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Portal FuenterrebolloOlimpiada Matemáticas Nivel II  (1º ‐ 2º ESO)

OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL II (1º - 2º ESO)

46. Al pobre Jacinto siempre se le olvidaba atar la vaca y su padreinventó este acertijo para que no volviera a ocurrir. Si letrasdiferentes representan números diferentes.

A M A RR A

R E S

¿Qué número corresponde a la letra E en esta resta?

A) 1 B) 2 C) 7 D) 8 E) 9

Solución:

R E SR A A 1

A M A R

R E SR 1 M 0

1 M 1 R

R E SR 1 R 9

1 0 1 R

9 E S9 1 S 8

1 0 1 9

9 E 89 1 E 2

1 0 1 9

1 0 1 99 1

9 2 8

47. Lucía se encarga de la iluminación de la obra de teatro. Tienen tres focosalineados y cada uno de ellos puede dar luz roja, verde o azul. Si ninguno puede estarapagado y además, dos focos contiguos no pueden lucir el mismo color. ¿de cuántasmaneras diferentes pueden iluminar la obra?

A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 27

Solución:

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Encendido el primer foco (rojo, verde o azul), el segundo foco puede ser de dos coloresdistintos al primer foco, mientras que el tercer foco puede ser de dos colores distintosal primer segundo foco.

De este modo, las formas diferentes de lucir serán: x x3 2 2 12

48. Laura elige un número y suma los diez resultados de su tabla de multiplicar.Patricia suma los diez resultados de la tabla de multiplicar del número siguiente al deLaura. ¿Cuál es la diferencia entre el resultado de Patricia y el de Laura?

A) 10 B) 55 C) 100 D) Cada vez dará una resta distinta E) No se puede saber si no conocemos el número de Laura

Solución:

Laura suma los números: x 2x 3x 4x 5x 6x 7 x 8x 9x 10x

Patricia suma los números:

(x 1) 2(x 1) 3(x 1) 4(x 1) 5(x 1) 6(x 1) 7 (x 1) 8(x 1) 9(x 1) 10(x 1)

Las diferencias de los números, uno a uno, son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

49. En una gran caja hay 1000 garbanzos, 200 lentejas y 360 guisantes. El afamadomago Hortalizo convierte, en cada golpe de tambor, tres garbanzos en dos lentejas y unguisante. ¿En qué golpe de tambor conseguirá Hortalizo tener el mismo número de cadauna de las tres legumbres?

A) 150 B) 155 C) 156 D) 158 E) 160

Solución:

Hay 1000 200 360 1560 tipos de legumbres, para que se igualen habrá 1560 5203

legumbres de cada tipo. Sabemos que los guisantes aumentan de uno en uno, comoempiezan siendo 360 guisantes, habrá 520 360 160 golpes de tambor.

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50. Dos hormigas caminan alrededor del reloj de la torre de la Iglesia, en sentidoscontrarios y a velocidades diferentes, cada una mantiene su ritmo constantemente. Laprimera vez que se encontraron fue en la marca de las 3; y la segunda vez en la marca delas 10. Cuando se volvieron a ver dijeron: "Paramos cuando nos hayamos cruzado 100veces en total". ¿En qué marca se pararon?

A) 12 B) 11 C) 9 D) 6 E) 4

Solución:

La hormiga que camina en sentido de las agujas del relojavanza siete horas y la otra retrocediendo cinco horas.

Después de 99 encuentros, después del primero, hanpasado x99 7 693 horas avanzando. Dividiendo por 12horas, dan un resto de 9 horas avanzando.

Como el primer encuentro fue a las 3, el encuentro 100será a las 12

51. Si

113A

2

y

112B

3

, ¿cuánto vale A B

A . B ?

A) 3 B) 136

C) 2 D) 16

E) 118

Solución:

1 3 1 21 13 3 3A2 2 2 3

1 2 1 11 12 2 2B3 3 3 6

X

1 1 2 1 1A B 183 6 6 6 3

1 1 1 1A . B 63 6 18 18

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52. Los habitantes de Cuadripón operan los números decuatro en cuatro del siguiente modo:

¿Qué resultado obtuvo Cuadrupín cuando realizó la operaciónde la derecha?

A) 0 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24

Solución:

53. Fíjate como se forma la siguiente serie:

Si continuamos colocando números, ¿en qué posición caerá el número 2012?

A) A B) B C) C D) D E) E

Solución:

En el rectángulo inferior derecha de cada rectángulo caen siempre los múltiplos de 8ordenados: 8, 16, 24, ...

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Siguiendo la idea, el múltiplo de ocho más próximo a 2012 es 2008, basta con ircolocando los números siguientes:

El número 2008 cae en laesquina inferior derecha, larespuesta es B

54. El equipo de ajedrez de mi barrio consta de cuatro jugadores. Como hemos ganadola competición nacional, nos han regalado cuatro bicicletas del mismo modelo, dos rojas,una verde y una azul. Dos niños del equipo son gemelos y quieren bicicletas de distintocolor. ¿De cuántas formas diferentes podemos hacer el reparto?.

A) 6 B) 24 C) 20 D) 10 E) 8

Solución:

1 Gemelo R R R R V V V A A A2 Gemelo A A V V A R R R R V3 Jugador R V A R R R A R V R4 Jugador V R R A R A R V R R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se pueden realizar 10 repartos diferentes.

55. En un triángulo equilátero ABC, hemos dibujado una puntade lanza usando arcos con centros en los vértices A y B, y en lospuntos medios, M y N, de los lados AC y BC. Todos los arcostienen como radio la mitad del lado del triángulo. Si el triángulotiene 12 dm2 de área.¿Cuál es, en dm2, el área de la punta de lanza?.

A) 9 B) 7,5 C) 6 D) 4 E) 3

Solución:

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Colocando el área de los arcos MC yNC en el interior del triángulo ABC,la punta de lanza ocupa la mitad deltriángulo.

El área de la punta de lanza es 26 dm

56. Como se ve en la figura hemos rodeado un hexágonoregular por triángulos equiláteros, y luego aprovechando suscentros hemos dibujado una flor de seis pétalos. Si el área deun triángulo es de 3 cm2, ¿cuál es, en cm2, el área de la flor?

A) 36 B) 42 C) 45 D) 54 E) 60

Solución:

La flor de seis pétalos esta formada por 14triángulos equiláteros:

La parte interior de la flor es un hexágonoformado por 6 triángulos.

Los pétalos de la flor constan de 24cuadriláteros. Cada tres cuadriláterosforman un triángulo.

Los pétalos de la flor quedan formados por 24 83

triángulos.

El área de la flor será: 2x14 3 42 cm

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57. Al dividir un número entre 60 obtenemos un cociente impar y 12 de resto. Sidividimos el mismo número por 120, el resto será:

A) 12 B) 24 C) 48 D) 60 E) 72

Solución:

Dividendo = divisor x cociente + resto. Un número impar es de la forma (2a 1)

El número será N 60 (2a 1) 12 120 a 60 12 120 a 72

Si al número 120 a 72 se divide por 120, el resto r 72

58. Una cruz compuesta por cinco cuadrados iguales está inscritaen un cuadrado. Si el área de la cruz es de 25 cm2.¿Cuál es, en cm2, el área del cuadrado?

A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 E) 48

Solución:

La cruz se descompone en 5 cuadrados iguales, cada uno de 225 5 cm5

El cuadrado se compone de 8 de esos cuadrados, luego su área es 2x8 5 40 cm

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59. Si x e y son números enteros positivos, lo más pequeños posibles para que 360 . xsea un cuadrado perfecto y 360 . y sea un cubo perfecto, entonces x y debe ser:

A) 80 B) 85 C) 115 D) 165 E) 610

Solución:

En la descomposición factorial de un cuadrado perfecto todos los exponentes son pares,mientras que en la de un cubo perfecto todos los exponentes son múltiplos de tres.

3 2 3 2360 2 . 3 . 5 360 . x 2 . 3 . 5 . x hay que añadir un 2 y un 5con lo cual, x 2. 5 10 El cuadrado perfecto es 360 . x 360 . 10 3600

3 2 3 2360 2 . 3 . 5 360 . x 2 . 3 . 5 . x hay que añadir un 3 y dos 5con lo cual, 2x 3. 5 75 El cuadrado perfecto es 360 . y 360 . 75 27000

La suma pedida x y 10 75 85

60. El resto que queda al dividir 102 . 10 1 entre 6 es:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

Solución:

Se advierte fácilmente que la última cifra que hayque dividir es 21. En consecuencia, el resto es 3

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61. Si el hexágono grande de la figura mide 180 cm2 de área, elárea del hexágono central es, en cm2:

A) 15 B) 18 C) 20 D) 30 E) 16

Solución:

El hexágono grande está formado por 7hexágonos pequeños y 6 rombos, donde3 rombos equivalen a una hexágonopequeño. En definitiva, por 9 hexágonospequeños.

El área del hexágono central será: 2180 20 cm8

62. ¿Qué fracción de la superficie del cuadrado está sombreada?

A) 14

B) 516

C) 38

D) 716

E) 12

Solución:

La región sombreada es 716

del total.

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63. La figura está formada por cuatro pentágonos regulares queencierran un paralelogramo. ¿Cuánto mide el ángulo ˆBAC ?

A) 15º B) 18º C) 20º D) 30º E) 36º

Solución:

El ángulo central del pentágono

regular mide 360 72º5

Ángulo interior: 180 72 108º

En el paralelogramoABDC , los ángulos ˆDBA Y ˆDCA miden 360º 108º 108º 144º

Los ángulos ˆBAC Y ˆCDB , cada uno, miden: 360º 144º 144º 36º2

64. Dividimos un hexágono regular entres hexágonos regularesiguales y tres rombos iguales, como se muestra en la figura. Si elárea del hexágono regular grande es 360 cm2, el área de cadarombo, en cm2, es:

A) 60 B) 30 C) 75 D) 15 E) 45

Solución:

El hexágono regular pequeño se puededescomponer en tres rombos (como losrombos de las esquinas)

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El hexágono regular grande se puede formar con doce de los mencionados rombos. En

consecuencia, el área de cada rombo es: 2360 30 cm12

65. Cada vértice de la estrella de la figura es el punto medio decada uno de los lados del cuadrado grande. ¿Qué fracción del áreadel cuadrado cubre la estrella?

A) 15

B) 14

C) 13

D) 38

E) 25

Solución:

La estrella se descompone en cuatrotriángulos rectángulos, iguales dos a dos.

Los triángulos A tienen de base l / 2 yde altura l / 4

Los triángulos B tienen de base l / 4 y de altura l / 2

El área de los cuatro triángulos es la misma. En consecuencia, la suma de los cuatro

triángulos rectángulos es

2 2

2 2xx x x x

l l l ll l2 4 8 84 4 4 4

2 2 2 16 4

La fracción del área del cuadrado que cubre la estrella es 14