1

Notas sobre plasticidad en metales y ejemplos de cálculo Ejemplo 1) Determinar, bajo hipótesis convenientes las deformaciones ingenieriles y verdaderas y la reducción de área para una barra solicitada uniaxialmente: a) que es llevada al doble de su longitud, b) que es llevada a la mitad de su longitud. c) calcular en ambos casos las tensiones verdaderas. Resolución: Se define reducción de área a fractura como q = (Af - A0) / A0 Aplicando las relaciones ya vistas, se tiene: a) si Lf = 2*L0 => e = (Lf-L0)/L0 = (2L0-L0)/L0 = 1.0

ε = ln(Lf /L0) = ln(2L0/L0) = 0.693 suponiendo constancia de volumen:

q = (A0-Af)/A0 = 1-Af /A0 = 1-L0/Lf = 1-L0/2L0 = 0.5

b) si Lf = L0/2 => e = (Lf-L0)/L0 = (L0/2-L0)/L0 = -0.5

ε = ln(Lf /L0) = ln(L0/2L0) = -0.693 suponiendo constancia de volumen:

q = (A0-Af)/A0 = 1-Af /A0 = 1-L0/Lf = 1-L0/(L0/2) = -1.0

c) cuando la deformación es uniforme, vale:

para Lf = 2*L0 : σ = s (1+e) = 2s para Lf = L0/2 : σ = s (1+e) = s/2.

Ejemplo 2) Calcular la tensión equivalente para un material sometido a: a) tracción uniaxial, b) compresión uniaxial, c) compresión hidrostática y d) corte puro. Resolución: Se elige convenientemente el sistema de coordenadas en cada caso como para garantizar los valores de tensiones principales que se consignan. Entonces, se obtiene:

2

Caso Tensiones ppales Tensión equivalente a tracción

uniaxial b compresión

uniaxial c compresión

hidrostática d corte puro

Ejemplo 3) hallar las tensiones y deformaciones equivalentes en régimen elástico para un material LEHI sometido a: a) un estado plano de tensiones y b) un estado plano de deformaciones. Resolución: Si bien el concepto de tensiones y deformaciones equivalentes no es de gran utilidad en régimen elástico, su cálculo se hará como ejercicio ya que en ese caso se conocen las expresiones de las matrices (en un sistema de coordenadas conveniente). a)Estado plano de tensiones:

σequiv = ( ) 2/1222222 )(6)()()(2

1zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσ +++−+−+− =

= ( ) 2/12222 6)()()(2

1xyxyyx τσσσσ +−++− = ( ) 2/1222 3 xyyxyx τσσσσ +++

εequiv = ( ) 2/1222222 )(6)()()(32

zxyzxyxzzyyx εεεεεεεεε +++−+−+− =

= 2/1

2222 6))(1

())(1

()(32

+−+

−++

−−+− xyxyxyxyyx εεεε

ννεε

ννεεε =

= 2/1

22222 6)11

2121)(2))1

()1

21(1)((32

+

−−−

++−

+−

−++ xyyxyx ε

νν

ννεε

νν

ννεε

b) Estado de deformaciones plano

0,0 321 ==> σσσ

0,0 321 ==< σσσ

p−=== 321 σσσ

( ) ( )( ) 11

2/121

212

1 σσσσσ ==+=(

( ) ( )( ) 11

2/121

212

1 σσσσσ −==+=(

( )( ) 032/12

21 =−= ppσ(

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 1

2/1212

1

2/1211

21

212

1

2/1213

232

2212

1

36

)(

σσ

σσσσ

σσσσσσσ

==

=−−+−−+=

=−+−+−=(0, 231 =−= σσσ

=

00000

yyx

xyx

σττσ

σ

+−

=

)(1

00

00

),,(

yx

yyx

xyx

tyx

εεν

νεεεε

ε

3

σequiv = ( ) 2/1222222 )(6)()()(2

1zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσ +++−+−+− =

= ( ) 2/12222 6))(())(()(2

1xyxyxyxyyx τσσσνσσνσσσ +−+++−+− =

= ( ) 2/122222 6))1(21(2))1(1)((2

1xyyxyx τννσσννσσ +−+−−+++

εequiv = ( ) 2/1222222 )(6)()()(32

zxyzxyxzzyyx εεεεεεεεε +++−+−+− =

= ( ) 2/12222 6)()()(32

xyxyyx εεεεε +−++− = ( ) 2/1222 332

xyyxyx εεεεε +++

Ejemplo 4) dibujar los círculos de Mohr para los siguientes estados ideales de tensiones: a) tracción y compresión uniaxial, b) componentes esférica y desviadora de un estado arbitrario de tensiones y c) para un estado plano de tensiones Resolución: a) tracción y compresión uniaxial .

+=

)(0000

),,(

yx

yyx

xyx

tyxσσν

σττσ

σ

=

00000

),,( yyx

xyx

tyx εεεε

ε

4

b) estado (arbitrario) complejo, descompuesto en componente esférica y desviadora

c) Estado plano Recipientes de paredes delgadas Para poder hacer cálculos simples sobre recipientes cilíndricos sometidos a una presión interna P, calcularemos las expresiones para las tensiones circunferencial, axial y radial en un recipiente de paredes delgadas. Es uno de los pocos casos en los que usaremos coordenadas curvilíneas (en este caso, cilíndricas). La hipótesis de “paredes delgadas” hace posible el cálculo de las tensiones usado solo las ecuaciones de conservación (y las condiciones de contorno que provee la geometría). Esto significa que no es necesario asumir una relación constitutiva, por ese motivo se dice que este caso tiene una solución universal para la determinación de las tensiones. Se considera un sistema de coordenadas cilíndricas (una de las direcciones es radial, la otra es paralela al eje del cilindro y la tercera, circunferencial, ortogonal a las otras dos) con origen en un punto genérico del cilindro y se plantea el balance de fuerzas en cada una de las direcciones.

5

Se asume que el espesor h de la pared del cilindro verifica h<a/20, donde a es el radio del cilindro. Cálculo de tensión circunferencial Con la condición anterior, puede suponerse que las tensiones circunferenciales se distribuyen uniformemente. Planteando el equilibrio de fuerzas correspondiente (ver figura anterior): ∫∑ ∫ =−= 0'2 dAdAPF θθνν σ , con Pν = P senθ ,

dA = r dθ dz , r=a en este caso dA’ = dr dz. Integrando entre los límites adecuados, se tiene:

haPlhlaP

drdzdsendzaPl

hal

...2.2.

....

0 00 0

=⇒=

= ∫ ∫∫ ∫+

θθθθ

θθ

π

σσ

σθθ

6

Cálculo de tensión axial Ahora se asume que la tensión axial σzz también es uniforme. el equilibrio de fuerzas correspondiente (ver figura previa) se expresa como: ∫∑ ∫ =−= 0. dAdAPF zzz σ , con dA = r dθ dz., Tomando los límites de integración correspondientes e integrando, se tiene:

2

2222

2

0

2

0 0

.2.2/))((2.2).2/(

..

..

hhaaPahaaP

drrddrrdP

zzzz

a

ha

zz

a

+=⇒−+=

= ∫ ∫∫ ∫+

σπσπ

θσθππ

usando la hipótesis de paredes delgadas puede despreciarse h2, con lo que resulta:

2.2

. θθσσ ==

haP

zz

Cálculo de tensión radial La tensión radial media puede estimarse como:

θθθθ σσσσ <<≅⇒−

=+−

=ahPP

rrrr 2.20

La suposición de paredes delgadas permite despreciar el valor de σrr, que resulta muy pequeño comparado con los valores de las otras tensiones. Resulta un caso de tensión plana. Resumiendo:

0.2...

=

=

=

rr

zz haPhaP

σ

σ

σ θθ

7

Ejemplo 5) Se tiene un tanque de aluminio de paredes delgadas (a/h=20) cerrado en ambos extremos y presurizado (presión interna = P). Encontrar la deformación plástica en la dirección circunferencial (despreciar la deformación elástica). Suponer que el material se modela según la ley de Hollomon: σ=k εn. Resolución: En la aproximación de recipiente de paredes delgadas, se conoce la expresión de las tensiones principales en función de la presión interna P y de la geometría de la pieza, por lo que se puede calcular la tensión equivalente:

( ) ( ) ( )( ) PhPa

equiv 310.2

3232/2/

21 3/1222 ≡==++−= θθθθθ σσσσσσ

Usando las ecuaciones de Levy-Mises, se pueden calcular los incrementos de las deformaciones:

θθθ

θθ

θθ

θθθθ

σσεσσ

σε

σσσε

σσσλε

σσεσ

σσε

σσσε

σσσλε

equiv

equiv

equiv

equivz

equiv

equivzrr

equiv

equiv

equiv

equivz

equiv

equivrz

ddddd

ddddd

43]

42[)](

21[)](

21.[

32

43]

4[)](

21[)](

21.[

32

−=+−=+−=+−=

=−=−=+−=

Mediante el cálculo directo o asumiendo constancia de volumen resulta que el incremento de deformación en la dirección axial es nulo, se usará la segunda opción:

zequiv

equivz

equiv

equivrz d

dd

dddddV εσ

σε

εσσε

εεε θθθ =−++=++== )43(

430

Nota: De esta expresión, se desprende que puede usarse la aproximación de fluencia plana, aquí no hace falta. Pueden ahora calcularse el incremento de deformación equivalente:

( )

( ) ( ) θθθθ

θθ

εεεεεε

εεεεεεε

dddddd

ddddddd

rr

rrzzequiv

326

32)()()(

32

)()()(32

2/122/1222

2/1222

==−+−+=

=−+−+−= (a)

De la expresión de Hollomon σequiv=k εequivn , resulta

εequiv = (σequiv / k)1/n = n

kP

/1.3.10

(b)

8

Bajo hipótesis adecuadas se puede integrar la expresión entre 0 y el valor de la expresión (b), de donde resulta:

εεeeqquuiivv =

nequiv

equiv kPdd

/1_.

0

_.

0

.3.1023

32

32

=⇒==∫ ∫ θ

ε θε

θθ εεεε

que es lo pedido. Comparación de los valores de tensiones y deformaciones verdaderas en tracción uniaxial y corte puro

En las aplicaciones que involucran deformaciones plásticas, los estados (ideales) de

tracción o compresión uniaxial y corte puro servirán para modelar varios procesos, por lo que es de utilidad comparar los valores de tensiones y deformaciones verdaderas que se esperan en cada caso:

Tracción uniaxial Corte puro σ1 =σmax , σ2=σ3=0

σ1 =-σ3=σmax, σ2 = 0

τmax= σ1/2=σmax/2

τmax= 2σ1/2=σmax

εmax=ε1, ε2=ε3=ε1/2

εmax=ε1=-ε3, ε2=0

γmax=(3/2)ε1

γmax=ε1-ε3 = 2ε1

σequiv = σ1

σequiv = 3 σ1

εequiv = ε1

εequiv= (2/ 3 )ε1

Asumiendo que en un ensayo de tracción uniaxial se tiene el estado ideal de tensiones descrito en la primera columna de la tabla, y en un ensayo de torsión, el estado tensional es de corte puro, con las características que se muestra en la segunda columna de la tabla, se llega a la siguiente conclusión: Para un mismo valor de σmax , el valor de τmax es dos veces mayor en torsión que en tracción. Como en una primera aproximación puede considerarse que -en metales- la deformación plástica ocurre cuando se alcanza un valor crítico de τmax, mientras que la fractura frágil tiene lugar cuando se alcanza un valor crítico de σmax, la oportunidad de obtener un comportamiento dúctil es mayor en torsión que en tracción En la figura anterior, parte derecha, se pone en evidencia esta situación.

9

Criterios de fluencia

Dado que un criterio de fluencia es “una hipótesis respecto al límite de elasticidad, bajo cualquier posible combinación de tensiones” se tratará de predecir la entrada en fluencia para un estado tensional complejo, basándose en datos experimentales relacionados con estados de tensión simples. Se concluye experimentalmente que -aún en los estados complejos- dentro del rango de presiones y temperaturas industriales, las componentes hidrostáticas no afectan la entrada en fluencia de los metales. Esta observación, juntos con los requisitos planteados para desarrollar los conceptos de plasticidad, hacen que los criterios de fluencia sean funciones del tipo:

F(J’2, J’3) = f(σ1-σ2, σ2-σ3, σ3-σ1) = cte.

La elección de la constante a utilizar está habitualmente relacionada con la tensión de fluencia para un estado conocido de interés. En metales es típicamente la tensión de fluencia correspondiente al ensayo de tracción uniaxial o la tensión de fluencia al corte para un estado de corte puro (en un ensayo de torsión). Las situaciones se esquematizan en las siguientes figuras:

En particular, para los criterios de Von Mises y Tresca y con la notación de la figura, la situación para un material que no sufrió ablandamiento ni endurecimiento, se resume en la siguiente tabla:

10

Estado tensional complejo Estados tensionales

particulares Criterio de Von Mises Criterio de Tresca

Expresión general: (σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+( σ3-σ1)2 = cte

Expresión general: σ1-σ3 = cte

En la fluencia en tracción simple: σ1 = Y , σ2 = σ3 = 0

En la fluencia (σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+( σ3-σ1)2 = 2.Y2

En la fluencia σ1-σ3 = Y

En la fluencia en corte puro σ1 = -σ3 = κ , σ2 = 0

En la fluencia (σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+( σ3-σ1)2 = 6.κ2

En la fluencia σ1-σ3 = 2.κ

Relación entre constantes:

2155.1

232 YY

==κ

Relación entre constantes:

2Y

=κ

Notar que: a) en tracción uniaxial ambos criterios coinciden, pues en la fluencia vale: σequiv = σ1 = Y (c. de Von Mises) y {σ1/2 = Y/2 => σ1 = Y} (c. de Tresca) b) en corte puro ambos criterios presentan la máxima diferencia, pues: σequiv = 3 σ1 = Y (c. de Von Mises) y 2σ1/2 = Y/2 (c. de Tresca)

=> σ1 = 2

155.123

2 YY= => σ1 = Y/2

c) Cualquier estado tensional complejo representará una situación intermedia entre tracción simple y corte puro, esto permite reinterpretar la figura 14, que se repite a continuación:

11

Ejemplo 6) en dos laboratorios se realizaron ensayos sobre un acero con los siguientes resultados: Labo.A) tensión de fluencia obtenida en un ensayo de tracción uniaxial: σ1 = Y = 950 MPa. Labo.B.) tensión normal máxima obtenida en un ensayo de torsión σ1 = -σ3 = 548.48 MPa. Si una pieza fabricada con ese acero presenta un estado complejo de tensiones representado (en

un sistema conveniente) por la matriz M =

−−

800030004000

30000 (componentes en MPa), se desea

saber si el material entró en fluencia de acuerdo con los datos de A. y / o de B. Resolución: Datos del labo.A. Esta parte ya fue resuelta antes, obteniéndose los siguientes resultados: Criterio de Von Mises:

σequiv = ( ) 2/1222222 )(6)()()(2

1zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσ +++−+−+− =

= ( ) 2/12222 )300(6)800()800400()400(2

1+−++−+ = 866.03 MPa < Y (a)

Criterio de Tresca (después de calcular los autovalores, que resultan ser σ1 = 100, σ2 = -400 y σ3 = -900): σ1 - σ3 = 100 +900 = 1000 MPa > Y (b) Ambos criterios dan una respuesta diferente relacionada con la entrada en fluencia del material. Datos del Labo.B. El valor de la constante a usar ahora es 3 κ = 949.995 ≡ 950 MPa, que resulta ser el mismo que se usó con los datos del Labo.A. Como los miembros derechos de (a) y (b) son los mismos, no hay información adicional. Ejemplo 7) calcular la tensión equivalente en fluencia plana. Resolución: Asumiendo válida la condición de Levy y Mises y suponiendo que en la dirección principal 2 el material no presenta deformación (ε2 = 0), usando la expresión (49) del apunte correspondiente a Plasticidad (σ2 = (σ1 + σ3) / 2) y reemplazando en la fórmula de la tensión equivalente, se concluye que:

( )

( ) ( ) ( )312/131

2/1

231

2

331

231

1

2314/14/1

2

2221

σσσσ

σσσσσσσ

σσ

−=++−

=

=

−+

−

++

+

−=equiv

En particular, si σ3 = 0, 123 σσ =equiv .

12

Identificación y diseño

Las aplicaciones que se mencionan a continuación son ejemplos sencillos (con fines exclusivamente didácticos) de uso de lo desarrollado aquí sobre plasticidad. Las aplicaciones reales requieren cálculos más precisos que necesitan de herramientas matemáticas mucho más sofisticadas y una cantidad de teoría que excede los alcances de este curso. Ejemplo 8) En el informe de laboratorio de Ensayos Industriales referido al ensayo de tracción uniaxial se pide identificar, entre otros materiales ensayados, un acero de bajo carbono, laminado en caliente. Los datos que se obtienen son: Pendiente de la curva tensión convencional (s) vs. deformación convencional (e): 5.56 GPa Tensión de fluencia (sY): 265 MPa Tensión máxima (sUTS): 349 Mpa Reducción de área a rotura (q): 0.29 (calculada en base a las medidas tomadas sobre la probeta). Resolución Algunos puntos relacionados con este ejemplo se verán con más detalle en el tema Ensayos de tracción y compresión uniaxiales. Consultando la Hojas de Características de Aceros para Construcciones Mecánicas IRAM-IAS se encuentran los siguientes valores para un acero IRAM1010 laminado en caliente: E = 210 GPa, sY = 210 - 280 MPa, sUTS = 330 - 430 MPa y q = 28 - 38%. Los datos en la región plástica indicarían que se trata de ese acero, pero la pendiente en la región elástica de la curva obtenida es mucho mas baja de lo esperado. El motivo de lo sucedido está relacionado con el comportamiento de la máquina de ensayo: Ninguna máquina es perfectamente rígida, la elongación elástica del ensamblado de la celda de carga, mordazas, cabezas del espécimen, etc., no es despreciable en régimen elástico y de hecho, puede ser mayor que la elongación de la longitud calibrada de la probeta. Las buenas máquinas de ensayo son perfectamente elásticas, de modo que toda deformación plástica proviene del espécimen. Para interpretar lo que sucedió puede pensarse -en una primera aproximación- al sistema {longitud calibrada de la probeta-máquina de ensayo y resto de la probeta} trabajando en régimen elástico, como dos resortes lineales en serie de constantes kp y km. La elongación total del sistema como consecuencia del desplazamiento dtotal de la mesa (que la celda de carga registra con una fuerza P) se puede escribir como: dtotal = dmaquina + dprobeta = P/km + P/kp

13

Si ambos términos del último miembro son comparables, lo que se mide no es el alargamiento de la probeta sino el de todo el sistema. Cuando eso sucede se dice que la máquina es “blanda”. Si, en cambio, P/km es mucho más pequeño que P/kp (equivalentemente km>>kp), el primer término puede despreciarse y el desplazamiento medido corresponde (casi) exclusivamente a la probeta.

En ese caso se dice que la máquina es “dura”. En caso de ensayar con una máquina blanda, la pendiente de la curva en el tramo elástico es menor que el módulo de Young E, pero sY y sUTS no son influenciados. Por tanto, se puede identificar al material por los datos de la zona plástica. Este comportamiento del sistema en régimen elástico no invalida los datos sobre el material obtenidos en régimen plástico No siempre se conoce el valor de km, pero para la probeta kp puede estimarse de la siguiente manera: dprobeta *kp = P => (dprobeta/L0)*kp = (P/A0)*(A0/L0) => e*kp = s*(A0/L0) => (s/E)*kp = s*(A0/L0) => kp = E*A0/L0 Nota: para hacer el cálculo anterior, A0 y L0 se conocen pues se miden, E debe estimarse aproximadamente au cuando el material no haya sido aún identificado. *.* Hasta aquí hemos considerado un material “sin defectos”. En un primer paso, pueden considerarse defectos (fisuras) con geometría definida (elipsoides). En ese caso, es posible hacer cálculos que permitan (en algunas situaciones sencillas) predecir si el material de un componente fallará - bajo condiciones preestablecidas- por fractura frágil o por colapso plástico. Algunos de los conceptos involucrados se explicarán en el tema Mecánica de fractura. Ejemplo 9) Un recipiente de paredes delgadas (rinterno/h = 30) soldado longitudinalmente contiene un fluido a una presión P. Producto de la soldadura se detectaron defectos de falta de fusión lateral de 1.0 mm, ubicados según se observa en la figura. Si el metal con el que fue construido el recipiente tiene un límite de fluencia σy = 260 MPa y una fractotenacidad KIC = 12.5 MPa.m1/2, calcular la presión a la que fallará y si lo hará por fractura frágil o por colapso plástico.

14

Resolución Se asume que puede aplicarse la Mecánica de Fractura Lineal Elástica. Para analizar fractura frágil se compara el valor de “K aplicado” con la fractotenacidad del material. La semilongitud de defecto es a = 0.5 mm. Como el defecto está orientado en la dirección radial, progresa en modo I con la tensión circunferencial. La tensión aplicada a considerar será la circunferencial: σθ = P.rinterno/h = 30.P. En el límite: Kaplicado = σaplicada (π.a)1/2 = 30.P (π.5.10-4)1/2 = 1.19.m1/2 . P = 12.5 MPa.m1/2 = KIC De donde la presión resulta: Pfragil = 10.50 MPa Para conocer la presión a la cual se iniciará la fluencia, se aplica el criterio de Von Mises:

σequiv = .

.23 int

hrP erno = (30 / 1.155) P = 260 MPa = σy

En este caso la presión es: Pplastic = 10.01 MPa. Como Pplastic < Pfragil , se concluye (con los datos de que se dispone) que fallará por colapso plástico a una presión de 10.01 MPa. Un cálculo más conservativo permite calcular P a partir de σθθ: P’plastic = σy . h/rint = (260/30) MPa = 8.66 MPa que es, por cierto menor que la que resulta de considerar la tensión equivalente. Trabajado mecánico de metales El trabajado mecánico de metales está relacionado con el comportamiento plástico de los mismos y por tanto con la curva de flujo. Estos procesos pueden agruparse en grandes categorías, según la siguiente clasificación

1) Procesos del tipo de compresión directa, 2) procesos de compresión indirecta, 3) procesos de tipo tracción, 4) procesos de flexión, 5) procesos de corte.

Esquemas correspondientes a algunos ejemplos de los procesos mencionados se muestran en la siguiente figura:

15

A fin de sistematizar los requerimientos teóricos, se hacen hipótesis simplificativas que permiten predecir razonable las tensiones y deformaciones que se generan (y también las velocidades de deformación) en cada punto de la región deformada de la pieza a ser trabajada plásticamente. Los sistemas de ecuaciones a plantear son los siguientes:

1) las ecuaciones de equilibrio estático bajo las solicitaciones asumidas, 2) las ecuaciones de Levy-Mises o Prandlt-Reuss, según corresponda para relacionar tensiones con deformaciones o tasa de deformaciones, 3) el criterio de fluencia que mejor se adapte a la situación de interés.

Esto da lugar a un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas (6 componentes de la tensión y 3 de la velocidad en cada punto) que puede o no tener solución dependiendo de las condiciones de contorno que imponga la geometría. Cuando es resoluble, su complejidad es tan grande que, generalmente se lo calcula en forma aproximada. Los métodos de análisis habituales son los siguientes:

1) Método de la placa (usa las hipótesis de deformación homogénea, ausencia de fricción y -cuando no puede ignorarse- se superpone su efecto). 2) Método de energía de deformación uniforme (asume deformación uniforme producida por las tensiones principales o las máximas tensiones de corte; cuando se debe incluir fricción, se supone que esta no afecta a la distribución de tensiones y que pueden superponerse sus efectos). 3) Método del campo de líneas de deslizamiento (se aplica cuando la deformación es plana y no homogénea; establece el campo de líneas máxima tensión de corte sobre las que se produce corte puro -responsable de la deformación plástica- asume que el estado general consiste en corte puro superpuesto a una presión hidrostática). 4) Método de los teoremas de límite o de cotas superior e inferior (permite hallar cotas superior e inferior para la carga a aplicar, el límite superior suele ser una sobreestimación y el inferior una subestimación de la carga, supone válidos principios como el del trabajo máximo y la constancia de volumen en deformación plástica, entre otros). 5) Método de los elementos finitos (se dará una breve introducción en la unidad de Modelado matemático y numérico).

Ejemplo 10) El endurecimiento por trabajado en un determinado metal recocido puede expresarse por la ley de Hollomon σequiv = 200000 εequiv

0.5 [en psi]. Una barra cilíndrica de 25 mm de diámetro es rebajada en dos pasos (mediante herramientas adecuada) primero hasta 20 mm y luego a 15 mm de diámetro. Determinar el trabajo plástico por unidad de volumen en cada reducción. Resolución El incremento de trabajo plástico por volumen unitario es: εσ ddU .= . Debido a la simetría del proceso en el plano transversal las deformaciones ε2 y ε3 son iguales y, por constancia de volumen, se verifica: ε1 + ε2 + ε3 = 0 => ε2 = ε3 = -ε1/2, donde ε1 es la deformación longitudinal.

16

1

2/121

1

211

21

1 222232 ε

εε

εεεεε =

−−+

−+

+=equiv

Por la hipótesis de constancia de volumen:

1

ln2)4/()4/(

lnlnln 02

1

20

1

0

0

11 D

DDD

AA

LL

eqiv =====ππ

εε

Por lo que para la primer reducción vale: 446.02025ln2 ==eqivε

y para la segunda : 575.01520ln2 ==eqivε

Integrando el incremento de energía, resulta, para la primera reducción:

3446.0

0

15.0

5.0446.0

0

446.0

0

/...3971415.0

).(200000

).(200000.

inlbin

dddUU

equiv

equivequivequivequivp

=+

=

====

+

∫ ∫ ∫ε

εεεσ

y para la segunda:

3021.1

446.0

15.0

5.0021.1

446.0

021.1

446.0

/...9784215.0

).(200000

).(200000.

inlbin

dddUU

equiv

equivequivequivequivp

=+

=

====

+

∫ ∫ ∫ε

εεεσ

Nota: el trabajo total por unidad de volumen en el proceso real de deformación será la suma del trabajo de deformación plástica Up, el trabajo debido a las fuerzas de rozamiento Uf y el trabajo redundante Ur involucrado en los procesos de corte interno debidos a la deformación no uniforme que no contribuyen al cambio en la forma del cuerpo. Ur dependerá de la geometría y de la fricción. Tensión de flujo plástico

En conformado plástico de metales, la presión de conformado que se ejerce (p) se describe como: (**) con σ0: resistencia al flujo o tensión de flujo del material para el estado tensional correspondiente (es función de la deformación, la temperatura, la tasa de deformación, etc). g(f): una expresión apropiada para la fricción en la interfase pieza-herramienta, h(c): función de la geometría (de la pieza y de la herramienta); no se tratará aquí pues depende de cada proceso en particular.

)()(0 chfgp σ=

17

Para aplicar la expresión anterior hacen falta valores confiables de la tensión de flujo σ0 en el estado de interés. Experimentalmente es sumamente complicado medir una curva de flujo bajo condiciones de trabajado de metales. Debe apelarse a múltiples ensayos en un amplio rango de condiciones para cubrir la mayor cantidad de posibilidades de comportamiento del material. Uno de ellos es el de compresión uniaxial de especimenes cilíndricos (que se verá con mayor detalle en el tema Ensayos de tracción y compresión uniaxiales). En ese caso si la fuerza aplicada es P (en la dirección z), la tensión verdadera (tensión de flujo) asumiendo que no hay rozamiento entre las placas de compresión y la probeta (de diámetro inicial D0 y altura inicial h0, diámetro instantáneo D y altura instantánea h) es, asumiendo constancia de volumen:

zhDhP

DPp σ

ππ===

020

2 ...4

.4

La deformación verdadera (compresiva) es: )/ln( 03 hh=ε . Además de los datos característicos del ensayo de tracción uniaxial, resultados de ensayos de compresión y de torsión bajo amplias condiciones son necesarios para los cálculos en trabajado de metales. Como aplicación se considerará un ensayo de compresión conocido como ensayo de Watts y Ford. Nota: no trataremos en esta introducción la incidencia de los múltiples factores que afectan los valores de estos ensayos (la temperatura, la tasa de deformación, la existencia de una presión de confinamiento, la estructura metalúrgica, etc). Un breve tratamiento puede verse en [1]. Ensayo de Watts y Ford Un ensayo de compresión adecuado para láminas u hojas metálicas es el ensayo de compresión a fluencia plana o ensayo de Watts y Ford. El esquema se muestra en la siguiente figura. El ensayo consiste en comprimir una banda angosta de la lámina entre dos placas de ancho b. Los “hombros” del material a cada lado de las placas, impiden que el material deforme en la dirección del ancho w.

Se requiere que w/b>5. Si el espesor original de la placa era t0 y después de la compresión es t, debe verificarse, además, 2/1/4/1 ≤≤ bt . Estas dos condiciones aseguran fluencia plana.

18

Las placas se cambian a fin de garantizar las condiciones anteriores. La lubricación es fundamental: si no hay buena lubricación se forma una“zona muerta” junto a las placas. Ejemplo 11) Calcular la tensión y deformación verdaderas y tensión y deformación equivalentes para el ensayo de Watts y Ford. Resolución En la dirección de compresión (1) se calculan (invirtiendo el signo en la figura, de forma que resulte positiva): La tensión verdadera es igual a la presión de conformado ideal (en ausencia de rozamiento): p=P/(wb) = σ1, y deformación verdadera es: ε =ln(t0/t) = ε1 Las direcciones indicadas en la figura son principales. Para calcular los otros restantes valores, se observa que, en la dirección (2) no hay deformación (ε2 = 0), por lo que está frente a un caso de fluencia plana. De la relación de volumen constante, resulta: 0 = ε1 + ε2 + ε2 = ε1 - ε3 => ε1 = -ε3 . En la dirección (3) el material puede fluir libremente, de modo que σ3 = 0. Esto, junto con la hipótesis de Levy-Mises, permite calcular σ2 = (σ1 + σ 3) / 2 = σ1/2 . Con esos valores resulta:

Tensión equivalente: 155.12

31

pequiv == σσ

Deformación equivalente: εεε 155.13

21 ==equiv

Rozamiento en fluencia plana

En la expresión planteada antes para la presión de conformado sólo hemos hablado sobre el primer factor (la resistencia al flujo o tensión de flujo):

El otro punto a considerar es la incidencia de la fricción en las interfases, descripta por la función g(f). En realidad, siempre existe rozamiento, en algunos casos es indeseable (y por tanto se trata de minimizar su efecto) y en otros se busca específicamente que exista rozamiento. Para disminuir los efectos del rozamiento se usan lubricantes, cuya función es:

*reducir la carga de deformación, *aumentar el límite de deformación antes de la fractura, *controlar el acabado de las superficies, *minimizar el deterioro y el desgaste de la herramienta, *aislar térmicamente la herramienta de la pieza, *refrigerar la pieza y/o la herramienta.

1

3 2

)()(0 chfgp σ=

19

En particular, en el ensayo de compresión entre placas, la carga suele aplicarse a incrementos de forma de controlar la lubricación durante el desarrollo. Típicamente se utilizan como lubricantes hojas de teflon para deformación en frío y vidrio para deformación en caliente. Analizaremos cual es el efecto del rozamiento entre una pieza prismática de sección rectangular y de espesor constante (bajo condiciones de fluencia plana) y las placas que la comprimen, asumiendo una sección rectangular y descripción en coordenadas cartesianas (ver figura siguiente). El flujo perpendicular a la dirección de compresión produce tensiones de corte (friccionales) en las superficies de contacto. Estas tensiones de corte superficiales están dirigidas hacia el centro de la pieza, oponiéndose al flujo del material, la presencia de fricción causa un desbalance de fuerzas sobre el elemento sombreado en la dirección x, el cual debe ser compensado por un cambio en la tensión lateral σx . Con la notación de la figura, si se asume que el espesor de la placa permanece constante (hipótesis de deformación plana) y que su valor es unitario (para simplificar el planteo, ya que luego desaparece en los cálculos), se tiene:

hdx

ddxhdh xyxxyxxx

τστσσσ

202)( −=⇒=−+−

El criterio de Von Mises para fluencia plana afirma que (ver ejemplo 7):

031 32 σσσσ ==− y

Notando que p y σx son tensiones principales (y asumiendo el sentido de los ejes de forma que resulten positivas), se verifica p = σz, por lo que la relación anterior se convierte en: px −==− σσσσ 031 Como σ0 (la constante en el criterio de fluencia) es independiente de x, derivando, resulta:

dx

ddxdp xσ

=

que da lugar a la siguiente ecuación diferencial en el equilibrio:

z(3)y(2)

x(1)

20

hdx

dp xyτ2−=

Para poder resolverla es necesario explicitar la ley de rozamiento. Si se asume fricción deslizante (τxy = µ.p) entonces:

dxhp

dp µ2−=

Integrando a ambos lados de la última igualdad se obtiene:

Ch

xp ln.2ln +−=µ

La constante de integración se evalúa a partir de las condiciones de contorno en la superficie libre x = a, donde la tensión lateral es σx = 0 y p = σ0 de donde resulta:

−=

−= )(2exp

32)(2exp0 xa

hxa

hp y

µοµο

La distribución de tensiones normales y longitudinales para compresión entre placas se muestra en la siguiente figura, la forma de la curva obtenida (que es simétrica respecto del eje de simetría de la sección plana considerada) recibe el nombre de colina de roce (friction hill):

Si se adopta el modelo de fricción seca (τxy= κ = σy / 3 ) donde no hay movimiento relativo entre la pieza o probeta y la herramienta o placa de compresión, la ecuación diferencial queda:

dxh

dp y 3/2ο−= =>

−

+=

−

+=h

xah

xap y)(1

32)(10 σο

Este modelo de fricción predice una respuesta lineal para la variación de la presión con la distancia al eje de simetría de la sección considerada.

21

Ejemplo 12) en la compresión entre placas de una probeta cilíndrica chata la fricción trata de evitarse mediante adecuada lubricación. Modelar la colina de roce para ese caso. Resolución En este caso es conveniente tomar coordenadas curvilíneas. No se trata de un caso de flujo plano ni de tensiones planas, por lo que no se desarrollará completo (ver deducción en [1]). Las hipótesis adicionales necesarias son que durante la compresión no se produce abarrilamiento de la probeta y que el espesor del cilindro es suficientemente pequeño como para que la tensión axial compresiva σz se mantenga constante a través del espesor El flujo del metal desde el eje del cilindro “hacia afuera” a medida que es comprimido conduce a tensiones de corte entre las superficies de contacto. Las tensiones de corte en la pieza se dirigen hacia el centro del disco oponiéndose al flujo radial. Estas tensiones de corte originadas en la fricción conducen a una tensión radial en el material que es cero en los bordes y se alcanza el máximo en el centro del disco. Considerando una sección circular y en ella una tajada como la que se muestra en la figura anterior, se plantea (con la notación de la figura) el equilibrio de fuerzas:

0...22

sin...2)()(.. =−−++− drdrddrhddrrhddrh rrr θτθσθοοθο θ

asumiendo que el ángulo θ es pequeño, puede linealizarse la ecuación y con hipótesis adicionales llegar a la siguiente ecuación diferencial (similar a la planteada en el caso anterior):

hdr

d r τσ 2−= .

La condición de fluencia permite escribir la ecuación anterior en términos de la presión aplicada. Eligiendo la ley de rozamiento deslizante e integrando, con adecuadas condiciones de contorno, se llega a la siguiente expresión para la presión de contacto:

−= )(2exp. ra

hp y

µσ

El gráfico de la colina de roce puede verse en la figura.

22

Ejemplo 13) Aplicar el concepto de colina de roce al proceso de forjado de una placa de espesor constante bajo condiciones de fluencia plana. En particular, calcular la distribución de presiones y la presión máxima en la dirección correspondiente a 4 in, necesarios para llevar un bloque de plomo (σy = 1000 psi, µ = 0.25) de [1 in x 1 in x 6 in] presionado entre placas, a un bloque de [0.25 in x 4 in x 6 in]. Resolución: El forjado es el proceso trabajado de metales por el cual se lleva una pieza de una geometría dada a la geometría deseada por martillado o compresión. El efecto de la fricción conteniendo al metal es útil para producir las formas deseadas con moldes simples. En los casos de geometrías (original y final) sencillas se pueden aplicar directamente las expresiones que se vieron antes para la presión de trabajado en función de la ley de rozamiento y la distancia a algún elemento de simetría de la pieza. Para el caso del ejemplo, se puede usar la aproximación de fluencia plana (pues una de las dimensiones de la pieza no cambia, la correspondiente a la dirección del lado que mide 6 in). La expresión para la presión de conformado -con el modelo de fricción deslizante- puede escribirse en función de la relación x/a:

−=

−=

ax

haxa

hp yy 1.2exp

32)(2exp

32 µοµο

poniendo así de manifiesto que, a medida que esta relación crece, la resistencia a la deformación compresiva decrece rápidamente. Este hecho es usado como una ventaja en los procesos de forja de molde cerrado , donde la resistencia a la deformación del flash (material que se descarga) se calcula para que la presión dentro del molde sea suficientemente alta como para llenar completamente la cavidad. En este caso de geometría simple, el plano central de la placa define una superficie neutra (donde el metal permanece estacionario, fluyendo lateral u horizontalmente hacia los lados). Habitualmente, las condiciones interfaciales son tales que se da una situación intermedia entre fricción deslizante y fricción seca (es deslizante cerca de los bordes de la placa,

ax ≅ , donde la presión es más baja y seca cerca de la superficie neutra). Para la situación del enunciado, considerando fricción deslizante, la presión máxima resulta:

psixah

p 63000)02(25.0

)25.0.(2exp3

1000.2)(2exp0 ≅

−=

−=

µο

23

La distribución de presión en la línea central puede verse en la siguiente tabla: Si se cambia el modelo de fricción de deslizante a seca (en cuyo caso no se usa el valor de µ) la presión máxima resulta mucho más baja:

psih

xap y 1040025.0

)02(110003

2)(13

2≅

−

+=

−

+= σ

Ejemplo 13) Aplicación de los conceptos vistos a laminación de chapas; en particular, resolver el siguiente problema: Se debe laminar en frío una chapa (σy=325MPa) de ancho w=762mm y espesor inicial h0=38.1mm hasta reducir el espesor en un 30%. El sistema de laminación de que se dispone consta de un juego de cilindros de diámetro D=961.4mm y separación ajustable y soporta un torque máximo T = 22 kN m.

Como parte del estudio de factibilidad se hace un ensayo de Watts y Ford sobre una muestra de la chapa hasta la reducción requerida, obteniéndose un valor de tensión de flujo plano (tensión equivalente) σ0 = 573MPa. Analizar si es factible realizar el proceso en un sólo paso, asumiendo, además, las siguientes hipótesis:

*la diferencia entre el espesor inicial y final es pequeña *no hay endurecimiento por deformación en la chapa *que no hay flexión ni deformación en los cilindros.

h0 h

24

Resolución El proceso de deformar plásticamente una pieza de metal haciéndola pasar entre rodillos se llama laminación. Para el caso planteado (un juego de cilindros para laminación en frío), se analizarán las fuerzas y la geometría del sistema. Con la notación de la siguiente figura, la hoja de espesor h0 entra en el plano XX (figura siguiente) con una velocidad v0. pasa entre los cilindros y sale a través del plano YY con el espesor reducido hf. En laminado de chapas, la hipótesis de cálculo es que no hay modificación en el ancho b de la chapa; esto es, que la compresión vertical (para reducir el espesor de h0 a hf) se traduce en una elongación en la dirección de laminación x. Por tanto se trata de un caso de fluencia plana. Por otra parte, por un punto dado pasan volúmenes iguales de metal en la unidad de tiempo, si v = dx/dt y -en esa posición- el espesor es h, entonces: b.h0.v0 = b.h.v = b.hf.vf esto significa que la velocidad vf en la salida debe ser mayor que la velocidad v0 a la entrada del tren de laminación. Como la velocidad crece desde el inicio hasta el final del contacto entre chapa y cilindros, debe haber un único punto en la sección en el que la velocidad del rodillo es igual a la velocidad de la chapa; está indicado en la figura con la letra N y se lo denomina punto neutro. En cada punto de contacto entre el cilindro y la chapa hay dos fuerzas actuantes: Pr= Pr(α) la fuerza radial de compresión y F=F(α) la fuerza tangencial de fricción. El sentido de la fuerza friccional es opuesta a ambos lados del punto neutro. La componente vertical P de Pr se llama carga de laminación y es la fuerza que los rodillos ejercen sobre el metal. Se define presión específica de laminado p como el cociente entre la carga de laminación y la proyección horizontal del área de contacto (expresión que se simplifica cuando fhh ≅0 ):

( ) ( ) ( )[ ] [ ] 2/12/10

2/120

0 .4

:,.

hRhhRhh

hhRLconLbPp f

ffp

p

∆=−≡

−−−==

25

La siguiente figura muestra un esquema de la colina de roce a lo largo del área de contacto. El máximo corresponde al punto neutro y puede observarse que la distribución de presión de laminado ya no presenta simetría.

Para que el proceso pueda efectuarse debe superarse una fricción crítica entre los cilindros y la chapa, de modo que sea posible el ingreso (y el tránsito) de esta. El coeficiente de fricción crítico µc surge de comparar las componentes horizontales de Pr y de F para el máximo valor del ángulo de contacto α. Para que la chapa pueda ingresar a la garganta del tren, la componente horizontal de la fuerza de fricción debe ser mayor o igual que la que la componente horizontal de la fuerza normal. La condición límite se expresa como:

ααααα tgsen

PFsenPF

rr ==⇒=

cos.cos.

si se adopta el modelo de fricción deslizante: αµµ tgPF r =⇒= . En este caso la fricción es necesaria. Como esta depende fuertemente del ángulo de contacto, cuando la geometría no provee la condición suficiente, se utilizan rodillos acanalados para aumentar el valor efectivo de µ. La geometría del tren también incide en la cantidad de reducción en el espesor: bajo las mismas condiciones de fricción, mayor diámetro de rodillos permitirá que una hoja más fina entre en la garganta, porque -aún cuando el ángulo de contacto es el mismo- la longitud de los arcos de contacto cambia de acuerdo con la siguiente relación:

( ){ }RhtgRh

hRhR

hRL

tg p .2/

.2/

2max µαµα =∆⇒≥⇒

∆≅

∆−∆

≅∆−

=

En un análisis simplificado la ecuación (**) se escribirá, asumiendo fluencia plana (porque, como se dijo, el ancho b puede considerarse constante) y despreciando el rozamiento, de esta forma:

yp hRb

PLbPp σσ

32

... 0 ==∆

==

26

Para incluir el rozamiento, conviene introducir la presión media de deformación pm, definida como

2/)(

...:,.1

321

0 hhL

QconQ

eQ

epp pQ

y

Q

m +=

−=

−=

µσ ,

donde µ es un valor conveniente (constante) para el coeficiente de fricción. En realidad, la fricción varía punto a punto en la superficie de contacto, de modo que la expresión anterior es una simplificación importante. Para el caso de estudio propuesto hay que calcular:

a) el torque necesario sin considerar fricción, b) el torque necesario considerando un coeficiente de fricción constante (µ = 0.3), c) coeficiente de fricción crítico asumiendo el modelo de fricción deslizante.

Los cálculos requeridos son los siguientes: a) el torque necesario, si se desprecia el efecto del rozamiento será: T = P.R = (p.w.Lp).R = 1.155.σequiv .w.(R 0.3 h0).R = = 17128069.658 N.mm = 17.128kN.m

b) La carga corregida por fricción es Pcorregida = P Q

eQ 1− .

Reemplazando los valores del enunciado en la expresión de Q, resulta Q = 0.68,

Luego Q

eQ 1− = 1.432 , de donde Tcorregida = T 1.432 = 24.53 kN m .

c) De F.cos αmax ≥ P sen αmax resulta:

156.02/3.0.

.3.02/)(. 0

0

0max =

−=

−−==

hRh

hhRL

tg pcritico αµ

Se observa que el torque necesario, considerando fricción es aproximadamente un 40% mayor que el calculado despreciando el rozamiento y que el coeficiente de fricción usado en la parte b) (que seguramente resulta de consideraciones empíricas) es aceptable ya que supera al coeficiente de fricción crítico calculado en c). Bibliografía [1] Dieter, G., Mechanical Metallurgy, Mc Graw Hill, 1986 [2] De Vedia, L., Mecánica de Fractura, Monografía Tecnológica No.1, Ed. Del Programa Regional Científico de la OEA, Buenos Aires, 1986. [3] Ashby, M., Johnes, D., Engineering Materials, Pergamon Press, 1993. [4] Ashby, M., Johnes, D., Engineering Materials 2, 2nd Edition, Butterworth Heinmann, 2001. [5] Malvern, L., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice Hall, 1969. [6] X. Oliver Olivella& C. Agelet de Saracibar Bosch, Mecánica del continuo para ingenieros, Alfaomega, ediciones UPC, 2002

27

[7] Iurman, L., Trabajado mecánico de los metales, Instituto Latinoamericano del Fierro y del Acero, 1986. [8] Gonzalez Arias, A., Gonzalez Arias, C., Battagliese, A., Laboratorio de Ensayos Industriales - Metales, Ed. Litenia, 1999. [9] Zolotorevski, V., Pruebas mecánicas y propiedades de los metales, Ed. MIR, 1976.