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Notas de Clase. Proporcionalidad y semejanza 2012

1

Proporcionalidad y semejanza

Introducción

En la figura adjunta se presentan las piezas de un rompecabezas. Los números escritos junto a los

lados de los polígonos corresponden a las medidas de dichos lados expresadas en centímetros.

Construir un rompecabezas de mayor tamaño, de tal manera que el lado de 4 cm tenga una

longitud de 7 cm.

La noción de razón

Es importante, estudiar el uso que se hace del término “razón”, ya que no siempre es sinónimo

de “fracción” Las fracciones son “cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda

componente es distinta de cero”; mientras que una razón es “un par ordenado de cantidades de

magnitudes”. Cada una de esas cantidades está expresada mediante un número real y una unidad

de medida.

El hecho que las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus

respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:

Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con

unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros. Las fracciones, por el contrario,

se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica

con 2/3. Según esto la razón 3 jamones/145 euros no es una fracción.

Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros por

metro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notación de fracción para informar

de la relación entre dichas cantidades.

Las razones se pueden designar mediante símbolos distintos de las fracciones. La razón 4 a 7

se puede escribir como 4:7, o 4 → 7.


2

En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos la razón de

caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero también se puede decir que puede ser 10:0, si es

que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna división por 0).

Las razones no son siempre números racionales. Por ejemplo, la razón de la longitud de una

circunferencia a su diámetro C/D es el número , que sabemos no es racional, o la razón de la

longitud de la diagonal de un cuadrado a la longitud de su lado ( ). Esta es una diferencia

esencial entre “razón” y “fracción”, ya que como vimos las fracciones son siempre

interpretables como cociente de enteros1.

Proporcionalidad

Las operaciones con razones no se realizan, en general, de igual manera que las fracciones. Por

ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos sobre 7 intentos (3:7) se

combinan para producir 5 aciertos en un total de 12 intentos, o sea, con estas fracciones se puede

definir una “suma” de razones del siguiente modo: 2:5 + 3:7 = 5:12. Evidentemente esta suma no

es la misma que la suma de fracciones.

Definición: Sean . El número de la forma

( ) se denomina razón. El número se

denomina antecedente y el número consecuente.

Observaciones:

La razón

es la comparación de dos cantidades; es decir, significa que al número le

corresponde el número .

Una razón

también se puede simbolizar: ba : ó bRa , y se lee “ a es a b ”.

Antes de hallar la razón de dos cantidades, es necesario expresarlas en una misma unidad de

medida.

Ejemplo:

Los perímetros de dos triángulos son 8 cm y 0.16 m., respectivamente. Hallar la razón de sus

medidas.

1 La razón de dos cantidades es el resultado de comparar dichas cantidades. Dos cantidades pueden compararse de

dos maneras: hallando en cuánto excede una a la otra (restándolo) o cuántas veces contiene una a la otra (cociente de

las dos cantidades) La primera se llama razón aritmética y la segunda geométrica.


3

Solución:

Se reducen, a una misma unidad de medida, las cantidades que se van a comparar, es decir,

0.16 m = 16 cm.

La razón entre los perímetros de los triángulos es: 8 1

16 2=

cm

cm.

Esto significa que el perímetro de uno de los triángulos es el doble del otro.

Nota: En la práctica, para representar objetos materiales como casas, puentes, edificios, planos o

mapas de una ciudad, etc, se dibuja una figura que tenga la misma forma, pero distinto tamaño

que la original; tal figura se dice que es una representación a escala. Hay dos tipos de escala: la

numérica y la gráfica2

Definición: Una escala numérica se expresa mediante una fracción que indica la proporción

entre la distancia de dos lugares señalados en un mapa y su correspondiente en el terreno. Es

decir:

ESCALA

=

reallongitud

dibujodellongitud.

Generalmente la escala se representa mediante una fracción de numerador 1.

Definición: Una escala gráfica representa lo mismo que la numérica, pero lo hace mediante una

línea recta o regla graduada. Colocando la escala sobre el mapa, puede calcularse la distancia

real existente entre dos puntos.

Figura 1. Escala numérica y gráfica.

2 Tomado de http://goo.gl/YMhEa

http://goo.gl/YMhEa


4

Ejemplos:

En un mapa la distancia entre dos ciudades A y B que es de 150 Km., está representada por 3

cm. ¿Cuál es la escala del mapa?

ESCALA = 3 cm 1

=15000000 cm 5000000

.

Recordemos que 1 km equivale a 100000 cm. Por tanto el mapa es 5000000 de veces más

pequeño que la realidad.

Un salón está representado en un plano por un rectángulo, a escala 1

125, de cm6,4 de largo

y 4.8 cm. de ancho. ¿Cuáles son el largo y el ancho reales del salón?

Según la escala, 125

1, esto significa que cada una de las longitudes del salón son 125 veces más

grandes que las representadas en el plano, por lo tanto:

cm= cm= m125× 6,4 800 8

cm= cm= m125× 4,8 600 6

Las dimensiones reales del salón son: 8 m de largo por 6 m de ancho.

Para representar en un plano el dibujo de una puerta que mide 75 cm de ancho y 200 cm de

alto dibujamos un rectángulo que mide 3 cm de ancho y cm8 de alto ¿Cuál es la escala

utilizada?

3 8=

75 200, significa que cada dimensión en el dibujo es 25 veces menor que en la realidad. La

escala del dibujo es 1

25.

Ejercicios:

Dos lados de un triángulo miden 12 cm y 8 cm ¿Cuál es la razón del lado menor al lado

mayor?

En un plano cuya escala es 1:150, la distancia entre las dos paredes del salón es de 4 metros.

¿Cuál es la distancia entre esas dos paredes representadas en ese plano?

La distancia entre dos pueblos es de 25 km. La distancia entre esos dos pueblos sobre un

mapa es de 12.5 cm. ¿Cuál es la escala de esa representación?


5

El mapa de una zona de Colombia tiene una expresión que resalta mucho y es 1:1 650 000,

¿qué significado tiene? Si dos pueblos están en ese mapa a una distancia de 35 cm, ¿Cuál es

la distancia en la realidad?

Definición: Una proporción es la igualdad entre dos razones. Las notaciones más usuales son

dcbaod

c

b

a:::: y se lee a es a b como c es a d . En este caso se dice que a y b son

proporcionales a c y d.

En esta proporción se llaman términos medios a las magnitudes b y c y extremos a las

magnitudes a y d.

Teorema S1 (Propiedades de las proporciones):

Propiedad fundamental: En toda proporción el producto de extremos es igual al producto de

medios:

Si

, entonces cbda .

Si

, entonces

Si

, entonces:

- -

a +b c + d. =

b d

a b c d. =

b d

a

b- -

a +b c + d. =

a c

a b c d. =

a c

c

d

Si d

c

b

a , entonces

-

-a

a +b a b. =

c + d c d - -

a +b c+ db. =

a b c d

5. Si a b e g

= = =c d f h

, entonces a a +b+e+ g

=c c+ d + f + h

.

Razón de segmentos

Si elegimos un segmento u como unidad de medida podemos asignar a cualquier otro segmento

un número real, que será su medida con la unidad u. La razón entre dos segmentos se define


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como la razón numérica entre sus respectivas medidas usando una unidad determinada.

Simbólicamente,

, donde PQ y RS son las medidas de los segmentos

respectivamente con la unidad u.

En la figura 1 la medida de usando la unidad u es 8, y la del segmento es 5. Por tanto la

razón entre ambos segmentos es 8/5, que será la medida racional de PQ usando RS como unidad,

o sea, se puede escribir: PQ =(8/5).RS

Figura 2. Razón de segmentos.

Segmentos proporcionales

Consideremos la razón entre segmentos como la razón entre sus medidas.

Figura 3. Segmentos proporcionales

Un punto P interior a un segmento AB divide al segmento en la razón r, si el cociente entre las

medidas de los segmentos determinados por P es:

AP= r

PB

La razón AP

r =PB

, entre los segmentos que determina un punto P interior a AB , es un número

real, es decir, r puede ser racional o irracional.

Si r = 1 , el punto P es el punto medio de AB y AP PB .

A

BP


7

Si 1

r =2

, la medida de AP es un tercio de la medida de AB . ¿Por qué?

Si 2

r =3

, la medida de AP es igual a 2

5de la medida de AB y la de PB es

3

5 de AB ¿Por qué?

Figura 4.Segmentos proporcionales

Definición: Dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos segmentos EF y GH ,

cuando la razón de las medidas de los dos primeros es igual a la razón de las medidas de los otros

dos. Es decir,

Definición: Una cantidad es media proporcional entre otras dos cantidades cuando se encuentra

en los medios o en los dos extremos de una proporción.

n

h

h

m o

h

n

m

h , h es la media proporcional entre m y n .

Ejercicio

Calcular geometricamente la raíz cuadrada de 9 y de 26

Observaciones:

De la proporción anterior resulta: nmh 2 , luego h = ± m n .

La media proporcional también es conocida como la media geométrica entre números. Cada uno

de los otros términos m y n se denominan tercera proporcional.

Definición: En cualquier proporción, un término cualquiera es cuarta proporcional con respecto

a los otros tres términos.


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Proyección paralela de los segmentos de una recta sobre otra

Sean lrr ,', tres rectas secantes no coincidentes. Si 'A es el punto de 'r donde la paralela a l

por A en r corta a 'r , decimos que 'A es la proyección paralela de A .

Figura 5. Proyección paralela.

'B es la proyección paralela de B . Análogamente, '' BA es proyección paralela de AB .

Teorema de Thales de Mileto3

El teorema de Thales establece la relación entre los segmentos determinados por rectas paralelas

en rectas secantes en forma general, es decir, cuando las secantes son rectas cualesquiera, sin

ninguna relación entre sí.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las

pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado

ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la

suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos

rectángulos, los que se grafican en la figura 5.

3Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor). Fundador de la filosofía

griega, y es considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tales es famoso por sus conocimientos de

astronomía luego de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C. También introdujo la

geometría en Grecia. Biblioteca de Consulta Microsoft® Encarta® 2003.


9

Por un lado el que tiene por

catetos (C y D) a la longitud de

la sombra de la pirámide (C,

conocible) y la longitud de su

altura (D, desconocida), y por

otro lado, valiéndose de una

vara (clavada en el suelo de

modo perfectamente vertical)

otro cuyos catetos conocibles (A

y B) son, la longitud de la vara

(A) y la longitud de su sombra

(B). Como en triángulos

semejantes, se cumple que:

, por lo tanto la altura de

la pirámide es

,

con lo cual resolvió el problema4.

Teorema S2: Si dos rectas cualesquiera cortan a dos o más rectas paralelas, los segmentos

determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los

segmentos determinados por los puntos correspondientes en la otra recta.

Demostración:

Sean r y r’ las rectar que son intersecadas por un sistema de paralelas. Sean A, B, C y D puntos

de r tales que CDAB , entonces:

Caso 1: Si r r’, entonces AB A'B' CD C'D'y por ser segmentos paralelos comprendidos

entre paralelas. Luego '''' DCBA .

4 http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html

Figura 6. Relación de semejanza

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Thales_theorem_6.png


10

''

''

DC

BA

CD

AB

Figura 7. La recta r es paralela a r´

Caso 2: r no es paralela a r’ .

Figura 7

Figura 8. La recta r y r´se intersecan

Consideremos el trapecio '' AABB y

efectuemos la traslación:

AC T ABB'A' CDB''A'' ; esto significa:

AC T A'B' A''B''

, entonces:

1. '''''' DCBA por ser segmentos

paralelos entre rectas paralelas.

2. ' ' '' ''A B A B por propiedad de los

movimientos.

3. ' ' ' 'A B C D por puntos 1 y 2.

Luego ''

''

DC

BA

CD

AB

Caso 3: Consideremos un punto M en el interior de AB , la proyección paralela a M está

comprendida entre la proyección paralela de A y de B; esto es:


11

Figura 9. Proyección paralela del punto M

Si ABAM , entonces '''' BAMA .

Si ABMBAM , entonces

'''''' BABMMA .

Esto prueba la correspondencia en la

ordenación y en la suma de las medidas de

segmentos.

En conclusión: AB A 'B'

=CD C'D'

.

Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros dos lados o sobre

sus prolongaciones segmentos proporcionales a ellos.

Así, si B’ y C’ son los puntos de intersección de una recta paralela al lado del ABC con

y respectivamente, se tendrá AB AC

=AB' AC'

.

Figura 10. Segmentos proporcionales en un triángulo

Otras proporciones son:

AB AC BC BA BA BB' BA BB'= , = , = , =

AB' AC' BB'' BB' BC BB'' AC B'B''

Teorema S3: Si una recta corta a dos lados de un triángulo (o a sus prolongaciones)

determinando segmentos proporcionales a ellos (y situados ambos al mismo o distinto lado del

vértice común), entonces la recta es paralela al tercer lado.

r r'

AA'

B

B'

C

D

B'

C'

MM'


12

Figura 11

Demostración: Sea el ABC y una recta que corta los lados AC y BC del triángulo en los

puntos D y E respectivamente formando segmentos proporcionales.

AD BE=

DC EC

Supongamos que no es paralela a entonces por D pasa una única recta paralela a que

interseca a BC en un punto .

Por el Teorema de Thales implica que AD BE'

=DC E'C

Por transitividad de las igualdades se tiene: BE BE'

=EC E'C

.

Entonces los puntos E y E’ dividen al segmento en la misma razón, por lo tanto deben

coincidir, y si coinciden . Es decir, por pasa una única recta paralela a

Corolario: La recta paralela a un lado de un triángulo por el punto medio de otro lado, corta al

tercer lado en su punto medio.

Corolario: La recta que pasa por los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al

tercer lado.

Teorema S4 (Recíproco al teorema de Thales): Si tres rectas l, m, t determinan en toda recta,

secante a ellas, segmentos proporcionales entre sí, las rectas l, m y t son paralelas.

Demostración: (Ejercicio)

Construcción del cuarto proporcional a tres segmentos dados

Dados tres segmentos de magnitudes a , b y c , el segmento de magnitud x que verifica la

proporción xcba :: se llama cuarto proporcional.


13

Figura 12. Cuarto proporcional

Consideremos el SOT . Sobre ubicamos los puntos A y B tal que OA= a y OB = b . Sobre

ubicamos el punto C tal que OC = c .

Por B trazamos una recta paralela a . Sea X el punto de intersección entre esta paralela y . X

determina el segmento que es el cuarto proporcional buscado.

Observaciones:

Como todos los cuartos proporcionales a tres segmentos dados son congruentes la solución es

independiente del ángulo elegido.

Si b = c se obtiene el segmento llamado tercero proporcional entre a y b .

División de un segmento en partes proporcionales a segmentos dados.

Una aplicación del teorema de Tales es la división de un segmento dado AB , en segmentos

proporcionales a otros segmentos de magnitudes m, n, p.

Figura 13. División de un segmento en partes proporcionales

Trasladando las magnitudes de éstos segmentos consecutivamente sobre una semirrecta

concurrente con el segmento dado AB , en uno de sus extremos, por ejemplo en A. Consideremos

sobre esta semirrecta un punto P tal que AP = m + n + p .


14

Construimos el segmento PB ; los segmentos paralelos a PB por los puntos de división M y N,

determinan segmentos de magnitudes , proporcionales a los segmentos de medidas m, n, p

donde = ABx + y + z .

Definición: Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia uno a uno entre sus

vértices y para la cual los ángulos correspondientes, denominados ángulos homólogos, son

congruentes y los lados correspondientes proporcionales. Esta correspondencia se denomina

semejanza.

Definición: En las figuras semejantes se les llama lados homólogos a los lados adyacentes a los

ángulos respectivamente congruentes.

Figura 14. Polígonos semejantes

Las figuras ABCDEF y A'B'C'D'E'F' son semejantes.

Definición: Dos triángulos ABC y ' ' 'A B C son semejantes si sus ángulos son

respectivamente congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales y se denota por:

ABC ~ ''' CBA .

Figura 15. Triángulos semejantes

En la figura BAC B'A'C' , ABC A'B'C' , ACB A'C'B' y AB AC BC

= =A'B' A'C' B'C'

.

Teorema S5: Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivos congruentes, sus lados homólogos

son proporcionales.

Demostración (Ejercicio)


15

Teorema S6: Toda recta paralela trazada a un lado de un triángulo determina un segundo

triángulo semejante al primero.

Figura 16. Triángulos semejantes determinados por una paralela a un lado

Demostración:

1. Sea en ABC .

2. ADE y ABC tienen sus ángulos respectivamente congruentes.

3. Así, el ángulo BAC es común a los triángulos ADE y ABC .

4. ADE ABC AED ACB y , por ser correspondientes entre paralelas. En

consecuencia los lados son proporcionales; es decir, AD AE

AB AC (1).

5. Al trazar , se tiene que: AE BF

AC BC (2).

6. Por lo tanto, el cuadrilátero BFED es un paralelogramo. De lo anterior DE BF .

7. De las proporciones (1) y (2), obtenemos:

AD AE DE

BC AC BC , lo que demuestra el teorema.

Luego: .

Teorema S7: Si dos triángulos tienen sus lados homólogos proporcionales los triángulos tienen

sus ángulos respectivamente congruentes.

Demostración:

Figura 17. Congruencia de ángulos en triángulos semejantes

C

A B

M N

F

D E


16

1. Sean ABC y DEF con sus lados respectivamente proporcionales,

AB CA CB

DE FD FE

2. Puesto que los triángulos no son congruentes, suponemos que CA FD .

3. Por las propiedades de las proporciones se debe cumplir que

4. Sean M y N los puntos en CA y CB respectivamente tales que:

CM FD y CN FE , entonces CA CB

CM CN ,

5. Por el recíproco del Teorema de Tales se tiene que .

6. En consecuencia entonces, AB CA CB

MN CM CN .

7. Reemplazando CM FD y CN FE se obtiene,

AB CA CB AB

MN FD FE DE

8. La igualdad de la primera y última razón implica que MN DE , luego MNC DEF

por el criterio LLL.

9. Puesto que ABC y MNC tienen sus ángulos respectivamente congruentes por ser

semejantes, los ángulos de los triángulos ABC y DEF tienen sus ángulos

respectivamente congruentes.

Teorema S8 (Criterios de semejanza de triángulos):

Criterio (AAA) Dos triángulos son semejantes, si y sólo si, tienen sus tres ángulos

respectivamente congruentes.

Criterio (AA) Dos triángulos son semejantes, si y sólo si, tienen dos ángulos respectivamente

congruentes.

Criterio (LLL). Dos triángulos son semejantes si y sólo si, tienen sus tres lados homólogos

proporcionales.

Criterio (LAL) Dos triángulos son semejantes, si y sólo si, tienen dos lados homólogos

proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos congruentes.

Corolario Dos triángulos semejantes ABC y A’B’C’ tienen los ángulos homólogos congruentes.

' ' ', ' ' ', ' ' 'BAC B A C ABC A B C ACB A C B


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Demostración Criterio (LLL) Si dos triángulos tienen sus lados, respectivamente,

proporcionales son semejantes.

Demostración:

Figura 18. Criterio LLL de semejanza de triángulos

Sean ABC y ''' CBA dos triángulos que satisfagan las hipótesis del teorema, con ABBA '' ,

por ejemplo. Sea ABB int'' con '''' BAAB , y tracemos por B’’ una paralela a , que corte a

en ''C . Con ayuda de las proporciones entre los lados y por el teorema de Tales, se deduce

que ''''''' CABCBA y en consecuencia ABC y ''' CBA son semejantes.

Ejemplo: ABC es semejante a CDE .

Figura 19. Triángulos semejantes

En este caso los lados homólogos son AB y DE , AC y CD , BC y CE . En consecuencia, se

tiene: CE

BC

CD

AC

ED

AB o

CD

AC

ED

AB y

CE

BC

CD

AC

Teorema S9 (Criterios de Semejanza de triángulos isósceles).

Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo congruente.

Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen dos lados proporcionales.

Los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.

A

B

C

B''

C''

A'

B'C'


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Teorema S10: En un triángulo, la bisectriz de un ángulo interior, divide al lado opuesto en

segmentos proporcionales a los lados adyacentes a éste.

Figura 20. Segmentos proporcionales generados por la bisectriz del ángulo

Demostración:

Sean ABC un triángulo cualquiera, la bisectriz del ACB que corta AB en D. Debemos

probar que BC

BD

AC

AD . Tracemos por D, una paralela DE a BC , con E en AC y una paralela

DF a AC , con F en BC . Entonces, los triángulos ADE y ABC , BDF y ABC , son

semejantes.

Luego: DE AD

=BC AD + BD

y DF BD

=AC AD+ BD

.

Además, DCFDCE por el criterio A-L-A. Por lo tanto DE = DF.

De las dos proporciones anteriores, obtenemos BC

BD

AC

AD , como se quería probar.

Teorema S11: Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a su hipotenusa, se

verifica lo siguiente:

La altura es media proporcional entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa.

Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección ortogonal sobre ella.

Dado el ABC , con un ángulo recto en vértice C; ba, los catetos, c la hipotenusa, h la altura

que cae sobre la hipotenusa y nm, los segmentos que determina la altura sobre la hipotenusa,

entonces:


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siendo además, m y n las proyecciones ortogonales de b y a sobre c, respectivamente.

La demostración de este lema es consecuencia directa de la proporcionalidad que existe entre los

segmentos homólogos.

Figura 21. Segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo

Teorema S12: Sean las medidas de los lados del con , entonces

es rectángulo, si y sólo si,

.

Figura 22. Teorema de Pitágoras

Por tener una doble implicación ante el teorema, lo demostraremos así:

Si es rectángulo, entonces .

Si , entonces es rectángulo.

Demostración:

1. Sea ABC rectángulo Por el lema anterior, obtenemos c b

b AE y

c a

a EB . Así

2 2 2a b c AE EB c .

2. Supongamos que 222 cba y sean las rectas y , perpendiculares, que se cortan en

un punto P.

3. Sea A’ un punto de tal que PA’ = a y B’ un punto de tal que PB’ sea igual a b. Basta

probar que A’B’ = c.

4. Como PBA '' es rectángulo en P, se tiene 222' baBA .


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5. En virtud de la hipótesis, 2 2' 'A B c . Es decir que A’B’ es igual a c.

6. Como PBAABC '' por criterio L-L-L, se concluye que ABC es rectángulo.

Teorema S13 (Criterios de semejanza de triángulos rectángulos).

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente.

Dos Triángulos rectángulos son semejantes si tienen sus catetos proporcionales.

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