Ahora un poco ms 8- Un helicptero viaja de una ciudad a la otra distantes entre s 40km. En un determinado instante los ngulos que forman las visuales desde el helicptero hacia las ciudades con la horizontal son de 14 y 26 respectivamente. A qu altura est el helicptero? Qu distancia hay en este momento entre el helicptero y cada una de las ciudades?

Si en un tringulo cualquiera trazamos una de susalturas, el tringulo queda dividido en dos tringulos rectngulos. Haciendo esto con cada una de las tres alturas relativas a cada uno de los lados y recordando los resultados iniciales bsicos que expresaban la proyeccin ortogonal de un lado del tringulo sobre la baseen funcin del Cosenoyla altura en funcin del Seno, vamos a obtener dos Teoremas que nos sern de mucha utilidad prctica en aquellos problemas que tengan como objetivo resolver tringulos cualesquiera. Recordemos que yaresolvimos tringulos rectngulosaunque en aquella ocasin, la condicin de tener un ngulo recto nos permita utilizar elTeorema de Pitgorasy la aplicacin directa de la definicin de razones trigonomtricas de ngulos agudos.Teorema del Seno

CEn cualquier Tringulo se cumplen las siguiente igualdades:

bTeorema del Coseno

BAaEn cualquier tringulo se cumple que:

c

9- De un tringulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los restantes elementos.

10- Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ngulo que forman es de 48 15'. Calcula los lados.

c=385000 km11- Tenemos una nave espacial que se queda sin combustible para poder regresar a su Planeta. Sabemos que las dos estaciones ms cercanas que podran auxiliarla se encuentran una en la luna y otra en la Tierra. La nave espacial sabe que su distancia hacia el punto ms lejano de la tierra es de 500000 Km. y que la distancia a la estacin de la luna es de 385000 Km.(C) Si tiramos una altura que represente la distancia de la estacin de la Luna a la de la tierra que coincide con el otro extremo de ella, considerando que el dimetro de esta es de 12700km, A qu lugar le conviene llegar primero?.12- En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un tringulo, mientras que , , son las medidas de los ngulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el tringulo en cada caso: IMA Matemtica III

a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35 b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m. c) c = 10 cm. = 40 = 70 d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43 e) = 53 = 75 c = 30,5 cm. f) = 48 = 68 c = 47,2 mm.

13- Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ngulo de 36 y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 14- Dos trenes parten simultneamente y con velocidades constantes de una estacin en direccin tal que forman un ngulo de 35. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determina a qu distancia se encuentran separados despus de dos horas de viaje. 15- Un rbol est situado en la orilla de un ro. El extremo superior se ve desde un punto b ubicado en la otra orilla bajo un ngulo de elevacin de 17. Si se ubica el punto en c el ngulo de elevacin es de 35. Qu altura tiene el rbol?

16- Cul es el permetro y el rea del paralelogramo dibujado? Cul es el valor de la otra diagonal?

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IMA Matemtica III1- 2- abcEscribir las relaciones que establecen el teorema del seno y del coseno con los datos de la siguiente figura y verifiquen aproximadamente los resultados.

3- Calcular el valor de x en cada una de las siguientes figuras.

4- bacCon los datos de las figuras calcula los elementos desconocidos a) b)

bcaacbbacb c

Datos: Datos:

Incgnitas: Incgnitas:

c) d)

Datos: Datos:

Incgnitas: Incgnitas:

5- La distancia aproximada, en lnea recta, entre las ciudades de Santa Rosa y Buenos Aires es de 608 km, y entre Santa Rosa y Crdoba es de 568 km. El ngulo que forman estas distancias entre s es de 68. Calcula la distancia entre las ciudades de Buenos Aires y Crdoba y los otros dos ngulos del tringulo que forman las tres ciudades.6- En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60 m, 75 m y 50 m. Qu ngulos se forman en las esquinas de la misma?7- Un avin sobrevuela la distancia que separa dos ciudades A y B. En un instante determinado el radar le indica que est a 55 km de la ciudad A y a 67 km de la ciudad B, con un ngulo de 2,81 radianes (expresar el ngulo en grados solamente).a. Calcular la distancia horizontal que separa a las dos ciudades.b. Con qu ngulo de elevacin veran al avin dos observadores ubicados en A y B, en el instante considerado?c. A qu altura vuela el avin?d. Cuando el avin pase sobre la ciudad A (volando a la misma altura), a qu distancia estar de la ciudad B?8- Cul ser la altura de una torre, si el ngulo de elevacin disminuye de 50 a 18 cuando un observador que est situado a una determinada distancia del pie de la torre, se aleja 90 m en la misma direccin?9- Los tensores (cables de acero) de un puente colgante se disponen hacia ambos lados de un soporte vertical con iguales longitudes. Sabiendo que la distancia que separa las fijaciones de cada tensor sobre el puente es de 40 m y el ngulo que los tensores forman entre s en la parte superior es de 7/18 rad, calcular:a) La longitud de cada tensor.b) La altura del soporte vertical (medida desde el puente).

10- Hallar la altura a que se encuentra la parte ms alta de una torre cuyo pie A es inaccesible (la torre se encuentra sobre una elevacin) sabiendo que si dos observadores se ubican en los puntos B y C (hacia un mismo lado de la elevacin), tal que la distancia BC es de 100 m, ven el extremo de la torre con ngulos de 0,659 rad y 0,439 rad, respectivamente.11- Un agrimensor necesita calcular el rea de un campo triangular, pero slo tiene algunas medidas del tringulo ya que una laguna le impide llegar al vrtice b, como muestra la figura. Los datos son:

cab ;

;

.

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13- Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ngulo de 36 y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 14- Dos trenes parten simultneamente y con velocidades constantes de una estacin en direccin tal que forman un ngulo de 35. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determina a qu distancia se encuentran separados despus de dos horas de viaje. 15- Un rbol est situado en la orilla de un ro. El extremo superior se ve desde un punto b ubicado en la otra orilla bajo un ngulo de elevacin de 17. Si se ubica el punto en c el ngulo de elevacin es de 35. Qu altura tiene el rbol?

16- Cul es el permetro y el rea del paralelogramo dibujado? Cul es el valor de la otra diagonal?

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