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CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST

ANTONIO COLMENAREZMARIA CAROLINA

ESCALONAJOHANA ALEJO

INTRODUCCIONA TRAVES DE ESTA EXPOSICION

ESTUDIAREMOS UN CRITERIO QUE T IENE EL MISMO OBJETIVO QUE EL DE ROUTH-HURWITZ , ES DECIR , LA ESTABIL IDAD

DEL S ISTEMA QUE SE ESTUDIA . EL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ SE RELACIONABA DIRECTAMENTE CON LAS RAÍCES DE LA

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL S ISTEMA. EN EL CRITERIO DE NYQUIST SE EMPLEA UN

PLANTEAMIENTO DISTINTO AL UTIL IZAR LOS CONCEPTOS DEL ESTADO PERMANENTE CENO EN TAL CORRESPONDIENTES A ESTE ESTUDIO. ORIGINALMENTE LO FORMULÓ EN 1932 HARRY

NYQUIST . ES IMPORTANTE OBSERVAR QUE SU UTIL IDAD EN LA PRÁCTICA SE RELACIONA CON EL HECHO DE QUE SE PUEDE APLICAR A

TRAVÉS DE MEDICIONES SENOIDALES DE RUTINA QUE ES POSIBLE EFECTUAR EN

EL LAB ORATORIO.

ESTE CRITERIO DE ESTABILIDAD,

OBTENIDO POR H. NYQUIST, ES ÚTIL EN

LA INGENIERÍA DE CONTROL, DEBIDO A

QUE PERMITE DETERMINAR

GRÁFICAMENTE LA ESTABILIDAD

ABSOLUTA DEL SISTEMA EN LAZO

CERRADO A PARTIR DE LAS CURVAS DE

RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LAZO

ABIERTO, SIN QUE SEA NECESARIO

DETERMINAR LOS POLOS EN LAZO

CERRADO.


EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST RELACIONA LA RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LAZO ABIERTO

G(JΩ)H(JΩ) CON EL NÚMERO DE CEROS Y POLOS DE 1+ G(S)H(S) QUE SE ENCUENTRAN EN EL SEMIPLANO

DERECHO DEL PLANO “S”.

EL CRITERIO DE NYQUIST SE BASA EN UN TEOREMA DE LA TEORÍA DE LA

VARIABLE COMPLEJA.


SUPONDREMOS QUE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN LAZO ABIERTO

G(S)H(S)

SE REPRESENTA COMO UN COCIENTE DE POLINOMIOS EN“S”.

PARA UN SISTEMA QUE PUEDE MATERIALIZARSE, EL GRADO DEL POLINOMIO DEL DENOMINADOR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN LAZO CERRADO,

DEBE SER MAYOR O IGUAL QUE EL DEL POLINOMIO DELNUMERADOR. POR LO TANTO

LIM G(S)H(S)=0

UNA CONSTANTE PARA CUALQUIER SISTEMA QUEPUEDA MATERIALIZARSE.

EJEMPLO

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PARA UNA TRAYECTORIA CERRADA

CONTINUA DETERMINADA EN EL PLANO “S” QUE NO PASA POR NINGÚN PUNTO

SINGULAR, LE CORRESPONDE UNA CURVA CERRADA EN EL PLANO F(S),

DONDE LA DIRECCIÓN Y EL NÚMERO DE ENCIERROS DEL ORIGEN DEL PLANO F(S) PARA LA CURVA CERRADA ESTA RELACIONADO CON LA ESTABILIDAD

DEL SISTEMA.


SI F(S)=1+G(S)H(S)=0

EN EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PARA ANÁLISIS DE ESTABILIDAD,

SI LA TRAYECTORIA DE NYQUIST EN EL PLANO “S” ENCIERRA Z CEROS Y P POLOS DE 1+G(S)H(S) Y NO ATRAVIESA POLOS NI CEROS DE 1+G(S)H(S) CUANDO UN PUNTO

REPRESENTATIVO “S” SE DESPLAZA EN SENTIDO HORARIO A LO LARGO DE LA

TRAYECTORIA DE NYQUIST, ENTONCES LA TRAYECTORIA CORRESPONDIENTE EN EL PLANO G(S)H(S) RODEA AL PUNTO -1+J0,

N=Z-P VECES EN SENTIDO HORARIO. (VALORES NEGATIVOS DE N IMPLICAN

RODEOS ANTIHORARIOS).


AL EXAMINAR LA ESTABILIDAD DE LOS SITEMAS DE CONTROL

LINEALES UTILIZANDO EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST, SE PUEDEN PRESENTAR TRES POSIBILIDADES:

1.NO HAY RODEO DEL PUNTO -1+J0. ESTO IMPLICA QUE EL SISTEMA ES ESTABLE SI NO HAY POLOS DE G(S)H(S) EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO “S”; EN CASO

CONTRARIO, EL SISTEMA ES INESTABLE.

2.HAY UN RODEO EN EL SENTIDO ANTIHORARIO O RODEOS DEL PUNTO -1+J0. EN ESTE CASO EL SISTEMA

ES ESTABLE SI LA CANTIDAD DE RODEOS ANTIHORARIOS ES LA MISMA QUE LA CANTIDAD DE POLOS DE G(S)H(S)EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL

PLANO S; EN CASO CONTRARIO EL SISTEMA ES INESTABLE.

3.HAY UN RODEO O RODEOS DEL PUNTO -1+J0 EN SENTIDO HORARIO. EN ESTECASO, EL SISTEMA ES

INESTABLE.


ASIGNACIONCRITERIO DE NYQUIST

DADO EL SIGUIENTE PLANTEAMIENTO, DETERMINE LA ESTABILIDAD DEL SISTEMA DE CONTROL UTILIZANDO EL DIAGRAMA DE NYQUIST

EXPLIQUE EN FUNCIÓN DE QUE O COMO SE DETERMINA SI EL SISTEMA ES ESTABLE.

CONSIDERE EL SISTEMA DE CONTROL DIGITAL QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA. DETERMINE LA ESTABILIDAD POR EL CRITERIO DE NYQUIST CONSIDERANDO K>0.

UTILIZANDO LA TRANSFORMADA BILINEAL

Sustituyendo z en la ecuación nos queda:

Luego simplificamos:

Cuyos ceros y polos son: ceros

polos

En lazo abierto


Resolviendo los paréntesis nos queda:

Sustituimos con w=j v


Resolvemos:

Multiplicamos el numerador y denominador por:


Nos queda:

Luego resolvemos la resta de v³ y aplicamos factor común en el denominador:

Simplificando tenemos:


Nos queda:

Entonces:

LA GRAFICA ES:

Como no hay polos en el semiplano derecho de 6(jv) -> P=0 -> No debe haber rodeos del punto -1+j0Asi -

1,5K > -1 K < 1/1,5

K < 0,67

Para que el sistema sea estable


Re

Im

CONCLUSIONEL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST RELACIONA LA

RESPUESTA FRECUENCIAL A LAZO ABIERTO, CON LA ESTABILIDAD A LAZO CERRADO; BASADO EN UN TEOREMA DE LA VARIABLE COMPLEJA QUE SE FUNDAMENTA EN EL

MAPEO DE LOS CONTORNOS EN EL PLANO COMPLEJO

LA PRINCIPAL VENTAJA DEL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST ES QUE EN UNA SOLA GRÁFICA PODEMOS VER LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA EN EL RANGO

DE FRECUENCIAS COMPLETO

SU DESVENTAJA CONSISTE EN QUE LA TRAZA NO INDICA EN FORMA CLARA LA CONTRIBUCIÓN DE TODOS LOS

FACTORES INVIDIDUALES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

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