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NUEVATEORIA DE LOS FROTAMIENTOS

POR N. PETROFF.

General-Mayor del cuerpo de ingenieros militares de Rusia.

Así como 10 dije en la última conferencia dada en nuestro

1nstituto, la cuestión de la lubrificación de las máquinas á vapor

es de la nnyor importancia y preocupa constantemente á los sa-

bios como á los prácticos para buscar siempre los mejores pro-

cedimientos de engrasamiento. .

Gracias, pues, á sus trabajos y experiencias se ha Jlegado

hoy día á encontrar aparatos lubrificadores muy eficaces y las

materias más convenientes para lubrificar en cada caso parti-ular. '

Los trababas de Hirn y de Thurston han sido particular-

~ mente notables bajo este punto de vista; sin embargo, todos losresultados á los cuales han llegado, no concuerdan en todas sus

partes á causa de las desigualdades respectivas de los distintoselementos cuya influencia se ejercía en condiciones diferentes.

Por esto es que Mr. PetroH; en el estudio que ha publicadoen la Revista unz:versal de minas, aborda directamente esta cues-

tión apoyándose en las leyes admitidas por N ewton para el fro-

tamiento-interior de los fluidos. Además, como justificación de la

adopción de estas leyes discute todas las teorías que han sido

establecidas concerniente al movimiento de los líquidos en lascañerías.

NUEVA TEORíA SOBRE LOS FR01~~MlENTOS l05

Esta discusión se aplica más particularmente al movimient,o

,telescópicoen el cual el líquido que llena el cond'JCto se separa

en capas cilíndricas infinitamente delgadas, resfalando las unas

sobre las otras con velocidades que disminuyen partiendo del

eje hacia la pared interior. En este resfalamiento recíproco, la

primera capa se atrasa por su adherencia á la pared-es un fro-

tamiento esterior;la segunda capa se atrasa por la primera, la

tercera por la segunda, hr cuarta por la terceray asíen seguida

-esto es un frotamiento interior. '

Pero en virtud del principio de que' la reacción és igual á la

acción, se ve que la segunda capa atrae á la primera, la tercera

atrae á la segunda, etc. ...y que partiendo del'eje de la cañe-

ría,una capa cualquiera de radio r y de espesor dr es atraida por

la de radio r-dr que la precede y atrasada por aquella de ra-

dio r+ dr que la sigue, de manera que soporta de la parte de

éstas dos capas una fuerza resultante en sentido contrario delmovimiento.

Esta resistencia del frotamiento interior, acaecida en el ori

gen por la resistencia de! frotamiento exterior, propagándose

asíde capa en capa,produce sobre todas ellas una disminución

gradual de la velocidad,tanto menor cuanto más se acerca aleje del cañón donde corre el filetede mayor velocidad.

En correlación con estas acciones sucesivas, aceleratrices y

retardatrices, las leyes de Newtonadmiten que ellas son pro-

porcionales á lassuperficiessobr(; las cuales se ejercen,/ así mis-mo como á las velocidades relativas de las capas en contacto;que' ellas dependen de las propiedades del fluido y son indepen-dientes de la presión. Aquí es preciso decir que N ewton no ha

tomado en cuenta la influencia de la temperatura, y hay sin em-bargo ciertos autores que establecen que el frotamiento dismi-

nuye cuando la temperatura aumenta.

Designemos, pues por u la vélocidad de una capa á la dis-

tancia r del eje ox de un conducto horizontal, por v el coeficien-

106 NUEVA TEORÍA. DE LOS FROT AMIENTOS, .

te del frotamiento interior, consideremos el anillo elemental in-

terceptado sobre esta capa por dos secciones infinitamente

acercadas y perpendiculares al eje ox. Este anillo estará solici-

tado por las presiones hidráulicas que se ejercen sobre sus dos

caras pla!1as laterales (271"l' dI') Y por los frotamient.os sobre susdos faces cilíndricas 2 71"l' dxy 271"(1'+ dI') dx.

Siendo p y -(! + t!f; dx) las presiones hidráulicas atraidas,

á la unidad de superficie, su acción sobre el anillo será:

( 1) p. 271"r dr- (p + 1: dx) 271"l' dI'.

En cuanto á la fuerza de frotamiento interior, ó á la r~sisten-

cia al resfalamiento recíproco de las capas fluidas en contacto,

como ella disminuye con la distancia al eje, se vé que para lacara cilíndrica interior es inversamente proporcional al espeso-

de la capa; además, siendo directamente proporcional á la velar.d d 1 . du

d . , ,

CI a re atlva dr r; su expresJOn sera

(~~)dr - dudr- - dr

~

y para la face cilíndrica exterior

du ! d (du d )-+ - - rdr dr dr

Designando por v el coeficiente de ese frotamiento interior,las fuerzas que operan en las dos faces cilíndricas serán respec-tivamente

)du

2 -v. 21Tr d x. drdu .

puesto que <Ir es negatIvo,

NUEVA TEORÍA DE LOS FROTA.MIENTOS 107

y 3)V. 27r (r+dr) dx {~~ + -~rd (dd~')dr }

Siendo el movimiento del flúido uniforme, se tendrá: -

p. 27r r dr-(p. + ~~ dX)27r r dr-v ~~277"r dx

+v. 277"(r+dr) dx {, du 1 '(

du

)}-+-d -dr =0dI' dI' dI'

y, agrupando los infinitamente pequenos del segundo orden,

dp í du T du}

-77" r dr dx - + v "1 ~ + r -d ~ 277"dr dx = od x \. dI' dI' dI'

Suprimiendo el factor común 277"dI' dx y nútando que

du

(- d (

du

df + r. ~r d ~~) - . ~I'crr- ~ C)

Se obtiene

dp v. d. (l' du , + C )r - = dI'dx - dI'

La presión p varía con x, luego podemos establecer

p = A-Bx, de lo cual dp= -B dx

Br dr= -v. d (r ~~ + C )y

r. ( B r 2 (

du) (

du

)111tegrando, )B r dr =:. -2~ = v r dr - v r dro r = o r=r

C du . fi.

d.

1omo (ff no es 111mtamente gran e para r = o, se tIene e

108 NUEVA TEORoíA DE LOS FROTAMIENTOS

prod.ucto (r -~~ )= O, Y la fórmula precedente se reduce ár=o

du B- =- - rdr 2 v ' (4)

é integrandou=u B0- --- r2

4 v(5)

Para determinar la velocidad Uo correspondiente á r = °, su-

pongamos que el anil1o elemental se encuentre en contacto in-mediato con la pared interior dd conducto cuya radio es ~; de-

signemos por 1 el coeficiente de frotamiento exterior, por Ur¡ lavelocidad en la superficie de contacto 2 7r ~ dx, la resistencia delfrotamiento será: I

--1 u ~. 2 7r ~ d.1:.

La presión hidráulicél resultante tendrá por espresión-

2 7r ~ dr dp y el frotamiento sobre la cara cilíndrica se obtendrádx

reemplazando, en la espresión (2), r por ~-dr, lo que nosdará;

-v (~~) x (3 - dr)2 7r dx.r=3

I!I

Equilibrándose tedas estas fuerzas en el movimiento unifor-me del fluído, se tiene

dp (du ) ( )- ~ -dx dr--v -d x ~-dr dx-l u ~dx=odx r ~.

r=~"1

Y argrupando los términos de primer orden,

( ~ )- 1u = °-v dr r = ~ ~

NUEVA TEORÍA DE LOS FROTAMIENTOS 1°9

ó bien U = -~~ (du

)g 1 dr r = g

Según la equación (5)

BU =--Uo ---02

g 4 VÚ

y como la ecuación (4) da

(~ ) =-~gdr 2Vr=g

se tendráB ( 2 V

)U 0'= - 9+ _ 1 ~4V

y U=~ {92+:'19-r2} .(6)4 v 1

Sierido el gasto por una sección anular de radio y de espe-spr dr

dQ=2 'Ir urdr

se tiene para la sección entera del conducto, reemplazando U porsu valor, simplificando e integrando

Q=2'1r

9( 'Ir Bg4

{, 4V

}))urdr=To-y- 1+J¡ ,(7

o

y, designando por V la velocidad mediana,

Q = 'Irg2 V

y en finV =~o' B:2(1 + i/) (8)

!lO NUEVA TEORÍA DE LOS FROTAMIENTOS

Es de notar que las ecuaciones (7) y (8) son idénticas en re-

lación á 1 Y v Y no pueden ser tratadas como dos ecuaciones

diferentes ó independientes la una de la otra. N o se puede pues,

por medio de una sola experiencia, deducir los valores de loscoeficientes 1 y v, pero si se toma, para las experiencias, conduc-tos de radios diferentes, cada Una de estas ecuaciones puede servir

separadamente á la qeterminación de dichos coeficientes. Es evi-dente que estas experiencias deben de ser hechas en las mismas

condiciones que esas sobre las cuales se basa la ecuaGión(6). .

La comparación que el autor hace de la ecuación (7) con los

estudios hechos por varios hombres eminentes,'y la discusión. de las fórmulas deducidas de las experiencias que han servido

á estos estudios, forman una exposición completa de los progre- .sos de la ciencia hidráulica en lo que concierne al movimiento

uniforme del agua en los tubos cilíndricos. La conclusión esen.

cial que se deduc~ para la cuestión del frotamiento de los in-ductores en las piezas de las máquinas, es que el movimiento

telescópico del agua, según las leyes de N ewton sobre. el frota-miento interior, verificándose para el agua en tubos muy estre-

chos, se puede suponer se verifiquen también para otros líquidos

cuya densidad no es muy grande.Pero, en la rotación uniforme de un turillón, el inductor que

lo separa del coginete, teniendo un espesor muy pequeño, se

puede concebir un movimiento análogo al movimiento telescó-

pico, que verificará igualmente las leyes de N ewton.Las velocidades circulares de las capas infinitamente delga-

das en las cuales la capa del inductor se separará, varían con la

distancia al eje.La rotación del turillón atraerá la primera capa fluída que lo

moja, ésta atraerá la segunda capa, y así para las demás, desuerte que una capa comprendida entre otras dos estará solici-tada en el sentido de la rotación por la capa interior y retenida

en sentido contrario por la capa exterior.

NT:JEVA TEORÍA DE LOS FROTAMIENTOS 1 II

Para establecer las fórmulas de este movimiento, Mr. Petroff

imagina un cilindro vertical de un largo infinito, girando en otro

cilindro concéntrico del cual está separado por una capa fluida.

Dos secciones rectas hechas á las distancias z y z + dz de un

origen ó tomado sobre el eje común de los cilindros, compren-derán un anillo elemental, en el cual separan el elemento fluido

a b e d por dos planos diametrales formando entre si un ánguloinfinitamente pequeño d (X Y por dos superficies cilíndricas de

radios i?a = r y o e = r+ d1-, (fig. 1).

Este elemento fiuido está so~icitado por la fuerza centrífugay por fuerzas I)ormales ó paralelas á sus caras.

Sobre las dos caras cilíndricas ab y ed como sobre las cuatro

caras planas ae, be, bd, da operan fuerzas normales proporciona-

les á sus areas y que se pueden supo~er aplicadas en sus cen-

tros de gravedad. "

Las dos caras cilíndricas ab y ed están' sometidas además, se-

gún dir~cciones normales, al eje, á frotamientos tangencialesdebidos á sus velocidades relativas en reJación á las capas conlas cuales están en contacto.

Las caras planas ae y bd que siguen el movimiento general

de rotación de la capa de la cual el elemento hace parte, no es-tán sometidas á ningún esfuerzo paralelo.

Otra cosa sucede con las caras ad y be, puesto que sin la in-

tervencion de las fuerzas que operan en sus planos, el elemento" fluido sería solicitado á separarse por una rotación en torno del

eje, por las fuerzas de frotamiento de las caras cilíndricas.

La figura (2) representa una sección recta pasando por el

centro de gravedad e del elemento y en la cu;Ü se suponen to-das las fuerzas reunidas.

Designando por p la presión normal en el punto a (fig. 1) ó1t (fig. 2), atrp.ida á la unidad de superficie, ella será:

dpp + --drdr

112 NUEVA TEORÍA DE LOS FROTAMIENTOS

en el punto d ó m, la primera operando de O hacia e, y la se~

gunda en sentido contrario de e hacia O.

Siendo oel peso de la unidad de volumen del fluido y u lavelocidad circular, la fuerza centrífuga del elemento estará ex-

presada por

o..rd a. dr. dz.

g.

u.2r

La presión normal por unidad de superficie será la misma

sobre las caras ad y ab ó sobre m n, n n' que tienen respectiva-.

mente el punto común a (fig. 1), ó el punto n (fig. 2). Por otra

parte, como la presión normal sobre el elemento infinitamente

pequeño de la superficie cilíndrica de radio r no cambia con lavariación del ángulo a, e11aserá la misma sobre la cara be quesobre las caras ab y nd, ó la misma sobre n'n' que sobre m n y1t'n/.

Por consiguiente, sobre las t~es caras ab, ad, ed, ó sobre n n',n m, n'm' se ejerce la misma presiqn p. .

Para aplicar la hipótesi3 de Newton á los frotamientos inte-riores de las caras ciJíndricas n n' y ~z m', notemos que desig-"nando por s la velosidad angular de la rotación á la distancia r,la derivada en relación á r de la velocidad circular sr será

dss+r~

y, como en caso de que hubiese frotamiento, es decir, cuandotoda la capa fluída diese vuelta como un ani11o sólido al rededor

del eje, la derivada de la velocidad sería s, se ve que la veloci-dad relativa de la cual depende el frotamiento, es

dsr~

~ 01}"

~:t\J'""~

~ ~

~~

~

~

/

/

j- - - - .I-- I

.,\ I,I'- -

--- \/'---v-.---, ~~

\1N

""""

~~

~ ~

NUEVA TEORíA DE LOS FROTAM1ENTOS 113

Siendo la velocidad circular u = sr á la distancia r del eje, setiene:

dudr

=r ds---¿r+s,

,o ds =r'dr

dudr

ur

y la velocidad relativa á la distancia r+ dr, será

dudr

U 1

(du

--+-d -r dr dr -+ )dr.

Designando por v el coeficiente del frotamiento interior, se

tendrá sobre la superficie cilíndrica n n' el frotamiento.

v(du -'- ~ )r da dzdr r (A)

que tratará de atraerla en el sentido de la rotación de izquierda

á derecha, y sobre la cara m m' el frotamiento será:

, v{

du - ~ + ~ d .(du - ~ )dr} (r + dr)da. dzdr r dr dr r

du

}

ó{

d.

u - ~ + (du - r <ir .~ U) dr (r + dr) d a dz,vd dr2 r-r r .

que operará en sentido contrario.

Descuidando en esta última expresión los infinitamente pe-queños de un orden superior al tercero, se obtendrá:

v{du ti

}d2u d ( )-- - r d a dz + vr -d

o dr a dz Bdr r r" .

Suponiendo que la rotación del fluidó se efectúe en el sentido

de las agujas de un reloj y las capas fluidas interiores atrayen-do á las capas exteriores, mientras tanto que éstas las retienen,

la fuerza que opera en 1: n' será positiva, ó dirigida de izquierda


á derecha, y ]a que opera en m m' será negativa ó dirigida dederecha á izquierda.

Pero el signo de la expresión (A) dependerá del signo del.

b. . du u P du ..] l

.momIO -

d- - era

d~ es negativo, VIstO que a ve OCI-r r r

dad angular s disminuye alejándose del eje.

Las fórmulas (A) y,(B) dan, pues, dos cantidades negativas,y si se quiere que ellas designen á la vez en tamaño y dirección

las fuerzas que obran en las caras n n' y m m', se harán prece-

d~r en la presión (A) del signo -, sin cambiar nada la expre-

sión (B). .

Las fuerzas tangenciales que actúan en las caras laterales n

m, n' m' se determinan por la consideración de que todas las

fuerzas radiales deben sér iguales, puesto que las moléculas se

reparten en filetes cilíndricos.Por consiguiente, si una fuerza k solicita ál elemento n m

m' n' segun n m, una fuerza igual solicitará segun n' m' al ele-mento inmediatamente vecino á la derecha. Pero á esta fuerza

corresponderá para el primer elemento, una reacción k operan-do de m' hacia n'.

La dimension de esta fuerza k se deduce de]a ecuación de

los momentos en relación al centro de gravedad e y se tiene:

1) Los momentos nulos para las fuerzas normales en las dis-

tint;'s caras y para la fuerza centrífuga, que pasan todas por es-te centro;

2) El momento del frotamiento sobre la cara n' n, se obtiene

multiplicando por - (~r) la expresión (A)

sea V (du - ~ )~ da dz dr.dr r 2 ,

3) El momento del frotamiento sobre la cara m m' se obtiene

multiplicando la expresión' (B) por ~, sea

NUEVA TEORÍA DE LOS FROTAMIENTOS 115

(dU .U

)r d d I r d u d 2 1 dv ~ - - ~ a r (z + V .~. -- r ( a Z

dr r 2 . 2 dr2 ;

4) La suma de los momentos de las fuerzas k operando enlas caras laterales n m y n' m' es

k( r + ~)d a

Debiendo ser nula la suma de todos estos momentos se ob.tiene

dr

(du u

)r d 2U

k r d a + k - da = -v -d -- r d a dr dz - v--

d--:- dr2 da dzf' 2 r r 2 r2

y se ve fácilmente que según nm se tiene, de n hacia m, lafuerza

(du U

)k = -\'. ~-- dr dzdr r (C)

~

~ y según n' m', de m' hacia n', la fuerza

(" du - ~ )dr dzv dr r (D)

En fin, para establecer las relaciones entre las velocidades en

los distintos puntos del fluído y l~s distancias de estos puntosal eje de rotación, se proyectarán todas las fuerzas sobre una

tangente llevada por el centro de gravedad C, al circulo descri-

to del centro O con el radio OC fig. (2). '

Para hacer la suma de estas proyecciones, se notará:

1.o Que las proyecciones de la fuerza centrífuga y de las pre-siones normales sobre las caras nn/ y mm'. son nulas;

2.° Que las fuerzas de frotamiento en nn' es mm' se proyec-tan en verdadera dimensión;

3.° Que las proyecciones de las fuerzas que operan en l~s

caras nm, y n/m' se obtiénen multiplicando estas fuerzas por


da da . . I da' ..1 dseno - = -y que este seno, positiVO para e arco - a a e-2 2.. 2

recha de OC, es negativo para el arco situado á la izquierda.

Debiendo ser nula la suma de todas estas proyecciones, seobtiene la ecuación

d2u 1 du u- + =0dr2 r dr r2

de la cual el integral es

u =~ +C'rr (3)

Los constantes e y C' se determinarán según las condiciones,:)articulares de las superficies de contacto del fluido.

Supongamos el elemento fll}ido en contacto por la cara mne'

con el cilindro exterior y desigpe~os porr 2 el radio interior de este cilinClro,U 2 su veloc!dad de rotación positiva,

U2 la velocidad de rotación de la capa fluida que le es adhe-rente.

El fluido resfalará sobre la pared interior del cilindro exteriorcon la velocidad

U2-U 2'

y, designando por 12 el coeficiente del frotamiento exterior,

tendremos para la cara mml el frotamiento

12 (u 2- U2) r 2' da dz.

Siendo opuesta la dirección de esta fuerza á la del movimien-

to del fluído, la expresión de aquí-arriba debe ser tomada nega-tivamente, pero si el cilindro exterior es arrastrado por elfluido, se tiene

U 2 <U2'

NUEVA TEORÍA DE LOS FROTAMIENTOS II7

y, en este caso, el tamaño y la dirección de la fuerza que opera

en mm' serán expresadas por

1 (U 2-U2) r2 d(t dz.

En cuanto á 10 concerniente á las fuerzas que operan en las

superficies elementales n n', n m y n' m', se tendrán sus valores

reemplazando en las fórmulas (A), (C) y (D) r por r2--dr, ysuprimiendo los infinitamente pequeños del tercer orden.

La suma de las proyecciones de todas las fuerzas sobre CAdará

12'(U2-U2) r2 da dz - v(~~ -+) X r2 da dzr = r2

(du u

)+v - -- X dr dadz=odr r

r= r2

ó bien

(du u

)12(U2-U2)=V df -r r=r2

La ecuación (3) da

du__~ +C'dr ~ r 2

y -~ =-~-Cr r 2

se obtendrá C'12(U2-U2) ==-2 v-r2 2

(4)

Consideraciones análogas conducen á determinar las condi.

ciones de equilibrio del elemento fiuído n n' m m' en la hipó-tesis de que se encuentre en contacto por la cara nn' con elcilindro interior;

1I8 NUEVA TEORíA DE LOS FROTAMIENTOS;¡

Sean r1 el radio del cilindro interior;

U1 la velocidad en la superficie de este cilindro; en su rota-ción positiva al rededor del eje.

UI la velocidad de rotación del fluído atraído;

11el coeficiente de frotamiento.

Tendremcjs en el elemento de superficie n tt' la fuerza de fro-

tamiento dirigida hacia la derecha,

11(U I-U1) r1 da dz (a)

'. Para determinar las fuerzas que operan en las caras elemen-

tales mm', nm y nn', tendremos que reemplazar en las fórmulas

(A), (C) y (D), r por rl + dr, notando que en este caso la fór-

mula (A) debe espresar una fuerza negativa de frotamient() ódirigida hacia la izquierda.

La suma de las proyecciones sobre C A será

11 (U1-ul)r1 dadz+v( ~~ - ~ )xrl da dzr=rl.

(du u

)+v --~- dr da dz=odr r

r= rl

ó bien (du U

)11 (U1-Ul)=-V d'f-r r=rl

y, en virtud de la ecuc,ción (3),

11 (U l-Ul) = 2 v -.S-2 .r1

(5)

De las ecuaciones (4) y (5) combinadas con los valores deUlY U2 deducidos de la ecuación (3),

UC

C'

1 = ~--+ r2'r1

u2= ~ + C'r 2r2


se obtiene ~

12 (V 2-~-C'r2 )=-2v~r2 r~

c C11(Ul - - -C'r1 ) =;2V~r1 . r1

6 bien

C (~-~ )+Crz=U2r2 12rs

c (~ -- 2 V 2)+ C'r1 = U l'r 1 11 r 1

Estas ecuaciones en primer grado en C y C' dan

C= r~r ~ (Ui r2-U2 ri)

r1 r2 (r~-rV+2 v (r; + ri )11 12

(6)

C'"",~ U2 (ri + ~ V)-r~ Ui (r2- 21V)1 ~

r1 r 2 (r~-rn+2 v (r~ r~)-+-11 12

La sustitución de estos valores de C y C' en la ecuación (3),darán el valor de la velocidad circular lt en un punto cualquiera

. del fluido.

Para verificar la 'exactitud de la fórmula (5) y, por consiguien-te, de la hipótesis sobre la cual está basada, se tomará como

término de comparación el momento de la fuerza de frotamien-

to que se ejerce en la superficie del cilindro interior dando

vuelta en el fluido, suponiendo el cilindro interior fijo.

Para un elemento infinitamente pequeño de esta superficie. la


~fuerza de frotamiénto es dada por la fórmula (a) que, en virtud

de la ecuación (5), llega áser- .

-/-' e2 V - d dz

r 1 -

y su momento, en relación al eje, será

2 V ( ~da dz )rl = 2 veda dzr1

Integrando entre los límites o y 27r para a, Z=O y 2 r=h

para el hirgo del cilindro, se tiene el momento

M = 4 v 'Ir h e,

y, por la sustitución del valor (6) de e,

r2r2 (U1r2-U2r1) (7)h 1 ~ S SM=4V7r r r (r2-r2 )+2 v( r2 + ~ )1 2 2 1 -

1 . 11 i

Por medio de una serie de experiencias hechas con velocida-

des diferentes U 1 Ycon cilindros de diámetros diferentes, lacomparación de este momento á la suma de los momentos delas fuerzas exteriores que hacen dar vuelta el cilindro interior

permitiera determinar los valores de 11, 12 Y V Y verificar laexactitud la hipótesis establecida. Pero a jwz"ori se debe pre-

veer que la fórmula (7) no puede convenir mas que para muy pe-

queñas diferencias de radio,

r2-rl= e;

en este caso, descuidando las potencias de e superiores á la pri-

mera. se simplifiéará notablemente la fórmula (7) y si nos con-

tentamos con la aproximación expresada por las dos ecuaciones

r~ = rl (rl + 2e), r~ = rf (rl + 3e),

NUEVA TEORíA DE LOS FROTAMIENTO:> 121

sé obtendrá

r,2(r, + 3e) U 1

M=V2'r h (r1+e)e+v (rl+3e +~)1 12 ,1

y si 3e es suprimible en relación á 'rT'

M=v r' 277"r hUl. ] 1

e+~ b1 + 1~

1 2

Dividiendo este momento por rT' se obtiene para la expre-sión de la resistencia del frotamiento ,de los dos cilindros,

R - 271"r h '

U- V 1 1

e+~ v1 +-1: 12,o

R -277"r h u- 1 1e 1-+- +

1v 1 -1 12

Designando la superficie total pe contacto del cilindro interior

por Q, se tiene

. Q o:: 277"r h1 ,

R = u Q U1e + v v

T+--1 121

(8)

Esta fórmula establece que para una temperatura constantedel inductor, la resistencia del frotamiento en los dos cilindros

engrasados es directamente proporcional: f.O al coeficiente delfrotamiento interior de la materia lubrificante; 2.° á la exten-

sz.ónde la superficie de contacto, y 3.° á la primera potencia de

la velocidad relativa á esta superficie; que ella es inversamente


proporcional tí la suma de los tres términos, á saber, el espesor dela capa inductora. )' las dos relaciones del coeficiente del frota-

miento exterior, primeramente con el cilindro z'nterz'or,y luegodespués con el cilindro exterior.

Mientras mayores son las adherencias de los fluidos á las pa-

redes sólidas comparativamente á su cohesión, más grandes

á 1 ] 1 .,. el . d . 1 I.ser n 1 y 2 en re aClOn a v, y se po ra espreclar T + T en1 2

1 ., e 1 d .re aClOna ~ o que arav,

R=vQU !.e

y ]a resistencia del frotamiento será inversamente proporclO-

ua] a] espesor e de ]a capa fluida,Si, al contrario, ]a cohesión de la sustancia lubrificante es bas.

d.

d d.d ] '. . v v

tan te gran e para po er escUl ar e en re aClOna~ + ~, seobtiene con una exactitud suficiente

R = Q U~1

I. 1- + '11 T2

En fin, si los dos cilindros son compuestos de ]a misma mate-

ria, ~de suerte que

] =] =11 2

se tiene

R =~ Q U 1 (10)

y ]a resistencia de] frotamiento no dependerá, en este caso, nide] espesor de ]a capa lubrificante ni del frotamiento interior,sino únicamente del frotamiento exterior del fluido sobre las

, 1

NUEVA TEORIA DE LOS FROTAMIENTOS J23

superficies de los dos cilindros, de la velocidad con la cual este

frotamiento se produce -y de la extensión de las superficies decontacto.

Desig~ando por¡P la presión total igualmente repartida so-

bre las superfieies de frotamiento, por f =: el coeficiente del

frotamiento, y por p = ~ la presión específica; las fórmulas(8) y (9) darán

f , - v U ~- 1

P (e+ ~ + ~ )11 12 .

U ,~f := v ~ (II)

ep

La fórmula (8) y las que se deducen, basándose sobre hipó-tesis que no pueden realizarse completamente en la práctica,Mr. Petroff ha tratado de determinar la influencia de los des-

víos que se encuentran en los datos teóricos que ha admitido.

En el frotamiento de las pie:as de máquinas, las diferenciasson:

1) La desigualdad de la adherencia de los cuerpos inducto-

res sobre el largo del cilindro interior;2) La discontinuidad, segÜn una dirección perpendicular al

eje de rotación, de la superficie interior del cilindro exterior,

determinada por las rayas de separación de las dos mitades delos cojinetes y por las que sirven al engrasamiento;

3) Las variaciones de temperatura durante el periodo del mo-

vimiento y al mismo instante, en distintos puntos de las super-ficies de ftotamiento;

4) La incertidumbre concerniente al espesor de la capa in-

ductora, que debe variar con la naturaleza y la temperatura de

las superficies lubrificadas; con la presión que ellas soportan y

n4 NUEV A TEORÍA DE LOS FROT:AMIENTOS

las deformaciones que i)ueden result~r;' con la disposici6n de los

cuellos y de los cojinetes.

Mr. Petroff llega á las conclusiones siguientesuna discusión profunda de los estudios de H irn,

Kirchweger.A. PARA PIEZAS DE MÁQUINAS ABUNDANTEMENTE LUBRIFICA-

DAS y CUYAS SUPERFICIES DE CONTACTO AJUSTAN MUY EXACTA-

MENTE,el coeficiente del.frotamiento es;

a) Directamente proporcional:

1) al coeficiente v del frotamient,o interior para la tempera-tura actual del inductor; -

2)- á la velocidad relativa U de las superficies de frotamiento;b) Inversamente proporcional:

3) al espesor mediano de la capa inductora entre las dos su-perficies de frotamiento;

4) á la presi6n p atraída á la unidad de superficie;

c) Para una temperatum dada, t:

5) el espesor de la capa del inductor es inversamente propor-cional á ...;¡;; Y

6) en virtud de las ecuaciones (10) Y (11), el coeficiente.f esinversamente proporcional á ...;¡:

.. 7) La temperatura de la capa del inductor depende de laspropiedades de la materia que la compone, de la velocidad, de

la p;esi6n, de la conductibilidad de los cuerr;os que la rodean yde la temperatura del medi? ambiente.

B.-PARA PIEZAS DE MÁQUINAS CUYO ENGRASAMIENTO ES INSU-

FICIENTE Y DISCONTINUO, COMO PARA ESAS CUYAS SUPERFICIES NO

SE AJUSTANMUYEXACTAMENTE,el coeficiente del frotamiento es

más grande que en las condiciones precedent~s ycrece con la

pobreza del engrasamiento y el defecto de ajustaje. Este últi-

mo no depende solamente de la desigualdad del pulido y de lafractura de las superficies en contacto, sino también,de la alte-raci6n de las formas sobre la acci6n de las fuerzas exteriores.

después de

Thurston y

NUEVA TEORíA DE LOS FROTAMIENTOS 125

El autor completa estas conclusiones por observaciones im-

portantes que tienden a demostrar que las resistencias del frota-

miento pueden producirse de otra manera que la que se admitengeneralmente y que su avaluación, según las leyes actualmente

admitidas, puede, en ciertos casos, dar resultados diez vecesm,ás elevados.

Así, en lo que concierne á la simple proporcionalidad de la

resistencia del frotamiento á la presión, ella no puede verificarse

más que sobre ciertas condiciones que son frecuentes. Para queesta proporcionalidad subsista, es preciso que el coeficiente

f=vUe p

sea constante.

Pero esto exige que

P

P = --g-

ó la relación de la carga á la superficie de apoyo quede invaria-

ble, asimismo como el valor de v ó, lo que es lo mismo, la tem-

peratura t de la capa inductora.

La primera condición, para la cual sería preciso hacer variar

la superficie de apoyo con la presión en una máquina sometida

á una carga variable, no es realizable, y, en cuanto á la segunda,

es preciso que el calor desarrollado sea regularmente absorbidopor la pieza de la máquina.

Si se designa por 6. el coeficiente de conductibilidad, por t ola temperatura del aire ambiente y por E el equivalente mecá-nico del calor, se debe tener la ecuación

V U2p

- e p E- = 6. (t - to)

Y t no podría quedar constante sino en el caso en que to variasede tal manera que disminuyese á medida que P aumente.


Pero, si se designa por R y Rl las resistencias del frotamien-

to bajo las cargas normales P y P] , las temperaturas correspon-

dientes por t yt 1 ' los coeficientes del frotamiento interior por v

y VI y los espesores del inductor por E y El' se tiene, para unavelocidad constante U y una misma superficie de apoyo Q,

p

P=QPl

Y Pl=g

R =~~P y R;= VI U PlE P El Pl

de lo cual

R - V El P1 P.~-V;-' E P .~

y, en virtud de la ecuación (5) que da

El - ~~p---r - ~~

R v P IpRl =~.~~-p;-

Esta ecuación nos enseña que la relación: no puede ser1

igual á la relación : cuando las temperaturas t y tI son di-1

ferentes, sino cuando se tiene:..

.v /p---v; ~ ~p--;= 1. ,

y cuando la temperatura es constante, es decir, cuando t=t1

y V=Vl' se obtiene, reemplazando 1 y 11 por & y 81

R /YR1 = ~-P-;

NUEVA TEORíA DE LOS FROTAMIENTOS 127

es decir que las resistencias del frotamiento son proporcionales tÍlas raíces cuadradas de las cargas normales.

Esta relación entre la carga y el frotamiento podd todavía

ser mantenida con una exactitud suficiente, cuando las tempe-

raturas t y tT sean poco diferentes, como se presenta muy ámenudo en las máquinas.

Por otra parte, cuando en el movimiento de una máquina su-cede que la carga, la velocidad, la temperatura del aire ambien-

te yla temperatura en los diversos p~mtos de las piezas queestán frotando sean constantes, el engrasamiento siendo abun-

dante, la relación entre la resistencia de frotamiento R y la car-ga P puede expresarse todavía por la ecuación general

E~ E2.6.2 A E2L;:,.2 -R3 +(b+ 2 c to.) C U R2 + v c U' R;= a c U ..; Q.P.o 2

Para demostrar esta ecuación.

Sea v el coeficiente de frotamiento interior del inductor; E oel espesor de la capa del inductor bajo la presión Po , las rela-CiOnes

P

f= -~, E";p = Eo";P-; y P=QE P

dan para la resistencia del frotamiento, cuando las superficies

en contacto se ajustan con una exactitud suficiente, poniendoEo";P-;;= a.

R= vU . P= vU.";P../9:a"; p a

y para el trabajo del frotamiento po; segundo

V U2. "¡p. ";75a

128 NUEVA,TEORíA DE LOS FROTAMIENTOS

Dividiendo esta expresión por el equivalente mecánico E del

calor y representando por ~ el coeficiente de conductibilidad y

por t - to las diferencias de las temperaturas del inductor y del

aire ambiente, se obtiene para el número de unidad de calor de"'

sarrolladas en la unidad de tiempo:

V UZ. rE> ~Q =~ (t-to)aE ~ .

El coeficiente v siendo' expresado en función de la tempera-tura por

v= 1a+bt+c t2

Se tendrá:

U2E ~p ~Q == (a+b t+ct2) (t-to)aLl

y como

R U = b. (t - to) ó t =EFU~E + to

1

Vo = a+b to+c t~

La substitución de estos valores dará, desarrollando enrela-

ción á R, la' ecuación propuesta.

E n fin, si en ciertos puntos el engrasamiento hace. falta y que

el turillón se encuentra en contacto inmediato con el coginete,

designemos- por f1 Y f 2' por P 1 Y P 2 el coeficiente del frota-

miento y la carga para las partes no engrasadas y las que están

separadas por el inductor.La resistencia del frotamiento será:

R=flI\ + f2 Pz


y designando por P la carga total,

R = (f 1 ~ 1 + f2 Pp2 )P

Si los coeficientes f1 y f2 son iguales ó difieren muy poco en-tre ellos, se puede obtener el valor de R sin tener que conocer

la repartición de P entre P 1 Y P 2' Pero si estos coeficientes son

muy diferentes, el valor de R depende evidentemente de P 1

Y P2'

~ara P 1 = O, 1P; P 2 =0, 9P; f1 = 0,2; f 2 = 0,°°4, se obtendria

R = 0,023° P,

mientras tanto que para P 1 = 0,9 Y P 2 = O,1, el valor de

R=0,I802 P

sería 7,6 veces más grande. Estos ejemplos confirman la opi-nión de M. Petroff sobre la necesidad de nuevos estudios, con

el fin de llenar las lagunas que presentan todavía nuestros co~nocimientos sobre el frotamiento de las piezas de bs máquinas.

Estos estudios deberían hacerse sobre:

l. El tamaño del frotamiento interior de la capa inductora á

una tem.peratura da<;la; . .2. La relación entre este frotamiento interior y la tempera-

tura;

3. La re.lación entre el esp~sor de la capa inductora y la ve.

[ocidad, la carga unitaria sobre las superficie~ de frotamiento, las

propiedades de los metale;> engrasados y la temperatura;4. La ley de la trasmisión del calor de la capa inductora á los

medios ambientes.

Además, convendría también buscar:

1. La importancia de las condiciones favorables que presente

el estado actual de la construcción de las máquinas;

13° NUEVA TEORÍA DE LOS FROTAMIENTOS

2. La acción que puede ejercer sobre la resistencia del fro-

tamiento un ajuste más ó menos perfecto de' las superficies;

3. La de la flexibilidad del turillón y de otras condiciones

análogas;

4. Los efectos de un engrasamiento abunda~1te y los de unengrasamiento pobre;

5. La influencia de la disposición de los bordes de los cogi-netes;

U n examen profundo de todas estas cuestiones colocará la

resistencia de los frotamientos al nivel de las fuerzas que se

puede disponer á voluntad. Penetrándonos más profundamentede los fenómenos de estos frotamientos mediatos, nOa permiti-

rá alejar los errores á los cuales estamos todavía expuestos y

decidir con mayor exactitud todo lo que concierne á las dimen-

siones y á la manera de escojer el metal y la materia lubrificado-

ra en los órganos que permiten dar á las piezas de las máquinas

un movimiento de rotación al rededor de sus ejes geométricos.

E. LABA TUT.

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