notación lógica y cálculo deóntico proposicional

15
Manuel F. Reyes Zavaleta. Profesor de Lógica de la UIGV Lima-Perú e-mail: [email protected] [email protected] SISTEMAS DE NOTACIÓN LÓGICA, ÁRBOLES BINARIOS Y CÁLCULO DEÓNTICO PROPOSICIONAL En esta oportunidad, presentaré una tópico que, en parte, realizo con mis alumnos de la Facultad de Derecho y Ciencias Políticas de la Universidad Inca Gracilaso de la Vega de Lima-Perú en la asignatura de Lógica (general y jurídica), y que a través de una técnica de traducción o conversión de Sistemas de Notación Lógica de fórmulas bien formadas del cálculo proposicional, que cuyo alcance va hasta la expresión de fórmulas que algunos de los autores, como Georges Kalinowski, de la Lógica Jurídica, así como los de la Lógica Deóntica, muestran, para atender al punto de vista del derecho de ser considerado como un saber normativo o como un Sistema de Normas (actuación de operadores deónticos que prohiben, obligan, permiten, …), expresiones o fórmulas en un sistema de notación que nada o poco es enseñado en nuestro sistema educativo de nivel secundario, y también universitario; para tal efecto presento la técnica de conversión con la siguiente estructuración de desarrollo 1 , pero previamente mostraré un cuadro de sistemas de notación lógica: 1 Hago constar que algunos aspectos técnicos subyacentes no van a ser abordados por cuestión de espacio, pero que en su totalidad son enseñados en clase a mis alumnos.

Upload: manuelreyesz

Post on 01-Jul-2015

3.968 views

Category:

Technology


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

Manuel F. Reyes Zavaleta.Profesor de Lógica de la UIGV Lima-Perú

e-mail: [email protected]@yahoo.com.ar

SISTEMAS DE NOTACIÓN LÓGICA, ÁRBOLES BINARIOS Y

CÁLCULO DEÓNTICO PROPOSICIONAL

En esta oportunidad, presentaré una tópico que, en parte, realizo con mis alumnos

de la Facultad de Derecho y Ciencias Políticas de la Universidad Inca Gracilaso de la

Vega de Lima-Perú en la asignatura de Lógica (general y jurídica), y que a través de una

técnica de traducción o conversión de Sistemas de Notación Lógica de fórmulas bien

formadas del cálculo proposicional, que cuyo alcance va hasta la expresión de fórmulas

que algunos de los autores, como Georges Kalinowski, de la Lógica Jurídica, así como

los de la Lógica Deóntica, muestran, para atender al punto de vista del derecho de ser

considerado como un saber normativo o como un Sistema de Normas (actuación de

operadores deónticos que prohiben, obligan, permiten, …), expresiones o fórmulas en un

sistema de notación que nada o poco es enseñado en nuestro sistema educativo de nivel

secundario, y también universitario; para tal efecto presento la técnica de conversión con

la siguiente estructuración de desarrollo1, pero previamente mostraré un cuadro de

sistemas de notación lógica:

1 Hago constar que algunos aspectos técnicos subyacentes no van a ser abordados por cuestión de espacio, pero que en su totalidad son enseñados en clase a mis alumnos.

Page 2: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

Sistemas de Notación Lógica y Árboles Binarios o Sintácticos

I) Sistemas de Notación:

1.- Prefix o preorden o Polaco (P.N. :Polish Notation)

2.- Infix o Inorden o Estándar (en nuestro medio)

3.- Postfix o Postorden (R.P.N.: Reverse Polish Notation)

II) Árboles Binarios y Operadores Lógico Proposicionales

III) Conversión o Traducción de Sistemas:

1.- Del Sistema Estándar al Polaco

2.- Del Sistema Polaco al Estándar

IV) Aplicación en formulaciones del Cálculo Deóntico Proposicional.

I) Sistemas de Notación.- En Lógica, existen dos tipos de operadores; a saber, el

monádico (la negación) y el diádico (que son, la conjunción, disyunción

exclusiva e inclusiva, el condicional y la equivalencia); También se puede

establecer que los operadores aritméticos ( para la adición, sustracción,

multiplicación y división) son diádicos al igual que los diádicos lógicos

mencionados. Por lo que, si el operador al ser diádico, éste se acompaña de dos

variables, y en consecuencia utilizará tres (3) espacios o posiciones en el que se

puede situar el operador diádico, tanto para las operaciones aritmética como

para las operaciones lógicas en similar manera.; por esta razón, solamente

existirán tres (03) sistemas de notación para operadores diádicos:

1. Prefix o preorden o Polaco (PN).- Significa, que la posición del operador

diádico, en este sistema, precederá a sus variables, por ejemplo:

A p q O V1 V2

Hay que notar que la posición del operador precedo a las variables

proposicionales.

2. Infix o Inorden o Estándar.- Significa que el operador diádico se sitúa al

interior o flanqueado por las variables, por ejemplo:

p q V1 O V2

Page 3: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

3.- Postfix o Postorden (RPN).- Significa que el operador diádico se sitúa posterior o al final de las variables, por ejemplo:

p q AV1 V2 O

II) Árboles Binarios y Operadores Lógico Proposicionales.- En primer lugar,

los árboles binarios son estructuras usadas para representar expresiones o

fórmulas lógicas, algebraicas, algoritmos, búsquedas y ordenamientos.

En lógica existen operadores monádico y diádico; por lo que el nodo de un

árbol binario puede tener 1 ó 2 hijos y también 0, como es de suponer:

Por ejemplo:

~ p p q

Por lo que:

Page 4: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

III) Conversión o traducción de sistemas:

1. Del Sistema Estándar al Polaco.- Para convertir, se procede de la siguiente manera:

a. Se jerarquiza u ordena la fórmula (colocando numerales a todos los

operadores diádicos sin excepción, y al operador monádico, siempre

y cuando vaya delante de un signo auxiliar).

b. Se procede a la construcción del árbol, comenzando por el operador

de mayor jerarquía, generando la distribución arbórea: Si al interior

de un nodo hay un operador gonádico, generará una rama, si es

diádico serán dos; y si es una variable, no generará ninguna.

c. Se realiza el recorrido a los nodos de arriba hacia abajo por la

izquierda y de izquierda a derecha, de la siguiente forma:

Por ejemplo: Sea la siguiente fórmula:

Se jerarquiza la fórmula:

2 3 1 2 3 4

Page 5: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

Se construye el árbol correspondiente:

Se realiza el recorrido a los nodos, tal como se ha indicado:

Y se obtiene la fórmula en el sistema polaco:

CNApNqENrNKqNp

Page 6: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

2. Del Sistema Polaco al Estándar.- Para convertir se procede de la siguiente manera:

a. La fórmula dada en el sistema polaco no requiere ser jerarquizada u

ordenada, porque ya lo está.

b. Se procede a la construcción del árbol por orden de aparición de

izquierda a derecha.

c. Se realiza el recorrido a los nodos de abajo hacia arriba comenzando

por la parte inferior izquierda, y de izquierda a derecha en forma

envolvente. Hay que hacer notar que, excepcionalmente, el operador

monádico(la negación), siempre va de arriba hacia abajo en la visita

al nodo próximo.

Por ejemplo, tomemos la fórmula

anterior que está en el sistema polaco:

CNApNqENrNKqNpSe construye el árbol correspondiente:

Se realiza el recorrido a los nodos como se ha indicado:

Page 7: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

Se observa que se inicia la conversión al interior del área circular

verde, de izquierda a derecha en orientación ascendente, con la

Page 8: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

negación de arriba hacia abajo; una vez concluido, pasamos a la

derecha en la que se observa la traducción de dos operadores

diádicos al interior de dos áreas circulares concéntrica, lo que

indica que se requiere de dos signos auxiliares, en el área circular

verde se utiliza el paréntesis y en el área circular naranja se

utiliza el corchete, porque el lado derecho está involucrado por el

bicondicional, aplicando el concepto de lo que es el operador

diádico.

IV) Aplicación en formulaciones del Cálculo Deóntico Proposicional.- Ahora,

ya estamos en condiciones de mostrar la aplicación, por ejemplo, en la postura

de la tesis de las sustituciones normativas correctas de las tesis del cálculo

proposicional; a continuación muestro un extracto de la obra de Georges

Kalinowski “Lógica del Discurso Normativo” página 158:

Page 9: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

Noten que las fórmulas están en un sistema de notación polaca o prefix; pero

que a continuación mostraré, en otra obra de Kalinowski titulada “lógica

Jurídica”(pag. 89-90) expresiones o fórmula tratadas en el mismo sistema

aludido, extrayendo la ley de transposición, para luego aplicar la técnica para

que se comprenda mejor:

En las págs. 89 y 90, la fórmula de dicha ley en el sistema prefix o polaco es la

siguiente: CCpqCNqNp …(Tesis del Cálculo Proposicional).

La misma fórmula en el sistema de notación lógica infix o estandar, sería:

Transformamos en Tesis de la Lógica Deóntica, sustituyendo las variables por

las funciones proposicionales deónticas, por ejemplo, de la siguiente manera:

Al sustituir “p” por “Op” y “q” por “Oq”, siendo el operador

deóntico “O”(obligatorio) un operador monádico; ahora tendríamos:

CCOpOqCNOqNOp

Que se interpreta: “Si: Si es obligatorio que p, entonces es obligatorio que q,

entonces si no es obligatorio que q, entonces no es obligatorio que p”.

Asignemos el siguiente ejemplo concreto: “Si: si es obligatorio respetar las

normas de tránsito, entonces es obligatorio respetar la luz roja del semáforo,

entonces si no es obligatorio respetar la luz roja del semáforo, entonces no es

obligatorio respetar las normas de tránsito”

A continuación, construiremos su árbol binario:

Page 10: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

Seguidamente, haremos el recorrido a los nodos:

Luego en el sistema estándar sería así:

Page 11: Notación  Lógica Y  Cálculo  Deóntico  Proposicional

Esperando que este artículo les pueda ser útil de alguna manera para el propósito

mostrado, y que sirva principalmente a los estudiantes de las facultades de Derecho el de

haberles presentado la técnica de conversión de sistemas de notación lógica, para que en

su momento no sea obstáculo interpretar un tratado de lógica Deóntica o de Lógica

Jurídica en los que existan expresiones o fórmulas en un sistema de notación alterno, por

ejemplo, como el sistema de notación prefix o polaca. Señalando esto último, será hasta

una próxima oportunidad.

Actualmente, ejerzo la cátedra de Lógica (General y Jurídica) en la Facultad de

Derecho y Ciencias Políticas; asimismo, la cátedra de Lógica en la Facultad de Psicología

y Ciencias Sociales en la Escuela de Trabajo Social de la Universidad Inca Gracilaso de

la Vega en Lima – Perú.