COMPLEJOSIntroducción Histórica:Aparecen los números complejos en el S.XVII en la resolución de ecuaciones cuadradas con el discriminante menor a cero.Los complejos fueron estudiados por Descartes (1556-1650), Cardan y Girad.Las reglas a las que obedecieron fueron enunciadas por Euler en su obra “Introducción al análisis centesimal “ y más tarde por D´Alambert y Cauchy.Pero fue en 1890 cuando el ingeniero americano Steimetz tuvo la idea de aplicar los complejos a la electricidad en el estudio de la corriente alterna. Dio así un empuje inaudito al estudio de dicha corriente. Más tarde y ya con el camino abierto, los números complejos resultan vitales en el estudio matemático de los circuitos de radio y electrónica en general.

Introducción matemática del complejo imaginario ( i ):Como ya se ha explicado nacen los números complejos ante la dificultad planteada en la resolución de ecuaciones de segundo grado en las que el discriminante, , es menor que cero.i=x2+4=0 x2=-4 x= ; x= = -> x = ±2i Significado geométrico de la unidad imaginaria ( i ):Podemos decir que -1 es un operador que al aplicarlo a un vector nos lo gira 180. Nos preguntamos: Qué operador giraría el vector 90 en origen positivo?

OA(-1)=OB

Op? OAxOp=OC OCxOP = OB -> OAxOPxOP= OB

OAx(Op)2=OB -> OA( -1) = OB

(Op)2=-1 Op=

Definición de número complejo:

Se define número complejo como un par ordenado de números reales (a, b). Al conjunto de los números complejos se le designa C y a sus elementos z1 y z2.Al primer número del par, a, se le llama parte real, y al segundo, b, parte imaginaria.(a, 0) Es el número real a.(0,b) Es el número imaginario puro b.

Complejos Conjugados:Decimos que dos complejos son conjugados cuando teniendo idéntica parte real, las partes imaginarias son iguales en valor absoluto pero cambiadas de signo.(4,5)Complejos conjugados.(4, -5)

Complejos Opuestos:Dos complejos son opuestos cuando teniendo iguales, en valor absoluto, sus componentes, ambas tienen signos opuestos.(4,5) Complejos opuestos.(-4, -5)

Complejo Nulo:Es aquel cuyas componentes son nulas.(0,0) Complejo nulo.

Representación gráfica de los números complejos. Plano complejo. Diagrama de Argand:

Modulo de un complejo:El modulo de un complejo es la distancia desde el afijo al origen del sistema de referencia.|z|=

Suma de complejos:Dados dos números complejos z1(a, b) y z2(c, d), definimos la suma de estos dos complejos como:z1+z2=(a+c, b+d)La suma de complejos cumple la ley de composición interna.

Propiedades de la suma de números complejos: Asociativa Conmutativa Elemento neutro (0,0) actúa como elemento neutro. Elemento simétrico u opuesto. Dado un complejo (a, b), su complejo opuesto (-a, -b) actúa como elemento simétrico. Como consecuencia de todas estas propiedades el conjunto de los números complejos respecto de la suma tiene estructura de grupo abeliano.

(C,+) Grupo abeliano

Producto de números complejos:Si z1(a, b) y z2(c, d), definimos el producto de z1 y z2 por:z1z2=(ac-bd , ad+bc)Es una ley de la composición interna.

Propiedades del producto de números complejos: Asociativa Conmutativa Elemento neutro. Existe elemento neutro y es el (1,0)

(a, b)(1,0)=(a1-b0, a0+b1)=(a, b) Elemento inverso. Cualquier complejo (a, b) menos el (0,0) posee elemento inverso. El elemento inverso de (a, b) es:

Demuestre el alumno que dicho complejo actúa como elemento inverso en el producto.

Como consecuencia de las propiedades que acabamos de ver, el conjunto de los números complejos exceptuando el (0,0) respecto de la multiplicación, tiene estructura de grupo abeliano.

(C*,x) Grupo abeliano

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:Dados tres números complejos z1, z2, z3:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

La 2 operación ( . ) es distributiva respecto la 1 (+) es (C*, +) Grupo abeliano y es (C*, (.) ) Grupo abeliano por lo que es (C*, +, ) Cuerpo.

Cociente de números complejos:Para dividir el complejo (c,d) entre el complejo (a, b) se multiplicara el complejo (c, d) por el inverso de (a, b), el (a/a2+b2, -b/a2+b2):(c, d)(a, b)=(c, d)(a/a2+b2, -b/a2+b2)En la practica, para dividir dos números complejos, se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Producto de un número real por un número complejo:Para multiplicar un número real por un número complejo se multiplican las dos componentes del número complejo por el número real. Esta operación es una ley de composición externa que cumple las siguientes cuatro propiedades:

(z1+z2)=z1+z2

2) z (+)=z+z()z=(z) R4) 1 x z = z x 1= z z, z1, z2R

Espacio vectorial de los números complejos:(C, +, ) Espacio vectorial sobre R

Unidad imaginaria ( i ):Vimos en la introducción que i era la . Para saber que número complejo es i tendríamos que hallar un complejo que su cuadrado fuera -1. Hay dos complejos que verifican esto, (0,1) y el (0,-1). También vimos que giraba un vector 90 en sentido positivo, por lo tanto i será (0,1).

Potencias de la unidad imaginaria ( i ):i0=1 i5=i3i2=-i(-1)=ii1=i i6=i3i3=-1i2=-1 i7=i4i3=-ii3=-i i54=(i4)13i2=i2=-1 Se divide el exponente de

la i i4=1 ... entre cuatro y el cociente es el exponente al que hay que elevar i4 y el resto será el exponente al que hay que elevar otra i. Por lo tanto

544=13 de cociente y dos de resto luego será (i4)13 y se multiplica por i2. Quedando por lo tanto 1.i2= -1

Forma binómica de un complejo:(a, b)=(a, 0)+(0, b)=(a, 0)+b(0,1)=a+bi

Potencia de un complejo en forma binómica:Binomio de Newton:(a+b)n=(n

0)an+(n1)an-1 b+(n

2)an-2 b2+...+(nn)bn

(nm)= C n,m=n! / m!(n-m)! 0!=1

(a+bi)n=(n0)an+(n

1)an-1 bi+(n2)an-2 (bi)2+...+(n

n)(bi)n

Triangulo de Pascal o de Tartaglia:1

1 1Cuadrado 1 2 1Cubo 1 3 3 1Cuarta 1 4 6 4 1Quinta 1 5 10 10 5 1

Forma polar o forma modulo-argumental de un complejo:Para representar el afijo de un número complejo, además de las coordenadas cartesianas, podemos usar también las coordenadas polares. En estas coordenadas, un punto vendrá dado por la distancia al origen que en nuestro caso será el modulo del complejo y el ángulo del eje polar que en nuestro caso será el argumento del complejo.|z|=m=R=argumento principalz=mForma polar

Forma trigonométrica de un número complejo:z=a+bicos = a/m a=m cos sen = b/m b=m sen z= m cos +m sen i z= m (cos +i sen ) Forma trigonométrica

Formas de expresar un complejo:z=(a,b) Forma cartesianaz=a+bi -> Forma binómicaz=m Forma polarz=m (cos +i sen ) Forma trigonométrica

Igualdad de complejos en forma polar:Para que dos complejos en forma polar sean iguales tienen que tener iguales sus módulos y sus argumentos ser iguales o diferir un número completo de vueltas de circunferencia.360 n si esta en grados sexagesimales2k si esta en radianes

Producto de complejos en forma polar:Tengamos el complejo z=m y el z´=m´ queremos saber lo que vale zz´:z=m(cos +i sen )z´=m´(cos +i sen )zz´=m m´cos cos +i cos sen +i sen cos +i2 sen sen zz´=m m´cos cos - sen sen +i ( sen cos+ cos sen )zz´=m m´cos (+)+i sen (+)zz´=(m m´) (+ )

Cociente de complejos en forma polar:Tengamos el complejo z=m y el z´=m´ queremos saber lo que vale z z´:z=m(cos +i sen )z´=m´(cos +i sen )

zz´=m/m´(cos +i sen )(cos +i sen )==m/m´(cos +i sen )(cos -i sen ) (cos +i sen )(cos -i sen )==m/m´(cos cos- icos sen+isen cos-i2sen sen)(cos2 - i2sen2 )==m/m m´ (cos cos- sen sen +i(sen cos- cos sen))1==m/m m´cos(+)+i sen(+)zz´=(m/m´) (- )

Potencia de un complejo en forma polar:Para elevar un número complejo a una potencia, el modulo se eleva a la potencia y el argumento tantas veces como indique el exponente.z=m -> zn=(m)n=mmmmm...n veces=

=(mmmm...n veces)(+++...n veces) zn=mnn

Formula de Moivre:z=m zn=mn

n=mn(cos n+i sen n)z=m z=m(cos +i sen ) zn=mn(cos +i sen )n mn(cos n+i sen n)=mn(cos +i sen )n (cos n+i sen n)=(cos +i sen )n (cos n+i sen n)=(cos +i sen )n Formula de Moivre

Raíz enésima de un complejo en forma polar:

z=m =M Elevamos a n m=(M)n=Mn

n m=Mn

n Módulos m=Mn M= Argumentos n=+ 360k =(+ 360k)n k=0, k=1...k=n-1

Raíz cuadrada de un complejo en forma polar.

Haciendo en el caso anterior n= 2 obtenemos que el módulo de la raiz cuadrada será la raiz cuadrada del módulo y el argumento al

tomar k los valores 0 y 1 serán /2 y