. Sea : 1;f + ∞ → R una función tal que:

( ) 2log 4log 2 1xxf x= + −

Determine Ran(f).

A) 1; + ∞ B) 3; + ∞ C) 2; + ∞

D) 4; +∞ E) 3; + ∞

13. Se define la función f xxx

( ) ;= − + ∈−2 1 21 R

determine su rango.

A) 2; +∞ B) 2; + ∞ C) [2; 3]

D) 2; 3 E ) 1; 3

14. Los complejos z que satisfacen |z +1| = |z – i| describen

en el plano una gráfica, determine su nombre.

A) punto

B) recta

C) circunferencia

D) parábola

E) No existen tales complejos

15. Determine el rango de la función f definida en su

dominio máximo

( )

2 216 212

x x

xf− + − =

A) 6 142 ; 2− B) 1; + ∞ C) 4 182 ; 2−

D) 14 62 ; 2− − E) 0; + ∞

16. A partir del siguiente sistema

2 2

2 2

sen cos 3 1

cos sen 2 3

x a y b

x a y b

+ = −

+ = −

Determine 2

2x y

y x

+

+; ∀ a; b ∈R

A) - 1 B) 1/4 C) 1/2

D) 1 E) 2 3 1−

17. Se tiene el cuadrado ABCD y el rombo AEFD, tal que

CD ∩ EF = {G}. Si GD=4(CG)=8, calcule la distancia

entre los centros de dichos paralelogramos

A) 2 10 B) 10 C) 2 2

D) 2 5 E) 5

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PROLOGMÁTICA 2012IV CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA

2.o Año de Secundaria

18. Dado un cubo ABCD–EFGH, P es punto medio de EH y

Q es punto medio de HG. Halle el volumen del cubo si

el volumen de la pirámide A – PHQ es V

A) 30V B) 48V C) 12V

D) 6V E) 24V

19. Halle el área de la región sombreada, si el área de la

región FHC es 10 u2

B2θ

θ

C

EF

DA

H

M

A) 25 u2 B) 15 u2 C) 40 u2

D) 20 u2 E) 30 u2

20. En un cuadrado ABCD, en los lados AB, BC y CD se

ubican los puntos P y Q y R, respectivamente, de

modo que APQR es un trapecio isósceles y AQ = AR,

calcule PB + RDCR

A) 1 B) 2 C) 1/2

D) 3/4 E) 3

21. Se tiene un prisma triangular recto, cuya altura es

igual al radio R de la circunferencia circunscrita a su

base. Calcule la razón entre volumen y el producto de

las áreas de las caras laterales.

A) 16R3 B) 1

2R3 C) 15R3

D) 14R3 E) 1

8R3

22. En el gráfico, AOB es un cuadrante, T es punto de

tangencia, halle el valor de cot2q.

θ

30ºA

T

O

B

A) 34

B) 43

C) 45

D) 54

E) 13

23. En el gráfico, halle el mínimo valor de tana + tanq,

siendo O centro de la semicircunferencia, además

AB = 1; BC = 3 y CD = 2

α θ

A B O C D

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3

D) 0,4 E) 0,5

24. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza

la ceviana AD, tal que se cumple AD = CD, mBAD = a,

mCAD = q, halle el valor de cos2acos2q

+ 2sena.

A) 2 B) 1 C) 3

D) 4 E) 6

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25. ¿Cuántos rectángulos (incluidos los cuadrados) cuyos

lados tengan valores enteros y un área igual a 2012

existen?

(No se cuentan los giros ni reflexiones del rectángulo)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 503 E) 2012

26. Si un cubo se pinta de azul y este se divide en

1000 cubitos iguales. ¿Cuántos cubitos tendrán

exactamente dos caras azules?

A) 96 B) 100 C) 120

D) 64 E) 80

27. Si n es un entero positivo de 2 cifras, halle la cantidad

de valores que toma n para los cuales es posible

construir un cuadrado de n × n ensamblando piezas

del tipo

A) 20

B) 22

C) 24

D) 25

E) 26

28. Halle la suma de todos los números naturales de 4

cifras que son iguales al cubo de la suma de sus cifras.

A) 10 845 B) 10 748 C) 10 745

D) 10 848 E) 10 755

29 En la sucesión: 2005, 2004, 2004, 2003, 2003, 2003,

2002,… el término uno es 2005, los términos dos y

tres son 2004, los términos cuatro, cinco y seis son

2003 y así sucesivamente. ¿Cuál es el término que

está en el lugar 2005?

A) 1940

B) 1942

C) 1943

D) 1950

E) Ninguna de las anteriores.

30. Sea A una matriz de orden 5, cuyo grado de nilpotencia

es p. Se define la matriz AB=1 + A +A2+ A3 + ... + A2012;

determine el mayor valor de p tal que B es

idempotente.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5