Teora de Modulos

Jose Luis Camarillo Nava

Febrero de 2015

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Captulo 1

La Teora de Modulos

1.1. Definicion y propiedades

Supongase que (M,+) es un grupo abeliano. Recuerdese que el conjuntoEnd(M) definido por

End(M) = {f : M M, f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y M}

se llama el anillo de endomorfismos de M y tiene una estructura naturalde anillo unitario. Concretamente, se tienen definidas las operaciones de suma

+ : End(M) End(M) End(M)y producto

: End(M) End(M) End(M),Para cada par g, f End(M), se definen de forma puntual, g+ f y g f ,

respectivamente, por

(g + f)(x) = g(x) + f(x), si x M(g f)(x) = g(f(x)), si x M

El elemento neutro para la suma es, obviamente, la el homomorfismonulo, el cual sera denotado por 0End(M). El elemento neutro para el producto(composicion de funciones) es, naturalmente, la funcion identidad de M , lacual sera denotada por 1M .

As, con estas operaciones se tiene el anillo unitario (End(M),+, , 0End(M), 1M)llamado usualmente el anillo de endormorfismos de M .

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4 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

Teorema 1.1. Sea (M,+) un grupo abeliano y f End(M). Entonces, paracada r Z y x M , se tiene que

f(r x) = r x

Demostracion:

Ejemplos

Ejemplo 1: Considerese el grupo abeliano (Z,+). Sea f End(Z).Entonces, para cada r Z, se tiene que

f(r) = f(r 1) = r f(1)

Es decir, f esta determinado por su imagen en 1: la accion de f es mul-tiplicar a derecha por m0 = f(1). Recprocamente, si m Z y se define lafuncion fm : Z Z por

fm(r) = r m, para cada r Z

entonces es claro que fm End(Z). Por tanto, se deduce que:

End(Z) = {fm : m Z}

Notese que cada fm enva a 1 en m.Ademas, es facil demostrar que, para cada m1,m2 Z, se tiene que

fm1 + fm2 = fm1+m2

fm1 fm2 = fm1m2Por tanto, es natural definir la aplicacion : End(Z) Z por

(fm) = m, para cada fm End(Z)

Es facil demostrar que es un isomosfismo de anillos.

Ejemplo 2: Considerese el grupo abeliano,(ZZ,+), donde la suma sedefine coordenada a coordenada. Es decir,

Z Z = {(m,n) : m,n Z}

y la suma en Z Z esta definida por

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 5

(m,n) + (m, n) = (m+m, n+ n)

Notar ademas que cada (m,n) Z Z se escribe en la forma

(m,n) = m(1, 0) + n(0, 1)

Es decir, (1, 0) y (0, 1) son generadores de (ZZ,+). Luego, cada homo-morfismo de grupos, f End(Z Z), esta determinado por su imagen enestos elementos, pues:

f(m,n) = mf(1, 0) + nf(0, 1)

Al escribir f(1, 0) = (a, b) y f(0, 1) = (c, d) se tiene que

f(m,n) = m(a, b) + n(c, d)

= f(m,n) = (ma+ nc,mb+ nd)

= f(m,n) =(a cb d

)(mn

)Notese que la matriz

(a cb d

)sera, segun el Algebra Lineal, la matriz que

representa a f en la base canonica = {(1, 0); (0, 1)} y, se suele simbolizarpor (

a cb d

)= [ f ]

Es facil demostrar que, para cada g, f End(Z Z), se tiene que

[ g + f ] = [ g ] + [ f ]

y

[ g f ] = [ g ] [ f ]Por tanto, es natural definir la aplicacion : End(Z Z) M22(Z)

por

(f) =

(a cb d

)= [ f ]

As, se tiene que es un homomorfismo de anillos.

6 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

Definicion 1.1. Supongase que (R,+, , 0, 1) es un anillo unitario y (M,+)un grupo abeliano. Se llama representacion de R en M a todo homomorfismode anillos

: R End(M)

As pues, notese que, en las condiciones de la definicion 1.1, a cada r Rle corresponde (por medio de ), un unico homomorfismo de grupos, (r),que sera denotado por r.

Ademas, por ser un homomorfismo de anillos, se tienen las siguientespropiedades para cada r1, r2 R:

(r1 + r2) = (r1) + (r2) (1.1)

(r1 r2) = (r1) (r2) (1.2)(1) = 1M (1.3)

Con la notacion acordada, se tiene que

r1+r2 = r1 + r2 (1.4)

r1r2 = r1 r2 (1.5)1 = 1M (1.6)

Teorema 1.2. Supongase que : R End(M) es una representacion deR en M . Entonces, induce una ley de operacion externa, : RM M ,definida por

(r, x) = r(x)

Ademas, si para cada par (r, x) RM , el elemento (r, x) se simbolizapor

(r, x) = r x

entonces la operacion tiene, para cada r, r1, r2 R y x, x1, x2 M , lassiguientes propiedades:

1. r (x1 + x2) = r x1 + r x2

2. (r1 + r2) x = r1 x+ r2 x

3. (r1 r2) x = r1 (r2 x)

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 7

4. 1 x = x

Demostacion:

(1): En efecto, por la definicion, se tiene que

r (x1 + x2) = r(x1 + x2)

= r (x1 + x2) = r(x1) + r(x2)

= r (x1 + x2) = r x1 + r x2

(2): Por definicion, se tiene que

(r1 + r2) x = r1+r2(x)

= (r1 + r2) x = (r1 + r2)(x)

= (r1 + r2) x = r1(x) + r2(x) = r1 x+ r2 x

(3) : Por definicion, se tiene que:

(r1 r2) x = r1r2(x)

= (r1 r2) x = (r1 r2)(x)

= (r1 r2) x = r1(r2(x))

= (r1 r2) x = r1 (r2 x)(4) : Por definicion, se tine que

1 x = 1(x)

= 1 x = 1M(x)

8 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

= 1 x = x

As pues, en las condiciones del Teorema 1.1, se dice que R opera sobre el

grupo abeliano M . En cuanto a la ley de operacion externa, : RM M ,que se ha obtenido a partir de la representacion , se suele decir que es unaestructura de Rmodulo a izquierda sobre M .

Por tanto, lo que se ha demostrado es que toda representacion de Rsobre M induce una estructura algebraica nueva. Recprocamente, se tieneel siguiente:

Teorema 1.3. Sea (R,+, , 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Supongase que se tiene definida una ley de operacion externa entreelementos de R y los elementos de M , : R M M . Para cada par(r, x) RM denotese (r, x) por

(r, x) = r xSupongase ademas que esta operacion satisface las siguientes propiedades

para cada r, r1, r2 R y x, x1, x2 M :

1. r (x1 + x2) = r x1 + r x2

2. (r1 + r2) x = r1 x+ r2 x

3. (r1 r2) x = r1 (r2 x)

4. 1 x = x

Entonces, esta operacion induce una representacion : R End(M).

Demostacion:

En efecto, la propiedad 1 establece que los elementos de R actuan li-nealmente sobre los elementos de M . As, para cada r R la aplicacionhr : M M definida por:

hr(x) = r x, para cada x M,es un homomorfismo de grupos: pues, por 1, se tiene que

hr(x1 + x2) = r (x1 + x2) = r x1 + r x2 = hr(x1) + hr(x2)

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 9

Ademas, por 2, 3 y 4, se tiene que

hr1+r2 = hr1 + hr2 (1.7)

hr1r2 = hr1 hr2 (1.8)h1R = 1M (1.9)

Es natural entonces definir la aplicacion : R End(M), por

(r) = hr, para cada r R

Las propiedades (1.7),(1.8) y (1.9), garantizan que es un homomorfismode anillos unitario.

As pues, se tiene la siguiente

Definicion 1.2. Sea (R,+, , 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Entonces, se dice que M tiene una estructura de Rmodulo a iaquierdasi, y solo, si existe una aplicacion : R M M tal que si se hace lanotacion

(r, x) = r x

para cada r R y x M , entonces se tienen, para cada r, r1, r2 R yx, x1, x2 M , las siguientes propiedades:

1. r (x1 + x2) = r (x1) + r (x2)

2. (r1 + r2) x = r1 x+ r2 x

3. (r1 r2) x = r1 (r2 x)

4. 1 x = x

Ejemplos

Ejemplo 1 (Algebra Lineal): Evientemente, si (V, F, ) es un espacio vec-torial, entonces V tiene una estructura de Fmodulo a izquierda.

Ejemplo 2 (Teora de Grupos Abelianos): Supongase que (M,+) es ungrupo abeliano. Entonces, puede definirse sobre M una estructura de modulosobre Z. En efecto, para cada r Z y x M , se puede definir de manera

10 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

natural el smbolo r x de forma inductiva. Mas precisamente, defnase laoperacion : ZM M de la siguiente manera:

1 x = x,

y

(h+ 1) x = h x+ x, si h N

Por otro lado, si r Z y r < 0, se define

r x = ((r) x)

Finalmente, se define

0 x = 0MAs, se tiene que la terna (M,Z, ) es un Z-modulo.

Ejemplo 3 (Teora de Anillos): Si (R,+, , 0, 1) es un anillo unitario, en-tonces obviaamente, R tiene una estructura natural de R-modulo. En efecto,es claro que (R,+) es un grupo abeliano y que el producto definido en Rcumple con los axiomas de R-modulo.

Ejemplo 4 (Accion de matrices): Sea F un cuerpo, n N y considereseel F -espacio vectorial F n. Sea A una matriz n n sobre F . Se puede definiruna estructura de F [X]-modulo sobre F n de la siguiente manera:

Se define la operacion : F [X] F n F n, para cada f(X) F [X] yv F n por

f(X) v = f(A) v