Notas de EDP

J. Duoandikoetxea - L. Escauriaza

8 de diciembre de 2014

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. ¿Que son las EDP’s?

Una EDP es una ecuacion con una incognita u que es funcion de x =(x1, . . . , xn), a la que se pide que satisfaga

F (x, u,Du,D2u, . . . ,Dmu) = 0.

Aquı Dju representa todas las derivadas de u de orden j y

Dαu =∂|α|u

∂xα11 . . . ∂xαnn

, |α| =n∑i=1

αi, si α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn.

Terminologıa

Orden de la ecuacion. Es el mayor orden de derivacion de u que apareceen la ecuacion.

Ecuacion lineal. Aquella en la que los terminos en los que aparecen u osus derivadas son lineales.

Todas las ecuaciones que estudiamos con detalle en el curso son linealesy de orden menor que tres.

Ecuacion cuasilineal. La misma definicion que la anterior pero ahorareferida solo a los terminos que contienen a las derivadas de orden igual alorden de la ecuacion.

Los siguientes conceptos y teorema seran muy ultiles en este curso:

∇f = ( ∂f∂x1 , . . . ,∂f∂x1

).

La divergencia de un campo vectorial, F = (F1, . . . , Fn), y el Lapla-ciano de una funcion f definidos en un abierto Ω ⊂ Rn

∇ · F =∂F1

∂x1+ · · ·+ ∂Fn

∂x1.

4f = ∇2f = ∇ · (∇f).

1

Teorema 1 (Teorema de la divergencia). Ω es una abierto acotado de Rncon frontera regular, F : Ω −→ Rn es una campo vectorial en Ω, F ∈ C1(Ω),ν es el vector normal exterior a ∂Ω. Entonces,∫

Ω∇ · F (x) dx =

∫∂ΩF · ν dσ.

1.2. Ejemplos de ecuaciones

Los tres primeros ejemplos son las ecuaciones que se estudian en el curso.

1. Ecuacion de ondas. Se busca u(x, t) con x ∈ Rn, tal que

utt − c24u = F (x, t).

Aquı c > 0 es una constante, F una funcion dada y 4u = ux1x1 +· · ·+ uxnxn , es el laplaciano de u en las coordenadas espaciales (t es eltiempo). Si n = 1, se reduce a, utt − c2uxx = F .

2. Ecuacion del calor. Se busca u(x, t) con x ∈ Rn tal que

ut −4u = F (x, t).

Si n = 1, se reduce a ut − c2uxx = F .

3. Ecuacion del potencial. Se busca u(x) con x ∈ Rn tal que

4u = F (x).

Si n = 2, se reduce a uxx + uyy = F .

Una ecuacion que no estudiaremos es la siguiente.

4. Ecuacion de Schrodinger. Se busca u(x, t), con x ∈ Rn y tal que

iut −4u = F (x, t).

En lugar de ecuaciones se pueden considerar sistemas.

5. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Se buscan u(x, y), v(x, y) definidasen R2 tales que

ux = vy,

uy = −vx.

6. Ecuaciones de Navier-Stokes. Encontrar, u : R3 × [0,+∞) −→ R3 yp : R3 × [0,+∞) −→ R, tal que se verifiquen las ecuaciones

∂tu−4u+ u · ∇u = −∇p,∇ · u = 0,

u(0) = a,

2

en R3 × (0,+∞), donde a : R3 −→ R3 es una campo vectorial condivergencia nula, ∇ · a = 0.

7. Sistema de elasticidad. Encontrar u : R3 −→ R3, tal que se verifiquenlas ecuaciones

µ4u+ (µ+ λ)∇ (∇ · u) = 0

en Ω ⊂ R3, donde µ, λ > 0 son las constantes de elasticidad o de Lamedel solido Ω.

1.3. Cambio de variables

Repaso de la regla de la cadena para funciones de varias variables. Seav(y) una funcion de clase Cm definida en D ⊂ Rn y ϕ : D′ ⊂ Rn → D,biyectiva y de clase Cm; se define u(x) = v(ϕ(x)). Entonces

∂u

∂xj(x) =

n∑i=1

∂v

∂yi(ϕ(x)) · ∂ϕi

∂xj(x).

Con la funcion inversa de ϕ se puede escribir la relacion en la forma v(y) =u(ϕ−1(y)) y escribir todas las derivadas de v en terminos de las de u.

Ejemplos

1. La ecuacion de primer orden, ux + uy = 0, se transforma en vξ = 0, porel cambio de variables independientes

ξ = x+ y,

η = x− y.

2. Se define en el plano el cambio de variableξ = x+ ct ,

η = x− ct ,cuya inversa es

x = (ξ + η)/2 ,

t = (ξ − η)/2c .

u(x, t) y v(ξ, η) se relacionan por u(x, t) = v(x + ct, x − ct). Escribir laexpresion utt − c2uxx en terminos de las derivadas de v. Se debe llegar a−4c2vξη.

3. El laplaciano en coordenadas polares. Se define en el plano el cambio devariable a coordenadas polares habitual x = r cos θ, y = r sin θ, donde r > 0y −π < θ < π. Si v(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ), se verifica que

4u = uxx + uyy = vrr +1

rvr +

1

r2vθθ.

3

4. El laplaciano en coordenadas cilındricas y esfericas. Las coordenadascilındricas son x = r cos θ, y = r sin θ y z = z, donde r > 0, 0 < θ < 2π y−∞ < z < +∞. Si v(z, θ, z) = u(r cos θ, sin θ, z),

4u = uxx + uyy + uzz = vrr +1

rvr +

1

r2vθθ + vzz.

Las coordenadas esfericas son (ρ, θ, ϕ) y su relacion con las cartesianases x = ρ cos θ sinϕ, y = ρ sin θ sinϕ y z = ρ cosϕ, ρ > 0, 0 < θ < 2π y0 < ϕ < π. En este caso, si v(ρ, θ, ϕ) = u(ρ cos θ sinϕ, ρ sin θ sinϕ, ρ cosϕ),se verifica que

4u = vρρ +2

ρvρ +

1

(ρ sinϕ)2vθθ +

1

ρ2vϕϕ +

cotϕ

ρ2vϕ.

Cambio de funcion incognita

Si en la ecuacion ut − uxx − αu = 0 hacemos el cambio v(x, t) =e−αtu(x, t), queda la ecuacion del calor para v.

Si en la ecuacion, ut = u2x + uxx, hacemos el cambio v = eu, desaparece

el termino no lineal y v es solucion de vt − vxx = 0.La siguiente formula es muy util:

4(fg) = f4g + g4f + 2∇f · ∇g.

Si v = e−ϕu, calcular e−ϕ4u en terminos de v.

1.4. Problema de Cauchy. Condiciones iniciales yde contorno. Problema bien planteado

Una ecuacion puede tener en principio muchas soluciones, ¿que datos senecesitan para determinar una de ellas? En EDOs, podıa ser el valor de lafuncion y algunas derivadas en un punto; ahora eso no es suficiente.

Por ejemplo, sea ux = 0 en el plano. La solucion es u(x, y) = ϕ(y), paraalguna funcion ϕ; por tanto:

- si nos dan u(a, b), tenemos u(x, b) para todo x;- si nos dan u(a, b) y u(a′, b) y no son iguales, no hay solucion y si son

iguales, uno de los datos es innecesario.En general, si a(x, y), b(x, y) y c(x, y) son funciones regulares, el proble-

ma de Cauchy asociado a una ecuacion de primer orden consiste en encontraruna solucion local u de la ecuacion

aux + buy = c (1.1)

que verifique la condicion de Cauchy

u(f(s), g(s)) = h(s) (1.2)

4

a lo largo de una curva S = (f(s), g(s)) y cerca de un punto P0 =(f(s0), g(s0)) de S. Veremos que esto es posible si sabemos a priori quela curva S es no “caraterıstica”en P .

Una curva S es caraterıstica en uno de sus puntos P si su vector tan-gente en P es paralelo al vector (a(P ), b(P )). En caso contrario, se dice nocaraterıstica en P . Es decir, se ha de verificar que∣∣∣∣a(f(s), g(s)) b(f(s), g(s))

f ′(s) g′(s)

∣∣∣∣ 6= 0. (1.3)

Las curvas caracterısticas asociadas a la ecuacion (1.1) que pasan por(f(s), g(s)) se obtienen resolviendo el sistema de EDO’s con condicionesiniciales

∂x∂t = a(x, y),∂y∂t = b(x, y),

x(0, s) = f(s), y(0, s) = g(s).

(1.4)

y si u es solucion de clase C1 de la ecuacion lineal en un entorno de P yz(t, s) = u(x(t, s), y(t, s)), se verifica que

∂z

∂t= c(x(t, s), y(t, s))

y

z(t, s) = h(s) +

∫ t

0c(x(τ, s), y(τ, s))dτ. (1.5)

En particular,

u(x(t, s), y(t, s)) = h(s) +

∫ t

0c(x(τ, s), y(τ, s))dτ,

y los valores de u estan determinados a lo largo de una curva caracterısticaque pasa por S por el valor de u en la interseccion de la caracterıstica conS y por los valores de c a lo largo de la caracterıstica.

Recıprocamente, si a, b, c y (f(s), g(s), h(s)) son de clase C1 en entornosde P y s0 respectivamente, la teorıa de las EDO’s asegura que el sistema(1.4) admite una solucion de clase C1 para (t, s) cerca de (0, s0). Es decir,existe un δ > 0 tal que la transformacion, x = x(t, s), y = y(t, s), esta biendefinida y es de clase C1 en (−δ, δ) × (s0 − δ, s0 + δ). Ademas, si S es nocaraterıstica en P , el Jacobiano de la transformacion

x = x(t, s),

y = y(t, s),(1.6)

en (0, s0) es ∣∣∣∣a(f(s0), g(s0)) b(f(s0), g(s0))f ′(s0) g′(s0)

∣∣∣∣ 6= 0

5

y el teorema de la funcion inversa garantiza que el sistema (1.6) se puedeinvertir para (x, y) cerca de P y (t, s) cerca de (0, s0). Si definimos entonces

u(x, y) = z(t(x, y), s(x, y)),

donde z se define mediante (1.5), la regla de la cadena muestra que u es unafuncion de clase C1 en un entorno de P . Como z(t, s) = u(x(t, s), y(t, s)),haciendo t = 0, vemos que u verifica la condicion de Cauchy (1.2) en S cercaP . Derivando la misma identidad respecto a t, obtenemos que

∂z

∂t= ux(x(t, s), y(t, s))

∂x

∂t+ uy(x(t, s), y(t, s))

∂y

∂t

y como, ∂z∂t = c(x(t, s), y(t, s)), se sigue que u verifica la ecuacion (1.1) en

un entorno de P .Por lo tanto, el problema de Cauchy asociado a la ecuacion lineal de orden

uno tiene una unica solucion local de clase C1 en un entorno de P si S noes una curva caracterıstica en P , a(x, y), b(x, y), c(x, y) y (f(s), g(s), h(s))son funciones de clase C1 cerca de P y s0 respectivamente.

Otro ejemplo es el asociado a la ecuacion

ux − uy = 0.

La solucion general en este caso es de la forma

u(x, y) = ϕ(x+ y),

donde ϕ es cualquier funcion de clase C1. Las soluciones son constantes enlas rectas x + y = k y las curvas S en la que se dan los datos de Cauchydeben contener un unico punto de cada una de estas rectas si queremos queel problema de Cauchy este bien planteado para todos los datos.

Las rectas y = k, en el primer ejemplo y las rectas x + y = k, en elsegundo, son caracterısticas y ponen limitaciones al lugar en que se debendar los datos para que el problema de Cauchy asociado tenga siempre sentido(poder dar datos arbitrarios sobre S). Las soluciones de ambas ecuacionesson constantes a lo largo de las caracterısticas y los datos h no pueden serarbitrarios a lo largo de las mismas.

Se puede comprobar, que la condicion de que S sea no caracterıstica enP para la ecuacion lineal, equivale a pedir que las ecuaciones

aux + buy = c

u(f(s), g(s)) = h(s)

determinen unıvocamente el valor de todas las derivadas en S y cerca de Pde una posible solucion u de la ecuacion en un entorno de P . Es decir, que∣∣∣∣a(f(s), g(s)) b(f(s), g(s))

f ′(s) g′(s)

∣∣∣∣ 6= 0. (1.7)

6

En general, el problema de Cauchy asociado a una ecuacion de primerorden consiste en encontrar en un entorno de P una solucion u de clase C1

del problema F (x, y, u, ux, uy) = 0

u(f(s), g(s)) = h(s).

Se dice que la curva en el espacio, (f(s), g(s), h(s)), por la que queremospasar una superficie, z = u(x, y), que verifique la ecuacion es no caraterıstica,si todas las derivadas parciales de u estan univocamente determinadas en Ppor la ecuacion y la condicion de Cauchy en S.

En las ecuaciones no lineales el ser no caraterıstica depende en generaldel dato de Cauchy h que damos sobre S y no solo de S. Por ejemplo, parala ecuacion cuasilineal

a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u), (1.8)

la curva, (f(s), g(s), h(s)), es no caracterıstica si∣∣∣∣a(f(s), g(s), h(s)) b(f(s), g(s), h(s))f ′(s) g′(s)

∣∣∣∣ 6= 0, para s cerca de s0,

condicion que depende de los valores de h en S. En este caso, si a, b, c y(f(s), g(s), h(s)) son respectivamente de clase C1 en entornos de P y s0, lateorıa de las EDO’s asegura que el sistema

∂x∂t = a(x, y, z),∂y∂t = b(x, y, z),∂z∂t = c(x, y, z),

x(0, s) = f(s), y(0, s) = g(s), z(0, s) = h(s),

(1.9)

tiene una solucion de clase C1 para (t, s) cerca de (0, s0). Ademas, si S esno caraterıstica en P , el Jacobiano de la transformacion

x = x(t, s),

y = y(t, s),(1.10)

en (0, s0) es ∣∣∣∣a(f(s0), g(s0), h(s0)) b(f(s0), g(s0), h(s0))f ′(s0) g′(s0)

∣∣∣∣ 6= 0

y el teorema de la funcion inversa garantiza otra vez que el sistema (1.10)se puede invertir para (x, y) cerca de P y (t, s) cerca de (0, s0). Si definimos

u(x, y) = z(t(x, y), s(x, y)),

7

la regla de la cadena muestra que u es de clase C1 en un entorno de P yhaciendo t = 0 en la relacion, z(t, s) = u(x(t, s), y(t, s)), vemos que u verificala condicion de Cauchy (1.2) en S y cerca de P . Derivando otra vez la mismaidentidad respecto a t, concluimos que

∂z

∂t= ux(x(t, s), y(t, s))

∂x

∂t+ uy(x(t, s), y(t, s))

∂y

∂t,

que combinado con las identidades que verifican x(t, s), y(t, s) y z(t, s) en(1.9), implica otra vez que u es solucion de (1.8) en un entorno de P .

En las ecuaciones de segundo orden puede haber caracterısticas pero elconcepto es algo mas complicado. En este caso, el problema de Cauchy con-siste en encontrar una funcion u(x, y) de clase C2 que verifique la ecuacionde segundo orden en un entorno de P y cuyas derivadas de orden menorque dos sobre la curva S son conocidas . Por ejemplo, si S = y = 0, nospodemos plantear encontrar u(x, y) de clase C2, definida cerca de (0, 0) ytal que

uyy = F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy),

u(x, 0) = ϕ0(x),

uy(x, 0) = ϕ1(x).

Se comprueba facilmente que y = 0 no es una curva caracterıstica paraeste ultimo problema de Cauchy:

Todas las derivadas de una posible solucion estan unıvocamente deter-minadas en la curva, y = 0, por las derivadas del dato de Cauchy, ϕ0, ϕ1 ylas derivadas de F .

1.5. Clasificacion de las ecuaciones lineales de se-gundo orden.

La ecuacion cuasilineal de segundo orden en dos variables es de la forma

auxx + 2buxy + cuyy = d, (1.11)

donde a, b, c y d dependen de x, y, u, ux y uy. El problema de Cauchyconsiste en encontrar una solucion de (1.11) con valores compatibles de u,ux y uy sobre una curva S. Si S = (f(s), g(s)) el dato de Cauchy es

u(f(s), g(s)) = h(s), ux(f(s), g(s)) = φ(s), uy(f(s), g(s)) = ψ(s) (1.12)

y debe satisfacer la condicion de compatibilidad

h′(s) = φ(s)f ′(s) + ψ(s)g′(s). (1.13)

Esto equivale a dar sobre S los valores de u y los de su derivada normal

u(f(s), g(s)) = h(s),−uxg′ + uyf

′√f ′2 + g′2

= ℵ(s). (1.14)

8

Si u(x, y) es solucion de (1.11), la ecuacion (1.11) y las condiciones decompatibilidad sobre S para los valores de ux y uy implican que

auxx + 2buxy + cuyy = d, f ′uxx + g′uxy = φ′, f ′uxy + g′uyy = ψ′ ,

que es un sistema con coeficientes que dependen de s y del dato de Cauchyy que tiene por incognitas las derivadas segundas de u en S. Este sistematendra solucion unica si

4 =

∣∣∣∣∣∣a 2b cf ′ g′ 00 f ′ g′

∣∣∣∣∣∣ = ag′2 − 2bf ′g′ + cf

′2 6= 0.

Si 4 6= 0 en (f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0)) y derivando la ecuacion(1.11) se concluye que todas las derivadas de una solucion de (1.11), (1.12)(o de (1.11) y (1.14)), estan unıvocamente determinadas a lo largo de la curva(f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s)) y cerca de (f(s0), g(s0), h(s0), φ(s0), ψ(s0)) porlos datos de Cauchy y los valores de los coeficientes de la ecuacion (1.11) alo largo de la curva.

Las curvas caracterısticas para (1.11), (1.12) son las curvas en R5

(f(s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s))

tales que4 ≡ 0 a lo largo de su recorrido. Si la ecuacion es lineal, la condicionde ser caracterıstica es independiente de las tres ultimas componentes deldato de Cauchy (h(s), φ(s), ψ(s)) y solo depende de la proyeccion de la curvaen el plano xy, a(x, y), b(x, y) y c(x, y), como ocurre con las ecuaciones deprimer orden; es decir, de su traza S = (f(s), g(s)) en el plano xy.

En particular, en el caso lineal y si S esta dada implicitamente por laecuacion, φ(x, y) = cte. ((f ′, g′) es paralelo al vector (φy,−φx)), la condicionde ser curva caraterıstica es

∇φ 6= 0 y a(x, y)φ2x + 2b(x, y)φxφy + c(x, y)φ2

y = 0. (1.15)

Recıprocamente, si φ verifica (1.15), las curvas φ(x, y) = cte. son curvascaracterısticas de la ecuacion.

La ecuacion lineal de segundo orden es

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = d(x, y, u, ux, uy)

y para encontrar una forma equivalente y mas sencilla de la ecuacion alre-dedor de un punto P = (x0, y0), se puede consider un cambio de variablesabstracto

ξ = α(x, y),

η = β(x, y),

9

con funciones regulares α, β con Jacobiano no nulo. En tal caso, se puedemostrar que u, como funcion de las variables (ξ, η), es solucion de la ecuacion

auξξ + 2buξη + cuηη = d(ξ, η, u, uξ, uη),

donde

a = aα2x + 2bαxαy + cα2

y = A∇α · ∇α,b = aαxβx + b (αxβy + αyβx) + cαyβy = A∇α · ∇β,c = aβ2

x + 2bβxβy + cβ2y = A∇β · ∇β,

y A es la matriz simetrica (a bb c

).

Ejemplo 1. Las caracterısticas de las ecuaciones, uyy − c2uxx = 0 y deuxy = 0, son respectivamente las curvas, x ± cy = const. y x = const.,y = const.

Si a y c son nulas en un entorno de P y b(P ) 6= 0, la ecuacion (1.11)se reduce dividiendo por b y cerca de P a una ecuacion del tipo (1.16).Supuesto que c > 0, la ecuacion caracterıstica (1.15) tiene dos solucionesindependientes definidas en un entorno de P , α(x, y) y β(x, y), si E = ac−b2 < 0 cerca de P ; es decir, por cada punto en el entorno pasan dos curvascaracterısticas no paralelas. En este caso el operador se dice hiperbolico ycon el cambio de variable de variables, ξ = α(x, y), η = β(x, y), la ecuacionoriginal se transforma en

uξη = F (ξ, η, u, uξ, uη). (1.16)

Si ademas hacemos el cambio, X = 12 (ξ + η), T = 1

2 (ξ − η), la ultimaecuacion se transforma en una ecuacion de tipo ondas

uTT − uXX = H(X,T, u, uX , uT )

y la ecuacion de ondas se considera la forma canonica de las ecuaciones detipo hiperbolico.

Ejemplo 2. La ecuacion uxx + uyy = 0 no tiene curvas caracterısticas.Si E > 0 en un entorno de P , la ecuacion se dice de tipo elıptico. En

este caso, podemos suponer que a y c son positivas en un entorno de P , Aes definida positiva y no hay curvas caraterısiticas cerca de P . Sin embargo,(1.15) tiene una solucion a valores complejos φ(x, y) y si

α =1

2(φ+ φ) , β(x, y) =

1

2i(φ− φ),

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resulta que la ecuacion original se transforma en

uξξ + uηη = G(ξ, η, u, uξ, uη),

y la ecuacion de Laplace se considera como la forma canonica de las ecua-ciones de tipo elıptico.

Ejemplo 3. Las caracterısticas de la ecuacion uxx−uy = 0 son las curvasy = const.

Si E ≡ 0 en un entorno de P , la ecuacion se dice de tipo parabolico. Porcada punto pasa una unica caracterıstica y la ecuacion caracterıstica (1.15)tiene una solucion α(x, y) con gradiente no nulo en P . Ademas, E ≡ 0implica que A∇α ≡ 0 en un entorno de P . En este caso, tomando unafuncion arbitraria β(x, y) (si αx 6= 0, considerar β(x, y) = y y si αy 6= 0,hacer β(x, y) = x) que complete el cambio de variables, la nueva ecuaciones

uηη = M(ξ, η, u, uξ, uη).

La ecuacion del calor se considera como la forma canonica de las ecua-ciones de tipo parabolico.

1.6. Teorema de Cauchy-Kowalevsky

Consideramos la version para n = 2 en ecuaciones de primer orden condatos de Cauchy en y = 0 y con uy despejada.

Teorema 2. Se considera el problema de Cauchy

(P1)

uy = F (x, y, u, ux) ,

u(x, 0) = h(x)

y supongamos que h es analıtica en un entorno de 0 y que F lo es en unentorno de (0, 0, h(0), h′(0)). Entonces, existe una unica solucion analıticade (P1) en un entorno de (0, 0).

Consideramos la version para n = 2 en ecuaciones de segundo orden condatos de Cauchy en y = 0 y con uyy despejada.

Teorema 3. Se considera el problema de Cauchy

(P2)

uyy = F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy) ,

u(x, 0) = ϕ0(x) ,

uy(x, 0) = ϕ1(x) .

y supongamos que ϕ0 y ϕ1 son funciones analıticas en un entorno de 0 yque F lo es en un entorno de

(0, 0, ϕ0(0), ϕ′0(0), ϕ1(0), ϕ′′0(0), ϕ′1(0)).

Entonces, existe una unica solucion analıtica de (P2) en un entorno de (0, 0).

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De la ecuacion y de las condiciones de Cauchy, todos los valores de

cij =∂i+ju

∂xi∂yj(0, 0),

quedan determinados por los datos y la ecuacion. Con estos, se puede escribirformalmente la serie de Taylor de una posible solucion u en (0, 0), como

u(x, y) =+∞∑i,j=0

ciji!j!

xiyj .

Lo interesante, que no haremos en clase, es comprobar que la serie con-verge en un entorno de (0, 0) y define efectivamente una solucion de (P1) o(P2) en un entorno de (0, 0).

El problema de CauchyF (x, y, u, ux, uy) = 0,

u(f(s), g(s)) = h(s),(1.17)

es equivalente por medio del cambio de variablesx = f(s) + tg′(s),

y = g(s)− tf ′(s),

que transforma localmente la curva S = (f(s), g(s)) en el plano (x, y) enla curva t = 0 en el plano (t, s), a un problema del tipo

G(s, t, u, us, ut) = 0,

u(s, 0) = h(s)(1.18)

y que S sea no caracterıstica en P = (f(s0), g(s0)) para el problema de Cauchy (1.17) es equivalente a que t = 0 no lo sea para (1.18) en (s0, 0); esdecir, que (1.18) se pueda escribir como

ut = H(s, t, u, us),

u(s, 0) = h(s).

Ademas, como la inversa o la composicion de funciones analıticas de va-riable real son tambien analıticas de variable real, el teorema de Teoremade Cauchy-Kowalevsky garantiza que si F (x, y, z, p, q) en (1.17) es analıticaen (x, y, z, p, q), f , g, h son analıticas en s0 y S es no caracterıstica en P ,entonces (1.17) tiene una unica solucion analıtica

u(x, y) =

+∞∑i,j=0

ciji!j!

(x− f(s0))i(y − g(s0))j

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en algun entorno de P .Un enunciado analogo se puede dar para el problema de Cauchy asociado

a la ecuacion de segundo ordenF (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,

u(f(s), g(s)) = h(s),∂u∂ν (s, 0) = χ(s),

si F , f , g, h, χ son analıticas de variable real y S no es caracterıstica paraeste problema en P .

La unicidad en el teorema de Cauchy-Kowalevsky se refiere solo a so-luciones analıticas y no se excluye la existencia de soluciones que no seananalıticas. Las demostraciones de estos resultados las encontrareis en el librode F. John, Partial Differential Equations.

Condiciones iniciales o condiciones de contorno

Estos conceptos los entenderemos con algunos ejemplos asociado a laecuacion de Laplace y a la Ecuacion del calor:

El problema de contorno o problema de Dicihlet asociado a la ecuacionde Laplace en un dominio Ω ⊂ Rn y con dato de contorno o de Dirichletϕ en C(∂Ω), consiste en encontrar u en C2(Ω) ∩ C(Ω), que verifique

4u = 0 en Ω,

u = ϕ en ∂Ω.

El problema de condiciones iniciales asociado a la ecuacion del calor enRn y con dato inicial ϕ en C(Rn), consiste en encontrar u en C2,1(Rn×(0,+∞)) ∩ C(Rn × [0,+∞)) tal que

4u− ∂tu = 0 en Rn × (0,+∞),

u(x, 0) = ϕ(x) en Rn.

El problema de condiciones iniciales con condicion de contorno nula detipo Dirichlet para la ecuacion del calor en Ω ⊂ Rn y con dato inicial fen C(Ω), consiste en encontrar u en C2,1(Ω×(0,+∞))∩C(Ω×[0,+∞))que verifique

4u− ∂tu = 0 en Ω× (0,+∞),

u(x, 0) = f(x) en Ω,

u = 0 en ∂Ω× [0,+∞).

13

La condicion de contorno se dice de tipo Neumann nula, cuando lacondicion en la frontera lateral es:

∂u

∂ν= ∇u · ν = 0, en ∂Ω× (0,+∞),

donde ν es el vector normal unitario exterior a ∂Ω.

Problema bien planteado

J. Hadamard introdujo el concepto de problema bien planteado en losterminos siguientes: un problema esta bien planteado si existe solucion, esunica y depende continuamente de los datos iniciales.

Un ejemplo de Hadamard : El problema de Cauchy para la ecuacionuxx + uyy = 0,

u(x, 0) = uy(x, 0) = 0.

esta mal planteado en el sentido de Hadamard, pues si resolvemosuxx + uyy = 0,

u(x, 0) = 0,

uy(x, 0) = n−1 sinnx,

su solucion es

un(x, y) =1

n2sinnx sinhny,

y no hay dependencia continua porque aunque los datos iniciales sean muypequenos (n muy grande), la solucion tiende a infinito con n.

Otro ejemplo:La ecuacion,4u = 0, en un dominio Ω con condiciones de tipo Neumann

∂u

∂ν= χ en ∂Ω,

no tiene solucion si la integral de χ sobre ∂Ω no es nula, pues por el teoremade la divergencia, ∫

∂Ωχdσ =

∫∂Ω

∂u

∂νdσ =

∫Ω4u dx = 0;

y si lo es, la solucion no es unica, se pueden anadir constantes.Una aclaracion importante: que un problema este bien planteado o no

depende de la eleccion del espacio en que se busquen las soluciones. Unproblema puede tener mas de una solucion pero solo una si nos restringimosa una determinada clase de funciones. La dependencia continua siempre sereferira a la manera en que se mida la continuidad, dependera del espacio

14

en el que se midan los datos y de aquel donde se mida el tamano de lassoluciones que se encuentren.

Los ejemplos anteriores muestran que el problema de Cauchy no estaen general bien planteado: no hay en general dependencia continua de losdatos, como muestra el ejemplo de Hadamard. Sin embargo, los problemascon condiciones iniciales y condiciones de contorno si estan en general bienplanteados para ciertas elecciones de los espacios donde se eligen los datosy en donde se encuentran las soluciones.

15

Capıtulo 2

Ondas en una dimension

2.1. Deduccion de la ecuacion

Tenemos una cuerda que se mueve y dos variables (x, t): (x, u(x, t)) esla posicion de la cuerda en tiempo t ≥ 0, ρ(x) es la densidad de la cuerda,que se supone independiente del tiempo, T (x, t) denota la magnitud de latension de la cuerda en (x, u(x, t)), una fuerza que actua en la direccion dela tangente a la posicion de la cuerda en tiempo t y F (x, t) es la densidadde la magnitud de una fuerza vertical que actua sobre la cuerda.

Consideramos un trozo de cuerda, de x a x + h. Por la segunda leyde Newton, la fuerza total que actua sobre el segmento de cuerda entre(x, u(x, t)) y (x+ h, u(x+ h, t)), es igual a la masa por la aceleracion:

T (x+ h, t)(1, ux(x+ h, t))√1 + u2

x(x+ h, t)− T (x, t)

(1, ux(x, t))√1 + u2

x(x, t)

+ (0, 1)

∫ x+h

xρ(s)F (s, t) ds = (0, 1)

∫ x+h

xρ(s)utt(s, t) ds.

La primera componente de esta ecuacion muestra que

T (x, t)√1 + u2

x(x, t)

es una funcion constante de x que supondremos igual a T (t). La segundaecuacion implica que

utt − c2(x, t)uxx = F, si c2(x, t) =T (t)

ρ(x).

Si suponemos que los extremos de la cuerda de longitud l permanecenfijos en todo tiempo en las posiciones (0, 0) y (l, 0), que la posicion inicial dela cuerda, u(x, 0) = f(x) y la velocidad inicial de la cuerda, ut(x, 0) = g(x),

16

son funciones conocidas, concluimos que u es la solucion del problema deCauchy con condiciones de contorno de tipo Dirichlet

utt − c2(x, t)uxx = F, si 0 < x < l y t > 0,

u(x, 0) = f(x), si 0 ≤ x ≤ l,ut(x, 0) = g(x), si 0 ≤ x ≤ l,u(0, t) = u(l, t) = 0, si t ≥ 0.

Si suponemos que c2(x, t) ≡ c2 es constante, la ecuacion asociada es laecuacion de ondas unidimensional:

utt − c2uxx = F.

2.2. Solucion de d’Alembert

Buscamos la solucion general de la ecuacion homogenea

utt − c2uxx = 0. (2.1)

Haciendo el cambio de variable ξ = x + ct , η = x − ct (ya hecho en clase;seccion 1.3) se llega a la ecuacion

−4c2vξη = utt − c2uxx = 0

La solucion general de esta ecuacion es v(ξ, η) = ϕ(ξ)+ψ(η). Esto implicaque la de (2.1) es

u(x, t) = ϕ(x+ ct) + ψ(x− ct).

Las graficas de ϕ(x+ ct) y ψ(x− ct) se dibujan desplazando las de ϕ(x)y ψ(x) a la izquierda y derecha, respectivamente, en un cantidad ct. Se diceque u es la suma de una onda regresiva (ϕ) y de una onda progresiva (ψ); ces la velocidad de propagacion.

2.3. Problema de Cauchy para la ecuacion de on-das

Buscamos la solucion del problema de valores inicialesutt − c2uxx = 0 , x ∈ R, t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , x ∈ R ,ut(x, 0) = g(x) , x ∈ R .

Hay que determinar ϕ y ψ de la solucion general de la ecuacion u(x, t) =ϕ(x+ct)+ψ(x−ct), haciendo t = 0 en u y en ut. Tendremos, ϕ(x)+ψ(x) =

17

f(x), ϕ′(x)+ψ′(x) = f(x) y ϕ′(x)−ψ′(x) = 1c g(x). Resolviendo este sistema

de ecuaciones:

ϕ(x) =1

2f(x) +

1

2c

∫ x

0g(s) ds+ k, ψ(x) =

1

2f(x)− 1

2c

∫ x

0g(s) ds− k,

para alguna constante k que podemos suponer siempre que es igual a cero,lo que da

u(x, t) =f(x+ ct) + f(x− ct)

2+

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds. (2.2)

El razonamiento anterior implica la uncidad de la solucion si suponemosa priori que u ∈ C2(R× (0,+∞)) ∩ C1(R× [0,+∞)).

Si f es par o impar respecto a un punto x = l, entonces

f(x+ ct) + f(x− ct)2

es respectivamente par o impar respecto al mismo punto x = l. Lo mismoocurre con

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds,

cuando g es par o impar respecto a x = l.

2.4. Dominios de dependencia y de influencia

Dependencia. La solucion en (x, t) depende del valor de f (posicion ini-cial) en dos puntos, x− ct y x+ ct y del valor de g (velocidad inicial) en elintervalo, [x− ct, x+ ct].

Influencia. El valor de f en x0 interviene en el valor de la solucion sobrelos puntos que estan en las rectas x − ct = x0 y x + ct = x0. El valor de gen x0 interviene en el valor de la solucion sobre los puntos que estan en laregion x− ct < x0 < x+ ct (cono de luz ).

Suponer que f vive en el intervalo [a, b] y que g es identicamente nula;mostrar donde vive la solucion. Lo mismo, pero cambiando f y g.

2.5. Ecuacion no homogenea

Vamos a resolverutt − c2uxx = F , x ∈ R, t > 0 ,

u(x, 0) = 0 , x ∈ R ,ut(x, 0) = 0 , x ∈ R .

18

Con el mismo cambio de variables,

v(ξ, η) = u

(ξ + η

2,ξ − η

2c

),

queda

−4c2vξη = F

(ξ + η

2,ξ − η

2c

).

De u(x, 0) = 0 se deduce v(ξ, ξ) = 0 y derivando vξ(ξ, ξ) + vη(ξ, ξ) = 0. Deut(x, 0) = 0 se deduce que vξ(ξ, ξ)− vη(ξ, ξ) = 0. Por tanto,

v(ξ, ξ) = vξ(ξ, ξ) = vη(ξ, ξ) = 0

y el dato de Cauchy de v a lo largo de la recta diagonal, ξ = η, es nulo.Por el Teorema Fundamental del calculo, si (ξ, η) esta en el semiplano

u > v, dibujando en un plano de coordenadas (u, v) el triangulo de vertices(ξ, η), (ξ, ξ) y (η, η), que denotamos T (ξ, η), obtenemos que

vξ(ξ, η) = −∫ ξ

ηvξη(ξ, v) dv,

v(ξ, η) =

∫ ξ

ηvξ(u, η) du = −

∫ ξ

η

(∫ u

ηvξη(u, v)dv

)du

= −∫T (ξ,η)

vξη(u, v)dudv

v(ξ, η) =1

4c2

∫T (ξ,η)

F

(u+ v

2,u− v

2c

)dudv.

Con el cambio de variables de integracion, u = r + cs, v = r − cs yrecordando que, ξ = x+ ct, η = x− ct, el triangulo T (ξ, η) se transforma enel triangulo caracterıstico T (x, t) de vertices (x, t), (x − ct, 0) y (x + ct, 0),dudv = 2cdrds y

u(x, t) =1

2c

∫T (x,t)

F (r, s) drds =1

2c

∫ t

0

(∫ x+c(t−s)

x−c(t−s)F (r, s) dr

)ds,

El triangulo T (x, t) se denomina triangulo caracterıstico porque sus ladosson las rectas caracterısticas que pasan por (x, t), r+cs = x+ct, r−cs = x−cty el eje real s = 0. Este triangulo es el dominio de dependencia de u(x, t)con respecto a los valores de F .

El valor de F en (x, t) interviene (dominio de influencia) en el calculo delos valores de la solucion u en los puntos de la region comprendida entre lascaracterısticas que pasan por (x, t) y situada encima de la recta horizontals = t y se denomina dominio de influencia de los valores de F en (x, t).

Si F ( · , t) es par o impar respecto a l ∈ R, para todo t ≥ 0, entoncesu( · , t) es respectivamente par o impar respecto a l ∈ R, para todo t ≥ 0.

19

La solucion completa del problema de Cauchy no homogeneoutt − c2uxx = F (x, t) , x ∈ R, t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , x ∈ R ,ut(x, 0) = g(x) , x ∈ R ,

es

u(x, t) =f(x+ ct) + f(x− ct)

2+

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds

+1

2c

∫ t

0

∫ x+c(t−s)

x−c(t−s)F (r, s) drds.

2.6. Soluciones generalizadas o debiles.

Es facil comprobar que la solucion u es C2(R × [0,+∞)) si f ∈ C2(R),g ∈ C1(R) y F ∈ C1(R× [0,+∞)). Sin embargo, aparecen de forma naturaldatos iniciales que no tienen esa regularidad, por ejemplo, cuando f es lineala trozos (una cuerda que tiene esquinas). En esos casos, la solucion es regularsolo en ciertas regiones separadas por rectas en las que no es C2 (ni siquieraC1 a veces). Estas singularidades de u aparecen a partir de las singularidadesde f , g y F y se propagan a lo largo de las rectas caracterısticas que pasanpor las singularidades de f , g y F .

Estudiar la regularidad de u si f = |x|, g ≡ 0 y F ≡ 0.

2.7. Ondas en una semirrecta

1. Condicion de contorno de tipo Dirichlet. Buscamos la solucion delproblema

utt − c2uxx = 0 , x > 0, t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , x > 0 ,

ut(x, 0) = g(x) , x > 0 ,

u(0, t) = h(t) , t > 0 .

La solucion general es u(x, t) = ϕ(x+ ct) + ψ(x− ct) y como antes, lascondiciones iniciales determinan ϕ(x) y ψ(x) para x > 0. Esto da la solucionen la region x− ct > 0 con la misma expresion que en (2.2).

Haciendo x = 0, tenemos ϕ(ct) +ψ(−ct) = h(t) si t ≥ 0. Esto determinaψ(t) para t < 0:

ψ(t) = h(−t/c)− ϕ(−t),

de donde obtenemos que para x− ct < 0,

u(x, t) =f(x+ ct)− f(ct− x)

2+

1

2c

∫ x+ct

ct−xg(s) ds+ h

(t− x

c

).

20

La regularidad de u en x − ct > 0 y en x − ct < 0 se deduce de lade f , g y h. La regularidad sobre la recta x = ct requiere condiciones decompatibilidad, por ejemplo, u es continua sobre la recta si f(0) = h(0). Sedemuestra que u es C2 en el primer cuadrante si f y h son C2([0,+∞)), ges C1([0,+∞)) y se verifican las condiciones de compatibilidad f(0) = h(0),g(0) = h′(0) y h′′(0) = c2f ′′(0).

Cuando h es nula, la solucion es la misma que la se obtiene al resolverun problema en toda la recta con los datos iniciales f y g extendidos atoda la recta de forma impar en 0 (Metodo de reflexiones) y considerandola restriccion de dicha solucion al primer cuadrante; es decir, extendiendo fy g a R de forma que f(x) = −f(−x) y g(x) = −g(−x).

2. Condicion de contorno de tipo Neumann. Ahora estudiamos el pro-blema

utt − c2uxx = 0 , x > 0, t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , x > 0 ,

ut(x, 0) = g(x) , x > 0 ,

ux(0, t) = h(t) , t > 0 .

No hay diferencias en x − ct > 0. En x = 0 sale ϕ′(ct) + ψ′(−ct) = h(t) sit > 0, de donde, ϕ(ct) − ψ(−ct) = cH(t) − β donde H ′(t) = h(t) y β esconstante. Luego

ψ(t) = ϕ(−t)− cH(−t/c) + β para t < 0.

La solucion del problema en x− ct < 0 es

u(x, t) =f(x+ ct) + f(ct− x)

2+

1

2c

[∫ x+ct

0g(s) ds+

∫ ct−x

0g(s) ds

]− c

∫ t−x/c

0h(s) ds+ 2k + β.

Para que u sea continua en x = ct hay que escoger necesariamente k yβ de forma que, 2k + β = 0.

Observacion. Cuando h es nula la solucion es la misma que la que seobtiene al resolver un problema en toda la recta con los datos iniciales f y gextendidos a R como funciones pares respecto al 0 (metodo de reflexiones).

2.8. Ondas en una cuerda finita

Situamos una cuerda de longitud l entre los puntos 0 y l. El problemade la vibracion de la cuerda con condiciones de contorno de tipo Dirichlet es

utt − c2uxx = 0 , 0 < x < l, t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , 0 < x < l ,

ut(x, 0) = g(x) , 0 < x < l ,

u(0, t) = h0(t) , u(l, t) = h1(t), t > 0 .

21

Otra vez, u(x, t) = ϕ(x+ ct) + ψ(x− ct) y las condiciones iniciales danϕ(s) y ψ(s) cuando 0 < x < l. Con estos valores podemos escribir la soluciondel problema en el triangulo (x, t) : t > 0 y 0 < x− ct < x+ ct < l.

Usando las condiciones de contorno tenemos

ϕ(ct) + ψ(−ct) = h0(t), t > 0,

ϕ(l + ct) + ψ(l − ct) = h1(t), t > 0,

o bien,

ψ(s) = −ϕ(−s) + h0(−s/c), s < 0,

ϕ(l + s) = −ψ(l − s) + h1(s/c), s > 0.

Se ve que empezando con ϕ y ψ en el intervalo (0, l), estas dos ecuacionespermiten definir ϕ(s) para todo s > 0 y ψ(s) para todo s < l, lo quedetermina u.

Observacion. Cuando h0 y h1 son nulas, la solucion es la misma que laque se obtiene al resolver un problema en toda la recta con datos inicialesextendidos de forma impar en 0 y en l respectıvamente (metodo de refle-xiones); es decir, extendiendo f y g a R de forma que f(x) = −f(−x) yf(l + x) = −f(l − x), g(x) = −g(−x) y g(l + x) = −g(l − x).

Una funcion impar respecto a 0 y l es automaticamente periodica deperiodo 2l.

Cuando las condiciones de contorno son de tipo Neumann hay que hacerlas mismas modificaciones que en el caso de la semirrecta. Si las condicionesson nulas, las extensiones requeridas son pares en 0 y en l.

Ahora hay dos extremos y pueden haber dos condiciones de contornodistintas, una de tipo Dirichlet y otra de tipo Neumann. Si son u(0, t) = 0y ux(l, t) = 0, se construye la solucion extendiendo f como funcion imparrespecto a x = 0 y par respecto a x = l, g como funcion par respecto a x = le impar respecto a x = 0 y resolviendo el problema en toda la recta.

Una funcion par respecto a 0 y l es automaticamente periodica de periodo2l.

Una funcion par respecto a 0 e impar respecto a l es automaticamenteperiodica de periodo 4l.

2.9. Conservacion de la energıa

La funcion

E(t) =

∫ l

0c2u2

x(x, t) + u2t (x, t) dx

22

es constante en [0,+∞), si u ∈ C2([0, l]× [0,+∞)) es solucion deutt − c2uxx = 0 , 0 < x < l, t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , 0 < x < l ,

ut(x, 0) = g(x) , 0 < x < l

que verifica condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann nulas en lafrontera lateral del cilindro [0, l]× [0,+∞).

Este resultado implica la unicidad de solucion al problema de Cauchyasociado a la ecuacion de ondas con condiciones de contorno de tipo Dirichleto tipo Neumann en la clase de soluciones C2([0, l]× [0,+∞)).

El resultado tambien es cierto si la cuerda vibrante se remplaza poruna membrana o un solido; es decir, para otras dimensiones n del espacioeuclıdeo en el que se encuentre Ω ⊂ Rn. En este caso, se utiliza el teoremade la divergencia para mostrar que

E(t) =

∫Ωc2|∇u|2 + u2

t dx

es constante, si utt−c2∆u = 0 en Ω× [0,+∞) ⊂ Rn+1, u verifica condicionesde contorno de Dirichlet o Neumann nulas en la frontera lateral de Ω yu ∈ C2(Ω× [0,+∞)).

Demostracion.

E′(t) = 2

∫Ωc2∇u · ∇ut + ututt dx

= 2

∫Ωc2∇ · (ut∇u) + ut

(utt − c24u

)dx = 2c2

∫∂Ωut∇u · ν dσ,

que es cero si u o su derivada normal son nulas la frontera lateral ∂Ω ×(0,+∞).

23

Capıtulo 3

La ecuacion del calor en larecta

3.1. Deduccion de la ecuacion

Sea Ω ⊂ R3 un solido y u(x, t) la temperatura en uno de sus puntos xen tiempo t > 0. Si D es una parte pequena de Ω, la cantidad de calor enD en tiempo t es

Q(t) =

∫Dρu(x, t) dx ,

donde ρ es la densidad de Ω. La variacion total del calor en D es

Q′(t) =

∫Dρut(x, t) dx.

Las leyes de la termodinamica dicen que el flujo del calor M , un campovectorial, va de las regiones mas calientes a las mas frias y que es proporcionalal gradiente de la temperatura: M = −A∇u, donde A es el calor especıfico.

La variacion total del calor en D coincide con la cantidad neta de calorque entra y sale de D, junto los cambios de calor que son generados directa-mente sobre D por cambios de temperatura externos con densidad F (x, t);es decir, si ν es la normal unitaria exterior a ∂D,∫

Dρut(x, t) dx = −

∫∂D

M · ν dσ +

∫DρF (x, t) dx,

∫Dρut(x, t) dx = A

∫∂D∇u · ν dσ +

∫DρF (x, t) dx

y por el teorema de la divergencia∫D

[ρut(x, t)−A4u(x, t)− ρF (x, t)] dx.

24

Como D es arbitrario, la temperatura verifica la ecuacion

ut − c24u = F en D × (0,+∞), c2 =A

ρ

y con el cambio de variables, v(x, t) = u(cx, t), la ecuacion se transforma en

vt −4v = G(x, t), G(x, t) = F (cx, t),

que se denomina la ecuacion del calor.Queremos resolver el problema de valores iniciales no homogeneo:

ut − uxx = F, x ∈ R, t > 0,

u(x, 0) = f(x), x ∈ R.(3.1)

“Lo natural” es buscar la solucion en

C2(R× (0,+∞)) ∩ C(R× [0,+∞)) ∩ L∞(R× (0,+∞)),

si f ∈ C(R) ∩ L∞(R) y F ∈ C∞(R× [0,+∞)).

3.2. Soluciones autosemejantes

Para resolver el problema de valores inciales no homogeneo (3.1), seempieza por intentar resolver el problema de valores iniciales homogeneo

uxx − ut = 0, en R× (0,+∞),

u(x, 0) = f(x), en R.(3.2)

Para ello, buscamos primero las soluciones autosemejantes de la ecua-cion, ut − uxx = 0 y consideraremos “sumas”de estas soluciones, para obte-ner mas soluciones. Despues, intentamos determinar los “coeficientes de lasuma” para que se verifiquen las condiciones iniciales.

Si u(x, t) verifica, ut − uxx = 0 en R × (0,+∞), tambien lo verificanuλ(x, t) = u(λx, λ2t), para todo λ real y u(x+ x0, t+ t0), para todo (x0, t0)en R2.

¿Existen soluciones autosemejantes, es decir, tales que

u(λx, λ2t) = λαu(x, t),

para algun α y todo λ > 0? Si esto ocurre, haciendo λ = 1/√t, tenemos que

u(x, t) = tα/2u(x/√t, 1), es decir,

u(x, t) = tα/2Φ(x/√t), si Φ(x) = u(x, 1).

A las soluciones de este tipo se las llama soluciones autosemejantes dela ecuacion.

25

Si u(x, t) = tα/2Φ(x/√t) es una solucion autosemejante, Φ tiene que

verificarΦ′′(s) +

s

2Φ′(s)− α

2Φ(s) = 0 (3.3)

y si pedimos a la solucion que conserve el calor total, es decir, que u( · , t)sea integrable en R para todo t > 0 y que la integral en x de u no dependade t > 0, ∫

Ru(x, t) dx = t

α+12

∫R

Φ(y) dy,

resulta que α debe ser igual a −1. En este caso, (3.3) se reduce a

(Φ′ +s

2Φ)′ = 0,

cuya solucion general es

Φ(s) = αe−s2

4

∫ s

0eτ2

4 dτ + βe−s2

4 , si α, β ∈ R.

De estas solo la segunda es integrable en R,∫ +∞

0e−

s2

4

∫ s

0eτ2

4 dτds =

∫ +∞

0

∫ 1

0se−

s2

4(1−τ2) dτds

=

∫ 1

0

∫ +∞

0se−

s2

4(1−τ2) dsdτ = 2

∫ 1

0

dτ

1− τ2= +∞

y nos quedamos con la solucion, Φ(s) = e−s2/4. Ası

u(x, t) = βt−1/2e−x2/4t

y elegimos la constante β para que la integral en x de v(x, t) sea 1,

u(x, t) =1√4πt

e−x2/4t.

Esta funcion verifica, ut − uxx = 0, en R × (0,+∞). Si la trasladamos enla direccion espacial en una direccion dada, y ∈ R, es decir, consideramosu(x− y, t), tambien verifica la ecuacion del calor en R× (0,+∞).

La funcion

G(x, t) =

1√4πte−|x|

2/4t, si t > 0,

0, si t ≤ 0,

se denomina el nucleo de Gauss o nucleo Gaussiano.Escogiendo para cada y un valor f(y) y “sumando sobre todos los valores

de y”, obtenemos

u(x, t) =

∫RG(x− y, t)f(y) dy, (3.4)

26

que es una suma formal de soluciones y quizas una solucion del problemade valores iniciales homogeneo (3.2).

Cada termino del integrando en la formula anterior es solucion de laecuacion del calor en las variables (x, t). Para que u sea solucion, necesitamosprimero, que la formula (3.4) tenga sentido y despues, que se pueda derivarbajo el signo integral. Usando el teorema de la convergencia dominada sepuede probar que esto es ası si f ∈ L∞(R). Lo mismo es cierto si f ∈ Lp(R)y 1 ≤ p ≤ ∞. Lo ultimo se deduce facilmente a partir de las acotaciones enel Teorema 4.

3.3. La solucion al problema de valores iniciales

¿Cuanto vale la solucion anterior si t = 0? Haciendo el cambio de varia-bles, x− y =

√t z, resulta que

u(x, t) =1√4π

∫ +∞

−∞f(x−

√t y)e−

y2

4 dy.

De esta formula, de la acotacion,

|f(x−√t y) e−

y2

4 | ≤ ‖f‖L∞(R) e− y

2

4

y del teorema de la convergencia dominada es facil deducir que

lımt→0+

u(x, t) = f(x),

si f es continua en x y acotada en R.

Teorema 4. Si f ∈ C(R) ∩ L∞(R), la funcion definida por (3.4) verificaque, u ∈ C∞(R×(0,+∞))∩C(R× [0,+∞))∩L∞(R× [0,+∞)) y es solucionde (3.2).

Demostracion. Como G(x, t) = t−12 Φ( x√

t), Φ(s) = 1√

4πe−

s2

4 y ∂tG− ∂2xG =

0, en R× (0,+∞), se verifica que

∂αx ∂βt G(x, t) = ∂α+2β

x G(x, t)

= t−1+α+2β

2 Φ(α+2β)(x√t) = t−

1+α+2β2 Pα+2β(

x√t)e−

x2

4t ,

donde Pα+2β es un polinomio de grado α+ 2β. De estas formulas, se deduceque para todo ε > 0 y R > 0 existe N = N(ε, R, α, β) > 0 tal que

|∂αx ∂βt G(x− y, t)| ≤ Ne−y2/N , si |x| ≤ R y ε ≤ t ≤ R.

27

Esto y el teorema de convergencia dominada muestran que u esta en C∞(R×(0,+∞)) si f ∈ L∞(R). Ademas, como∫

RG(x− y, t) dy =

∫RG(z, t) dz = 1, si t > 0, (3.5)

se verifica que|u(x, t)| ≤ ‖f‖L∞(Rn)

y u esta acotada en el semiplano superior.Para mostrar la continuidad de u en R×0 se utiliza la continuidad de f

en R, el decaimiento en el infinito y la propiedad (3.5) del nucleo Gaussiano:fijado x0 ∈ R y dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que |f(y) − f(x0)| ≤ ε, si|y − x0| < δ y

|u(x, t)− f(x0)| ≤∫Bδ(x0)

G(x− y, t)|f(y)− f(x0)| dy

+

∫Rn\Bδ(x0)

G(x− y, t)|f(y)− f(x0)| dy

≤ ε+ 2‖f‖∞∫Rn\Bδ(x0)

G(x− y, t) dy, (3.6)

para todo (x, t) en el semiplano superior. Por otro lado, δ ≤ |y−x0| ≤ 2|y−x|,si |x− x0| ≤ δ/2 y |y − x0| ≥ δ, de donde

G(x− y, t) ≤ (4πt)−12 e−

|x−y|28t e−

|y−x|28t ≤ (4πt)−

12 e−

δ2

32t e−|y−x|2

8t

y ∫Rn\Bδ(x0)

G(x− y, t) dy ≤ Ne−δ2

32t , si |x− x0| ≤ δ/2 . (3.7)

De (3.6) y (3.7) se deduce que

|u(x, t)− f(x0)| ≤ ε+ 2N‖f‖L∞(R) e− δ2

32t , si |x− x0| ≤ δ/2

y que u es continua en (x0, 0).

Algunas propiedades de la solucion obtenida:

• Si m ≤ f(x) ≤M , entonces m ≤ u(x, t) ≤M para todo x ∈ R y t > 0,es decir, las temperaturas maxima y mınima originales no se pueden superarni por arriba ni por abajo.

Demostracion. Escribir la formula para u(x, t), utilizar que m ≤ f ≤ M yque

∫RG(z, t) dz = 1, si t > 0.

28

• Conservacion del calor :∫R u(x, t) dx =

∫R f(x) dx, para todo t > 0, si

ademas f esta en L1(R).

Demostracion. Si f tiene soporte compacto, u( · , t) y sus derivadas decaenhacia cero si x tiende hacia ±∞ y

∂t

∫Ru(x, t) dx =

∫R∂2xu(x, t) dx = 0.

El caso general se obtiene aproximando f con funciones de soporte com-pacto. Tambien se puede utilizar el siguiente razonamiento que justifica elteorema de Fubini-Tonelli:∫

Ru(x, t) dx =

∫Rf(y)

(∫RG(x− y, t) dx

)dy =

∫Rf(y) dy.

• Si ademas f esta en L2(R), entonces∫Ru2(x, T ) dx+ 2

∫ T

0

∫R|∂xu(x, t)|2 dxdt =

∫Rf2(x) dx, (3.8)

para todo T > 0. Aquı solo explicamos la demostracion cuando f tienesoporte compacto.

Demostracion. Si f tiene soporte compacto, u( · , t) y sus derivadas decaenhacia cero si x tiende hacia ±∞ y

0 = u(∂tu− ∂2

xu)

= 12∂tu

2 + (∂xu)2 − ∂x(u∂xu).

La identidad es consecuencia de integrar la formula anterior en R×(0, T ).

• El analogo de la identidad anterior para cilindros acotados es la si-guiente formula: si u ∈ C2(Ω× (0,+∞)) ∩ C(Ω× [0,+∞)) verifica

∂tu−4u = 0, en Ω× (0,+∞),

u(x, 0) = f(x) en Ω,

u o ∂u∂ν = 0, en ∂Ω× (0, T ).

Entonces, ∫Ωu2(x, T ) dx+ 2

∫ T

0

∫Ω|∇u|2 dxdt =

∫Ωf2(x) dx, (3.9)

para todo T > 0. Las identidades (3.9) y (3.8) se conocen como la identidadde energıa para la ecuacion del calor.

29

Demostracion. Se integra sobre Ω× (0, T ) la identidad

0 = u (∂tu−4u) = 12∂tu

2 + |∇u|2 −∇ · (u∇u) .

y se aplica el teorema de la divergencia para concluir que∫Ω∇ · (u∇u) dx =

∫∂Ωu∂u∂ν dσ = 0

y

∂T

[∫Ωu2(x, T ) dx+ 2

∫ T

0

∫Ω|∇u(x, t)|2 dxdt

]= 0, para todo T > 0.

La acotacion analoga asociada a la solucion del problema no homogeneo∂tu−4u = F, en Ω× (0,+∞),

u(x, 0) = f(x) en Ω,

u = 0, en ∂Ω× (0, T ),

(3.10)

es la siguiente: si u ∈ C2(Ω× [0,+∞)) verifica (3.10), T > 0 y Ω es acotado,entonces

sup0≤t≤T

‖u(t)‖L2(Ω) + ‖∇u‖L2(Ω×(0,T )) ≤ ‖F‖L1((0,T ),L2(Ω)). (3.11)

Demostracion. Se integra sobre Ω× (0, T ) la identidad

uF = u (∂tu−4u) = 12∂tu

2 + |∇u|2 −∇ · (u∇u) .

y se aplica el teorema de la divergencia para concluir que∫Ωu2(x, T ) dx+ 2

∫ T

0

∫Ω|∇u(x, t)|2 dxdt =

∫ T

0

∫Ωu(t)F (t) dxdt

y

sup0≤t≤T

‖u(t)‖2L2(Ω) + ‖∇u‖2L2(Ω×(0,T )) ≤∫ T

0

∫Ω|u(t)F (t)| dxdt, si T > 0.

(3.12)Por las desigualdades de Holder y Young,∫ T

0

∫Ω|u(t)F (t)| dxdt ≤

∫ T

0‖u(t)‖L2(Ω)‖F (t)‖L2(Ω) dt

≤ sup0≤t≤T

‖u(t)‖L2(Ω)‖F‖L1((0,T ),L2(Ω))

≤ 1

4sup

0≤t≤T‖u(t)‖2L2(Ω) + ‖F‖2L1((0,T ),L2(Ω)),

y (3.11) es consecuencia de (3.12) y de la ultima desigualdad.

30

3.4. La unicidad

• La funcion∂xG(x, t) = − x

2√

4πt3e−x

2/4t

cumple la ecuacion del calor en t > 0 y lımt→0+ ∂xG(x, t) = 0, para todox. Si entendemos la condicion inicial en este sentido, tenemos una solucionno nula del problema (3.2) y con f nula. Por tanto, no habrıa unicidad.Ahora bien, si entendemos la condicion inicial como un lımite en las dosvariables, esta solucion ya no valdrıa, pues al acercarnos al (0, 0) a lo largode la parabola x2 = t, el lımite es infinito.• Ejemplo de Tychonoff. La funcion

u(x, t) =

∞∑k=0

g(k)(t)x2k

(2k)!, g(t) = e−1/t2 , g(0) = 0, (3.13)

verifica la ecuacion del calor en R2, u ∈ C∞(R2) y u( · , 0) ≡ 0. Ademas,existe N ≥ 1 tal que

|u(x, t)| ≤ NeNx2

t− 1Nt2 , si x ∈ R y t > 0; (3.14)

es decir, u crece “demasiado” en el infinito en cada tiempo fijo, t > 0.

Demostracion. Con la formula de representacion de Cauchy para las deri-vadas de una funcion analıtica mostraremos que existe N ≥ 1 tal que

|g(k)(t)| ≤ N1+kk!t−ke−1Nt2 , si t > 0 y k ≥ 0. (3.15)

Esta acotacion y la formula de Stirling,

lımk→+∞

k!√

2πk(ke

)k = 1,

implican que el termino general de la serie (3.13) verifica∣∣∣∣g(k)(t)x2k

(2k)!

∣∣∣∣ ≤ N

k!

(Nx2

t

)ke−

1Nt2 , si x ∈ R, t > 0 y k ≥ 0,

que la serie (3.13) converge uniformemente sobre compactos de R×(0,+∞),que su suma u verifica (3.14), es continua en R2 y u( · , 0) ≡ 0. Lo mismo escierto para cualquier derivada de u.

Para ver que (3.15) es cierto, dado t > 0 y ε en (0, 1),

g(k)(t) =k!

2πi

∫|z−t|=εt

e−1/z2

(z − t)k+1dz,

31

por la formula de Cauchy y elegimos ε > 0 pequeno de forma que Bεt(t)este inscrito en un cono con vertice en (0, 0) y con angulo medio de aperturaigual a π/8. Entonces, existe N ≥ 1 tal que si z = reiθ, se verifica

< 1/z2 = r−2 cos 2θ ≥ 1

Nt2, si |z − t| = εt, t > 0

y

|g(k)(t)| ≤ k!

2π

∫|z−t|=εt

e−1Nt2

(εt)k+1|dz| ≤ N1+kk!t−ke−

1Nt2 .

De lo anterior concluimos que la ecuacion del calor en R × (0,+∞) notiene solucion unica sin exigir condiciones adicionales a la solucion.

En los resultados siguientes veremos algunas condiciones adicionales quegarantizan la unicidad de solucion para el problemas de valores inicialessobre un intervalo de R, un dominio acotado de Rn, la recta real R y elespacio euclıdeo Rn.

Teorema 5 (Principio del maximo debil). Sean ΩT = (a, b)× (0, T ] y ΓT =[a, b]×0∪ a, b× (0, T ], la frontera parabolica del cilindro ΩT y 0 < T <+∞. Si u ∈ C(ΩT ) ∩ C2(ΩT ) y ∂xxu− ∂tu ≥ 0 en ΩT , entonces

maxΩT

u ≤ maxΓT

u.

Analogamente hay un principio del mınimo debil: aplicar el Teorema 5a −u, si ∂xxu− ∂tu ≤ 0 en ΩT y concluir que

mınΩT

u ≥ mınΓT

u.

Demostracion. Suponemos primero que uxx − ut > 0 en ΩT . Si u tieneun maximo local en algun (x0, t0) que es interior a ΩT , se verifica queut(x0, t0) = 0 y uxx(x0, t0) ≤ 0. Si hubiera un maximo local en (x0, T ),para algun a < x0 < b, se tendrıa que, ut(x0, T ) ≥ 0 y uxx(x0, T ) ≤ 0 yambos casos son incompatibles con la hipotesis, uxx − ut > 0 en ΩT .

Si uxx−ut ≥ 0 en ΩT , definimos uε(x, t) = u(x, t)+εx2 y por el resultadoanterior

maxΩT

u ≤ maxΩT

uε ≤ maxΓT

uε ≤ maxΓT

u+ εmax a2, b2,

lo que implica el resultado si hacemos ε tender a 0.

• Lo mismo es cierto en Rn si ΩT = Ω×(0, T ], ΓT = Ω×0∪∂Ω×(0, T ],4u−∂tu ≥ 0 en ΩT , Ω es un abierto acotado de Rn y n ≥ 2. En este caso, enun posible maximo interior (x0, t0) a ΩT , la matriz Hessiana de u en (x0, t0)es semidefinida negativa y su traza, 4u(x0, t0), es menor o igual que cero.

32

• Consecuencia: unicidad de solucion al problema de valores inicialesasociado a la ecuacion del calor con condiciones de Dirichlet en la fronteralateral cuando la base es un intervalo o un abierto acotado en Rn y parasoluciones en C2(Ω × (0, T ]) ∩ C(ΩT ): para verificarlo aplicar el principiodel maximo debil a ± (u1 − u2) en ΩT , si u1 y u2 son soluciones en C2(Ω×(0, T ]) ∩ C(ΩT ) de

4u− ∂tu = F, en Ω× (0, T ],

u(x, 0) = f(x), en Ω,

u = 0 en ∂Ω× (0, T ],

para concluir que u1 = u2 en Ω× [0, T ].

Teorema 6 (Principio del maximo debil para R). Sea u ∈ C(R × [0, T ]) ∩C2(R × (0, T ]) y tal que ∂xxu − ∂tu ≥ 0 en R × (0, T ], u(x, t) ≤ M enR× [0, T ], para algun M ≥ 0 y u(x, 0) = f(x) en R. Entonces

u(x, t) ≤ supRf, si x ∈ R y 0 ≤ t ≤ T.

Demostracion. Fijado y ∈ R y 0 < µ ≤ 1, consideramos la funcion

vµ(x, t) = u(x, t)− µ(|x− y|2 + 2t

).

Se verifica que, ∂xxvµ − ∂tvµ ≥ 0 en R × (0, T ] y por el principio delmaximo debil para cilindros acotados

vµ(y, t) ≤ maxΓρ

vµ, si Γρ = [y − ρ, y + ρ]× 0 ∪ y − ρ, y + ρ × [0, T ]

y 0 ≤ t ≤ T . En la parte lateral de Γρ

|x− y|2 + 2t ≥ ρ2 y vµ(x, t) ≤M − µρ2 ≤ supRf,

si ρ ≥ ρ(M, supR f, µ). Por tanto,

vµ(y, t) = u(y, t)− 2µt ≤ supRf, si 0 ≤ t ≤ T

y haciendo, µ→ 0+, obtenemos el resultado.

Lo mismo funciona en Rn × (0, T ] si cambiamos vµ por

vµ(x, t) = u(x, t)− µ(|x− y|2 + 2nt

).

• Consecuencia: unicidad de solucion para el problema de condicionesiniciales asociado a la ecuacion del calor en R × (0,+∞) en la clase desoluciones C2(R × (0,+∞)) ∩ C(R × [0,+∞)) ∩ L∞(R × [0,+∞)). Si f ∈L∞(R)∩C(R), la solucion de (3.2) generada con el nucleo de Gauss esta enC2(R× (0,+∞)) ∩ C(R× [0,+∞)) ∩ L∞(R× [0,+∞)) y es unica.• La conclusion del Teorema 6 tambien es valida si la condicion, u(x, t) ≤

M , se cambia por, u(x, t) ≤ MeM |x|2

en R × [0, T ], para algun M > 0(Comparar esto con las soluciones de Tychonoff).

33

3.5. Ecuacion no homogenea: metodo de Duhamel

Buscamos una solucion para el problema no homogeneout − uxx = F (x, t), x ∈ R, t > 0,

u(x, 0) = 0, x ∈ R.(3.16)

La ecuacion diferencial ordinaria no homogenea con condicion inicialy′ + ay = F (t),

y(0) = 0,

se resuelve por el metodo de variacion de las constantes, que es equivalenteal metodo de Duhamel que describimos a continuacion: la solucion y(t) sepuede escribir como

y(t) =

∫ t

0γ(t, s) ds.

Entonces,

y′(t) = γ(t, t) +

∫ t

0γt(t, s) ds, y′ + ay = γ(t, t) +

∫ t

0γt(t, s) + aγ(t, s) ds

y si queremos que y sea solucion, esto se cumplira si elegimos γ de formaque

γt(t, s) + aγ(t, s) = 0, en (s,+∞)

γ(s, s) = F (s), en t = s,

que es un problema homogeneo que sabemos resolver. Si w(t, s) es la solucionde la ecuacion homogenea

wt(t, s) + aw(t, s) = 0, en (0,+∞)

w(0, s) = F (s), en t = 0,

w(t, s) = e−atF (s) y γ(t, s) = w(t− s, s); es decir.

y(t) =

∫ t

0w(t− s, s) ds.

Para resolver (3.16), procedemos de forma similar

Teorema 7. Si w( · , · , s) es la solucion dewt − ∂2

xw = 0, x ∈ R, t > 0,

w(x, 0, s) = F (x, s), x ∈ R,

entonces

u(x, t) =

∫ t

0w(x, t− s, s) ds =

∫ t

0

∫RG(x− y, t− s)F (y, s) dyds (3.17)

es solucion de (3.16).

34

Demostracion. Para deducir tal formula, escribimos

u(x, t) =

∫ t

0γ(x, t, s) ds

y un calculo formal muestra que

∂tu− ∂2xu = γ(x, t, t) +

∫ t

0

(∂t − ∂2

x

)γ(x, t, s) ds.

Lo logico es elegir γ de forma que(∂t − ∂2

x

)γ(x, t, s) = 0, en R× (s,+∞),

γ(x, s, s) = F (x, s), en R× s

y como la ecuacion es invariante por traslaciones,

γ(x, t, s) = w(x, t− s, s).

Finalmente,

w(x, t, s) =

∫RG(x− y, t)F (y, s) dy.

El principio de Duhamel se puede aplicar tambien a la ecuacion de ondasno homogenea.

Teorema 8. Sea w( · , · , s) la solucion de∂2tw − c2∂2

xw = 0, x ∈ R, t > 0,

w(x, 0; s) = 0, x ∈ R;

∂tw(x, 0; s) = F (x, s), x ∈ R,

entonces

u(x, t) =

∫ t

0w(x, t− s, s) ds (3.18)

es solucion de la ecuacion de ondas∂2t u− c2∂2

xu = F (x, t), x ∈ R, t > 0,

u(x, 0) = 0, x ∈ R,ut(x, 0) = 0, x ∈ R.

(3.19)

Podeis comprobar que esto coincide con los resultados obtenidos ante-riormente para esta ecuacion.

35

Demostracion. El lector puede comprobrar que (3.18) es formalmente unasolucion de (3.19). Para deducir la formula, escribimos

u(x, t) =

∫ t

0γ(x, t, s) ds

y un calculo formal muestra que

∂2t u− c2∂2

xu = ∂tγ(x, t, t) +

∫ t

0

(∂2t − c2∂2

x

)γ(x, t, s) ds,

si suponemos que γ(x, t, t) = 0. Lo logico es elegir γ de forma que(∂2t − c2∂2

x

)γ(x, t, s) = 0, en R× (s,+∞),

γ(x, s, s) = 0, ∂tγ(x, s, s) = F (x, s), en R× s

y como la ecuacion es invariante por traslaciones,

γ(x, t, s) = w(x, t− s, s).

3.6. La ecuacion del calor en un cilindro

• La solucion del problemaut − uxx = F (x, t), en R× (0,+∞),

u(x, 0) = f(x), en R,

es par o impar respecto a x = l en todo tiempo t > 0, si la misma propiedades cierta para f y F ( · , t), para todo t > 0. Por ello, podemos utilizar elmetodo de reflexiones para encontrar la solucion del problema

ut − uxx = F (x, t), x > 0, t > 0,

u(x, 0) = f(x), x > 0,

u(0, t) = 0, t > 0,

resolviendo un problema en todo R, que tiene por datos las extensionesimpares a R de f y F ( · , t). Si F ≡ 0, la solucion es

u(x, t) =1√4πt

∫ ∞0

f(y)[e−(x−y)2/4t − e−(x+y)2/4t

]dy.

• Si la condicion de contorno es de tipo Neumann, ux(0, t) = 0, la ex-tension debe ser par.• El metodo de reflexiones tambien funciona para la ecuacion del calor

con condiciones de Dirichlet, Neumann o con condiciones mixtas sobre un

36

intervalo finito. Para ello, se calculan las correspondientes extensiones de f yF ( · , t) a todo R como funciones pares o impares respecto a los extremos delintervalo, se resuelve el problema asociado a las extensiones de f y F ( · , t)sobre R y se restringe la solucion calculada al cilindro asociado al intervalo.• El metodo de Duhamel funciona de forma analoga en un cilindro de

base finita o de media recta.

37

Capıtulo 4

Separacion de variables

4.1. Calor en una barra finita: metodo de Fourier

• Consideramos el problemaut − uxx = 0 , 0 < x < π , t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , 0 < x < π ,

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 .

(4.1)

El metodo de Fourier (separacion de variables) consiste en buscar solu-ciones no nulas en variables separadas de la ecuacion, u(x, t) = X(x)T (t),que cumplan las condiciones de contorno laterales. Despues se intenta queuna “combinacion lineal”o suma infinita de estas verifique la condicion ini-cial y sea la solucion de la ecuacion.

Si u(x, t) = X(x)T (t) es una solucion no nula en [0, π] de ut − uxx = 0,se debe cumplir que, X(x)T ′(t)−X ′′(x)T (t) = 0; es decir,

X ′′(x)

X(x)=T ′(t)

T (t),

son funciones constantes y podemos suponer que para algun λ ∈ R,

X ′′(x)

X(x)=T ′(t)

T (t)= −λ.

Las condiciones de contorno exigen que X(0) = X(π) = 0, de modoque necesitamos encontrar las soluciones no nulas del problema (llamado deSturm-Liouville)

X ′′ + λX = 0 en [0, π],

X(0) = X(π) = 0.(4.2)

Es facil comprobar que (4.2) tiene soluciones no nulas si y solo si, λ = k2

(valores propios), k = 1, 2, . . . y que estas soluciones son multiplos de sin kx

38

(funciones propias). Para estos valores de λ, las correspondientes solucionesno nulas de la ecuacion,

T ′ + λT = 0,

son multiplos de e−k2t y las soluciones de variables separadas de (4.1), son

uk(x, t) = e−k2t sin (kx), si k ≥ 1.

Para resolver (4.1) y suponiendo que no hubiera problemas para la con-vergencia y la conmutacion de las derivadas con la suma infinita, la ecuaciony las condiciones de contorno se cumplen si tomamos por solucion de (4.1),la suma infinita

u(x, t) =∞∑k=0

bke−k2t sin kx. (4.3)

Para la condicion inicial necesitarıamos (formalmente) que

∞∑k=1

bk sin kx = f(x) (4.4)

y la cuestion que surge es si existen coeficientes bk que hagan posible laidentidad.• Una familia ortogonal de funciones ϕk : k ≥ 1 es completa en L2(a, b)

si para toda f en L2(a, b) existen numeros αk tales que,

‖f −N∑k=1

αkϕk‖L2(a,b)

tiende a cero, si N → +∞. En tal caso,∫ b

afϕl =

∫ b

a(f − TNf)ϕl dx+

∫ b

aTNfϕl dx

=

∫ b

a(f − TNf)ϕl dx+ αl

∫ b

aϕ2l ,

si N ≥ l ≥ 1 y TNf =∑N

k=1 αkϕk. Por la desigualdad de Holder∣∣∣∣∫ b

a(f − TNf)ϕl dx

∣∣∣∣ ≤ ‖f − TNf‖L2(a,b)‖ϕl‖L2(a,b)

que tiende a cero si N crece. Es decir,

αl =

∫ b

afϕl dx/

∫ b

aϕ2l dx, si l ≥ 1. (4.5)

39

Si ϕk es completa, la serie∑+∞

k=1 αkϕk se denomina serie de Fourier def en la base ϕk. La ortogonalidad de ϕk y (4.5) implican la desigualdadde Bessel para ϕk

‖f −N∑k=1

αkϕk‖2L2(a,b) = ‖f‖2L2(a,b) −N∑k=1

α2k

∫ b

aϕ2k dx ≥ 0, si N ≥ 1 (4.6)

y pasando al lımite

+∞∑k=1

α2k

∫ b

aϕ2k dx ≤ ‖f‖2L2(a,b).

La completitud de ϕk y (4.6) dan la identidad de Parseval o de Plan-cherel para ϕk,

‖f‖2L2(a,b) =

+∞∑k=1

α2k

∫ b

aϕ2k dx, si f ∈ L2(a, b).

4.2. Criterio de Weierstrass

Teorema 9 (Criterio de Weierstrass). Si fk es una sucesion de funciones,fk : Ω −→ R, Ω es una abierto en Rn y para cada K ⊂ Ω compacto de Ωexiste una sucesion Mk de numeros positivos tales que

|fk| ≤Mk en K y+∞∑k=1

Mk < +∞.

Entonces, la serie de funciones,∑+∞

k=0 fk, converge uniformemente sobrecompactos de Ω. Ademas, si fk ∈ C(Ω), para todo k ≥ 1, entonces f ∈ C(Ω).

Demostracion. Si SN (x) =∑+∞

k=1 fk(x) y 1 ≤ N < M ,

|SN (x)− SM (x)| ≤M∑

k=N+1

Mk, si x ∈ K,

suma que sera mas pequena que ε > 0, si N ≥ Nε. Es decir, SN es unasucesion de Cauchy en L∞(K) y la serie converge uniformemente sobre K.La suma de la serie sera continua en Ω, por ser lımite uniforme de funcionescontinuas sobre compactos de Ω, si cada fk ∈ C(Ω).

Teorema 10 (Derivabilidad de una serie de funciones). Si ademas, fk ∈C1(Ω), para todo k ≥ 1 y para cada K ⊂ Ω compacto existe una sucesionNk, tal que

+∞∑k=0

Nk <∞ y

∣∣∣∣∂fk∂xi

∣∣∣∣ ≤ Nk en K,

40

para cada i = 1, · · · , n y k ≥ 1. Entonces, f ∈ C1(Ω) y

∂f

∂xi=

+∞∑k=0

∂fk∂xi

, para i = 1, . . . , n.

La demostracion la podeis encontrar en el libro J.E. Marsden y M. J.Hoffman, Analisis Clasico Elemental.

4.3. Series de Fourier

Serie trigonometrica de periodo 2π

• Es toda serie de la forma

a0

2+∞∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx).

• Al haber un paso al lımite, que es la suma de la serie, esta puedeentenderse de distintas formas: convergencia puntual, uniforme, en normasvariadas. . .

Coeficientes de Fourier

• De la ortogonalidad de la familia 1, cos kx, sin kx en [−π, π], si fcoincide con la suma de su serie de Fourier y la serie converge uniformente(o en L2(−π, π)) a f , se obtiene que

ak =1

π

∫ π

−πf(x) cos kx dx y bk =

1

π

∫ π

−πf(x) sin kx dx, si k ≥ 0

y se denominan los coeficientes de Fourier de f en [−π, π]. Estos tienensentido y se pueden calcular si f esta en L1(−π, π).• La serie trigonometrica construida con estos coeficientes se llama la

serie de Fourier de f .• Las propiedades elementales de los coeficientes de Fourier son

Linealidad: ak(f + g) = ak(f) + ak(g), bk(f + g) = bk(f) + bk(g).

Acotacion: |ak|, |bk| ≤ ‖f‖1/π, si k ≥ 0.

Lema de Riemann Lebesgue: Si f ∈ L1(−π, π), entonces

lımk→∞

ak = lımk→∞

bk = 0.

41

Demostracion. Si f = χ[a,b], [a, b] ⊂ [−π, π],

ak(f) =1

π

∫ b

acos kx dx =

sin kb− sin ka

k,

que tiende a cero, si k → +∞. Si f ∈ C([−π, π]), para cada ε > 0 existeuna particion, −π = x0 < x1 < . . . < xN = π, de forma que la funcionescalonada, S =

∑N−1i=0 f(xi)χ[xi,xi+1) verifica, ‖f − S‖L∞(−π,π) ≤ ε

2 y

|ak(f)| ≤ |ak(f − S)|+ |ak(S)| ≤ ε+ |ak(S)|, para todo k ≥ 1.

Como lımk→+∞ ak(S) = 0, podremos encontrar kε tal que |ak(f)| ≤ 2ε,si k ≥ kε. En general, si f ∈ L1(−π, π), existe g ∈ C([−π, π]), tal que‖f − g‖L1(−π,π) ≤ πε y

|ak(f)| ≤ |ak(f − g)|+ |ak(g)| ≤ ε+ |ak(g)|, para todo k ≥ 1.

Como lımk→+∞ ak(g) = 0, podremos encontrar kε tal que, |ak(f)| ≤ 2ε, sik ≥ kε.

• Si f ∈ C1([−π, π]) y f(π) = f(−π), la relacion entre los coeficientesde Fourier de f y f ′ es la siguiente:

ak(f′) = kbk(f) , bk(f

′) = −kak(f), si k = 1, 2, 3 . . .

• Si f ∈ C∞([−π, π]) y sus derivadas son periodicas de periodo 2π, loscoeficientes de Fourier de f verifican

|ak(f)|+ |bk(f)| ≤ 2

kN‖f (N)‖L1(−π,π), para todo k ≥ 0 y N ≥ 1.

Demostracion. Integrar por partes.

Nucleo de Dirichlet

• Si SN (f)(x) es la N -esima suma parcial de la serie de Fourier de unafuncion f en L1(−π, π),

SN (f)(x) =1

π

∫ π

−πf(t)

[1

2+

N∑k=1

cos kx cos kt+ sin kx sin kt

]dt

=1

π

∫ π

−πf(t)

[1

2+

N∑k=1

cos k(x− t)

]dt.

La formula, 2 cosx sin y = sin (x+ y)− sin (x− y), muestra que

2

1

2+

N∑k=1

cos ky

sin(y

2

)= sin

(y2

)+

N∑k=1

[sin

(k +

1

2

)y − sin

(k − 1

2

)y

]= sin

(N +

1

2

)y

42

y

SN (f)(x) =1

π

∫ π

−πf(t)DN (x− t) dt, donde DN (x) =

sin(N + 1/2)x

2 sin (x/2).

La funcion DN se denomina nucleo de Dirichlet. Es una funcion regulary periodica de periodo 2π.• Extendiendo f a todo R como una funcion periodica de periodo 2π y

haciendo el cambio de variables natural, podemos escribir

SN (f)(x) =1

π

∫ π

−πf(x− t)DN (t) dt =

1

π

∫ π

−πf(x+ t)DN (t) dt. (4.7)

• Como SN (1) ≡ 1, (4.7) implica que

1

π

∫ π

−πDN (t) dt = 1. (4.8)

Resultados de convergencia

A partir del lema de Riemann-Lebesgue y de la representacion (4.7) conel nucleo de Dirichlet podemos probar el siguiente resultado de convergenciapuntual de la serie de Fouriter:

Teorema 11. Si f : [−π, π] −→ R verifica, f(π) = f(−π) y para algunα > 0 y M > 0,

|f(x)− f(y)| ≤M |x− y|α, si x e y ∈ [−π, π]. (4.9)

Entonces, lımN→∞ SN (f)(x) = f(x) en [−π, π].

Demostracion. La extension periodica de f a todo R verifica (4.9) y por(4.8), podemos escribir

SN (f)(x)− f(x) =1

π

∫ π

−π[f(x− t)− f(x)]DN (t) dt

=1

π

∫ π

−π

f(x− t)− f(x)

2 sin ( t2)sin (N + 1

2)t dt = bN+

12(gx),

si

gx(t) =f(x− t)− f(x)

2 sin ( t2).

La condicion de regularidad (4.9) muestra que gx ∈ L1(−π, π),

|gx(t)| ≤ M |t|α

| sin ( t2)|. |t|α−1, si |t| ≤ π

y por el Lema de Riemann-Lebesgue,

lımN→+∞

bN+

12(gx) = 0.

43

Desigualdad de Bessel

Teorema 12. Si f ∈ L2(−π, π), entonces

a20

2+∞∑k=1

(a2k + b2k) ≤

1

π

∫ π

−π|f(x)|2 dx. (4.10)

Demostracion. La familia de funciones 1, cos kx, sin kx es ortogonal enL2(−π, π), ∫ π

−πcos2 kx dx =

∫ π

−πsin2 kx dx = π, si k ≥ 1

y la desigualdad de Bessel asociada es (4.10).

Un resultado de convergencia uniforme

Sabemos que si una sucesion de funciones continuas converge uniforme-mente, el lımite es una funcion continua y por tanto, si una serie de Fourierconverge uniformemente, su suma es una funcion continua.

Teorema 13. Sea f ∈ C1([−π, π]) o C1 a trozos y tal que f(π) = f(−π).Entonces, su serie de Fourier converge uniformemente a f en [−π, π].

Demostracion. Una tal f verifica las condiciones del teorema 11 con α = 1y M = ‖f ′‖L∞(−π,π), y su serie de Fourier converge puntualmente a f en[−π, π]. Al mismo tiempo,

|ak|+ |bk| ≤ k−2 + k2(a2k + b2k

), si k ≥ 1. (4.11)

La relacion entre los coeficientes de Fourier de f y los de su derivada, ladesigualdad de Bessel y (4.11) implican que

+∞∑k=1

k2(a2k + b2k

)=

+∞∑k=1

ak(f′)2 + bk(f

′)2 ≤ 1

π

∫ π

−πf ′2(x) dx

y la convergencia uniforme de la serie de Fourier se sigue del criterio deWeierstrass y de la desigualdad

|ax cos kx+ bk sin kx| ≤ |ak|+ |bk|, si k ≥ 1.

Una vez conocido este resultado, podemos demostrar la identidad deParseval para 1, cos kx, sin kx con un argumento de densidad y deducirque dicha familia forma un sistema completo en L2(−π, π).

Teorema 14. La serie de Fourier de una funcion f ∈ L2(−π, π) convergea f en L2(−π, π) y la desigualdad de Bessel es una identidad.

44

Demostracion. La desigualdad de Bessel es equivalente a que

‖SN (f)‖L2(−π,π) =√π

(a2

0

2+

N∑k=1

(a2k + b2k)

) 12

≤ ‖f‖L2(−π,π), (4.12)

si N ≥ 1 y f ∈ L2(−π, π), que junto con la desigualdad triangular implicaque

‖f − SN (f)‖L2(−π,π) ≤ ‖f − ϕ‖L2(−π,π) + ‖ϕ− SN (ϕ)‖L2(−π,π)

+‖SN (ϕ−f)‖L2(−π,π) ≤(

1 +1√π

)‖f−ϕ‖L2(−π,π)+‖ϕ−SN (ϕ)‖L2(−π,π).

En la desigualdad anterior, podemos elegir ϕ ∈ C∞0 (−π, π) que verifique

‖f − ϕ‖L2(−π,π) ≤ ε

y como SN (ϕ) converge uniformemente a ϕ en [−π, π],

‖ϕ− SN (ϕ)‖L2(−π,π)

tiende a cero, si N → +∞ y concluimos que tambien SNf converge a f enL2(−π, π). Este resultado y la identidad

‖f − SN (f)‖2L2(−π,π) = ‖f‖2L2(−π,π) − π

(a2

0

2+

N∑k=1

a2k + b2k

),

muestran que la desigualdad de Bessel (4.12) es de hecho una identidad,llamada identidad de Plancherel o Parseval,

a20

2+

+∞∑k=1

(a2k + b2k) =

1

π

∫ π

−πf2(x) dx, si f ∈ L2(−π, π),

y por tanto, 1, cos kx, sin kx es completa en L2(−π, π).

Funciones pares e impares

• Series de Fourier de cosenos/senos. Dada una funcion en [0, π], sellama serie de Fourier de cosenos de f a la serie de Fourier de su extensionpar al intervalo [−π, π]. La serie de Fourier de senos de f es la serie deFourier de su extension impar a [−π, π].• Las funciones sin kx : k ≥ 1 y cos kx : k ≥ 0 forman sistemas

completos en L2(0, π) respectivamente.

45

Demostracion. Sea f la extension par a [−π, π] de f en L2(0, π). Los coefi-cientes de Fourier de f son respectivamente

ak =1

π

∫ π

−πf(x) cos kx dx =

2

π

∫ π

0f(x) cos kx dx, si k ≥ 0

y

bk =1

π

∫ π

−πf(x) sin kx dx = 0, si k ≥ 1.

Como

‖f −

(a0

2+

N∑k=1

ak cos kx

)‖L2(−π,π)

tiende a cero y [0, π] ⊂ [−π, π], la serie de Fourier de cosenos

a0

2+

+∞∑k=1

ak cos kx, ak =2

π

∫ π

0f(x) cos kx dx, si k ≥ 0

converge a f en L2(0, π).Si f es la extension impar de f , su serie de Fourier solo tiene senos. En

este caso

bk = bk =2

π

∫ π

0f(x) sin kx dx, si k ≥ 1

y

‖f −N∑k=1

bk sin kx‖L2(0,π) ≤ ‖f −N∑k=1

bk sin kx‖L2(−π,π),

que tiende a cero si N → +∞.

Cambio de periodo

• Si f es periodica de periodo 2l, su serie de Fourier en (−l, l) se escribe

a0

2+

∞∑k=1

ak cos

(kπx

l

)+ bk sin

(kπx

l

),

con

ak =1

l

∫ l

−lf(x) cos

(kπx

l

)dx, bk =

1

l

∫ l

−lf(x) sin

(kπx

l

)dx

y las funciones

1, cos

(kπx

l

), sin

(kπx

l

)

forman un sistema completo en L2(−l, l).• Las familias de funciones

1, cos(kπxl

), sin

(kπxl

) , cos

(kπxl

): k ≥ 0 , sin

(kπxl

): k ≥ 1

son sistemas completos en L2(0, l), si l > 0.

46

Demostracion. El cambio de variable, g(x) = f( lxπ ), transforma L2(−l, l) enL2(−π, π) y la informacion sobre la serie de Fourier clasica de g en [−π, π],en informacion para la nueva serie de Fourier de f en (−l, l).

4.4. Vuelta al problema del calor en una barra fi-nita

Los coeficientes bk en (4.4) son los de la serie de Fourier de senos de fen (0, π):

bk =2

π

∫ π

0f(x) sin kx dx, si k ≥ 1.

Esta sucesion de numeros esta acotada, si f ∈ L1(0, π) y la serie

∞∑k=1

bke−k2t sin kx,

converge uniformemente junto con sus derivadas en R × [ε,+∞) para todoε > 0, es una solucion de la ecuacion del calor y verifica la condicion decontorno en [0, π]× (0,+∞).

Demostracion. Si α, β ∈ N, kα+2βe−k2ε ≤ C(α, β, ε), para todo k ≥ 1,

|∂αx ∂βt

(bke−k2t sin kx

)| . ‖f‖L1(0,π)k

α+2βe−k2t

≤ C(α, β, ε, f)

(1

eε

)k, si x ∈ R y t ≥ 2ε

y la afirmacion es consecuencia del criterio de Weierstrass y de la conver-gencia de la serie de termino general rk, 0 < r < 1.

Convergencia al dato inicial

Teorema 15. Si f ∈ L2(0, π), entonces u( · , t) converge a f en L2(0, π).

Demostracion. Sabemos que sin kx : k ≥ 1 es completa en L2(0, π) y porla identidad de Plancherel para esta familia

‖u(·, t)− f‖2L2(0,π) = ‖+∞∑k=1

bk(e−k2t − 1) sin kx‖2L2(0,π) =

π

2

∑k

b2k(1− e−k2t)2

y el lımite a la derecha es cero por el Teorema de Convergencia Dominadao la siguiente acotacion:∑

k

b2k(1− e−k2t)2 ≤

Nε∑k=1

b2k(1− e−k2t)2 + ε ,

si Nε se elige tal que,∑+∞

k=Nε+1 b2k ≤ ε.

47

Si f ∈ C([0, π]), f(0) = f(π) = 0 y f es la extension impar de f aR respecto de 0 y π, f ∈ C(R) ∩ L∞(R). En tal caso, la solucion de (4.1)que obtenemos por el metodo de reflexiones esta en C∞([0, π]× (0,+∞)) ∩C([0, π]×[0,+∞)). Tambien se puede mostrar que la solucion generada por elmetodo de separacion de variables es, en tal caso, continua en [0, π]×[0,+∞),y por el principio del maximo debil para un cilindro de base acotada, lasdos soluciones son iguales (Ver la seccion titulada Extension de la validezde esas soluciones en el libro de Hans F. Weinberger pero no intentar sulectura hasta haber leıdo el ultimo tema en este curso).

Es facil mostrar que la solucion generada por el metodo de separacion devariables es continua en la clausura del cilindro [0, π] × R, si f ∈ C1([0, π])y f(0) = f(π) = 0.

Demostracion. Los coeficietes de la serie de Fourier de senos de f verifican

bk = − 2

πk

∫ π

0f(x) (cos kx)′ dx =

2

πk

∫ π

0f ′(x) cos kx dx =

akk, si k ≥ 1,

donde ak es el coeficiente de Fourier de la serie de cosenos de f ′ en [0, π].Esto implica que

|bk| ≤1

k2+ a2

k, si k ≥ 1, (4.13)

y (4.13), la identidad de Plancherel para la serie de cosenos de f ′ en [0, π] yel criterio de Weiestrass, muestran que la serie (4.3) converge uniformementehacia una funcion continua en [0, π]× R.

Otras condiciones de contorno

• Si las condiciones de contorno son, ux(0, t) = ux(π, t) = 0 (de tipoNeumann), llegamos a

X ′′ + λX = 0, con X ′(0) = X ′(π) = 0,

que tiene soluciones no nulas para λ = 0 (las constantes) y λ = k2 (multiplosde cos kx), si k ≥ 1. La solucion se escribe como

u(x, t) =a0

2+

∞∑k=1

ake−k2t cos kx,

y los ak se obtienen como los coeficientes de la serie de cosenos de f .Metodos similares a los de la seccion anterior muestran que si f esta

en C1([0, π]), entonces u esta en C∞([0, π] × (0,+∞)), que u es continuaen [0, π] × [0,+∞) y que u esta en C1([0, π] × [0,+∞)), si f ∈ C2([0, π]) yf ′(0) = f ′(π) = 0.

48

• Si las condiciones de contorno son, u(0, t) = 0 y ux(π, t) = 0, estasconducen al problema de Sturm-Liouville

X ′′ + λX = 0, con X(0) = X ′(π) = 0,

que tiene como valores propios λk = (k + 1/2)2 y como funciones propias aXk = sin(k + 1/2)x, si k ≥ 0. Ası,

u(x, t) =

∞∑k=0

cke−(k+1/2)2t sin(k + 1/2)x

y para encontrar la solucion por el metodo de la separacion de variablesnecesitamos saber que

f(x) =∞∑k=0

ck sin(k + 1/2)x,

en algun sentido ¿Es sin (k + 1/2)x : k ≥ 0 una familia completa enL2(0, π)?

Para resolver este problema procedemos como con el metodo de reflexio-nes y de forma analoga a como probamos que las funciones asociadas a lasseries de cosenos y senos son familias completas en L2(0, π): si f denota laextension de f a toda la recta real como funcion impar respecto a x = 0 ypar respecto a x = π, f(2x) es periodica de periodo 2π y su serie de Fourier,se reduce a una serie de senos impares. Como f(x) = f(x2 ), resulta que fadmite un desarrollo con una serie de Fourier del tipo anterior con

ck =2

π

∫ π

0f(x) sin(k + 1/2)x dx

que convege a f en L2(0, π).

4.5. Ecuacion no homogenea

El metodo de separacion de variables requiere condiciones de contornohomogeneas. Si no lo son, podemos escoger una funcion v que cumpla lascondiciones de contorno del problema, restarla de u y resolver un nuevoproblema para w = u − v. Esto puede afectar al segundo miembro de laecuacion y a la condicion inicial.

4.5.1. Segundo miembro no nulo

Consideramos ahora el problema no homogeneout − uxx = F (x, t) , 0 < x < π , t > 0 ,

u(x, 0) = 0 , 0 < x < π ,

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 .

49

que tambien se puede resolver por separacion de variables: imitamos el meto-do de variacion de las constantes (o de Duhamel) y se escribe u como unaserie de funciones de variables separadas con nuevas funciones de la variabletemporal t que multiplican a las soluciones del problema de Sturm-Liouvilleasociado al problema homogeneo; es decir, escribimos

u(x, t) =∞∑k=1

Tk(t) sin kx,

y se requiere que u cumpla la ecuacion y la condicion inicial (el metodoasegura las condiciones de contorno). Desarrollando F segun las mismasfunciones propias, podremos escribir

F (x, t) =∞∑k=1

Ck(t) sin kx

y las funciones Tk(t) se determinan como las soluciones de la ecuacion dife-rencial ordinaria

T ′k(t) + k2Tk(t) = Ck(t),

Tk(0) = 0,

que resolvemos por el metodo de variacion de las constantes.

4.6. Separacion de variables para la ecuacion deondas

Sea el problema de ondas en una cuerda finitautt − c2uxx = 0 , 0 < x < π , t > 0 ,

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 ,

u(x, 0) = f(x) , 0 < x < π ,

ut(x, 0) = g(x) , 0 < x < π .

Buscamos soluciones de la forma X(x)T (t) que cumplan la ecuacion y lascondiciones de contorno, X(0) = X(π) = 0. Ası se llega al mismo problemade Sturm-Liouville que antes: los valores propios son k2, k ≥ 1 y las funcionespropias son sin kx. La ecuacion diferencial ordinaria para Tk con cada unode estos valores es

T ′′k (t) + c2k2Tk(t) = 0,

que tiene como solucion general, Tk(t) = A cos kct + B sin kct. Por tanto,una posible solucion se escribe como

u(x, t) =

∞∑k=1

(Ak cos kct+Bk sin kct) sin kx

50

y se determinan los coeficientes con las condiciones iniciales.Ası queda que

Ak =2

π

∫ π

0f(x) sin kx dx y ckBk =

2

π

∫ π

0g(x) sin kx dx.

En este caso es mas difıcil estudiar la convergencia de la serie a partir deltamano de los coeficientes. Se puede hacer indirectamente usando formulastrigonometricas y observando que la serie que representa a u es la que co-rresponde a la solucion construida utilizando por el metodo de d’Alemberto de las caracterısticas.

Las variantes con distinto tipo de condiciones de contorno o con segundomiembro a la derecha son como en el caso de la ecuacion del calor. Enparticular, para resolver el problema no homogeneo

utt − c2uxx = F (x, t) , 0 < x < π , t > 0 ,

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t > 0 ,

u(x, 0) = 0 , 0 < x < π ,

ut(x, 0) = 0 , 0 < x < π,

(4.14)

y en analogıa con el metodo de variacion de las constantes o de Duhamel,intentamos escribir la solucion de (4.14) como

u(x, t) =

∞∑k=1

Tk(t) sin kx. (4.15)

Sustituyendo en la ecuacion y si F (x, t) =∑∞

k=1Ck(t) sin kx, se debe verifi-car que

T ′′k (t) + c2k2Tk(t) = Ck(t),

Tk(0) = T ′k(0) = 0,

para todo k ≥ 1. Como conocemos las soluciones de la ecuacion homogenea,por el metodo de variacion de las constantes escribimos Tk(t) como

Ak(t) cos kct+Bk(t) sin kct,

donde las funciones Ak y Bk verificaranA′k(t) cos kct+B′k(t) sin kct = 0,

−A′k(t) sin kct+B′k(t) cos kct = Ck(t)/kc,

Ak(0) = Bk(0) = 0,

(4.16)

si k ≥ 1.Las ecuaciones (4.16) implican formalmente que u es solucion de (4.14).

El analisis de la convergencia de la serie (4.15) y de la serie de sus derivadasparciales se puede hacer con el criterio de Weierstrass para la convergenciauniforme de series de funciones.

51

4.7. Separacion de variables en otros dominios

Si Ω es un abierto acotado de Rn con frontera regular y queremos resolver4u− ∂tu = 0, en Ω× (0,+∞),

u = 0, en ∂Ω× [0,+∞),

u(x, 0) = f(x), en Ω,

(4.17)

podemos empezar por buscar soluciones de variables separadas, X(x)T(t),que cumplan las condiciones de contorno. Esto da lugar a encontrar los λ ∈ Rtal que existe una solucion no nula de

4X + λX = 0, en Ω,

X = 0, en ∂Ω,

y e−λtX es una tal solucion. Es conocido que la solucion al problema deSturm-Liouville es una familia numerable ek de funciones en C∞(Ω) queverifican

4ek + λ2kek = 0, en Ω,

ek = 0, en ∂Ω,k = 1, 2, . . .

donde0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ . . . λk ≤ . . . , lım

k→+∞λk = +∞,

y que ek es un sistema completo en L2(Ω). Estas funciones se denominanlas autofunciones del operador de Laplace en Ω con condiciones de Dirichletnulas. Ası podemos construir la solucion como

u(x, t) =+∞∑k=1

ake−λ2ktek, si ak =

∫Ωfek dx.

El problema4v − ∂2

t v = 0, en Ω× (0,+∞),

v = 0, en ∂Ω× [0,+∞),

v(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) en Ω,

(4.18)

se resuelve escribiendo

v(x, t) =

+∞∑k=1

(ak cosλkt+ bk

λksinλkt

)ek,

con

ak =

∫Ωfek dx y bk =

∫Ωgek dx.

52

Capıtulo 5

La ecuacion del potencial enel plano

5.1. Los problemas de Dirichlet y Neumann.

• En fısica aparecen campos incompresibles (conservativos) e irrotacio-nales: campos magneticos, flujos de temperatura, velocidades de fluidos, etc.Si V = Pi+Qj es un tal campo en Ω ⊂ R2, lo anterior corresponde respec-tivamente a que su divergencia y rotacional

∇ · V = ∂xP + ∂yQ , ∇× V = (∂xQ− ∂yP )k,

sean nulos en Ω. Un campo irrotacional es el gradiente de una funcion u :Ω ⊂ R2 −→ R, V = ∇u, que es unica excepto por contantes y que sedenomina el potencial del campo V . Como

∇ · V = ∇ · (∇u) = 4u = 0, en Ω,

el potencial es una funcion armonica.En general se pueden hacer mediciones de V en la frontera de Ω y conocer

la componente normal de V (V ·ν) o su componente tangential (V · t) en ∂Ω,donde ν y t son los vectores normal y tangencial unitarios a ∂Ω. Esto equivalea conocer la derivada normal de u en ∂Ω (V ·ν = ∇u ·ν) o los valores de u en∂Ω. Para entender el segundo caso, si u ∈ C1(Ω) y ∂Ω = σ(t) : t ∈ [0, 1],donde σ : [0, 1] −→ R2 es una parametrizacion periodica del borde de Ω, severifica que

u(σ(t)) = u(σ(0)) +

∫ t

0∇u(σ(τ)) · σ(τ) dτ

= u(σ(0)) +

∫ t

0V (σ(τ)) · t(τ)|σ(τ)| dτ = u(σ(0)) +

∫γt

P dx+Qdy,

53

donde γt es el arco orientado en ∂Ω que conecta σ(0) con σ(t). Por tanto,los valores de V en Ω quedan determinados por el valor del gradiente decualquiera de las soluciones de los problemas,

4u1 = 0, en Ω,∂u1∂ν = h, en ∂Ω,

o

4u2 = 0, en Ω,

u2 = f, en ∂Ω,

donde h y f son las mediciones que se tengan de V en la frontera de Ω ysupuesto que los gradientes de las soluciones son unicos; es decir, que ambosproblemas tengan solucion “unica”. . .• El primer problema se llama problema de Neumann y el segundo de

Dirichlet y si Ω es acotado los dos tienen solucion unica en C2(Ω) ∩ C1(Ω).

Demostracion. Si u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) es armonica en Ω y u o ∂u∂ν es cero en

∂Ω,∇ · (u∇u) = u4u+ |∇u|2 = |∇u|2

y por el teorema de la divergencia,∫Ω|∇u|2 dx =

∫Ω∇ · (u∇u) dx =

∫∂Ωu∂u∂ν dσ = 0.

• Si Ω es un dominio simplemente conexo y Ψ : B −→ Ω es la trans-formacion conforme de Riemann de la bola unidad B en Ω, las funcionesUi = ui Ψ, i = 1, 2, son armonicas en B y verifican

4U1 = 0, en B,∂U1∂ν = h Ψ|Ψ′|, en ∂B,

,

4U2 = 0, en B,

U2 = f Ψ, en ∂B.

Esto justifica que intentemos resolver el problema de Dirchlet en el cırculo4u = 0, en B,

u = f, en ∂B,(5.1)

y encontraremos una solucion u en C∞(B) ∩ C(B), si f ∈ C(∂B).Utilizando coordenadas polares (r, θ), f se convierte en una funcion con-

tinua y periodica de periodo 2π,

ϕ(θ) = f(cos θ, sin θ) y u(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ),

tendra que estar en C∞([0, 1)× [−π, π])∩C([0, 1]× [−π, π]) y ser, junto consus derivadas parciales, periodica de periodo 2π para cada 0 ≤ r ≤ 1.

54

En la nuevas coordenadas, el problema de Dirichlet (5.1) se reduce aencontrar u ∈ C∞([0, 1)× [−π, π])∩C([0, 1]× [−π, π]), periodica de periodo2π y tal que

urr + 1rur + 1

r2uθθ = 0, en [−π, π]× [0, 1),

u(1, θ) = f(θ), en [−π, π].(5.2)

En estas coordenadas es posible resolver (5.2) por separacion de varia-bles. Las soluciones en variables separadas no nulas, R(r)Θ(θ), nos lleva alas ecuaciones

− r2R′′ + rR′

R=

Θ′′

Θ= −λ.

Ası tendremos el problema de Sturm-Liouville

Θ′′ + λΘ = 0, Θ y sus derivadas son periodicas de periodo 2π,

que equivale a encontrar los λ ∈ R tales queΘ′′ + λΘ = 0, en [−π, π],

Θ(−π) = Θ(π),Θ′(−π) = Θ′(π),(5.3)

tiene solutiones no nulas. Esto ocurre si λ = 0 con Θ ≡ 1 o λ = k2 yΘk = A cos kθ +B sin kθ, si k ≥ 1.

Demostracion. Si λ = 0, Θ = Aθ + B, con A, B en R y para ser periodicaA deber ser cero. Es decir, Θ0 = 1 es solucion con λ0 = 0. Si λ < 0,Θ = Ae

√−λ θ + Be−

√−λ θ y que Θ y Θ′ sean periodicas nos lleva al sistema

de ecuaciones A sinh (

√−λπ)−B sinh (

√−λπ) = 0,

A sinh (√−λπ) +B sinh (

√−λπ) = 0.

El determinante de la matriz de coeficientes del sistema anterior es

2 sinh2 (√−λπ) 6= 0,

y su unica solucion es A = B = 0. Si λ > 0, Θ = A cos (√λ θ) +B sin (

√λ θ)

y las condiciones de contorno implican queA cos (

√λπ) +B sin (

√λπ)B = A cos (

√λπ)−B sin (

√λπ)B,

−A sin (√λπ) +B cos (

√λπ)B = A sin (

√λπ) +B cos (

√λπ)B,

que tiene solucion no nula si sin (√λπ) = 0; es decir, para λk = k2, k ≥ 1 y

con Θk = Ak cos kθ +Bk sin kθ.

55

Resolvemos la EDO para R segun los valores hallados de λ

r2R′′

+ rR′ − λR = rd

dr

(rdR

dr

)− λR = 0.

La ecuacion es de tipo Euler y por el cambio de variables r = es, r ddr = dds ,

es equivalente ad2R

ds2− λR = 0.

Si λ = 0 tenemos que, R(r) = A log r+B y si λ = k2, R(r) = Ar−k+Brk.Para que u sea continua en 0 debemos eliminar las soluciones de variablesseparadas que no lo son, las asociadas a log r y r−k y con las restantesescribimos formalmente

u(r, θ) =a0

2+

∞∑k=1

rk(ak cos kθ + bk sin kθ). (5.4)

Si pedimos a u que cumpla la condicion de contorno, deducimos que ak y bkdeben ser los coeficientes de Fourier de f en L2(−π, π).• Lo que acabamos de hacer en coordenadas polares (r, θ) se recons-

truye en las coordenadas cartesianas (x, y) de la siguiente forma: primerorecordamos que

rk (cos kθ + i sin kθ) = (x+ iy)k = Pk(x, y) + iQk(x, y), si k ≥ 0,

donde Pk y Qk son polinomios armonicos homogeneos de grado k,

Pk(λx, λy) = λkPk(x, y), Qk(λx, λy) = λkQk(x, y), si λ > 0,

con coeficientes reales - unas funciones armonicas muy particulares - e in-tentamos escribir una posible solucion de (5.1) como

u(x, y) =a0

2+∞∑k=1

akPk(x, y) + bkQk(x, y).

Los polinomios Pk y Qk se pueden encontrar en las coordenadas origina-les planteandose el problema de buscar todos los polinomios armonicos ho-mogeneos de grado k ≥ 1 en dos variables,

P (x, y) =

k∑j=0

ajxjyk−j .

Al imponer la condicion ∆P = 0, se verifica que necesariamente

P = aPk + bQk, con a, b ∈ R.

56

Regularidad

Si f ∈ L1(−π, π), los coeficientes ak y bk estan acotados y la serie con-verge absoluta y uniformemente en la bola B(0, 1− ρ), para todo 0 < ρ < 1y se puede derivar dentro de la suma tantas veces como se quiera: u esta enC∞(B) y 4u = 0 en el interior de B.

Demostracion. Por Weierstrass y la acotacion

|klrk(ak cos kθ + bk sin kθ)| ≤ Cl‖f‖L1(−π,π)(1− ρ2)k,

si r ≤ 1− ρ, k, l ≥ 0 y θ ∈ R.

Nucleo de Poisson

Sustituyendo ak y bk por su formula de calculo en (5.4) se verifica que

u(r, θ) =1

π

∫ π

−πf(φ)

[1

2+

∞∑k=1

rk cos k(θ − φ)

]dφ

=1

π

∫ π

−πf(φ)Pr(θ − φ) dφ,

donde

Pr(θ) =1

2+∞∑k=1

rk cos kθ =1− r2

2(1− 2r cos θ + r2)

es el nucleo de Poisson.

Demostracion. La formula anterior es consecuencia de la relacion trigo-nometrica

cos k(θ − φ) = cos kθ cos kφ+ sin kθ sin kφ,

de las formulas para ak, bk, de que

[r2 + 1− 2r cos θ]∞∑1

rk cos kθ

=

∞∑1

[rk+2 + rk] cos kθ − rk+1[cos (k + 1)θ + cos (k − 1)θ]

=∞∑1

rk+2 cos kθ +∞∑1

rk cos kθ −∞∑2

rk cos kθ −∞∑0

rk+2 cos kθ

= r cos θ − r2,

de donde se deduce que

∞∑1

rk cos kθ =r cos θ − r2

r2 + 1− 2r cos θ

y de sumar 1/2 a la suma infinita anterior.

57

Si x = (x1, x2), x1 = r cos θ, x2 = r sin θ y si |y| = 1, y = (cosφ, sinφ),la longitud de arco en ∂B es dσ = dφ y

1− r2

1− 2r cos (θ − φ) + r2=

1− |x|2

|x− y|2,

de donde

u(x) =1

2π

∫∂B

1− |x|2

|x− y|2f(y) dσ(y). (5.5)

Si en el razonamiento anterior hacemos f ≡ 1, como el desarrollo en seriede Fourier de la funcion constante 1 es trivial, sale que u ≡ 1; es decir,

1

2π

∫∂B

1− |x|2

|x− y|2dσ(y) = 1, si |x| < 1.

Continuidad hasta el borde

Hemos visto que u ∈ C∞(B), si f ∈ L1(∂B). Si ademas f ∈ C(∂B),entonces u ∈ C(B) y u = f en ∂B.

Demostracion. Si y0 ∈ ∂B y ε > 0, existe δ > 0 tal que |f(y) − f(y0)| < ε,si |y − y0| < δ, |y| = 1. Entonces,

u(x)− u(y0) =1

2π

∫∂B

1− |x|2

|x− y|2(f(y)− f(y0)) dσ(y)

=1

2π

∫∂B∩Bδ(y0)

1− |x|2

|x− y|2(f(y)− f(y0)) dσ(y)

+1

2π

∫∂B\Bδ(y0)

1− |x|2

|x− y|2(f(y)− f(y0)) dσ(y).

La primera integral es menor que ε. La segunda, esta acotada por

2‖f‖L∞(∂B)1− |x|2

(δ/2)2, si |x| ≤ δ/2

y tiende a cero, si x ∈ B se acerca a y0.

Cırculo de radio R

Si x0 ∈ R2, R > 0 y ϕ ∈ C(∂BR(x0)). Una funcion u en C2(BR(x0)) ∩C(BR(x0)) es solucion del problema de Dirichlet

4u = 0, en BR(x0),

u = ϕ, en ∂BR(x0),(5.6)

si v(ξ) = u(x0 + Rξ) es solucion en C2(B) ∩ C(B) de (5.1) con f(ξ) =ϕ(x0 +Rξ). Para el cırculo unidad sabemos como construir una solucion de

58

(5.5) y deshaciendo el cambio de variables, obtenemos una solucion de (5.6).De (5.5),

u(x0 +Rξ) =1

2π

∫∂B

1− |ξ|2

|ξ − y|2ϕ(x0 +Ry) dσ(y), si |ξ| < 1.

y escribiendo x = x0 +Rξ,

u(x) =1

2π

∫∂B

R2 − |x− x0|2

|x− (x0 +Ry)|2ϕ(x0 +Ry) dσ(y), si |x− x0| < R.

Finalmente, parametrizando ∂B como y = eiθ, −π ≤ θ ≤ π, x0 + Reiθ esuna parametrizacion de ∂BR(x0) y

u(x) =1

2πR

∫∂BR(x0)

R2 − |x− x0|2

|x− y|2ϕ(y) dσ(y), si |x− x0| < R, (5.7)

es una solucion de (5.6) que hemos construido utilizando el metodo se sepa-racion y cambios de variables.

Algunas propiedades de esta solucion.

La solucion (5.7) verifica las siguientes propiedades:

•Principio del maximo y del mınimo.

mın∂BR(x0)

f ≤ u(x) ≤ max∂BR(x0)

f, si x ∈ BR(x0).

Demostracion. Observad que

1

2πR

∫∂BR(x0)

R2 − |x− x0|2

|x− y|2dσ(y) = 1, si |x− x0| < R.

•Propiedad del valor medio.

u(x0) =1

2πR

∫∂BR(x0)

f dσ.

Demostracion. Haced x = x0 en (5.7).

•Desigualdad de Harnack. Si u ≥ 0 en BR(x0); es decir, si ϕ ≥ 0 en ∂BR(x0),entonces

R− |x− x0|R+ |x− x0|

u(x0) ≤ u(x) ≤ R+ |x− x0|R− |x− x0|

u(x0), (5.8)

para todo x ∈ BR(x0). Ademas,

supBR/2(x0)

u ≤ 9 ınfBR/2(x0)

u.

59

Demostracion. Observad que

R− |x− x0|R+ |x− x0|

≤ R2 − |x− x0|2

|x− y|2≤ R+ |x− x0|R− |x− x0|

,

si x ∈ BR(x0) e y ∈ ∂BR(x0). Para la segunda desigualdad, utilizad (5.7) yque

R+ |x− x0|R− |x− x0|

≤ 3,R− |x− x0|R+ |x− x0|

≥ 1

3,

si x ∈ BR2

(x0) e y ∈ ∂BR(x0).

5.2. Principio del maximo

Teorema 16 (Principio del maximo debil). Sea Ω un abierto acotado delplano y u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω). Si 4u ≥ 0 en Ω, entonces

maxΩ

u = max∂Ω

u.

Demostracion. Si 4u > 0 en Ω y u alcanza su maximo en Ω en algun x enΩ, la matriz Hessiana de u en x es semidefinida negativa y su traza 4u, esmenor o igual que 0. Si 4u ≥ 0, aplicar lo anterior a uε = u+ ε|x|2 y hacertender ε a cero.

El principio del maximo implica que el problema de Dirichlet para eloperador de Laplace tiene a lo mas una solucion u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω).

Teorema 17 (Propiedad del valor medio). Sea Ω un abierto del plano,u ∈ C2(Ω) armonica en Ω, x0 ∈ Ω y R > 0 tal que BR(x0) ⊂ Ω. Entonces,

u(x0) =1

2πR

∫∂BR(x0)

u(y) dσ.

Demostracion. Por la unicidad de solucion para problema de Dirichlet, ucoincide en BR(x0) con la solucion v construida en (5.7) para

4u = 0, en BR(x0),

v = u, en ∂BR(x0),

y esta verifica la propiedad del valor medio en BR(x0).

El recıproco tambien es cierto.

Teorema 18. Si u en C(Ω) cumple la propiedad del valor medio, entoncesu es C∞ en Ω y es armonica en Ω.

60

Demostracion. La funcion

ρ(x) =

Ne− 1

1−|x|2 , si |x| < 1,

0, si |x| ≥ 1,

es C∞ en R2, tiene integral igual a 1 si N se elige de forma adecuada. Sidefinimos

uε(x) =

∫Ωε−2ρ(x−yε )u(y) dy,

uε es C∞ en R2. Por la propiedad del valor medio e integracion en coorde-nadas polares,

uε(x) =

∫Bε(x)

ε−2ρ(x−yε )u(y) dy =

∫ ε

0

∫∂Br(x)

1

ε2ρ( rε )u(y) dσdr

= u(x)

∫ ε

0

2πrε2ρ( rε ) dr = u(x)

∫R2

ρ(y) dy = u(x),

si d(x, ∂Ω) > ε. Por tanto, u es C∞ en Ω. Para ver que u es armonica en Ω,desarrollamos por Taylor hasta orden 2 alrededor de x en Ω,

u(y) = u(x) +∇u(x) · (y − x) + 12D

2u(x)(y − x) · (y − x) +O(|y − x|3),

y como

12πr

∫∂Br(x)

(yi − xi) dσ = 0 , 12πr

∫∂Br(x)

(yi − xi)(yj − xj) dσ =r2δij

2 ,

si i, j = 1, . . . , n, tendremos que

u(x) = 12πr

∫∂Br(x)

u(y) dσ = u(x) + r2

4 4u(x) +O(r3);

es decir,0 = 1

44u(x) +O(r),

y hacemos r tender hacia 0.

Teorema 19 (Principio del maximo fuerte). Sea Ω es un abierto conexo enel plano y u en C2(Ω) ∩ C(Ω) una funcion armonica en Ω. Si u alcanza enΩ un maximo o mınimo global, entonces u es constante en Ω.

Demostracion. Sea M el valor del maximo de u en Ω. Entonces,

H = x ∈ Ω : u(x) = M

es no vacıo, cerrado y por la propiedad del valor medio tambien es abiertoen Ω: si y ∈ H

M = u(y) =1

2πR

∫∂BR(y)

u(x) dσ ,

∫∂BR(y)

(M − u(x)) dσ = 0,

si R < d(y, ∂Ω). Pero M − u ≥ 0 en Ω y concluimos que u ≡ M enB(y, d(y, ∂Ω)). Por tanto, H = Ω y u es constante en Ω.

61

Teorema 20 (Un teorema de tipo Liouville). Si u es armonica en R2 yacotada inferiormente (o superiormente), entonces u es constante en R2.

Demostracion. Podemos suponer que u ≥ 0 en R2. Entonces fijado R > 0,escribir la desigualdad de Harnack (5.8) para u en BR(0) y hacer tender Ra infinito. Ello implica que u(x) = u(0), para todo x en R2. Si u ≥ −M ,trabajar con u+M y si u ≤M , trabajar con M − u.

5.3. El problema no homogeneo en el cırculo

El problema no homogeneo4u = F, en B,

u = 0, en ∂B,

es equivalente en coordenadas polares a encontrar u(r, θ), periodica de pe-riodo 2π junto con sus derivadas y tal que

urr + 1rur + 1

r2uθθ = F (r, θ), en [−π, π]× [0, 1),

u(1, θ) = 0, en [−π, π],

si F (r, θ) = F (r cos θ, r sin θ). Escribimos la posible solucion como

u(r, θ) =a0(r)

2+∞∑k=1

ak(r) cos kθ + bk(r) sin kθ.

Esta funcion sera solucion del problema no homogeneo sia′′k + 1

ra′k + k2

r2ak = Fk(r), en [0, 1),

b′′k + 1r b′k + k2

r2bk = Gk(r), en [0, 1),

ak(1) = bk(1) = 0,

ak, bk son acotadas en [0, 1],

(5.9)

y

F (r, θ) =F0(r)

2+

∞∑k=1

Fk(r) cos kθ +Gk(r) sin kθ.

Las ecuaciones (5.9) se resuelven por el metodo de variacion de las constan-tes.

5.4. El problema de Dirichlet en otros dominioscirculares

Tambien se pueden resolver por separacion de variables otros problemasasociados al Laplaciano si se trabaja en coordenadas polares y sobre domi-nios como un anillo, el exterior de un cırculo o en regiones limitadas por

62

conos. En el caso de un anillo o del exterior de un cırculo se plantea losproblemas de encontrar u de clase C2 en BR2 \ BR1 , 0 < R1 < R2 < ∞,continua en la clausura de BR2 \BR1 y tal que

4u = 0, en BR2 \BR1 ,

u = f2, en ∂BR2 ,

u = f1, en ∂BR1 ,

o de encontrar u de clase C2 en Rn \ BR, R > 0, continua y acotada enRn \BR y tal que

4u = 0, en Rn \BR,

u = f, en ∂BR.

En coordenadas polares los problems son respectivamente equivalentes aencontrar u de clase C2 en (R1, R2)× [−π, π], periodica de periodo 2π juntocon sus derivadas, continua en [R1, R2]× [−π, π] y tal que

urr + 1rur + 1

r2uθθ = 0, en (R1, R2)× [−π, π],

u(R2, θ) = ϕ2(θ) = f2(R2 cos θ,R2 sin θ), en [−π, π],

u(R1, θ) = ϕ1(θ) = f1(R1 cos θ,R1 sin θ), en [−π, π],

o de encontrar u de clase C2 en (R,+∞)× [−π, π], periodica de periodo 2πjunto con sus derivadas, continua y acotada en [R,+∞)× [−π, π] y tal que

urr + 1rur + 1

r2uθθ = 0, en (R,+∞)× [−π, π],

u(R, θ) = ϕ(θ) = f(R cos θ,R sin θ), en [−π, π].

En el primer caso, lo razonable es escribir u como

u(r, θ) =1

2(a0 + b0 log r) +

+∞∑k=1

(r

R2

)k(ak cos kθ + bk sin kθ)

+

+∞∑k=1

(R1

r

)k(dk cos kθ + ck sin kθ) , (5.10)

donde los coeficientes ak, bk, dk y ck se determinan por comparacion deseries de Fourier e imponiendo que u(R1, θ) = ϕ1(θ), u2(R2, θ) = ϕ2(z). Enel segundo, descartamos las soluciones de variables separadas que no sonacotadas en (R,+∞)× [−π, π] y escribimos u como

u(r, θ) =a0

2+∞∑k=1

(R

r

)k(ak cos kθ + bk sin kθ), (5.11)

donde ak y bk son los coeficientes de Fourier de ϕ.

63

Con un analisis similar al que hemos hecho con la solucion generadapor separacion de variables para el problema de Dirichlet en el interior deuna bola, se puede mostrar que las soluciones (5.10) y (5.11) son continuasy acotadas en la clausura de sus dominios cuando sus datos fronteras soncontinuos en la frontera del dominio.

El problema de Dirichlet en el exterior de una bola BR tiene a lo mas unasolucion en la clase de funciones C2(R2 \BR)∩C(R2 \BR)∩L∞(R2 \BR):basta con considerar

uε = ± u− ε log rR ,

aplicar el principio del maximo debil a uε en BR′ \ BR, donde R′ > R seelige grande para que uε ≤ 0 en ∂BR′ y despues se hace tender ε a cero paraconcluir que

± u(x) ≤ ∓ max∂BR

u, si x ∈ R2 \BR.

La condicion de estar en L∞(R2 \ BR) es necesaria para la unicidad,pues u = logR − log r es armonica en R2 \ BR, u = 0 en ∂BR y u no esidenticamente nula.

Tambien se puede usar separacion de variables para resolver el problemade Dirichlet en la region limitada por las rectas θ = α, θ = β y la circun-ferencia r = R y con datos de Dirichlet nulos en los lados rectilıneos delcono:

urr + 1r ur + 1

r2uθθ = 0, 0 < r < R, α < θ < β,

u(r, α) = u(r, β) = 0, 0 ≤ r < 1,

u(1, θ) = f(θ) α ≤ θ ≤ β.(5.12)

Las soluciones en variables separadas no nulas, R(r)Θ(θ), nos lleva a lasecuaciones

− r2R′′ + rR′

R=

Θ′′

Θ= −λ

y a buscar los λ ∈ R tales queΘ′′ + λΘ = 0, en (α, β),

Θ(α) = Θ(β) = 0,

tiene solucion no nula. La solucion son numeros positivos

λ21 < λ2

2 < . . . < λ2k . . .

con soluciones asociadas Θ1,Θ2, . . . ,Θk . . . que forman un sistema completoen L2(α, β). Las soluciones de variables separadas acotadas son rλkΘk y lasolucion de (5.12) se escribe como

u(r, θ) =+∞∑k=1

ak (r/R)λk Θk.

64

La separacion de variables tambien se puede utilizar para resolver elproblema de Dirichlet en un anillo limitado por un cono (θ = α y θ = β)y la circunferencias r = R1 y r = R2, 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞, con datos deDirichlet nulos en los lados rectilıneos del cono y dos funciones dadas sobrelos arcos de las circunferencias dentro del cono. En este caso las solucionesde variables separadas son r±λkΘk y la solucion se puede escribir como

u(r, θ) =

+∞∑k=1

ak (R1/r)λk Θk + bk (r/R2)λk Θk.

5.5. El Problema de Neumann

Queremos encontrar u ∈ C∞(B) ∩ C1(B) tal que4u = 0, en B,∂u∂ν = f, en ∂B,

si f ∈ C(∂B). Todo es como en el problema de Dirichlet hasta que llegamos a(5.4). En ∂B el vector normal exterior es (x, y)/r y ∂u

∂ν = ∂u∂r y por separacion

de variables, escribimos la posible solucion como

u(r, θ) =a0

2+

∞∑k=1

rk(ak cos kθ + bk sin kθ).

La condicion de contorno de tipo Neumann obliga a que

∞∑k=1

k(ak sin kθ + bk cos kθ) = f(θ),

que solo tiene solucion si ∫∂Bf dσ = 0.

Si esto se cumple, kak y kbk deben ser los coeficientes de Fourier de f y lasolucion queda determinada excepto por la constante a0.

La condicion de integral nula para f es necesaria para la existencia desolucion. En efecto, por el teorema de la divergencia∫

B4u dx =

∫∂B

∂u

∂νdσ.

5.6. La ecuacion del potencial en un rectangulo

El problema de Dirichlet en el rectangulo Ω = [0, a] × [0, b] para laecuacion de Laplace

uxx + uyy = 0, en Ω,

u = ϕ, en ∂Ω,(5.13)

65

con ϕ en C(∂Ω), se reduce a resolver los problemas,vxx + vyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,

v(0, y) = v(a, y) = 0, 0 < y < b,

v(x, 0) = f1(x), v(x, b) = f2(x), 0 < x < a,

(5.14)

wxx + wyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,

w(0, y) = f3(y), w(a, y) = f4(y), 0 < y < b,

w(x, 0) = 0, w(x, b) = 0, 0 < x < a.

(5.15)

y a sumar sus respectivas soluciones, u = v + w.Para resolver (5.14) buscamos soluciones no nulas de variables separadas,

X(x)Y (y), que verifiquen la ecuacion y las condiciones de Dirichlet en loslaterales verticales del rectangulo:

XX = − Y

Y = −λ, para (x, y) en (0, a)× (0, b),

X(0) = X(a) = 0,

para algun λ ∈ R.El problema de Sturm-Liouville es como los del capıtulo anterior: los

valores propios son λ = (kπ/a)2, k ≥ 1 y las funciones propias asociadas,multiplos de sin (kπx/a). La EDO para Y con estos valores propios tienepor solucion general

A cosh

(kπy

a

)+B sinh

(kπy

a

)y la solucion del problema se puede escribir como

v(x, y) =

∞∑k=1

[Ak cosh

(kπy

a

)+Bk sinh

(kπy

a

)]sin

(kπx

a

).

Sustituyendo y por 0 y b e igualando a f1(x) y f2(x) respectivamente,se determinan los coeficientes por comparacion de series Fourier. Para de-terminar Ak y Bk, hay que resolver un sistema lineal de dos ecuaciones condos incognitas, para cada k ≥ 1.

El problema (5.13) se resuelve descomponiendo ϕ en suma de dos funcio-nes que con valores frontera no nulos en los lados opuestos del rectangulo Ω,resolviendo el analogo del problema (5.14) cambiando los lados horizontalesdel cuadrado por los verticales; es decir, el (5.15) y escribiendo la solucionde (5.13) como u = v + w.

Para el problema no homogeneouxx + uyy = F, 0 < x < a, 0 < y < b,

u(0, y) = u(a, y) = 0, 0 < y < b,

u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0, 0 < x < a,

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escribimos una posible solucion como

u(x, y) =

+∞∑k=1

Yk(y) sin

(kπx

a

),

donde las funciones Yk son las soluciones deY ′′k −

(kπa

)2Yk = Fk(y), 0 < y < b,

Yk(0) = Yk(b) = 0

y

F (x, y) =+∞∑k=0

Fk(y) sin

(kπx

a

), en [0, a]× [0, b],

es la serie de Fourier de F ( · , y) en [0, a].

El problema en un cilindro infinito

Se considera el problema siguiente: encontrar u acotada tal queuxx + uyy = 0, 0 < x < a, y > 0,

u(0, y) = u(a, y) = 0, y > 0,

u(x, 0) = f(x), 0 < x < a.

La primera parte es igual que en el caso anterior: para que la solucionsea acotada en el cilindro [0, a]× [0,+∞), excluimos ekπy/a y queda

u(x, y) =

∞∑k=1

Bke−kπy/a sin

(kπxa

). (5.16)

Los coeficientes Bk se determinan a partir de la serie de Fourier de f .

• La solucion es unica en la clase de funciones

C2((0, a)× (0,+∞)) ∩ C([0, a]× [0,+∞)) ∩ L∞([0, a]× [0,+∞)).

• Se puede comprobar que (5.16) verifica estas condiciones, si f es con-tinua en [0, a] y f(0) = f(a).

5.7. La ecuacion del potencial en un semiplano

Consideramos el problemauxx + uyy = 0, x ∈ R, y > 0,

u(x, 0) = f(x), x ∈ R.(5.17)

67

• La ecuacion homogenea tiene soluciones no nulas que se anulan en lafrontera, u(x, y) = y, por lo que no hay unicidad sin condiciones adicionales.

El siguiente principio del maximo para el semiplano superior muestraque (5.17) tiene a lo mas una solucion u en C2(R2

+)∩C(R2+) que es acotada.

Teorema 21. Si u ∈ C2(R2+) ∩ C(R2

+) verifica u ≤M para algun M ≥ 0 y4u ≥ 0 en R2

+. Entonces,supR2+

u ≤ supRf.

Demostracion. Sean ΩT = BT (x0)× (0, T ), si T > 0, x0 ∈ R y

uT = u− 1

T32

(x− x0)2 +y

T32

(y − 2T ).

Se verifica que4uT ≥ 0, en ΩT

y por el principio del maximo debil para abiertos acotados

supΩT

uT ≤ sup∂ΩT

uT .

En la frontera lateral de ΩT , uT ≤ M −√T ≤ supR f , si T es grande.

En la superior, uT ≤M −√T ≤ supR f , si T es grande. Entonces,

uT (x0, y) = u(x0, y) + y

T32

(y − 2T ) ≤ supRf, si 0 ≤ y ≤ T

y hacemos T tender a +∞.

• Para resolver (5.17) buscamos soluciones autosemejantes: si u(x, y) esarmonica tambien lo es u(λx, λy) y si es homogenea, u(λx, λy) = λαu(x, y),para todo λ > 0,

u(x, y) = yαu

(x

y, 1

)= yαΦ

(x

y

), si y > 0.

Si tenemos una solucion, sus trasladadas en la variable x tambien sonsoluciones

yαΦ(y−1(x− z))

y usamos estas para escribir u como “suma” de soluciones

u(x, y) = yα∫ ∞−∞

Φ

(x− zy

)c(z) dz = yα+1

∫ ∞−∞

Φ(z)c(x− zy) dz, (5.18)

donde c(z) debe ser elegido para que se cumpla la condicion de contorno.• Para que el lımite cuando y tiende a cero en (5.18) no sea 0 o ∞

necesitamos que α sea −1 y que Φ sea integrable en R. Para que el lımite

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sea f elegimos c = f , si Φ tiene integral igual a 1 en R. Para que el laplacianode (5.18) sea nulo, Φ debe verificar la EDO

(1 + s2)Φ′′(s)− 2(α− 1)sΦ′(s) + α(α− 1)Φ(s) = 0,

que cuando α = −1 es ((1 + s2)Φ

)′′= 0.

Las soluciones integrables de esta ecuacion son Φ(s) = N(1 + s2)−1 y laque tiene integral 1 corresponde a N = 1/π.

Ası obtenemos que un candidato a solucion de (5.17) es

u(x, y) =1

π

∫R

y

(x− z)2 + y2f(y) dz. (5.19)

Teorema 22. La funcion u definida por (5.19) esta en C∞(R2+)∩C(R2

+)∩L∞(R2

+), si f ∈ C(R) ∩ L∞(R) y es solucion de (5.17).

Demostracion. El nucleo

P (x, y) =1

π

y

x2 + y2

verifica

|∂αx ∂βyP (x, y)| ≤ C(α, β, ε, R)

1 + x2, si x ∈ R, ε ≤ y ≤ R

y

|∂αx ∂βyP (x− z, y)| ≤ C(α, β, ε, R)

1 + z2, si |x| ≤ R, ε ≤ y ≤ R,

que junto con el teorema de convergencia dominada muestra que u es regularpara y > 0.

Para acotar u, recordamos que

1

π

∫R

y

(x− z)2 + y2dz =

1

π

∫R

1

1 + z2dz = 1, si y > 0,

y

|u(x, y)| ≤ ‖f‖L∞(R)

(1

π

∫R

y

(x− z)2 + y2dz

)≤ ‖f‖L∞(R).

Para la continuidad de u en (x0, 0), dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que,|f(x)− f(x0)| ≤ ε, si |x− x0| ≤ δ. Entonces,

|u(x, y)− f(x0)| ≤∫Bδ(x0)

P (x− z, y)|f(z)− f(x0)| dz

+

∫R\Bδ(x0)

P (x− z, y)|f(z)− f(x0)| dz

≤ ε+ 2‖f‖L∞(R)

∫R\Bδ(x0)

P (x− z, y) dz.

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Pero, P (x− z, y) ≤ NP (x0 − z, y), si |x− x0| ≤ δ2 , |z − x0| ≥ δ y∫

R\Bδ(x0)P (x− z, y) dz ≤ N

∫R\Bδ(x0)

P (x0 − z, y) dz = Nπ

∫|z|≥ δ

y

1

1 + z2dz,

que tiende a cero, si y desciende hacia 0.

• Si f es par o impar respecto a l, u( · , y) tambien es par o impar respectoa l para todo y > 0 y los problemas

uxx + uyy = 0, en (0,+∞)× (0,+∞),

u(0, y) = 0, en [0,+∞)

u(x, 0) = f(x), en [0,+∞),uxx + uyy = 0, en (0, a)× (0,+∞),

u(0, y) = u(a, y) = 0, en [0,+∞)

u(x, 0) = f(x), en [0, a],

se pueden resolver por el metodo de reflexiones.• La solucion de estos dos problemas es unica en la clase de funciones

que son C2 en el interior del dominio, continuas y acotadas en la clausura.• Cuando f verifica la condicion de compatibilidad, la solucion generada

por el metodo de reflexiones esta en la clase de unicidad.

5.8. Separacion de variables en dominios planosrectangulares

Si queremos resolver∂tu−∆u = 0, en Ω× (0,+∞),

u(x, y, 0) = f(x, y), en Ω,

u = 0, en ∂Ω× (0,+∞),

con Ω = (0, π)×(0, π), es facil comprobar que sin kx sin ly : k, l ≥ 1 es unafamilia completa en L2(Ω). En particular, ekl(x, y) = sin kx sin ly, k, l ≥ 1,son las autofunciones del operadores de Laplace en Ω con condiciones deDirichlet nula; es decir,

∆ekl +(k2 + l2

)ekl = 0, en Ω,

ekl = 0, en ∂Ω,

y las soluciones u y v de las evoluciones (4.17) y (4.18) son respectivamente

u(x, y, t) =∑k,l≥0

akle−(k2+l2)t sin kx sin ly

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y

v(x, y, t)

=∑k,l≥0

[akl cos

(√k2 + l2 t

)+

bkl√k2 + l2

sin(√

k2 + l2 t)]

sin kx sin ly,

donde akl y bkl son los coeficientes de Fourier de los datos iniciales f y g enla base sin kx sin ly : k, l ≥ 1.

Que sin kx sin ly : k, l ≥ 1 es una familia completa en L2((0, π)×(0, π)),se deduce de que sin kx : k ≥ 1 es una familia completa en L2(0, π).

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