odec para desarrollar el pensamiento algebraico en primero básico revisada

5/11/2018 ODEC para desarrollar el pensamiento algebraico en Primero B sico revisada - ...

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Programa de Apoyo a la CalidadEducativa

g t z

Cooperación Técnica Alemana.

Propuesta de Orientación Para el Desarrollo Curricular (ODEC)

para el Área de Matemática del Currículo Nacional Base (CNB),del Ciclo Básico del Nivel Medio

“Desarrollando el pensamiento algebraico en Primero Básico”

Mauricio Gerardo Morales AltamiranoEspecialista en Matemáticas

Consultor del Programa de Apoyo a la Calidad Educativa (PACE) de GTZComo apoyo a la implementación del CNB del Área de Matemáticas del CicloBásico del Nivel Medio en el Área Rural

Reproducción preliminar con fines didácticos.

Guatemala, agosto 2010.

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En la presente Orientación para el Desarrollo Curricular se pretendedesarrollar las siguientes competencias de Matemáticas de Primer GradoBásico:

Competencia Indicador delogro

ContenidosDeclarativos

ContenidosProcedimentales

ContenidosActitudinales

1. Identificaelementoscomunes enpatronesalgebraicos ygeométricos.

1.1. Usa variablespara representar información.

Introducción aexpresionesalgebraicas

Variables

Operacionesabiertas (suma,resta,multiplicación,división, potencias

y raíces)

Asociación de unvalor específico decada variable conel valor dela expresiónalgebraica.

Resolución deoperacionesabiertas (suma,resta,multiplicación,división, potenciasy raíces).

Disposición abiertaante el esfuerzo ylas dificultades enel desarrollo de lasexpresionesalgebraicas.

2. Utiliza graficas ysímbolos en larepresentación deinformación.

2.1. Construyeproposicionescompuestasusando conectivoslógicos.

ProposicionessimplesValor de verdadOraciones abiertasCuantificadoresProposicionescompuestasDefinición, manejoyOperaciones deconjuntos usandosimbología.

Traducción delenguaje común alenguaje lógicocon conectivos.

Representación deconjuntos.

Operaciones entreconjuntos.

Valoración del usode lenguajesimbólico pararepresentar información.

3. Calcula

operacionescombinadas de losdiferentesconjuntosnuméricos(naturales, enterosy racionales) conalgoritmosescritos, mentales,exactos yaproximados.

3.1. Opera con

seguridad, justificando lospasos y métodosque sigue yverificando susresultados.

3.2. Realizaconversionesentre diferentessistemas demediciónaplicando lasproporciones.

Conjunto de los

NúmerosNaturales factores,múltiplos, M.C.M ymcd, primos

Conjunto de losnúmeros enterosrecta numérica,valor absoluto

Conjunto de losnúmerosracionalesFracciones y

decimales,Potencias

Razón, proporcióny porcentajeVariación directa einversaSistemas demedición

Operaciones en

los conjuntosnuméricos:NaturalesEnterosRacionales

Uso apropiado dela calculadora, delcálculo mental yde lasestimaciones.

Identificación deun sucesor enprogresionesaritméticas ygeométricas.

Cálculo deporcentajes,descuentos eintereses.Conversiones.Estimación demedidas.

Valoración de la

aproximación y laexactitud encálculos.

Valoración de losaportes deprofesionales enMatemáticas.

Disposición altrabajoperseverante ymeticuloso.

5. Traduce

información

que obtiene

de suentorno o

lenguaje

Modelos concretos ModelaciónJustificación deprocedimientos yselección de

las estrategias.Verificación delos resultados.

Perseverancia enla aplicación deestrategias pararesolver

problemas.

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lógico

simbólico.

Estrategia Metodológica

Como puedes darte cuenta al ver en la página anterior las competencias,indicadores de logro y contenidos que tenemos como objetivo desarrollar ycubrir, esta es una ODEC muy ambiciosa. Como podemos leer en la guía deadaptación de ODECs, se recomienda tomar una o a lo más dos competenciasy sus indicadores de logro, y nosotros hemos tomado cuatro de las cincocompetencias de grado, por lo menos, parte de las cuatro competencias.Luego, se recomienda que la ODEC sea desarrollada en un período de entrecuatro hasta ocho semanas, y para desarrollar la presente fácilmente senecesitarán dieciséis semanas, si no más. ¿Por qué tan grande y ambiciosa?Las razones son las siguientes:

1) Si el nivel primario es donde desarrollamos nuestra intuición matemática,en el nivel secundario el estudiante debe desarrollar su capacidad deabstracción y formalización de las ideas y conceptos matemáticos. Esdecir, es a partir del ciclo básico donde desarrollamos el pensamientoalgebraico. Por lo que consideramos importantísimo dar un magníficocomienzo al desarrollo de esta competencia – la competencia deabstraer los aspectos relevantes de una situación determinada ymatematizarlos por medio de un lenguaje particular.

2) Consideramos el desarrollo de los contenidos, habilidades, destrezas ycompetencias que se necesitan para comprender y hacer álgebra, o másbien la parte introductoria del álgebra, el mínimo minimorum que se debedesarrollar del CNB de matemáticas en primero básico.

3) Queremos dejar claramente explicitado y aprovecharnos del hecho deque el álgebra corta transversalmente todo lo que se conoce comomatemática moderna. Es decir, aunque hay un área específica de lasmatemáticas que se llama Álgebra, en todas las áreas de lasmatemáticas modernas, absolutamente en todas, se utilizan variables, ellenguaje, la abstracción y la generalización de los conceptos

algebraicos. Y esto hace que, por un lado, las cinco competencias denivel y de grado tengan que ver con álgebra. Y por el otro, que el álgebraparte de la aritmética, de la matematización de problemas de la vidacotidiana, y se encuentra presente por lo menos en cierto grado, en casicualquier proceso humano que implique un grado alto de generalizacióny abstracción de patrones matemáticos implícitos presentes en dichassituaciones de la vida real. Concretamente, vamos a utilizar tresrecursos que tenemos disponibles por ser parte del proceso deenseñanza-aprendizaje previo, y son: a) las operaciones con números ypropiedades de los sistemas numéricos, b) la proporcionalidad y susaplicaciones en oficios diversos, en el cambio de monedas y en las

finanzas, entre otros, y c) la matematización de situaciones de la vidareal así como las matemáticas presentes de ante mano en dichas

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situaciones. Y aprovecharemos para desarrollar las matemáticas deestos tres aspectos que son parte del CNB.

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Guía de un estudiante de Matemáticas de Nivel Secundaria

Se espera del y la estudiante guatemalteca de secundaria que:

I. Asista regular y puntualmente a sus clases.

II. Mantenga una actitud respetuosa hacia sus maestros y suscompañeros.

III. Tenga deseos de descubrir y aprender.

IV. Lleve un registro escrito del desarrollo de la clase en su cuaderno, quesea:

A. Limpio, ordenado y claro.

B. Completo y detallado, con definiciones, anotaciones y ejemplos.

C. Anote preguntas de palabras o conceptos que no entiende, odudas que quedaran durante las explicaciones o las actividades.

V. Se autoevalúe de forma crítica, planteándose metas concretas yevaluando los avances.

VI. Estudie todos los días realizando las acciones siguientes:

A. Revise su cuaderno en casa, reescribiendo lo que hizo ese díade preferencia con nuevos ejemplos que él o ella proponga y contestando las dudas que tenga anotadas, buscándolas en el diccionario, en el libro de texto, en otros libros, preguntando a sus padres, hermanos, parientes, vecinos, o compañeros, y si no lasresuelve, pregunte al maestro al día siguiente.

B. Haga sus tareas completas y otros ejercicios.

C. Discuta las temáticas con sus compañeros

D.Realice resúmenes personales ya sea en forma descriptiva o de

diagramas, como mapas mentales u otros.

E. Reflexione acerca de lo que aprende y lo relacione con su

realidad, como una actitud permanente.

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Actividad 1: Introducción al algebra(1 día)

El rol básico que tiene el álgebra dentro del pensamiento matemáticoUniversal es doble: Por un lado, es una manera de generalizar resultados –propiedades aritméticas, herramientas estadísticas, descripción de conjuntos

complejos, de relaciones y de funciones. Y por otro lado, proporciona unlenguaje específico para representar dichas generalizaciones. Por lo que, si lopiensas un poco, no puede existir álgebra – ni matemáticas – que no seanpertinentes, ya que estas son generalizaciones de situaciones matemáticasexpresadas por medio de los sistemas numéricos, la estadística, la geometría ylas ciencias, principalmente, y que tienen su punto de partida en problemas dela vida real. Si nuestra realidad manifiesta problemas un tanto diferentes, lo quedebemos hacer es transitar por este camino, de la realidad a lo numérico y, delo numérico a lo algebraico, y llegaremos a las mismas matemáticas.

De esta manera quiero que piensen el álgebra: descubriendo, leyendo

y escribiendo generalizaciones matemáticas.

Por ejemplo: Se enferma nuestro hermano o la abuela. Por algún motivo,no podemos llevarla al médico en ese momento. Sin embargo, mamá, o lavecina Casimira, o el abuelo Jonás, o alguien en la comunidad sabe que hacer.Nos mandan a la farmacia por la medicina o nos la dan ya preparada conraíces y plantas medicinales. Y, nos dan una serie de indicaciones acerca decómo administrarla. Entre estas indicaciones nos dicen algo como: Tu hermanotodavía está pequeño, dale una cucharada cada ocho horas; O, dale a túabuelo dos cucharadas cada cuatro horas. Estamos utilizando la noción dedosis.

Dosis: Es la cantidad de medicina que el paciente debe consumir y a que ritmo.

Es decir: Lo que el médico, o la enfermera, o la comadrona, o el anciano, omamá, o quien quiera que esté recetando la medicina está haciendo es, por experiencia, determinar la ración adecuada de medicina que mejor le cae alenfermo y cada cuanto tiempo se le debe dar.

¿Por qué existe una ración de medicina “adecuada” para cada enfermo?Porque las medicinas están hechas de químicos o plantas o raíces que tienenconcentraciones altas de elementos de la naturaleza con ciertas propiedadesimportantes, que después de ciertos procesos internos complejos, reducen lafiebre, alivian el dolor de cabeza, regulan la digestión, detienen unahemorragia, matan unos parásitos, o microbios o bacterias, etc. El punto es quela medicina ataca, en muchas ocasiones, aquello que está causando el mal quesentimos. Pero también puede parcialmente atacar las partes sanas de nuestrocuerpo y causar lo que se conoce como efectos secundarios. Por ejemplo, todomedicamento tomado comienza a ser metabolizado (asimilado por el cuerpo)por el hígado, de ahí pasa a la sangre, y desde el sistema circulatorio llega adonde debe de llegar. Si injerimos demasiadas medicinas el primer órgano quese reciente es el hígado. La segunda causa de cirrosis en el mundo, después

del alcoholismo, es el abuso de medicamentos.

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Muy poca medicina no es suficiente para curarnos, demasiada puede hacernosdaño. Es importante determinar la medida exacta de medicina que hay quedarle a cada persona en cada caso. Esto es la dosis.

Y la dosis depende de la edad y del peso, por lo menos. En algunos casos

puede depender del género, en otros puede depender de alergias u otrasenfermedades que el paciente pudiera padecer. Mientras más compleja sea laenfermedad, más complejo es determinar la dosis adecuada.

Pero quedémonos para nuestro propósito en esta introducción al álgebra, conestas dos características que escribí primero: La dosis depende de la edad ydel peso.

Entonces, lo que el médico o la enfermera o la persona que estádiagnosticando y medicando al enfermo esta haciendo cuando nos dice – daleuna cucharadita cada ocho horas; o, has el té con una pizca de la hierva, no

con más; o, a ella le vas a dar solo la cuarta parte de la pastilla – o cualquier instrucción de este tipo es asociando la edad y el peso del paciente (y otrascaracterísticas) con la cantidad de medicina óptima para obtener los mejoresresultados.

Está partiendo de lo aprendido con sus maestros, con sus lecturas, y desu experiencia, para hacer un pronóstico. El pronóstico es que a estenuevo paciente le va a ir bien, va a mejorar en salud, sí toma estamedicina, en estas cantidades y a este ritmo. Es decir, está generalizando.

Está diciendo: Para todo paciente que tenga un peso “p” y una edad “n” hayque darle una cantidad de medicamento “d” cada 4, 8 o 12 horas por 2, 3, 6, óno se cuantos días.

Esto es dosificar. Algunas personas usan una fórmula matemática dondesustituyen el peso de la persona, la edad que tiene, y al operar, encuentran lacantidad de medicamento adecuado para este paciente. Otros, no lo hacen así,sino un poquitín más “informal”, ya saben que para un bebe hay que darletanto, a un niño pequeño tanto, a un muchacho o muchacha menudita tanto, aun adulto tanto, etc. Ambos están haciendo una generalización y en ciertosentido están haciendo álgebra.

Entre paréntesis, decimos que esta persona que diagnostica y medica es“buena para curar” si en forma recurrente (muchas veces) su pronóstico (que lapersona va a mejorar con esa medicina y esa dosis) es correcto. A mayor conocimiento de medicina, más número de variables es capaz de incorporar,explícitamente en una fórmula, o tácitamente en su mente para mejor diagnosticar, medicar y dosificar, y mejor médico es.

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Por ejemplo: La información que fácilmente encontramos en Internet acerca dela conocida Aspirina – aunque ya no es tan popular como lo fue en los 1960’s y1970’s, ahora es el acetaminofén o paracetamol – es la siguiente:

Aspirina Comp. 500 MgBayerComposiciónASPIRINA® 500 mg comprimidos y ASPIRINA® 500 mgcomprimidos masticables: Cada comprimido contiene ácido acetilsalicílico, 500 mg. ASPIRINA® 500 mggranulado: Cada sobre contiene ácido acetilsalicílico, 500 mg, excipientes: aspartamo 5 mg y otrosexcipientes. ASPIRINA® C comprimidos efervescentes: Cada comprimido contiene ácido acetilsalicílico400 mg y ácido ascórbico 240 mg, excipientes: hidrogeno carbonato de sodio, carbonato de sodioanhidro, citrato de sodio y otros excipientes.

Indicaciones terapéuticas AspirinaAlivio sintomático de los dolores ocasionales leves o moderados, como dolores de cabeza, dentales,menstruales, musculares (contracturas) o de espalda (lumbalgia). Estados febriles.

PosologíaDosis media recomendada: Adultos y mayores de 16 años: 1 comprimido o sobre cada 4 - 6 horas.Aspirina 500 mg: no se excederá de 4 g en 24 horas. Aspirina C: no se excederá de 4 comprimidos al día.Pacientes con insuficiencia renal, hepática o cardíaca: reducir la dosis. Forma de administración: Tomar elmedicamento con las comidas o con leche, especialmente si se notan molestias digestivas. Aspirina 500

mg comprimidos masticables: los comprimidos se toman masticados, no siendo necesaria la ingestiónsimultánea de líquidos cuando no se disponga de ellos. Aspirina C comprimidos efervescentes: loscomprimidos se toman totalmente disueltos en medio vaso de agua después de las comidas o con algúnalimento, especialmente si se notan molestias digestivas. Antes de ingerir el medicamento es necesarioesperar a que cese la efervescencia. Aspirina 500 mg granulado: el granulado se ha de poner directamente en la lengua. Se dispersa en la saliva antes de tragar por lo que no es necesaria la ingestiónsimultánea de líquidos cuando no se disponga de ellos. Usar siempre la dosis menor que sea efectiva. Laadministración de preparado está supeditada a la aparición de los síntomas dolorosos o febriles. Amedida que éstos desaparezcan debe suspenderse esta medicación.

¿Cuál es la dosis máxima recomendada para un adulto? __________________

¿Qué es un excipiente? ____________________________________________

¿Cuál es el componente activo de la aspirina? __________________________

¿Les parece que es clara la dosificación de la aspirina o es más complicado delo que parece? ¿Por qué las mamás lo hacen con tanta facilidad? __________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

¿Qué dosis le darías tú a un niño de digamos 5 años? ___________________ _______________________________________________________________

Contraindicaciones: Ácido acetilsalicílico: No administrar en caso de: úlcera gastroduodenal activa,crónica o recurrente; molestias gástricas de repetición; antecedentes de hemorragia o perforación gástricatras el tratamiento con ácido acetilsalicílico u otros antiinflamatorios no esteroideos; asma;hipersensibilidad al ácido acetilsalicílico o a cualquiera de los componentes de esta especialidad, a otrossalicilatos, a antiinflamatorios no esteroideos o a la tartariza (reacción cruzada); enfermedades que cursencon trastornos de la coagulación, principalmente hemofilia o hipoprotrombinemia; insuficiencia renal ohepática grave; pacientes con pólipos nasales asociados a asma que sean inducidos o exacerbados por el ácido acetilsalicílico; niños menores de 16 años ya que el uso de ácido acetilsalicílico se ha relacionadocon el Síndrome de Reye, enfermedad poco frecuente pero grave; tercer trimestre del embarazo. Ácidoascórbico: No administrar en caso de: terapia conjunta con anticoagulantes; pacientes con insuficienciarenal o hepática y pacientes con litiasis renal, acompañada de oxaluria con aciduria o pH urinario normal;pacientes con déficit de glucosa-6-fosfato deshidrogenasa, hemocromatosis, anemia sideroblástica ytalasemia.

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Algebraicamente, esta posología se vería algo como:

Sea d la dosis de aspirina a administrar a un paciente en tabletas de 500 ml, yn la edad del paciente en años cumplidos:

d í a l nd h o r a sc a d and nS i

nd nS i

4)(42)(1 6

0)(1 6

<∧<⇒≥

=⇒<

Por supuesto esto puede ser mucho más complejo si p es el peso y k denotaalguna de las enfermedades contraindicadas, d (n, p, k)

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Tarea 1Entregar a los estudiantes esta tarea al iniciar las Actividades 1 y 2. La

Actividad 1 durará dos días y la Actividad 2 durará 3 días. Al sexto díaentregamos la tarea que debemos ir realizando día a día en casa, a medidaque vamos avanzando con las Actividades 1 y 2. El día que se entrega la tarea

se realizará una heteroevaluación. Las competencias, indicadores de logro, ycontenidos que se trabajarán durante esta semana son:

Competencia Indicador de logroContenidosDeclarativos

ContenidosProcedimentales

ContenidosActitudinales

1. Identificaelementoscomunes enpatronesalgebraicos ygeométricos.

1.1. Usa einterpreta pre-variables pararepresentar problemas.

Operacionesabiertas (suma,resta,multiplicación,división, potenciasy raíces)

Resolución deoperacionesabiertas (suma,resta,multiplicación,división, potenciasy raíces).

Disposición abiertaante el esfuerzo ylas dificultades enel desarrollo de lasexpresionesalgebraicas.

1) Describe otra situación como la de dosificar que trabajamos en laIntroducción, donde tu pienses, se utiliza pensamiento algebraico, en elsentido de generalizaciones asociadas a conceptos matemáticos, aunquenos se llegue necesariamente hasta el nivel último de la fórmula.

2) Resuelve las ecuaciones abiertas siguientes:

a) □*85 = 1955 b) □ + 785 = 1473 c) 2841 + □ = 2074

d) □÷22 = 34 e) □3 = 64 f)□2 = 5625

3) Considera el problema siguiente: Leonel vendió una cantidad de ganado por Q.28,800.00. Lo que resultó, según calculó Leonel, en un pago de Q.480.00 por

cada cabeza de ganado. ¿Cuántas cabezas de ganado vendió Leonel? ¿Quéecuación abierta representa este problema?

4) Se puede multiplicar números cercanos a una potencia de 10 de la manerasiguiente:

Para 9*7 hacemos 10 – 9 = 1, 10 – 7 = 3, entonces:9*7 = (10 – 1 – 3)*10 + 1*3 = 63

Para 95*93 hacemos 100 – 95 = 5, 100 – 93 = 7, entonces:95*93 = (100 – 5 – 7)*100 + 5*7 = 8,835

Para 979*991 hacemos 1000 – 979 = 21, 1000 – 991 = 9, entonces:979*991 = (1000 – 21 – 9)*1000 + 21*9 = 970,189

a) Calcule usando esta manera de operar las multiplicaciones siguientes:i) 8*8 =ii) 92*97=iii) 941*998=

b) Encuentre una expresión para escribir este resultado de forma general:

__________________________________________________________

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Actividad 2: Las Ecuaciones Abiertas(Dos días)

Este es un tema de sexto grado, que si se desarrolla en una buena cantidad deEstablecimientos en todo el País. Por lo que, no solo este tema nosproporciona un empalme perfecto entre Primaria y Secundaria, sino que es

conveniente comenzar con una actividad de exploración a manera de valuacióninformal nuestra de la calidad de preparación con la que se graduaron nuestrosestudiantes de sus Escuelas. Podemos comenzar, entonces, con algunaspreguntas como las siguientes:

¿Quiénes de ustedes han escuchado el término “ecuaciones abiertas”?

Levanten la mano los que saben de que se trata este término.

¿Algún voluntario o voluntaria me podría explicar con sus propias palabras queentiende por el término “ecuaciones abiertas”?

A ver, díganme cuánto vale □ en las expresiones siguientes:(El profesor puede ir comentando una por una, como cambia el grado de dificultad y como estáninvolucradas otras operaciones, como una suma se convierte en resta o una resta en suma, el productoen división, y donde aparece una raíz o un logaritmo, y donde aparece un número negativo porque laexpresión no tiene solución con números positivos o una fracción porque no tiene solución con enteros)

1. 31 + 25 = □ 2. 31 + □ = 42 3. 31 - □ = 5

4. 31 + □ = 27 5. 12*□ = 96 6. 12*□ = 3

7. 60÷□ = 18 8. 3□

= 81 9. □2 = 961

Estos son ejemplos de ecuaciones abiertas. ¿Quiero que levanten la manotodos los alumnos y las alumnas que no habían visto nunca, o no se recuerdande haber visto nunca, una expresión como esta?

Recuerda lo siguiente: □ quiere decir que no está lleno, representa unespacio en blanco que podemos llenar con varios números. Por eso la palabra“abierta” – que no está “cerrada” a simplemente operar dos números. Estosejercicios, entonces, consisten en encontrar el valor que hay que sustituir en

□ para que se de la igualdad. Más adelante, va a resultar conveniente darle

un nombre a ese cuadrado. En lugar de ser un espacio vacío, va a pasar a ser una “variable” y le vamos a dar un nombre. Porque en realidad no es unespacio vacío sino un elemento de un Conjunto Numérico, el elementoadecuado.

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Ahora, quiero que trabajemos por parejas en los ejercicios siguientes:

a) Lee con atención el siguiente ejemplo:

Considera el problema siguiente:

Juan quiere comprar una camisa que cuesta Q.75.00. Tiene ahorradoQ.30.00. ¿Cuánto dinero le falta a Juan para poder comprar la camisa?La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problemaanterior?

La respuesta es: 30 + □ = 75

¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron?

b) Lee con atención el siguiente ejemplo:

Considera el problema siguiente:Antes de comprarle su vestido de quince años a Carmela, su mamá teníaahorrados Q.2400.00. Después de comprar el vestido, le quedaron a lamamá, Q.1600.00. ¿Cuánto costó el vestido de quince años de Carmela?La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problemaanterior?

La respuesta es: 2400 - □ = 1600


c) Lee con atención el siguiente ejemplo:

Considera el problema siguiente:Lucía compró 3 libras y media de lomito con Q.64.75. ¿Cuánto le costó lalibra de lomito?La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problemaanterior?

La respuesta es: 3*□ = 64.75


d) Lee con atención el siguiente ejemplo:

Considera el problema siguiente:Los hongos que fermentan la leche y producen el yogurt se reproducen al doble delo que son cada semana. Si tengo 1 centímetro cuadrado de hongos, ¿en cuantassemanas tendré 64 centímetros cuadrados de hongos?La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problemaanterior?

La respuesta es: 2□ = 64


e) Hagan otro con división.

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Actividad 3: ¿Cómo realizábamos las operaciones aritméticas?(Tres días)

Instrucciones: Observa con detenimiento el comportamiento de las siguientesreglas que ya conoces y exprésala en una forma compacta.

Primera regla: Multiplicación por múltiplos de 10

34.434,343200,0001*34.2

344.343,234000,100*34.2

34.434,23000,10*34.2

344.343,2000,1*34.2

34.234100*34.2

344.2310*34.2

000,00029000,0001*29

000,70027000,100*277

000,30000,10*3

000,218000,1*218

600,3100*36

2501025

11

11

1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=∗

¿Cuál es la regla? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Segunda regla: Cálculo del cuadrado de un número terminado en 5.

025,1111011*10025,11105

025,99010*9025,995

225,7729*8225,785

625,5568*7625,575

225,4427*6225,465

025,3306*5025,355

025,2205*4025,245

225,1124*3225,135

62563*262525

22522*122515

255

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

==

==

==

==

==

==

==

==

==

==

=

¿Cuál es la regla? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

_______________________________________________________________

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Tercera regla: La multiplicación cruzada. Mira estos ejemplos:

24*35 = 2*3*100 + (2*5 + 4*3)*10 + 4*5

= 6*100 + (10 + 12 + 2)*10 + 0

= (6 + 2)*100 + 4*10 + 0 = 840

9 2 2,3210*21 0 0*39

21 0*4 21 0 0*35

1 21 0*4 11 0 0*35

431 073451 00754735)4()2()3()2()4()1()3()1()4()3()2()1(

**)**(***

=++

++

++

=

=

=

+++=

Contesta las preguntas siguientes:

¿De donde aparece el 100 y el 10 en la primera fila de ambos ejemplos?

Si miramos el primer ejemplo, ¿de donde aparece el 2 entre el paréntesis de lasegunda fila, y el 2 entre el paréntesis de la tercera fila?

Si miramos el segundo ejemplo, ¿por qué el 41 en la segunda fila pasa a ser 42en la tercera fila y el 35 en la segunda fila pasa a ser 39 en la cuarta fila?

En el producto de dos números naturales de dos dígitos a2a1*b2b1 tenemos:(por ejemplo, en 53*74 a2=5, a1=3, b2=7 & b1=4)

Las unidades del resultado provienen de las unidades del producto a1*b1

Las decenas del resultado provienen de las unidades de la suma de trescantidades: a2*b1, a1*b2 y las decenas de a1*b1.

Las centenas del resultado son la suma de dos cantidades: a2*b2 y las decenasde a2*b1 + a1*b2 + las decenas de a1*b1.

Nota: Recuerde que en 123, por ejemplo, podemos decir que tiene 12 decenas.

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Por eso decimos que:Para multiplicar dos números naturales de dos cifras de forma cruzadaseguimos los pasos siguientes:

a) Multiplicamos las unidades de ambas cantidades. De este producto,

tomamos las unidades como unidades de nuestro resultado, y llevamoslas decenas.

b) Realizamos los productos cruzados – las unidades de una cantidad por las decenas de la otra. Sumamos ambos resultados y la cantidad quellevamos del inciso a). De este resultado tomamos las unidades – estasserán las decenas de nuestro resultado. Y llevamos las decenas de estasuma que hicimos en este inciso.

c) Multiplicamos decenas con decenas de las cantidades originales.Sumamos este resultado parcial con lo que llevamos del inciso b), y

estas son las centenas de la respuesta. Y con esto terminamos.

Practiquemos este algoritmo calculando los productos siguientes:

I. 25*17 = _____________________

Primero calculamos las unidades.Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 5*7 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)

Y llevamos las decenas de este producto ______

En segundo lugar, calculamos las decenas.Multiplicamos las decenas de 25 por las unidades de 17: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 25 por las decenas de 17: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 5*7: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)

Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas.Multiplicamos las decenas de 25 por las decenas de 17: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3)

Armamos el resultado final:)1()2()3(

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II. 56*39 = _____________________

Primero calculamos las unidades.Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 6*9 = ________

Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas.Multiplicamos las decenas de 56 por las unidades de 39: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 56 por las decenas de 39: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 6*9: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)

Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas.Multiplicamos las decenas de 56 por las decenas de 39: ___*___ = ______

Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3)


III. 93*87 = _____________________

Primero calculamos las unidades.

Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 3*7 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)

Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas.Multiplicamos las decenas de 93 por las unidades de 87: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 93 por las decenas de 87: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 3*7: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)



16



IV. 89*89 = _____________________

Primero calculamos las unidades.Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 9*9 = ________

Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas.Multiplicamos las decenas de 89 por las unidades de 89: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 89 por las decenas de 89: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 9*9: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)

Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas.Multiplicamos las decenas de 89 por las decenas de 89: ___*___ = ______

Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3)


V. 69*98 = _____________________

Primero calculamos las unidades.Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 9*8 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1)

Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas.Multiplicamos las decenas de 69 por las unidades de 98: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 69 por las decenas de 98: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 9*8: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2)



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Ahora quiero que calcules los productos siguientes, utilizando mentalmente elalgoritmo de multiplicación cruzada:

1. 24*31

)1()2()3(

2. 78*45

)1()2()3(

3. 46*98

)1()2()3(

4. 97*92

)1()2()3(

5. 41*59

)1()2()3(

6. 29*99

)1()2()3(

7. 77*88

)1()2()3(

8. 67*89

)1()2()3(

9. 17*91

)1()2()3(

10. 39*78

)1()2()3(

11. 66*66

)1()2()3(

12. 94*84

)1()2()3(

Este algoritmo puede lucir algo así:

,9,,0

*

**

*

:

321

34222

2112

1111

r r r Con

r r d ba

baba

r d ba

Sean

naturalesnúmerosdos Dados

<<

=+

+

=

Reto:

Desarrolla todo lo que desarrollamos en esta sección para la multiplicacióncruzada de dos números naturales de dos dígitos, para:

a) la multiplicación de un número natural de tres dígitos por otro númeronatural, este de dos dígitos.

b) La multiplicación de dos números naturales de tres dígitos cada uno.

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Actividad 4: Heteroevaluación 1(1 día)

Esta evaluación tiene un carácter de prueba y se espera un ambiente y unaactitud adecuados. Es de carácter individual, no se permite consultarse entreestudiantes, ni consultar copias ni libros. La idea de hacerlo de esta manera es

doble: Tener un indicador lo más realista posible del aprendizaje que hemostenido como equipo maestro-estudiantes y poder evaluar si estamos listos paracontinuar el desarrollo curricular, por un lado. Y, tener una práctica de pruebasde esta naturaleza con las que nos enfrentaremos más adelante. 1) POSOLOGÍA PARACETAMOL: Dosis usual en el niño: 40 a 480 mg según

la edad y el peso (10 mg/kg de peso). Se recomienda no administrar más decinco dosis en 24 horas. Un kilo es equivalente a 2.2 libras. Si una niña de10 años pesa 70 libras, ¿es posible darle una gragea de 250 mg deparacetamol? Justifica la respuesta.

2) En los cuadritos de las ecuaciones abiertas del lado izquierdo, escriba elnúmero romano que corresponde a su solución de la lista del lado derecho.

a) □*31 = 775i) 478

b) □÷200 = 1/4ii) 22

c) □2 = 484iii) 50

d) □ + 223 = 251iv) 25

e) □ – 225 = 253v) 28

3) Considera el problema siguiente: El terreno de don Samuel es cuadrado. Si su terreno tiene un área de 8100 varas cuadradas. ¿cuánto mide el frente del terreno

de don Samuel? ¿Qué ecuación abierta representa este problema?

4) Utilice el algoritmo que se le pide para calcular las multiplicacionessiguientes: (Es necesario que escriba el procedimiento que utilizó para llegar a larespuesta)

a) Utilice la multiplicación cruzada para efectuar el producto 54*73

b) Utilice la cercanía de los números a una potencia de 10 para efectuar elproducto 973*989

Valoración: 1, 2 y 3 valen 20 pts. Y la 4 vale 40 pts.

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Bibliografía:

- José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. RiañoSierra. Introducción al Álgebra. 1º Edición. Encuadernación Cartoné.Código 8497451287.

- Mauricio Morales. El Arte del Cálculo Mental. Editorial Piedra Santa.2010.

Referencias Electrónicas.- http://www.google.com.gt/search?

hl=es&biw=1276&bih=595&defl=es&q=define:%C3%81lgebra&sa=X&ei=heqcTMz5OIWdlgfMzNmECg&ved=0CBgQkAE

- http://html.rincondelvago.com/algebra_4.html

- http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html

- http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emar tinez/extension/indice.html Web Multimedia para la enseñanza de lasmatemáticas en Secundaria. Es del Gobierno Chileno, es muy buena.

- http://www.redem.org/secundaria%20algebra.html temas de enseñanzadel Álgebra en Secundaria

- http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/ mate3a/mate3a.htm Una buena referencia de Historia del álgebra

- http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm Didácticade las Matemáticas en Secundaria.

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http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm











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odec para desarrollar el pensamiento algebraico en primero básico revisada

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