numeros complejos parte 2
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3. Forma exponencial
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:
para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes
enteros se tiene .
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la
forma .
RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJOEstudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo.
Dado , sea , para un número natural p.
Si , puesto que , es decir, . Por
tanto, , y además, , o
sea, , para .
De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas
, para .
Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos
se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y
radio .
Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas
de
Puede verse lo mismo en la siguiente animación: