objetos matemáticos sensibles y objetos matemáticos ... · de las obras de platón, aristóteles...

Estud.filos ISSN 0121-3628 n 55. Junio de 2017. Universidad de Antioquia pp. 187-205.

Objetos matemticos sensibles y objetos Matemticos inteligibles*

Sensitive mathematical objects and intelligible mathematical objects

Por: Edwin ZarrazolaInstituto de Matemticas

Universidad de AntioquiaMedelln, Colombia

Email: [email protected]

Fecha de recepcin: 20 de julio de 2016Fecha de aprobacin: 11 de septiembre de 2016

Doi: 10.17533/udea.ef.n55a11

Resumen. En este artculo analizamos la nocin de objeto matemtico que tenan en la antigedad clsica griega Platn y Aristteles. En particular tratamos de probar que es errneo interpretar la doble connotacin que dicha nocin exhibe en el pensamiento de Platn como expresin de una escisin ontolgica que define dos tipos distintos de objetos matemticos: los sensibles y los inteligibles. En el artculo defendemos que tal escisin es solo aparente puesto que en realidad lo que Platn introduce es una distincin entre dos maneras distintas de relacionarse con los objetos matemticos: la de los Filsofos y la de los no Filsofos. Mostramos adems que nuestra interpretacin permite aclarar las ambigedades en torno al concepto , y disolver la tensin entre la existencia de dos disciplinas aparentemente distintas dedicadas al estudio de los objetos matemticos discretos, la y la .

Palabras clave: Objetos matemticos, antigedad griega, aritmtica, logstica

Abstract. In this paper we study the concept of mathematical object as it was understood by ancient mathematical thought, particularly by Plato and Aristotle. We are going to prove that it is not right to interpret the duality of this concept in Platos works as consequence of an ontological division between two kinds of mathematical objects, i.e. the sensitive and the intelligible ones. We want to prove that such a division is not a real one because, as a matter of fact, Plato is proposing a differentiation between two possible ways to be related with mathematical objects: the way of the philosophers and the way of the nonphilosophers. Moreover, we show that our interpretation is able to clarify the ambiguity around the concept of and therefore eliminate the false distinction between the two subject matters devoted to the study of discrete mathematical objects: the and the .

Keywords: Mathematical objects, Greek antiquity, arithmetic, logistics

* El artculo hace parte de los productos de investigacin del grupo interdisciplinario EMAC: Grupo de Enseanza de Matemticas y Computacin, perteneciente a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Antioquia.

Cmo citar este artculo:MLA: Chica, Vctor., Luis F. Echeverri., y Edwin Zarrazola. Objetos matemticos sensibles y objetos matemticos

inteligibles. Estudios de Filosofa,55 (2017): 187-205.APA: Chica, V., Echeverri, L.F., Zarrazola, E. (2017).Objetos matemticos sensibles y objetos matemticos inteligibles.

Estudios de Filosofa, 55, 187-205.Chicago: Chica, Vctor., Echeverri, Luis F. y Zarrazola, Edwin. Objetos matemticos sensibles y objetos matemticos

inteligibles. Estudios de Filosofa n. 55 (2017): pppp.ra materialista de la antropologa en sentido pragmtico de Kant. Estudios de Filosofa n. 55 (2017): 187-205.

Por: Vctor Hugo Chica PrezInstituto de Filosofa

Universidad de AntioquiaMedelln Colombia


Por: Luis F. EcheverriInstituto de Matemticas

Universidad de AntioquiaMedelln, Colombia


Vctor Hugo Chica Prez, Luis F. Echeverri, Edwin Zarrazola

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1. Introduccin

Para el pensamiento matemtico griego existan dos clases de objetos fundamentales, a saber: las cantidades discretas (dos, tres, etc) llamadas , y las magnitudes continuas (lneas, reas, slidos) llamadas . Tales objetos para ser objetos del conocimiento (), solo podan ser concebidos como objetos del pensamiento (),1 no como objetos de los sentidos (). Correspondientes a estas dos clases de objetos, se distinguan dos ramas de las matemticas: la o ciencia de la cantidad discreta y la o ciencia de la magnitud continua.

Las palabras y no llegaron a significar lo que nosotros llamamos matemticas y lo matemtico, hasta tiempos de Aristteles. Con Platn es menos general, significando cualquier materia de instruccin o estudio (Cf. Heath, 1965, Vol 1: 10). Arquitas de Tarento, un matemtico pitagrico contemporneo y amigo de Platn, ofrece una clasificacin de las matemticas de su poca que es, con mucha probabilidad, la que conoci Platn; son las cuatro materias del cuadrivium pitagrico: geometra, aritmtica, astronoma y msica (o armona) (Heath, 1965, Vol 1: 11). Platn fue un heredero de esta cultura matemtica, la cual asumi de manera tal que, aun cuando no hizo de l un matemtico tcnico con la capacidad de alcanzar grandes descubrimientos propios, s lo coloc en la posicin de un hombre que estaba al tanto de los resultados matemticos ms importantes de su poca y logr ejercer gran influencia sobre grandes matemticos como Teeteto y Eudoxo, influencia que se manifest en la forma de una inteligente crtica del mtodo.

En este artculo abordaremos una distincin planteada por Platn entre objetos matemticos propios de la vida cotidiana (agricultura, comercio, etc.) y objetos matemticos propios de la ciencia (geometra, aritmtica, astronoma y msica), la cual tiene lugar en el marco de una aclaracin acerca de cmo y en qu disciplinas debe darse la formacin de los futuros Filsofos, pues precisamente los objetos matemticos propios de la ciencia, que se comportan siempre e idnticamente del mismo modo (Repblica. 484b), son formas puras sobre las cuales el amante del saber debe reflexionar para formar su alma filosfica. Ahora bien, si por objeto matemtico entendemos todo aquello que permita operaciones aritmticas (suma, resta, producto, divisin), geomtricas (cuadrar, aplicar, aadir Repblica. 527a) y deductivas (demostracin de propiedades, teoremas, etc.) nos interesa destacar que para Platn los hay de dos clases: aquellos que solo pueden ser

1 Para consideraciones de la traduccin de este trmino, vase la traduccin de La Repblica de Jos Manuel Pabn y Manuel Fernndez Galiano: Rep. 511e. nota 108.

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pensados (arithmo en s mismos, megethos en s mismos) y que tienen precisamente las caractersticas de las ideas con las que trabaja todo filsofo,2 y aquellos que pueden ser percibidos (con los cuales se pueden hacer operaciones bsicas, mas no demostraciones de propiedades) y que en la antigua Grecia eran tiles para la vida cotidiana, los negocios y la ingeniera militar, pero para Platn, no podan ser objeto de estudio por parte del filsofo. Pero cul es el fundamento de esta distincin y qu consecuencias tiene en el marco del pensamiento matemtico de la antigedad clsica?

Para responder a estas cuestiones estableceremos, en primer lugar, a la luz de las obras de Platn, Aristteles y Euclides, cul es la naturaleza de la aparente distincin entre estos dos tipos de objetos matemticos haciendo nfasis en el concepto de arithms, y por tanto en la ciencia de la aritmtica; luego trataremos acerca de una dificultad que surge del concepto de mons () y que ayudar a una correcta comprensin del concepto de arithms; a continuacin, y con base en nuestra delimitacin del concepto de arithms, enfrentaremos el problema de decidir cul es el menor de todos los ; finalmente trataremos el problema de la diferencia entre dos aparentemente distintas disciplinas que se dedican al estudio cientfico de los , a saber, la logistik y la arithmetik. Contrario a las interpretaciones tradicionales argumentaremos que no se trata de dos disciplinas distintas sino de dos enfoque diferentes al interior de la mima ciencia de los .

2. El problema de la distincin entre objetos matemticos

En el libro sptimo de La Repblica, Platn propone un currculum para la educacin de los hombres de estado, el cual incluye cinco materias en orden de complejidad: aritmtica, geometra, geometra slida,3 astronoma matemtica y finalmente armona matemtica. Aristteles por su parte inclua entre las disciplinas matemticas a la ptica y a la mecnica.

A propsito de la ptica y de la armona nos dice en Metafsica 1078a15 que ni una ni otra considera su objeto en cuanto sonido o en cuanto visin, sino

2 K. Sayre (1983: 26) sugiere que son cinco los rasgos caractersticos de las Ideas que aparecen con ms frecuencia en los dilogos tempranos y medios: (1) The Forms [Ideas] are real, (2) The Forms are absolute, in the sense of being selfidentical and in and by themselves. (3) The Forms are directly knowable by mind, independently of sense experience. (4) Participation in Forms is the cause by which sensible things come to have this o that characteristic, where cause has the sense of necessary and sufficient conditions. And (5) Forms provide standards or criteria by which sensible things are identified and given names.

3 Que ms tarde recibira el nombre de estereometra. Cf. Aristteles, Anal. Post. 78b38.


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en cuanto lnea y nmeros (...) y lo mismo de la mecnica. Adems nos dice en Metafsica 1073b5 que la astronoma es la ciencia ms afn a la filosofa, pues sta, en efecto, estudia una substancia sensible () pero eterna, mientras que las otras no estudian ninguna substancia; por ejemplo, la aritmtica y la geometra.

Gracias a la obra de Proclo Comentarios al libro primero de los elementos de Euclides, sabemos que en la poca en que vivieron Platn y Aristteles circulaban unos trabajos de Geometra en forma de texto,4 y que matemticos de la academia como Teeteto y Eudoxo usaban manuales que reunan los resultado matemticos ms importantes hasta el momento, trabajos que fueron la base para la obra de Euclides. As pues, podemos suponer que tanto la concepcin de los objetos, como del mtodo () presentadas en este libro (el de Euclides), corresponden esencialmente a la misma concepcin que de ello tenan tanto Platn como Aristteles.

Platn no fue el primero, pero si fue uno de los que ms claro habl sobre la naturaleza de los objetos de la geometra. Para l stos no eran cosas materiales, sino objetos que solo pueden ser pensados () (Rep. 526) y aun cuando los gemetras:

se sirvan de figuras visibles ( ) y hagan discursos acerca de ellas pero no pensando en ellas mismas, sino en aquello a que stas se parecen (...) discurren en vista del cuadrado en s ( ) y de la diagonal en s ( ), y no en vista de la que dibujan, y as con lo dems (...); de estas cosas que dibujan se sirven como imgenes (), buscando divisar aquellas cosas en s que no podran divisar de otro modo que con el pensamiento (). (Rep. 510e511a)

La nocin que de los objetos de la geometra tena Platn no era muy diferente de la moderna, como lo acabamos de ver, pues en la geometra desde Tales y hasta nuestros das los diagramas son meramente una ayuda para guiar el razonamiento, ms no parte de la demostracin. De lo dibujado no se pueden sacar conclusiones. Adems, las magnitudes continuas son objetos matemticos que solo pueden ser pensados, ms no experimentados. Sin embargo, no podemos decir lo mismo de los objetos de la aritmtica.

A lo largo de la obra de Platn se hace notoria la importancia que este filsofo le da a la , entendida como el estudio de los , o sea, el estudio de los nmeros y sus propiedades. Pasajes como Repblica 522c y 525a; Filebo 56d; Teeteto 198a; Fedn 101c, etc, as lo demuestran. Ahora bien, el trmino siendo uno de los trminos que marcan la diferencia entre el pensamiento matemtico antiguo y el moderno, no puede ser traducido por nmero, pues la

4 Heath, 1965, Vol 1: 321. Se trata de Los Elementos de Theudius.


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nocin moderna de nmero5 es un concepto abstracto, mientras que para los griegos era un trmino que estaba ntimamente ligado a objetos.6

La primera definicin de arithms se debe a Tales, quien lo defini como una coleccin de unidades ( ) (Heath, 1965, Vol 1: 69). Los pitagricos por su parte conectaban la unidad a la aritmtica y el punto a la geometra, diciendo que la unidad es un punto sin posicin ( ) y un punto es la unidad que tiene posicin ( ) (Heath, 1963: 38); y por su parte Eudoxo defini esta nocin como una multiplicidad finita ( ) (Heath, 1963: 38). Sean cuales sean las fuentes de estas consideraciones, todas apuntan a la misma direccin: un arithms es una multitud o coleccin de unidades. En definitiva no es posible encontrar una diferencia significativa en la concepcin del objeto de la aritmtica entre Euclides y los primeros matemticos griegos (Heath, 1965), por tanto el significado fundamental de arithms es el de coleccin finita de objetos, lo cual est de acuerdo, como veremos, con lo que pensaba Platn.

En efecto, Platn enuncia en varios pasajes de sus dilogos, principalmente en Repblica 525d y Filebo 56d, una nocin de arithms que en principio coincide con las definiciones anteriores, pero agrega una concepcin aparentemente doble de este concepto: la que tenan las personas del comn ( ) y la de los filsofos ( ). En Repblica 525d nos dice Scrates, a propsito de la ciencia de los arithmo, que esta eleva el alma muy arriba y la obliga a discurrir () sobre los nmeros en s ( ) no tolerando en ningn caso que nadie discuta con ella aduciendo nmeros dotados de cuerpos visibles o palpables ( ). Por extrao que pueda parecer, esta ltima frase debe ser tomada tal cual: para las personas del comn en la antigua Grecia, (y an hoy en da es posible) algo como el arithms cinco () solo poda ser un grupo de cinco cosas que se podan ver y tocar: cinco vacas o cinco toneles de vino o cualesquiera cosas que fueran cinco. Pero para el filsofo, quien deba tambin estar preparado en matemticas, algo como el arithms cinco solo deba ser considerado en s mismo ( ), lo cual indica, que los filsofos manejaban una nocin de arithms que abstraa de lo cotidiano, marcando una diferencia entre dos maneras de concebir el mismo objeto. En Filebo 56d, no solo se retoma esta distincin, sino que nos dice Platn en qu consiste la diferencia. Scrates pregunta No debemos decir que hay una aritmtica de la masa y otra de

5 En lo que sigue la palabra nmero ser evitada en lo posible, en su lugar usaremos el trmino arithms.6 Es importante mencionar que esta interpretacin del concepto de arithms se inicia con la obra de Klein

(1968), que se opone a las interpretaciones ms tradicionales de autores como Heath (1965) y Chernis (1951) que consideran a los arithmo como nuestros nmeros naturales y que da lugar a problemas para comprender adecuadamente el pensamiento matemtico de la antigedad clsica Griega.


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los Filsofos?, a lo cual el interlocutor Protarco pregunta por la diferencia entre ellas y Scrates responde:

No es pequea la diferencia, Protarco. En efecto, algunos de los que se ocupan de los nmeros cuentan unidades desiguales ( ) como dos ejrcitos o dos bueyes, o dos cosas cualesquiera, as sean las ms pequeas o las mayores de todas; los otros en cambio no los acompaaran a no ser que se d por sentado que ninguna de las infinitas unidades difiere de cada una de las dems unidades ( ).

Se exhibe aqu el motivo de la distincin entre las aparentes dos clases diferentes de arithmo: los de la gente del comn estn hechos de unidades desiguales, mientras que los del filsofo estn hechos de unidades que se suponen iguales o al menos indiferenciadas. Aqu Platn claramente est ilustrando la diferencia que existe entre entidades sensibles y entidades inteligibles. La misma oposicin se encuentra en Teeteto 195d196b en un contexto diferente: es ms fcil para alguien cometer un error al sumar un arithms de cosas que son vistas o tocadas o percibidas por cualquiera de los sentidos, como una multitud de cinco o una multitud de siete personas, que cuando l considera el respectivo arithms en s mismo, en este caso el cinco y el siete en s mismos ( ), los cuales l tiene nicamente en su pensamiento ( ). Estos arithmo como tambin el once, el cual uno no puede aprehender sino solamente por el pensamiento ( ) y cualquier otro arithms de clase similar, son casos de arithmo de unidades que llamaremos puras. Es decir, son unidades accesibles solamente al pensamiento, las cuales uno puede aprehender y contar nicamente en s mismas ( ) a diferencia de todos aquellos objetos exteriores que tengan nmero ( ) (Teeteto 198c).

El hecho de que estos arithmo solo admiten ser pensados ( ) (Repblica 526a) tiene su base en la pureza de sus unidades, de las cuales todas y cada una son iguales entre s sin la ms mnima diferencia y sin partes en s mismas ( ) (Repblica 526a). Estas unidades puras con las que trabaja el aritmtico son denotadas con el nombre genrico de , trmino que conserv su significado en el pensamiento matemtico griego cuando menos hasta la obra de Euclides Elementos de Geometra. En efecto, las definiciones que tiene Euclides al principio del libro VII de los Elementos concuerdan con esta nocin:

Definicin VII 1: Una unidad es aquello de acuerdo a lo cual cada cosa es llamada uno. , .


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Definicin VII 2: Un nmero es una multitud hecha de unidades. , .

Sobre las dificultades del concepto de volveremos ms adelante, por ahora nos dedicaremos a precisar el concepto griego de arithms en tanto concepto que conserv su sentido nico (pese a los dos sentidos insinuados Repblica 525d y Filebo 56d) de multiplicidad numerada de objetos.

Podemos afirmar que la nocin de arithms que Platn expresa en sus dilogos conserva un sentido nico, tanto con respecto a predecesores (Tales) como con respecto a contemporneos y/o sucesores (Eudoxo, Euclides). En esta nocin el hecho fundamental que no se puede perder de vista es el del conteo de algn nmero de cosas.7 Aqu hay que hacer nfasis en lo de algn nmero de cosas, pues nada sera ms extrao al pensamiento matemtico griego que considerar arithmo de nada. Un arithms es siempre un arithms de algo, de una cantidad definida de cosas definidas: de manzanas, de vacas, de toneles de vino, y, matemticamente hablando, de unidades puras, accesibles solo al pensamiento.8 Recordemos que la nocin de arithms de Tales, hablaba de una coleccin de unidades, la de Eudoxo de una multitud finita, y, la de Euclides de una multitud hecha de unidades. Aristteles, ofreci varias definiciones de arithms, todas ellas de acuerdo con lo hasta ahora dicho: multiplicidad limitada;9 multiplicidad (o combinacin) de unidades;10 multiplicidad de indivisibles;11 multiplicidad medible por el uno;12 multiplicidad medida y multiplicidad de medidas (siendo el uno la medida);13 multiplicidad de unos (Fis. 207b7).

As pues, sea cual sea la definicin que se diera de la respectiva nocin de arithms que se tena, sta siempre apuntaba a lo mismo: coleccin finita de determinados objetos, y si por objeto entendemos en este contexto cualquier ente al que se le puedan aplicar las operaciones de la aritmtica (adicin, producto,

7 No es accidental que el verbo arithmein signifique contar.8 Esta nocin de arithms como arithms de algo, nunca de nada, excluye al cero en tanto que

arithms para el pensamiento matemtico griego. De la misma manera, las llamadas magnitudes inconmensurables, como la diagonal del cuadrado, no podan ser consideradas como arithmo, pues al ser magnitudes no medibles por ninguna unidad no eran multiplicidades de ninguna clase. Platn habla de estas magnitudes principalmente en Teeteto 176a adems de otros lugares, llamndolas , intratables, pero nunca , irracionales, como s las llamamos nosotros, los modernos.

9 Met. 1020a13. .10 Met 1039a12. .11 Met. 1085b22. .12 Met 1057a3. .13 Met. 1088a5. .


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etc.),14 entonces es tan objeto de la aritmtica tres vacas como el arithms formado por tres unidades puras.

Queremos insistir en que no es que se dieran dos nociones distintas de arithms para el pensamiento matemtico griego, la nocin era solo una pero aplicada a dos esferas distintas del saber: los sensibles y los inteligibles. No debemos culpar a la gente del comn de la Antigua Grecia por trabajar con arithmo de unidades sensibles y solo con miras a las compras y a las ventas, a la manera de comerciantes y mercachifles (como parece reprocharles Platn en Repblica 525d), y ser indiferentes o incapaces de pensar en los arithmo en s ( ) con miras al saber ( ). La cultura matemtica de la gente del comn ha sido pobre desde siempre. Incluso hoy en da a una pregunta elemental de matemticas como por ejemplo: Cul es el tercio de un medio?, planteada aleatoriamente a una persona, muy probablemente obtendramos por respuesta que no tiene ni idea, e incluso algunos justificaran no saberla, pues, no la necesitan para su actividad.

3. Las ambigedades del concepto de Mons

Pasemos ahora a considerar una cuestin sobre la cual habamos dicho ms arriba que presentaba dificultades: se trata del concepto de .

En efecto, estas dificultades se dan a partir del puesto destacado que ocupa el concepto de al interior de la nocin de arithms y por ende de las interpretaciones que se han dado del concepto.

Algunos estudios de la filosofa e historia de la ciencia griega (Pritchard 1995: 15), consideran que hay dos errores frecuentes cometidos por quienes estudian la filosofa de las matemticas de Platn al considerar el concepto de . Por un lado, cuando afirman que ste se refiere a la idea de unidad, y, por otro lado, cuando aseguran que denota al arithms uno. Pensamos, al igual que el autor del estudio citado (Pritchard, 1995), que ambas consideraciones tienen consecuencias inaceptables.

Examinemos esto a la luz del puesto que ocupa el mencionado concepto al interior de la nocin de arithms que acabamos de enunciar. En primer lugar, recordemos que el hombre que usa arithmo en su actividad prctica cotidiana,

14 Estas operaciones se encuentran definidas respectivamente en Euclides: Elementos I (nociones 2 y 3); Elementos VII (definicin 15) y son aplicables tanto a arithms que cuentan con cuerpos visibles y tangibles como a arithms de unidades puras.


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tiene que adoptar como sus unidades cosas como bueyes o manzanas que nunca son precisamente iguales; mientras que el matemtico trata exclusivamente con unidades puras () que se supone son iguales o idnticas. Esto ltimo est confirmado por la prctica euclideana reflejada, por ejemplo, en pasajes como Elementos VII proposicin 15, donde se afirma como cosa corriente que puesto que las unidades BG, GH, GC, son iguales entre s (...).15 No est dems insistir en que lo que distingue las unidades del matemtico de cualquier otra clase de unidades que sirvan para contar es que todas ellas son semejantes entre s. No es difcil ver que es usado en este sentido en las definiciones VII.1 y VII.2 de Euclides y Filebo 56d.

Ahora bien, sabemos que para Platn las cosas sensibles solo podan ser objeto de la opinin () mientras que objetos como los arithmo en s deban serlo de la inteligencia (). Que la realidad de los objetos opinables no es negada, mas s devaluada, es algo que est muy claro en Platn, lo que no est muy claro y sigue siendo asunto de discusin es si Platn situ a estos dos tipos de objetos en mundos distintos, los opinables en ste y los inteligibles en uno ms all. De ah que cuando se habla de la idea de unidad, entendiendo por idea de unidad algo como un ente metafsico separado del mundo sensible, se est tomando partido por una interpretacin de la filosofa de las matemticas de Platn muy controvertida y que complica la pregunta sobre el tipo de realidad que tenan para Platn los objetos de las matemticas.16

15 BH, H, 16 La denominada Teora de las Ideas en el pensamiento de Platn atraviesa por diversos estadios o etapas.

La etapa inicial corresponde a los escritos del periodo de juventud, donde predominan preocupaciones acerca del problema de la definicin y en la cual no puede hablarse con propiedad de una Teora de las Ideas, aunque s de un uso especial del concepto de eidos, traducido comnmente como Idea o Forma, en funcin de una teora de la definicin; luego una etapa intermedia, a la que pertenecen dilogos del periodo medio como el Fedn, Banquete, Repblica y Menn, donde la reflexin sobre las Ideas introduce problemas de carcter metafsico y de teora del conocimiento. Durante este periodo las Ideas juegan un papel central en la explicacin acerca de cmo nosotros construimos el conocimiento y cmo logramos articular teoras explicativas verdaderas, y de validez universal, acerca del mundo de experiencia, que se manifiesta cambiante y contingente a la percepcin. Justo en este periodo medio es que se inscribe la reflexin acerca de la naturaleza de los objetos matemticos que se considera en el presente artculo. A diferencia de lo que ocurre con la reflexin platnica acerca de las Ideas, el pensamiento matemtico en Platn no exhibe una evolucin o estadios diversos de desarrollo y consolidacin; su nocin de objetos matemticos es la misma en todo su pensamiento, y como aqu se argumenta, corresponde a la de los Elementos de Euclides. Como corresponde a la perspectiva acerca de las Ideas en el periodo medio, Platn distingue entre los objetos matemticos en s y la aplicacin en la vida ordinaria de las matemticas. Es por esto que afirmamos que no hay una distincin real entre objetos matemticos para la ciencia y objetos matemticos para otras actividades, la diferencia aparente entre dos tipos de objetos es realmente una diferencia acerca de dos usos diferentes de la misma cosa: hay un uso cientfico y un uso no cientfico de los nmeros y las magnitudes. Consideramos pues


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El objetivo en este momento no es decidir si denota o no a la idea de unidad, lo que se pretende es llamar la atencin sobre una lectura de Platn que convertira en intratables algunos de los pasajes ms importantes sobre el pensamiento matemtico del filsofo. As por ejemplo en dos pasajes de Fedn 101bc y 105cd, donde parece ser usado para referirse a la idea de unidad. En 101 bc Scrates hace reconocer a Cebes que no encuentras otra causa de producirse el dos, sino la participacin en la dualidad ( ), y es preciso que participen en ella los que van a ser dos, y de la unidad ( ) lo que va a ser uno ( ); y en 105 cd: y si tu pregunta es, qu es lo que hace a un nmero impar () no te dir que la imparidad () sino que la unidad ( ).

Si denotara la idea de unidad y denotara a su vez a una anloga idea de dualidad, entonces el principal problema estara en la respuesta a la pregunta: Qu son los arithmoen s? Ciertamente no son ideas en el sentido antes indicado, porque cada idea es nica y existen muchos arithmo todos idnticos entre s; pero tampoco son cosas sensibles pues stas nunca son iguales entre s. En suma lo que ocurrira es que Aristteles tendra razn cuando afirma en Metafsica 987b14 que para Platn los objetos de las matemticas son intermedios () entre las ideas y los particulares sensibles. Planteamiento que ha sido ampliamente debatido en las ltimas dcadas (Pritchard, 1995: 156).

que Platn no est efectuando, como bien seala Gadamer (1995: 61), una divisin ontolgica o una duplicacin del mundo, como sugera Aristteles; ms bien, como aclara Gosling, (1993: 223) Platn lo que elabora es una distincin de orden epistemolgico, la cual pretende sealar la dualidad inherente al hecho de que nosotros conocemos la realidad a partir tanto de la percepcin o sensibilidad como del razonamiento o la inteligencia; y a estas corresponden, respectivamente, lo sensible y lo inteligible, siendo esto ltimo objeto exclusivamente del pensamiento (Cf. McCabe 1999: 41). La inferioridad de lo sensible frente a lo inteligible, a la que alude Platn en dilogos del periodo medio, como el Fedn y la Repblica, no es una inferioridad ontolgica, como sugieren algunos intrpretes (Cf. Guthrie 1977 y Ross 1986), sino epistemolgica (Cf. White 1999: 283). Consideramos con Gosling (Cf. 1993: 214) que en los dilogos del periodo medio nos encontramos con una nocin muy estricta de conocimiento, la cual implica una acepcin especial y rigurosa de lo que es la verdad, donde no cuentan enunciados sobre casos particulares o juicios sobre el mundo emprico. En este periodo Platn asume que el conocimiento, en sentido estricto, se alcanza siempre y cuando logremos articular satisfactoriamente definiciones claras y rigurosas acerca de los conceptos, las Ideas, que luego ponemos en relacin con el mundo de experiencia en casos concretos, los cuales hay que diferenciar de las Ideas que no se nos dan directamente en nuestras percepciones, de ah que se capten slo a travs del ejercicio de la razn, esto es, en el uso del pensamiento (Cf. Gosling 1993: 214215). Posteriormente encontramos una etapa crtica de la Teora de las Ideas, que corresponde especialmente al Parmnides donde se pone a prueba la concepcin metafsica que parece derivarse de los argumentos epistemolgicos de los dilogos del periodo intermedio; tal crtica conduce a una etapa final de la Teora de las Ideas, presente en los escritos de vejez, fundamentalmente en el Sofista, donde el problema de las Ideas se circunscribe esencialmente a la esfera de lgica y el lenguaje.


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Cabe aqu insistir nuevamente en algo de suma importancia: no debemos perder de vista que la nocin griega de arithms es radicalmente distinta de la nocin moderna de nmero,17 ya que esta ltima se constituye a partir de la nocin abstracta de conjunto, nocin que, a su vez, es improbable que fuera concebida por el pensamiento matemtico griego. As pues, lo primero que debe evitarse si se quiere comprender un pensamiento matemtico, que como el de Platn, estaba inmerso en una cultura distante a veinticuatro siglos de la nuestra, es traducir arithms por nmero y sugerir as una identidad imposible entre dos nociones radicalmente distintas.

4. Superacin de la ambigedad y la cuestin acerca del menor de los nmeros

Los modernos aceptamos que el menor de los nmeros enteros positivos es el uno. Para los antiguos Griegos es improbable que denotara al nmero uno porque se refiere a un concepto del lenguaje con el que se estn definiendo los objetos de la aritmtica y cuando hablamos de algo como el nmero uno hablamos de un objeto con el cual podemos hacer matemticas (operar y demostrar propiedades), por tanto no est del todo claro que cuando se habla del nmero uno se hable de un concepto. Ms aun, hay una importante consecuencia de la nocin griega de arithms entendido como multiplicidad de unidades, a saber que el uno ( )18 no era considerado un arithms por los Griegos. As pues, no puede denotar al nmero uno porque ni siquiera ( ) era un arithms y al hablar de nmero uno estaramos hablando de un objeto del cual el pensamiento matemtico griego no tena ninguna nocin. Decir que denota al nmero uno no es ms que una confusin de trminos que no se pueden relacionar al pensamiento matemtico griego.

Ahora bien, Por qu el uno ( ) no era considerado un arithms? Pues claramente porque un arithms es una multiplicidad finita de determinados objetos y la menor multiplicidad es el dos ( ). En efecto, el mismo Aristteles nos refuerza en esta direccin. En varios pasajes de la Metafsica es claro y enftico al afirmar que el uno ( ) no es un arithms. As por ejemplo en Metafsica 1088a6 donde dice: uno significa medida de alguna pluralidad (

17 La nocin moderna de nmero natural sigue siendo la misma que propusieron los matemticos de principios del siglo xx que se dedicaron a fundamentar la matemtica sobre bases slidas, esta define a los nmeros naturales en trminos de la nocin ms primitiva de conjunto. Por ejemplo, el cero es el conjunto vaco, el uno es el conjunto que tiene como nico elemento al conjunto vaco, etc. (Cf. Enderton, 1977 Cap. iv)

18 Traduciremos por el uno, o lo uno para diferenciarlo de que traduciremos por la unidad.


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) y nmero significa pluralidad medida y pluralidad de medidas (y por eso es razonable que el uno no sea nmero, pues tampoco la medida es medida, sino que son principio () tanto la medida como el uno). A pesar de esta enftica declaracin de Aristteles sobre lo que el uno ( ) no es, un arithms, se da sin embargo una dificultad, la cual de no ser por la nocin de arithms en la que nos hemos basado, sera realmente difcil de superar: se trata de una aparente indecisin por parte de Platn de considerar o no al uno ( ) como un arithms.

Platn unas veces sugiere que el primer arithms es el dos ( ) y otras veces que es el uno ( ). As en el Sofista 238b coloca a los arithmo y al uno en el mismo nivel: entonces no intentamos aplicar el nmero ni la pluralidad, ni el uno, a lo que no es; y en Repblica 524d habla del arithms y del uno como si de objetos distintos se tratara.

Razona a partir de lo dicho. En efecto, si la unidad es vista suficientemente por si misma o aprehendida por cualquier otro sentido, no atraer hacia la esencia como decamos en el caso del dedo. Pero si se la ve en alguna contradiccin, de modo que no parezca ms unidad que lo contrario, se necesitara de un juez y el alma forzosamente estar en dificultades, e indagara, excitando en si misma al pensamiento, y se preguntara que es en s misma la unidad...y si esto es as con lo uno ( ), no pasara lo mismo con todo nmero?

Aqu Aristteles nos ayuda en la salida a esta cuestin. En efecto, en Fsica 220a27 dice: el nmero mnimo en el sentido absoluto es el dos. Pero como nmero concreto a veces lo es y a veces no lo es. Recordemos que segn nuestra nocin de arithms existen dos clases distintas de stos, los que estn compuestos de unidades sensibles (vacas, bueyes, etc.) que no son iguales entre s, y los compuestos de unidades puras () las cuales se suponen iguales.

As pues, cuando Platn nos habla del uno y los dems arithmo en el citado pasaje del Sofista, nada impide que se est refiriendo a arithmo de la primera clase, los sensibles, y as poder hablar del uno como si se tratara de un arithms, sin contradiccin alguna, mientras que en el pasaje de La Repblica Platn vena hablando de la necesidad de estudiar los arithmo en s mismos ( ) con miras al saber y no a las compras y a las ventas como los comerciantes y mercachifles. Es decir, Platn aqu hablaba de los arithmo de la segunda clase, los de unidades puras, entre los cuales no puede encontrarse el uno ( ) pues un arithms en su sentido ms general es una multiplicidad finita de objetos y la menor multiplicidad de algo es la del dos.

As pues podemos concluir que el uno no es un arithms, pese a que sirva, por ejemplo, para enumerar personas concretas como en El Timeo,19 pues lo que all se

19 , , Uno, dos, tres, falta uno (Timeo 17a).


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hace es utilizar el trmino para contar y no afirmar que se trata de un arithms. As mismo, a la pregunta Cul es el mnimo arithms considerado en s mismo ( )?, la respuesta es: el dos. Y a la pregunta Cul es el mnimo arithms considerado respecto a s mismo y a unos con otros? (Gorgias 415c.), la respuesta ser, como dijo Aristteles: unas veces es el uno y otras veces no lo es.

Ahora bien, se dice que un arithms es mnimo si no existe otro menor que l, as por ejemplo, en terminologa moderna, el menor nmero positivo par es el dos, pero el menor nmero positivo racional no existe, pues dada cualquier fraccin positiva siempre se puede encontrar otra menor que ella. De otro lado, dado que el concepto griego de arithms est fundado en el hecho de que las unidades con las que trabaja quien est versado en la ciencia de los arithmo son indivisibles, y los nmeros de la forma p/q, con p y q enteros siempre son divisibles por cualquier entero r, entonces lo que nosotros los modernos llamamos nmeros fraccionarios o racionales (p/q), no podan ser arithmo para los Griegos. Por tanto, a la coleccin de arithmo propia del pensamiento matemtico griego puede y debe asignrsele un arithms mnimo, la cuestin es cul? Recordemos brevemente lo ltimo que habamos dicho sobre el uno ( ) en su carcter de no ser un arithms en su sentido estricto. Decamos que negar que el uno es un arithms no conduce a negar que la unidad es la mnima cantidad discreta ni alegar, por ejemplo, que alguien pueda tener menos de dos cosas. Tambin habamos dicho que para Aristteles el arithms mnimo cuando se refiere a algo concreto a veces es el uno y a veces no lo es. Esta indecisin frente a esta cuestin es tan solo aparente. Para aclarar esto, veamos el resto del pasaje:

As por ejemplo en el caso de la lnea, el nmero mnimo con respecto a la multiplicidad es una lnea o dos lneas, pero con respecto a la magnitud no hay mnimo, porque toda lnea es siempre divisible. Y de la misma manera tambin el tiempo, pues con respecto al nmero hay un tiempo mnimo (uno o dos), pero con respecto a la magnitud no lo hay (Fis. 220a27).

La magnitud () es lo continuo y lo continuo, segn Aristteles, es lo que puede ser dividido infinitamente en partes (Fis. 237a1.), por lo tanto no hay una magnitud mnima. Ahora, el mnimo conjunto de unidades con respecto a la pluralidad es el de dos unidades. Una nica unidad es menor en pluralidad que dos unidades, sin embargo no es una pluralidad de unidades. En un pasaje de la Metafsica, dice Aristteles:

Y la pluralidad () es como el gnero () del nmero; pues el nmero es una pluralidad medible por el uno. Y uno y nmero se oponen en cierto modo, no como contrarios, sino, segn dijimos, como algunas de las cosas relativas; pues se oponen como la medida () y lo mesurable (). Por eso no


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todo lo que sea uno es nmero: ste es el caso de lo indivisible ()20, si hay algo tal.

As, si un objeto de las matemticas es uno y tiene la propiedad de ser indivisible, entonces no es un arithms. A este respecto Platn en Repblica 525e es muy claro cuando dice: quienes entienden de estas cosas, se ren del que en una discusin intenta dividir la unidad en s () y no lo admiten; antes bien, si t la divides, ellos la multiplican porque temen que vaya a aparecer la unidad no como unidad ( ) sino como reunin de varias partes.

As pues, el uno () es indivisible y en sentido estricto no es un arithms. Solo lo continuo, las lneas del gemetra y los cuerpos visibles y tangibles son divisibles y por lo tanto se puede considerar como arithms.21 Esto tiene como consecuencia que objetos como partes fraccionales de la unidad no pertenecieran a la aritmtica entendida como ciencia de lo par y lo impar (Met. 1057a17). As lo expresa Platn en Fedn 105b cuando dice que al uno y medio, al medio, y al tercio no se les pueden aplicar las nociones de par o impar. Esto es, las fracciones con las cuales trabaja el ,22 como si fueran arithms, en realidad solo pueden ser partes fraccionales de las cosas que subyacen a un conteo que se est llevando a cabo, y las cuales, en virtud de su naturaleza corprea, pueden ser infinitamente divididas. El hecho de que las fracciones no eran consideradas como arithms se encuentra confirmado, como es de esperarse, en el libro de los Elementos de Euclides, el cual en la proposicin VII.31 afirma cualquier nmero compuesto es medido por un nmero primo ,23 y esta proposicin es all demostrada utilizando el mtodo de reduccin al absurdo, consistiendo el absurdo en mostrar la existencia de una sucesin infinita decreciente de arithmo, es decir, una secuencia de arithmo en la cual cada arithms es menor que el anterior, lo cual es imposible, como bien lo afirma Euclides, pues tal sucesin debera detenerse en el uno (), el cual es indivisible.24

20 Met. 1057a17.21 Poder considerar a un arithms como un segmento continuo de recta, era algo absolutamente

necesario para el pensamiento matemtico griego, pues la nocin de arithms como multiplicidad finita de determinados objetos es tan estrecha que hubiera hecho intratable el manejo de las cantidades fraccionales y de las magnitudes inconmensurables en los llamados libros aritmticos de Los Elementos de Euclides.

22 El significado de este trmino ser precisado ms adelante, pero podra traducirse al trmino logistiks por calculista y al trmino logistik por cmputo.

23 En terminologa moderna, se dice que un nmero entero es primo si tan slo es divisible por s mismo y por uno, as por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13son primos, pero los pares distintos de 2 y 9, 15, 21, no lo son.

24 No est dems anotar que Euclides en toda su obra y principalmente en los llamados libros aritmticos de los Elementos, se cuida de introducir partes fraccionales de la unidad y se limita a ofrecer la definicin de parte o partes de un arithms. Veamos:


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5. Logistik vs. Arithmetik dos artes () acerca de los arithmo

Solo nos resta para la conclusin de este anlisis de los objetos de las matemticas en Platn, la consideracin de las dos disciplinas que, segn Platn, se dedican al estudio de lo par y lo impar, esto es: la y la .

Para introducir esta distincin, podemos comenzar considerando la afirmacin de que estas unidades con las que el matemtico trabaja no admiten ser particionadas en lo absoluto, o lo que es lo mismo, que tales unidades no estn compuestas de partes. Recordemos que Platn en Repblica 525e nos dice que quienes saben de la ciencia de los arithmo no admiten que alguien en una discusin intente dividir la unidad en s ( ), pues tal accin hara que el uno aparezca no como siendo uno, sino como conteniendo muchas partes. Justamente esta dificultad, que parece darse a propsito de la indivisibilidad de las unidades puras, es lo que se encuentra en el centro de una distincin que se hace al interior de la ciencia de los arithmo, la logistik y la arithmetik.

Platn, en Gorgias 415c, hace decir a Scrates que si le preguntaran de qu trata la arithmetik, l contestara que sobre lo par y lo impar y la cantidad de cada uno. Y, que si le preguntaran de qu trata la logistik, l respondera que ambas se refieren a lo mismo, a lo par y a lo impar; se diferencian solamente en que la logistik examina las relaciones de lo par y lo impar respecto a s mismos y a unos con otros.25

Ha sido tradicional afirmar una oposicin directa de la arithmetik como disciplina terica, a la logistik, como el arte prctico de calcular. As por ejemplo Heath (1965, Vol 1: 13), quien adems aade que la arithmetik puede ser entendida como nuestra teora de nmeros. Esta interpretacin moderna est apoyada por los comentarios que se encuentran a este respecto en la obra de Proclo: Comentario al Libro Primero de los Elementos de Euclides, libro que aun cuando es la nica fuente histrica sobre la actividad matemtica de la antigua Grecia, debe ser entendido en su contexto histrico y no en el nuestro. Sin embargo, es difcil ver cmo en las palabras de Platn se puede encontrar justamente esta oposicin, y cmo es

V I I .Def .3. Un nmero es parte de un nmero, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

V I I .Def .4 : Pero partes cuando no lo mide. Heath en su traduccin de los Elementos Vol I pg 280, a firma que con la expresin partes (, el

plural de ), Euclides denota lo que nosotros llamamos una fraccin propia. Pero esta interpretacin, como venimos viendo es muy problemtica.

25 Platn menciona estas dos artes () en otros lugares: Crmides 165e; Teeteto 198a; Repblica 522c.


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posible identificar a la arithmetik con nuestra moderna teora de nmeros, mxime cuando sabemos que el concepto griego de arithms era radicalmente distinto de nuestra nocin de nmero.

Ciertamente, no es fcil determinar lo que quera decir Platn a propsito de estas dos artes (), pero s es posible considerar, basados en las referencias de los dilogos, que ellas no eran dos disciplinas cientficas que pertenecieran a dos niveles diferentes. Antes bien, se trataba de una sola ciencia que poda tomar dos direcciones. En Repblica 522c, Platn nos dice que para ser capaces de contar nosotros debemos saber distinguir los arithmo particulares, debemos distinguir el uno, el dos y el tres. Platn llama a la totalidad de esta ciencia de todos los arithmo posibles la arithmetik. La arithmetik es pues, el arte del conteo correcto, as en Teeteto 198b nos dice Platn por medio de este arte [la arithmetik] tiene uno al alcance de la mano los saberes de los nmeros, y en In 537e dice que todos estos dedos son cinco, lo sabemos por el mismo arte de la arithmetik.26 Ahora bien, la logistik ha de ser entendida como el arte que tiene que ver con el comportamiento de los arithmo en sus mutuas relaciones y por tanto la ciencia que al relacionar arithmo nos permite calcular con ellos. Todas las operaciones significativas sobre arithmo presuponen un conocimiento de las relaciones que conectan a los arithmo entre s. Este conocimiento, que adquirimos en la infancia y que usamos en todo clculo, aun cuando no est siempre presente como tal, es la logistik.

La diferencia entre estas dos ramas de las matemticas no son sus objetos, pues en ambas los objetos son arithmo. La diferencia est en que la arithmetik estudia los arithmo por s mismos, mientras que la estudia sus relaciones de uno a otro con respecto a la cantidad. As por ejemplo, como comenta Pritchard (1995: 73), es un asunto de la arithmetik saber que el 10 es un arithms triangular, pero es asunto de la logistik saber que 2 y 6 estn en la misma razn que 5 y 15. Pareciera as que la arithmetik se dedica a demostrar propiedades de los arithmoi y la logistike a hacer operaciones con estos objetos, pero tal conclusin no puede obtenerse de las obras de Platn. Recordemos que Platn en Repblica 525c nos deca que el estudio de la logistik es un estudio necesario en tanto que obliga al alma a discurrir sobre los arithmo en s, y, un poco antes en Repblica 525a nos deca que como toda la logistik y la arithmetik tienen por objeto el arithms, ellas resultan aptas para conducir a la verdad y por lo tanto son de las enseanzas que convendra implantar por ley para luego, intentar persuadir a quienes vayan

26 Contar nunca ha sido una operacin trivial. Al lector moderno se le puede proponer el siguiente problema de conteo: de cuntas maneras distintas se pueden sentar cinco personas en una mesa redonda? Es posible que Platn tuviera en mente problemas similares a ste cuando habla del arte del arithmetik.


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a participar de las ms altas funciones para que se acerquen a la logistik y se apliquen a ella no de una manera superficial, sino hasta que lleguen a contemplar la naturaleza de los nmeros con la sola ayuda de la inteligencia ( ). En esta actividad que pretende ser una preparacin para los futuros Filsofos, se busca que el alma discurra sobre los objetos en s de esta disciplina, sobre el uno en s ( ), sobre el arithms en s ( ), y no sobre esos objetos que sirven para realizar las compras y las ventas, en suma, se quiere acceder a una logistik que podramos calificar de cientfica frente a una que podramos calificar de prctica.27

Ahora bien, no olvidemos que un objeto de la logistik en su dimensin cientfica, un objeto como el uno en s, es el lmite ltimo de toda posible particin. As pues, objetos como las fracciones no son otra cosa que partes fraccionales de las cosas que subyacen a un conteo, las cuales, en razn de su naturaleza corprea pueden ser infinitamente divididas. Pero, si consideramos que en la mayora de los casos en que se realiza un cmputo, se hace necesaria la introduccin de partes fraccionales de la unidad, entonces, surge un desajuste entre el material con el cual los cmputos son desarrollados y aqul otro material de arithmo de unidades puras, cuyo carcter est expresado precisamente en la indivisibilidad de sus unidades. As, un cmputo que se pretenda lo ms exacto posible simplemente no puede ser efectuado en el reino de los arithmo de unidades puras. La consecuencia inmediata de esto, al menos al interior de la tradicin platnica, es la exclusin de todos los problemas computacionales en el reino de las disciplinas de los arithmo en su dimensin cientfica. Se puede afirmar entonces que no es insostenible que las unidades con las que trabaja el logistiks son indivisibles. Lo que ocurre es, como dice Platn en Filebo 56d, que hay una disciplina de los arithmo propia de la masa, y otra que es la de los Filsofos. Es decir, que en las actividades comerciales cotidianas de la gente del comn que no son, propiamente hablando, ciencia hay que vrselas con cmputos que involucran partes fraccionales de cosas pero que tanto en la arithmetik como en la logistik entendidas como ciencias, que son estudiadas por los Filsofos y tan slo con miras al saber, no se da ningn proceso que involucre partes fraccionales de las unidades puras que son las que componen a los arithmo matemticos.

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27 La misma separacin podra plantearse para la arithmetik.


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objetos matemáticos sensibles y objetos matemáticos ... · de las obras de platón, aristóteles...

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