olimpiada de mayo xiv - xvii

7/31/2019 Olimpiada de Mayo XIV - XVII

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OLIMPIADA DE MAYO - XIV

PRIMER NIVEL

PROBLEMA 1

Cuntos nmeros distintos de 6 cifras y mltiplos de 45 se pueden escribir aadiendo un dgito a la izquierda yotro a la derecha de 2008?

PROBLEMA 2

En el colegio Olmpico los exmenes se califican con nmeros enteros, la menor nota posible es 0, y la mayor es10. En la clase de aritmtica el profesor toma dos exmenes. Este ao tiene 15 alumnos. Cuando uno de susalumnos obtiene en el primer examen menos de 3 y en el segundo examen ms de 7, l lo llama alumnosuperado . El profesor, al terminar de corregir los exmenes, promedi las 30 notas y obtuvo 8. Cul es lamayor cantidad de alumnos superados que pudo haber tenido esta clase?

PROBLEMA 3

En un pizarrn estn escritos todos los nmeros enteros del 1 al 2008 inclusive. Se borran dos nmeros y seescribe su diferencia. Por ejemplo, si se borran 5 y 241, se escribe 236. As se contina, borrando dos nmeros yescribiendo su diferencia, hasta que slo queda un nmero. Determina si el nmero que queda al final puedeser 2008. Y 2007?En cada caso, si la respuesta es afirmativa indica una secuencia con ese nmero final, y si es negativa, explicapor qu.

PROBLEMA 4

Sobre el ladoAB de un cuadradoABCD se dibuja exteriormente el tringulo rectnguloABF, de hipotenusaAB .Se sabe queAF= 6, y que BF= 8. Llamamos E al centro del cuadrado. Calcula la longitud de EF.

PROBLEMA 5

En un tablero de 16 x 16 se colocaron 25 monedas, como en la figura. Est permitido seleccionar 8 filas y 8columnas y retirar del tablero todas las monedas que se encuentran en esas 16 lneas. Determina si es posibleretirar todas las monedas del tablero.

Si la respuesta es afirmativa, indica las 8 filas y las 8 columnas seleccionadas, y si es negativa, explica por qu.

SEGUNDO NIVEL

PROBLEMA 1

En el pizarrn est escrita la siguiente expresin

.
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OLIMPIADA DE MAYO - XV

PRIMER NIVEL

PROBLEMA 1

A cada nmero natural de dos cifras se le asigna un dgito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si elresultado es un dgito, ste es el dgito asignado. Si el resultado es un nmero de dos cifras se multiplican estasdos cifras, y si el resultado es un dgito, ste es el dgito asignado. En caso contrario, se repite la operacin. Porejemplo el dgito asignado a 32 es el 6 pues 3 2 = 6; el dgito asignado a 93 es el 4 pues 9 3 = 27, 2 7 =14, 1 4 = 4.

Halla todos los nmeros de dos cifras a los que se les asigna el 8.

PROBLEMA 2

Encuentra nmeros primosp , q , rpara los cuales sea . Da todas las posibilidades.

Recuerda que el nmero 1 no es primo.

PROBLEMA 3

Se tienen 26 tarjetas y cada una tiene escrito un nmero. Hay dos con el 1, dos con el 2, dos con el 3, y assiguiendo hasta dos con el 12 y dos con el 13. Hay que distribuir las 26 tarjetas en pilas de manera que secumplan las dos condiciones siguientes:

Si dos tarjetas tienen el mismo nmero estn en la misma pila. Ninguna pila contiene una tarjeta cuyo nmero es igual a la suma de los nmeros de dos tarjetas de esa

misma pila.

Determina cul es el mnimo nmero de pilas que hay que hacer. Da un ejemplo con la distribucin de lastarjetas para ese nmero de pilas y justifica por qu es imposible tener menos pilas.

ACLARACIN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado comn.

PROBLEMA 4

Tres circunferencias son tangentes entre s, tal y como se muestra en la figura.

La regin del crculo exterior que no est cubierta por los dos crculos interiores tiene rea igual a 2 p .

Determina la longitud del segmento PQ .

PROBLEMA 5

Por las lneas de una cuadrcula formada por 55 lneas horizontales y 45 lneas verticales camina una hormiga.Se quiere pintar algunos tramos de lneas para que la hormiga pueda ir de cualquier cruce hasta cualquier otro


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cruce, caminando exclusivamente por tramos pintados. Si la distancia entre lneas consecutivas es de 10 cm ,cul es la menor cantidad posible de centmetros que se debern pintar? correcto de mayor valor.

SEGUNDO NIVEL

PROBLEMA 1

Inicialmente en el pizarrn est escrito el nmero 1. En cada paso, se borra el nmero del pizarrn y se escribeotro, que se obtiene aplicando una cualquiera de las siguientes operaciones:

Operacin A: Multiplicar el nmero del pizarrn por 1/2.

Operacin B: Restarle al 1 el nmero del pizarrn.

Por ejemplo, si en el pizarrn est el nmero 3/8 se lo puede reemplazar por (1/2)(3/8) = 3/26 o por 1 3/8 =5/8.

Da una secuencia de pasos al cabo de los cuales el nmero del pizarrn sea .

PROBLEMA 2

SeaABCD un cuadriltero convexo tal que el tringuloABD es equiltero y el tringulo BCD es issceles,con . Si E es el punto medio del ladoAD , calcula la medida del ngulo .

PROBLEMA 3

En la siguiente suma: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, si suprimimos los dos primeros signos + obtenemos la nuevasuma 123 + 4 + 5 + 6 = 138. Suprimiendo tres signos + podemos obtener 1 + 23 + 456 = 480.

Consideremos ahora la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13, en la que se van asuprimir algunos signos +. Cules son los tres menores mltiplos de 100 que podemos obtener de estaforma?

PROBLEMA 4

Cada casilla de un tablero de 55 se pinta de rojo o de azul, de tal forma que se cumple la siguiente condicin:Para cualesquiera dos filas y dos columnas, de las 4 casillas que estn en sus intersecciones, hay 4, 2 0pintadas de rojo. De cuntas formas se puede pintar el tablero?

PROBLEMA 5

Un solitario se inicia con 25 cartas en fila. Algunas estn boca arriba, y otras boca abajo.

En cada movimiento se debe elegir una carta que est boca arriba, retirarla, y dar vuelta las cartas vecinas a laque se retir (si las hay).

El solitario se gana cuando se logra, repitiendo este movimiento, retirar las 25 cartas de la mesa.

Si inicialmente hay n cartas boca arriba, halla todos los valores de n para los cuales se puede ganar el solitario.Explica cmo se gana, independientemente de la ubicacin inicial de las cartas boca arriba, y justifica por ques imposible ganar para los otros valores de n .


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Dos cartas son vecinas cuando una est inmediatamente al lado de otra, a la derecha o a la izquierda.

Por ejemplo: la carta marcada con A tiene dos cartas vecinas y la marcada con B una sola. Despus de retiraruna carta queda un hueco, de modo que la marcada con C tiene nicamente una carta vecina, y la marcada conD no tiene ninguna.

OLIMPIADA DE MAYO - XVI

PRIMER NIVEL

PROBLEMA 1

Un recipiente cerrado con forma de paraleleppedo rectngulo contiene 1 litro de agua. Si el recipiente se apoya

horizontalmente sobre tres caras distintas, el nivel del agua es de 2 cm, 4 cm y 5 cm. Calcula el volumen delparaleleppedo.

PROBLEMA 2

En la etapa 0 se escriben los nmeros: 1 , 1.En la etapa 1 se intercala la suma de los nmeros: 1, 2 , 1.En la etapa 2 entre cada par de nmeros de la etapa anterior se intercala la suma de ellos: 1, 3, 2, 3, 1.Una etapa ms: 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1.Cuntos nmeros hay en la etapa 10?Cul es la suma de todos los nmeros que hay en la etapa 10?

PROBLEMA 3

Es posible colorear los enteros positivos con tres colores de modo que siempre que se suman dos nmeros decolores distintos, el resultado de su suma sea del tercer color? (Hay que usar los tres colores.) Si la respuesta esafirmativa, indica un posible coloreo; si no, explica el porqu.

PROBLEMA 4

Halla todos los nmeros naturales de 90 dgitos que son mltiplos de 13 y tienen los primeros 43 dgitos igualesentre s y distintos de cero, los ltimos 43 dgitos iguales entre s, y los 4 dgitos del medio son 2, 0, 1, 0, en ese

orden.

PROBLEMA 5

En un tablero de 2x7 cuadriculado en cuadritos de 1x1 se consideran los 24 puntos que son vrtices de loscuadritos. Juan y Matas juegan sobre este tablero. Juan pinta de rojo igual cantidad de puntos en cada una delas tres lneas horizontales. Si Matas puede elegir tres puntos rojos que sean vrtices de un tringuloacutngulo, Matas gana el juego. Cul es la mxima cantidad de puntos que puede colorear Juan paraasegurarse de que Matas no gane? (Para el nmero hallado, da un ejemplo de coloreo que le impida ganar aMatas y justifica por qu si el nmero es mayor, Matas siempre puede ganar.)


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SEGUNDO NIVEL

PROBLEMA 1

Determina el menor entero positivo que tiene todos sus dgitos iguales a 4, y es mltiplo de 169.

PROBLEMA 2Consideramos el rectnguloABCD y la circunferencia de centro D y radio DA, que corta a la prolongacin delladoAD en el punto P. La recta PC corta a la circunferencia en el punto Q y a la prolongacin del ladoAB en elpunto R. Demuestra que QB = BR.

PROBLEMA 3

Hallar el mnimo k > 2 para el cual existen knmeros enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadradoses un cuadrado.

PROBLEMA 4

Sea n un entero tal que 1 < n < 2010. Dado un polgono regular de 2010 lados y n monedas, debemos colorearlos vrtices del polgono utilizando n colores dados, y luego ubicar las n monedas en n vrtices del polgono. Acontinuacin, cada segundo, todas las monedas se desplazan al vrtice vecino, girando en el sentido de lasagujas del reloj.Determina los valores de n para los que es posible hacer la coloracin y elegir las posiciones iniciales de lasmonedas, de manera que en todo momento las n monedas estn todas en vrtices de distinto color.

PROBLEMA 5

Se tienen las siguientes piezas: un rectngulo de 4x1, dos rectngulos de 3x1, tres rectngulos de 2x1 y cuatro

cuadrados de 1x1. Ariel y Bernardo juegan el siguiente juego en un tablero de nxn, donde n es un nmero queelige Ariel. En cada movida, Bernardo recibe de Ariel una pieza R. A continuacin Bernardo analiza si puedecolocar R en el tablero de modo que no tenga puntos en comn con ninguna de las piezas colocadasanteriormente (ni siquiera un vrtice comn). Si existe una tal ubicacin para R, Bernardo debe elegir una deellas y ubicar R. El juego se detiene si es imposible ubicar R de la manera explicada, y Bernardo gana. Arielgana slo si se han colocado las 10 piezas en el tablero.a) Supongamos que Ariel le da las piezas a Bernardo en orden decreciente de tamao. Cul es el menor n quele garantiza a Ariel la victoria?b) Para el n hallado en a), si Bernardo recibe las piezas en orden creciente de tamao, tiene Ariel garantizadala victoria?ACLARACIN: Cada pieza debe cubrir exactamente un nmero de cuadrados unitarios del tablero igual a supropio tamao. Los lados de las piezas pueden coincidir con partes del borde del tablero.

OLIMPIADA DE MAYO - XVII

PRIMER NIVEL

PROBLEMA 1

Las cuatro palabras codificadas

son, en algn orden


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Descifrar

PROBLEMA 2

Utilizando una sola vez cada uno de los dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se escriben el cuadrado y el cubo de unnmero entero positivo. Determinar cunto puede valer dicho nmero.

PROBLEMA 3

En el rectngulo ABCD, BC = 5, CD = 3(EC), y F es el punto donde se cortan AE y BD.

El tringulo DEF tiene rea 12 y el tringulo ABF tiene rea 27. Hallar el rea del cuadriltero BCEF.

PROBLEMA 4

Utilizando varios cubitos blancos de arista 1 Guille arma un cubo grande. Luego elige cuatro caras del cubogrande y las pinta de rojo. Finalmente desarma el cubito y observa que los cubitos con al menos una carapintada de rojo son 431. Halla la cantidad de cubitos que utiliz para armar el cubo grande. Analiza todas lasposibilidades.

PROBLEMA 5

Consideramos todos los nmeros enteros positivos, de 14 dgitos, divisibles por 18, cuyos dgitos sonexclusivamente 1 y 2, pero no hay dgitos 2 consecutivos. Cuntos nmeros de estos hay?

SEGUNDO NIVEL

PROBLEMA 1

Hallar un nmero entero positivo x tal que la suma de los dgitos de x sea mayor que 2011 veces

la suma de los dgitos del nmero 3x (3 por x) .

PROBLEMA 2

Decimos que un nmero de cuatro dgitos abcd ( a 0 ) es por si se cumplen las siguientes

condiciones:

a b

ab cd = cd ba

Por ejemplo, 2011 es por porque 20 11 = 11 02.

Hallar todos los nmeros pors.

PROBLEMA 3


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En un tringulo rectngulo ABC tal que AB = AC, M es el punto medio de BC. Sea P un punto

de la mediatriz de AC que pertenece al semiplano determinado por BC que no contiene a A. Las

rectas CP y AM se cortan en Q. Calcular el ngulo que forman AP y BQ.

PROBLEMA 4

Dados n puntos en una circunferencia se escribe al lado de uno de ellos un 1 y al lado de cada uno de los otrosun 0. La operacin permitida consiste en elegir un punto que tenga un 1 y cambiar el nmero de ese punto ytambin los nmeros de sus dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha (donde hay 1 se escribe 0 y dondehay 0 se escribe 1).

a) Si n = 101, mostrar que se puede lograr, mediante una sucesin de operaciones permitidas, que cada uno de

los n puntos tenga escrito un 0.

b) Si n = 102, demostrar que es imposible lograr que todos los nmeros escritos sean 0.

PROBLEMA 5

Determinar para qu nmeros naturales n es posible cubrir completamente un tablero de nn, dividido encasillas de 11, con piezas como la de la figura, sin huecos ni superposiciones y sin salirse del tablero. Cadauna de las piezas cubre exactamente seis casillas.

Nota: Las piezas se pueden girar.

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