FBE -2 ; Óptica Geométrica ; Práctica 1

DETERMINACIÓN DEL ÍNDICE DE REFRACCIÓN DE UN PRISMA NOTA: Al llegar al laboratorio pedir al profesor que enchufe la lámpara espectral, si no estuviese enchufada, ya que requiere tiempo para calentar. Una vez en funcionamiento, mantener la lámpara en su alojamiento, con la abertura cerca de la entrada del goniómetro, y no manipular el transformador. 1- OBJETIVO

El objetivo fundamental de esta práctica es la medida del índice de refracción, n, de un vidrio. Para ello se utiliza un prisma de dicho material, se mide la desviación que se produce en un haz tras dos refracciones, y se encuentra el valor mínimo de dicha desviación, δm. Dicho valor está directamente relacionado con el índice de refracción, lo que nos permitirá obtener su varlor. 2- FUNDAMENTO TEÓRICO

Llamamos prisma en óptica, a un material transparente que tiene, al menos, dos caras pulidas. En el prisma más sencillo la luz entra por la primera cara y sale por la segunda (ver Figura 1), siendo α el ángulo que forman ambas caras o ángulo diedro.

Un rayo que atraviese ambas caras sufrirá dos refracciones. En la primera, el rayo refractado se acercará a la normal, y en la segunda se alejará de la normal, resultando que ambas contribuyen a desviar el rayo de su trayectoria original. El ángulo de desviación, δ, es fácil de medir con un instrumento adecuado. Lógicamente, al variar el ángulo de incidencia sobre la primera cara, ε1, variará el ángulo de desviación, δ. Este ángulo presenta un mínimo, δm, (cuyo valor se puede deducir a partir de la Ley de Snell y de la aplicación de un principio de mínimo):

( )

( )2

2

α

αδ

sen

sen

n

m

+

= (Ec. 1)

Puesto que tanto α como δm pueden medirse fácilmente en el laboratorio, la Ec.1 nos

proporciona un buen método experimental para la medida del índice de refracción de un vidrio.. Es importante añadir que, puesto que el índice de refracción n presenta una dependencia con

la longitud de onda de la luz incidente (algo que se conoce como relación de dispersión, y que es el origen de la llamada aberración cromática en los instrumentos ópticos), el valor de n que midamos debe venir acompañado de la longitud de onda que hemos utilizado. En nuestro caso la fuente será

Fig.1: Refracción de un haz de luz colimado (representado por un rayo) en las caras de entrada y salida de un prisma óptico. α es el ángulo diedro o de refringencia y δ es el ángulo de desviación.

δ α

ε1

ε2 ε1´

ε2´ n

la línea (doblete) amarillo-naranja del Sodio (Na), cuya longitud de onda es λo ≅ 5893Å [Recordemos que 1Å =10-10m, o también 1Å =0,1nm] 3- DISPOSITIVO EXPERIMENTAL 3.1 Material • Una lámpara espectral de sodio. • Un prisma óptico problema del que deseamos conocer el índice n. • Un goniómetro, instrumento destinado a la medida de ángulos formados por haces de luz. • Una lupa y una linterna para poder realizar las lecturas sobre el nonius del goniómetro. Un goniómetro es un aparato para medir el ángulo que forman entre sí dos haces de luz. Consta de (Figura 2): un soporte giratorio P, llamado platina, con tres tornillos de nivelación (T1, T2 y T3) en el que se coloca el prisma; un anteojo A rígidamente unido a un nonius que gira sobre un círculo graduado G (en este caso con precisión de medio grado. El nonius sexagesimal le da precisión de un minuto a la lectura); y un colimador C (brazo fijo del goniómetro). El goniómetro dispone de dos tornillos que permiten amordazar la platina y el anteojo y otros dos que pueden proporcionarle pequeños desplazamientos cuando los primeros están fijos. 3.2 Alineamiento y puesta a punto 1.- Al llegar debemos enchufar enseguida la lámpara, para que tenga tiempo de irse calentando (se trata de lámparas espectrales, es decir, lámparas de gas atómico a baja presión, y les cuesta unos minutos estabilizar su emisión). Debemos colocar la lámpara espectral de manera que ilumine uniformemente la rendija del colimador del goniómetro.

2.- Manipular unos instantes el goniómetro para poder entender la descripción hecha más arriba y comprender su funcionamiento. Los siguientes pasos 3 a 6 están destinados a preparar correctamente este instrumento para poder medir con él. 3.- Enfocar el ocular del anteojo del goniómetro sobre su retículo, sacándolo más o menos hasta conseguir una imagen nítida del retículo. Cuidando de no desenfocarlo, girarlo hasta que uno de los hilos esté sensiblemente vertical. Sujetando el ocular, apretar entonces la rosca para fijarlo. 4.- Con ayuda de un colimador auxiliar (o enfocando al infinito) hacer afocal el anteojo. Tener mucho cuidado a partir de ahora de no desenfocarlo 5.- Poner en línea el colimador del goniómetro con el anteojo hasta ver la rendija. Entonces enfocar el colimador hasta ver nítida la rendija. En ese momento trabaja como un colimador. Cerrar la rendija hasta que sea lo más estrecha posible sin perder excesiva luminosidad. 6.- Girar levemente la rendija hasta conseguir que coincida con el hilo vertical del retículo. Apretar entonces la rosca para fijarla. Verificar si no se ha desenfocado la rendija. Si hubiese sido así, modificar el enfoque del colimador. En este momento deberá verse aproximadamente la misma longitud de rendija por arriba que por abajo. 7.- Nivelar la pletina de forma aproximada (por ejempo haciendo que los tornillos sobresalgan lo mismo en la superficie). Colocar el prisma sobre la platina como se indica en la Figura 3, de forma que el eje del colimador sea aproximadamente la bisectriz del ángulo α del

Fig.2: Esquema de un goniómetro.

C

A

G P

T1 T2

T3

prisma. Comprobar que la altura de la platina es la adecuada para que el haz incida por completo sobre el prisma, iluminando las dos caras del diedro óptico. Comprobar que la arista iluminada está cerca del eje de la pletina para que su reflejo pueda ser observado desde el anteojo. 8.- Observar con el anteojo la luz que refleja una de las caras del prisma, de forma que se observe perfectamente la rendija. Repetir la misma operación con la luz reflejada por la otra cara. Si la pletina está bien nivelada se tiene que observar en ambos casos la rendija superpuesta con la raya vertical del retículo, y con la misma porción por encima y por debajo de la línea horizontal. 4- MÉTODO OPERATIVO Medida de α : 1.-Con el prisma en la posición indicada en la Figura 3, colocar el anteojo en la dirección de la luz reflejada por una de las caras, de forma que la rendija quede en el centro del retículo y tomar la posición angular x1 del anteojo en la escala graduada (con precisión de minutos de arco, que es lo que permite el nonius acoplado en el visor). 2.-Repetir la misma operación con la otra cara del prisma y tomar la posición x2 del anteojo en la escala graduada mirando en el mismo visor que la vez anterior. 3.-Calcular el valor de α a través de la expresión: 2α = x1 − x2. 4.- Repetir la operación 5 veces y obtener el valor de α, σα

2 y σα .

σα2 = ( )

2

1

1∑=

−N

ii

Nαα

[Para los cálculos posteriores es interesante disponer de σα2 en rad2 ]

Medida de δm : 1.- Colocar el prisma como indica la figura 4, de forma que la luz entre por una de las caras del diedro óptico. Observar con el anteojo la luz refractada que emerge por la otra cara del diedro. Centrar en el retículo la línea espectral amarilla. 2.- Girar poco a poco el prisma (tocándolo por el plano superior, nunca por las caras pulidas) y “persiguiendo” con el anteojo la línea amarilla hasta que se produzca el cambio de sentido en el desplazamiento de la línea (si éste no se produce es síntoma de que hemos colocado mal el prisma). En este momento el ángulo de desviación pasa por un mínimo (δ=δm). Es preciso mover el anteojo con cuidado hasta conseguir que el cambio de sentido se produzca en el centro del retículo. En este punto se anota la posición angular δ1 del anteojo en el visor escogido (con precisión de minutos de arco). 3.- Girar el prisma de forma que la luz del colimador entre ahora por la otra cara y repetir la operación del punto anterior con la línea espectral del mismo color. Anotar la posición angular δ2 de la posición el anteojo sobre el mismo visor. 4.- Calcular δm a partir de la expresión : δm = (δ1−δ2)/2.

Fig.3: Colocación inicial del prisma sobre el goniómetro.

Colimador

Anteojo

Fig.4: Colocación del prisma sobre el goniómetro para la medida de δm.

Colimador

Anteojo

5.- Repetir las medidas 5 veces variando la posición del prisma en la platina y calcular mδ ,

σδm2 y σδm.

σδm 2 = ( )

2

1

1∑

=

−N

i

iN

δδ

[Para los cálculos posteriores es interesante disponer de σδm2 en rad2 ]

Cálculo de n : 1.- Con los valores mediosα y mδ podemos calcular el índice a partir de la ecuación (Ec.1):

( )

( )2

2

α

αδ

sen

sen

n

m

+

=

2.-Para calcular el error en la determinación del índice debemos usar la ecuación de propagación de errores: dada la función f(x,y),

2,

,

2

2

,

2

2

,

2),( 2 yx

yx

y

yx

x

yx

yxf

ooooooy

f

x

f

y

f

x

fσσσσ

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Por ser independientes las medidas de α y δm , 02, =yxσ , y se obtiene:

2

2

2

2

2

),(mm

m

n

nnδαδα σ

δσ

ασ

∂

∂+

∂

∂=

en donde: ( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )22

2cos2

22

2cos

22

2cos

23 α

ααδ

α

αδ

α

α

αδ

δ

sen

sen

sen

n

sen

n

mm

m

m

+−

+=

∂

∂

+=

∂

∂

Para que podamos obtener el error de n, es decir σn, que es adimensional, debemos operar introduciendo 2

ασ , y 2mδσ en rad2. (En cuanto a α y δm, obviamente no importa la unidad que

usemos siempre que las funciones trigonométricas (sen y cos) se operen en el modo correcto de la calculadora: DEG si trabajamos en grados, RAD si en radianes...). 5- CUESTIONES 1.- ¿Por qué crees que la medida de α no depende de la posición exacta del prisma frente al haz? 2.- ¿Has observado si el valor de δm es igual para todos los colores? ¿A qué se debe? 3.- Dada la magnitud del error, ¿Crees que este es un buen método de medida del índice? 4.- ¿Qué consejo darías al grupo que fuese a realizar la práctica después de ti?

RESULTADOS • Valor medio y error de α • Valor medio y error de δm • Valor obtenido para n ±±±± σσσσn