Olimpiada Costarricense de Matemáticas

Material para capacitación de estudiantes

para segunda eliminatoria

Olimpiadas Costarricenses de Matemática

NIVEL B

2012

Contenido

Introducción ............................................................................................................................ 3

Geometría ............................................................................................................................... 4

Selección única ........................................................................................... 4

Desarrrollo .................................................................................................. 9

Respuestas Geometría............................................................................... 11

Álgebra ................................................................................................................................. 14

Selección única ......................................................................................... 14

Desarrollo ................................................................................................. 18

Respuestas Álgebra .................................................................................. 19

Teoría de Números ............................................................................................................... 21

Selección única ......................................................................................... 21

Desarrrollo ................................................................................................ 24

Respuestas Teoría de Números................................................................. 25

Razonamiento ....................................................................................................................... 27

Selección única ......................................................................................... 27

Desarrrollo ................................................................................................ 31

Respuestas Razonamiento ....................................................................... 33

Introducción

El presente material consta de una recopilación de ejercicios que fueron incluidos en pruebas de segunda eliminatoria de nivel B durante los años 2006 a 2011.

En cada ítem se indica el año, eliminatoria y número de pregunta. Por ejemplo, (2006, II, 1) indica que se trata de la pregunta número 1 de la segunda eliminatoria del año 2006. Esta guía se indica para que sea más sencillo consultar las respuestas que se enlistan al final del documento por tema.

Se ha hecho una división de los ítems por temas, de modo que encontrará algunos de geometría, álgebra, teoría de números y otros de razonamiento que involucran diferentes temas.

Esperamos que este material le sea de mucho provecho en su preparación para la segunda eliminatoria nacional 2012.

Comité Organizador

Olimpiada Costarricense de Matemática

Geometría Conceptos geométricos básicos y su notación: punto, recta, plano. Puntos colineales y no colineales. Puntos coplanares y no coplanares. Segmentos de recta, semirrectas, rayos, y semiplanos. Rectas paralelas, perpendiculares, concurrentes. Clasificación de ángulos por su medida y por su posición. Relaciones de medida entre los ángulos. Ángulos determinados por dos rectas y una transversal. Desigualdad triangular. Teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo. Teorema de la medida del ángulo externo de un triángulo. Teorema de la suma de los ángulos externos de un triángulo. Clasificación de triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos internos o a la medida de sus lados. Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y círculo. Rectas notables en un triángulo. Propiedades de las rectas notables en un triángulo. Congruencia de triángulos. Teorema de Pitágoras. Proporcionalidad. Teorema de Tales. Semejanza de triángulos. Fórmula de Herón. Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Razones trigonométricas de los ángulos especiales 30°, 45°, 60°. Problemas de aplicación (ángulos de elevación y de depresión, entre otros). Ley de los senos y ley de los cosenos. Resolución de triángulos

Selección única 1. (2006, II, 4) En el ABC△ las medianas trazadas desde B y desde C son perpendiculares

entre sí. Si AC = 15 cm y AB = 10 cm, la longitud BC viene dada por

2. (2006, II, 8) Una alcantarilla rectangular de metal tiene 23 hoyos circulares idénticos por

donde fluye agua a 1.38 litros por segundo. Si la alcantarilla se le hacen 16 nuevas perforaciones circulares cuyo diámetro mide la mitad del diámetro de los hoyos originales, entonces, por segundo, la cantidad de agua que fluirá por la alcantarilla es igual a

3. (2006, II, 9) Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son 60 cm, 80 cm y 100

cm. La medida del segmento que se traza desde el vértice del ángulo recto a la hipotenusa y que divide al triángulo dado en dos triángulos de igual perímetro, viene dada por

A) cm65 B) cm25 C) cm75 D) cm57.

A) 1.62 litros B) 1.78 litros C) 1.86 litros D) 2.04 litros

A) 324 cm B) 104 cm C) 512 cm D) 524 cm

A)

B)

C)

D)

4. (2007, II, 3) Considere el ABC△ . Si se construyen externamente sobre los lados AB y

CB los triángulos equiláteros ABP y ACQ, entonces podemos afirmar que

5. (2006, II, 10) En la figura adjunta, ABC△ y A B C′ ′ ′△ son equiláteros con lados paralelos y centros iguales.

La distancia entre el lado ___BC y el lado

_____'' CB es un

sexto de la altura del triángulo ABC. La razón entre el área del triángulo A’B’C’ y el área del triángulo ABC, es igual a

6. (2007, II, 7) El cuadrilátero ABCD es un trapecio con AB CD� . Las bisectrices

exteriores de los ángulos B y C se intersecan en P. Las bisectrices exteriores de los ángulos A y D se intersecan en Q. Si el perímetro del trapecio ABCD es igual a 18 cm, entonces PQ es igual a

A) m BAQ m CAP∠ = ∠ B) m CAB m BAQ∠ = ∠ C) CP = BQ D) PA = BC

36

1

6

1

4

1

4

3

A) 9 cm B) 4,5 cm C) 3,6 cm D) 6 cm

7. (2007, II, 11) La máxima cantidad de triángulos rectángulos, no congruentes entre sí, que cumplen las siguientes condiciones:

• La medida de cada uno de sus lados es un entero positivo • La medida de la hipotenusa excede en 1 a la medida de su cateto mayor • La medida de la hipotenusa es menor o igual que 2007 viene dada por

8. (2007, II, 13) “Dado un triángulo XYZ, se llama el simétrico del vértice X, con respecto

al segmento YZ , al punto W del plano tal que YZ XW⊥ y si T es el punto de

intersección de XW con YZ entonces XT = TW”.

Considere un triángulo rectángulo ABC, recto en A; P,Q,R los simétricos,

respectivamente, de los vértices A, B y C sobre BC , AC y AB . Entonces la razón

)()(

PQR

ABC es igual a

9. (2007, II, 14) Considere elABC△ y sean P,Q y R puntos sobre los segmentos BC , AC y AB , respectivamente, con BP = PC, CQ = 2QA, AR = 3RB. Si (PQR) = 42

2cm , entonces (ABC) es igual a

A) 63 B) 44 C) 32 D) 31

2

3

3

1

2

1

3

2

144 2cm

162 2cm

72 2cm

208 2cm

A)

B)

C)

D)

A)

B)

C)

D)

10. (2008, II, 2) En el ABC△ , AB = 12, BC = 14 y AC = 10. Se trazan las dos bisectrices

exteriores en los vértices A y C. Del vértice B se trazan las perpendiculares a estas bisectrices. Entonces la longitud del segmento que une los pies de estas perpendiculares es igual a

11. (2008, II, 6) La diferencia de las medidas de los ángulos B y C en el ABC△ es 90°. Sea

AH la altura del ABC△ , trazada desde el vértice A y las longitudes HC = 36, BC = 27. Entonces, AH es igual a

12. (2008, II, 10) Las longitudes de los tres lados de un ABC△ acutángulo son números

racionales. Si la altura CD corta al lado AB en dos partes m AD= y n DB= , entonces podemos afirmar que

13. (2008, II, 13) Considere el ABC△ rectángulo isósceles recto en B, que cumple que

AB = BC = 1. Trace la mediana de dicho triángulo desde el vértice C y la perpendicular a ella que contiene al vértice B. Llame con P al punto de intersección de esta mediana con la perpendicular trazada. Entonces, la distancia del punto P al baricentro del triángulo ABC, viene dada por

A) 36 B) 21 C) 18 D) 23

A) 36 B) 18 C) 24 D) 9

A) ,m n∈ ∈ −ℚ ℝ ℚ

B) ,m n∈ − ∈ℝ ℚ ℚ

C) ,m n ∈ℚ

D) ,m n ∈ −ℝ ℚ

A) 4

515

B) 1

515

C) 1

512

D) 1

510

14. (2010, II, 5) Cada uno de dos palos verticales de diferentes alturas tienen un aparato en su parte superior que dirige un rayo láser a la base del otro palo. Si los rayos se cruzan en un punto a una altura de 24 metros del suelo y si el menos de los palos tiene una altura de 40 metros, ¿cuál es la altura del palo mayor? a) 54 b) 56 c) 58 d) 60

15. (2010, II, 4) Un cuadrado con lados de longitud 1 se subdivide en dos trapecios congruentes y un pentágono, cuyas áreas son iguales, uniendo el centro del cuadrado con puntos sobre tres de los lados, como se muestra en la figura. Hallar el valor x de la longitud de la base mayor de los trapecios.

a) 3

5

b) 2

3

c) 3

4

d) 5

6

16. (2010, II, 6) En el ABCD□ , si se sabe que 120m A∠ = � , los ángulos B y D son rectos, AB = 13 y AD = 46, entonces AC es a) 60 b) 62 c) 64 d) 65 17. (2011, II, 3) En la siguiente figura el ABC△ es un triángulo cualquiera, además ABD△

y AEB△ son equiláteros. Si F y G son los puntos medios de EA y CA respectivamente,

entonces la razón BD

FG es

a) 1

2

b) 1

c) 3

2

d) 2

18. (2011, II, 10) En un rectángulo ABCD se tiene que AD = 2AB. Sea M el punto medio

de BC , O el punto de intersección de las diagonales, N el punto de intersección de DM y

AC . Entonces el valor de ( )( )MNO

MDO es

a) 1

b) 1

2

c) 1

3

d) 2

5

19. (2011, II, 12) Considere el ABC△ equilátero. Sean D el pie de la altura sobre el lado

BC , M y N los puntos medios de DC y AC respectivamente, y P el punto de

intersección de AM con DN . Entonces el valor de la razón AP

NP es

a) 13

b) 2 13

c) 3 13

d) 3 13

2

Desarrrollo

1. (2006, II, 3 Des) En un cuadrilátero ABCD, AB = 9, BC = 14, CD = 13, DA = 12 y la

diagonal BD = 15. Las perpendiculares a ___BD , desde A y

desde C, intersecan a ___BD en P y Q, respectivamente, como

lo muestra la figura. Determine la longitud del segmento ___PQ .

2. (2007, II, 3 Des) Sea ABCD una pirámide tal que los triángulos ADC, ABD y BCD son triángulos rectángulos, rectos en D. Si 4A3A2A1A ,,, son las áreas de los

triángulos ADC, ABD, BCD y ABC, respectivamente, pruebe que 23A2

2A21A4A ++= .

3. (2008, II, 2 Des) Sea D el baricentro del △ABC y sea λ la recta que pasa por D y es

paralela a AB . Si E y F son los puntos de intersección de λ con los segmentos CA y

CB , respectivamente, encuentre la razón entre las áreas del △CEF y la del trapecio EABF. (Sugerencia: trácese la altura del △ABC desde el vértice C)

4. (2010, II, 2 Des) Determine todos los triángulos rectángulos de longitudes enteras que poseen un cateto de longitud 15.

5. (2011, II, 3 Des) Sea un círculo inscrito en un cuadrado de 12cm de lado y otro círculo

tangente exteriormente al primero y también a dos lados del cuadrado, como se muestra en la figura adjunta, en donde O y N son centros de las de la circunferencia mayor y menor respectivamente. Calcule la medida del radio menor.(simplificada al máximo)

Respuestas Geometría

Selección

# Tomada de Respuesta 1 2006, II, 4 A 2 2006, II, 8 A 3 2006, II, 9 D 4 2007, II, 3 A 5 2006, II, 10 C 6 2007, II, 7 A 7 2007, II, 11 D 8 2007, II, 13 B 9 2007, II, 14 A 10 2008, II, 2 C 11 2008, II, 6 B 12 2008, II, 10 C 13 2008, II, 13 B 14 2010, II, 5 D 15 2010, II, 4 D 16 2010, II, 6 B 17 2011, II, 3 D 18 2011, II, 10 B 19 2011, II, 12 A

Desarrollo

1. (2006, II, 3 Des) Consideremos el triángulo BCD. Si dibujamos la altura desde D a __BC

y consideramos el triángulo BCD que tiene lados 14, 13 y 15, se puede calcular, utilizando el teorema de Pitágoras, que DE = 12, BE = 9 y que EC = 5.

Luego, los triángulos ABD y EBD son congruentes, ya que tienen tres lados congruentes. Entonces, si extendemos la altura AP pasa por E.

Como el triángulo ABD es triángulo rectángulo, es semejante con el triángulo PBA.

Luego BP

AB

AB

BD = , sustituyendo los valores tenemos que

BP

9

9

15 = , es decir, 5

27=BP .

Consideremos ahora el triángulo BQC, donde __

PE es paralelo a __CQ entonces por el

teorema de TalesPQ

BP

EC

BE = , sustituyendo los valores tenemos que PQ5

27

5

9 = , y así PQ = 3.

2. (2007, II, 3 Des) De acuerdo con los datos del problema, se tiene que las tres primeras

áreas están dadas por 1 2 3, ,2 2 2

CD DA BD DA BD DCA A A

⋅ ⋅ ⋅= = = . Sea h la altura sobre AC

en el BAC△ y sea P el pie de esa altura.

Note que 2 2 2h DP BD= + y que AC PD CD DA⋅ = ⋅ . Por lo tanto:

( )

( )

4

2 2 22 2 21 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

2 2 2

4 4 4 41 1

2 21 1 1

2 2 21

2

CD DA BD DA BD DCA A A A

CD DA BD DA BD DC CD DA BD DA BD DC

CD DA BD DA DC CD DA BD CA

CA DP BD CA CA DP BD CA h

CA h A

⋅ ⋅ ⋅ + + = = + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅= + + =

= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅

= ⋅ =

3. (2008, II, 2 Des) Sea G el punto sobre la recta AB���

tal que CG AB⊥ . Claramente CG es altura del triángulo ABC, trazada desde el vértice C.

Sea M el punto medio del segmento AB . Entonces CM es una mediana del triángulo ABC.

Sea N el punto de intersección de λ con el segmento CG . Por el criterio de semejanza

ángulo-ángulo, △CND ∼ △CGM, pues ND GM� y como CD = 2 MD entonces CN = 2

NG.

Por ángulo-ángulo △ CNF∼ △CGB y △ CNE∼ △CGA, de donde EF = 2

3AB .

Luego: 1 1 2 2

( ) . . , 2 ,2 2 3 3

CEF EF CN AB NG AB NG= = =

1 1 5 5( ) ( ) , . . .

2 2 3 6EABF EF AB NG AB NG AB NG= + = =

Luego, la razón buscada es igual a 4

5.

4. (2010, II, 2 Des) Si b es la medida del otro cateto y c la de la hipotenusa, 2 2 215 b c+ = , o sea, ( ) ( )215 c b c b= − + . Entonces, c + b es un divisor de 225.

Ahora, 225 tiene 9 divisores, pero no cualquiera de ellos puede ser c + b pues c > 15 y entonces c + b > 15. No puede ser c + b = 15. De los otros 8 divisores, 4 son mayores que 15 y 4 son menores. Entonces, sólo hay cuatro triángulos rectángulos que cumplen las hipótesis. Los otros cuatro divisores si son valores posibles de c + b y nos dan las parejas (b; c) : (112; 113); (36; 39); (20; 25)y (8; 17). 5. (2011, II, 3 Des) 1) El OMN△ es rectángulo isósceles, por ser semejante con uno de los triángulos determinados por la diagonal del cuadrado, empleando el torema l.a.l.

2) ( ) ( ) ( )2 2 26 6 6r r r+ = − + − , por el teorema de Pitágoras.

Álgebra

Conjuntos numéricos: irracionales y reales. Operaciones. Potenciación. Valor absoluto. Notación científica. Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. Ecuaciones de primer

grado con coeficientes racionales. Polinomios. Productos notables ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ,a b a b a b a b+ − + −

( )( )2 2a b a ab b+ − + y ( )( )2 2a b a ab b− + +

Factorización (factor común, inspección, fórmula general,

fórmulas notables) Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias. Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Sistemas de ecuaciones lineales. Racionalización. Ecuaciones de segundo grado.

Selección única

1. (2006,II,1) Un grupo de estudiantes de San Pablo de Heredia, organizaron una feria de lavado de carros para recoger fondos para el paseo anual del colegio. Hubo algunos clientes que pagaron el lavado a ¢ 5000, mientras que otros pagaron el lavado, aspirado y pulido a ¢ 7000. Si los estudiantes recogieron un total de ¢ 176000, el menor número posible de clientes que tuvieron es de

2. (2006,II,3) Sean a y b dos números reales tales que baba .622 =+ Si se satisface

que 233

33

q

p

ba

ba =+−

, y el máximo común divisor de p y q es igual a 1, entonces

el valor numérico de )( qp + viene dado por 3. (2007, II, 4) 4. Considere la ecuación de segundo grado, con coeficientes reales:

0a6xa2x =++ . La cantidad de números reales “a” para los cuales esta ecuación posee soluciones enteras, es igual a

A) 23 B) 24 C) 28 D) 26

A) 15 B) 17 C) 10 D) 13

A) 20 B) 10 C) 15 D) 8

4. (2007,II,8) Sean A, B números reales; a, b, c con b ≠ −c, los tres ceros reales, no

nulos, del polinomio definido por AxB3xxp ++=)( El valor numérico de la suma

cb

1

a

1

++ es igual a

5. (2007, II,10). Pablo y Galo tienen un número enteros de colones cada uno. Pablo le

dice a Galo: « si tú me das 3 colones, yo tendré “n” veces más colones que tú ».

Galo le dice a Pablo: « si tú me das “n” colones, yo tendré 3 veces más colones que tú».

Si “n” es un entero positivo, la cantidad de posibles valores que puede tomar el “n” viene

dada por

6. (2008,II,1). Sea 1

3( 2 5 )a = + . Entonces el valor numérico de la expresión 2 1a

a

− viene

dado por

7. (2008, II,3) Si r y s son las raíces de la ecuación cuadrática 2 1 0x b x+ + = , entonces

la expresión 2 2

1 1

r s+ , en términos de “b ” es igual a

A) 1 B) 2 C) 0 D) − 1

A) 3 B) 2 C) 5 D) 4

A) 5

2

B) 1 5+ C) 1 D) 2

A)

2 4b −

B)

2 4

2

b −

C) 2b

D) 2 2b −

8. (2008,II,11).Si dividimos el polinomio ( )p x , de grado , 1n n > : 2 3( ) 2 3 ... np x x x x n x= + + + + por el polinomio ( ) 1q x x= − , entonces el residuo es

9. (2008, II, 14) Don Carlos decide repartir ¢ 480 000 entre todos sus hijos, pero en forma proporcional al orden en que ellos nacieron. Adicionalmente le da ¢ 160 000 para el mayor de los hijos de tal modo que el primero y el último hijo reciben igual cantidad de dinero. Sabiendo que don Carlos tiene un número impar de hijos, entonces el número de sus hijos es igual a

10. (2010, II, 10) Uno de los factores de la factorización completa de 44 1x + corresponde a a) 2 1x − b) 2 1x + c) 24 2 1x x− + d) 22 2 1x x+ +

11. (2010, II, 11) La expresión ( )( )( )( )( ) ( )2 2 4 4 8 8 256 256a b a b a b a b a b a b+ − + + + ⋅⋅⋅ + es

equivalente a

a) 256 256a b− b) 512 512a b+ c) 512 512a b− d) 256 128 128 2562a a b b− +

A) 1

( 1) ( 7)3

n n− +

B) 1

( 1) ( 2)3

n n n+ +

C) 1

( 1)2

n n +

D) 1

( 1) ( 2)2

n n+ +

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9

12. (2011, II, 2) La factorización completa de 2 3 81 ...x x x x+ + + + + corresponde a

a) ( )( )6 3 21 1x x x x+ + + +

b) ( )( )6 3 21 1x x x x− + + +

c) ( )( )6 3 21 1x x x x− + − +

d) ( )( )6 3 21 1x x x x− − − −

13. (2011, II, 4) El número de soluciones de la ecuación 1 1 2

x y x y+ =

+ con ,x y ∈ℝ

corresponde a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4

14. (2011, II, 8) Una expresión equivalente a 2 7 40x = + − es

a) 5

b) 7 10 20

10

+

c) 5

2

d) 2

15. (2011, II, 9) Para calentar dos litros de agua de 10oC a 40oC se necesitaron 2000 calorías. Entonces la cantidad de calorías que se necesitan para calentar 6 litros de agua de 20oC a 70oC es a) 200 b) 400 c) 10000 d) 20000

Desarrollo 1. (2006, II, 2). Encontrar todos los números enteros positivos “x” para los cuales se

satisface la ecuación: 76822 1 =−− xx x. .

2. (2008, II,3). Sean ,a b enteros positivos tales que 2 22 3a a b b+ = + . Pruebe que ( )a b− es un cuadrado perfecto.

3. (2010, II,3 Des). Sea 2 6 10

xk

x x=

+ +. Determine para cuáles valores de x se cumple que

k es un número entero.

Respuestas Álgebra

# Tomada de Respuesta 1 2006,II,1 D 2 2006,II,3 B 3 2007, II, 4 B 4 2007,II,8 C 5 2007, II,10 D 6 2008,II,1 C 7 2008, II,3 D 8 2008,II,11 C 9 2008, II, 14 A 10 2010, II, 10 D 11 2010, II, 11 C 12 2011, II, 2 A 13 2011, II, 4 A 14 2011, II, 8 A 15 2011, II, 9 C

1. (2006, II, 2)

Considerando las posibles descomposiciones en dos factores del número 768:

768 = 28 . 3 = 27 . 6 = 25 .12=..., tenemos que x− 1 ≤ 8.

Si x − 1 = 8 entonces x− 2 = 7 ≠ 3; si fuera x − 1 = 7, entonces x− 2 = 6, y aquí tenemos una solución x = 8.

Si x − 1 ≤ 6 entonces x− 2 ≤ 5 que no puede ser el otro factor de 768. Entonces la única solución viene dada por x = 8.

. 2. (2008, II,3). De la igualdad del enunciado se sigue que:

2 2 2 2 2 22 3 3 3 ( 1) (3 3 1)a a b b a a b b a a a b a+ = + ⇒ + − − = ⇒ − + + =

Vamos a probar primero que ( ) (3 3 1)a b y a b− + + son coprimos. En efecto: sea p

número primo tal que p divide a ( )a b− entonces p divide a 2 2( )a b− .

De la hipótesis se da la igualdad: 2 2 22( ) ( )a b a b b− + − = . Por la propiedad de

linealidad, p divide a 2b . Siendo p primo debe seguir p divide a “b ”.

De las condiciones p divide a “b ”, p divide a ( )a b− , por linealidad p divide a “ a ”. Si p dividiera a (3 3 1)a b+ + , como p divide tanto a “ a ” como a “ b ”, por linealidad se sigue que p divide a 1, y así p = 1 , imposible por ser p primo.

En consecuencia, al ser ( ) (3 3 1)a b y a b− + + comprimos, y su producto ser un cuadrado perfecto, cada uno de ellos tambiénlo es. 3. (2010, II,3 Des).

Teoría de Números Concepto de divisibilidad: divisor, múltiplo. Propiedades. El algoritmo de la división. Números primos y compuestos. El teorema fundamental de la aritmética (descomposición canónica). Notación desarrollada de un número en base 10. Reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11. Números primos y compuestos. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo. Obtener los divisores positivos de un número natural.

Selección única 1.(2006,II,5) La suma de todos los números enteros positivos entre 50 y 350, cuya cifra de las unidades es 1, es igual a

2. (2006,II,7) Algunas potencias quintas perfectas (es decir, quintas potencias de números enteros), tienen todas sus cifras distintas, por ejemplo,

como 3225 = y 24335 = ; algunas tienen cifras repetidas, como el caso de

000001105 = . Si denotamos con “n ” el número de potencias quintas perfectas que tienen todas sus cifras distintas, entonces podemos afirmar que

3. (2007, II, 1) A un torneo de fútbol salón asistieron cuatro equipos, a los que llamaremos amarillo, rojo, verde y blanco, según el color de su camiseta

El equipo amarillo anotó 2

3 de la cantidad de goles que anotó el equipo rojo y 5

4 de los que

anotó el equipo verde.

El equipo blanco anotó la misma cantidad de goles que el equipo amarillo y el equipo rojo juntos.

El equipo verde anotó 5 goles menos que el equipo blanco.

Así, el equipo que anotó 12 goles fue el equipo

A) 4566 B) 5280 C) 4877 D) 5880

A) 90≤n B) 9890 ≤< n C) 99=n D) 100=n

A) amarillo B) rojo C) verde D) blanco

4. (2007,II,2) La cantidad de años, del siglo XXI que tienen la propiedad de que, si se divide el número del año por cada uno de los números 2, 3, 5 y 7 se obtiene residuo 1, es de

5. (2007,II,5 modif) Considere los números naturales de cuatro cifras que cumplen las condiciones siguientes:

i) Son múltiplos de 3 ii) El dígito de las decenas es el triple del dígito de la unidades iii) El dígito de las unidades de millar es menor que el dígito de las unidades Entonces, la suma del mayor y el menor todos estos números es

6. (2007,II,12). Sean a1, a2, ...,an enteros con las propiedades:

i) nna2a1a =......

ii) 0na2a1a =+++ ...

entonces, el residuo de la división de “n” por 4, es igual a

7. (2008,II,5). Se considera el producto de todos los múltiplos positivos de 6 que son menores que 1000. Entonces, el número de ceros con que termina este producto es igual a

A) 4 B) 3 C) 0 D) 1

A) 8 048 B) 7 479 C) 3 855 D) 5 130

A) 1 B) 3 C) 2 D) 0

A) 40 B) 65 C) 30 D) 35

8. (2008,II,9). La cantidad de números, en base 6 y de tres cifras, que tienen la propiedad que en base 4 poseen 4 cifras, viene dada por

9. (2008, II,15) La suma de los dígitos de un número n de tres cifras es 26. El número n se multiplica por 7, después por 11 y finalmente por 13. Entonces podemos afirmar que el máximo número de “nueves” que pueden aparecer en el producto efectuado es igual a

10. (2010, II,7). Si un número natural n tiene A divisores primos ¿cuántos divisores primos tiene 2n ? (a) A (b) A + 1 (c) A2 (d) 2A

11. (2010, II,12). Con certeza una afirmación correcta sobre el valor numérico de la expresión 3x x− , para cualquier número entero x corresponde a (a) algunas veces es impar (b) es divisible por 12 (c) es mayor que cero (d) no es primo

12. (2011, II, 6) La suma de los dígitos del número que se obtiene al elevar al cuadrado

2011ceros7000...001 es

(a) 14 (b) 15 (c) 19 (d) 21

A) 151 B) 180 C) 179 D) 152

A) 1 B) 2 C) 6 D) 4

13. (2011, II, 7). Un número de seis dígitos comienza con 1. Si pasamos este 1 del primer lugar al último lugar sin modificar los otros dígitos, obtenemos un nuevo número, el cual es el triple del primero. Entonces, el mayor de los dígitos del número es a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

Desarrrollo

1. (2007,II, 2Des). La suma de dos números enteros positivos m y n, es 371, y el cociente

entre su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor es 430. Hallar los números m

y n.

2.(2011, II, 2Des).Un número de tres dígitos es equilibrado cuando uno de sus dígitos es la mitad de la suma de los otros dos dígitos. Determine la cantidad de números equilibrados de tres dígitos.

Respuestas Teoría de Números

# Tomada de Respuesta 1 2006,II,5 D 2 2006,II,7 A 3 2007, II, 1 A 4 2007,II,2 C 5 2007,II,5 mod C 6 2007,II,12 D 7 2008,II,5 A 8 2008,II,9 D 9 2008, II,15 D 10 2010, II,7 A 11 2010, II,12 D 12 2011, II, 6 C 13 2011, II, 7 C

Desarrollo

1. (2007,II, 2Des). Tenemos que:

[ ]

)(

)(..),(

,

2371nm

12543430nm

nm

=+

==

Luego 43 | m ó 43 | n (no puede 43 ser factor de m y n porque en este caso para obtener en (1) un 43, en la descomposición en factores primos de alguno de ellos encontraríamos el factor 43k con k > 1, lo que no es posible puesto que 432 > 371.

Digamos que m = 43 ß con ß = 1,2,3,4,5,6,7,8 ya que 43 . 9 > 371

Si ß = 8 = 23 o ß = 4 = 22, en virtud de (1) n también debería ser par, lo que contradice la condición (2) cuya suma de m y n es impar (y la suma de dos números pares o impares es un número par).

Así ß ∈ { 1,2,3,5,6,7}. Tenemos entonces que: (m,n) = (m, m+n) = (m, 371) = ( 43 ß, 371) = (43 ß, 7 . 53)

Luego, (m,n) = 1 sii ß ∈{1,2,3,5,6}, en cuyo caso el cociente en (1) da [m,n] que sería mayor que 430.

Entonces (m,n) ≠ 1, y ß = 7, en cuyo caso m = 43. 7 = 301, y por (2) n = 70

Los números buscados son por lo tanto 301 y 70.

2.(2011, II, 2Des) Si tomamos el dígito fijo en una columna y buscamos en otra columna las posibilidades para las otras dos cifras se puede realizar la siguiente tabla:

Así, la cantidad de números equilibrados es 121.

Razonamiento Problemas que se resuelven mediante estrategias de razonamiento lógico. Problemas donde se aplica el concepto de probabilidad.El sistema métrico decimal (unidades de longitud, capacidad, peso y volumen; conversiones). Razones y proporciones. Regla de tres simple y compuesta. Porcentajes. Medidas de tendencia central: media, mediana, moda.

Selección única

1.(2006,II,2) Un pescador construyó una red rectangular. Hizo exactamente 32 nudos y puso 28 corchos alrededor de la orilla de la red, como por ejemplo la que se muestra en la figura

La red tiene por lo tanto un total de

2. (2006,II,6) En un pueblo algunos animales son realmente extraños. El 10% de los perros

creen que son gatos y el 10% de los gatos creen que son perros. Los demás perros y gatos son totalmente normales. Un día examinaron a todos los perros y gatos del pueblo y encontraron que el 20% de todos ellos creían que eran gatos. Entonces el porcentaje de los animales que en realidad son gatos está dado por

3. (2007, II, 9) Considere cinco números enteros positivos a, b, c, d y e. Los números 5, 7,

8, 15, 16, 18, 19, 20, 22 y 30 son los resultados de sumar, de dos en dos, los números a, b,

c, d y e. Tres de los números dados en la lista inicial, podrían ser

A) 40 hoyos B) 54 hoyos C) 45 hoyos D) 60 hoyos

A) 22.5 % B) 20% C) 12.5 % D) 22%

A) 5, 7, 8 B) 5, 17, 22 C) 7, 13, 20 D) 2, 3, 5

4.(2007,II,6) Considere el siguiente producto, en el que las letras representan dígitos (iguales o no entre sí) y no nulos

A B C

D E

H G F

J I 4

L K 0 1

La cantidad de posibles resultados diferentes que se pueden obtener en este producto, es igual a

5. (2008, II,4). Las casillas de una cuadrícula de tamaño 8 x 8 se numeran del 1 al 64, escribiendo en forma consecutiva y de izquierda a derecha los números y colocando en la primera fila los números del 1 al 8, en la segunda del 9 al 16 y así sucesivamente hasta llegar al 64 en la casilla inferior derecha de la tabla. Se colocan 8 fichas en el tablero, de modo que todas la filas y todas las columnas estén exactamente ocupadas por una ficha.

La suma de los números ubicadas en las casillas ocupadas por las fichas

6. (2008, II, 8). Luis, Carlos y Mauricio tienen una inusual combinación de edades. Cada uno de ellos tiene una edad formada por un número de dos dígitos. La suma de dos cualesquiera de las tres edades da como resultado la otra edad pero con sus cifras invertidas. Entonces, la suma de las tres edades es igual a

A) 1 B) 3 C) 0 D) 2

A) es igual a 260 B) es igual a 320 C) es igual a 2016 D) no se puede determinar en general

A) 99 B) 162 C) 89 D) 100

7. (2008, II,12). En una competencia de matemática que contenía 30 problemas, Jazmín recibió 12 puntos por cada solución correcta y perdió 7 puntos por cada solución errónea. Cada problema que no resolvió le aportó cero puntos. Si su puntaje final fue de 209 puntos, el número de soluciones correctas que obtuvo Jazmín es de

8. (2010,II,1). Cada arista de un cubo se colorea, o bien de rojo, o bien de negro. ¿Cuál es el menor número de aristas que se deben colorear de negro de manera que cada cara del cubo tenga al menos una arista negra? (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6

9.(2010,II, 2). En una competencia matemática, la suma de las puntuaciones de Guillermo y Ricardo fue la misma que la suma de las puntuaciones de Ana y Carolina. Si se hubiesen intercambiado las puntuaciones de Guillermo y Carolina, entonces, la suma de las puntuaciones de Ana y Carolina, hubiese excedido la suma las puntuaciones de los varones. Además, la puntuación de Ricardo fue superior a la suma de las puntuaciones de Guillermo y Carolina. Suponiendo que todas las puntuaciones son no negativas.¿Cuál de las siguientes corresponde al orden de los concursantes según sus puntuaciones, de mayor a menor? (a) Ricardo, Ana, Carolina, Guillermo (b) Ricardo, Ana, Guillermo, Carolina (c) Ana, Ricardo, Carolina, Guillermo (d) Ana, Ricardo, Guillermo, Carolina

10. (2010, II,3). Al finalizar el año 2008, el promedio anual de lluvias en cierto pueblo, para el período de 10 años que entonces concluía era de 631mm. Durante el 2009 cayeron 450mm de lluvia y el promedio anual para el periodo de 10 años que terminó en el 2009 fue de 601mm. ¿Cuál fue el monto de lluvias, en milímetros, en 1999? (a) 750 (b) 616 (c) 1232 (d) 480

A) 25 B) 18 C) 19 D) 20

11. (2010,II,8). ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar n para que el conjunto { }1,2,..,n

se pueda dividir en dos subconjuntos y que ninguno contenga a dos números y su diferencia? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

12. (2010, II, 9) ¿Cuántas ternas (a; b; c) de números reales satisfacen que cada uno de los números es el producto de los otros dos? a) 0 b) 2 c) 4 d) 5

13. (2011, II, 1) 1. Un muchacho quiere repartir 37 cartas entre sus amigos de manera que nadie pueda tener la misma cantidad de cartas. Entonces la máxima cantidad de amigos a la que les puede dar cartas es a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

14. (2011, II, 5). Se realizó una encuesta a un grupo de 90 estudiantes acerca de los deportes que practica cada uno de ellos. Los resultados fueron los siguientes: 21 practicaban fútbol, 21 baloncesto y 31 natación, 9 practicaban fútbol y baloncesto, 14 practicaban fútbol y natación, 15 practicaban baloncesto y natación, 6 de ellos practicaban los tres deportes. Entonces, la cantidad de estudiantes que no practican ningún deporte es a) 17 b) 41 c) 49 d) 73

15. (2011, II, 11) Un heladero tiene un refrigerador con cinco helados de distintos sabores, su hijo a quien le gustan los juegos lógicos, cambió las etiquetas de todos los helados, de modo que ninguna etiqueta corresponde al sabor que contiene. Las etiquetas, de izquierda a derecha, indican: fresa, pistacho,vainilla, galleta y chocolate. Y se proporcionan las siguientes pistas: 1) El de galleta está junto al helado con la etiqueta de pistacho. 2) El de vainilla está a dos helados de distancia del de galleta. 3) El de fresa no está junto al de pistacho, ni el pistacho junto al vainilla. 4) El de chocolate es el segundo de izquierda a derecha. Entonces, el helado que está en el lugar cuatro de izquierda a derecha, contiene el sabor de a) fresa b) pistacho c) vainilla d) galleta

Desarrrollo

1.(2006,II, 1 Des) En el siguiente cuadriculado, se han colocado los números que se indican y se quiere llenar las casillas restantes del cuadro de tal modo que cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 aparezcan en cada fila y columna del cuadriculado:

1 2 3 4 5 6

2 5

3 4

4 3

5 2

6 5 4 3 2 1

Determinar de cuántas maneras se puede llenar el cuadro, de acuerdo con las condiciones del enunciado.

2. (2007, II; 1 Des) Se va a implementar un sistema demergencia en un parque nacional. Los puestos de guardia van a interconectarse por una red de líneas telefónicas. Cada estación debe estar en comunicación con cada una de las demás estaciones o bien directamente o por medio de una tercera estación. Cada estación puede comunicarse directamente con a lo sumo tres de las estaciones restantes. El diagrama muestra un ejemplo de una red que interconecta siete estaciones. Determinar la mayor cantidad de estaciones que pueden interconectarse de esta manera.

3. (2008,II,1). Juan resuelve una prueba de matemática que consiste en preguntas de álgebra, geometría y lógica. Después de verificar los resultados, ocurre que Juan respondió correctamente el 50% de las preguntas de álgebra, 70% de las preguntas de geometría y 80% de las de lógica. Por eso, Juan ha contestado en total 62% de las preguntas de álgebra y lógica, y en total 74% de las preguntas de geometría y lógica. Determinar el porcentaje de preguntas correctas que hizo Juan en toda la prueba.

4. (2010, II, 1 Des) Silvia distribuye 100ml de leche en N vasos. David intenta distribuir la leche entre los vasos de manera que queden los vasos todos al mismo nivel, siguiendo el siguiente procedimiento: Toma dos vasos cualesquiera y transvasa la leche de uno a otro hasta que la cantidad de leche sea igual en ambos vasos. Puede realizar este procedimiento cuántas veces sea necesario. i) Encuentre infinitos valores de N, para los cuales, independientemente de la distribución que haga Silvia, siempre sea posible para David lograr su cometido. ii) Encuentre un valor de N, y una distribución que puede dar Silvia de manera que David no pueda lograr su cometido.

5. (2011, II, 1 Des) Considere conjuntos A cuyos elementos son 20 números naturales distintos tales que si se toman tres elementos distintos a; b; c del conjunto se puede construir un triángulo cuyos lados midan a; b; c unidades. Sea S(A) la suma de los elementos de A. Entonces de todos los conjuntos que puedan sumarse con esta condición, determine el menor valor que puede tomar S(A).

Respuestas Razonamiento

# Tomada de Respuesta 1 2006,II,2 C 2 2006,II,6 C 3 2007, II, 9 D 4 2007,II,6 D 5 2008, II,4 A 6 2008, II, 8 A 7 2008, II,12 B 8 2010,II,1 A 9 2010,II, 2 D 10 2010, II,3 A 11 2010,II,8 B 12 2010, II, 9 C 13 2011, II, 1 C 14 2011, II, 5 C 15 2011, II, 11 A

1.(2006,II, 1 Des) Una estrategia natural en la solución de un problema como éste es llenar primero cualquier casilla para la cual no existe otra alternativa, o si no se presenta este caso, llenar primero aquellas casillas para las cuales hay muy pocas alternativas. En el presente problema no hay ninguna casilla que tiene una sola posibilidad, pero hay varias que tienen sólo dos posibilidades, y comenzamos con una de éstas.

Primero, llenaremos la casilla en la segunda fila y la tercera columna. Dado que ya hay un 2 y un 5 en esta fila, y un 3 y un 4 en esta columna, las únicas alternativas disponibles son 1 y 6. Si escogemos el 1, otras tres casillas quedan determinadas. Si escogemos el 6, las mismas tres casillas quedan determinadas. Por lo tanto hasta aquí las alternativas son

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

2 1 6 5 2 6 1 5

3 4 3 4

4 3 4 3

5 6 1 2 5 1 6 2

6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1

Ahora bien, si llenamos las cuatro casillas centrales, encontramos que nuevamente hay dos posibilidades, no importa si hayamos escogido el 1 o el 6 al principio. Por ejemplo, procediendo a partir de la primera elección que mostramos arriba, obtenemos

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

2 1 6 5 2 1 6 5

3 2 5 4 3 5 2 4

4 5 2 3 4 2 5 3

5 6 1 2 5 6 1 2

6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1

o sea, tenemos dos alternativas a partir de nuestras dos elecciones iniciales.

Las casillas restantes pueden llenarse en dos grupos de cuatro de las misma manera, donde cada nuevo grupo nos proporciona dos alternativas nuevas, no importa cuáles hayan sido las elecciones ya hechas. Por consiguiente, hay un total de 24 = 16 maneras de completar el cuadrado 3. (2008,II,1). Sean , ,a g l los números de preguntas correctas de álgebra, geometría y lógica, y , ,A G L el número total de preguntas de álgebra, geometría y lógica, respectivamente. Las condiciones del problema son: 0.5 ; 0.7 ; 0,8a A g G l L= = =

0.62( ) ; 0.74( )a l A L g l G L+ = + + = + De donde: 0.5 0.8 0.62 0.62A L A L+ = + , lo que implica que 1.5A L= (*) Además 0.7 0.8 0.74 0.74G L G L+ = + , es decir, 1.5G L= (**)

Ahora, haciendo uso de (*) y (**):

0.5 0.7 0.8

0.75 1.05 0.8

2.6

a g l A G L

L L L

L

+ + = + += + +=

Por otra parte: 1.5 1.5

4

A G L L L L

L

+ + = + +=

De donde que el porcentaje de respuestas correctas viene dado por el cociente:

0.65a g l

A G L

+ + =+ +

, es decir, el 65%

4. (2010, II, 1 Des) i) Justificaremos que si el número de vasos es de la forma 2n , entonces, David logra su cometido. Esto con un procedimiento inductivo que consiste en mostrar que consiste en n- etapas Primero, con dos vasos es sencillo, por la hipótesis del problema. Para cuatro vasos, se puede hacer lo siguiente: Tomar dos y nivelarlos (en el grupo A),

luego nivelar los otros dos (grupo B). Al tomar parejas cruzadas, uno del grupo A y otro del grupo B nivelarlos se obtendrá que los cuatro vasos estarán nivelados. Por ejemplo, para 8: Se dividen en dos grupos, y en cada grupo se realiza el procedimiento anterior. Después se vuelven a cruzar las parejas hasta nivelar todos los vasos. Para cualquier potencia de dos, el procedimiento es similar, se dividen en dos grupos y cada uno de estos se nivelan separando en potencias más pequeñas, y por último se cruzan los grupos. ii) Para n = 3, por ejemplo, vertiendo todos los 100ml en uno de los vasos y dejando los otros vacíos. En este caso, después de transvasar cualquier cantidad de veces la leche entre los vasos, la

cantidad de leche en los vasos sería siempre de la forma 100

2n, o bien,una suma de

expresiones de esta forma, quizá divida entre otra potencia de dos. Al simpli_car esa

fracción nunca será posible obtener 100

3que es la cantidad buscada.

5. (2011, II, 1 Des) Si n es el menor elemento de A y m el mayor, como existen 20 números distintos, debe cumplirse m > n + 19(*). Si se toman tres elementos a, b, c del conjunto, para poder construir un triángulo con esas medidas debe darse a + b > c(**), donde a < c y b < c. Como a, b, c son distintos, el caso extremo ocurriría cuando a y b sean los dos números y c el mayor, ie, a = n, b = n + 1, c = m. De (*) y (**) se tiene que n + (n + 1) > m > n + 19 ie, 2n + 1 > n + 19 de donde n > 18. El menor número posible es 18, y se deben tomar 20 números consecutivos entonces S(A) = 19 + 20 + 21 + · · · + 38 = 570.