notas de clase de macroeconom˝a avanzada … · esta idea fue defendido por joseph schumpeter...

NOTAS DE CLASE DE MACROECONOMÍAAVANZADA CON METODOSCOMPUTACIONALES1

IDES2

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Elias Sanzhez Cristian Maraví[email protected] [email protected]

Verano, 2009

1Cuando hablamos de métodos computacionales, nos referimos al uso del MatLab2Grupo de estudios: "Investigación para el Desarrollo Económico y Social"

Índice general

Introducción VII

I Modelos de crecimiento exógeno 1

1. Hechos estilizados 3

2. Modelo de Solow 112.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Desarrollo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Supuestos Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Supuestos Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3. Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Ecuación Fundamental de Solow . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5. Determinantes del Crecimiento y el Equilibrio de Largo

plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.6. Regla de Oro de la Acumulación . . . . . . . . . . . . . . 212.2.7. Precios de Factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.8. Residuo de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.9. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Aplicación en MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Codigo: Solow.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Resultados de Solow.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.3. Aplicativo GUIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Modelo de Ramsey Cass y Koopmans 373.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Desarrollo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1. Supuestos del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2. Modelo Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3. Las Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4. Las Empresas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.5. El Equilibrio General Competitivo . . . . . . . . . . . . . 443.2.6. El Plani�cador Social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

iv ÍNDICE GENERAL

3.2.7. Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.8. Dinámica de transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.9. Regla de oro modi�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.10. Aplicación simpli�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Aplicación en MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.1. Solución numérica del EGC . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.2. Codigo Ramsey.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.3. Resultados de Ramsey.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.4. Aplicatico GUIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A. Función de Producción Neoclásica 67A.1. Las productividades marginales de los insumos son decrecientes. 67A.2. Rendimientos Constante a Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.3. Condiciones de Inada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

B. Progreso Tecnológico 73B.1. Progreso Tecnológico neutral a lo Hicks . . . . . . . . . . . . . . 74B.2. Progreso Tecnológico neutral a lo Harrod . . . . . . . . . . . . . 75B.3. Progreso Tecnológico neutral a lo Solow . . . . . . . . . . . . . . 75

C. Inversión 77C.1. Inversión sin Costos de Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77C.2. Inversión con costos de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

D. Equilibrio de Largo Plazo 79D.1. Estado Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80D.2. Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

E. Log- Linealización 81

F. Programación Dinámica 85F.1. Formulación básica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86F.2. Principio de optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86F.3. Ecuación de Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86F.4. Ecuación de Benveniste Sheinkman . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

F.4.1. Teorema de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87F.5. La Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

G. Diagrama de Flujo 89G.1. Solow.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90G.2. Ramsey.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Motivación

La teoría del crecimiento Económico, ha sido un tema muy discutido, peroprincipalmente desarrollado por muchos teóricos economistas, principalmente elcaso de Harrod Domard, Robert(Bob) Solow, Ramsey, Cass y Koopmas, PaulRomer, Usawa, Lucas, Alesina y muchos mas, durante el siglo XX, es por esoque este documento, motivado por las grandes teorías de crecimiento, muestraun resumen breve de lo que en teoría se desarrolló a lo largo de la primera partedel curso de Macroeconomía Avanzada, con el �n de contribuir al manejo de lateoría macroeconómica mediante la enseñanza de este curso a los alumnos, parael cual se ha tomado una serie de herraminetas computacionales, tal es el casode MatLab, para su mejor aprendizaje, y así los alumnos puedan capturar lalógica de los principales modelos de crecimiento económico.

v

vi MOTIVACION

Introducción

En estas notas de clase se presentará, temas relacionados con creciemien-to económico, en donde se presentará los principales modelos que existe en laliteratura económica sobre crecimiento económico.Durante el transcurso del curso, nos preocuparemos, principalmente en re-

sponder a preguntas basadas sobre los determinantes del ingreso percápita y laconvergencia entre paises. Propiamente dicho, nos preocuparemos en responderlas sigientes preguntas:

¿Que factores son los que determinan la diferencia de tasa de crecimientopromedio entre paises?

¿Que factores explican la distribución del ingreso percápita enre paises?

Estas preguntas serán resueltas en el transcurso de la duración de este curso,en donde se desarrollaran los modelos de creciemiento, entre los cuales se ahon-darán principalmente en el modelo de Solow, pues este modelo tuvo un gránaporte a las demas teorías del creciemiento. Entonces el nálisis que se hará eneste modelo se basará en la estructura básica explorada en el primer capítu-lode este documento, cual es la introducción a la macroeconomía moderna1 y almodelo de crecimiento neoclásico.Estas notas de clase, será motivado primero, introduciendo primero una ver-

sión del modelo de Solow con progreso tecnológico neutral a lo Harrod2 , en elcual veremos principalmente que las decisiones de ahorro son exógenas. Para estemodelo aplicaremos MatLab para explicar la lógica del modelo, seguidamenteserá usado para explicar el modelo de Ramsey Cass y Koopmas, en respeustaal modelo de solow, pues asumiremos que la tasa de ahorro de la economíaprovenga de un proceso de optimización.Este curso se enfocará no solo a aplicar el MatLab para capturar la lógica

de los modelos de crecieminto económico, sino tambien para explicarles las bon-dades, en terminos de e�ciencia para el calculo de algunas expreciones analíticasy cuantitativas, que mas allá de sernos tedioso y fastidioso, calcularlas, podremoshacerlo en solo unos cuantos segundos. Ya habiendo desarrollado ambos modelos

1Para explorar mas sobre estas a�rmaciones en la macroeconomía moderna, ver el libro dePeter Sorensen y Whita Jacobson, en Introducción a la macroeconomía moderna.

2El modelo de Solow con progreso tecnológico neeutral a lo Harrod, tiene la siguiente formade función de producción Cobb- Douglas Y = K�(AL)1��

vii

viii INTRODUCCIÓN

de creciemiento en el que nos hemos enfocado principalmenet en el desarrollode modelos de crecimiento exógeno, enseguidamente en el cápitulo 2, desarrol-laremos modelos de crecimiento endógeno para discutir los determinantes delcrecimiento en el tiempo, utilizando el modelo más simple posible, como porejemplo el modelo AK, en el que presentaremos y demostraremos que la tasa decreciemiento a largo plazo de la economía es positiva. Por último veremos susimplicancias en términos de convergencia entre paises.Para un mejor entendimiento, el desarrollo del curso se presenta en el sigu-

iente esquema.

Grá�co N�1;1 Mapa de desarrollo del curso

En la primera parte se desarrollaran dos modelos de creciemiento exógeno,uno es el modelo de Solow(1956) y Swan3 (1956); y el modelo de Ramsey Cassy Koopmas. El desarrollo y la estructura de como estan desarrollados, son sim-ilares, pero la gran diferencia radica en la decisión consumo ahorro, pues enel primero de estos se asume, que el nivel de consumo y ahorro esta determi-nado exógenamente(propensión marginal al consumir, y propensión marginal a

3Swan desarrolló una versión menos matemática del modelo de crecimiento, Solow Swan.

ix

ahorrar), en cambio en el segundo, las decisiones de consumo ahorro provienende procesos de optimización, en otras palabras, mientras que en el modelo deRamsey, Cass y Koopmas, las decisiones son procesos racionales microfundamen-tados, en el modelo de Solow, Swan los consumidores siguen una regla ad-hoc4

Para la segunda parte se desarrollarán dos modelos de creciemiento endógeno,el primero basado en el de desarrollo de ideas, y conocimiento, oea el modelo dePaul Romer, y el segundo, el modelo de Lucas, basado en el modelo de Romer,pero corrigiendo el efecto escala, al trabajar con variables percápita.

4Ad-hoc: Es cuando esta basado solo en un hecho especí�co.

x INTRODUCCIÓN

Parte I

Modelos de crecimientoexógeno

1

Capítulo 1

Hechos estilizados

Es casi una ley de la naturaleza que las economías crescan a lo largo deltiempo. A pesar de las guerras, desastres naturales o crisis coyunturales.

Durante los últimos 100 años, la evidencia empírica demuestra que haygrandes variaciones en el comportamiento económico entre paises, tanto en elnivel absoluto de ingresos (A lo que llamamos productos geográ�cos bruto, PGBen niveles1) como el ingreso percápita2 , pero en sí ¿Como se de�ne el crecimientoeconómico?

El crecimiento económico es el incremento secular3 de los ingresos agrega-dos de un país. Este es de vital importancia, pues este crecimiento nos va adeterminar la correlación positiva entre ingresos agregados y el nivel estandarde bienestar4 .

1Producto geográ�co bruto PGB= Y2PGB percápita= Y

L= y

3 crecimiento secular se entiende al crecimiento que se da con respecto a la región, o ungrupo de paises.

4Principalmente este va a ser medido por la relación PBI consumo (Ver grá�co 1.2) yesperanza de vida (Ver grá�co 1.3).

3

4 CAPITULO 1- HECHOS ESTILIZADOS

Grá�co N�1;2: Relacion PBI- Consumo

Fuente: Penn World Tables

Grá�co N�1;3: Relación PBI- Esperanza de vida (Medicion del binestar)

Fuente: Penn World Tables

En pleno desarrollo de la teoría del crecimiento, y sus hechos estilizados, se

PRIMERA PARTE- TEORIA DEL CRECIMIENTO EXOGENO 5

trató sobre la idea de que el proceso del crecimiento económico crea con�icto,esta idea fue defendido por Joseph Schumpeter (1934) quien introdujo la teoríade la destrucción creativa5 . Estas consecuencia que ha traido el crecimientoeconómico, es la cración del trabajo para nuevos negocios, tecnología, procesosproductivos, tales el caso de los celulares, laptops, internet, fotocopiadora deúltima generación6 , para el caso peruano se habla principalmente de la entradamasiva de celulares de última teconología, academias culinarias, centros comer-ciales, cabinas de internet, etc. Pero en contraparte, por el lado desfavorable esque tambien destruyen procesos que son desplazados por nuevos descubrimien-tos y conocimientos, tal es el caso de las máquinas de escribir, centros indígenas,camara con rollo, etc. Esto es en escencia lo que Joseph Schumpeter llamó de-strucción creativa. El desarrollo de la innovación de ideas, se verá mejor en elsegunda parte (crecimiento endógeno), en el cual se explican los factores queson base del crecimiento, tales, como inversión en educación promedio, cantidadde investigación tecnológica y la tasa de crecimiento poblacional.

La evidencia muestra que en general todos los paises no tienden a convergera los mismos niveles de ingreso, tampoco hay evidencia que convergan a lamisma tasa de crecimiento, pero lo que si hay evidencia es sobre la convergenciacondicional7 , que será desarrollado con mayor amplitud en el modelo de solow.

Pará un analisis mas entendible de la convergencia observese el grá�co 1.4,en el cual vemos paises de similar característica convergen a tasas iguales enlargo plazo.

5Joseph Schumpeter defendió la tesis de la destrucción creativa, alegando que cuando sedaba el procesao de crecimiento, y consigo la innovación tecnológica, esta nueva tecnologuíadestruía toda tecnología que puede ser suplantada por esta nueva, así por ejemplo tenemosel caso de la aparición de la computadora, que destruyo toda la industria de maquinas deescribir electrónicas.

6Estas nuevas fotocopiadoras, no necesitan persnal, mano de obra en forma intensiva, puesahorra mano de obra.

7Convergencia condicional: Cuando dos paises de similares características tenderan a crecera tasas iguales en el largo plazo, de aqui que se explica la existencia de clubes de paises.


Grá�co N�1;4: Covergencia de paises en PBI (se utiliza el logPBI).

Fuente: Historical estatistics for the world economy 1-2003 AD, AngusMaddison.

Tal y como pudemos apreciar, en este grá�co, se da la convergencia entrepaises que tienen similares carasterísticas, tal es el caso de estos paises, consid-erados desarrollados.

El grá�co 1.5 nos muestra que cuando los paises tienen reformas estrcturales,como en el caso de Japon, Taiwan, Corea, en la segunda guerra mundial, adoptandistintas características que hace que su creciminto a largo plazo, sea diferente,osea que paises que se caracterizan por tener similitudes estructurales en sueconomía tienden a crecer a una tasa de crecimiento homogenea en el largoplazo.


Grá�co N�1;5: PGB percápita relativo a los EEUU.

Fuente: Angus Maddison (1995).

Para el caso especí�co de Perú, es considerado dentro del club de paisesemergentes en america latina, su evolución del PBI se muestra en el grá�co 1.6,en el cual vemos claramente dos tendencias, la recta de mayor pendiente nosmuestra que hasta 1971 el performance del creciemiento del PBI peruano eramuy bueno, apartir de sucesos, que cambiaron la estructura económica durantelos 80�principalmente, cambiaron la pendiente, tal como muestra el grá�co 6 (larecta de menor pendiente), pues hasta el 2001, el performance se ha debilitadoa diferencia del antiguo performance. En contraste con otros paises, el casoperuano, es un proceso de retroceso, a diferencia de paises, como Japon, Taiwany el resto de paises que se muestran en el grá�co 1.5, cambiaron su tendenciahacia la alsa, mejorando su permormance.


Grá�co N�1;6: Analisis del performance del cecimiento del PBI peruano

Fuente: Historical estatistics for the world economy 1-2003 AD, AngusMaddison.

Una vez analizado los hechos de crecimiento, tanto para el Mundo, comopara el caso especí�co de Perú, en el que se ha tratado a groso modo los temasde convergencia, cabe preguntarse ¿Podemos determinar las regularidades em-píricas que caracterizen el comportamiento de largo plazo de las economías?Kaldor(1961) y Kuznets establecieron un conjunto de regularidades que en

1970, Robert(Bob) Solow Caracterizo 5 (o 6) entre los mas reelevantes, pero eneste curso se presentarán 11, que Romer en 1989, formulo como nuevos hechosestilizados que todo modelo de crecimiento debería ser capaz de explicar en ellargo plazo.Estos hechos son:

1. YN = y, crece a una tasa constante (crecimiento estacionario en el ingresopercápita).

2. KN = k, crece a una tasa constante (crecimiento estacionario en el capitalpercápita).

3. KY , es constante (la razón capital- producto es constante, no tiene tenden-cia).


4. Las proporciones en el producto del capital y del trabajo son aproximada-mente constantes.

5. La tasa de rendimiento del capital (tasa de interes) es aproximadamenteconstante.

Investigaciones empíricas mas recientes8 han adicionado los siguientes he-chos estilizados a los propiamente reportados por Kaldor.

6. Existen amplias diferencias en las tasas de creciemiento del producto yla productividad entre paises, especialmente el crecimiento del productopor habitante, para una muestra amplia a paises de tasas de crecimientopromedio entre 1960 y 2000 no esta correlacionada con el nivel de productopor habitante en 19609 .

7. Tasas de fertilidad tienden a declinar con el incrementodel PBI percápi-ta10 .

8. El crecimiento económico esta correlacionado con el del volumen de com-ercio (Las economías abiertas crecen mas deprisa-ceteris paribus)11 .

9. En estudios cross sección la tasa media de crecimiento no varía con el nivelde renta percápita12 .

10. El crecimiento de los factores de producción no es su�ciente para explicarel crecimiento del producto (existe un residuo13).

11. Los trabajadores cuali�cados o no tienden a emigrar de de los paises derenta baja a los paises que tienen renta alta14 .

8Romer(1989).9Para el caso de la economía peruana, Paul Castillo desarrollo este tema, en el curso de

extension universitaria, verano del 2005, tal y como muestra en sus notas de clase, y en supaper, Hechos estilizados para la economía peruana. Para el caso de la economía chilena, RafaelBergoeing, realizo el mismo estudio, tal como muestra en sus notas de clase, macroeconomíadinámica, Universidad de Chile, septiembre de 2001.10 I-BI11Ver Argandoña Macoeconomía Avanzada II.12Esta información fue sacada de las notas de clase de Marco Vega, del curso de Macro-

economía II, UNI, 200913Este residuo es llamado, el residuo de solow, que será estudiado en la sección 2.914Kutznets, 1973,1981.

Capítulo 2

Modelo de Solow

2.1. Introducción

El modelo de Robert (Bob) Solow(1956) y Swan (1956), suele ser el puntode partida para la mayoría de analisis de creciemiento económico1 , en el cual setrata de explicar cuales son las fuentes de crecimiento económico.Uno de los primeros trabajos en incorporar sustitución intertemporal en el

consumo en el análisis dinámico de la economía es Solow2(1956). De esta manerala relación entre ahorro e ingreso percápita, en el largo plazo es formalizada.El principal resultado de este modelo es que al aumentar el ahorro como

proporción del producto, la acumulación del capital por trabajador, aumenta,generando mayores niveles de ingreso percápita3 , ademas los agentes no eligen lasecuencia del consumo y ahorro optimamente, pues el consumo es una fracciónconstante del nivel de ingreso corriente4 .Este modelo en contraste con los hechos estlizados de Kaldor y Kutznets,

solo cumple con los 5 primeros hechos5 . Su principal debilidad empírica resideen su incapacidad para replicar las diferencias obserbadas en la diferencia deingresos percápita entre paises.

1Esto se da en grán parte de modelos de crecimiento económico, pues sus hipótesis eimplicancias de dicho modelo se usa como referencia. Gracias a ello el modelo de Ramsey,toma varios supuestos de este modelo. La teoría de las �uctuaciones (ciclos) económicas,tambien toman varios supuestos. Rebelo, tambien toma varios supuestos para llegar a sufamosa función de producción AK, y tambien los modelos de creciemitno endógeno, tomansupuestos de este modelo para formular sus hipótesis.

2Solow planteó un modelo de claro sabor neoclásico, en el que los planes de ahorro einversión se cumplen de forma simultanea, y los mercados se vacían siempre, de modo que eldesempleo keynesiano no resulta signi�cativo. ademas planteo que hay sustituibilidad entrecapital y trabajo. Es esto que que caracterizó al modleo de Solow, como un vestigio Keynesianoen el contexto de un modelo Neoclásico.

3La solidez empírica de este resultado ha sido demostrada por Mankiw, Romer y Neil(1992).4Este supuesto discutido ya anteriormente, será criticado y modi�cado por el modelo de

Ramsey Cass y Koopmas.5Ademas de los 5 primeros hechos, cumple tambien conel 7�, solo con ese nada mas.

11

12 CAPITULO 2- MODELO DE SOLOW

2.2. Desarrollo Teórico

Para el desarrollo de este modelo, haremos en tiempo discreto, pues se ajustamejor a la realidad económica, pus en general se consideran periodos económi-cos(pueden ser años, semestres, trimestres, meses, etc.), así podremos analizarlas respuestas del modelo ante cambios exógenos de manera muy real.Este modelo se basa en sus principales supiestos que presentaremos a con-

tinuación.

2.2.1. Supuestos Fundamentales

I) Función de Consumo Keynesiano

Como ya se adelantó en este modelo, el consumo está determinado poruna parte constante del ingreso, conocido, como la propensión marginal alconsumir(c) el cual esta denotado por la ecuación 2.1

C = �cY (2.1)

II) Economía Cerrada

Para el caso de una economía cerrada, se cumple que el nivel de PBI estádeterminada por Y = C + I6 .Donde el consumo, como ya dijimos se obtiene de una parte constante del

ingreso(de la propensión marginal al consumir) de manera exógena, digamosque en el espíritu de los modelos Keynesianos tradicionales.

C = �cY

Entonces

Y � C = I

entonces reemplazando

Y � �cY = I

Como, la proporción marginal al consumir(�c) y la propensión marginal alahorrar(�s), suman 1, osea �c+ �s = 1,

�sY = I

Por lo tanto obtenemos la ecuación 2.2

S = I (2.2)

6Originalmente el PBI se calcula de la ecuación Y = C+I+G+XN , pero como es economíacerrada, no consideramos XN , ni gobierno, G la ecuación queda reducida a Y = C + I

2.2. DESARROLLO TEÓRICO 13

III) Función de Producción Neoclásica(FPN)

Lo mas importante de este modelo es la forma de la función de producción7 ,que es de tipo Cobb- Douglas, que cumple, principalmente con las condicionesde Inada8 .Por lo tanto la forma de la función de producción se expresa en la ecuación

2.3

Y = F (K;AL) (2.3)

Aunque en este caso estamos asumiendo un función de producción con pro-greso tecnológico a lo harrod9 , que cumple con todos los supuestos de la Funciónde Producción Neoclásica(FPN).

IV) Ecuación de devolución del capital sin costos de Ajuste

En este supuesto, asumiremos la no existencia de costos de ajuste10 .

Kt+1 = (1� �)Kt + Ib (2.4)

Esta ecuación muestra que el stock de kapital acumulado para el siguienteperiodo(Kt+1), será igual al stock de kapital del periodo presente, pero deducidosu depreciación((1� �)Kt), pues �; es la tasa de depreciación, mas la inversiónbruta(Ib)Por lo tanto, de la ecuación 2.4, obtenemos la famosa identidad contable, la

inversión bruta(Ib) es igual a la inversión neta(Kt+1�Kt), mas la depresiación(�Kt).

Ib = (Kt+1 �Kt) + �Kt (2.5)

Esta iguldad de la ecuación 2.5 es tambien conocida como la ley fundamentalde la acumulación de capital. Recordar que la veriable Kt, es una variable stock(Acervo de capital), La inversión bruta Ib; que de ahora en adelante solo se ledenotara por I, y la depresiación �Kt son �ujos por periodos, en la práctica, testa denotando años, pero podría ser quinquenios, u decenios, etc.

V) Mercados en equilibrio

Esta condición de equilibrio, es conocida tambien como restricción de agre-gación11 , especí�camente en este modelo solo lo veremos como una condición deequilibrio, pues se le verá como restricción en el modelo de 3.

7Para ver un concepto mas claro de la Función de Producción Neoclásica, ver A.8Ver A en la página 67, Inada(1963-Japones).9Para ver mas sobre la de�nición y clases de progreso tecnológico, ver B en la página B.10Para ver mejor este tema de la inversión con y sin costos de ajuste, ver Romer, macro-

economia avanzada, en el capítulo de microfundamentos. Pero en el C, presentamos una versióndetallada, que fue sacada de (6) :Notas de clase de Paul Castillo en el 56, curso de extensiónuniversitaria del BCRP.11Se le conoce como restricción de agregación, pues segun la ecuación, todo lo que las

empresas producen, debe ser igual a lo que las familias, consumen e invierten.


Y = C + I (2.6)

2.2.2. Supuestos Auxiliares

VI) Existencia de un único bien

En este modelo se supone la existencia de un único bien, producido concapital y trabajo, mediante una tecnología con retornos constantes a escala ydecrecientes al factor(esto se ilustra mejor en el A), este tipo de tecnpología esconocida como neoclásica.

VII) Variables Percápita

Toda la población trabaja y es igual a L, en donde su tasa de crecimiento esigual a Lt+1�Lt

Lt= n, este factor sera de vital importancia, pues al dividir a todas

las variables entre este factor, se obtendrá las varables en terminos percápita(opor persona), las cuales estarán denotadas por sus respectivas letras, pero enminusculas12 .

YL = y;

KL = k,

CL = c;

IL = i;

SL = s

VIII) Variables Percápita E�caz

Como ya se mensionó en VI), la tecnología neoclásica, tiene una tasa de crec-imiento exógena y constante, el que está dado por: At+1�At

At= g; en cual tambien

es de vital importancia, pues al dividir a todas las variables en niveles(denotadopor letras mayusculas) entre la multiplicacion del factor trabajo(L), y el fac-tor tecnología(A), nos dará variables enterminos percápita e�caz, o e�ciente, elcual se denotará por sus respectivas letras pero en minusculas y con una lineacurveada en su sombrero.

YAL = ~y;

KAL =

~k, CAL = ~c;

IAL = ~{;

SAL = ~s

2.2.3. Estado Estacionario

Del la ecuación 2.3, sabemos que:

Yt = F (Kt; AtLt)

Pasando a su forma intensiva(Dividiendole entre AtLt):

YtAtLt

= F ( Kt

AtLt; 1)

~yt = f(~kt) (2.7)

Yt = Kt= n+ g

12De ahora en adelante, variables en letras mayusculas, denota las variables en niveles, ylas var.iables en letras minusculas, denota las variables en terminos percápita


Asi, en el estado estacionario

yt = kt = At= g

~yt = ~kt = 0

¿Que pasaría si n = g = 0?Entonces �L y �A seríam constantes. Por lo tanto

Y = F (K; �A�L)

En el estado estacionario

Yt = Kt= 0

Donde denota tasa de crecimiento¿Que pasaría si n 6= 0 y g = 0?Kt; Lt pero �At ! permanece constante

Y = F (K; �AL)

Dividiendo a la expresión entre L

YtLt= F (Kt

Lt; �A)

Normalizando:

yt = f(kt)

En el estado estacionario

yt = kt = 0

Entonces

Yt = Kt= Lt = n

2.2.4. Ecuación Fundamental de Solow

De 2.2 y 2.6, obtenemos:

Yt = Ct + StYt � Ct = St�sYt = St = It

De 2.4, obtenemos

Kt+1 = (1� �)Kt + �sYt

Ahora reemplazamos 2.3


Kt+1 = (1� �)Kt + �sF (Kt; AtLt)

Ahora dividimos entre AtLt

Kt+1

AtLt= (1� �) Kt

AtLt+ �sF (Kt;AtLt)

AtLt

Ahora premultiplicando al lado izquierdo por At+1Lt+1At+1Lt+1

At+1Lt+1AtLt

x Kt+1

At+1Lt+1= (1� �) Kt

AtLt+ �sF (Kt;AtLt)

AtLt

Reduciendo a terminos percápita e�caz

(1 + g)(1 + n)~kt+1 = (1� �)~kt + �sf(~kt)

Ahora, como sabemos, g y n son numeros bien pequeños, por lo tanto n:g �= 0;ademas a cada lado de la ecuación anterior, le restamos (1 + n+ g)~kt; entoncesla expresión queda reducida, así:

(1 + g + n)~kt+1 � (1 + n+ g)~kt = �sf(~kt)� (n+ g + �)~kt

Por lo tanto obtenemos, la famosa .Ecuación Fundamental de Solow"

(1 + g + n)(~kt+1 � ~kt) = �sf(~kt)� (n+ g + �)~kt (2.8)

Ahora, nuevamente, de 2.6

Yt = Ct + It

Dividiendo a ambos lados entre AtLt

YtAtLt

= CtAtLt

+ ItAtLt

~yt = ~ct +~{t (2.9)

Ahora para ver si para cualquier ~k0 > 0 inicial, el modelo converge a un único~k�t (Stock de capital percápita e�cas en el estado estacionario); analizaremos el�~kt+1 = ~kt+1 � ~kt; por lo tanto de 2.8

(1 + g + n)(�~kt+1) = �sf(~kt)� (n+ g + �)~kt

�~kt+1 =�sf(~kt)� (n+ g + �)~kt

(1 + g + n)(2.10)


Donde �~kt+1; crecimiento del stock de capital percápita e�caz.

y �~kt+1~kt

; Tasa de crecimiento del stock de capital, por lo que la ecuación2.10, muestra el comportamineto del stock de capital percápita e�caz, durantela transición hacia el equilibrio de largo plazo13 , que se vee mejor en el grá�co2.1

Grá�co N�2;1: Grá�co de la transición dinámica del modelo de Solow

Fuente: Elaboracion propia

Ahora de la ecuación 2.10 podemos calcular la tasa de crecimiento del stockde capital percápita e�caz.

~kt =�~kt+1~kt

=�s

(1 + g + n):f(~kt)~kt

� (n+ g + �)

(1 + g + n)(2.11)

De donde obtenemos el Grá�co N�2;2, de la dinámica de la tasa de crec-imiento del stock de capítal percápita e�caz, a lo Barro, que nos explica, comola tasa de crecimiento del stck de capitl percápita e�caz, va evolucionando, parte

13Para ver de�niciones de Estado estable y Estado estacionario dentro dl Equilibrio de largoplazo, que de por sí son diferentes, ver un resumen en el apéndice D


desde el principio, de ser gránde, hasta hacerse cero en el estado estacionario, yse vuelve negarivo al lado derecho del estock de capital en el estado estacionario.

Grá�co N�2;2 Dinámica de transicición de la tasa de creimiento del stock de capital percápita e�caz

Fuente: Elaboracin propia

El grá�co, nos muestra la comparación de la economía peruana, con laeconomía China, el cual nos da una idea de lo rica que puede ser la economíaChina, así Ellos llegan a un estado estacionario con un stick de capital percápitae�caz mas grande que nosotros, pues parten tambien con stcks de capital masgrande que nosotros tambien.Ahora, despues de analizar la transición dinámica del stock de capital, con

una función de producción general, partamos del hecho de una Función de pro-ducción explícita, especí�camente una Función de producción tipo Cobb Dou-glas, como sige en la siguiente ecuación.

Y = K�t (AtLt)

1�� (2.12)

Quedando así las siguientes expresiones.

~yt = f(~kt) = ~k�t (2.13)


Y así reemplazando ??, en 2.10 y 2.11, obtenemos:

�~kt+1 =�s~k�t � (n+ g + �)~kt

(1 + g + n)(2.14)

~kt =�~kt+1~kt

=�s

(1 + g + n):~k��1t � (n+ g + �)

(1 + g + n)(2.15)

por lo tanto en el Estado Estacionario, �~k�t+1 = 0; y por lo tanto ~k�t = 0 y; ~y�t = 0 entonces de 2.14 o 2.15, tenemos:

~k�t = (�s

n+ g + �)

11�� (2.16)

~y�t = (�s

n+ g + �)

�1�� (2.17)

2.2.5. Determinantes del Crecimiento y el Equilibrio deLargo plazo

En esta sección, vamos a ver que factores determinan la tasa de crecimientodel PBI, en niveles, precápita y percápita e�caz, tanto, durante la transición, yen el Estado Estacionario.Como sabemos por teoría de tasas de crecimineto y de 2.13, se puede concluir:

1 + ~yt =~yt+1~yt

= (~kt+1~kt)� = (1 + ~kt)

� (2.18)

Ahora aproximando la última parte del lado derecho de la ecuación 2.18, poruna expansión de taylor de primer grado, se obtiene:

(1 + ~kt)� �= 1 + � ~kt (2.19)

Entonces, de aquí se obtiene:

1 + ~yt�= 1 + � ~kt (2.20)

por lo que en Estado Estacionario, la economía presenta varibles percápitae�caz, constantes,es decir, no crecen( ~yt = ~kt = 0)Pero el PBI percápita, crecerá a una tasa como la siguiente:

1 + yt =yt+1yt

=At+1At

:~yt+1~yt

= (1 + g)(1 + � ~kt) (2.21)

Aproximando(puesto que consideramos que g�� ~kt ' 0; no la consideramos):

yt�= g + � ~kt (2.22)


Es por eso que en el Estado estacionario, el nivel de PBI percápita, y el nivelde stock de capital percápita14 , ambos crecen a una tasa constante g, es poreso que a ese equilibrio se le llama estado de crecimiento balanceado, o Estadode crecimiento proporcionado, o por último estado estable, que una vez masdecimos no es igual a estado estacionario15 .Ahora analizemos como evoluciona(Cual es el comportamineto durante la

transición dinámica) el PBI en niveles, cuando las variables en términos per-cápitas e�caz, están en transición al Estado estacionario, y como será su com-portamineto, una vez que estas últimas hayan alcanzado estacionario, Volvamosa preguntarnos ¿Alcanzarán tambien el estado estacionario, o es un estado es-table?, como en el caso anterior.Como sabemos:

1 + Yt =Yt+1Yt

=At+1At

:Lt+1Lt

:~yt+1~yt

= (1 + g)(1 + n)(1 + � ~kt) (2.23)

Una vez mas aproximando

Yt�= n+ g + � ~kt (2.24)

Por lo tanto el stock de Capital en niveles, tendrá el siguiente comportamien-to.

Kt�= n+ g + ~kt (2.25)

Es de ahí que Cuando las variables en términos percápita e�caz, alcanzanEstado Estacionario, las variables en niveles alcanzan el estado estable, o estadode crecimiento balanceado o estado de crecimiento proporcionado, pero esta vezmayor en n, que el de las variables en términos percápita(n+ g); por lo que:

si: ~yt = ~kt = 0 ) yt = kt = g y Yt = Kt= n+ g (2.26)

Por lo tanto, el problema del modelo de Solow, es la exogenidad de g, que estanetamente relacionado, al modelo en si de crecimiento exógeno, y la exogenidadade �s, que esta enteramente relacionado, con la característica del modelo propiode Solow, pues como veremos en el siguiente Capítulo, en el modelo de Ram-sey Cass y Koopmas, esa tasa de ahorro, parte de un proceso de opmizaciónmicrofundada. Es ahí en donde queremos enfatizar, el hecho que en el modelode Solow, no se haya tomado procesos de optimización en la tasa de ahorro,no signi�ca que los agentes no optimizen16 , por lo tanto esto es el tema de lasiguiente sección, La Regla de Oro de la Acumulación.Una vez analizado, el comportamiento de las variables, vamos a de�nir el

equilibrio de largo plazo.14Pues la tasa de crecimiento del stock de capital percápita esta determinada por: kt =

g + ~kt15Para una mejor ilustración ver apéndice D16Al menos así lo planteo Phelps, en su famosa propuesta al modeo de Solow, llamado

Golden Rule.


De�nition 1 (De�nición). : Un eqilibrio de largo plazo, es un equilibrio enel que las variables percápitas, crecen a una tasa constante(Crecimiento Pro-porcionado, o crecimiento balanceado), es decir g 6= 0; o cuando las variablesprecápita se mantienen constantes(estado estacionario), osea g = 0. En elprimer caso el precio del factor trabajo, crece a una tasa constante y el pre-cio del factor capital se mantiene constante. En el segundo caso, ambos preciosse mantienen constantes.

Esto último, será demostrdo en la subsección 2.8, donde hablamos sobre losprecios de los factores, y su comportamineto de largo plazo.

2.2.6. Regla de Oro de la Acumulación

Como en el modelo de Solow, no se desarrolla un criterio de optimización,Phelps17(1961), propone, que los agentes en su proceso de consumo, buscaránmaximizar, su nivel de consumo, para lo cual tienen que elegir una tasa deahorro, que les permita pues maximizar su consumo, por lo tanto, calculemos elnivel de consumo, y maximizemos el consumo con respecto a la tasa de ahorro,que nos permita alcanzar The Golden Rule, y lo que obtendremos será:

C = Y � S (2.27)

Pasando atérminos percápita e�caz

~ct = ~yt � �s~yt (2.28)

en Estado estacionario:

~c�t = ~y�t � �s~y�t (2.29)

Y como sabemos de 2.8, del lado derecho

�s~y�t = (n+ g + �)~k�t (2.30)

Por lo tanto:

~c(�s)�t = f(

~k(�s)�t )� (n+ g + �)~k(�s)�t (2.31)

Ahora sí, optimizando el consumo respecto a la tasa de ahoro, obtenemos.

@~c(�s)�t@�s = (f 0(~k(�s)�t )� (n+ g + �)):

@~k(�s)�t

@�s

Debido a que @~k(�s)�t

@�s > 0 y como @~c(�s)�t@�s = 0; entonces:

f 0(~korot (�s)) = �t(~korot (�s))��1 = n+ g + � (2.32)

Por lo tanto, de 2.16

17Recibio el premio novel por su aporte a la teoría del crecimineto.


~korot (�s) = [n+ g + �

�]

1��1 = [

n+ g + �

�s]

1��1 (2.33)

Es entonces que el agente maximizará su consumo cuando la tasa de ahor-ro(propensión marginal al ahorrar), sea igual que la participación del capital enla producción, o lo mismo que es la elasticidad producto capital(�), dandonosun stock de capital percápita e�caz oro en el estado estacionario(~korot (�s)).

�s = � (2.34)

Obteniendo el siguiente grá�co de referencia:

Grá�co N�2;3 Nivel de tasa de ahorro de la regla de oro, que maximiza el consumo en el estado estacionario.

Fuente: Notas de clase de macroeconomia Avanzada, por Daron Acemoglu. MIT.Octubre 2008

Así, la regla de oro de Phelps, nos da la idea de maximización del consumo,como una previa al modelo de Ramsey Cass y Koopmas, claro solo una idea,pues en este último modelo mensionado, se toman criterios de optimización masfuertes(Microfundados). Así pues el consumidor, podrá elegir muchas tasas deahoro, que lo llevarán a distintos estados estacionarios, pero el que maximizarásu consumo solo es el de The Golden Rule, tal como se aprecia en el grá�co 2.4,vemos tres tipos d estado estacionario, osea tres tipos de ahorro pero solo el dela regla de oro maximiza su consumo, los otros dos son menores a el.


~corot > ~c1t > ~c2t

Grá�co N�2;4: Consumo de la regla de ahorro.

Fuente: Elaboracin Propia

2.2.7. Precios de Factores

Como sabemos, el pago al factor, es igual a su productividad, es decir:De la ecuación de Euler:

Yt =@Yt@Lt

:Lt +@Yt@Kt

:Kt (2.35)

Tenemos el precio del factor trabajo.

rt =@F (Kt; AtLt)

@Kt(2.36)

Expresado en términos de variables percápita, nos da:

rt =@Ltf(kt)

@Kt(2.37)

rt = Lt:@f(kt)

@kt:@kt@Kt

(2.38)


Donde ahora podemos obtener que la tasa de rendimiento del capital percápita,va a ser igual a la productividad marginal del capital percápita

rt = f0(kt) (2.39)

rt =@ALtf(~kt)

@Kt(2.40)

rt = AtLt:@f(~kt)

@~kt:@~kt@Kt

(2.41)

Aquí, nuevamente volvemos a las mismas conclusiones, por lo tanto podemosa�rmar, que la tasa de rendimiento del capital, en niveles, en terminos percápitay en terminos percápita e�caz, va a ser igual a la productividad marginal delstock de capital en niveles, precápita y percápita e�caz, respectivamente.

rt = f0(~kt) (2.42)

wt =@F (Kt; AtLt)

@Lt(2.43)

wt =@Ltf(kt)

@Lt(2.44)

wt = f(kt) + Lt:@f(kt)

@Lt(2.45)


@kt:@kt@Lt

(2.46)


@kt:(�ktLt) (2.47)

Aquí podemos ver que el salario, o precio del factor trabajo, va a ser igual a laproducción percápita, menos el los bene�cios percápita, es decir, el precio delcapital, medido como la tasa de rendimiento del midmo, por el capital percápita.

wt = f(kt)� f 0(kt):kt (2.48)

wt =@AtLtf(~kt)

@Lt(2.49)

wt = Atf(~kt) +AtLt:@f(~kt)

@Lt(2.50)


@~kt:@~kt@Lt

(2.51)


@~kt:(�~ktLt) (2.52)


Por último aquí tenemos el salario en terminos de e�cacia, que es igual nueva-mente al nivel de producción en términos percápita e�caz, menos los bene�ciosen términos percápita e�caz.

wt = At(f(~kt)� f 0(~kt):~kt) (2.53)

~wt = f(~kt)� f 0(~kt):~kt

Por el teorema de Taylor:(m < 1)

m:f(~kt) = f0(~kt):~kt (2.54)

wt = (1�m)f(~kt)At (2.55)

Por lo que podemos decir que el salario es creciente en ~ktDespues de haber analizado las ecuaciones, podemos analizar la de�nición

de equlibrio de largo plazo, que se enuncio en la subsección, 2.2.5, pues cuandolas variables percápitas crecen a una tasa constante, el precio del factor trabajo,crece a una tasa constante, tal y cmo podemos observar en 2.53, ahí pues elsalario va estar creciendo a la misma tasa que la tecnología, osea a una tasaconstante, tal y como lo dice el enunciado, y para el precio del factor capital, dela ecuación [2.42] vemos que es igual a un valor constante del stock de capitalpercápita e�caz en el estado estacionario, osea estado estable o creciminetobalanceado del stock de capital percápita, tal y como mensiona la de�nición.Para en segundo caso, en donde las variables en término percápita, alcanzan elestado estacionario, es decir g = 0; podemos ver la ecuación 2.48, para el casodel factor trabajo, ahí podemos ver que el salario es una porción constante delstock de capital percápita en estado estacionario, que es constante, por lo queentonces el salario se mantiene constante lo mismo sucede para el caso del factorCapital, tal y como podemos apreciar de la ecuación 2.39 . Así entonces quedademostrado lo que se anunció en la de�nición de la subsección 2.2.5.

2.2.8. Residuo de Solow

El residuo de solow nos ermitirá analizar en primer lugar, los factores queexplican el crecimiento del PBI , tanto en niveles, como en términos percápita,a este parte del modelo de Solow, se le suele denominar la contabilidad delcrecimiento. Robert (Bob Solow) en 1957, propone que la función de produccióny el progreso tecnológico formalizan las fuentes del crecimiento y plantea lacontabilidad del crecimiento.Para este caso, vamos a suponer una función de producción tipo Cobb- Dou-

glas, con progreso tecnológico neutral a lo Hicks, osea:

Yt = AtK�t L

1��t (2.56)

Tomando logaritmos a las variables.

LnYt = LnAt + �LnKt + (1� �)LnLt (2.57)


Derivando en ambos lados.

@LnYt = @LnAt + �@LnKt + (1� �)@LnLt (2.58)

Así obtenemos la expresión en función de tasas de crecimiento

Yt = At+ � Kt

+ (1� �) Lt (2.59)

De la ecuación 2.59 podemos darnos una idea del residuo de Solow, si despe-jaramos At

, pero para una mejor interpretación, analizemos, mejor en términospercápita:

Yt � Lt = At+ � Kt

� � Lt (2.60)

yt = At+ � kt (2.61)

Despejando At, obtenemos el residuo de Solow:

Residuo de Solow ! At= yt � � kt (2.62)

Entonces el residuo de solow representa a los otros factores que pueden in-cidir en el crecimiento, por ejemplo educación o progreso técnico. Pero sobreeste contexto, para explicar el porcentaje que no es explicado por factores pro-ductivos, representamos en la ecuación 2.63

At

yt= 1� �

kt yt

(2.63)

Eso fue la primer versión del residuo de solow que se planteo en la explicaciónde la contabilidad del crecimiento, pero Hsleg, en 1992, planteo una versión delresiduo de Solow mas moderna, dentro del contexto que lo llamo .El enfoquedual de la contabilidad del crecimiento", para el cual se parte de los mismossupuestos que del que planteó Solow, pero ahora se partiría de la condición:

Yt =Wt +Bt (2.64)

Yt = wtLt + rtKt (2.65)

Aplicando una diferencial total

dYtdt

= wtdLtdt

+ rtdKt

dt+ Lt

dwtdt

+Ktdrtdt

(2.66)

Los dividimos ahora entre Yt

_YtYt= _Lt

wtYt+ _Kt

rtYt+ _wt

LtYt+ _rt

Kt

Yt(2.67)

Y en el lado derecho acomodamos la ecuación de la siguiente manera:


_YtYt=_LtLt

wtLtYt

+_Kt

Kt

rtKt

Yt+_wtwt

wtLtYt

+_rtrt

rtKt

Yt(2.68)

quedandonos de la siguiente manera:

Yt = (1� �) Lt + (1� �) wt + � Kt+ � rt (2.69)

Ordenando de la misma manera que se ordenó en la ecuación 2.60, obtenemos�nalmente el nuevo residuo de solow:

Residuo de Solow ! At= yt � � kt = (1� �) wt � � rt (2.70)

2.2.9. Convergencia

El tema de la convergencia, ha sido punto de partida para el análisis y dis-cución del comportamiento de las principales variables de actividad económicaentre los paises, pues especialmente en estas últimas dos décadas, muchos deellos, han crecido desigualmente, y cireta parte de paises, a los que ahora lla-mamos desarrollados, han crecido, de cierta manera parecida, tal y como semostró en el capítulo de Hechos estilizados.

Solow al proponer esta teoría, proponía que los paises que tengan similartecnología y especi�cación paramétrica18 , convergerán al mismo nivel de ingresopercápita, sin importar el stock de capital inicial que poséan, pues aquí va atallar la velocidad de convergencia, y el tiempo que se demora en llegar a laconvergencia. Pero esta a�rmación no fue del todo cierta, pues había hechosempíricos que demostraban lo contrario, tal y como se muestra en grá�co N�2;5

18Especi�cación paramétrica hace referencia a la tasa de ahorro, tasa de crecimineto de lapoblación, y tasa de crecimiento del conocimiento.


Grá�co N�2;5: Evolución del ingreso percápita 1960-2000

Fuente: Notas de clase de macroeconomia Avanzada, por Daron Acemoglu. MIT.Octubre 2008

Es apartir de ahí que nace la hipotesis de la convergencia Absoluta, y laconvergencia relativa.

Convergencia Absoluta

Se da cuando en un mundo con iguales equilibrios de largo plazo los paisespobres crecen mas rápido que los paises ricos, pues todos los paises convergena un mismo nivel de ingreso percápita. Actualmente no se dá una convergenciaabsoluta, entre paises pues ahora se da la existencia de clubes de paises, el cualencaja en la convergencia relativa.

Convergencia Relativa

Este tipo de convergencia se dá cuando la tasa de crecimiento de un pais estáinversamente relacionado con la distancia que se ubica de su propio equilibriode largo plazo, es decir cuando un grupo de paises convergen a un mismo nivelde ingreso percápita, pero solo un grupo de paises, y no todos, pues su equilibriode largo plazo dependen de los parametros del modelo que son especí�cos para


cada país. Para ver un claro ejemplo de la convergencia condicional, ver grá�coN�2;6

Grá�co N�2;6: Evolución del PBI percápita por grupos de paises 1820-2000

Fuente: Notas de clase de macroeconomia Avanzada, por Daron Acemoglu.MIT. Octubre 2008

Otro tema de vital importancia para el estudio de la convergencia, es uno,la velocidad de convergencia, y otro el tiempo que demora un país en llegar asu equilibrio de largo. Es allí donde vamos a enfatizar con la formulación de lassiguientes ecuaciones.De la ecuación 2.14, llegamos a:

~kt+1 =�s~k�t

(1 + g + n)+

(1� �)~kt(1 + g + n)

(2.71)

Es ahí que nos preguntamos ¿Como calculamos el tiempo en que se demorallegar a su equlibrio de largo plazo?. Para responder esta pregunta utilizaremosla log-linealización19 .

19La log- linealización es una tecnica para linealizar sistemas no lineales, en el que se utilizalogaritmos naturales y la aproximacion a un estado estacionario, mediante la expansión deTaylor, para ver mejor esto, ver un resumen en el apéndice E


De la ecuación 2.71, pasando a términos Log- Lineales.

~k�t ekt+1 =

�s

(1 + g + n)(~k�t )

�e�kt +(1� �)

(1 + g + n)~k�t e

kt (2.72)

Donde:~k�t : Stock de capital percápita e�caz en el estado estacionario.

kt =~kt�~k�t~k�t

: Log- desviación del stock de capital percápita e�caz.

ekt+1 =�s

(1 + g + n)(~k�t )

�(1��)e�kt +(1� �)

(1 + g + n)ekt (2.73)

Expandiendo por taylor y reepmplazando la ecuación 2.16 en la 2.73:

1 + kt+1 =(n+ g + �)

(1 + g + n)(1 + �kt) +

(1� �)(1 + g + n)

(1 + kt) (2.74)

Despejando, el valor de kt+1 :

kt+1 = kt((1� �) + �(n+ g + �)

(1 + g + n)) (2.75)

kt+1 � kt = �((1� �)(n+ g + �)

(1 + g + n))kt (2.76)

Es de esta ecuación que vamos a determinar la tasa de convergencia, es poreso que para simpli�car escribiremos la ecuación 2.76, como;

kt+1 � kt = ��kt (2.77)

Donde -�; es la tasa de convergencia, o tasa de aceleración, o la velocidadcon la que llega a su valor de equilibrio a largo plazo.Ahora solo nos falta determinar el tiempo con el que llegará a su equilibrio

de largo plazo, por lo tanto para determinar ese tiempo, de la ecuación 2.77,podemos escribir como:

kt+1 = (1� �)kt (2.78)

Resolviendo la ecuación en diferencia:

kt = (1� �)tk0 (2.79)

De donde despejando el tiempo:

t =Lnkt � Lnk0Ln(1� �) (2.80)

Es así entonces que se calcula el tiempo en que se demora el stock de capitalpercápita e�caz en llegar a su valor de equilibrio de largo plazo.

2.3. APLICACIÓN EN MATLAB 31

2.3. Aplicación en MatLab

Para la aplicación en MatLab, trabajaremos con estos codigos, creados porlos autores de esta Nota de Clase20 , en el cual presentaremos Tres partes,la primera, el código y su explicación21 , La segunda parte, explicaremos ymostraremos los resultados arrojados por el MatLab, y tercero, mostraremosun aplicativo, en GUIDE22 , de este modelo, para su mejor explicación23 , Conreferente al código, este se realizo, solo tomando en consideración el trabajoen variables percápitas, para un simple entendimiento, en caso que se quieracomplicar un poco mas el código, el estudiante estará en la facultad de podermodi�carlo, pues su capacidad le permite, por haber llevado el curso introduc-torio de MatLab en el verano 2009, con rerencia a la segunda parte, son elresultado qu el MatLab nos arrojará y que son consistentes con la teoría pues asimple vista el primer grá�co es el mismo que se trabajó en clase. Y con respectoal aplicativo GUIDE en MatLab, el cual será explicado en un nivel avanzado delTaller de MatLab, tambien nos muestra los resultados, pero con la diferenciaque ahora nosotros insertamos los valores desde una nueva ventana, en el cualcomo ya se diseño, no es necesario saber programar en MatLab.

2.3.1. Codigo: Solow.m

En esta parte vamos a presentar la lógica del modelo, así como por ejemploel desarrollo del código mediante diagramas de �ujo que son presentados en elapéndice G. Para la elaboración de este código, se tomó en consideración traba-jar solo con variables percápita, para el cual se calculó su estado estacionario, taly como muestra el grá�co que exponemos en la segunda parte de la aplicaciónMatLab, en el que presentamos y explicamos los resultados. A continuación, pro-cedamos a describir, en que consiste el código. Primero, se introdujo, los valorescalibrados para el caso peruano, depues se colocó las semillas de las principalesvariables que servirán para construir las sendas, tanto de tecnología, de Capital,de Producción y por último de consumo. atravez de dos bucles for, que lo quehace es partir de una semilla que previamente establecimos; el primero de losbucles, construye las cuatros sendas antes mensionadas, a travez de un procesorepetitivo, construyendo uno a uno las veces que se le establece en la condición,hasta alcanzar el máximo establecido, así pasa a elaborar los grá�cos que se lepide a continuación, el cual será consistente con lo mostrado en la parte teóri-ca de este modelo; las grá�cas serán grá�cadas mediante los comandos Plot ySub Plot. El segundo bucle, nos calcula la trayectoria de comportamiento delResiduo de Solow, atraves de la creción de la senda, una vez mas a travez deun proceso repetitivo, para luego una vez más pedirle que nos gra�que la senda

20Agradecemos a Miguel Ataurima por la revición y sus concejos para la creación del código.21Aquí se explicará la lógica del modelo, atraves de diagramas de �ujo, y la bondad del

MatLab en su uso para simpli�car pasos y tiempo, en su cálculo22GUIDE: Gra�c User Interface Development Eviromental.23Este GUIDE será explicado en clase conjunto con estas notas de clase, para poder entender

mejor el aplicativo.


del residuo de Solow y la senda de Consumo, mediante los comandos Plot y Subplot, que en este caso se le establecerá el orden de la casilla que irá cada grá�codentro de la �gura. En el caso del resultado mostrado, que se expone en la sigu-iente subsección, solo se presenta los principales grá�cos, pero si quisieramos verlas trayectorias de todas las variables trabajadas para la elaboración del mode-lo, solo basta con que despues de correr el programa solow.m, diguitemos en laventana de comando, whos(>>whos), y nos arrojará todas las características delas variables que se han elaborado, y que han sido guardados en el Workspace,pudiendo así visualizar toda la secuencia de valores de las trayectorias corre-spondientes, con solo darle doble click sobre el nombre de la variables en elWorkspace.A continución se presenta el código elaborado, para este curso.

%Aplicación del modelo de Solow- IDES24-UNMSM%Creado por Elias Sanchez, Cristian Maraví y Victor Cardenas

%==================================================================%Calibracióndelta=0.1;alpha=0.2;n=0.08;z=(1+n)-1;s=0.6;T=150;kt(1)=0.003;At(1)=1;y(1)=At(1)*kt(1)âlpha;%Creación de las sendasfor a=2:T

At(a)=At(a-1);kt=((1-delta)*kt(a-1)+s*y(a-1))/(1+z);y(a)=At(a)*kt(a)âlpha;

consumo(a)=(1-s)*y(a);endsubplot(3,1,1), plot(kt,y,�g�,kt,s*y,�r�,kt,(delta+z)*kt,�b�)title(�Modelo de solow�);% RESIDUO DE SOLOW% De yt=At*ktâlphag_residuo_solow(1)=0;for i=2:T

residuo_solow(i)=log(y(i))-log(y(i-1))-...alpha*(log(kt(i))-log(kt(i-1)));

g_residuo_solow(i)=residuo_solow(i)+...g_residuo_solow(i-1);end

24Grupo de estudios: Investigación para el Desarrollo Económico Social.


subplot(3,1,2), plot(1:T,g_residuo_solow(1:T),�b�)

title(�Residuo de solow�)

subplot(3,1,3), plot(1:T,consumo(1:T),�magenta�)

title(�Senda de consumo�)

2.3.2. Resultados de Solow.m

Despues de guardar el código elaborado en la subsección anterior comoSolow.m en un M-�le, el siguiente paso es ejecutarlo desde la ventana de co-mandos(Comand Window), escribiendo el nombre del código fuente, para asíejecutarlo, así el MatLab, me mostrará el siguiente resultado.

.

Pasos:

1. Abrir, un archivo M-�le, donde se digitará el código fuente(solow.m) quepodemos obtenerlo con solo digitar en la ventana de comandos: edit

>>edit

2. Digitar el código en un archivo M-�le, y guardarlo, con el nombre solow.m25 .

3. Para hacer correr el programa, llamando al código solow.m, solo hay quedigitar el nombre del código solow, en el Comand Window.

>>solow

Y el resultado que nos arrojará inmediatamente el MatLab es:

25Hay que tener mucho cuidado con digitar letras mayusculas y minusculas, que para elMatLab son diferentes.


Grá�co N�2;7 Resultados de Solow.m

En donde en el primer grá�co, podemos apreciar, el mismo que se trabajopara el modelo en la parte del desarrollo teórico, el segundo grá�co, nos muestrael famoso residuo de solow, que se explicó tambien en la parte teórica, el cualexplica algunos argumentos del ingreso que no son explicados por factores pro-ductivos, y que en esta grá�ca es estacionario, es decir se desarrolla al rededorde una media con una varianza constante. El tercer grá�co nos muestra la sen-da de consumo, el cual como podemos apreciar es cóncava, y nos muestra quedespues de un proceso, llega a su valor de estado estacionario.

2.3.3. Aplicativo GUIDE

Para este Caso, vamos a presentar un Caso comparativo, entre la Economíaperuana, y la economía China, simulando para ambos, el cual es mostrado en


en seguida:

Grá�coN�2;8: GUIDE para el modelo de Solow

Como se puede apreciar en la aplicación de este GUIDE, se ha elaboradoun código mucho mas complicado, en el que se ha elaborado especí�camentepara comparar la economía china, y la economía Peruana, y tal como podemosobservar, solo se le há cambiado un parámetro, el cual como se explico en desar-rollo teórico del modelo, no habrá convergencia entre dos paises que no tenganla misma especi�ación paramétrica, así en esta aplicación solo se ha presentado,haciendo una sola modi�cación, el alumno de este curso, ya con el programa enmanos podrá hacer muchos cambios, y se le pedira que reporte un informe sobrelos resultados, contrastando con la teoría explicada en esta nota de clase y enclases propiamente dicho.

Capítulo 3

Modelo de Ramsey Cass yKoopmans

3.1. Introducción

En el modelo de solow se supuso que las familias, ahorran una fracción con-stante y exógena, de su renta, �s al cual tambien llamamos propensión marginala ahorrar. Sin embargo al asumir a esta tasa como constante y exógena dadaestá sujeto al igual que los modelos macroeconómicos tradicionales, a la críti-ca de Lucas(1976), este problema no es mas que uno de los muchos problemasque se encontraron en este modelo, pues acontinuación los vamos enumerar,pero separandolos en dos grupos, a los que vamos a llamar como errores a nivelmetodológico, y errores a nivel de resultados.Errores a nivel metodológico:

1. Para el modelo de Solow, no se modela a las familias, como agentes quetoman decisiones racionales, basadas en condiciones de otimización.

2. Pero para modelar el consumo, lo hace de claro estilo Keynesiano, es decirque el consumo forma una parte constante de la renta, �c al que llamamospropension marginal al consumir, que es lo mismo que uno menos la tasade ahorro. Di�cilmente la tasa de ahorro es un parámetro estructural,independiente de las expectativas de los agentes y las políticas guberna-mentales. Los únicos parametros estructurales que se considerarán parael modelo de Ramsey Cass y Koopmans, son aquellos que describen laspreferencias de los agentes y las tecnologías a la que tienen acceso.

Es por eso que se propone el modelo Neoclásico de Ramsey Cass y Koopmans,el cual corrige estos errores endogenizando la tasa de ahorro, es decir considerarque la decisión de ahorro está determinada como parte del equilibrio, y de unproceso de optimización. En otras palabras el primer paso para construir la

37

38 CAPÍTULO 3. MODELO DE RAMSEY CASS Y KOOPMANS

teoría macroeconómica es partir de fundamentos microeconómicos, o lo queconocemos como microfundamentos.Errores a nivel de resultados:

1. El crecimiento del PBI está determinado por factores exógenos.

2. El crecimiento tecnológico es exógeno, es decir no hay nada que lo deter-mine dentro del modelo.

Es por eso, que se proponen modelos de crecimineto endógeno, que se desar-rollarán en la segunda parte de este curso.Es así que partiendo de esos errores ya mensionados, el modelo de Ramsey

Cass y Koopmans, que será estudiado por esta sección, propondrá un desarrollobastante fundamental, pues este modelo es base para el desarrollo de la teoría delas �uctuaciones económicas y demas teorías macroeconómicas que contenganequilibrio general.Este modelo fue planteado primeramente por Ramsey, quien lo desarrollo

inicialmente en 19281 , el cual luego fue modi�cado y reeplanteado en tempo dis-creto, por las bondades económicas que este tiene, tal y como explicamos anteri-ormente, por Cass(1965) y Koopmans(1965), para despues ser reeplanteado peroesta vez agregandole incertidumbre(estocasidad) por Brock y Mirman(1972), ypor último haberle agregado, dinero, por Brock(1974).

3.2. Desarrollo Teórico

3.2.1. Supuestos del Modelo

Economía cerrada

Se debe cumplir en todo momento, que:

St = It (3.1)

Consumidores Optimizadores

Para el caso de los consumidores, tal y como desarrollaremos mas adelante,en las familias, se cumplirá:

V = m�ax1Xp=t

�p�tU(Ct) (3.2)

1Ramsey fue un famoso �lósofo y matemático de Cambridge, que murió en 1930, cuandotenía apenas 26 años, El modelo que en la actualidad lleva su nombre se desarrollo inicialmenteen tiempo discreto, y para la solución centralizada, el propuso la famosa teoría conocida hoycomo el del maximo de pontriagin, o como la teoría del contro óptimo, pero lo sorprendentesobre la genialidad de Ramsey, es que el desarrollo esta teoría cuando Pontriagin, aún no lohabía planteado, es decir se adelanto a una teoría que revoluciono la optimización. Es poreso que muchos nos preguntamos ¿Que hubiera sido de la teoría económica si hubiese vividomuchos años?.


Función de Producción Neoclásica

Yt = F (Kt; AtLt) (3.3)

Yt = K�t (AtLt)

1�� (3.4)

Función de Evolución del Capital

Se va a suponer el mismo que se propuso para el modelo de Solow

Kt+1 = (1� �)Kt + I (3.5)

Restricción de Agregación

En todo momento de cumple que lo que las empresas producen, una partelas familias lo consumen y otra parte lo invierten, o ahorran, que es lo mismosegun el primer supuesto; que va a ser el mismo que se supuso para el modelode Solow.

Yt = Ct + It (3.6)

Variables percápita e�caz

Para el desarrollo de este modelo volveremos a trabajar, con variables precápi-ta e�caz, es decir, a todas las variables se les dividirá entre la multiplicación,del factor trabajo, con la tecnología. En la que presentarán tasas de crecimientoiguales a:

Lt+1Lt

= 1 + n;At+1At

= 1 + g (3.7)

Perfect Foresight

En este modelo no incluiremos incertidumbre, por lo que trabajaremos conagentes que tinen clarividencia, o predicción perfecta sobre el futuro.

3.2.2. Modelo Base

Este modelo de crecimiento óptimo parte por un camino distinto al an-terior(Modelo de Solow), pues antes habíamos supuesto que las familias, sonproductoras, y consumidoras, a la vez, ahora, los supuestos son más estrictos, ymás acordes con los criterio neoclásicos, pues vamos a suponer que las familiasson propietarias de los factores productivos y de la riqueza, incluyendo el capitalde la empresa, alquilandolos a las empresas, para que estas producen un unicobien, que será utilizado, o para consumo, o como bien de capital, que vendena las familias, para que estas consumen o ahorren, para luego este ahorro sematerialize instantaneamente en la adquisición de capital, que se presta a las


empresas. Esta es la lógica que seguiremos para el desarrollo de este modelo, yapartir de estas, sacer concluciones de los resultados.Para el desarrollo de este modelo, tal y como ya se mensionó, vamos a supon-

er la existencia de dos grupos, primero, a las familias, optimizadoras de bien-estar; segundo a la empresa, maximizadora de bene�cios. La interelación entreellas(Empresas y Familias), puede llevarse a cabo, bajo equlibrio general com-petitivo, o bajo el esquema de un plani�cador social, o dictador benevolente,como otros conocen; quien tomará a cargo la maximización de la utilidad de lasfamilias y el bene�cio de las empresas; llevandonos a los mismos resultados quesi se considerasen, a las familias y las empresas tomando decisiones por sepa-rado, intercambiando, bienes y factores en un mercado competitivo2 . En estasnotas de clase expondremos la diferencia que existe entre ambos métodos desolución del modelo para el cual presentamos el suigiente analisis comparativo.

Equilibrio General Competitivo(EGC)

La asignación de recursos en la economía se realiza vía mercado.Los precios se determinan vía interacción entre la oferta y la demanda.Dados los precios, los agentes deciden, cuanto ahorrar, cuanto consumir,

cuanto producir, etc.Si los mercados son completamente competitivos (competencia perfec-

ta), entonces resulta que el equilibrio es pareto e�ciente. Es decir se cumple elprimer teorema del bienestar.

Plani�cador Social

Los mercados competitivos, presentdos en el EGC, son una intelequia,pues la realidad económica, los mercados son inperfectos, y estan sujetos a dis-torciones, que no hace que no se cumpla el primer teorema del bienestar.

Pero para el largo plazo, si se dá una existencia de un EGC3 , en el cualse cumplirá el primer teorema del bienestar, y el equilibrio será pareto e�ciente.

El cálculo se hará asumiendo que el plani�cador social, optimiza laspreferencias de la sociedad, sujeto a la existencia de recursos existentes.

Entonces en efecto, el hecho de teorizar una realidad sabiendo que es total-mente irreal, no necesariamente es por que querramos describir la realidad, sinoutilizar este modelo como un marco de referencia, para comparar, condicionesideales, con condiciones más reales y así poder abstraer situciones de la realidadrespecto al ideal, proponiendo a este como el óptimo, así cualquier desvío delideal, se dira que estamos fuera del óptimo, osea en una situación ine�ciente,tal es el caso de los monopolios, y las distintas fallas de mercado que existe enla realidad económica.

2Esto podrá encontrar en Blanchard y Fisher, 1989, capítulo 2). Se re�ere al primer teoremadel bienestar: una economía con mercados competitivos y perfectos sin externalidades y conun número �nito de agentes, el equilibrio descentralizado(Equilibrio Walrasiano) es un óptimoParetiano.

3Esta propuesta es muy similar a la que plantean los NeoKeynesianos


3.2.3. Las Familias

Las familias determinan la senda óptima de consumo, pues su objetivo esla maximización, de su utilidad a lo largo de su ciclo de vida, es decir maxi-mizando el valor presente de su función de utilidad, sujeto a una restricciónpresupuestaria.Maximizar:

U =1Xp=t

�p�tU(Ct) (3.8)

Donde:� : Factor de descuento intertemporal, donde asumiremos como constante,

ademas, � = 11+�

� : Tasa de impaciencia.U : Función de utilidad intertemporal.Las familias en el modelo de Ramsey, son propietarias de las empresas,

atravez de acciones, ademas proveen de trabajo a cambio de salarios, y recibenintereses, por el capital que poseen y que emprestan a las empresas, pero esatasa de rentabilidad, no va aser igual a la productividad marginal del capitalque usan las empresas, sinó va a ser igual a esa productividad marginal, menosla depreciación del capital, esto será demostrado mas adelante. El �ujo de re-stricción presupuestaria está dado por:

Ct + St+1 = wLt +RtSt +�t (3.9)

Como podemos apreciar el siguiente �ujo de restricción presupuestaria, im-plica que todas las entradas de ingreso, tienen que ser igual a las salidas deingreso, por ejemplo por el lado de la entrada de ingreso, está determinada, porel salario que recibe a cambio de su trabajo, mas la rentabilidad de su capi-tal que recibe de las empresas, por haberles prestado y mas el bene�cio puesson propietarias de la empresa, pero como vamos a mostrar mas adelante, estosbene�cios serán cero. Por el lado de la salida de ingreso, tenemos que es igual ala suma entre el consumo que gasta, y el ahorro, para el siguiente periodo.Pero como ya adelantamos en nuestros supuestos, se trabajará con variables

percápita e�caz4 , para el cual a todo dividiremos entre AtLtPor lo que la restricción quedará expresado de la siguiente manera:

~ct +St+1

At+1Lt+1

At+1At

Lt+1Lt

=w

At

LtLt+Rt

StAtLt

(3.10)

~ct + ~st+1(1 + g + n) =w

At+Rt~st (3.11)

Y el problema de la familia queda expresada de la siguiente manera:

4En el caso del consumo, que es ~ct = CtAtLt

; se hace con el fín de quitarle el componentetendencial al consumo.


Vt = m�ax1Xp=t

�p�tU(~ct) (3.12)

sujeto a : (3.13)

~ct + ~st+1(1 + g + n) =w

At+Rt~st (3.14)

Que será resuelta mediante Programación dinámica5 , para el cual usaremosla ecuación de Bellman

Vt = m�ax fU(~ct) + �Vt+1g (3.15)

Ahora reconoscamos nuestras variables de estado y nuestras variables decontrol.Variables de estado: fwt; Rt; ~stgVariables de control : f~st+1; ~ctgAplicamos las Condiciones de Primer Orden(CPO)

@Vt@~st+1

= �U~c(~ct):(1 + n+ g) + �@Vt+1@~st+1

= 0 (3.16)

Aplicando el teorema de la envolvente6 :

Efecto Total = Efecto directo+ Efecto indirecto

Para el caso del teorema de la envolvente, solo considera efectos directos yno los indirectos, por la tanto:

@Vt@~st

= U~c(~ct):Rt + 0 (3.17)

Por lo tanto la ecuación 3.16, quedará de la siguiente manera:

(1 + n+ g)U~c(~ct) = �U~c(~ct+1)Rt+1 (3.18)

Esta famosa ecuación es conocida como la ecuación de Euler.Ahora vamos a asumir una función de Utilidad explícita con aversión al

riesgo, o de elasticidad constante.

U(~ct) =(~ct)

1��

1� � (3.19)

Donde:5Para tener un concepto mas claro sobre programación dinámica, puede revisar varios

libros sobre optimización dinámica, por ejemplo para un analisis sencillo, revisar el libro deOptimización Dinámica y teoría económica, de Jose luis Bonifaz y Ruy Lama.Esta teoría se presenta como Resumen en el apéndice G.6Para una explicación mas detallada del teorema de la envolvente, ver apéndice G, dentro

de Programación dinámica.


� : Grado de aversión al riesgo.Por lo tanto la nueva ecuación de Euler, quedará expresado de la siguiente

manera:

(1 + n+ g)(~ct)�� = �(~ct+1)

��Rt+1 (3.20)

Ahora la ecuación que desribe la evolución del capital se recoge de la combi-nación de las ecuaciones 3.5 y 3.6, que parten de los supuestos de este modelo.

Kt+1 = (1� �)Kt + Yt � Ct (3.21)

Reeplazando la función de producción de la ecuación 3.3, que tambien partede los supuestos de este modelo.

Kt+1 = (1� �)Kt +K�t (AtLt)

1�� Ct (3.22)

Y como estamos trabajando con variables percápita e�caz, ahora a todo ledividimos entre AtLt

At+1At

Lt+1Lt

Kt+1

At+1Lt+1= (1� �) Kt

AtLt+

K�t

(AtLt)�(AtLt)

1��

(AtLt)1�� CtAtLt

(3.23)

Quedando �nalmente expresada de la siguiente manera:

(1 + n+ g)~kt+1 = (1� �)~kt + ~k�t � ~ct (3.24)

Por lo tanto un primer resultado se obtiene de resolver el sistema de ecua-ciones en diferencia formado por las ecuaciones ?? y 3.24, pero para poderresolver este sistema de ecuaciones en diferencia, vemos que en la ecuación 3.20,nos estorba la variable Rt+1; el cual es la rentabilidad del capital, que recibenlas familias por prestarles a las empresas, una primera pregunta es como yase mensiono en el inicio de este capítulo. ¿Será la tasa Rt+1; la misma que laproductividad marginal del kapital en las empresas?, la respuesta es no, puesesta tasa Rt+1; es igual a la productividad marginal del capital, representadapor R0t+1; mas uno, menos la depresiación. para poder demostrar esto, primeroexploremos y analisemos a las empresas, o �rmas.

3.2.4. Las Empresas

Las empresas en el modelo de Ramsey, tienen las mismas carácterísticas quelas empresas del modelo de Solow y Swan, pues como vimos, su comportamientoes bastante simple, en cada momento de tiempo, las empresas emplean determi-nadas cantidades de capital y trabajo, ademas pagan a sus factores de acuerdo asu productividad marginal, en el caso del factor trabajo, la producti�dad mar-ginal y por ende su pago está determinada por el salario(wt), y para el casodel capital, su productividad marginal y por ende su pago estará dado por surentabilidaden la empresa libre de dpresiación(R0t) para luego vender la pro-ducción obtenida, ahora tal y como se estudio en el modelo de Solow y Swan,


dado que la Función de Producción Neoclásica, presenta rendimientos a escalaconstante y que la economía es competitiva, los bene�cios que van a obtenervan a ser nulos.El problema de la �rma es:

m�ax�t = K�t (AtLt)

1�� R0tKt � wtLt (3.25)

Una vez mas pasamos a términos percápita e�caz, dividiendolo entre AtLt;quedandonos expresado:

m�ax ~�t = ~k�t �R0t~kt � ~wt (3.26)

El problema de la maximización de la empresa, es un problema de maxi-mización estática, pues, las empresas no almacenan nada, todo lo que gastan,es igual a lo que utilizan en el proceso de producción, de esta manera no habrárelación entre la producción de este periodo con otros.

@~�t

@~kt= �~k��1t �R0t = 0 (3.27)

Por lo tanto obtenemos:

R0t = �~k��1t (3.28)

Por lo tanto la renta que se paga por el factor capital, es igual a su produc-tividad.Entonces, una vez sabido que R0t = FK(Kt; AtLt) o sea:

R0t = f~k(~kt) (3.29)

Entonces:

wt = At(f(~kt)� ~ktf~k(~kt)) (3.30)

Por lo que simpli�cando obtenemos, el salario percápita e�caz, o salario porunidad de trabajo efectivo.

~wt = f(~kt)� ~ktf~k(~kt) (3.31)

3.2.5. El Equilibrio General Competitivo

El equilibrio general competitivo para esta economía es un conjunto de se-cuencias para las cantidades ~ct; ~st; ~yt; ~kt+1; y los precios wt y rtentonces de las condiciones halladas en las familias y las empresas, sacamos

las condiciones de equilibrio. Pero hasta ahora, solo hemos encontrado el valor deR0t; nos falta demostrar que la tasa de rentabilidad que se le paga a las familiases uno mas la tasa de rendimiento del capital, o la productividad marginal delcapital(R0t), menos la depreciación. A continuación pasaremos a demostrar loa�rmado:


Al preguntarnos ¿Rt = R0t?Para hallar una relación entre Rt y R0t; tenemos que partir de las siguientes

ecuaciones:

Ct + St+1 = wtLt +RtSt (3.32)

Kt+1 = (1� �)Kt + St (3.33)

Yt = Ct + St (3.34)

Como el � = 0; entonces

Yt = wtLt +R0tKt (3.35)

Aquí vamos a suponer que los mercados �nancieros son perfectos, es decirtodo lo que las familias ahorran, se van a formar en capital para la empresa,mediante la compra de acciones, no se va a aceptar la existencia de mermas.Por lo tanto de la ecuación 3.33 y 3.34, tenemos:

Kt+1 = (1� �)Kt + Yt � Ct (3.36)

Reemplazando la ecuación 3.35 en la ecuación 3.36, tenemos:

Kt+1 = (1� �)Kt + wtLt +R0tKt � Ct (3.37)

Kt+1 + Ct = (1� �)Kt + wtLt +R0tKt

Por lo tanto bajo el supuesto de mercados �nancieros perfectos, se llegará a:

St+1 + Ct = wtLt + (R0t + 1� �)St (3.38)

Entonces si igualamos la ecuación 3.38 y 3.32, entonces obtenemos:

Rt+1 = R0t+1 + 1� � (3.39)

Donde Rt; es una tasa bruta, e igual a 1 + rt; por lo tanto:

rt+1 = R0t+1 � � (3.40)

Este problema de tener diferentes tasas, obtenemos por trabajar con ahorro,y no con capital, para poder apreciar esto mejor, veremos en el caso de tra-bajar con un plani�cador social o dictador benevolente que se trabajará en lasiguiente subsección. Por ahora de�namos las condiciones de equilibrio generalcompetitivo, en las siguientes ecuaciones.Ecuación de Euler :

(1 + n+ g)(~ct)�� = �(~ct+1)

��(�~k��1t+1 + 1� �) (3.41)

Ecuación fundamental de evolución del capital:


(1 + n+ g)~kt+1 = (1� �)~kt + ~k�t � ~ct (3.42)

Estas dos ecuaciones, juntos conforman un sistema de ecuaciones en difer-encia, que puede solucionarse, pues se tiene como incógnitas, al capital(~kt) y alconsumo(~ct)

3.2.6. El Plani�cador Social

El plani�cador Social, o como muchos conoces, dictador benevolente, odéspota benévolo7 . Este plani�cador, busca maximizar, la utilidad de las familiasdado por 3.43, sujetos a las restricciones tecnológicas dadas por 3.44, así losresultados que obtendremos son considerados Pareto óptimas, en el sentido queno podemos aumentar el bienestar de las familias, sin reducir el de las empresas.Entonces el problema del plani�cador social es:Maximizar:

U =1Xp=t

�p�tU(~cp) (3.43)

Sujeto a:

(1 + n+ g)~kt+1 = (1� �)~kt + ~k�t � ~ct (3.44)

Este problema de optmización, nuevamente será resuelto mediante progra-mación dinámica, para el cual, planteamos la ecuación de Bellman en la ecuación3.45. Donde:Variables de estado:

n~kt; ~yt

oVariables de control:

n~ct; ~kt+1

oVt(~kt) = m�ax

~ct;~kt+1

nU(~ct) + �Vt+1(~kt+1)

o(3.45)

Ahora aplicando las condiciones de primer orden:

@Vt(~kt)

@~kt+1=@U(~ct)

@~ct

@~ct

@~kt+1+ �

@Vt+1(~kt+1)

@~kt+1= 0 (3.46)

(1 + n+ g)U~ct(~ct) = �@Vt+1(~kt+1)

@~kt+1(3.47)

Aplicando el teorema de la envolvente:


7En el libro de macroeconomía avanzada, tomo II de Agandoña, lo consideran así.


Para el caso del teorema de la envolvente, solo considera efectos directos yno los indirectos, por la tanto:

@Vt

@~kt= U~c(~ct):(1� � + �~k��1t ) + 0 (3.48)

Por lo tanto la ecuación 3.47, quedará de la siguiente manera:

(1 + n+ g)U~c(~ct) = �U~c(~ct+1)(1� � + �~k��1t+1 ) (3.49)

Esta famosa ecuación es conocida como la ecuación de Euler.Ahora, tambien vamos a asumir una función de Utilidad explícita con aver-

sión al riesgo, o de elasticidad constante, al igual que la ecuación 3.19Así la nueva ecuación de Euler, quedará expresado de la siguiente manera:

(1 + n+ g)(~ct)�� = �(~ct+1)

��(1� � + �~k��1t+1 ) (3.50)

Por lo tanto tal y como podemos ver lo que se ha resuelto, podemos decir quese ha demostrado lo mensionado, anteriormente, sobre que bajo equilibrio com-petitivo, se llega al mismo resultado, que bajo la existencia de un plani�cadorsocial. Así podemos obtener las mismas expresiones, tal y como se muestran enlas ecuaciones 3.51 y 3.52.Ecuación de Euler :

(1 + n+ g)(~ct)�� = �(~ct+1)

��(�~k��1t+1 + 1� �) (3.51)

Ecuación fundamental de evolución del capital:

(1 + n+ g)~kt+1 = (1� �)~kt + ~k�t � ~ct (3.52)

Por lo que nuevamente tenemos un sistema de ecuaciones en diferencia, alque tenemos que resolver, y para eso, primero tenemos que encontrar su valorde estado estacionario, que se presentará en la siguiente subsección.

3.2.7. Estado Estacionario

El estado estacionario, que se presenta en el apéndice E, se alcanza, cuandolas varibles en términos percápita e�caz, no crecen, sino se mantienen con-stantes, así para este modelo se alcanzará el estado estacionario, cuando se délas siguientes dos condiciones.

~c�t+1~c�t

= 1 (3.53)

�k�t+1 = 0 (3.54)

Por lo tanto reemplazando estas ecuaciones en la ecuación 3.51 y 3.52 obten-emos:

(1 + n+ g) = �(�~k��1t+1 + 1� �) (3.55)


De ahí que:

~k�t = (��

1 + n+ g � (1� �)� )1=1�� (3.56)

Donde ~k�t ; es el stock de capital percápita e�caz en el estado estacionario,

que hace posible, que se dea:~c�t+1~c�t

= 1

Entonces durante el antes y despues de la transición al equilibrio de largoplazo8 , se cumple una serie de condiciones, que son presentadas a continuación.

Si

8<:kt+1 > ~k

�t ! �~c�t < 0

kt+1 = ~k�t ! �~c�t = 0

kt+1 < ~k�t ! �~c�t > 0

9=;Y lo mismo sucede para el consumo de estado estacionario, si se cumple 3.54

en 3.52Arreglando la ecuación 3.52:

(1 + n+ g)�~kt+1 = ~k�t � (n+ g + �)~kt � ~ct (3.57)

y reemplazando la condición 3.54, se cumple que:

~c�t = (~k�t )

� � (n+ g + �)~k�t (3.58)

Donde ~c�t ; es el nivel de consumo percápita e�caz en el estadoestacionario, que hace posible, que se dea: �k�t+1 = 0Ademas se cumple al igual que para el stock de capital percápita e�caz, lo

siguiente:

Si

8<:~ct < ~c

�t ! �~k�t > 0

~ct = ~c�t ! �~k�t = 0

~ct > ~c�t ! �~k�t < 0

9=;Por lo que de estas relaciones, se puede concluir lo siguiente:

Si

8><>: ~c�t = 0 ! ~ct = g ! Ct = n+ g

~k�t= 0 !

~kt= g !

Kt= n+ g

~y�t = 0 ! ~yt = g ! Yt = n+ g

9>=>;Este resultado nos muestra que en estado estacionario de variables percápita

e�caz, las variables solo en términos percápitas, y en niveles, crecen a una tasaconstante9 , es decir, estan en un estado balanceado, de crecimineto proporciona-do.Por lo tanto a manera de resumen se obtienen las dos condiciones de estado

estacionario:

~k�t = (��

1 + n+ g � (1� �)� )1=1�� (3.59)

~c�t = (~k�t )

� � (n+ g + �)~k�t (3.60)

8Para recordar sobre el equilibrio de largo plazo, ver apendice E.9Constantes, pero diferentes, tanto para el grupo de variables percápita y las variables en

niveles.


Por lo tanto de la ecuación 3.59, obtenemos:

�(~k�t )��1 = f 0(~k�t ) =

1 + n+ g

�� (1� �) (3.61)

Puesto que f 0(~k�t ); es decreciente, podemos dedducir que existe un únicovalor de estock de capital percápita e�caz en el estado estacionario ~k�t : Por loque la tasa de ahorro, que es igual a la inversión, estará dada por:

~s�t =f(~k�t )� ~ctf(~k�t )

= (n+ g + �)(~k�t )1�� (3.62)

Que como podemos notar es la misma tasa de ahorro que del modelo desolow, pero en este caso es una tasa de ahorro endógena, y no una tasa deahorro exógena, conocida como la tasa de ahorro de la regla de oro modi�cadaque será tratada mas adelante.

3.2.8. Dinámica de transición

La dinámica de transición, nos va a permitir aproximar la solución del sis-tema10 , a un sistema lineal al rededor de (~k�t ; ~c

�t ), es decir como se comporta la

economía, cuando está esta cerca de su valor de estado estacionario.Aproximando 3.52, mediante la log- linalización, obtenemos:

(1 + n+ g)~k�t ekt+1 = (1� �)~k�t ekt + (~k�t )�e�kt � ~c�t ect (3.63)

Aproximando ahora por taylor, y dividiendo a todo entre ~k�:

(1 + n+ g)(1 + kt+1) = (1� �)(1 + kt) + (~k�t )��1(1 + �kt)�~c�t~k�(1 + ct) (3.64)

Ahora calculamos el estado estacionario y sus relaciones:De la ecuación 3.60:

(~k�t )��1 =

~c�t~k�t+ (n+ g + �) (3.65)

Reemplazamos en la ecuación 3.61 y obtenemos:

�(~c�t~k�t+ (n+ g + �)) =

1 + n+ g

�� (1� �) (3.66)

Por lo tanto reemplazando las ecuaciones 3.65 y 3.66 en la ecuación 3.64,obtenemos:

(1 + n+ g)kt+1 =(1 + n+ g)

�kt �

~c�t~k�tct (3.67)

10Mediante el método de aproximación de la log- linealización. Para eso puede ver apéndiceF


Luego log- linealizando, la ecuación 3.51, al rededor de su estado estacionarioy reemplazando la ecuación 3.61 en esta última, obtenemos:

(1 + n+ g)�(ct+1 � ct) = ��(1� �)(~k�t )��1kt+1 (3.68)

Por lo tanto, teniendo las ecuaciones 3.67 y 3.68, tenemos un sistema dedos ecuaciones con dos incógnitas, y una variable establecida, es decir un sis-tema con dos variables endógenas, y una variable predeterminada, por lo queesto nos induce a usar el método de los coe�cientes indeterminados, por lo queprimeramente, tenemos que de�nir a las variables:

Variables endógenas:nct; kt+1

oVariable predeterminada:

nkt

oPor lo tanto:

ct = f(kt) = n1kt (3.69)

kt+1 = f(kt) = n2kt

entonces:

ct+1 = n1n2kt (3.70)

Así si reemplazamos 3.69 y 3.70 en 3.67 y 3.68, obtenemos:

(1 + n+ g)n2kt =(1 + n+ g)

�kt �

~c�t~k�tn1kt (3.71)

(1 + n+ g)�n1(n2 � 1)kt = ��(1� �)(~k�t )��1n2kt (3.72)

Por lo que si intentamos resolve ese sistema, nos saldrá un resultado, bastanteoperativo, tal y como mostramos en las siguientes ecuaciones:Para el cálculo de n1; encontramos:

n1 =

�1 + n+ g

�� (1 + n+ g)n2

� ~k�t~c�t

(3.73)

Y para n2; obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado sin resolver:

~k�t~c�t(1 + n+ g)2�1(

1

�� n2)(n2 � 1) + (1� �)n2 � �(1� �)(1� �)n2 = 0 (3.74)

Tal y como podemos apreciar, este sistema de ecuaciones se torna di�cil deresolver, pero aquí solo nos importa saber, que los parámetros de preferenciasy tecnologías mapean a estos parámetros que resumen la dinámica del sistema:(�; �; �; n; g; �) ! n1; n2: Asi pues esos sistemas de ecuaciones, pueden ser re-suletos por algoritmos recusivos, o métodos numéricos, que mediante la ayudade un programa(MatLab), la solución se calculará facil y rápidamente. Esteprocedimiento se muestra en la aplicación de MatLab.


3.2.9. Regla de oro modi�cada

Como pudimos ver anteriormente en el capítulo 1, el modelo de solow, noracionaliza dinámicamente, por lo que lo convierte en un modelo ine�ciente,pues como pudimos ver reduciendo el stock de capital percápita e�caz, durantela transición, el bienestar de la economía podía ser aumentado atravez de mayorconsumo en el largo plazo, en cambio en este modelo de crecimiento neoclásico,el stock de capital percápita e�caz, con el que se llega al estado estacionario,siempre es menor, al de la regla de oro propuesto en el modelo de Solow, pueslos agentes valoran mas el consumo presente, que consumo futuro, por la tasade inpaciencia que se incluye en este modelo, y no en el modelo de Solow.Para poder comparar, veamos la tasa de rendimientos del capital, en ambos

modelos. en el modelo de Solow, la tasa de rendimiento del stock de capitalpercápita e�caz, que viene de la ecuación 2.32, es:

f 0(~korot (�s)) = n+ g + � (3.75)

Y el del modelo re Ramsey, Cass y Koopmans, que viene de la ecuación 3.61es:

f 0(~k�t ) =1 + n+ g

�� 1 + � (3.76)

Y como sabemos � < 1; comparando las ecuaciones 3.75 y 3.76, obtenemosque:

f 0(~k�t ) � f 0(~korot (�s)) (3.77)

Serán iguales cuando � = 1; es decir cuando la tasa de impaciencia delindividuo, sea cero, es decir no es impaciente, le da por igual consumo presente,o consumo futuro.De la ecuación 3.77, podemos concluir que como la productividad marginal

del capital e decrciente, entonces se cumple tambien que:

~k�t � ~korot (�s) (3.78)

Por lo tanto este ~k�t encontrado al resolver el problema del óptimo paretiano11

en el modelo de crecimiento neoclásico de Ramsey, Cass y Koopmans, se leconoce como Regla de oro modi�cada.Esta Regla de oro modi�cada, conjuntamente, con las condiciones de esta-

bilidad que se calcularon al rededor del estado estacionario, lo vamos a re�ejr elsiguiente grá�co que se construyo, a traves del diagrama de fase.

11Tal y como se desarrollo, el equlibrio del óptimo paretiano, se alcanza bajo un EGC, obajo la existencia de un plani�cador social, a esta equivalencia lo llamabamos como primerteorema del bienestar.


Grá�co N�3;1: Dinámica de transición em el modelo base de crecimiento neoclásico

Fuente: Notas de clase de macroeconomia Avanzada, por DaronAcemoglu. MIT. Octubre 2008

3.2.10. Aplicación simpli�cada

En esta parte vamos a ver a manera de resumen y con el �n de contrastartodo lo mensionado y desarrollado anteriormente, vamos a proponer supuestossimpli�cadores, que lo propuso:� � �, que presentaremos a continuación:� = 1� = 1El cual nos lleva a una función de utilidad Logarítmica12 :U = LnCPor lo tanto, recuperando las ecuaciones óptimas del modelo de Ramsey, Cass

y Koopmans, y aplicando estos supuestos simpli�cadores, en las ecuaciones 3.51y 3.52, obtenemos:

Ecuación de Euler:

(1 + n+ g)(~ct)�1 = �(~ct+1)

�1(�~k��1t+1 ) (3.79)

12En el caso general de: U(ct) =c1��t �11�� ; llevando al caso de � = 1; se torna indeterminado,

por lo que tenemos que aplicar limite, y la regla de L�Hospital.

l��m�!1

U(ct) = l��m�!1

c1��t �11�� = l��m

�!1c��t = c�1t

Por lo que podemos ver que esta primera derivada viene de una función de utilidad logarít-mica.


Ecuación fundamental de la acumulación del Capital

(1 + n+ g)~kt+1 = ~k�t � ~ct (3.80)

Ahora para simpli�car mas la resolución del modelo, vamos a siponer lo queya se presentó en la dinámica de transición, en la ecuación 3.69, pero ahora,dandole una forma más especí�ca a las variables endógenas:

~ct = f(~kt) = A~k�t (3.81)

~kt+1 = g(~kt) = B~k�t

Por lo tanto reemplazando 3.81 en 3.79:

1 + n+ g = �(~ct~ct+1

)(�~k��1t+1 ) (3.82)

Ahora reemplazando 3.81 en 3.80:

(1 + n+ g)~kt+1 = (1�A)~k�t (3.83)

Despejando ~kt+1 :

~kt+1 =(1�A)

(1 + n+ g)~k�t (3.84)

por lo tanto si comparamos 3.81 y 3.84, concluimos que:

B =(1�A)

(1 + n+ g)(3.85)

Ahora resolviendo de la ecuación 3.82:

1 + n+ g = �(A~k�t

A~k�t+1)(�~k��1t+1 ) (3.86)

Reemplazando la ecuación 3.81 en est última ecuación, obtenemos:

B =��

(1 + n+ g)(3.87)

Por lo tanto:

A = 1� �� (3.88)

De esta manera, podemos calcular los valores del ~ct y ~kt+1 :

~ct = (1� ��)~k�t (3.89)

~kt+1 = (��

1 + n+ g)~k�t (3.90)


Entonces el nivel de producción percápita e�caz será igual a:

~yt = ~k�t (3.91)

Y el nivel de ahorro, que es igual al nivel de inversión, será igual a:

~st = ��~k�t (3.92)

Por lo tanto de la ecuación 3.84, podemos clacular ~kt+1 :

~kt+1 =(��)

(1 + n+ g)~k�t (3.93)

Por lo que si lo resolvemos por Gauss Sidel, las sndas que se obtendrán, paraun periodo de 150 años será:

Grá�co N�3;2: Sendas de Capital, Producto, Consumo e Inversión.

Fuente: Elaboracin propia con MatLab

Por lo tanto podemos calcular la relación entre ~ct y ~kt+1; que estará dadopor:


~ct =(1� ��)(1 + n+ g)

��~kt+1 (3.94)

Por lo tanto, a partir de esta relación podemos hacer un análisis cualitativomediante un diagrama de fase similar al que presentamos en la �gura N�3;1

3.3. Aplicación en MatLab

3.3.1. Solución numérica del EGC

Tal y como vimos en la transición analítica, para resolver las ecuacionesplanteadas en 3.51 y 3.52, son difíciles de resolver, pues como se observó, quedanreducidas a las ecuaciones 3.73 y 3.74, que de por sí son de�ciles de resolver, esasí de di�ciles que para obtener una solución mas o menos reducidas, tuvimosque emplear supuestos simplicadores, tal y como se desarrollo en la aplicaciónsimpli�cada, que de no ser por esos supuestos, la resolución del sistema deecuaciones en diferencia, sería tedioso, y nos conformaríamos solo con el hechode obtener las expresiones cualitativas y soluciones analíticas para un limitadonumero de funciones del modelo. Es en esta di�cultad, que entra a tallar losmétodos numéricos, que lo que hacen es aproximar a una solución de equilibriocompetitivo, atravez de algoritmos de resolución, como el de Newton- Raphson,el método de la secante13 , y Gauss Siddel. Ya que estos algoritmos, nos permitanencontrar soluciones numéricas, nos permitirá encontrar la senda de las princi-pales variables del modelo tambien. Pero la debilidad es que si lo hacemos a manonos demoraríamos posiblemente una eternidad, especialmente si son procesos deconvergencia larga. Es por eso que esta nota de clase, plantea una solución conmétodos computacionales, como el caso de MatLab, que elaborando un códi-go de resolución de cualquiera de estos algorítmos, podremos obtener, no solola solución numérica14 , sinó las grá�cas de las principales sendas, tal y comopresentaremos en la parte de la construcción del código fuente, pero primerodesarrollemos en que consiste el método de Gauss Siddel.

El método de Gauss Siddel

Para encontrar la solución del modelo mediante este método, tenemos quedemostrar que el modelo que estamos analizando es globalmente estable15 , es

13Este método es utilizado en la aplicacion de MatLab, atravez de la creacion del códigoRamsey.m.14Un caso numérico es el estado estacionario del stock de capital percápita e�caz.15Esta demostración parte de hallar la tasa de ahorro de la economía, esta tasa es la fracción

de producto percápita e�caz, en el periodo t que es ahorrada como capital para mañana:

st =~kt+1~k�t

; y así ~yt = ~ct + ~kt+1; por lo tanto nuestra ecuación de euler de la ecuación 3.82

nos queda~k�t+1�~kt+2�(~k�t �~k+1)

=�~k��1t+1

1+n+g; por lo que hallando su estado estacionario (st = st+1 = s)

se obtiene un sistema de ecuaciones en diferencia con dos soluciones:s2 = (1 + ��

1+n+g)s+ ��

1+n+g


decir ~k0 > 0; así el valor del stock de capital percápita e�caz, tiende a su valor deestado estacionario ~k�; por esta razón tiene sentido usar al estado estacionariocomo una aproximación al comportamineto de largo plazo de una economía.De la ecuación 3.49, conocida como la ecuación de Euler, podemos expresar

en función del stock de capital percápita e�caz dentro de una ecuación en difer-encia de segundo orden reemplando el consumo como función de ~kt; atravaz dela ecuación fundamental de acumulación de capital, expresada en la ecuación3.52:

U0(~k�t � (1 + n+ g)~kt+1 + (1� �)~kt)

�U 0(~k�t+1 � (1 + n+ g)~kt+2 + (1� �)~kt+1)=(1� � + �~k��1t+1 )

(1 + n+ g)(3.95)

Que para resolverlo, reemplazamos la fuinción de utilidad expresada en laecuación 3.19, que podemos expresarlo de la siguiente manera:

(~k�t � (1 + n+ g)~kt+1 + (1� �)~kt)��

�(~k�t+1 � (1 + n+ g)~kt+2 + (1� �)~kt+1)��(1� � + �~k��1t+1 )

(1 + n+ g)= 0 (3.96)

En donde de manera general, podemos reescribir como:

(~kt; ~kt+1; ~kt+2) = 0 (3.97)

Entonces para calcular la trayectoria de todas las variables de interes, debe-mos partir por calcular primero la trayactoria del stock de capital percápitae�caz, en el cual necesitamos calcular dos valores como mínimo16 , uno de elloses el ~k0 que como sabemos es mayor a 0, el segundo lo calculamos del valor de es-tado estacionario, dado por la ecuación 3.56, así dados estos dos valores (~k0; ~k�);adivinamos una secuencia ~k12; ~k

13;~k14; :::;

~k1T mediante el cual usamos el procesoiterativo, que llegará hasta la p� �esima iteración, suponiendo para el caso quep = 2; entonces el sistema de ecuaciones que queremos resolver pasará primeropor resolver la siguiente ecuación, dado que ya está establecido (~k0; ~k

p�12 )

(~k0; ~kp1 ;~kp�12 ) = 0 (3.98)

Por lo que proponemos una vez planteada como semilla una secuencia com-pleta para ~kt; a la que llamaremos K1 = [~k0; ~k

11;~k12; :::;

~k1T ;~k�]; donde cada ele-

mento tiene como subíndice el tiempo y como superíndice el número de iteración.Ahora pasaremos a resolver, pero como no se puede resolver analíticamente, ten-emos que recurrir a algoritmos que me permitan calcular puntos �jos, tales como

Donde la primera solución que s = 1; por que el consumo será cero y eso no es posible en larealidad, así entonces cogemos la segunda solución: s = ��

1+n+g; que es la misma que podemos

encontrar si calculamos el mismo s de las ecuaciones 3.91 y 3.92, en estado estacionario. Porlo que demostramos que ~k0 > 0:16En general, en un sistema de ecuaciones en diferencia de grado n, necesitamos conocer

como mínimo n valores de la variable.


el método del punto �jo17 , Newton Rapson18 , y en su caso más especí�co el dela secante19

Ahora plantearemos el sistema de ecuaciones en diferencia que se tiene queresolver:

(~kp1 ;~kp2 ;~kp�13 ) = 0 (3.99)

(~kp2 ;~kp3 ;~kp�14 ) = 0

(~kp3 ;~kp4 ;~kp�15 ) = 0

:

:

:

(~kpT�1;~kpT ;

~kp�1T+1) = 0

Como podemos ver de la ecuación 3.98 calculamos kp1 dados ~k0 de la semillaplanteada20 y ~kp�12 ; de la secuancia de semillas que se planteo para K1; manten-emos ese valor y ahora resolvemos la primera ecuación del sistema de ecuacionesexpresada en 3.99, para así obtener kp2 ; y segimos almacenado estos valores, paraasí sucesivamente llegar hasta la ecuación (~kpT�1; ~k

pT ;~k�) = 0; para el cual una

vez llegado a este punto, en el caso especí�co de p = 2; tenemos una nueva se-cuencia o vector K2 = [~k0; ~k

21;~k22; :::;

~k2T ;~k�]; en el que tenemos que evaluar que

la diferencia:��K2 �K1

�� ; sea menor al criterio de convergencia, para establecer-la como solución, pero si esta diferencia no es manor, al criterio de convergencia,tenemos que plantear K2 como semilla para la siguiente iteración, que consistiraen resolver todo el proceso antes mensionado, evaluando ahora a p = 3; hasta

17El método del punto �jo, consiste en calcular las raices de una función y = f(x) = 0;dandole a la variable x, la forma de la función: x = g(x) , para el cual se plantea la siguienteformula recursiva: xt = g(xt�1); que apatir de una semilla x1 se empiesa la iteración hastacalular la raices o puntos �jos de la función. El problema surge cuando no se pueda conocer osea di�cil de calcular, la forma g(x) de de la variable x. Otro problema de método del punto�jo es la e�ciencia del resultado, pues en este caso el resultado es poco consistente.18El método de Newton Raphson, es un mátodo que consiste en contrar las raices de una

función no lineal: y = f(x) = 0; mediante la aproximación lineal, que se cogerá de un trun-camineto de la expanción de taylor un una expansión de primer grado, quedando de la siguientemanera:xt = xt�1 � J�1(xt)f(xt); donde las raices son calculadas apartir de un proceso ietrativo

partiendo de un valor inicial(semilla) x1; este método es mucho mas e�ciente que el del punto�jp en términos de precición de resultados, tal y como lo muestra el MatLab, pero su principalde�ciencia se presenta cuando es di�cil de clacular el jacoviano, o la primera derivada, paraesto se plantea el método de la secante.19El método de la secante está considerado como una caso mas especí�co que el Newton

Raphson, ya que el procedimiento es el mismo, pues este último plante la aproximacion deraices a partir de una tangente a la curva de la función para el cual es de suma impotancoiael cálculo del Jacoviano, para el caso de la secante, tal y como dice su nombre esta consisteen trazar una secande y apartir de esta, aproximar las raices de la función pero la diferenciacon el método de Newton Raphson propiamente dicho es que aquí no se requiere calcular eljacoviano, pues este método aproxima ese jacoviano mediante un proceso iterativo.20En este caso p = 2


que la diferencia sea menor al criterio de convergencia, que en nuestro programalo llamaremos criterio o tolerancia.A continuación pasaremos a elaborar un código fuente para el caso del méto-

do Gauss seidel, en la subsección Ramsey.m.

3.3.2. Codigo Ramsey.m

Para la elaboración de este código plantearemos dos altenativas distintas unaes le método de Gauss Sidel que se explicó en la subsección anterior, el segundoes el método de Newton que en su caso mas especí�co hace uso del método de lasecante. El método de newton es planteado a pesar de que el método de GaussSidel, tiene dos inconvenientes con respecto al método de Newton. El primeroestá relacionado con el tiempo de ejecución, pues a pesar que el MatLab es unode los programas más rápidos para el cálculo, el método de Gauss sidel es másrápido que el método de Newton, esto lo podemos corroborar digitando en laventana de comandos del MatLab:>>tic; ramseynr; tocPara el caso del método de Newton, y:>>tic; ramseygs; tocPara el caso del método de Gauss Sidel. El segundo inconveniente, esta

relacionado con que no se tiene garantizado la convergencia cuando el sistemade ecuaciones que queremos resolver es más complejo.A continuación empesaremos con la elaboración del código para el método

de Newton Raphson, al cual llamaremos ramseynr.m, y despues para el caso delMétodo de Gauss Sidel al cual llamaremos remseygs.

Ramseynr.m

Para la elaboración de este código, se tomo como referencia el código elab-orado por Gonsalo Fernandes21 , para el cual se le elaboró un código que llevacomo nombre ramseynr22 , para el cual en su primera parte se declaran los para-metros calibrados, consecutivamente, se establece los criterios, de iteraciones,horizonte tempotal y de convergencia(tolerancia) despues se calcula el estadoestacionario y la semilla en función del estado estacionario, para establecer asíun vector semilla, con componentes en su grán mayoría de unos, que servirápara evaluar la ecuación y plantear los nuevos valores del siguiente vector, yque para su cálculo se usará el método de la secante, para así obtener nuevosvectores, de las principales variables de interes de este modelo. Para tener unamejor ilustración de como opera el programa ver el diagrama de �ujo que sepresenta en el apéndice G.La lógica con el uso de la secante, es el siguiente:

21Fernández, Gonsalo.Lecciones de Equilibrio General Computable con MatLab. 28 dejulio de 2002.22Para el desarrollo de este código vamos a suponer que n = 0 y g = 0


Construimos un vector de dimensión T + 1 que contenga los valores K1 =[k0; k

�; :::; k�]: A K1 lo vamos a considerar la semilla de nuestro sistema pararesolver el sistema:

(~k0; ~k1; ~k2) = 0 (3.100)

(~k1; ~k2; ~k3) = 0

(~k2; ~k3; ~k4) = 0

:

:

:

(~kT�1; ~kT ; ~kT+1) = 0

Como k0, y kT+1 son conocidos (kT+1 = k�) nos encontramos con un sistemacon un número igual de ecuaciones que incógnitas por tanto podemos resolverloescribiendo el programa ramseynr, en el que se especi�carán las T equaciones.En la parte �nal se pide calcular el grá�co de las sendas de estas variables

mencionadas. A continuación se instruye como ejecutar el programa.Pasos para ejecutar el programa:

1. Abrir un archivo M-�le, digitando edit en la ventana de comandos(CommandWindow):

>> edit

2. Digitar el siguiente código.

clear%Calibración de parámetrosA = 10;alpha = 0.35;delta = 0.06;eta = 0.99;beta = 0.96;%Entrada de criterios del programamaxit = 1000;crit = 1e-3;T = 150;%k0 y ksskss = ((A*beta*alpha)/(1-(1-delta)*beta))^(1/(1-alpha));k0 = 0.8*kss;%Semillax0 = [k0 kss*ones(size(1:T-1))]�;%Ahora vamos a usar el método de la secante, para% lo cual llamamos a secant.mparam = [A alpha delta eta beta T k0 kss];


sol = secant(�cpo�, x0, param, crit, maxit)%Resultadosk = [k0; sol; kss];y = A*k.^alpha;i = k(2:T+1)-(1-delta)*k(1:T);c = y(1:T)-i;subplot(2,2,1)plot(k)title(�Capital�)subplot(2,2,2)plot(y)title(�Producto�)subplot(2,2,3)plot(i)title(�Inversión�)subplot(2,2,4)plot(c)title(�Consumo�)

Despues de digitar el código, se debe guardar con el nombre de ramseynr.m,inmediatamente despues, se procede a digitar el código de la función secant.m23 ,y el programa cpo.m, pues como observamos podemos ver que el código ram-seynr, llama, tanto a la función secant.m y al programa cpo.m.

Secant.m

Para la elaboración del código fuente, de la secante, como podemos apreciarentre sus principales características, es diferente que crear un programa que esejecutable con solo digitar el nombre del programa en la ventana de comados,pues las funciones tienen que insertarles argumentos de entrada, para así arro-jarnos las variables de salidas. Otra cosa que tenemos que tener cuidado en lacreación de funciones, es que debemos guardarlos con el mismo nombre de lafunción, es decir, debemos guardar la fución con el nombre de secant.m

function x=secant(func, x0, param, crit, maxit)del = diag(max(abs(x0)*1e-4, 1e-8));n = length(x0);for i=1:maxitf=feval(func,x0,param);for j=1:nJ(:,j)=(f-feval(func,x0-del(:,j),param))/del(j,j);endx=x0-inv(J)*f;if norm(x-x0)<crit; break; endx0=x;

23Esta función tambien lo utilizaremos para resolver el método de Gauss Sidel.


endif i>=maxitsprintf(�Advertencia: Número máximo de %g iteraciones...alcanzad�, maxit)end

cpo.m

function f=cpo(z, p)A = p(1);alpha = p(2);delta = p(3);eta = p(4);beta = p(5);T = p(6);k0 = p(7);kss = p(8);%Asignación de variablesfor t=1:Tk(t) = z(t);endk(T+1) = kss;f(1)=beta*(A*k(1)âlpha+(1-delta)*k(1)-k(2))^(-eta)...*(alpha*A*k(1)^(alpha -1)+(1-delta))...-(A*k0âlpha+(1-delta)*k0-k(1))^(-eta);for t=2:Tf(t)=beta*(A*k(t)âlpha+...(1-delta)*k(t)-k(t+1))^(-eta)*(alpha*A*k(t)^(alpha-1)+...(1-delta))-(A*k(t-1)âlpha+(1-delta)*k(t-1)-k(t))^(-eta);endf=f�;

una vez digitado todos estos códigos, pasamos correr el programa ram-seynr.m, digitando en la ventana de comandos:>>ramseynrY así el programa resolverá el estado estacionario, y calculará las sendas

de las variuables de interes que se muestra en la subsección de resultados deRamsey.m

Ramseygs.m

Ahora pasaremos a elaborar el código del programa al que llamaremos ram-seygs.m, para el cual estructuraremos de una forma muy parecida como seelaboró el programa de Newton(ramseynr.m), por lo tanto hay que seguir lospasos de la misma manera que se siguieron para la elaboración de ramseynr.m,los cuales son:Pasos para ejecutar el programa:


1. Abrir un archivo M-�le, digitando edit en la ventana de comandos(CommandWindow):

>> edit

2. Digitar el siguiente código.

clear

%Calibración

alpha = 0.35;

beta = 0.99;

delta = 0.06;

A = 10;

%entrada de criterios del programa

maxit = 1000;

crit = 1e-4;

T = 60;

%Cálculo del stock de capital de estado estacionario

%del stock inicial k0, y de la semilla

kss = ((A*beta*alpha)/(1-(1-delta)*beta))^(1/(1-alpha));

k0 = 0.8*kss;

for t=1:T+1

kold(t)=kss;

end

kold(1)=k0;

knew(1)=k0;

%Iteraciones usando Gauss-Seidel

for i=1:maxit

for t=2:T

param=[alpha; beta; delta; A; knew(t-1); kold(t+1)];

knew(t)=secant(�gscpo�, kold(t), param, crit, 100);

end

plot(kold);

if norm(kold(2:T)-knew(2:T))<crit*mean(kold) break; end

kold=knew;

kold(T+1) = kss;

end


3. Despues de digitar el programa, se procede a guardarlo con el nombrede ramseygs.m. Tal y como observamos el programa llama a la funcíonsecante y al programa cpogs, la secante es exactamente la misma queutilizamos y digitamos para el primer método(newton), por lo tanto, solobastará con crear el programa cpogs, que presentamos a continuación.

cpogs.m

function y=gscpo(kt1, p)

%gscpo.m Función requerida por gseid que contiene

% la Ecuación de Euler

y=zeros(1,1);

alpha = p(1);

beta = p(2);

delta = p(3);

A = p(4);

kt = p(5);

kt2 = p(6);

y = A*kt1^alpha+(1-delta)*kt1-beta*(A*kt^alpha-kt1+ ...

(1-delta)*kt)*(A*alpha*kt1^(alpha-1)+(1-delta))-kt2;

Este programa deberá guardarse con el nombre de cpogs.m, para así �nal-mente poder obtener los resultados que se expone en la siguiente subsección.

3.3.3. Resultados de Ramsey.m

Ramseynr.m

Este resultado aparece despues de digitar en el command window:

>>ramseynr


Fuente: Elaboracion propia con MatLab.

Ramseygs.m

Esto tambien se puede obtener digitando en el command window:

>>ramseygs


Fuente: Elaborado por MatLab-ramseygs.m

Este grá�co estático24 , nos muestra el comportamiento del consumo, en elque podemos darnos cuenta de su forma cóncava.Este método de Gauss Sidel, tiene dos problemas importantes, para resolver

problemas mas complejos. El primero, es que si el número de variables del equi-librio dada en cada periodo crece25 , el método se torna ine�ciente al requerirmultiples iteraciones. Segundo es que este método no resuelve modelos estocás-ticos, es decir funciones con incertidumbre. Es este problema la más importantede�ciencia que tiene este método, por eso se han creado métodos muchos mas e�-cientes, para la resolución de equilibrio general dinámicos y estocásticos(DSGE).

24Desimos estática, pues solo lo podemos ver en un punto de tiempo(estado estacionario),pero esté grá�co podría verse de manera dinámmica, para capturar la lógica del método gausssidel, que se explico en su de�nición. Para poder ver de manera dinámica en el MatLab, solobasta con aumentar en el código ramseygs, ya antes digitado, especí�camente en la línea 16,lo siguiente:plot(kold); pause(0.1),Así podremos ver la dinámica de la formación del vector convergente al estado estacionario.25Por ejemplo como en el caso de modelos de crecimiento endógeno, que se incluyen capital

humano, al capital físico que aquí se trabaja.


Este tipo de métodos trataremos mas adelante cuando resolvamos teoría de losciclos económicos26 , para el cual usaremos DYNARE27 .

3.3.4. Aplicatico GUIDE

Este aplicativo Guide se desarrolló principalmente sobre el código ram-seynr.m, para poder mostrar las sendas de las cuatro principales variables delmodelo de Ramsey. Este aplicativo, tambien puede ser adaptado al progra-ma ramseygs.m, incluso pedirle el grá�co de las cuatro sendas, pero esta tareaquedará para el alumno de este curso y para el gusto del lector.

26Principalmente, resolveremos modelos RBC, y Neokeynesianos.27DYNARE es un toolbox de MatLab, que resuleve modelos DSGE(Dinamic Stocastic Gen-

eral Equilibrium), es decir Modelos de equlibrio general estocásticos dinámicos.

Apéndice A

Función de ProducciónNeoclásica

La Función de Producción tipo Cobb- Douglas, que ha servido como supuestofuerte para el modelo de Solow Swan, y despues para el modelo de RamseyCass y Koopmans es considerada por sus propiedades, función de producciónNeoclásica, pues cumple con las principales características de una Función deProducción Neoclásica, los cuales son:

A.1. Las productividades marginales de los in-sumos son decrecientes.

Gracias a esta propiedad, el modelo converge hacia un estado estacionario(steadystate). Ademas gracias a esta propiedad, se cumple lo propuesto por David Ri-cardo, y que hoy es concensualmente aceptado, Ricardo se re�rio a que unaumento en uno de los factores de producción, este aumentaría la producción,y así si se seguía aumentando un poco de cada factor seguiría aumentando laproducción, pero cada vez en menor proporción, es decir cumplia con la ley derendiminetos marginales decrecientes, analíticamente este supuesto sujería:Asumiendo que:

Y = F (K;L;A) (A.1)

No vamos a indexar el tiempo en las variables, pues para este análisis no nosserá de mucha importancia.

FK > 0; FL > 0 (A.2)

FKK < 0; FLL < 0 (A.3)

Por lo que la ecuación A.2, nos muestra que la función de producción escreciente en los factores, y cóncava, esto último nos muestra la ecuación A.3

67

68 APÉNDICE A. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN NEOCLÁSICA

Otro concepto mas que podemos desprender de esto es que segun la ecuaciónA.4, sin factores no hay producción.

F (0; L;A) = F (K;L; 0) = 0 (A.4)

A.2. Rendimientos Constante a Escala

Esta característica esta relacionada, con el hecho de que apesar de que puedehaber empresas que trabajen con escala creceinet o decreciente, para el caso es-pecí�co de la Función de Producción Neoclásica, las empresas elaborarán conrendimientos de escala constante, es decir esta carácterística nos va a garantizarque bajo el enfoque de mercados perfectamente competitivos, las empresas ten-drán bene�cios cero en el largo plazo, esto debido la libre entrada y salida de lasempresas del mercado, pues si hay bene�cios mayores aceros, seguirán entrandomas empresas, esto se dará hasta que los bene�cios de entrar al mercado, seancero.Asumamos que:

Y = F (K;L) (A.5)

F, será homogenea de grado 1, si y solo si:

F (�K; �L) = �F (K;L) (A.6)

Esto implica decir que:

�%K = �%L = �%F (A.7)

entonces ya teniendo la seguridad d ue la FPN es homogenea de grado uno,ahora pasemos a demostrar lo que se a�rmo, se dijo que los bene�cios son cero.Si a la ecuación A.5, se le aplica teorema de Euler1 , la expresion queda

reducida en:1:F (K;L) = FK(K;L):K + FL(K;L):L (A.8)

Multiplicando por el precio Py

Py:F (K;L) = Py:FK(K;L):K + Py:FL(K;L):L (A.9)

Py:Y = V PMgK :K + V PMgL:L (A.10)

Donde V PMgK ; es el valor de la productividad marginal del capital, y queen este modelo será igual a la tasa de rentabilidad del capital denotado por R;y V PMgL es el valor de la productividad marginal del trabajo, y que en estemodelo será igual al salario pagado a los trabajadores, denotado por w:

1Teorema de Euler:m:g(x; y) = gx(x; y):x+ gy(x; y):yComo en este caso, la función es homogenea de grado 1, y por ende se cumple los rendimien-

tos constantes a escala, m = 1

A.3. CONDICIONES DE INADA 69

Por lo tanto tendremos, la siguiente expresión.

Py:Y = R:K + w:L (A.11)

Es decir:

IT = CT (A.12)

Donde, IT : Ingreso total CT : Costo total, por lo tanto:

� = IT � CT = 0 (A.13)

Donde, � : Bene�cio Total, que en este modelo es cero, con lo cual quedademostrado lo que se a�rmo en la primera parte, y que es resultado precisamentede trabajar con una funcion de producción con rendiminetos a escala constante2 .

A.3. Condiciones de Inada

Estas condiciones fueron planteadas por el Japones Inada, las cuales nosquerían garantizar, primero, que la función de Producción Neoclásica es continuay diferenciable, es decir que para cierto nivel de factores de producción existesiempre un nivel de producto, no hay saltos importantes. Segundo, que comoya se probo en la ecuación A.2, la función de producción es creciente en losfactores, capital(K) y trabajo(L), y tiene rendiminetos marginales decrecientes,es decir la funció es cóncava, la economía va a desarrollarse en el sector II, osector e�ciente de la producción, tal y como lo aprendimos de nuestros cursos deMicroeconomía(Para tener una mejor apreciación de esto, ver Grá�co N�A1).

2Esto es una manera de decir que estamos trabajndo en una economía en competenciaperfecta.


Grá�co N�A1: Función de producción

Fuente: Elaboracion propia.

Es así que de los tres sectores, el sector I, y el sector III, son consideradosine�cientes, solo el sector II es considerado e�ciente, pues el límite entre el sectorII y III es considerado punto de cierre de la empresa, es decir hasta ese punto ese�ciente la producción, pasado ese punto es considerado ine�ciente. Así solo elsector II, cumple con las condiciones de concavidad, y creciente en los factores.

Por lo tanto si trabajamos solo con el sector II de la función de producción, ysu respectiva productividad marginal, nos quedamos con la grá�ca N�A2; parael análisis.

A.3. CONDICIONES DE INADA 71

Grá�co N�A2: Condiciones de Inada


Donde es aquí que se cumplen las condiciones de Inada que se presentarána continuación:

l��mK!0

PMgK = l��mK!0

FK =1 (A.14)

l��mK!1

PMgK = l��mK!1

FK = 0 (A.15)

l��mL!0

PMgL = l��mK!0

FL =1 (A.16)

l��mL!1

PMgL = l��mL!1

FL = 0 (A.17)

Si asumimos un nivel de capital dado, las condiciones de Inada ante una funciónconcava nos garantizarán, que jamas saldremos del sector II de la economia, seacual fuese el nivel de trabajo, de manera analoga con el capital. Pues por unlado evita el punto de in�eción, y por el otro garantiza la no existencia de unmaximo en el nivel de producto:Esto ocurre por la convergencia asintótica, de las productividades mar-

ginales. Es justo por estas caracteristicas que las funciones de producción neo-clásicas son de gran utilidad en el desarrollo de modelos neoclásicos, pues dealguna manera se rescatan implícitamente algunos supuestos pilares de estosmodelos.

Apéndice B

Progreso Tecnológico

El progrso tecnológico ha sido un tema de mucha importancia, pues su im-pacto en la economía ha cambiado y a determinado el progreso económico, enmuchos paises, alcanzando niveles inalcansables, para aquellos que no han po-dido desarrolla la tecnología como base de su economía. Es así que el progresotecnológico, se ha considerado para el planteamiento de los principales modeloseconómicos, tales como los modelos de Crecimiento, y principalmente el de lasFluctuaciones económicas.Para empezar de�niendo el progreso tecnológico, hay que diferenciar princi-

palmente entre técnica y tecnología, pues muchos suelen equivocarse al momentoanalizar modelos económicos.

Técnica: Es un método de producción dada la tecnología. La técnica esuna combinación de los diversos factores de producción e insumos paraproducir bienes.

Tecnología: Es el fondo social de conocimientos sobre el arte de la produc-ción y la técnica. Comprende el conjunto de todas las técnicas.

Cambio Técnico: Es la modi�cación de un método de producción.

Cambio Tecnológico: Son los avances en el fondo social de conocimientossobre el arte de la producción y la técnica, en términos cuantitativos ycualitativos.

Para ver los tres tipos de progreso tecnológico, observemos el grá�co N�B1;en el que tenemos que saber que la tecnología se representa con un mapa deisocuantas.

73

74 APÉNDICE B. PROGRESO TECNOLÓGICO

Grá�co N�B1: Clasi�cación del progreso tecnológico


Donde:A: Punto de tangencia entre la isocuanta unitaria e isocosto unitario.OA : Progreso tecnológico neutral a lo Hicks, por que ahorra Capital(K) y

Trabajo(L) en la misma proporción.V A : Progreso tecnológico neutral a lo Harrod.UA : Progreso tecnológico neutral a lo Solow.

B.1. Progreso Tecnológico neutral a lo Hicks

Para toda relación capital trabajo constante, presenta la TMgST constante.Con este tipo de progreso tecnológico, se ahorra los factores en la misma pro-porción, pues mejora la productividad de ambos factores, caracterizandose asícomo progreso tecnológico aumentador de producto.

Yt = F (AtKt; BtLt) (B.1)

Donde At = Bt

Yt = AtF (Kt; Lt) (B.2)

Yt = AtK�t Lt

1�� (B.3)

B.2. PROGRESO TECNOLÓGICO NEUTRAL A LO HARROD 75

B.2. Progreso Tecnológico neutral a lo Harrod

Para toda relación capital producto constante, se eleva la PMgL y con elloel salario, mientras la PMgK, y la tasa de rendimineto del capital, se mantieneninvariables. A este tipo de progreso tecnológico se le conoce por ser ahorradorde trabajo, es decir eleva la productividad marginal, por lo que se conoce comoaumentadora de trabajo.


Donde At = 1

Yt = F (Kt; BtLt) (B.5)

Yt = K�t (BtLt)

1�� (B.6)

B.3. Progreso Tecnológico neutral a lo Solow

Para toda relación trabajo producto constante, se eleva la PMgK, y con ellose eleva la tasa de rendimineto del capital, mientras que la PMgL y el salariose mantienen invariantes. A este tipo de progreso tecnológico se le conoce comoahorrador en capital, por lo que eleva su productividad marginal, por lo que sele conoce como aumentadora de capital.


Donde Bt = 1

Yt = F (AtKt; Lt) (B.8)

Yt = (AtKt)�Lt

1�� (B.9)

76 APÉNDICE B. PROGRESO TECNOLÓGICO

Apéndice C

Inversión

Este apéndice intentará explicar la lógica que esta de tras de considerar lainversión con costos de ajuste y otros sin costos de ajuste.

C.1. Inversión sin Costos de Ajuste

C.2. Inversión con costos de ajuste

77

78 APÉNDICE C. INVERSIÓN

Apéndice D

Equilibrio de Largo Plazo

Para tener un concepto claro de equilibrio, planteemos las siguientes ecua-ciones, donde se de�nirá el concepto de equilibrio.Dado E � R sea f : E ! E una función diferenciable. Sea x� un punto �jo

del sistema xt+1 = f(xt) tal que jf 0(xt)j 6= 1; entonces se cumple:a) Si jf 0(xt)j < 1; entonces x� es asintóticamente estable,b) Si jf 0(xt)j > 1; entonces x� es inestable.Para tener una idea de cuando un sistema es estable, ver Grá�co N�D3 de

referencia.

Grá�co N�D3

Como se puede apreciar en la parte izquierda del grá�co N�D3, podemosver un caso de inestabilidad, el punto I es un punto de equilibrio inestable,pues cualquier fuerza, o en terminos de economía cualquier shock, por mínimoque sea, hará que el sistema salga del equilibrio y no regrese jamas, a diferenciadel caso del grá�co que esta en la parte derecha del grá�co N�D3, en donde,apesar de recibir muchas fuerzas aplicadas, o en terminos de economía, a pesarde haber shocks, este sale del equilibrio pera luego volvera converger al mismonivel de eqilibrio estable.Para ver un claro ejemplo en la economía ver grá�co N�D4; donde se presenta

la dinámica de la variación del stock de capital, en donde el punto de k�, es

79

80 APÉNDICE D. EQUILIBRIO DE LARGO PLAZO

un punto de equlibrio estable, pues con un nivel menor de stock de capital, laeconomía seguirá aumentando hata que llege al de estado estacionario, y cuandohay stck de capital mayor al del estado estacionario(k�), la economía reduciráel nivel de stock de capital, pues así seguira su variación de capital, a lo masserá cero.

Grá�co N�D4: Diagrama de �ujo del stock de capital, hacia un equilibrio estable


D.1. Estado Estable

Es cuando todas las variables crecen a una tasa constante(Crecimiento Pro-porcionado), es tambien llamado estado de crecimiento balanceado.

D.2. Estado Estacionario

El estado estacionario o Steady State, es una forma particular del estadoEstable, pues se da cuando las variables no crecen, permanecen constantes(tasade crecimiento igual a 0).

Apéndice E

Log- Linealización

La log- linealización es un metodo para linealizar sistemas no lineales, elcual estan basados principalmente en el uso de los logaritmos naturales, y laecuación de Taylor, estas formas linealizadas que nos arroja este método nossirve para trabajar de manera mas simple, y poder analizar las relaciones entrelas variables que se utilizan en cierto modelo no lineal, ya que por la compejidadque muestran estos modelos en sus formas no lineales, y el no contar con unsoftware adecuado para resolverlos, nos impiden hacer mayores apreciacionesteóricas y limitan la capacidad de sacar principales conclusiones.

El objetivo es analizar el comportamiento de una variable en las vecindadesa su estado estacionario, es decir alrededor de su punto en donde la variblepermanece constante y no crece. Para realizar esta aproximación en un tramode la curva de la expresión original, está se tornara complicada, pues su formano lineal no nos permitirá hacer el análisis, por lo que es mejor que tomemos unpunto de esa curva como si fuera un tramo recto, para así hacer mas sencillo elanálisis.

81

82 APÉNDICE E. LOG- LINEALIZACIÓN


Ahora analicemos las distancias al estado estacionario de cada variable, rep-resentadas en xt; y a su valor de estado estacionario como �xt;, apartir de estode�namos los dos tipos de distancia al valor de estado estacionario.Distancia Absoluta(DA):

DAt = xt � �xt (E.1)

Distancia Relativa(DR):

DRt =xt � �xt�xt

= xt (E.2)

Donde xt : log- desviación de xt con respecto a su valor de estado esta-cionario.Es con la distncia relativa, que vamos a trabajar para obtener las expresiones

log- lineales.De la ecuación E.2, que podemos expresar de la siguiente manera:

xt�xt= xt + 1 (E.3)

Tomando logaritmos naturales en ambos lados:

Ln(xt�xt) = Ln(xt + 1) (E.4)

83

Tomamos límites hacia cero en ambos lados, para ver la convergencia alestado estacionario:

l��mxt!0

Ln(xt�xt) = l��m

xt!0Ln(xt + 1) (E.5)

Y como sabemos:

l��mp!0

Ln(1 + p) = p (E.6)

Entonces la ecuación E.5, puede ser reescrita como:

Ln(xt�xt) = xt (E.7)

Por lo que, resulta:

xt = �xtext (E.8)

Como podemos apreciar en la ecuación E.8, la parte derecha de la cuaciónes lineal, a excepción del último término, que ahora lo linearizaremos por unaexpansión de Taylor de primer grado.Una expansión de Taylor general, es de la siguiente manera:

F (xt) ' F (x0) +F 0(x0)

1!(xt � x0) +

F00(x0)

2!(xt � x0)2 +

F000(x0)

3!(xt � x0)3 + :::

(E.9)Pero nosotros solo vamos a utilizar la expansión de primer grado, es decir

hasta el segundo sumando de la parte derecha de la ecuación E.9, donde xt = xty x0 = �xt��xt

�xt= 0

Por lo tanto desarrollando:

ext ' e0 + e0

1!(xt � 0) (E.10)

Reduciendo la expresión:

ext ' 1 + xt (E.11)

Ahora reeplazando E.11, en E.8, tenemos:

xt = �xt(1 + xt) (E.12)

Como podemos apreciar, la expresión ya esta linealizada, pues todos losmiembros de la parte derecha de la ecuación E.12, son lineales.

84 APÉNDICE E. LOG- LINEALIZACIÓN

Apéndice F

Programación Dinámica

La programación dinámica es considerado como la tercera de las técnicasde optimización1 , intertemporal entre las mas usadas para el planteamiento deproblemas económicos, que fue planteada por el matemático Richard Bellman2

en 1957, el cual a partir de ese momento se uso principalmente para la formu-lación problemas de macroeconomía dinámica.La programación dinámica se desarrolla a partir del principio de optimalidad

que estableció Bellman, el cual es intrínsecamente recursivo y su única �nalidades encontrar la forma del valor óptimo o función de valor.Para la estructura recursiva del principio de optimalidad, suele ser muy útil

trabajar en tiempo discreto3 , la idea de esta estructura recursiva es trabajar parael último periodo; pues una decisión óptima en el futuro, expresará una decisiónóptima tambien en el presente; despues trabajamos con los dos últimos periodos,para despues trabajar con los últimos tres periodos, así sucesivamente, cuando elhorizonte temporal(número de periodos) es muy grande, este mecanismo resultabastante complejo4 . Es por eso que Bellman planteo la ecuación de Bellman,el cual convierte el problema de in�nitos periodos a solo un problema con dosperiodos. Una la ventaja adicional de usar este método es que es relativamentesencillo introducir variables estocásticas5 .Para resolver el problema de optimización intertemporal discreto, hay dos

1Las técnicas de optimización son: Calculo de variaciones, Control óptimo y la Progra-mación dinámica.

2Bellman, Richard, Dinamic programing, Princeton: Princeton University Press.1957.Richard Bellman introdujo, la programación dinámica para operaciones de investigación y

aplicaciones de ingeniería. Esto sería uasado despues por Lloyd Shapley, en su trabajo sobrejuegos estocásticos.

3Es por ese �n, que los modelos tratados en esta nota de clase se trabajan en tiempodiscreto.

4Es por eso que el uso de un computador, especí�camente un software(MatLab), ayudamucho a la solución.

5Si el tiempo es una variable contínua, se requiere técnicas de cálculo estocástico, que estáfuera del alcanse de esta nota de clase, en cambio si el tiempo es una variable discreta, entoncessimpli�ca enormemente, por lo que esta es considerada una ventaja más de que ensta nota declase se trabaje los modelos de crecimiento, en tiempo discreto.

85

86 APÉNDICE F. PROGRAMACIÓN DINÁMICA

maneras, una es la convensional, es decir mediante las condiciones de Kuhn-Tucker, y otra es a travez de la ecuación de Bellman. En este caso solo desar-rolleros el segundo caso, por ser de nuestro interes.

F.1. Formulación básica del problema

Vamos a suponer una simpli�cación, considerando unicamente una variablede estado x y un control u. Sean M;N � R2 dos conjuntos abiertos.

F = fft :M ! R j t = 0; :::;1g (F.1)

G = fgt : N ! R j t = 0; :::;1g

Dos familias de funciones de clase �2 y

x : f0; :::;1g ! R (F.2)

u : f0; :::;1g ! R

Dos funciones. Denotemos x(t) = xt y u(t) = ut y, como antes, x es lavariable de estado, y u la variable de control. Finalmente VT+1 una función condominio e imagen en R; de clase �2.Por lo tanto el problema de optimización al que nos enfrentamos es:

m�axut

V =

1Xj=0

ft(xt+j ; ut+j ; t+ j) (F.3)

sujeto a :

xt+1 = gt(xt; ut; t)

xt : dado

F.2. Principio de optimalidad

Ahora de�nimos la función de valor o valor máximo de la función objetivodeF.3, aplicandole el factor intertemporal de descuento(�):

Vt(xt) = m�axut

xt: dado

1Xj=0

�jf(xt+j ; ut+j ; t+ j) (F.4)

F.3. Ecuación de Bellman

El problema F.4 puede ser puede ser planteado en términos de una relaciónrecursiva a la que conocemos como ecuación de Bellman que probablemente es

F.4. ECUACIÓN DE BENVENISTE SHEINKMAN 87

la ecuación mas importante para la optimización, pues se ha logrado convertirun problema de in�nitos periodos, en un problema de solo 2 periodos, con elque es bastante facil trabajar y que a continuación presentamos:

Vt(xt) = m�axut

xt: dado

ff(xt; ut; t) + �Vt+1(xt + 1)g (F.5)

sujeto a :

xt+1 = gt(xt; ut; t)

Este enfoque permite resolver el problema empezando por el último periodo,luego retrocediendo hacia atrás. El problema F.5, se maximiza exclusivamentecon respecto a la variable de control, y a la variable de estado se la mantieneconstante con el fín de obtener la función de política.La ecuación de Bellman es válida a pesar de que caresca de soluciones in-

teriores, sin embargo si existen soluciones interiores, el resultado de aplicar lascondiciones de primer orden a la ecuación F.5 será:

@ft@ut

+@gt@ut

dVt+1dxt+1

= 0 (F.6)

Ahora esta ecuación con la ecuación de transición6 , forman un sistema deecuaciones en diferencia con tres incógnitas: xt; ut; xt+1, en donde apartir dedicho sistema es posible obtener la función de política, que relacione la variablede control, con la variable de estado. ut = h(xt): Para resolver el problema de laecuación F.6, sabemos el cálculo de @ft

@uty @gt@ut, pero lo que no sabemos es dVt+1dxt+1

;

por lo que es necesario la ecuación de Benveniste Sheinkman7 .

F.4. Ecuación de Benveniste Sheinkman

Esta ecuación constituye una aplicación del teorema de la envolvente:

F.4.1. Teorema de la envolvente

Para tener una idea de lo que el teorema de la envolvente plantea dentro delproblema de optimización, consideremos el suguiente problema de optimizaciónestática:

m�axxf(x; r) sujeto a : gt(x; r) = 0

6La ecuación de transición esta representada por la restricción de la maximización en F.5,denotado por:xt+1 = gt(xt; ut; t)7Benveniste, Lawrence y José Sheinkman,.On the Di¤erenciability of the value func-

tion in Dynamic Models of Economics. Econométrica, vol 47, N �3: Black- well Publishers,1979

88 APÉNDICE F. PROGRAMACIÓN DINÁMICA

El valor máximo de f(x; r); se denaotará por f�(r); por lo que entonces:

f�(r) = f(x�(r); r) = f(x�1(r); :::; x�n(r); r1; :::; r2) (F.7)

Por lo que el resultado que se obtiene de la optimización es:

@f�(r)

@rt=@f(x�(r); r)

@rt(F.8)

Para: t : 1; :::kAsí podemos ver que el teorema de la envolvente resulta muy útil, pues nótese

que si varía rj entonces f(x; r) cambia por dos razones, el primero, es el efectodirecto, pues al cambiar r, cambia f(x; r). En segundo lugar el efecto indirecto,pues un cámbio en rj , hace cambiar a x�1(r); :::; x

�n(r): en el caso especí�co de la

ecuación ??, podemos ver que el efecto total sobre la función de valor(f�(r)),ante un cambio pequeño en rj se puede obtener calculando la derivada parcial def(x�(r); r) con respecto a rj , ignorando así el efecto indirecto, solo considerandoel efecto directo:


Si aplicamos teorema de la envolvente, solo nos quedaría:

Efecto Total = Efecto directo+ 0

Por lo que, la ecuación de Benveniste Sheinkman, queda expresado de lasiguiente manera:

@Vt@xt

=@ft@xt

+@gt@xt

@Vt+1@xt+1

(F.9)

Por lo que despues de reemplazar esta ecuación en la ecuación de bellman,obtenemos la ecuación de Euler.

F.5. La Ecuación de Euler

Para poder obtener la ecuación de Euler, basta con obtener las condiciones deprimer orden , y despejar la derivada de la función de valor en F.6, y adelanralaun periodo, por lo que la ecuación de Euler quedará expresada de la sighuientemanera:

@ft@ut

+@gt@ut

"@ft+1@xt+1

� @gt+1@xt+1

@ft+1@ut+1@gt+1@ut+1

!#= 0 (F.10)

Ahora si asumimos que la ecuación de transición depende solamente de lavariable de control, la ecuación de Euler quedará expresada en una varsiónsimpli�cada:

@ft@ut

+@gt@ut

@ft+1@xt+1

= 0 (F.11)

Apéndice G

Diagrama de Flujo

Los diagramas de �ujo serán muy didacticos para analoisar como opera elMatLab.

89

90 APÉNDICE G. DIAGRAMA DE FLUJO

G.1. Solow.m


G.2. RAMSEY.M 91

G.2. Ramsey.m

Elaboracion propia

G.2. RAMSEY.M 93


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