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1/12/2015 Número complejo Wikipedia, la enciclopedia libre https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 1/16 Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical. Número complejo De Wikipedia, la enciclopedia libre Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está estrictamente contenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. 1 Índice 1 Origen 2 Definición 2.1 Cuerpo de los números complejos

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1/12/2015 Número complejo ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 1/16

Ilustración del plano complejo. Losnúmeros reales se encuentran en el ejede coordenadas horizontal y losimaginarios en el eje vertical.

Número complejoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpoalgebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa con lanotación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está estrictamentecontenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de losreales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un númeroimaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en formapolar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de lasmatemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculode integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física(notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corrienteeléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos delplano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Unapropiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra— pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuaciónalgebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial eintegral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1

Índice

1 Origen

2 Definición

2.1 Cuerpo de los números complejos

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2.2 Unidad imaginaria

3 Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

3.1 Valor absoluto o módulo de un número complejo

3.2 Argumento o fase

3.2.1 Alternativamente

3.3 Conjugado de un número complejo

4 Representaciones

4.1 Representación binómica

4.2 Representación polar

4.3 Operaciones en forma polar

5 Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

6 Geometría y operaciones con complejos

7 Isomorfismo con matrices de orden 2

8 Espacio vectorial

9 Esbozo histórico

10 Aplicaciones

10.1 En matemáticas

10.1.1 Soluciones de ecuaciones polinómicas

10.1.2 Variable compleja o análisis complejo

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10.1.3 Ecuaciones diferenciales

10.1.4 Fractales

10.2 En física

11 Generalizaciones

12 Véase también

13 Referencias

13.1 Bibliografía

13.2 Enlaces externos

Origen

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolverlas ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyotrabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea,análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Definición

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como partereal de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota . Luego en el conjuntoℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:

Suma

Producto por escalar

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Multiplicación

Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

Resta

División

Al número se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece unisomorfismo , se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo se denomina número imaginario puro.Puesto que se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro. 2 .

Cuerpo de los números complejos

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Siidentificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C formaun espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por loque C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Unidad imaginaria

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Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i ( j en física), llamado unidad imaginaria,definido como

Que satisface la siguiente igualdad:

De donde resulta:

Tomando en cuenta que , cabe la identificación

Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras,que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ +isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

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La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z ­ w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que sepuede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dicelo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Argumento o fase

El argumento principal o fase de un número complejo genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguienteexpresión:

donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

O también: Siendo:

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la función signo.

Alternativamente

Sea el número complejo z = (x,y) representado por el vector OM de origen (0,0) y su extremo es el punto M(x,y). El ángulo formado por elvector OM con el eje OX se llama Argumento del número complejo z, denotado no determinado unívocamente sino que satisfacela igualdad:

siendo cualquier número entero. El ángulo arg z es el valor principal de Arg z que verifica las condiciones

­π < arg z <= π.4

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m ­ 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

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Un número complejorepresentado como un punto(en rojo) y un vector deposición (azul) en un diagramade Argand; es laexpresión binomial del punto.

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Un número complejo es igual a su conjugado si solo si es un número real.

Representaciones

Representación binómica

Un número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como semuestra a continuación:

Representación polar

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del númerocomplejo.

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

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El argumento φ y módulo r localizanun punto en un diagrama de Argand;

o es laexpresión polar del punto.

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumentorespectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma comocon la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria obien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos númeroscomplejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número derevoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representanpor números enteros , como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos al intervalo [­π, π) y a éste restringido lo llamamos argumentoprincipal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamentedeterminadas por z.

Operaciones en forma polar

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

División:

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Potenciación:

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puederelacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares,donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la sumade los ángulos de los términos.

Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchasotras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Geometría y operaciones con complejos

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 =a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x­y apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2),respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con elpunto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas delreloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejoproducto z1 · z2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. Lamultiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

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Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (­1) ·(­1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = ­1), dando como resultado uncambio de signo al completar una vuelta.

Isomorfismo con matrices de orden 2

En el anillo de las matrices de segundo orden sobre el campo de números reales, se puede hallar un subconjunto que es isomorfo al campo delos números complejos. Pues, se establece una correspondencia entre cada número complejo a+bi con la matriz

De tal manera se obtiene una correspondencia biunívoca.

Además de las aplicaciones

+ =

. =

se desprende que la aplicación es un isomorfismo.

En particular la matriz

cumple el rol de unidad imaginaria. 5

Espacio vectorial

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El conjunto ℂ con la adición de números complejos y considerando como escalares , números reales, se puede definir un espacio vectorial ℂcon escalares reales. Esto es:

1. z,w números complejos, entonces z+w es un número complejo. Esta operación interna define una estructura de grupo aditivo.2. Si r es número real y z es un número complejo, entonces rz, llamado múltiplo escalar de z, es también número complejo. Las dos

operaciones satisfacen la axiomática de un espacio vectorial o lineal. 6

Esbozo histórico

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón deAlejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes enel Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas pormatemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontrabancon la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el SigloXVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretacióngeométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación másformal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Aplicaciones

En matemáticas

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Un raíz o cero7 del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0;

Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n solucionesen el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivasmultiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce comoTeorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemáticosconsideran a los números complejos unos números más naturales[cita requerida] que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Variable compleja o análisis complejo

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Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramientade matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para lademostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesianopara ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difícilesde representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animacionesen 3D para representar las cuatro.

Ecuaciones diferenciales

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitualencontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema entérminos de funciones de base de la forma: .

Fractales

Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesión denúmeros complejos. El análisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme complejidad autosimilar.

En física

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables(ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en como la amplitud y en como la fase de una ondasinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamientosinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma donde ω representa la frecuencia angular y elnúmero complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductorespueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan laletra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensióninfinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio­tiempo son mucho más simples si tomamos eltiempo como una variable imaginaria.

Generalizaciones

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Los números complejos pueden generalizarse dando lugar a los números hipercomplejos. El cuerpo de los números complejos es unsubcuerpo conmutativo del álgebra cuaterniónica , que a su vez es una subálgebra de otras álgebras más extensas (octoniones,sedeniones):

Otra posible generalización es considerar la complejificación de los números hiperreales:

Véase también

Plano de ArgandConjunto de MandelbrotConjunto de Julia

Clasificación de números

Complejos

ℂReales

Racionales

Enteros

Naturales

ℕ1: unoNaturales primosNaturales compuestos

0: CeroEnteros negativos

FraccionariosFracción propiaFracción impropia

Irracionales Irracionales algebraicos

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Trascendentes

Imaginarios

Referencias1. Trejo, César A. Funciones de variable compleja (1974) p.1862. Álgebra moderna. Ediciones Schaumm3. Coincide totalmente con lo expuesto en ««Funciones de variable compleja Cálculo operacional Teoría de la estabilidad » de Krasnov/ Kiselev y

Makárenko. Editorial Mir, Moscú. pág. 9 (1983)4. César Trejo. Op. cit.5. Moisés Lázaro. Números complejos. Ediciones Moshera, Lima (2011)6. Zamansky. Introducción al álgebra y análisis moderno7. Análisis matemático . Volumen I de Haaser, LaSalle y Sullivan (1977) Trillas, p.483

Bibliografía

Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 0­387­90328­3

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número complejo.Weisstein, Eric W. «Complex Number» (http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (eninglés). Wolfram Research.

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