UNIDAD 1: 1.1.- RECTA NUMERICA Todos los numeros pueden ordenarse en una recta numerica. De esta manera, podemos determinar

si un numero es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numerica.

Para representar numeros como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:

-Trazas una recta horizontal y sobre esta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.

- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios numeros) y

la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la derecha del 1,

etcetera.

Recuerda, la distancia entre los numeros debe tener la misma medida:

Decimos que un numero es menor, cuando esta ubicado a la izquierda de otro en la recta

numerica, o sea, esta mas cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha

de otro y esta mas alejado del cero. Puedes ver que el numero 3 esta mas alejado del 0, es el

numero mas grande que ubicamos en la recta.

1.2 LOS NMEROS REALES

Numero real, cualquier numero racional o irracional.

Los numeros reales pueden expresarse en decimal mediante un numero entero, un

decimal exacto, un decimal periodico o un decimal con infinitos cifras no

periodicas.

A los numeros naturales se les llama enteros positivos (1, 2, 3, 4.) Enteros: conjunto de numeros naturales con sus opuestos y el cero ( -2, -1, 0, 1, 2,

.) Todos los racionales y los irracionales, los numeros racionales tienen

representaciones decimales respectivas en tanto que los racionales tienen

representaciones no repetitivas infinitas.

Representacion geometrica se pueden representar sobre una recta de la siguiente

manera: 1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1.3.1 Tricotomia

La ley de tricotomia dice:

- Si un numero es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el.

- Si un numero es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el.

- Si un numero es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el.

La propiedad de tricotoma de nmeros reales indica que, para cualquier dos nmeros reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad: ab. La ley de tricotomia y surge cuando se induce un orden en un conjunto como los Enteros (Z), o los numeros reales (R). Estas leyes dicen que. Sin perdida de generalidad, puedes suponer que a,b son numeros reales. Si a = b (a es distinto de b) entonces solo puede ocurrir una de estas 3 afirmaciones: a < b (a es menor que b) o a = b (a es igual con b) o a > b (a es mayor que b) 1.3.2 Transitividad Una relacion binaria R sobre un conjunto A es igual, transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y ese ultimo con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Ejemplo: si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c. Una relacion R es transitiva si aRb y bRc se cumple aRc. 1.3.3 Densidad Densidad dados a; b R si a > b entonces existen un elemento x R tal que a > x y x > b. La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definicin de NUMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener nmeros suficientes" para explicar el mundo real. 1.3.4 Axioma del supremo

Axioma del supremo Sea A R tal que existe k R con la propiedad de que: k > a para toda a R. Entonces existe un elemento s R tal que cumple la propiedad anterior y adems si k' es otro nmero que cumple la propiedad entonces s < k'. 1.4 Intervalos y su representacin mediante desigualdades.

Es de suma importancia en clculo la nocin de resolver una desigualdad. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que hace que la desigualdad sea verdadera, encontrarse con una ecuacin cuyo conjunto solucin por lo regular consiste de un numero o quiz de un numero finito de nmeros, el conjunto solucin de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo de nmeros o en algunos casos la unin de tales intervalos.

TIPOS DE INTERVALO: *Intervalo Abierto: la doble desigualdad a < x < b. describe un intervalo abierto que consiste en todos los nmeros entre a y b, no incluyendo los puntos extremos a y b. este se denota por medio del smbolo (a, b). Ejemplo:

[-1, 6] = ] x : -1 < x < 6 Notacin Notacin de Intervalo conjunto *Intervalo Cerrado: La desigualdad a

x> -52 = x: x > -5/2

2.- Resuelve -5 3 (-, 3) U (3, ) = {x: x < -3 x > 3} 1.7.- RESOLUCIN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYEN VALOR ABSOLUTO

1.- Resuelva la desigualdad 3x - 5 >= 1 3x - 5 >= 1 o 3x 5 >= 1 3x 5 = 1 + 5 3x = 6 3x = 6/3 x = 2

2.- Resuelva la desigualdad x - 1 < 2x - 3 x - 1 < 2x - 3

x - 1 < 2x - 6 (x-1)2 < (2x-6)2 x2 - 2x + 1 < 4x2 - 24x + 36

x2 - 4x2 - 2x + 24x + 1 36 < 0 (-3x2 + 22x 35 < 0) 1 3x2 - 22x + 35 > 0

(3x 7) (x 5)