notas fisica mecanica, diego restrepo

Indice general

1. Introduccion 1

2. Preliminares 32.1. Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Medidas y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Notacion cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1. Aproximacion geometrica a vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4.2. Aproximacion algrebraica a vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.3. Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.4. Operaciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.5. Cambio en una cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Interacciones y movimiento 153.1. Diagramas mostrando cambios de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. Movimiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1. Rapidez promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2. Rapidez instantanea comparada a rapidez promedio . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Movimiento en varias dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.1. Vector de Posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2. Determinando la velocidad promedio desde un cambio en la posicion . . . . . . 213.3.3. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.4. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.5. Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Dinamica 314.1. Sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

i

ii INDICE GENERAL

4.1.1. Transformaciones de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. Principios de la Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3. Principio de Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1. Sistema y entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2. Segunda Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.3. Caso especial: masa constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.4. Caso especial: Fuerza y masa constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.5. Ecuacion de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.6. Conservacion de momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.7. Ejemplos movimiento parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.8. Movimiento parabolico completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.9. Tercera Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4. Aplicaciones de las leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5. Ingredientes de problemas de dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5.1. El peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5.2. Fuerza normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.3. Cuerdas ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.4. Poleas ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.5. Aplicaciones en entornos sin friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6. Friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6.1. Friccion dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6.2. Friccion estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Momentum 715.1. Dinamica de un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3. Conservacion del momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4.1. Cohete en el espacio libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5.1. Transporte de momomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6. Trabajo y Energa 876.1. Integral de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2. Ecuacion de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3. Teorema de Trabajo-Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4. Calculo del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

INDICE GENERAL iii

6.4.1. Fuerza gravitacional constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4.2. Trabajo realizado por la fuerza de friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.5. Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.6. Conservacion de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.7. Ejemplos de energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.7.1. Energa potencial de un campo de fuerza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 986.8. Fuerzas no conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.8.1. Energa potencial de un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.9. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.10. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.11. Colisiones elasticas e inelasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.12. Colisiones y coordenadas de centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.13. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7. Cinematica 1217.0.1. Caida libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.1. Movimiento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.1. Movimiento generalizado en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8. Movimiento del cuerpo rgido 1258.1. Movimiento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.1.1. Movimiento generalizado en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.2. Momentum angular y torque para una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.3. Momentum angular para un cuerpo rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.4. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.4.1. Conservacion del momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.5. Energa cinetica rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.6. Teorema de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.8. Calculo de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.8.1. Varilla uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.8.2. Disco uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.8.3. Cilindro uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.8.4. Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.9. Movimiento de rodadura sin deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.10. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.11. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.11.1. Estabilidad del movimiento rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

iv INDICE GENERAL


9. Fuerzas centrales 1579.1. Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.2. Propiedades generales del movimiento bajo fuerzas centrales . . . . . . . . . . . . . . 160

9.2.1. El movimiento esta confinado a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.2.2. Cantidades conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.2.3. Encontrando el movimiento en problemas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2.4. Ley de areas iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.2.5. Diagramas de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9.3. Ecuacion de las trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.3.1. 0 1: Orbitas elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.3.2. > 1: Orbitas hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.4. Gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4.1. Potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.5. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829.6. Campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.7. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.8. Fuerzas ficticias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.8.1. Mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.8.2. Principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


10.Oscilador harmonico 20310.1. Oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.1.1. Energa del oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20410.2. Oscilador forzado y amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.2.1. Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20810.2.2. Oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.2.3. Oscilador forzado y amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

11.Relatividad Especial 22111.1. Principio de relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

11.2.1. Propiedades de F (vx , V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.3. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11.3.1. > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22411.3.2. Ley de adicion de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

INDICE GENERAL v

11.3.3. Simultaneidad y orden de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.3.4. Contraccion de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.3.5. Dilatacion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.4. Momento energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22911.5. Notacion relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Captulo 1

Introduccion

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Captulo 2

Preliminares

2.1. Cifras significativas

Toda medida fsica tiene asociada un error experimental. Si la medida se repite multiples vecestipicamente los resultados siguen una distribucion gaussiana en la que el eje x representa el valormedido y el eje el numero de medidas, como la que se muestra en la figura ??. El valor centralrepresenta el valor numerico que se repite mas veces. En el caso de una distribucion gaussiana, ladistancia entre dos puntos de la curva a la mitad de la altura de se conoce como el intervalo a 1y representa un intervalo en que es obtenida la medida el 68 % de las veces. El intervalo a 3 esobtenido el 99.7 %, mientras que la medidad cae en el intervalo a 5 el 99.9999 % de las veces. Laconvencion es escribir la medida con el error a 1 en la forma

cantidad fsica =medida 1=medida(1) .

As por ejemplo la medida de alguna distancia d puede escribirse como

d =(1.23 0.01)m=1.23 0.01m.

Las cifras significativas de una cantidad fsica son todos aquellos dgitos que contribuyen a la precisiondel numero. Por consiguiente el numero de cifras significativas esta determinado por todos los dgitoscontados a partir del error a 1. En el ejemplo anterior, el numero directamente afectado por elerror es el segundo decimal correspondiente al dgito 3 y por consiguiente la cantidad fsica tiene3 cifras significativas. Al hacer operaciones con cantidades fsica existen metodos para propagar los

3

4 CAPITULO 2. PRELIMINARES

errores hasta el resultado final. Una regla simple, cuando se tienen las cantidades fsicas con suscifras significativas pero sin especificar su error, es escribir el resultado final con un numero de cifrassignificativas igual al de la cantidad con mayor numero de cifras significativas de las involucradas enla operacion. Por ejemplo, al calcular el volumen de un cubo con los lados especificados a tres cifrassignificativas como A = 3.66m B = 8.45m y C = 2.11m,

V = ABC = 65.3m3 ,

tambien con tres cifras significativas.

2.2. Medidas y unidades

Las cantidades basicas en mecanica son longitud [L], masa [M] y tiempo [T], en donde se hausado una letra entre corchete para denotar el smbolo dimensional de la cantidad fsica. En elSistema Internacional (SI) de unidades estan cantidades se miden en metros (m), kilogramos (kg) ysegundos (s).

Un segundo es la duracion de 9 192 631 770 oscilaciones de la radiacion emitida en la transicionentre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isotopo 133 del atomo de cesio(133Cs), a una temperatura de 0 K [?]

Un metro es la distancia que recorre la luz en el vaco durante un intervalo de 1/299 792 458de segundo [?]

Un kilogramo es la masa que tiene el prototipo internacional, compuesto de una aleacion deplatino e iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) enSe`vres, cerca de Pars (Francia) [?]. Es la unica unidad del SI que todava se define por unobjeto patron y no por una caracterstica fsica fundamental.

Es esencial usar unidades SI en ecuaciones fsicas; por lo que usualmente se requiere que setransformen cantidades en otras unidades al sistema de unidades SI. Una forma conveniente esmultiplicar por factores iguales a 1, como:

1 =km

1000m

1 =3600s

hour(2.1)

Por ejemplo

60km

hour

1000m

km

hour

3600s= 16.7m/s . (2.2)

2.3. NOTACION CIENTIFICA 5

Factor Nombre Smbolo Factor Nombre Smbolo1024 yotta Y 1024 yocto y1021 zetta Z 1021 zepto z1018 exa E 1018 atto a1015 peta P 1015 femto f1012 tera T 1012 pico p109 giga G 109 nano n106 mega M 106 micro 103 kilo k 103 mili m102 hecto h 102 centi c101 deka da 101 deci d

Tabla 2.1: Prefijos SI

2.3. Notacion cientfica

En los fenomenos de la naturaleza hay involucradas escalas que varan por muchos ordenes demagnitud1, por lo cual es conveniente usar la notacion cientfica y las abreviaturas correspondientesa las diferentes escalas de 10 tanto en potencias positivas como negativas como las mostradas en latabla ??

Los 20 prefijos usados para formar los multiplos y submutiples de SI estan dados en la Tabla 2.1

2.4. Vectores

Las cantidades completamente especificadas por su magnitud se llaman escalares. Ejemplos deescalares son la masa, temperatura, rapidez, etc.

Hemos visto que tanto la posicion, como la velocidad y la aceleracion, no solo tienen asociadas unamagnitud, sino tambien una direccion. Un ejemplo de vector corresponde al asociado a la aceleraciongravitacional el cual tiene una magnitud de 9.8 m/s2.

2.4.1. Aproximacion geometrica a vectores

Ejemplos de vectores: magnitud y direccion

Desplazamiento [L]

Velocidad [L/T]

1Ver por ejemplo http://htwins.net/scale2/


Aceleracion [L/T2]

Fuerza [M L/T2]

Momentum [M L/T]

Momentum angular [M L2/T]

Torque [M L2/T2]

Una caracterstica muy importante de los vectores es que sus propiedades de magnitud y direccionson independientes del sistema de coordenadas elegido. En terminos vectoriales, dos desplazamientoshacia el norte de 3 metros son completamente equivalentes.

Ejemplos de escalares: magnitud pero no direccion

Longitud [L]

Tiempo [T]

Masa [M]

Area [L2]

Volumen [L3]

Densidad [M/L3]

Energa [M L2/T2]

Temperatura [T ]

A =B si |A| = |B||A| |B| .

Ademas

A |A| . (2.3)

Suma de vectores ver vectores.pdf Suma solo tiene sentido para el mismo para el mismo tipode vectores

2.4. VECTORES 7

y

x

A

Figura 2.1: Vector A

2.4.2. Aproximacion algrebraica a vectores

Un vector en el plano x y, con vectores unitarios i en la direccion x, j en la direccion j, yformando un angulo con el eje x se puede visualizar como la suma de dos vectores:

A =Ax + Ay

=Axi + Ay j

=(Ax, Ay)

=(A1, A2). (2.4)

En terminos de componentes

Ai = Ai . (2.5)

El vector A esta represantado en la figura 2.1La magnitud al cuadrado del vector se obtiene del teorema de Pitagoras

A A |A|2 = A2 =A2x + A2y=i=1

A2i . (2.6)

Definiendo el delta de Kronecker como

ij =

{1 si i = j

0 si i 6= j (2.7)


podemos escribir la magnitud al cuadrado del vector A de una forma que se puede generalizarfacilmente a n-dimensiones. Para n = 3 por ejemplo:

A2 = A A =3

i,j=1

AiAjij

=3i=1

(AiA1i1 + AiA2i2 + AiA1i3)

=A1A111 + A2A222 + A3A333

=A21 + A22 + A

23

=3i=1

A2i . (2.8)

Teniendo en cuenta el angulo definido en la figura 2.1 en la ec.(2.6), tenemos que

Ax =|A| cos = A cos Ay =|A| sin = A sin , (2.9)

De modo que

tan =AyAx

, (2.10)

y

= tan1AyAx

(2.11)

2.4.3. Vectores y escalares

Una cantidad que es representada por un solo numero es llamada un escalar [7]. Una cantidadescalar no tiene direccion, Ejemplos incluyen la masa de un objeto, tal como uno de 5 Kg. o unatempetatura tal como 20 C. Vectores y escalares son entidades muy diferentes; un vector nuncapuede ser igual a un escalar, y un escalar no se pude sumar a un vector. Los escalares pueden serpositivos o negativos:

m =50 Kg

T = 20 C

2.4. VECTORES 9

y

x

A=(2.5,2.1)

B=(2.2,-0.8)

A+B=(4.7,1.3)

Figura 2.2: Suma algebraica de vectores

Aunque una componente de un vector tal como Ax no es un vector, tampoco es un escalar, apesar de ser solo un numero. Una propiedad muy importante de un escalar es que este no cambia sicambiamos el sistema de referencia, mientras que la componente de un vector si puede cambiar, porejemplo si orientamos los ejes de coordenadas x, y, z de una forma diferente.

2.4.4. Operaciones vectoriales

Para sumar dos vectores algebracamente, se desplazan los origenes de los dos vectores a unorigen de coordenadas que coincida con el plano formado por los dos vectores, como se muestra enla figura 2.2. Entonces es facil ver que

C = A + B =(Ax +Bx)i + (Ay +By )j

=(Ax +Bx, Ay +By)

=(A1 +B1, A1 +B1). (2.12)

En terminos de componentes:

(A + B)i = Ai +Bi . (2.13)

Procedemos ahora a definir el producto escalar entre dos vectores cuyo resultado es un escalarcomo:

A B AxBx + AyBy

=2

i,j=1

AiBjij

=2i

AiBi , (2.14)


W

Figura 2.3: Peso

W

=/2-

W

=/2-

Figura 2.4: Peso

2.4. VECTORES 11

y

x

A

+

B

Figura 2.5: Producto escalar entre dos vectores

El producto escalar puede escribirse en terminos de la magnitud de los vectores y el anguloentre ellos. Para ello definimos como el angulo entre los vectores A y B. Escojemos el sistema decoordenadas en el plano formado por los dos vectores tales que + sea el angulo de A con x y el angulo de B, como se mueste en la figura 2.5.

Entonces, de la definicion tenemos:

A B =AxBx + AyBy=A cos( + )B cos + A sin( + )B sin

=AB[(cos cos sin sin ) cos + (sin cos + cos sin ) sin]=AB(cos2 + sin2 ) cos

=AB cos

=|A||B| cos , (2.15)De este modo, el angulo entre dos vectores, , se puede obtener como

cos =A B|A||B| . (2.16)

El producto vectorial C = AB, se define algebracamente como:Ck = (AB)k =

ij

ijkAiBj , (2.17)

donde el smbolo de Levi-Civita se define con respecto a las permutaciones con referencia al orden123 como

ijk

0 si hay ndices iguales

1 permutacion par

1 permutacion impar. (2.18)


Entonces

Cx = C1 = (AB)1 =3i=1

(i11AiB1 + i21AiB2 + i31AiB3)

=121A1B2 +221A2B2 + 321A3B2 +131A1B3

+ 231A2B3 +331A3B3 . (2.19)

Teniendo en cuenta que 321 231 213 123 (3 permutaciones) y 231 213 123 (2permutaciones), entonces

321 = 1 231 = +1 , (2.20)de modo que

Cx = C1 =A2B3 A3B2 . (2.21)Similarmente para Cy y Cz, tenemos

C = (AyBz AzBy) i (AxBz AzBx) j + (AxBy AyBx) k= (A2B3 A3B2, A3B1 A1B3, A1B2 A2B1) . (2.22)

Definimos

C =

i j kAx Ay AzBx By Bz

(AyBz AzBy) i (AxBz AzBx) j + (AxBy AyBx) k . (2.23)El resultado (2.22) se puede obtener tambien con la regla para calcular el determinante definido enla ec. (2.23), como se muestra en la figura 2.6.

Para mostrar como el producto vectorial se reduce la definicion geometrica en terminos de lasmagnitudes y el angulo entre los dos vectores, considere el plano definido por los vectores A y B queforman un angulo entre ellos. Escojamos el eje x a lo largo del vector A, como se muestra en la enla figura 2.7.

Entonces:

Ay = Az = Bz = 0 A = Ax y By = B sin . (2.24)

Por consiguiente

C = AB =AxByk=AB sin k , (2.25)

2.4. VECTORES 13

Figura 2.6: Regla para el determinante: Para cada par de lneas, el cruze de las lneas definen el vectorunitario, que va acompanado por el producto de las cantidades bajo la lnea de izquierda a derechamenos el producto de la cantidades de derecha a izquierda. El signo menos aparece naturalmentepara el producto asociado a j.

y

xA

B

Figura 2.7: Producto escalar entre dos vectores


r

R x

f

C

P

S

Figura 2.8: Ejemplo productor vectorial

y entonces

|C| = |A||B| sin . (2.26)

Ejemplo: Sea r la distacia desde algun punto sobre la vertical de un crculo de radio R hasta su puntomas inferior: P , como se ilustra en la figura 2.8. Calcule el producto escalar entre r y f cuandoel punto sobre (a) la vertical esta en en el centro del crculo (C), (b) cuando esta en el puntoinferior P y (c) cuando esta en el punto superior. Indique claramente la direccion del vectorresultante. Si f es una fuerza ndique ademas el sentido del giro del crculo con un eje pasandopor su centro.

Solucion: Para el eje z saliendo de la pagina (a) r f = Rf k, direccion horaria de giro (b)r f = 0 f = 0 y (c) r f = 2Rf k, direccion horaria de giro.

2.4.5. Cambio en una cantidad

Frecuentemente queremos calcular el cambio en una cantidad. Por ejemplo, podramos desearconocer el cambio en la posicion de un objeto en movimiento, o el cambio en la velocidad duranteun intervalo de tiempo. La letra (delta mayuscula que sugiere una d de diferencia) se usa paradenotar el cambio en una cantidad ya sea escalar o vectorial.

Captulo 3

Interacciones y movimiento

3.1. Diagramas mostrando cambios de velocidad

Esta parte de la notas esta basada en el libro Matter & Interactions [7]En diagramas fsicos la velocidad de un objeto es representada por un vector: una lnea con una

flecha. La cola de la flecha se coloca donde el objeto esta localizado, y la punta de la flecha en ladireccion del movimiento del objeto. La longitud de la flecha es proporcional a la rapidez del objeto.De este modo la velocidad se describe como un vector. A la magnitud de la velocidad se le llamarapidez.

3.1.1. Movimiento uniforme

Suponga que observa una roca moviendose en el espacio exterior bastante alejada de cualquierobjeto. No sabemos que la hizo mover la primera vez; presumiblemente hace mucho tiempo unainteraccion le dio alguna velocidad y esta ha estado moviendose desde entonces en el espacio vaco.

Es un hecho observacional que tal objeto aislado se mueve con una rapidez constante (que nocambia), en una lnea recta. Su velocidad no cambia (ni su direccion ni su rapidez cambia). A talmovimiento con velocidad constante le llamaremos movimiento uniforme y es ilustrado en la figura 3.1

Si observamos un electron cambiando la direccion de su velocidad, podemos atribuirlo al efectode repulsion de un electron cercano como se muestra en la figura 3.2 (a). Mientras que si el electronse esta acelerando en lnea recta, cambiando la magnitud de su velocidad pero manteniendo ladireccion, lo podemos atribuir a otro electron a lo largo de su lnea de movimiento como se muestraen la figura 3.2 (b)

Podemos establecer entonces,

Primera Ley de Newton: Un objeto se mueve en lnea recta y a una rapidez constante excepto en la

15

16 CAPITULO 3. INTERACCIONES Y MOVIMIENTO

v

Figura 3.1: Movimiento uniforme: sin cambio en la rapidez o la direccion.

e- e-e-

e-

(a) (b)

Figura 3.2: Cambio en direccion

3.1. DIAGRAMAS MOSTRANDO CAMBIOS DE VELOCIDAD 17

medida que interaccione con otros objetos

Antes de la Primera Ley de Newton, se pensaba que se requera un empuje constante paramantener algo en movimiento. Con La Primera Ley de Newton, o Ley de Inercia, No se necesitaninteracciones para que algo se mueva! (o, como veremos luego, rote)

Para mantener una silla moviendose a velocidad constante hay que estar empujandola todo eltiempo. La primera Ley de Newton implicara que la silla se debe mover a velocidad constante sinque nadie la este empujando? El empuje constante debera cambiar la direccion o la rapidez delmovimiento? esta situacion de la vida diaria viola la primera ley de Newton?

El factor que complica la situacion es que sus manos no son lo unico que interacciona con la silla.El piso tambien interacciona con la silla en una forma que llamamos friccion. Si se empuja la silla losuficiente como para compensar exactamente la friccion, la suma total de las interacciones es cero,y la silla se mueve a velocidad constante como lo predice la primera ley de Newton. Si el empuje esmas fuerte que la fuerza que hace el piso, entonces la rapidez de la silla se debe incrementar.

Es muy difcil observar movimiento sin friccion en la vida diaria, debido a que los objetos inter-accionan con otros objetos incluyendo el aire, superficies, etc. Esto explica porque le tomo a la gentetanto tiempo entender claramente la relacion entre interaccion y cambio (Newton nacion en 1542).

Ejemplos de baja friccion

Un disco de hockey deslizandose sobre el hielo.

Un tren sobre los rieles de acero.

Un tren de levitacion magnetica a bajas velocidades.

Un tren de levitacion magnetica moviendose a lo largo de un tubo de vaco.

Un objeto en el espacio exterior lejos de cualquier otro objeto.

Ejemplo 3.1.1. De acuerdo a la primer ley de Newton, cuales de las siguientes frases sobre elmovimiento de una nave despues de apagada son correctas?

1. La nave se movera en lnea recta

2. La nave viajara en una trayectoria curva

3. La nave entrara en una orbita circular

4. La velocidad de la nave no cambiara

5. La nave se detendra gradualmente


6. La nave parara de inmediato

Las frases correctas son 1. y 4.Incluso en presencias de friccion el reposo es algo relativo al observador. Un borrador en reposo

sobre una mesa esta en reposo relativo para los observadores en el salon, pero no para un observadoren la luna, el sol, el centro de la galaxia, etc.

La humanidad tardo aun mucho mas tiempo en determinar cuales de las fuerzas en la naturalezaeran fundamentales y cuales eran resultaban por el efecto combinando de interacciones fundamentales.

Hoy sabemos que en la naturaleza existen cuatro interacciones fundamentales

Interaccion gravitacional.

Interaccion electromagnetica.

Interaccion debil.

Interaccion fuerte.

Las demas fuerzas como la fuerza nuclear, la fuerzas de Van der Waals, la friccion, la viscosidad,etc., son remanentes de la interacciones fundamentales.

3.2. Velocidad

3.2.1. Rapidez promedio

La rapidez es la magnitud del vector velocidad, v, y por consiguiente es una cantidad escalar:

v = |v| = dt, (3.1)

donde v es la rapidez promedio, d es la distancia recorrida durante un tiempo t. En SI (Syste`meInternationale) de unidades, la rapidez promedio se mide en metros por segundo, y se abrevia conm/s.

De (3.1)

d =vt

t =d

v. (3.2)

3.2. VELOCIDAD 19

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

t [h]0

20

40

60

80

100

120

d[K

m]

v1 = v1 =70 Km

1 h = 70 Km/h

(1,70)

(2,100)

Figura 3.3: Grafico de distancia versus tiempo

Es importante notar que las ecuaciones (3.2) son dimensionalmente correctas, por ejemplo

[d] = [v] [t]

L =L

T T

L =L . (3.3)

3.2.2. Rapidez instantanea comparada a rapidez promedio

Si un carro se mueve a 70 Km/h (kilometros por hora) durante la primera hora y a 30km/hdurante la segunda hora, este recorre en total 100km en 2 horas, con una rapidez promedio

v =100km

2h= 50km/h . (3.4)

Note que durante el intervalo de dos horas el carro nunca estuvo viajando realmente a su rapidezpromedio de 50km/h.

El movimiento es ilustrado en un grafico de distancia contra tiempo en la figura 3.3 (detalles enla presentacion aqu)

La rapidez instantanea es la rapidez del carro en un instante particular. Para encontrarla debemosobservar una distancia corta en la que el carro se mueva en un intervalo de tiempo muy corto, digamos


que una centesima de segundo. Si durante algun momento de la segunda hora el carro se mueve 0.0833metros en 0.01 segundos, su rapidez instantanea es:

v = 0.0833/0.01 = 8.33m/s , (3.5)

que en km/h corresponde a

v = 8.33m

s

3600 s

1h

1km

1000m= 30km/h . (3.6)

que corresponde a la pendiente de la lnea recta en el segundo trayecto en la figura 3.3. De hecho,a rapidez constante, la rapidez promedio coincide con la rapidez instantanea. En general, para unmovimiento en una dimension, la rapidez instantanea coincide con la pendiente de la curva en elgrafico distancia con respecto al tiempo.

3.3. Movimiento en varias dimensiones

3.3.1. Vector de Posicion

Nuestra segunda aplicacion de vectores sera la descripcion de la posicion y movimiento de unpunto en el espacio en tres dimensiones.

La posicion de un punto en el espacio: (x1, y1, z1) no representa un vector. Sin embargo, si movemosel punto a alguna nueva posicion, (x2, y2, z2), entonces el desplazamiento define un vector

r = r2 r1 (3.7)r significa cambio de r o r2 r1 (desplazamiento)

t significa cambio de t or t2 t1 (intervalo de tiempo)El smbolo (delta) siempre significa final menos inicial

r = (x2 x1, y2 y1, z2 z1) . (3.8)r es un vector verdadero, aunque los valores de la coordenadas inicial y final dependen del sistemade coordenadas, r no depende del sistema de coordenadas.

r tiene las dimensiones fsicas de longitud.El vector de desplazamiento apunta desde la posicion inicial hacia la posicion final (final menos

inicial).Aunque los vectores definen desplazamientos en lugar de posiciones, es posible describir la posicion

de un punto con respecto al origen de un sistema de coordenadas dado por un vector especial, conocido

3.3. MOVIMIENTO EN VARIAS DIMENSIONES 21

x

y

z

x'

y'

z'

R

Figura 3.4: Vector de desplazamiento. (Sec 1.6 [3])

como el vector de posicion, que se extiende desde el origen hasta el punto de interes. Usaremos elsmbolo r para denotar el vector de posicion. La posicion de un punto arbitrario P se escribe como

r = (x, y, z) = xi + yj + zk . (3.9)

A diferencia de los vectores ordinarios, r depende del sistema de coordenadas. Si R es el vectordesde el origen de un sistema de coordenadas no primado al origen de un sistema de coordenadasprimado, tenemos

r = rR . (3.10)

Un verdadero vector es independiente del sistema de coordenadas. Como se muestra en la figura 3.4,

r =r2 r1=r2 + R r1 + R=r2 r1 . (3.11)

3.3.2. Determinando la velocidad promedio desde un cambio en la po-sicion

La posicion instantanea de una partcula a un tiempo ti es

r(t1) = (x(t1), y(t1), z(t1)) o r1 = (x1, y1, z1) , (3.12)


Figura 3.5: Desplazamieto entre t1 y t2 (Sec 1.6 [3])

donde x1 es el valor de x en t = t1, y as sucesivamente. Al tiempo t2 la posicion es

r2 = (x2, y2, z2) . (3.13)

El desplazamiento de la partcula entre los tiempos t1 y t2 es

r2 r1 = (x2 x1, y2 y1, z2 z1) . (3.14)

El desplazamiento de una partcula entre los tiempos t y un tiempo posterior t+ t es

r = r(t+ t) r(t) . (3.15)

Ejemplo : En dos dimensiones, esta ecuacion es equivalente a

x =x(t+ t) x(t)y =y(t+ t) y(t) . (3.16)

como se muestra en la figura 3.5

Ejemplo: Considere una abeja volando. En un tiempo inicial el vector de posicion de la abeja es

ri = (2, 4, 0)m, ti = 0 , (3.17)

0.1s despues, la posicion es

rf = (3, 3.5, 0)m, tf = 0.1s . (3.18)

Realice un diagrama de la situacion y encuentre

1. la velocidad promedio


A

B

C D

E

F

Figura 3.6: Movimiento de una bola

2. La rapidez promedio

3. La direccion de la velocidad promedio

1.

vprom = (10,5, 0)m/s .

2.

vprom = 11.18m/s .

3.

vprom =vpromvprom

= (0.804,0.447, 0)

3.3.3. Velocidad instantanea

Considere la curva en la figura 3.6. Los puntos de color rojo marcan la posicion de una bola aintervalos de tiempo de un segundo. Mientras que la bola esta en el aire, su velocidad esta constan-temente cambiando, debido a las interacciones con la tierra (gravedad) y con el aire (resistencia delaire).

Suponga que hacemos la pregunta: cual es el valor de la velocidad en el instante preciso quealcanza el punto B?. Esta cantidad debera llamarse la velocidad instantanea. Podemos aproximar


loc. t (s) Posicion (m)A 0.0 0, 0, 0B 1.0 (22.3, 26, 1, 0)C 2.0 (40.1, 38.1, 0)D 3.0 (55.5, 39.2, 0)E 4.0 (69.1, 31.0, 0)F 5.0 (80.8, 14.8, 0)

Tabla 3.1: Tabla mostrando el tiempo transcurrido y la posicion de la bola en cada posicion de lafigura 3.6

la velocidad instantanea de la bola, encontrando su velocidad promedio sobre un intervalo de tiempomas grande.

La Tabla muestra el vector de posicion de la bola a diferentes tiempos en los puntos ilustradosen la figura 3.6.

vEB =rEB

t=

rE rBtE tB =

[(69.1, 31.0, 0) (22.3, 26, 1, 0)] m(4.0 1.0) s

=(15.6, 1.6, 0)m

s

vDB =rDB

t=

rD rBtD tB =

[(55.5, 39.2, 0) (22.3, 26, 1, 0)] m(3.0 1.0) s

=(16.6, 6.55, 0)m

s

vCB =rCB

t=

rC rBtC tB =

[(40.1, 38.1, 0) (22.3, 26, 1, 0)] m(2.0 1.0) s

=(17.8, 12.0, 0)m

s, (3.19)

vEB =15.7m

s

vDB =17.8m

s

vCB =21.5m

s, (3.20)

cual aproxima mejor la velocidad instantanea (figura 3.7)?


A

B

C D

E

F

Figura 3.7: Moviemto de una bola

La velocidad v de la partcula a medida que esta se mueve a lo largo de una trayectoria se definecomo

v = lmt0

r

t

=dr

dt, (3.21)

que es equivalente a las ecuaciones escalares

vx = lmt0

x

t=dx

dt

vy = lmt0

y

t=dy

dt

vz = lmt0

z

t=dz

dt. (3.22)

La notacion vectorial permite describir el movimiento en tres dimensiones con una sola ecuacion,una economa muy grande comparada con las tres ecuaciones que tocara escribir si se tuviese quehacer de otro modo.

Alternativamente, ya que r = xi + yj + zk, obtenemos por simple diferenciacion que (los vec-tores unitarios pueden cambiar bajo diferenciacion en otros sistemas de coordenadas diferentes al


cartesiano)

dr

dt=dx

dti +

dy

dtj +

dz

dtk

=

(dx

dt,dy

dt,dz

dt

)=(vx, vy, vz) (3.23)

En el lmite t 0, r se convierte en la tangente a la trayectoria, como se ndica en la figura 3.7.Sin embargo, la relacion

r drdt

t

r =vt, (3.24)

que llega a ser exacta en el lmite t 0, muestra que v es paralelo a r; la velocidad instantaneav de una partcula es en todas partes tangente a la trayectoria.

La ec. (3.24) puede reescribirse en la forma

r2 r1 = vprom(t2 t1) ,

de modo que el vector de desplazamiento es el promedio del vector de velocidad en el intervalo detiempo.

Si conocemos la velocidad, tenemos una relacion para actualizar la posicion a partir de unaposicion inicial r1

r2 =r1 + vprom(t2 t1)=r1 + vpromt .

Si se conoce la posicion inicial, la velocidad promedio y el intervalo temporal, entonces podemospredecir la siguiente posicion del movimiento.

Esta aproximacion puede llegar a funcionar muy bien para intervalos de tiempo pequenos puesen tal caso la velocidad promedio es muy similar a la velocidad instantanea. De este forma, parasimular el movimiento de un cuerpo por complicado que sea, es suficiente ir actualizando su posiciona traves de la velocidad promedio, si podemos garantizar que el intervalo de tiempo es suficientementepequeno.

Ejemplo 3.3.1. A un tiempo t1 = 12.18s despues de la 1:30 PM el vector de posicion de una bolaes r1 = (20, 8,12)m y su velocidad es vprom = (9,4, 6)m/s. A un tiempo t2 = 12.21s despues de


la 1:30 PM: donde esta la bola?, asumiendo que la velocidad no cambie en el corto intervalo detiempo.

r2 =r1 + vprom(t2 t1)=(20, 8,12)m + [(9,4, 6)m/s] (12.21 12 18)s=(20, 8,12)m + (0.27,0.12, 0.18)m=(20.27, 7.88,11.82)m .

Ejemplo 3.3.2. Encontrando v a partir de rLa posicion de una partcula esta dada por

r = A(eti + etj) , (3.25)

donde es constante. Encuentre la velocidad y bosqueje la trayectoria.

v =dr

dt

=A(eti etj) , (3.26)o

vx =Aet

vy = Aet . (3.27)La magnitud de v es

v =v2x + v

2y

=Ae2t + e2t . (3.28)

3.3.4. Aceleracion

Aceleracion promedio:

aprom =v

t(3.29)

Aceleracion instantanea

a = lmt0

v

t=dv

dt(3.30)


3.3.5. Momentum

La primera Ley de Newton no permite hacer predicciones cuantitativas. Para hacer estas pre-dicciones se requiere una medida que cuantifique los efectos de la interacciones. Surge entonces lapregunta: que factores hacen difcil o facil cambiar la velocidad de un objeto?

Probablemente habra notado que si dos objetos tienen la misma velocidad pero uno es mas livianoque el otro, es mas difcil cambiar la velocidad del objeto mas masivo.

Es mas facil detener una bola de beisbol viajando a 100km/h, que un camion viajando a100km/h

Es mas facil cambiar la direccion de una canoa que la direccion del Titanic.

Una cantidad que se puede entonces asociar con el cambio de movimiento de un cupero es elmomentum o cantidad de movimiento instantaneo de una partcula de masa m moviendo con velo-cidad instantanea v

p =mv , donde: =1

1 |v|2/c2 , (3.31)

y c 3 108 m/s es la velocidad de la luz.Si 1, o equivalentemente, si |v| c:

p mv (3.32)

Captulo 4

Dinamica

4.1. Sistemas inerciales

4.1.1. Transformaciones de Galileo

Los vectores como la velocidad, la aceleracion o el momentum dependen son independiente entresistemas de referencia usado en reposo. Considere ahora dos sistemas de referencia en movimientorelativo con S : (x, y, z, t) en reposo y S : (x, y, z, t) moviendose a velocidad constante V. Comohipotesis, asumamos que el patron de medida no se afecta al encontrarse en el sistema de referenciaen movimiento, y que el tiempo transcurre de la misma forma en los dos sistemas. Estas hipotesisson validas si v c y seran reevaluadas cuando se formule la Relatividad Especial en el Captulo 11.Entonces,

t = t v c . (4.1)Sea r el vector de posicion de un cuerpo relativo al primer sistema de referencia, y r su vectorde posicion relativo al segundo. Asumiendo que los sistema de referencia coinciden en el tiempot = t = 0, entonces

r(t) = r(t) + R(t) . (4.2)

donde el sistema de coordenadas primado se mueve con velocidad V a largo de R:

R(t) = V t , (4.3)

donde dV/dt = 0. Entonces

r =r + Vt

r =rVt . (4.4)

31

32 CAPITULO 4. DINAMICA

En el caso especial de un sistema de referencia moviendose a lo largo del eje x, tenemos

r = r V ti , (4.5)

o

t =t

x =x vty =y

z =z . (4.6)

t

x

y

z

=

1 0 0 0V 1 0 00 0 1 00 0 0 1

txyz

(4.7)A estas relaciones se les conoces como reglas de transformacion, y en este corresponden a las Trans-formaciones de Galileo. Por ejemplo, las traslaciones espaciales son un caso particular de la ecuacionpara x cuando x = x+ a con a una distancia constante.

Si el cuerpo se mueve con velocidad v(t) relativo al sistema S, podemos hallar su velocidadrelativa al sistema S derivando la ec. (4.4) con respecto al tiempo y teniendo en cuenta que que lavelocidad V no cambia con el tiempo:

dr

dt=dr

dt ddt

(Vt)

v(t) =v(t)V . (4.8)

Pero para la aceleracion:

a = a , (4.9)

de modo que si la velocidad relativa entre los sistemas es constante la aceleracion de un objeto vistadesde los dos sistemas de referencia es la misma.

Los sistemas de referencia moviendose a velocidad constante se relacionan entre s a traves de lastransformaciones de Galileo y reciben el nombre de sistemas inerciales: Un sistema de coordenadasinercial, es un sistema de coordenadas que se mueve a velocidad constante. Note los diferentes sis-temas inerciales observan los mismos cambios en la velocidad de un cuerpo en movimiento y por lotanto las Leyes de la fsica responsables de las fuerzas que estan cambiando la velocidad el objeto

4.2. PRINCIPIOS DE LA MECANICA 33

Transformacion Ley Fsica Cantidad conservadaTraslaciones espaciales Principio de momentum MomentumTraslacion temporal Principio de Energa EnergaRotaciones Principio de momentum angular Momentum angular

Tabla 4.1: Implicaciones del teorema de Noether en mecanica

deben ser independientes de los sistemas inerciales con respecto al cual se mida. El movimiento tienesentido solamente con respecto a un sistema particular de coordenadas, y al momento de describirel movimiento es esencial especificar el sistema de coordenadas que se este usando. De este formapodemos formular el:

Principio de relatividad: Las leyes de la fsica mantienen su forma en distintos sistemas iner-ciales.

Ademas podemos reformular la Primera Ley de Newton:Primera Ley de Newton: Los cuerpos aislados se mueven uniformemente con respecto a siste-

mas inerciales.Un cuerpo sobre el que no actuan fuerzas se llama cuerpo libre.

4.2. Principios de la Mecanica

La homogeneidad e isotropa del espacio, y la homogeneidad del tiempo permiten son ejemplosde transformaciones continuas que forman lo que matematicamente se conocen como Grupos de Lie.

Las cantidades fsicas pueden sufrir transformaciones de traslaciones o rotaciones bajo gruposcontinuos, pero las leyes fsicas deben mantener su forma despues de estas transformaciones. Masaun, El Teorema de Noether establece que por cada transformacion continua existe alguna cargaconservada. En mecanica este teorema da lugar a tres leyes de conservacion importantes, resumidasen la Tabla 4.1

En este curso estableceremos y usaremos cada uno de estos tres principios.

4.3. Principio de Momentum

Primero algunas definiciones:

4.3.1. Sistema y entorno

Un sistema puede estar conformada por uno o mas objetos. Todo lo que no esta incluido en elsistema es parte del entorno


4.3.2. Segunda Ley de Newton

El Principio de Momentum, que tambien se conoce como la Segunda Ley de Newton es:

p = Fnetat (4.10)

El cambio de momentum de un sistema es igual a la fuerza neta actuando sobre el sistema vecesla duracion de la interaccion.

El cambio en el intervalo de tiempo debe ser suficientemente pequeno como para que la fuerzasea aproximadamente constante durante este intervalo de tiempo.

Para entender cada termino de esta ecuacion, consideremos cada cantidad involucrada.

Cambio en el momentum p: Puede involucrar

Cambio en la magnitud del momentum Cambio en la direccion del momentum Cambio en ambos

Fuerza F: La fuerza cuantifica la cantidad de interaccion entre dos objetos. Como la fuerzatiene una determinada magnitud y se ejerce en una direccion, entonces es un vector

Ejemplos:

Fuerza repulsiva entre un proton y otro proton La fuerza gravitacional atractiva que la tierra ejerce sobre usted La fuerza que un resorte comprimido ejerce sobre su mano La fuerza en una nave espacial de los gases expandiendose en la maquinaria del cohete

Medir la velocidad de un objeto es una tarea familiar, pero como medimos la magnitud deuna fuerza?

Las fuerza neta actuando en un sistema en un instante es el vector de suma de todas la fuerzasejercidas sobre el sistema por todos los objetos del entorno, las cuales son llamadas fuerzasexternas. Puede haber fuerzas internas al sistema, ejercidas por un objeto del sistema en otroobjeto del sistema, pero tales fuerzas internas no pueden cambiar el momentum del sistema.Veremos en detalle el por que en el siguiente captulo, pero la idea basica es que las fuerzasinternas se cancelan entre si: una fuerza que el objeto 1 hace sobre el objeto 2 en el sistema,cambia el momentum del objeto 2. Pero el objeto 2 ejerce una fuerza en direccion opuesta enel objeto 1 que cambia el momentum del objeto de la forma opuesta, de modo que el cambioen el momentum de los dos objetos suma cero.

4.3. PRINCIPIO DE MOMENTUM 35

Pregunta: Una bola cayendo hacia la tierra consiste de muchos atomos. Cada atomo en la bola ejercefuerzas en sus atomos vecinos de la bola, la tierra ejerce fuerzas en cada atomo de la bola, y el aireejerce fuerzas en los atomos de la superficie de la bola. Tomando la bola como el sistema, y la tierray el aire como el entorno, cuales de estas fuerzas son externas y cuales internas?.

La tierra y el aire son parte del entorno, de modo que las fuerzas ejercidas por la tierra el aireson ambas externas.

Las fuerzas inter-atomicas de los atomos de la bola son fuerzas internas que no contribuyen ala fuerza neta Fneta

La cantidad de interaccion afectando un objeto incluye tanto la intensidad de la interaccion (Fneta)y la duracion t de la interaccion. Un mayor cambio de momentum es causado bien sea por unafuerza mas grande o por aplicar la fuerza durante mas tiempo.

Definicion de impulso:

Impulso = Fnetat (4.11)

en unidades SI de N s (newton-segundo)Con esta definicion del impulso podemos establecer el Principio de Momentum en las siguientes

palabras:

El cambio de momentum de un sistema es igual al impulso aplicado a este.

Ejemplo: Una fuerza constante de (3,5, 4) N actua en un objeto durante 10 s. Cual es el impulsoneto aplicado al objeto? Cual fue el cambio en el momentum del objeto?

Impulso = Fnetat = (3,5, 4) N (10 s) = (30,50, 40) N s . (4.12)

El cambio en el momentum del objeto es igual al impulso neto, de modo que

p = (30,50, 40) Kg m/s (4.13)

Cuando conocemos una expresion para la fuerza neta actuando sobre un cuerpo de masa cons-tante m, es posible establecer un proceso iterativo para conocer la trayectoria, como se ilustra en lafigura 4.1.


Con la momentum inicial y el valor para la fuerza, podemos hallar el momentum p2 si el tiempot es suficientemente pequeno:

p2 = p1 + Fneta(t1)t

De la ecuacion para la evolucion de la posicion despues de un t suficientemente pequeno:

r2 r1 + vpromtr2 r1 + v2t ,

donde hemos aproximado la velocidad promedio con v2. El procedimiento tambien funciona si usamosv1 vprom. Tenemos entonces que

r2 = r1 +p2m

t .

En el siguiente paso de la iteracion tendramos:

p3 =p2 + Fneta(t2)t

r3 =r2 +p3m

t .

y as sucesivamenteEl proceso iterativo que se puede implementar computacionalmente equivale a hacer la integral

sobre la ecuacion de movimiento dada por el Principio de Momentum. Sin embargo, solo en casosmuy especficos se puede realizar analticamente la integracion de la ecuacion de movimiento.

Para ilustrar la integracion numerica considere el siguiente programa en vpython de la solucion alproblema de una partcula de masa m = 0.5 Kg, con velocidad inicial vi = (5, 0, 0) m/s, moviendosebajo la influencia de una fuerza neta gravitacional dada por

Fneta =(0,mg, 0)=(0,4.9, 0)N , (4.14)

La implementacion con un paso de integracion dado por un t = 0.01s se ilustra en el siguienteprograma:

from visual import *

ball=sphere(make_trail=True,pos=vector(-5,5,0),radius=.3, color=color.magenta)

trail=curve(color=(1,1,1))

m=.5

g=9.8


Figura 4.1: Actualizacion del momentun

v=vector(5,0,0)

p=m*v

deltat=0.01

Fg=vector(0,-m*g,0)

while True:

#slow program

rate(20)

p=p+Fg*deltat

ball.pos=ball.pos+(p/m)*deltat

trail.append(pos=ball.pos)

if ball.pos[0]>2: raw_input(Stop?)

El resultado del programa es la simulacion del evento paso a paso hasta alcanzar la posicionmostrada en la figura 4.2

Tomando el origen de coordenadas en el punto inicial de la bola, podemos obtener las primerasposiciones de la bola repitiendo el proceso manualmente. El resultado de las primeras cinco interac-ciones se muestra en la Tabla 4.2

Podemos complicar el programa poniendo rebotes sobre el piso. El programa modificado es

from visual import *

ball=sphere(make_trail=True,pos=vector(-5,5,0),radius=.3, color=color.magenta)


Figura 4.2: Movimiento parabolico integrado numericamente

t (s) p (kgm/s) r (m)0.01 (2.5, -0.049, 0) (0.05,-0.00098, 0)0.02 (2.5, -0.098, 0) (0.1, -0.00294, 0)0.03 (2.5, -0.147, 0) (0.15,-0.00588, 0)0.04 (2.5, -0.196, 0) (0.2, -0.0098, 0)0.05 (2.5, -0.245, 0) (0.25,-0.0147, 0)

Tabla 4.2: Primeras cinco posiciones de la bola con respecto al punto inicial


Figura 4.3: Movimiento parabolico con rebote

floor=box(pos=vector(0,-5,0), size=(12,0.1,12) , color=color.green)

trail=curve(color=(1,1,1))

m=.5

g=9.8

v=vector(0.5,0,0)

p=m*v

deltat=0.01

Fg=vector(0,-m*g,0)

while True:

#slow programa

rate(100)

p=p+Fg*deltat

ball.pos=ball.pos+(p/m)*deltat

trail.append(pos=ball.pos)

if ball.pos.y < floor.pos.y:

p.y=-p.y

El programa genera una animacion, de la cual se ilustra uno de los cuadros en la figura 4.3

Como para un t infinitesimal, la fuerza siempre se puede considerar constante, el principio de


momentum se puede reescribir como

Fneta = lmt0

p

t

Fneta =dp

dt(4.15)

Si Fneta es conocida, a la ec. (4.15), se conoce como ecuacion de movimiento.

Ecuacion de movimiento:

Fneta =dp

dt

4.3.3. Caso especial: masa constante

En el caso especial en que la masa del sistema, m, es constante, la ecuacion de movimiento puedereescribirse como

Fneta =dmv

dt

Fneta =mdv

dtFneta =ma . (4.16)

Caso especial: masa constante

Fneta =ma . (4.17)

4.3.4. Caso especial: Fuerza y masa constante

Si la fuerza neta es constante en direccion y magnitud en el caso de masa constante, la ecuacionde movimiento puede integrarse analticamente. Para simplificar el analisis consideremos una fuerzaneta constante solo con componente en x:

Fneta = (Fx, 0, 0) . (4.18)


La ecuacion de movimiento se reduce a

ax =Fxm

dvxdt

=Fxm

dvx =Fxmdt . (4.19)

Integrando a ambos lados de la igualdad, desde un tiempo inicial ti a un tiempo final t, con vxi = vx(ti)y vx = vx(t), tenemos vx

vxi

dvx =

tti

Fxmdt

vx vxi =Fxm

tti

dt (4.20)

y despejando en terminos de la velocidad final

vx =vxi +Fxm

(t ti)

=vxi +Fxm

t . (4.21)

Integrando de nuevo

dx

dt=vxi +

Fxm

(t ti)

dx =vxidt+Fxm

(t ti)dt , (4.22)

e integrando de nuevo con xi = x(ti) y x = x(t), tenemos xxi

dx =vxi

tti

dt+Fxm

tti

dt(t ti)dt . (4.23)

Haciendo u = t ti, du = dt, obtenemos(t ti)dt =

udu =

1

2u2 =

1

2(t ti)2 , (4.24)


de modo que

x xi =vxi(t ti) + Fxm

1

2(t ti)2

tti

(4.25)

x =xi + vxi(t ti) + 12

Fxm

[(t ti)2 (ti ti)2

]x =xi + vxi(t ti) + 1

2

Fxm

(t ti)2 (4.26)

Solucion analtica: al problema de movimiento en una dimension bajo la influencia de una fuerzaconstante

x =xi + vxi(t ti) + 12

Fxm

(t ti)2

=xi + vxit+1

2

Fxm

t2 . (4.27)

Si eliminamos t, usando la ec.(4.21), tenemos

x =xi + vxi(vx vxi)mFx

+1

2

Fxm

(vx vxi)2m2

F 2x

x =xi + (vxivx v2xi)m

Fx+

1

2(v2x 2vxvxi + v2ix)

m

Fx

x =xi +1

2(v2x v2ix)

m

Fx.

Reorganizando terminos tenemos

v2x v2ix = 2Fxm

(x xi) . (4.28)

Un ejemplo de fuerza constante, es la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa m que seencuentra cerca a la superficie de la tierra:

Fgrav = (0, Fy, 0) (0,mg, 0). (4.29)El signo menos ndica que la fuerza va dirigida haca la superficie de la tierra, donde hemos establecidoel origen de coordenadas


Si dicho cuerpo cae libremente desde una altura yi desde la superificie de la tierra, y con unavelocidad vyi, la ecuacion para su altura y desde un origen de coordenadas sobre la superficie de latierra es

y =yi + vyi(t ti) + 12

Fym

(t ti)2

y =yi + vyi(t ti) 12g(t ti)2 . (4.30)

mientras que para la componente de la velocidad en y, tenemos de la ec. (4.21)

vy =vyi g(t ti) , (4.31)

Solucion analtica: al problema de caida libre en la direccion y perpendicular a la superficie de latierra y con origen de coordenadas sobre la superficie de la tierra:

y =yi + vyi(t ti) 12g(t ti)2

vy =vyi g(t ti)ay = g .

4.3.5. Ecuacion de la trayectoria

Para un cuerpo en movimiento vertical bajo la influencia de una fuerza gravitacional constante,tenemos que si la rapidez inicial es v0 para una altura inicial y0, entoces de (4.31)

t =v0 vg

(4.32)

sustituyendo en ec. (??)

y y0 =v0(v0 v)/g 12g(v0 v)2/g2=v20/g vv0/g 12(v20/g 2vv0/g + v2/g)=1

2v20/g 12v20/g

=12(v20 v2)/g , (4.33)

de donde obtenemos la ecuacion de la trayectoria (vec eq. (4.28):

v2 v20 = 2g(y y0) , (4.34)Esta ultima ecuacion esta relacionada con la conservacion de energa cinetica mas energa potencia,como se definira luego.


4.3.6. Conservacion de momentum

Volviendo al problema general, de la ec. (4.15) podemos ver que si el momentum es constante (endireccion, magnitud y masa)

Fneta =dp

dt=0 . (4.35)

En otras palabras:Ley de Conservacion de Momentum: Si la fuerza neta actuando sobre un sistema es cero, elmomentum total del sistema es constante

En componentes:

Fneta,x =dpxdt

Fneta,y =dpydt

Fneta,z =dpzdt

, (4.36)

y podemos ver que si alguna direcion del momentum es constante, entonces la fuerza neta en esadireccion es cero, y viceverza.

En el caso de la fuerza gravitacional, si despreciamos la resistencia del aire, de la ec. (4.29)podemos ver que que la fuerza neta en x y en z es cero. Por lo tanto el momentum inicial en ladireccion x y z se debe conservar.

Supongamos que un cuerpo se mueve bajo la influencia de la fuerza gravitacional en un planetasin atmosfera con aceleracion gravitacional g. Por simplicidad, escojamos como x la direccion inicialdel cuerpo paralela a la superficie del planeta. Dicha direccion se debe mantener constante, de modo


que

dpxdt

=0

mdvxdt

=0

dvxdt

=0

dvx =0 vxvxi

dvx =0

vx vxi = 0vx =vxi .

integrando de nuevo

dx

dt=vxi

dx =vxidt xxi

dx =vxi

tti

dt

x xi =vxi(t ti) . (4.37)y recuperamos lasolucion analtica: al problema del movimiento en una dimension en ausencia de fuerzas externas

x =xi + vxi(t ti) . (4.38)

Combinado las ecuaciones (4.38) y (4.30) obtenemos lasolucion analtica: al problema de movimiento parabolico despreciando la resistencia del aire

x =xi + vxi(t ti) = xi + vxity =yi + vyi(t ti) 1

2g(t ti)2 = yi + vyit 1

2gt2 . (4.39)

El vector de desplazamiento es

r = (x, y, 0) (4.40)


Derivando con respecto al tiempo obtenemos las velocidades (ver ec. (4.31))

vx =dx

dt=vxi velocidad constante

vy =dy

dt=vyi 1

2g(2(t ti))

=vyi g(t ti) aceleracion constante , (4.41)

Ejemplo: Una bola con resistencia de aire despreciable (2D, Fuerza constante): Una bola demasa 500 g esta inicialmente en el suelo, en una ubicacion (0, 0, 0) m. La bola es entoncespateada con una velocidad inicial (3, 7, 0) m/s.

1. Donde estara la bola medio segundo despues?

2. En que tiempo la bola golpeara el piso?

Haga la aproximacion que la resistencia del aire es despreciable.

Solucion: Sistema: bolaEntorno: TierraDiagrama de cuerpo libre: ver figuraTiempo inicial: El instante en que el pie ya no esta en contacto con la bola

1 Despues de medio segundo, y como se ilustra en la figura 4.4

xf =xi + vxit

=0 + (3 m/s)(0.5 s) = 1.5 m (4.42)

Para el movimiento en y tenemos

yf =yi + vyit 12gt2

=0 + (7 m/s)(0.5 s) 12

(9.8 N/kg)(0.5 s)2 = 2.275 m (4.43)

El vector final de desplazamiento despues de 0.5s es

rf = (1.5, 2.75, 0) m (4.44)

Comprobacion: Las unidades son correctas, y la bola se ha movido en la direccion apro-piada


tt ti f

v

vxi

x

v (no cambia)x

t

tt ti f

xi

xf

x

Figura 4.4: Movimiento de la bola en x

2 Tiempo final: El instante justo antes de que la bola golpee el piso. En ese instante sabemosque yf = 0, de modo que podemos encontrar t

0 = 0 + vyit 12gt2

t(vyi 12gt) = 0

con soluciones

t =0 o vyi 12gt =0 (4.45)

El segundo valor es el tiempo cuando la bola retorna al suelo

t =2vyig

=2(7m/s)

9.8N/kg= 1.43 s (4.46)

El movimiento en y es ilustrado en la figura 4.5, mientras que la trayectoria real es ilustradaen la figura 4.6.


tt ti f

vyi

vyf

subiendo cayendo

vy

v disminuyendo

y

altura mxima

tt ti f

yi

yf

y

altura mxima

subiendo

cayendo

Figura 4.5: Movimiento de la bola en y

xx xi f

yi

yf

y

(x ,y ,0)i i

(x ,y ,0)f f

trayectoria real x,y

Figura 4.6: Movimiento de la bola en el plano x y


4.3.7. Ejemplos movimiento parabolico

Ejemplo: Una piedra es lanzada hacia arriba desde lo alto de un edificio con una velocidad inicial de 20m/s directamente hacia arriba. El edificio tiene 50 m de alto, y la piedra falla en golpear eledificio en su camino hacia abajo.

1. Que tiempo le toma a la piedra alcanzar su maxima altura?

v(t) = v0 gt . (4.47)

A la altura maxima v = 0, y con v0 = +20 m/s

tmax =v0g

=20

9.8s

2.04 s (4.48)

2. Cual es la maxima altura desde la base del edificio?:Tomando el origen de coordenadas en la base del edificio:

ymax =y0 + vot 12gt2

50 + 20 2.04 12 9.8 (2.04)2

70.4 m , (4.49)

3. Cual es el tiempo necesario para que la piedra retorne al nivel de la torre?

ttorre = 2tmax 4.08 s . (4.50)

4. La velocidad a ese instante?

v =v0 gt20 9.8 4.08 (4.51)

vtorre 20 m/s , (4.52)

La misma magnitud que la velocidad inicial pero con direccion opuesta. La velocidad incialestara representada por un vector v0: , mientras que vtorre : .


5. Cual es la velocidad y posicion (desde la base del edificio) despues de t = 5 s?

v(5) 20 9.8 5 29.0 s . (4.53)

y(5) 50 + 20 5 12 9.8 52 27.5 m . (4.54)

6. Cual es la velocidad y el tiempo cuando la piedra golpea el piso?

y0 =50 m yfinal = 0

v0 =20j m/s (4.55)

(4.56)

v2 =v20 2g(yfinal y0)=v20 2g(0 y0)202 + 2 9.8 50 , (4.57)

de donde

vfinal = 37.1j m/s . (4.58)

tfinal =(v0 vfinal)/g(20 + 37.1)/9.8 5.83 s (4.59)

4.3.8. Movimiento parabolico completo

En un movimiento parabolico completo, donde un cuerpo es lanzado desde el suelo con ciertavelocidad inicial y retorna al suelo sobre una superficie horizontal, podemos especificar el alcance Ry la altura maxima ymax en terminos de la rapidez inicial, v, y el angulo de lanzamiento . Comori = (xi, yi, 0) = (0, 0, 0), tenemos

1. Altura maxima: se obtiene de la condicion vy = 0. Reemplazando en la ec. (4.41)

0 = vyi gt , (4.60)de modo que para alcanzar ymax el cuerpo se tarda

t =vyig. (4.61)


Reemplazando (4.61) en (4.39), tenemos

ymax =vyivyig 1

2gv2yig2

=v2yig 1

2

v2yig

=1

2

v2yig. (4.62)

En terminos de la rapidez inicial y el angulo de lanzamiento tenemos

ymax =v2ig

sin2 , (4.63)

La mayor de las alturas maximas se obtiene para = pi/2 = 90, es decir cuando la velocidadinicial esta toda en y.

2. Alcance: se obtiene de la condicion: y = 0. Reemplazando en la ec. (4.39)

0 =vyit 12gt2

=t(vyi 12gt)

{t = 0 x = 0

vyi 12gt = 0 x = R, (4.64)

de modo que para alcanzar R el cuerpo se tarda

t =2vyig

. (4.65)

Reemplazando (4.65) en (4.39), tenemos

R =vxi2vyig

=2vxivyig

. (4.66)

En terminos de la rapidez inicial y el angulo de lanzamiento tenemos

R =2v2ig

cos sin , (4.67)


y usando

sin( + ) = sin sin + cos sin (4.68)

tenemos que sin(2) = 2 sin cos , y

R =v2

gsin(2) , (4.69)

de modo que el alcance maximo se obtiene para = pi/4 = 45, es decir, cuando las componentesde la velocidad inicial se reparten por igual en x y y.

Ejemplo El monoUn mono se suelta de un arbol a una altura h0 en el mismo instante en el que le disparan. Conque angulo se debe apuntar al mono para atinarle?

ybala(t) =(v0 sin)t 12gt2ymono(t) =h0 12gt2 . (4.70)

Supongamos que en el punto P : ybala = ymono. Entonces

v0tP sin =h0 . (4.71)

Sea D la distancia horizontal recorrida en el tiempo tP . Como vx = v0 cos = cte, entonces

(tPv0 cos)sin

cos= h0 , (4.72)

de modo que

tan =h0D. (4.73)

Entonces, para atinarle al mono, se debe apuntar directamente a el.

Ejercicio Calcula la mnima distancia para que una bala disparada con una velocidad de 3 m/s, apuntadaa la cabeza de un mono de 0.5 m de altura y a 10 m del suelo y que se quede quieto, pase justopor debajo de sus pies. (Respuesta: 95.3 m)

Ejemplo: Para el diagrama en la figura 4.7, calcule la fuerza resultante.


Figura 4.7: Fuerza resultante

Se escoge un sistema de coordenadas tal que

F1 =7i + 0j

F2 =0i + 5j . (4.74)

Entonces

FR = F1 + F2 = 7i + 5j . (4.75)

La aceleracion, que esta en la misma direccion que la fuerza esta dada por

a =FRm

=7i + 5j

7/3= 3i +

15

7j . (4.76)

Ejemplo: Un disco plano de masa m = 2kg, se desliza sobre un lago congelado con una rapidez inicialde v = 5m/s. La fuerza de friccion tiene un valor constante de f = 4N opuesta al movimiento.cuan lejos avanza el disco antes de detenerse?

Escogiendo apropiadamente el sistema de coordenadas, tenemos:

f i = ma , (4.77)de donde

a = fm

i =4N2kg

i = 2im/s2 . (4.78)

De la cinematica del problema tenemos (eq. (4.34))

v2f v20 = 2ax . (4.79)


Cuando el disco se detiene vf = 0, de modo que

v20 =2axx = v

20

2a= 6.25m . (4.80)

4.3.9. Tercera Ley de Newton

Las fuerzas siempre aparecen en pares: si un cuerpo b ejerce una fuerza Fa en un cuerpo a,entonces debe haber otra fuerza Fb actuando en el cuerpo b, debido al cuerpo a, tal que

Fb = Fa . (4.81)

En otras palabras

accion = reaccion : (4.82)

Si un cuerpo aislado sufre una aceleracion y no podemos encontrar un objeto externo que sufre unaaceleracion igual pero opuesta, entonces estaremos en problemas. Un ejemplo mas tpico de un paraccion-reaccion es el de dos patinadores sobre hielo intercambiando una pelota.

La segunda ley F = dp/dt, es valida solo en sistemas inerciales.En general, las leyes de Newton solo son validas en sistemas inerciales. Entonces como se puede

decidir o no si un sistema es inercial?:

Tome un cuerpo libre.

Si este permanece en un estado de movimiento uniforme, entonces se esta en un sistema inercial.

La tierra es basicamente un sistema inercial en el cual la aceleracion centrpeta debida a la rotacionen el Ecuador es de 0.34m/s2

La estructura y el comportamiento del Universo entero puede ser descrito por la accion de cuatrofuerzas fundamentales descritas en la tabla 4.3

4.4. Aplicaciones de las leyes de Newton

El metodo para resolver un problema de dinamica, consiste en

Escoja un sistema, consistiendo de una porcion del Universo. El resto del Universo es llamadoel entorno.

4.4. APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON 55

Rango Intensidad MediadorFuerza fuerte (nucleos hadronicos) 1015m 1 gluonesFuerza electromagnetica (cargas) 102 fotonFuerza debil 1017m 1013 (isospn) W, Z0

Fuerza gravitacional (masas) 1038 gravitonTabla 4.3: Fuerzas fundamentales. La intensidad se mide con respecto a la fuerza entre dos protonesseparados 1015m

Haga una lista de los objetos del entorno que ejercen fuerzas significativas sobre el sistemaescogido.

Haga un diagrama mostrando las fuerzas externas ejercidas por los objetos del entorno sobreel sistema. Esto es llamado un diagrama de cuerpo libre en el cual el efecto del entorno sobreel sistema es indicado con flechas que representan las fuerzas externas.

Establezca los tiempos iniciales y finales

Establezca las ecuaciones de movimiento de cada cuerpo

Identifique las fuerzas de accionreaccion

Establezca las condiciones de ligadura.

Comprueba unidad, compruebe la logica de su respuesta (direccion del momentum, cambio enla magnitud del momentum) basado en la situacion fsica.

Para ilustrar estos pasos, considere el diagrama de bloques mostrado en la figura 4.8, los cualesse encuentran en reposo. Encuentre la Fuerza ejercida por el bloque B sobre el A, y la fuerza normalde la superficie sobre el bloque B.

FA es la fuerza que ejerce el bloque A sobre el bloque B, mientras que FB es la fuerza que ejerceel bloque B sobre A. De acuerdo a la tercera ley de Newton

FB = FA . (4.83)

Note que la tercera ley de Newton nunca relaciona dos fuerzas actuando sobre el mismo cuerpo; lasfuerzas de dos cuerpos diferentes son las que estan involucradas en la tercera ley. En la figura 4.8: Nrepresenta la fuerza normal que ejerce el piso sobre el bloque B, mientras que WA y WB representanlos pesos de los bloques A y B respectivamente.


B

A

FB

WA

mAN

WB

mB

FAFigura 4.8: Diagrama de fuerzas

Completando el problema de los dos bloques sobre la superficie tenemos, en la direccion j:

Ecuaciones de movimiento

{FB WA = mAaAN FA WB = mBaB

Tercera ley de Newton FA = FB

Constraint equations

{aA = 0

aB = 0(4.84)

Solucionando las ecuaciones encontramos

FB =FA = WA

N =WA +WB . (4.85)

El objetivo principal de este ejemplo es ayudar a distinguir entre la fuerza que se aplica a un objeto

Ejemplo: Dos astronautas inicialmente en reposo en el espacio libre, tiran de ambos lados de una cuerda.La fuerza con la que el astronauta A puede tirar de la cuerda, FA es mayor que la del astronautaB, FB. Sus masas son MA y MB y la masa de la cuerda es despreciable. Encuentre el movimientode la cuerda

4.5. INGREDIENTES DE PROBLEMAS DE DINAMICA 57

Sistema: Cuerda

Entorno: Astronautas

Diagrama de cuerpo libre: (pendiente)

Ecuacion de movimiento para la cuerda:

FA =FA

FB =FB (4.86)

FA FB =mcuerdaacuerdaFA FB =mcuerdaacuerda

0 acuerda=0 , (4.87)

de donde

FA = FB (4.88)

y no hay movimiento neto de la cuerda.

4.5. Ingredientes de problemas de dinamica

4.5.1. El peso

Como hemos visto en la defincion de la segundo Ley de Newton, la masa es una medidad de laresistencia que un cuerpo ofrece a los cambios en su velocidad. En la expresion para la segunda Leyde Newton con masa constante

F = mIa , (4.89)

mI es la masa inercial. Es el valor numerico que se obtiene al tirar un cuerpo desplazandose enuna superficie sin friccion con un dinanometro. Si simplemente se sostiene el mismo peso con undinanometro sobre la superficie de la tierra, obtenemos la masa gravitacional

F =mGg donde g (0,9.8, 0) m/s2 , (4.90)


Numericamente el valor de ambas masas coinciden m = mI = mG. La proporcionalidad entre masainercial y masa gravitacional es una hipotesis en la Mecanica Newtoniana, pero es un resultado dela Teora General de la Relatividad. Definimos entonces el peso de una partcula como el valor de lamasa gravitacional por la aceleracion gravitacional

|W| = mg . (4.91)Hay que tener en cuenta sin embargo, que las basculas realmente miden es la fuerza normal

4.5.2. Fuerza normal

Para que un cuerpo se mantenga sobre una superficie se requiere que su peso sea compenzadopor una fuerza igual y en sentido opuesto ejercida por la superficie sobre el cuerpo. Dicha fuerza sellama la fuerza normal de la superficie y se denota con la letra N

En general la fuerza normal debe incluir la presion atmosferica. Para una cuerpo con una area Aexpuesta a la atmosfera sobre una superficie horizontal, se tendra

N = mg + PaA , (4.92)

donde Pa es la presion atmosferica.

Ejemplo Tortuga dentro de un ascensor. Suponga que una tortuga, de masa m, esta sobre unabascula dentro de un ascensor que se mueve verticalmente con una aceleracion de magnituday. Calcule la fuerza normal sobre la tortuga ejercida por la bascula. El diagrama de fuerza semuestra en la Figura (pendiente).

La ecuacion de movimiento en la direccion y es (suponiendo una aceleracion en la direccion ypositiva), con N = (0, N, 0), Fgrav = (0,mg, 0), y a = (0, ay, 0)

N mg = may , (4.93)de modo que

N = m(g + ay) (4.94)

Si ay = 0, N = mg, y la bascula entrega la masa correcta para la tortuga, sin embargo parauna ay diferente de cero, la bascula registra una masa que puede ser mayor o menor que m.Para ay = g, es decir, que el ascensor se encuentra en cada libre hacia la superficie de latierra N = 0, y la bascula registra un peso cero para la tortuga. De hecho en esta situacion latortuga se encuentra en estado de ingravidez: Un sistema cerrado (el ascensor con su contenidointerior) en cada libre en un campo gravitacional constante, es indistinguible de un sistemacon gravedad cero, es decir, el mismo ascensor en el espacio exterior alejado de cualquier otrocuerpo.

4.5. INGREDIENTES DE PROBLEMAS DE DINAMICA 59

4.5.3. Cuerdas ideales

Una cuerda ideal es inextensible y su masa es despreciable.

Ejemplo Cuerda no ideal Escriba la ecuacion de movimiento para una cuerda de masa m sometida atension a ambos lados.

La ecuacion de movimiento para eje x a lo largo de la cuerda es

T1 T2 =maT1 T2 = ma ,

donde T1,2 = (T1,2, 0, 0), y a = (a, 0, 0). Si la masa de la cuerda es despreciable, entonces

T1 = T2 .

El concepto de masa despreciable en una cuerda ideal implica que la tension es la misma en amboslados de la cuerda.

4.5.4. Poleas ideales

La masa y el radio de una polea ideal son despreciables. Esto implica que las tensiones a un ladoa otro de una cuerda ideal que pasa por una polea ideal son iguales en magnitud. Una polea idealtiene entonces la propiedad de cambiar la direccion de la tension sobre una cuerda ideal, sin alterarsu magnitud.

4.5.5. Aplicaciones en entornos sin friccion

Ejemplo: Tres vagones de masa M estan halados con una fuerza F por una locomotora. Despreciandolas fuerza de friccion con los rieles, encuentre las fuerzas en cada carro.

1. Sistema: Los tres vagonesEntorno: los rieles y el aireDiagrama: (pendiente)

F = 3Ma , (4.95)

de donde

a =F

3M(4.96)

2. Sistema: Primer vagonEntorno: Segundo vagon, rieles, aireDiagrama: (pendiente)


4.6. Friccion

Se define como fuerza de friccion a la fuerza entre dos superficies de contacto que se opone almovimiento entre ambas superficies (fuerza de friccion dinamica, o la fuerza que se opone al iniciodel movimiento (fuerza de friccion estatica. Aunque los procesos interatomicos que dan lugar a lafuerza de friccion son muy complicados se han logrado establecer las siguientes formulas empricaspara la fuerza de friccion entre dos superficies

4.6.1. Friccion dinamica

f = dN , (4.97)

donde N, es la fuerza normal entre las superficies. El coeficiente de friccion d tiene que ser menorque 1 porque de lo contrario los cuerpos se podran subir por las paredes.

4.6.2. Friccion estatica

f > eN , (4.98)

y e es el coeficiete de friccion estatico.

Ferrocarriles: En efecto, el origen del termino ferrocarril son los carriles (1) de hierro, aunque hoy enda tanto el carril como la rueda se fabrican de acero porque este material presenta unas caractersticasmecanicas mas apropiadas. Ademas de la interesante cualidad de no tener que arreglar pinchazos(festival del humor), la principal ventaja de un transporte basado en la rodadura entre aceros es elbajo coeficiente de rozamiento que permite que un tren circulando a 100 km/h a la deriva en una varecta y horizontal, recorra unos 10 km sin detenerse.El coeficiente de resistencia de rodado del acero en un riel vara entre 0.0002 y 0.00101

Una discusion acerca de la fsica de los ferrocarriles puede encontrarse en http://www.jotdown.es/2012/04/el-ferrocarril-ese-gran-desconocido/.

Ejemplo Acero-Acero: Ferrocarriles Calcule la distancia de frenado de un tren asumiendo que lasruedas dejan de rotar inmediatamente cuando se mueve a 160 Km/h.

1http://www.tribology-abc.com/abc/cof.htm

4.6. FRICCION 61

Superficies e dAcero-Acero 0.15 0.07

Tabla 4.4: Coeficientes de Friccion

Asumiendo que la fuerza de friccion es constante, tenemos una desaceleracion constante de

a = fdmtren

= Nmtren

= mtrengmtren

= g . (4.99)

Aplicando las ecuaciones para movimiento a aceleracion constante, en particular la ec. (4.34),tenemos que cuando la rapidez final es cero

v2 v20 =2axv20 =2ax . (4.100)

La distancia recorrida desde el inicio del frenado es

x = v20

2a

=v20

2g, (4.101)

Para d = 0.07, tenemos x 1440 m.La ley emprica de frenado de trenes es:

x =3

2

v20|a| (4.102)

donde a es la desaceleracion del tren, tpicamente alrededor de 2 m/s2, de donde podemosobtner un estimado para el coeficiente de friccion

=|a|3g

= 0.07 .

de donde

Ejemplo: Considere la situacion ilustrada en la figura 4.9, donde m1 > dm2.

Argumente por que la siguiente solucion para la aceleracion del sistema es incorrecta

a =g(m1 km2)m2 m1 .


Figura 4.9: Polea ideal

La condicion m1 > dm2 garantiza que m1 cae arrastrando a m2 pero con una aceleracionmenor que la gravedad en un factor m1 km2. Sin embargo como m2 puede ser mayor quem1, la solucion implicara que el sistema se podra acelerar haca la izquierda de m2, tal quem1 suba. Lo cual es claramente inconsistente.

4.7. Problemas resueltos

1. Una cuerda ideal pasa a traves de una polea ideal con uno de sus extremos unido al bloque 1que cuelga sobre un lado de la mesa que sostiene la polea. El otro extremo de la cuerda estaunido a un bloque 2 que se desliza a lo largo de la mesa. Ver Figura 4.9. El coeficiente de friccioncinetico entre la masa y el bloque 2 es d. El bloque 1 tiene una masa m1 y el bloque 2 tieneuna masa m2, con m1 > km2. En el tiempo t = 0, los bloques son liberados desde el reposo yla cuerda no se desliza alrededor de la polea, En el tiempo t = t1, el bloque 1 golpea el piso.Encuentre la magnitud de la aceleracion de cada bloque. Exprese su respuesta en terminos dem1, m2, d.

Escogencia del sistema. Para el sistema compuesto por el bloque 2, el entorno es la mesa yla cuerda, mientras que para el sistema compuesto por el bloque 1, el entorno es la cuerda y latierra. Ademas escogemos un sistema de referencia x y usual.

Diagramas de fuerzas De acuerdo a los diagramas de cuerpo libre para ambos cuerposilustrado en la figura 4.10. Tenemos

4.7. PROBLEMAS RESUELTOS 63

Fuerzas en x bloque 2:

(T f )i =m2(a i)T f =m2a . (4.103)

Fuerzas en y bloque 2:

(N W2)j =0N W2 =0

N =m2g (4.104)

en adelante suprimiremos los vectores unitarios en las ecuaciones resultantes de los dia-gramas de cuerpo libre.

Fuerzas en y bloque 1:

T W1 =m1aT m1g =m1a (4.105)

Establezca las condiciones de ligadura: La relacion entre la fuerza normal y la fuerzade friccion es

f =dN

=dm2g . (4.106)

Solucine las ecuaciones: Restando las ecuaciones (4.103) y (4.105), tenemos

f +m1g = m2a+m1a = (m2+m1)a .

Despejando a y usando (4.106)

a =m1g fm2+m1

=m1g dm2gm2+m1

=m1 dm2m2+m1

g (4.107)

g .


Figura 4.10: Diagramas de cuerpo libre ideal

Ejercicio Repita el problema usando un sistema de referencia rotado 90 grados en la direccion delas manecillas del reloj, para el bloque de masa m1

2. (Tomado de [8]) Se coloca un bloque de masa m1 sobre un bloque de masa m2 (como semuestra en la figura). Los coeficientes de friccion cinetico y estatico entre los bloques son ky e respectivamente. Suponer que no hay friccion entre el bloque de masa m2 y la superficiesobre la cual reposa. Se aplica una fuerza F horizontal al bloque de masa m2

m1

m2F

a) Dibujar todas las fuerzas que actuan sobre cadabloque.

b) Escribir las ecuaciones de movimiento para cadabloque

c) Cual es la maxima fuerza que puede aplicarse albloque m2 de modo que los bloques se muevan jun-tos?

d) Cual es la aceleracion cuando se aplica la fuerzamaxima?

e) Que distancia recorren los bloques a esa acelera-cion durante dos segundos?

f ) Evalue sus respuestas para m1 = 3 Kg, m2 = 5 Kg,k = 0.1, e = 0.2


2b) Para m1

m1a1 =f N1 m1g = 0 (4.108)Para m2

m2a2 =F f N2 N1 m2g =0 .De modo que

a1 =f

m1a2 =

F fm2

,

y

f = m1g .

2c) La condicion de que los bloques se muevan juntos corresponde a a1 = a2:

f

m1=F fm2

m2f =m1(F f)m1F =f(m1 +m2)

m1F =m1g(m1 +m2)

F =g(m1 +m2) .

F es maxima cuando = e

Fmax = eg(m1 +m2) .

2d) La aceleracon maxima se obtiene de (4.108):

a =f

m1= eg .

2e) Para t = 2s

x =1

2at2

2e) F = 15.7N, a = 1.96m/s2, x = 3.92m


3. Dos bloques de masa m1 y masa m2 se mueven como lo ndica la figura. Suponga que el pisoes una superficie lisa (no hay friccion) y que la superficie de contacto entre los dos bloques esrugosa con coeficiente de friccion .

m1F m2

a) Dibujar todas las fuerzas que actuan sobre cadabloque.

b) Determine la magnitud de la fuerza mnima paraque m2 no se deslice. Justifique porque es mnima.

c) Calcule dicha fuerza para m1 = 6kg, m2 = 3103g,y = 0.6

3a) Recapitulemos de nuevo los pasos para solucionar los problemas de dinamica, pues en este casoson muy importantes la ecuaciones de ligadura. Primero establecemos los diagramas de cuerpolibre:

m1 m2

W1

N21F

N

m1 m2

W2

N12f

3b) Continuamos estableciendo las ecuaciones de movimiento en forma vectorial.

La sumatoria de fuerzas para m1F =(F, 0, 0) (N21, 0, 0) + (0, N, 0) (0,W1, 0) = (m1ax, 0, 0) ,

donde N21 es la fuerza de reaccion del bloque 2 sobre el bloque 1, de modo que la ecuacion demovimiento relevante es

F N21 =m1ax . (4.109)

Para el bloque 2 tenemosF =(N12, 0, 0) + (0, f, 0) (0,W2, 0) = (m2ax,m2ay, 0) .


que da lugar a Fx : N12 = m2axFy : f W2 = m2ay . (4.110)

Condiciones de ligadura Para este problema podemos establecer tres condiciones de ligadura

a) f = N12, donde N12 es la fuerza normal del bloque 1 sobre el 2.

b) ay = 0, para que el bloque m2 no deslice.

c) N12 = N21: los pares accion reaccion son iguales en magnitud (los signos ya se tuvieron encuenta en las respectivas ecuaciones de movimiento)

Reemplazando las ecuaciones de ligadura en las ecs. (4.110), tenemos

N12 m2g =0N21 =m2g .

de modo que

N21 = N12 =m2g

.

ax =N12m2

=g

.

Reemplazando en (4.109), tenemos

Fmin =N21 +m1ax

=m2g

+m1

g

=(m1 +m2)g

. (4.111)

2b) Evaluando numericamente tenemos que

Fmin = 147N .


Como un chequeo de consistencia, podemos ver de (4.111)

Fmin =(m1 +m2)g

=(m1 +m2)ax .

de modo que el sistema completo de los dos bloques, dentro del cual se cancelan todas lasfuerzas internas, se mueve como un sistema de masa m1 +m2 bajo el efecto de la fuerza externaFmin.

Captulo 5

Momentum

La segunda ley de Newton en su forma mas general puede escribirse, para una partcula demomentum p, como (ver ec. (4.15)

F =dp

dt. (5.1)

Demostraremos que en la ecuacion anterior cuando es aplicada a un sistema de partculas, solocontribuyen las fuerzas externas.

5.1. Dinamica de un sistema de partculas

Considere un sistema de N partculas interactuantes con masas m1, m2, m3, . . ., mN . La posicionde la i-sima partcula es ri, y la fuerza sobre esta es Fi. La ecuacion de movimiento de la i-simapartcula es

Fi =dpidt

(5.2)

Las fuerza sobre la partcula i puede desdoblarse en dos terminos

Fi = Finti + F

exti . (5.3)

Aqu Finti , la fuerza interna sobre la partcula i, es la fuerza debida a todas las partculas dentro delsistema, y Fexti , la fuerza externa sobre la partcula i, es decir la fuerza debida a fuentes externas alsistema. La ecuacion de movimiento es entonces

Finti + Fexti =

dpidt

. (5.4)

71

72 CAPITULO 5. MOMENTUM

El resultado de sumar todas las ecuaciones de movimiento para cada una de las partculas esentonces

Ni=1

Finti +Ni=1

Fexti =Ni=1

dpidt

. (5.5)

El segundo termino corresponde a todas las fuerzas externas actuando sobre todas las partculas.Esta es la fuerza externa total, Fext, actuando sobre el sistema

Fext =Ni=1

Fexti . (5.6)

El primer termino en la ec. (5.5), es la suma de todas las fuerzas internas actuando sobre todas laspartculas. De acuerdo a la tercera ley de Newton, las fuerzas entre cualquier par de partculas soniguales y opuestas de modo que su suma es cero. Se sigue que la suma de las fuerzas entre todas laspartculas tambien es cero, de modo que las fuerzas internas se cancelan a pares. De aqu

Ni=1

Finti =0 . (5.7)

La ec. (5.5) se simplifica a

Fext =Ni=1

dpidt

=d

dt

Ni=1

pi

Fext =d

dtP , (5.8)

donde

P =Ni=1

pi , (5.9)

es el momentum total del sistema. De modo que la fuerza externa aplicada a un sistema es igual ala tasa de cambio del momentum total del sistema. Esto es cierto independiente de los detalles de lainteraccion. Fext podra ser una sola fuerza actuando en una sola partcula, o podra ser la resultantede muchas interacciones involucrando cada una de las partculas del sistema.

5.2. CENTRO DE MASA 73

x

y

z m1

m2

mi

r1

r2

notas fisica mecanica, diego restrepo

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