Generadores de Nmeros

Aleatorios

Jorge Eduardo Ortiz Trivio

jeortizt@unal.edu.co

http://www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/

Contenido:

Qu entendemos por secuencia de nmeros aleatorios?

Cmo se generan n. aleatorios

Generadores congruenciales lineales

Propiedades de los GCL

Otros tipos de generadores

De Tausworthe (feedback shift register)

Barajados (??) (shuffled)

Elemento Central en la Simulacin digital.

Definicin formal controvertida.

Elemento esencial en muchas reas del conocimiento

Ingeniera, Economa, Fsica, Estadstica, etc.

Definicin intuitiva: Una sucesin de nmeros aleatorios

puros, se caracteriza por que no existe ninguna regla o plan

que nos permita conocer sus valores.

Los nmeros aleatorios obtenidos a travs de algoritmos

recursivos se llaman pseudoaleatorios.

Nmeros Aleatorios

Disponer de un buen generador de nmeros aleatorios es clave en: Computacin Aleatorizada Computacin Evolutiva Algoritmos Aleatorizados Verificacin de Algoritmos Validacin de Algoritmos Criptografa etc.

Nmeros Aleatorios

La gran disponibilidad de generadores de nmeros

aleatorios en muchos entornos y compiladores puede

llevarnos a pensar que para un usuario de la simulacin

no sera necesario estudiar estas cuestiones.

Una leccin del pasado reciente nos obliga a sacar

lecciones y actuar con mucho cuidado con dichos

generadores (RANDU - IBM).

El Uso progresivo de modelos de simulacin cada vez

ms detallados exige una mayor calidad de los

generadores de nmeros aleatorios.

Nmeros Aleatorios

NMEROS ALEATORIOS

0, x < 0

F(x) x, 0 x 1

1, x

Qu entendemos por secuencia de nmeros aleatorios?

En teora, realizacin de secuencia de v.a.u U1, U2, ..., Un, ... iid, Ri U(0,1)

En la prctica criterios menos estrictos: n-distributividad: todas las n-tuplas {(Ui, Ui+1 ..., Ui+n-1)} uniformes sobre (0,1)

n

(k,n)-distributividad: cada k-sima subsecuencia de longitud n uniforme (0,1)n p.e. (5,2) seria {(U5i,U5i+1)}, {(U5i+1,U5i+2)},

{(U5i+2,U5i+3)}, {(U5i+3,U5i+4)}, {(U5i+4,U5i+5)} uniformes sobre (0,1)x(0,1)

ALGORITMO GENERADOR DE BITS

PSEUDOALEATORIOS

Entrada:

Dos primos p,q , elegir e, tal que mcd (e, )=1, donde =(p-1)(q-1) .

Una semilla x0 [1,n-1] Algoritmo:

a) Para j=1 hasta k:

a1) xj=(xj-1)e mod n

a2) zj=el menor bit significativo de xj

Salida:

La sucesin z1, z2, , zk.

Generadores de nmeros.

Caractersticas deseables: Los nmeros generados no se deben repetir frecuentemente

(en ciclos).

Las series generadas deben ser reproducibles.

Rapidez en la obtencin de los nmeros.

Almacenamiento mnimo.

Los nmeros generados han de estar uniformemente distribuidos.

Los valores deben ser independientes unos de otros.

Mtodos De Generacin

Mtodos manuales: Generacin de nmeros con artificio manuales: bolillas, patentes de los autos, gua telefnica

Ventajas: Son aleatorios y son Simples,

Desventajas: No reproducibles y Lentos

Tablas de biblioteca: La mas importante: A milln randon digist editorial RAND, configurada con las radiaciones termoinicas de un tubo de rayos catdicos.

Ventaja: Provienen de un fenmeno aleatorio

son reproducibles.

Se las puede estudiar y analizar rigurosamente antes de ser utilizada.

Desventaja: No se obtiene en tiempo real.

Necesidades de memoria.

Mtodos De Generacin

Mtodos De Computacin Analgica: Generados con procesos fsicos aleatorios (Ej: una corriente elctrica). Ventaja: Aleatorios. Desventaja: No reproducible.

Mtodos De Computacin Digital: Con computadoras: Provisin Externa: Se graba en memoria las tablas Randa. Procesos Fsicos Aleatorios: Usar algn dato interno de la computadora

(temperatura, segundos, ciclos, cantidad de memoria asignada, etc).

Relacin de recurrencia: Generar nmeros pseudoaleatorios por medio de ecuaciones de recurrencia en las que necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla para obtener los siguientes valores. Ventaja:

Son reproducibles. No afectan en demasa al procesador ni sobrecargan la memoria. Existe la posibilidad de su absoluta reproduccin

Desventaja: Son pseudoaleatorios. Hay que probar la Calidad Aleatoria del mtodo.

Uniformemente distribuido (sin recurrencia):

Es recurrente cuando uno o varios elementos se repiten con mayor frecuencia terica, => disminucin de frecuencia de los dems nmeros.

Estudiar la recurrencia de : 2, 6, 6, 8, 7, 6, 6, 6, 4, 7, 2, 6, 5, 6, 2,6,6,7, 6, 5, 4, 3, 3, 6, 6, 6, 2, 9,4,8,6,4,6, 9,6,3,7,6,9,6, 0.

Hay 40 Nmeros, por lo tanto la frecuencia terica de cada uno de los dgitos (del 0 al 9) deber ser 4.

De una tabla de frecuencias se obtiene que el digito 6->F(6)=18 veces.

Propiedades de los Nmeros aleatorios

Estadsticamente independientes (sin periodicidad):

Tiene periodicidad cuando varios elementos, repetidos o no, formando una cadena, aparecen en

la misma secuencia.

Estudiar periodicidad de:

1,0,2,2,6,8,2,3,3,0,1,0,2,2,6,8,4,1,7,0,2,2,6,8, 7,6,5,3,3,5,1,0,2,2,6,8.....

Secuencia peridica 02268. . de Frecuencia 4

1,0,2,4,6,8,2,3,3,0,1,0,2,4,6,8,4,1,7,0,2,4,6,8, 7,6,5,3,3,5,1,0,2,4,6,8.....

Secuencia peridica 02468. de Frecuencia 4

Propiedades de los Nmeros aleatorios

Reproducibles: Cuando el Mtodo comienza con la misma Semilla, DEBE dar la misma secuencia de nmeros

Pseudoaleatoreos.

Rpidos, velocidad de generacin acorde a las necesidades.

Mnimos de memoria.

Propiedades de los Nmeros Pseudoaleatorios

Conclusiones:

Hay que verificar la calidad estadsticas de las series.

Comprobarlas en tiempo de Ejecucin es una perdida de

tiempo, entonces se prueba la calidad estadstica del Mtodo.

Por la cantidad de nmeros que se necesitan y por la velocidad

de su ocurrencia, es imprescindible generarlos en la medida

que se lo necesiten.

Algunas ideas o propiedades de los generadores

I. Lagarias (1993) public un trabajo titulado Pseudo

Random Numbers en Statistical Science. Donde estudia

algunas propiedades tales como:

Expansividad : Una aplicacin es expansiva si

La idea es escoger d como una aplicacin expansiva de

manera que la inestabilidad computacional proporcione

aleatoriedad.

]1,0[1|)('| xxd

2]1,0[d

Nmeros Aleatorios

No Linealidad: La composicin de aplicaciones no lineales

puede conducir a comportamientos crecientemente no

lineales Ej: d(x) = x2; d(n)(x) = x2n

Complejidad Computacional: La aleatoriedad de

Kolmogorov, tambin denominada incomprensibilidad

computacional. Consiste en constatar si la aleatoriedad de

una sucesin de nmeros es incomprensible (problema

decidible).

Impredecibilidad

Nmeros Aleatorios

DEF 1: Kolmogorov (1987) [Complejidad Algortmica]

Una sucesin de nmeros es aleatoria sino puede producirse

eficientemente de una manera ms corta que la propia serie. DEF 2: LEcuyer (1990) [Impredicibilidad] Una sucesin de

nmeros es aleatoria si nadie que utilice recursos

computacionales razonables puede distinguir entre la serie y

una sucesin de nmeros verdaderamente aleatoria de una

forma mejor que tirando una moneda legal para decidir cul

es cul.

Obs: Esta definicin conduce a los denominados

generadores PT-perfectos usados en Criptografa.

Nmeros Aleatorios

DEF 3: Un Nmero aleatorio es una realizacin de una variable aleatoria que tiene asociada una ley de probabilidades F, en un espacio o modelo de Probabilidades (, , P).

Obs: Una particular Ley de Probabilidad base para la

generacin de nmeros pseudo-aleatorios es:

u1, u2,..., un : es la uniforme (0 ; 1) ui ~ U(0,1).

DEF 4: Una sucesin de nmeros aleatorios {u1, u2,..., un} es una sucesin de nmeros U(0;1), si tiene las mismas propiedades estadsticas relevantes que dicha sucesin de nmeros aleatorios.

Nmeros Aleatorios

DEF 5: Una sucesin de nmeros aleatorios {ui} es

aleatorio si h-plas de nmeros sucesivos no

superpuestos se distribuyen aproximadamente. como

una [0,1]h, con h=1,2,..,n, para n suficientemente

grande.

Obs: h=2 tenemos (ui,ui+1) , i=1,2,..n , se distribuye

como una ley uniforme en [0,1]2.

Existe una gran de mtodos para generar

{ui} U(0,1) : -Uniformente distribuidas

- Independientes

- E[U]= ; V[U]= 1/12

- Perodo largo

Nmeros Aleatorios

A las propiedades estadsticas anteriores se deben

agregar otras relativas a la eficiencia computacional:

Velocidad de respuesta

Consumo de memoria

Portabilidad

Parsimonia

Reproducibilidad

Mutabilidad

Perodo

Nmeros Aleatorios

Mtodos de Generacin de Nmeros Aleatorios

1.- Mtodo de los cuadrados medios

2.- Mtodos Congruenciales

3.- Mtodo de registros desfasados

[Semilla - Algoritmo - Validacin]

P1 : Obtener semilla (valores iniciales)

P2 : Aplicacin de Algoritmos recursivos

P3 : Validacin del conjunto de datos

generados (Test de Aleatoriedad)

Nmeros Aleatorios

Consiste en que cada nmero de una sucesin es producido

tomando los dgitos medios de un nmero obtenido

mediante la elevacin al cuadrado.

P1 : Obtener semilla (valores iniciales 445)

P2 : Aplicacin de Algoritmos recursivos (elevar

al cuadrado)

P3 : Validacin del conjunto de datos

generados

Mtodos de los cuadrados Medios

Ejemplo: Consideremos la semilla 445

X X2 N Aleatorio

445 1| 9802 | 5 0,9802

9802 96| 0792 | 04 0,0792

792 6 | 2726 | 4 0,2726

2726 ............... ...............

Mtodos de los Cuadrados Medios