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Notas de clase Macoeconomıa III

Macoeconomıa III

UdelaR

Macoeconomıa III (UdelaR) Notas de clase Macoeconomıa III 1 / 90

1 Modelo Solow-SwanFuncion de produccion neoclasicaSupuestosEstado estacionarioTasa de crecimiento a lo largo del tiempoProgreso tecnologicoConvergencia absoluta y condicionalModelo de Solow-Swan ampliado

2 Modelos de crecimiento endogenoTecnologıa AKEl modelo de Romer: externalidades del capitalGasto publico e impuestos: el tamano optimo del gobiernoCrecimiento endogeno con rendimientos decrecientes: funcion de produccion ”Sobelow” y el papel de la condicion de InadaCrecimiento endogeno con rendimientos decrecientes: la funcion de produccion CES (Constant Elasticity of Substitution)Modelo Harrod-DomarTrampas de pobrezaDesempleo y crecimiento

3 El modelo de RamseyEl modelo de mercadoEscenarios similares alternativos: La solucion de Robinson CrusoeEscenarios similares alternativos: La solucion del planificadorLa dinamica de la transicion y la forma de la trayectoria estableExclusion de trayectorias explosivasLa importancia de la condicion de transversalidad: un ejemplo con horizonte finitoEl Teorema de la autopistaComportamiento de la tasa de ahorro a lo largo de la transicionLa validacion econometrica de la existencia de convergencia entre paıses


Modelo Solow-Swan: Economıa cerrada y sin gobierno

Identidad de la Renta Nacional

Oferta︷︸︸︷Yt︸︷︷︸PIB

=

Demanda Agregada︷︸︸︷Ct︸︷︷︸

Consumo privado

+ It︸︷︷︸Inversion

+ Gt︸︷︷︸Gasto publico

+ NXt︸︷︷︸Exportaciones Netas

(1.1)

2 Supuestos:

Gt = 0 Economıa sin gobierno

NXt = 0 Economıa cerrada

Yt = Ct + It

Yt − Ct ≡ St = It︸︷︷︸Ahorro= Inversion

(1.2)


Funcion de produccion neoclasica

Yt = F ( Kt︸︷︷︸Capital

, Lt︸︷︷︸Trabajo

, At︸︷︷︸Tecnologıa

) (1.3)

Propiedades de la funcion de produccion

1 Rendimientos Constantes a EscalaF (λK , λL,A) = λF (K , L,A)

2 Productividad marginal positiva pero decreciente

Derivadas primera positivas: ∂F∂K > 0 , ∂F

∂L > 0

Derivadas segunda negativas: ∂2F∂K 2 < 0, ∂2F

∂L2 < 0

3 Condiciones de InadalimK→∞

∂F∂K = 0, limK→0

∂F∂K =∞

limL→∞∂F∂L = 0, limL→0

∂F∂L =∞


Cobb-Douglass

Yt = AtKαt L

1−αt

0 < α < 1(1.4)

¿Cumple con las condiciones de la funcion de produccion?:

1 A(λK)α(

λL)1−α

= λAKαL1−α = λY

2 ∂F∂K = αAKα−1L1−α > 0∂F∂L = (1− α)AKαL−α > 0∂2F∂K 2 = α(α− 1)AKα−2L1−α < 0∂2F∂L2 = (1− α)(−α)AKαL−1−α < 0

3 limK→∞∂F∂K = αAKα−1L1−α = 0

limK→0∂F∂K = αAKα−1L1−α =∞

limL→∞∂F∂L = (1− α)AKαL−α = 0

limL→0∂F∂L = (1− α)AKαL−α =∞


Supuestos adicionales

Re-escribimos ecuacion (1.2):

F (Kt , Lt ,At) = Ct + It (1.5)

Tasa de ahorro constante (0 < s < 1):

Ct = (1− s)Yt (1.6)

y por ende (sYt = It).

Con la tasa de depreciacion constante (δ) y el aumento neto de capital K ≡ ∂K∂t

:

It = Kt + Dt = Kt + δKt (1.7)

Substituyendo (1.6) y (1.7) en (1.5):

F (Kt , Lt ,At) = Ct + It = (1− s)F (Kt , Lt ,At) + Kt + δKt

Kt = sF (Kt , Lt ,At)− δKt (1.8)



Poblacion igual a trabajo (Lt), expresamos (1.8)

Kt

Lt= s

F (Kt , Lt ,At)

Lt− δKt

Lt(1.9)

El producto per capita y es:

y ≡ Y

L=

1

LF (K , L,A) = F

(1

LK ,

1

LL,A

)︸︷︷︸

Rendimientos ctes a escala

= F (k , 1,A) ≡ f (k,A) (1.10)

donde k es el capital per capita.

En la especificacion Cobb Douglass:

y ≡ Y

L=

1

LAKαL1−α = A

(K

L

)α(L

L

)1−α

= Akα11−α = Akα (1.11)



Poblacion igual a trabajo (Lt) y con tasa de crecimiento constante (n).

Tasa de crecimiento de la pobacion: LL ≡ n

Tasa de crecimiento del capital por persona:

kt =˙(K

L

)=

KtLt − LtKt

L2t

=Kt

Lt− Lt

Lt

Kt

Lt=

Kt

Lt− nkt (1.12)

Si k = ˙(KL

)≡ d K

L

dt , substituyendo (1.9) y (1.10) en (1.12)

kt = sf (kt ,At)− δkt − nkt (1.13)

Nivel tecnologico constante

At = A (1.14)

Substituyendo (1.14) en (1.13) se obtiene la Ecuacion Fundamental deSolow-Swan:

kt = sf (kt ,A)− (δ + n)kt (1.15)


Ecuacion fundamental de Solow-Swan

Si la funcion de produccion es Cobb-Douglass:

kt = sAkαt − (δ + n)kt (1.15’)

Interpretacion:El incremento del stock de capital per capital es la diferencia entre el ahorro bruto y el(δ + n)k.

k : Variacion del capital per capita

sAkα: Ahorro bruto

δk depreciacion

nk deterioro PER CAPITA por crecimiento de la poblacion

Tasa de crecimiento γk per capita:

γk =k

k= sAkα−1 − (δ + n)

Tasa de crecimiento γK agergada:

γK =K

K=

kL

kL=

kL + kL

kL=

k

k+

L

L=

k

k+ n


Analisis del estado estacionario (k∗)


Analisis del estado estacionario (k∗)

f (k) creciente, concava, vertical (limk→0∂f∂k =∞) cuando k = 0 y

horizontal (limk→∞∂f∂k = 0) cuando k →∞

la curva de ahorro sf (k) es creciente, concava, vertical en el origen yhorizontal en el ∞ y es proporcialmente inferior a f (k)

la curva de depreciacion es una lınea recta que pasa por el origen y conpendiente igual a (δ + n)

k∗ es el stock de capital de estado estacionario donde (k = 0) dado que(δ + n)k∗ = sf (k∗)


Estado estacionario: Cobb Douglass

Si la funcion de produccion es Cobb Douglass, el punto que cumple k = 0 es k∗ yse obtiene

sf (k∗) = (δ + n)k∗

sA(k∗)α = (δ + n)k∗

k∗ =

(sA

δ + n

) 11−α

(1.16)

En estado estacionario:

Crecimiento per capita

γ∗k = γ∗y = γ∗c = 0

Crecimiento Agregado

γK = γk + γL = γk + n

γ∗K = γ∗Y = γ∗C = n


Aumento de la tasa de ahorro

El stock de capital en estado estacionario aumenta cuando:aumenta la tasa de ahorro (s)aumenta el novel tecnologicocae la tasa de deprecacioncae la tasa de crecimiento de la pobacion


Aumento de la tasa de depreciacion (crecimiento depoblacion)

El estado estacionario es unico y es estable, ya que si k0 < k∗ entonces γk > 0 hasta alcanzark∗.

En el caso que k0 > k∗, entonces γk0= sAkα−1

0 − (δ + n) < 0 hasta converger a k∗


Regla de oro de la acumulacion de capital

koro es el stock de capital que maximiza el consumo de las familias (y por tanto su bienestar)Re-escribimos (1.15):

0 = f (k∗)− c∗ − (δ + n)k∗ → c∗ = f (k∗)− (δ + n)k∗ (1.17)

Maximizamos el consumo (eligiendo el stock de capital):

maxk∗

c∗ →∂c∗

∂k∗= f ′(k)− (δ + n) = 0→ f ′(koro) = δ + n (1.18)


Regla de oro de la acumulacion de capital

Cada nivel de ahorro se corresponde con un nivel de consumo de estado estacionario.

Para alcanzar el coro (y por tanto koro), se debe elegir soro .

Pero no hay nada en el modelo que lleve a este punto.


Regla de oro: s ′ > soro

1 Reduccion de la tasa de ahorro (curva salta hacia abajo)

2 El consumo aumenta c0

3 sf (kt ,At) < (δ + n)kt entonces kt < 0 (el capital decrece).

4 La economıa se mueve a la izquierda y converge a koro


Trayectoria de c∗ ante la reduccion de la tasa de ahorro

La economıa converge a koro donde el consumo (coro) es siempre mayor que en k∗.

Una excesiva tasa de ahorro (s ′ > soro) es ineficiente y por tanto la zona a laderecha de soro es conocida como zona de ineficiencia dinamica


Ineficiencia dinamica

Definimos la tasa de interes r o rendimiento del capital como producto marginal decapital:

r = f ′(k)− δ → r∗ = f ′(k∗)− δEn la zona de ineficiencia dinamica (a la derecha de koro), la tasa de interes es inferior alcrecimiento agregado:

f ′(k∗)− δ < f ′(koro)− δ = δ + n − δf ′(k∗)− δ < n

r∗ = f ′(k∗)− δ < n = γ∗Y

La tasa de rendimiento (r∗) es inferior a la tasa de crecimiento agregado (γ∗Y )


Regla de oro: s ′ < soro

El consumo de estado estacionario aumenta en el largo plazo:

1 La tasa de ahorro aumenta (soro) y salta hacia arriba la curva de ahorro.

2 El capital es igual a k∗ y por tanto el consumo cae.

3 Cuando k converge a koro y el consumo lo hace a coro


Trayectoria del c∗ ante el aumento de la tasa de ahorro

Luego del descenso inicial, el consumo crece hasta llegar a c∗oro

Polıtica: Saber si la reduccion del consumo a corto plazo es compensado por elaumento del consumo a largo plazo

A la izquierda de koro la politica para aumentar el bienestar es ambigua.


Tasas de crecimiento a lo largo del tiempo

γy ≡y

y= α

k

k≡ αγk (1.19)

Ecuacion fundamental del modelo de Solow-Swan:

γk ≡k

k= s

f (k ,A)

k− (δ + n) (1.20)

La tasa de crecimiento del capital per capita es igual a la diferencia entre elahorro y la depreciacion.En el caso de la funcion de produccion Cobb-Douglass:

γk ≡k

k= sAk−(1−α) − (δ + n)

La tasa de crecimiento bruta:

γK =K

K=

k

k+ n = γk + n


Curva de ahorro y curva de depreciacion

Curva de Ahorro (s f (k,A)k ) Curva depreciacion (δ + n)

Funcion decreciente en k Independiente de kTiende a ∞ cuando k tiende a 0Tiende a 0 cuando k tiende a ∞


Tasa de crecimiento

La tasa de crecimiento:

es positiva para valores de k inferiores a k∗ y negativa para valoressuperiores a k∗

es mayor cuanto mas alejado esta la economıa del estado estacionario

cae a lo largo de la transicion (dado por los rendimientos del capital sondecrecientes)

en estado estacionario es cero, cubre exactamente la depreciacion del capitaly el incremento poblacional.

El modelo de Solow-Swan en su version simple no es razonable ya que laseconomıas dejarıan de crecer en el estado estacionario.

Los rendimientos decrecientes del capital lo hacen menos rentable a medida que

aumenta el stock.


Aumento en la tasa de ahorro

A fin de que la inversion crezca, la economıa puede ahorrar mas, la curva de ahorro esahora CA2

Pero de todos modos la economıa converge a un nuevo punto estacionario k∗∗.

Si k∗∗ > koro la economıa se encontrarıa en un estadio peor (en terminos de bienestar)

que en k∗.


Disminucion del crecimiento poblacional

Si se aplicase una polıtica de reduccion permanente del crecimiento poblacional, la curvade depreciacion serıa CD2

La economıa converge de nuevo a un estadio estacionario k∗∗ > k∗ con las mismas

implicaciones que en el caso anterior.


Progreso tecnologico

La ausencia de una explicacion del crecimiento a largo plazo en este modelo seexplica a traves del supuesto de que la tecnologıa es constante.

Si la tecnologıa aumenta tambien lo hace la tasa de crecimiento y a diferencia delahorro no hay un limite.



Yt = F (Kt , LtAt) (1.21)

Se define L = LtAt unidades de eficiencia del trabajo y crece a un ritmo n + x

F (K , L)

L= F

(K

L,L

L

)= F (k, 1) = f (k)

sea k capital por unidad de trabajo eficiente

K

L= sf (k)− δk (1.22)

∂k

∂t≡∂ K

LA

∂t=

KLA− KLA− KLA

(LA)2

=K

LA−

L

L

K

LA−

A

A

K

LA

=K

L− (n + x)k

(1.23)

∂k

∂t= sf (k)− (δ + n + x)k (1.24)



Por definicion k ≡ KLA

= KL

1A

= kA

por tanto en estado estacionario, la tasa de

crecimiento de k es cero y k crece a una tasa de x al igual que el progreso tecnologico

γ∗k = γ∗y = 0

γ∗k = γ∗y = x


Tiempo de convergencia

Velocidad de convergencia:

β = − ∂γk∂ log(k)

(1.25)

De la ecuacion (1.20):

γk = sAe−(1−α) log(k) − (δ + n)

β ≡ − ∂γk∂ log(k)

= −[sAe−(1−α) log(k)(−(1− α))

]=[(1− α)sAk−(1−α)

]β es decreciente en k, la velocidad disminuye hasta llegar a:

β∗ ≡ (1− α)(δ + n)

Linearizando (1.20) se llega al mismo resultado:

γk = −(1− α)sAe−(1−α) log(k∗) [log(k)− log(k∗)]

γk = −(1− α)(δ + n) [log(k)− log(k∗)] (1.26)


Convergencia

Si las economıas se diferencia unicamente en el stock de capital, las economıas pobres

deberıan crecer a tasas mayores.


Convergencia

: Muestra de 114 paıses : Paıses originales de la OECD


Convergencia condicional

Pero si las economıas se diferencian ademas en la tecnologıa (A) la tasa de ahorro (s), la tasade depreciacion (δ) o el crecimiento poblacional (n), el modelo no predice tal convergencia.

La ecuacion (1.26) (γk = −(1− α)(δ + n) [log(k)− log(k∗)]) nos dice que si k∗ es constante

entonces hay una correlacion negativa entre k y γk , pero en caso contrario los valores de k estan

asociados a k∗ y no se observa la convergencia.


Solow-Swan ampliado

El modelo incluye ahora 3 factores de produccion: capital fısico (K), trabajo (L) ycapital humano (H).

Y = BKλHηL1−λ−η (1.27)

K + H = BKλHηL1−λ−η − C − δkK − δhHcon δk y δh las tasas de depreciacion del capital fısico y el capital humano.Si la empresas maximizan el producto marginal neto del capital fısico y humano seiguala, y con una funcion Cobb Douglass:

λY

K= η

Y

Hpor tanto H =

η

λK

substituyendo en la funcion de produccion

Y = AKαL1−α α = λ+ η y A = B( ηλ

)η


Modelos de crecimiento endogeno: Tecnologıa AK

A fin de explicar mejor la economıa levantamos supuestos del modelo neoclasico basico.Aquı la funcion de produccion es lıneal en los factores.

Yt = AKt (2.1)

Esta especificacion de la funcion de produccion no cumple todas las condiciones delcapıtulo anterior:

1 Tiene rendimientos constantes a escala: A(λK) = λAK = λY .

2 Rendimientos positivos pero NO decrecientes ( ∂Y∂K

= A > 0 y ∂2Y∂K2 = 0 )

3 NO cumple las condiciones de Inada (limk→∞ F ′(K) = A 6= 0 ylimk→0 F

′(K) = A 6=∞)

Si la ecuacion 1.15 sigue siendo cierta:

k = sy − (δ + n)k (2.2)

k = sAk − (δ + n)k (2.3)

k

k≡ γk = sA− (δ + n) (2.4)

La tasa de crecimiento es constante!


Modelo AK

La curva de ahorro (CA) es contante e igual a sA

La curva de depreciacion CD es constante e igual (δ + n)

Todas la variables per capita de la economıa crecen a igual ritmo:

γc = γk = γy = γ∗ = sA− (δ + n)

Y las variables agregadas:γC = γK = γY = sA− δ


Diferencias con el modelo neoclasico

1 Tasa de crecimiento positiva (sin que crezca alguna variable exogena i.e. progresotecnologico)

2 Tasa de crecimiento viene determinada por factores intuitivos ( s (+), A(+), δ (-)o n (-))

3 La economıa carece de transicion, la tasa de crecimiento es cte e independiente dek.

4 No predice ningun tipo de convergencia

5 Shocks temporales son permanentes, la tasa de crecimiento no cambia luego deuna recesion

6 No existe una zona de ineficiencia dinamica

El modelo AK es el primer paso hacia los modelos de crecimiento endogeno


El modelo de Romer: externalidades del capital

La inversion no solo genera mas produccion a la empresa que la realiza, sino quegenera externalidades a quienes la rodean.La funcion de produccion de la economıa debe reflejarlo:

Yt = AKαt L

1−αt κηt (2.5)

donde κηt representa la externalidad y η la relevancia de la misma en la funcion deproduccion de la economıa.Lucas (1988) supone que κ = k = K

L

Y = AKαL1−αkη = AKαL1−α(K

L

)η= AKα+ηL1−α−η (2.5’)


Romer (1986)

Incorporando esta funcion de produccion en el marco de Solow-Swan:

y ≡ Y

L= Akακη (2.6)

Bajo el supuesto de k = κy = Akα+η (2.7)

Sustituyendo (2.7) en la ecuacion fundamental de Solow-Swan (2.2):

k = sAkα+η − (δ + n)k (2.8)

k

k≡ γk = sAkα+η−1 − (δ + n) (2.9)

El comportamiento de la economıa depende de α + η


Caso 1: α + η < 1

Las externalidades no son muy grandes y por tanto (2.9) se puede escribir:

γk =sA

k1−α−η − (δ + n) (2.10)


Caso 1: α + η < 1

Dado que CA es siempre decreciente y CD es horizontal se cruzan una unica vez y portanto existe un unico equilibrio.El stock de capital de estado estacionario es:

k∗ =

(sA

δ + n

) 11−α−η

La economıa con externalidades se comporta igual que en el caso neoclasico

El equilibrio es estable con crecimiento a su izquierda (k0 < k∗) y decreciemiento a su

derecha (k0 > k∗)


Caso 2: δ + η = 1

Substityendo α + η = 1 en la ecuacion (2.9).La tasa de crecimiento:

γk = sA− (δ + n)

La tasa de crecimiento coincide al modelo AK


Caso 3: δ + η > 1

Si las externalidades son muy grandes la curva de ahorro es creciente y limk→∞ CA =∞Dado que CA es siempre creciente y CD es horizontal se cruzan una unica vez y portanto existe un unico equilibrio.

El equilibrio es inestable:

si k0 > k∗ el crecimiento es positivo. A medida que el capital aumenta, tambien lohace la tasa de crecimiento. La tasa de crecimiento tiende a ∞si k0 < k∗ el crecimiento es negativo. El capital disminuye y tiende a extinguirse


Romer (1986)

Si el capital relevante es el agregado (κ = K), se obtiene y = AkαKη

y = Akα+ηLη (2.11)

La diferencia entre (2.7) y (2.11) es el termino Lη. La tasa de crecimiento (2.9) es:

k

k= sAkα+η−1Lη − δ (2.12)

Se supone que la poblacion no crece (n = 0).Si α + η = 1, la tasa de crecimiento es

k

k= sALη − δ (2.13)

Si n > 0, la tasa de crecimiento seria cada vez mayor (en sentido contrario a los datos)


Gasto publico e impuestos

El gasto publico se introduce como argumento positivo en la funcion de produccion. Laproduccion depende del stock de capital y de un bien publico que proporciona elgobierno a traves del gasto publico:

Yt = AKαt G 1−α

t (2.14)

El gasto publico (G) se financia con un impuesto sobre la renta con tipo impositivoconstante (τ).

Y dt = (1− τ)Yt = (1− τ)AKα

t G 1−αt

yd = (1− τ)Akαg 1−α (2.15)

La ecuacion fundamental de Solow-Swan (2.2) se puede re escribir:

k = syd − (δ + n)k (2.16)

k = s(1− τ)Akαg 1−α − (δ + n)k (2.17)


k

k= s(1− τ)Akα−1g 1−α − (δ + n) (2.18)

La tasa de crecimiento depende del g (+) y del tipo impositivo (-)



g = τy → g = τAkαg 1−α → g = τ1αA

1α k (2.19)

k

k= s(1− τ)Akα−1

(τ

1αA

1α k)1−α

− (δ + n)

= s(1− τ)τ1−αα A

1α − (δ + n)

(2.20)

La tasa de crecimiento depende de la tasa de ahorro (s), la depreciacion (δ), elcrecimiento de la poblacion (n), el nivel tecnologico (A) y del impuesto a la renta (τ).

g

g=

k

k→ γg = γk

γy = αγk + (1− α)γg

γc = γk = γy = γg = γ∗



La tasa de crecimiento de la economıa depende negativamente de τ a traves del termino 1− τ ,

y positivamente a traves de τ1−αα

Valor optimo de τ (maximizando la tasa de crecimiento):

∂γ∗

∂τ= 0→

∂γ∗

∂τ= −sA

1α τ

1−αα + s(1− τ)A

1α

(1− αα

)τ

1−αα−1

→ τ∗ = 1− α

(2.21)


Funcion de produccion ”Sobelow” y las condiciones deInada

Yt = AKt + BKαt L1−αt (2.22)

Propiedades:

1 Rendimientos constantes a escalaA(λK) + B(λK)α(λL)1−α = λAK + λBKαL1−α = λY

2 Rendimientos positivos y decrecientes del capital y del trabajo∂Y∂K

= A + BαKα−1L1−α > 0 ∂Y∂L

= B(1− α)(KαL−α > 0∂2Y∂K2 = Bα(α− 1)Kα−2L1−α < 0 ∂2Y

∂L2 = B(1− α)(−α)KαL−α−1 < 0

3 Condiciones de InadalimK→∞

∂Y∂K

= A 6= 0, limK→0∂Y∂K

=∞, limL→∞∂Y∂L

= 0, limK→0∂Y∂L

=∞

La funcion ”Sobelow” no satisface la condicion de Inada (K to∞) e influencia en el crecimiento

a largo plazo


Tasa de crecimiento: modelo ”Sobelow”

k = sAk + sBkα − (δ + n)k (2.23)

k

k= sA + sBkα−1 − (δ + n) (2.24)

La curva de ahorro es decreciente en k. Cuando k →∞, CA → sA.

Si sA > δ + n → el crecimiento es siempre positivo y converge a sA− (δ + n)


Tasa de crecimiento: modelo ”Sobelow”

Si sA < δ + n la CA es decreciente y tiende a un punto de crecimiento nulo. Latransicion es igual que en el modelo neoclasico y converge a un punto k∗ de crecimientonulo.


Funcion de produccion CES

Y = A(α[bK]ψ

+ (1− α)[(1− b)L

]ψ) 1ψ

(2.25)

A, α, b, ψ son parametros constantes que cumplen 0 < α < 1, 0 < b < 1 y −∞ < ψ < 1, y laelasticidad de substitucion entre factores es ε = 1

1−ψ .

Cuando ψ →∞ → Y = min[bK , (1− b)L

](funcion de produccion Leontief) y ε = 0

(complementos perfectos).

Cuando ψ → 0 → Y = (αbK + (1− α)(1− b)L) y ε =∞ (substitutos perfectos)

El producto medio del capital:

f (k)

k= A

(αbψ + (1− α)(1− b)ψk−ψ

) 1ψ

(2.26)

Si la elasticidad de sustitucion es lo suficientemente grande (0 < ψ < 1), la funcion CES puedegenerar tasas de crecimiento positiva a perpetuidad

limk→∞

A

αbψ + (1− α)(1− b)ψ

→∞︷︸︸︷k−ψ︸︷︷︸

→0

1ψ

= Abα1ψ

La funcion CES no satisface la condicion de Inada limk→∞ f ′(k) = abα1ψ 6= 0


Modelo Harrod-Domar

Harrod-Domar combinan 2 elementos de la economıa keynesiana: el multiplicadro y elacelerador.El multiplicador en el modelo neoclasico es modeliado a traves del ahorro como unaproporcion cte del producto.El acelerador, el aumento de capital para aumentar el producto en una cunaıa dada escte.

∆Yt = A∆Kt (2.27)

H-D no introdujeron ninguna funcion de produccion explıcita. Leontief cumple con laidea del acelerador:

Yt = min (AKt ,BLt)

yt = min (Ak,B)(2.28)

y =

{Ak para todo k < k = B

A

B para todo k ≥ k = BA

(2.29)


Modelo Harrod-Domar

Para k < BA

el capital es empleado totalmente (y = Ak), para k > BA

la cantidad de capitalutilizada es constante, por tanto hay capacidad ociosa (y = B)!La ecuacion (2.2) serıa:

k =

{sAk − (δ + n)k para todo k < k = B

AsB − (δ + n)k para todo k ≥ k = B

A

(2.30)


k

k=

{sA− (δ + n) para todo k < k = B

AsBk− (δ + n) para todo k ≥ k = B

A

(2.31)

La CA que se deriva de (2.31) es horizontal en sA si k < k y sBk

si k > k

La CD es la habitualMacoeconomıa III (UdelaR) Notas de clase Macoeconomıa III 53 / 90

Harrod-Domar: caso 1 (sA < δ + n)

Si la tasa de ahorro (s) o la productividad marginal del capital (A) son muy bajas(sA < δ + n), no se alcanza un estado estacionario con k∗ > 0.Tanto k como y tienden a 0.


Harrod-Domar: caso 2 (sA > δ + n)

Si la tasa de ahorro (s) o la productividad marginal de capital (A) son lo suficientementegrandes (sA > δ + n).Para valores de k < k∗ la tasa de crecimiento es positiva. Pero cuando k = B

Ala

productividad marginal del capital llega a cero, pero k sigue creciendo hasta k∗ > kdonde se llega a un estado estacionario con capacidad de capital osciosa.


Harrod-Domar: caso 3 (sA = δ + n)

En el caso extraordinario de que sA = δ + n, se dan 2 casos:

Si k < BA

se esta en un estado estacionario pero existen trabajadores ociosos (AK < BL)

Si k = BA

es el unico estado estacionario eficiente

Si k > k la economıa converge a k∗ = k y por tanto a un estado estacionario eficiente

El estado estacionario eficiente es una mera casualidad (depende de parametros exogenos). Por

tanto, la economıa transita por por el filo de la navaja.


Trampas de pobreza

3 regiones en la funcion de produccion:

1 Rendimientos decrecientes del capital en la region 1 (e.g. economıa agrıcola)

2 Rendimientos crecientes del capital en la region 2 (e.g. inversion infraestructura)

3 Rendimientos decrecientes o constantes en la region 3 (e.g. modelo AK)


Trampas de pobreza

A fin de analizar esta funcion en el marco de Solow-Swan, se construye las curvas deahorro y depreciacion.La curva de ahorro (s f (k)

k) se comporta igual que el producto medio. La CA cruza dos

veces la CD y por tanto hay 2 estados estacionarios (k∗ y k∗∗).El primero (k∗ < k∗∗) es la trampa de la pobreza. Solo se libran de ella, los paıses conun stock de capital inicial grande (k0 > k∗∗).


Trampas de pobreza

Un incremento en la tasa de ahorro, desplaza CA hacia arriba. Si CA’ no cruzaCD, entonces el paıs escapa a la trampa de pobreza.

Una vez que k > k∗∗ la tasa de ahorro puede descender nuevamente sin riesgo decaer en la trampa. Aquı los grandes cambios (aunque sean temporales) sonpreferibles a los pequenos (aunque sean permanentes).


Desempleo y crecimiento

Se diferencia poblacion activa (Pt) y trabajadores (Lt) y la diferencia es el desempleo(Pt − Lt).La tasa de desempleo u = P−L

P

Si en (2.5), suponemos que η = 1− α

Yt = AKαt L1−α

t κ1−αt (2.32)

Si κ = KP

:

y =Akα(K

P

)1−α

= Akα(K

L

L

P

)1−α

=

Akαk1−α(L

P

)1−α

= Ak

(L

P

)1−α (2.33)

El producto por trabajador:y = Ak(1− u)1−α (2.34)

Tasa de crecimiento de la economıa:

k

k= sA(1− u)1−α − (δ + n) (2.35)

La tasa de desempleo afecta negativamente el crecimiento


El modelo de Ramsey: el problema de las familias

Las familias neoclasicas: Las familias maximizan

U(0) =

∫ ∞0

e−ρtu(ct)Ltdt =

∫ ∞0

e−ρtc1−θt − 1

1− θLtdt (3.1)

donde ρ es constante, ct consumo per capita y Lt tamano de la poblacion.

1 La utilidad es la suma entre [0 ,∞) de la utilidad instantanea descontada a la tasa ρ

2 El horizonte es ∞, por tanto los agentes son familias y no individuos (altruısmointergeneracional)

3 La tasa de descuento muestra la preferencia del consumo propio al consumo de sus hijos(egoısmo paterno)

En tiempo discreto:

U1 = u (c1) +1 + n

1 + ρU2 (3.2)

U2 = u (c2) +1 + n

1 + ρU3 (3.3)

Substituyendo 3.3 en 3.2

U1 = u (c1) +1 + n

1 + ρu (c2) +

(1 + n

1 + ρ

)2

U3 (3.4)


Funcion de utilidad concava

U1 = u (c1) +1 + n

1 + ρu (c2) +

(1 + n

1 + ρ

)2

u (c3) +

(1 + n

1 + ρ

)3

u (c4) + ... =

=∞∑t=1

u (ct)

(1 + n

1 + ρ

)t−1 (3.5)

Supesto adicional: la funcion de utilidad es concava θ > 0:

U

(c1 + c2

2

)>

U(c1) + U(c2)

2

El consumo de un valor promedio es mayor que por ejemplo: consumir todo en un perıodo y

nada en otro.


Comportamiento ante el riesgo

En el caso de la funcion de utilidad con elasticidad de substitucion intertemporal

constantec1−θt −1

1−θ , si θ > 0 la funcion es concava y por tanto los individuos quierensuavizar el consumo en el tiempo. Si θ = 0, la funcion es lineal, y por tanto consumirahora o en el futuro son substitutos perfectos!Esta funcion se puede analizar tambien a traves del comportamiento ante el Riesgo:

Si θ > 0 funcion concava y aversion al riesgo

Si θ = 0 funcion lineal y neutral al riesgo

Si θ < 0 funcion convexa y amantes del riesgo


Restriccion presupuestal

Restriccion presupuestal, con Bt los activos financieros que la familias poseen (Bt > 0):

B = wL︸︷︷︸Masa salarial

+

Intereses︷︸︸︷rB −

consumo︷︸︸︷C

Si Bt < 0 las familias pagan intereses (rBt)por la deuda que mantienen (Bt).Sea b = B

L:

b = w + rb − c − nb (3.6)

El problema es ahora:

maxU(0)

∫ ∞0

e−(ρ−n)t

(c1−θ − 1

1− θ

)dt

sujeto a b = w + rb − c − nb

b(0) > 0

(3.7)


Condiciones del problema y Hamiltoniano

la utilidad es finita, por tanto:

limt→∞

e−(ρ−n)t

(c1−θ − 1

1− θ

)= 0 (3.8)

esto sucede si el exponente es negativo

ρ > n (3.9)

Optimizacion dinamica, definimos el Hamiltoniano, donde c es la variable de control, bes la variable de estado y ν es el multiplicador (el precio implıcito de los activos b):

H(.) = e−(ρ−n)t

(c1−θ − 1

1− θ

)+ ν [w + (r − n)b − c] (3.10)

Condiciones de primer orden (CPO):

Hc = 0↔ e−(ρ−n)tcθ = ν (3.11)

Hb = −ν ↔ −ν = ν(r − n) (3.12)

Condicion de transversalidad:limt→∞

btνt = 0 (3.13)


Interpretacion de las CPO

Las condiciones (3.11) y (3.12) muestra que el valor marginal del consumo debe serigual al valor marginal de la inversion.Tomamos logaritmos en (3.11) −(ρ− n)t − θ log(ct) = log(νt), derivamos−(ρ− n)− θ c

c= ν

νy sustituımos por (3.12)

γc ≡c

c=

1

θ(r − ρ) (3.14)

La ecuacion (3.14) es la ecuacion de Euler, re escrita:

ρ+ θc

c︸︷︷︸Beneficio del consumo

=

Beneficio del ahorro︷︸︸︷r (3.14’)

Utilidad del consumo presente (ρ)

Utilidad del consumo presente, dado que el consumo aumenta en el futuro ( cc> 0)

Si cc

= 0→ ρ = r los individuos solo aceptarıan reducir su consumo si hay unagran recompensa por el ahorro. A mayor θ, mayor es r que compensa el aumentodel ahorro y c

c> 0

La condicion de transversalidad bTνT = 0 indica que los individuos no dejan nadapara despues de la muerte.


El modelo de Ramsey: el problema de las empresas

Las empresas neoclasicas, alquilan trabajo a un salario wt y capital Rt a fin de producir:

1 Funcion de produccion(F (·)

)con rendimientos constantes a escala

2 Productividad marginal es positiva y decreciente

3 F (·) satisface las condiciones de Inada

Las empresas maximizan beneficios, R es el precio de alquilar una unidad de capital y res el rendimiento:

Π = F (K , L)− (r + δ)K − wL (3.15)

Las condiciones de primer orden son:∂F∂K

= R = r + δ

∂F∂L

= w

Usando la notacion per capita:r + δ = f ′(k) (3.16)

w = f (k)− kf ′(k) (3.17)


Modelo de Ramsey: Equilibrio

En una economıa cerrada y sin gobierno, el unico activo a disposicion es el capital b = kSi se sustituye ademas (3.16), (3.17) en (3.6):

k = f (k)− c − (δ + n)k (3.18)

Esta ecuacion es identica a la ecuacion (1.13) en Solow-Swan

Pero aquı el ahorro no es contante, y por tanto el comportamiento de los consumidoreses:

γc ≡c

c=

1

θ

(f ′(k)− ρ− δ

)(3.19)

Nuevamente se observa que para que la senda de consumo sea creciente el consumidordebe ser recompensado (f ′(k) > ρ+ δ)La condicion de transversalidad b = k

limt→∞

ktνt = 0 (3.20)


Tecnologıa Cobb-Douglass y = f (k) = Akα

Las ecuaciones (3.18) y (3.19) pueden expresarse:

k = Akα − c − (δ + n)k (3.18’)

γc ≡c

c=

1

θ

(αAk−(1−α) − δ − ρ

)(3.19’)


Solucion Robinson Crusoe

Produccion en una economıa cerrada de un unico bien destinado al consumo o a lainversion

Kt = F (Kt , Lt)− Ct − δKt (3.21)

k = f (k)− c − (δ + n)k (3.22)

Los individuos maximizan (3.1) sujeto a (3.22) con un stock de capital inicial k0 > 0, elhamiltoniano

H(·) = e−(ρ−n)t

(c1−θ − 1

1− θ

)+ ν (f (k)− c − (δ + n)k) (3.23)

Las CPO:Hc = 0↔ e−(ρ−n)tc−θ − ν = 0 (3.24)

Hk = −ν ↔ −ν = ν(f ′(k)− n − δ

)(3.25)

limt→∞

ktνt = 0 (3.26)

Logaritmos y derivadas en (3.24) y en (3.25)

c

c=

1

θ

(f ′(k)− δ − ρ

)(3.27)

Las expresiones (3.22), (3.26) y (3.27) describen al dinamica del consumo y el capital.

Las condiciones son identicas al modelo con mercado


Solucion del planificador

Planificador:

El planificador tendra el mismo objetivo que los individuos (maximiza (3.1))

La unica restriccion es que el producto sea producido en la economıa (expresion(3.22))

El planificador tiene en cuenta todas la externalidades y la informacion

Las ecuaciones dinamicas optimas son las mismas que en la solucion de mercado yRobinson Crusoe.El modelo queda determinado por las ecuaciones (3.18), (3.19) y (3.20).

k = f (k)− c − (δ + n)ke (3.18)

γc ≡c

c=

1

θ

(f ′(k)− ρ− δ

)(3.19)

limt→∞

ktνt = 0 (3.20)


La dinamica de la transicion y la trayectoria estable

En el diagrama de fases, construımos las curvas de c y k, cuando c = 0 y k = 0.:

1 Si k = 0→ c = f (k)− (δ + n)k, esta curva pasa por el origen, crece, alcanza elmaximo en f ′(k) = δ + n (regla de oro en Solow-Swan!) y decrece. Si la funcion

de produccion es Cob-Douglass: c = Akα − (δ + n)k y koro =(αAδ+n

) 11−α

2 Si nos situamos encima de k = 0, ante un pequeno cambio en c, k decrece(k < 0). Debajo de la curva, la situacion es opuesta k crece (k > 0).

3 Si c = 0→ f ′(k) = ρ+ δ (en el caso donde c 6= 0), si c = 0, entonces tambien

c = 0. Si la funcion es Cobb Douglass αAkα−1 = ρ+ δ y k =(αAδ+ρ

) 11−α

dado que

una condicio era que ρ > n, la curva de c = 0 se encuentra a la izquierda de koro

4 Si nos situamos a la derecha de c = 0, entonces ante el aumento de k y c cae(c < 0). A la izquierda sucede lo contrario, c aumenta (c > 0)


Diagrama de fases

Las curvas c = 0 y k = 0 se cruzan 3 veces: en el origen, en k∗ y en k∗∗

k∗ es el unico equilibrio deseable ya que solo allı se tiene consumo positivo pero laestabilidad de este equilibrio viene dada solo por una sola trayectoria (punto desilla)

k∗∗ es un equilibrio donde el capital es muy grande (k∗∗ > koro) y el consumo escero pero es estable


Trayectorias estables

Las trayectorias dependen de los parametros del modelo. En especial de θ, si θ es altoentonces los individuos quieren suavizar el consumo y la trayectoria tiende a ser lineal.En el caso que θ sea cercano a cero, las trayectorias son menos suaves.


Exclusion de trayectorias explosivas

Si c ′0 > c0 (1), entonces al inicio crecerıan ambos consumo y capital, hasta un puntok = 0 (1’) donde el capital comienza a decrecer, y el consumo aumenta tanto que elcapital se hace cero (2) y por tanto el consumo salta a cero (3) (sin produccion no hayque consumir). Esta trayectoria viola (3.19), ya que si k → 0 f ′(k)→∞ c →∞



Si c ′′0 < c0 (1), entonces al inicio crecerıan ambos consumo y capital, hasta un punto c = 0 (1’)donde el consumo comienza a decrecer, y el capital aumenta tanto que el consumo se hace cero(2) en el estado estacionario k∗∗.

Este punto esta a la derecha de koro , y f ′(k∗∗) < f ′(koro) = δ + n → r∗∗ = f ′(k∗∗)− δ < n ypor tanto viola la condicion de transversalidad:



A partir de (3.12) se obtiene:

νt = ν0e−(r∗∗−n)t (3.28)

limt→∞

ν0e−(r∗∗−n)tk∗∗ (3.29)

(3.29)→∞ 6= 0 violando la condicion de transversalidad

Se eliminan todas las trayectorias por debajo y por encima de la trayectoria estable. Esta

es la unica que satisface todas las condiciones de optimalidad.


La importancia de la condicion de transversalidad

Horizonte finito:

maxU(0)

∫ T

0

e−(ρ−n)t

(c1−θ − 1

1− θ

)dt

sujeto a k = f (k)− c − (δ + n)k

(3.30)

(3.18) y (3.19) son las CPO y a condicion de transersalidad es

νTkT = 0 (3.31)

Dado que vt es el precio implıcito del capital y es positivo νt = e−(ρ−n)TcθT

kT = 0 (3.32)

El capital a la hora de la muerte es cero


Trayectorias estables con horizonte finito

Con horizonte finito, la trayectoria estable de horizonte infinito viola (3.32). Por tantoc0 debe ser mayor que el consumo de la trayectoria estable.

Existe solo un punto que alcanza el eje de las ordenadas en el momento T . En el caso

que el punto inicial es A0, en T todavıa la economıa tiene un stock de capital positivo.

En B0, en el momento T ya se curzo en eje y por tanto se provoca el ”salto” como en el

caso de horizonte infinito.Macoeconomıa III (UdelaR) Notas de clase Macoeconomıa III 79 / 90

Teorema de la autopista, Dorfman-Samuelson-Solow(1958)

Si T es lo suficientemente grande, la trayectoria optima hacıa KT = 0, es estar muycerca del estado estacionario durante muchos perıodos (si estamos en las cercanıas delestado estacionario c = 0 y k = 0) y luego desacumular capital rapidamente hasta llegara kT = 0.


Tasa de ahorro en la transicion: cy = 0 k = 0

Analizamos el comportamiento de la tasa de ahorro s = y−cy

= 1− cy

.

y

y= α

k

k

cycy

≡∂ c

y

∂t

1cy

=c

c− y

y=

c

c− α k

k

Queremos obtener las funciones dinamicas de cy

y k en funcion de cy

y k. A partir de(3.18) y (3.19):

cycy

≡∂ c

y

∂t

1cy

=1

θ

(Aαkα−1 − ρ− δ

)− α

Akα−1 − c

yAkα−1︸︷︷︸cy

yk

δ − n

(3.33)

Para que cy

= 0

c

y=−(1− θ)

θ+

k1−α

Ak

[ρ+ δ

θα(n + δ)

](3.34)

El signo de la pendiente de la condicion cy

= 0 es ρ+δθα(n + δ) por que que generara 3

situaciones.


Tasa de ahorro en la transicion: cy = 0 k = 0

La ecuacion dinamica de k a partir de (3.18) es ahora:

k

k= Akα−1 − c

yAkα−1︸︷︷︸cy

yk

−(δ + n) (3.35)

La nueva curva k = 0 requiere que:

c

y= 1− (n + δ)k1−α

A(3.36)

Esta ecuacion tiene siempre pendiente negativa.

La dinamica del sistema posee una trayectoria de punto de silla en los 3 casos, la

diferencia sera en la pendiente de dicha trayectoria.


Caso A: pendiente positiva ρ+δθ > α(n + δ)

La tasa de consumo cy

aumenta a medida que aumenta k y por tanto la tasa de ahorrodisminuye (1− c

y).


Caso B: pendiente negativa ρ+δθ < α(n + δ)

La tasa de consumo cy

disminuye a medida que aumenta k y por tanto la tasa de ahorroaumenta (1− c

y).


Caso C: cero pendiente ρ+δθ = α(n + δ)

La tasa de ahorro constante (como en Solow-Swan) seran optimas en el caso de queρ+δθ

= α(n + δ)

En el modelo de Ramsey, la tasa de ahorro constante viene determinada por el modelo

(variable endogena) y esta siempre a la izquierda de koro


Comportamiento tasa de ahorro


Convergencia entre paıses

Re-escribimos (3.18) y 3.19:

˙log(ct) =1

θ

[αAe−(1−α)log(kt ) − (ρ+ δ)

]˙log(kt) = Ae−(1−α) log(kt ) − e log(ct )−log(kt ) − (n + δ)

˙log(ct) ≡∂ log(ct)

∂t=

ctct

˙log(kt) ≡∂ log(kt)

∂t=

ktkt

(A.1)

En estado estacionario:

e−(1−α) log(k∗) =ρ+ δ

Aα

e log(c∗)−log(k∗) = Ae−(1−α) log(k∗) − (n + δ) = h

h =ρ+ δ(1− α)− α

α> 0

(A.2)



Expansion de Taylor:

˙log(ct) = −µ [log(kt)− log(k∗)]

˙log(kt) = −h [log(ct)− log(c∗)] + (ρ− n) [log(kt)− log(k∗)](A.3)

En forma matricial: [˙log(ct)˙log(kt)

]=

[0 µ−h (ρ− n)

] [log(ct)− log(c∗)log(kt)− log(k∗)

](A.4)



Valores propios:

−λ1 =1

2

(ρ− n −

√(ρ− n)2 + 4hµ

)< 0

λ2 =1

2

(ρ− n −

√(ρ− n)2 + 4hµ

)> 0

(A.5)

La solucion de log(kt):log(kt)− log(k∗) = ψ1e

λ1t + ψ2eλ2t (A.6)

A finde cumplir la condicion de transversalidad ψ2 = 0

log(k0)− log(k∗) = ψ1e0 = ψ1 (A.7)

log(kt)− log(k∗) = [log(k0)− log(k∗)] e−λ1t (A.8)

Si log(kt) = log(yt )α

log(yt)− log(y0)

t=

1− e−λ1t

t[log(yt)− log(y0)] (3.37)



Nuevamente la nocion de convergencia nos dice que si las economıas tiene los mismosparametros estructurales convergen al mismo estado estacionario.

log(yt)− log(y0)

t=

1− e−λ1t

t[log(yt)− log(y0)]

−λ1 =1

2

[ρ− n −

√(ρ− n)2 + 4µ

ρ+ δ(1− α)− αnα

]

µ ≡ (1− α)(ρ+ δ)

θ> 0

(3.37)

Si los paıses convergen a distintos puntos estacionarios, la relacion entre capital inicial y

crecimiento no es necesaria.


notas de clase macoeconomía iii -...

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