1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de ordenComo todos sabéis se distinguen distintas clases de números:Los números naturales 1,2,3,... . El conjunto de todos ellos se representa porN.Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa porZ.Los números racionales que son cocientes de la formap/qdondep∈Z,q∈N, cuyo conjuntorepresentamos porQ.También conocéis otros números como√2,π, o el númeroeque no son números racionalesy que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Puesbien, el conjunto formado por todos los números racionales eirracionales se llama conjuntode los números reales y se representa porR.Es claro queN

⊂Z⊂Q⊂R.Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, almenos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesantees aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número√2es que su cuadrado es igual a2.Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupode propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamosa destacar estas propiedadesbásicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pue-den hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dosnúmeros realesx,yse escribex+y, representándose el producto porxy. Las propiedades básicas a que nos referimos son lassiguientes.P1 [Propiedades asociativas](x+y) +z=x

+ (y+z);(x y)z=x(y z)para todosx,y,zenR.Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo – Ing. de TelecomunicaciónNúmeros reales. Propiedades algebraicas y de orden3P2 [Propiedades conmutativas]x+y=y+x;x y=yxpara todosx,

yenR.P3 [Elementos neutros]El0y el1son tan importantes que enunciamos seguidamente suspropiedades:0+x=x; 1x=xpara todox∈R.P4 [Elementos opuesto e inverso]Para cada número realxhay un número real llamadoopues-to dex, que representamos por−x, tal quex+ (−x) =0.Para cada número realx

distinto de0,x,0, hay un número real llamadoinverso dex, querepresentamos porx−1, tal quexx−1=1.P5 [Propiedad distributiva](x+y)z=xz+y zpara todosx,y,zenR.Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunqueson muy sencillas, a partir de ellaspuedenprobarsecosas tan familiares como que

0x=0, o que(−x)y=−(xy).Pero los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades quesuelen llamarsepropiedades de orden. Como todos sabemos, los números suelen representarsecomo puntos de una recta en la que se fija un origen, el0, de forma arbitraria. Los números quehay a la derecha de0, se llamanpositivosy el conjunto de todos ellos se representa porR+. Laspropiedades básicas del orden son las siguientes.P6 [Ley de tricotomía]Para cada número realxse verifica que o bien esx=0, o bienxes posi-tivo, o bien su opuesto−

xes positivo.P7 [Estabilidad deR+]La suma y el producto de números positivos es también un númeropositivo.Suele escribirsex−yen vez dex+ (−y). También, supuestoy,0, se escribex/yoxyen vez dex y−1. Los opuestos de los números positivos, es decir los elementos del conjuntoR={−x:x∈R+}

, se llamannúmeros negativos. Nótese que el0no es positivo ni negativo.Parax,y∈Rescribimosx<y(léasexes menor quey) oy>x(léaseyes mayor quex) para indicarquey−x∈R+, y escribimosx6yoy>xpara indicar quey

−x∈R+∪{0}. En adelante usaremoslas notaciones:R+o=R+∪{0},R−o=R−∪{0}yR∗=R\{0}. Nótese que six∈Rentonces−x∈R+

.1.1 Teorema(Reglas para trabajar con desigualdades).Seanx,y,znúmeros reales.1.x6yey6zimplican quex6z.2.x6yey6ximplican quex=y.3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones:x<y,x

=y, oy<x.4.x<yimplica quex+z<y+z.5.x<y,z>0implican quexz<y z.6.x<y,z<0implican quexz>y z

.Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo – Ing. de TelecomunicaciónEjercicios47.xy>0si, y sólo si,xeyson los dos positivos o los dos negativos. En consecuencia six,0esx2>0y, en particular,1>0.8.z>0implica que1z>0.9. Supuesto quexeyson los dos positivos o los dos negativos, se verifica quex<

yimplica que1y<1x.Valor absolutoElvalor absolutode un númerox∈Rse define como el número:|x|=(xsix>0−xsix60Para trabajar con valores absolutos es útil recordar que dadox∈R+o, representamos por√xalúnico númeromayor o igual que cero

cuyo cuadrado es igual ax. Puesto que, evidentemente,|x|2=x2y,además,|x|>0, se tiene que|x|=√x2.La siguiente estrategia de procedimiento es de gran utilidad.Dadosa,b∈R+opara probar quea=bes suficiente probar quea2=b2

y para probar quea<bes suficiente probar quea2<b2.Geométricamente,|x|representa la distancia dexal origen,0, en la recta real. De manera másgeneral:|x−y|=distancia entrexeyrepresenta la longitud del segmento de extremosxey.1.2 Teorema(Propiedades del valor absoluto).Parax,y

∈Rse verifica que:1.|x y|=|x||y|;2.|x|6yes equivalente a−y6x6y;3.|x+y|6|x|+|y|y la igualdad se da si, y sólo si,x y>

0(desigualdad triangular);4.|x|−|y|6|x−y|y la igualdad se da si, y sólo si,x y>0.1.2. Ejercicios1. Sabiendo quea+b>c+d,a>b,c>d;¿se verifica necesariamente alguna de las des-igualdades:a>c,

a>d,b>cob>d? Dar una prueba o un contraejemplo en cada caso.2. Calcula para qué valores dexse verifica que:i)2x−3x+2<13ii)1x+11−x>0iii)x2−5x+9>

xiv)x3(x−2)(x+3)2<0v)x26xvi)x36xvii)x2−(a+b)x+ab<0viii)3(x−a

)a2<x3−a3<3(x−a)x2Universidad de GranadaDpto. de Análisis MatemáticoProf. Javier PérezCálculo – Ing. de TelecomunicaciónPrincipio de inducción matemática53. Prueba las siguientes desigualdades:i)0<x+y−x y<1siempre que0<x<1,0<y<

1.ii)1x+1a+b−x<1a+1bsiempre que0<a<x<b.4. Calcula para qué valores dexse verifica que:i)|x−5|<|x+1|ii)|x

−1||x+2|=3iii)x2−x>1iv)|x−y+z|=|x|−|z−y|v)|x−1|+|x+1|<

1vi)|x+y+z|=|x+y|+|z|vii)|x|−|y|=|x−y|viii)|x+1|<|x+3|5. Dado ques

t<uv<xydondet,v,y∈R+, prueba quest<s+u+xt+v+y<xy.Generaliza este resul-tado.6. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia,en cada caso, cuándo se da laigualdad.i)2x y6x2

+y2.ii)4x y6(x+y)2.iii)x2+x y+y2>0.iv)(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+

1)>27abcdondea>0,b>0,c>0.Sugerencia: para probar i) considérese(x−y)2. Las demás desigualdades pueden dedu-cirse de i).7. Demuestra los teoremas (1.1) y (1.2).