nombre docente: ana carmela rincon martinez : …

“ESTRATEGIA GUIAS DE APRENDIZAJE EN CASA” INSTITUTO INTEGRADO DE COMERCIO CAMILO TORRES

SEMANA 1: FUNCION INVERSA Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Una función inversa de Y= f(x) es la función que se obtiene al despejar y en la relación x= f(y). la inversa se denota como y = f-1(x). El intercambio x↔y

implica que las gráficas de f(x) y f-1(x) sean simétricas respecto a la recta y=x. A partir del concepto de función inversa se definen las funciones

trigonométricas inversas. Si f(x)=y es una función inyectiva con dominio A y rango B, entonces, la función inversa f-1 es una función con dominio B y rango

A.

EJEMPLO :

Partiendo de la función f(x)= 4x – 2 y sabiendo que es inyectiva, hallemos su función inversa.

Solución:

Recuerde que una función inyectiva es aquella que satisface la propiedad si f(x1)= f(x2).

Repasar diapositiva Funciones entregada por la docente.

Para hallar f-1(x) hacemos el intercambio x↔y en y= 4x – 2 obteniendo x= 4y – 2

Procedemos a despejar la y para obtener y= 𝑥+2

4

Observemos que las funciones y=f(x) y su inversa y=g(x) cumplen las relaciones: f(g(x)) = x y g(f(x)) =x.

f(g(x))= f(𝑥+2

4)= 4(

𝑥+2

4) − 2=(x-2)-2=x; y

g(f(x))=g(4-2)=. ((4𝑥−2)+2

4)= x

La función g(x) representa la inversa de f(x) y se escribe de la forma g(x)= f-1(x).

Las gráficas de f(x) y f-1(x) son simétricas respecto a la recta y=x como lo muestra la gráfica.

Forma de hallar la inversa de una función

1. Asegurarse que la función sea inyectiva. Solo estas funciones tienen inversa. Las funciones

inyectivas si pasan la prueba de la línea horizontal. Algebraicamente son funciones inyectivas si

f(x)=g(x) o sea que x=y

2. Se despeja x en la igualdad y =f(x)

3. Para expresarla de la forma habitual, se intercambian los nombres de las variables.

ACTIVIDAD 01

1. Halla la función inversa de f(x) = x3+ 3

2. Halla la función inversa para f(x)=5x-2 completando la siguiente información:

NOMBRE DOCENTE: ANA CARMELA RINCON MARTINEZ METODOLOGIA: Tradicional

GRADO: Décimo FECHA: 27 Julio de 2020 JORNADA: AM

NIVEL: Básica Secundaria SEDE: A DURACIÓN: Cuatro (4) semanas

ÁREA O ASIGNATURA

Matemáticas

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Desarrollo del pensamiento numérico que incluye el sentido operacional, los conceptos, las relaciones, las propiedades, los problemas y los procedimientos, expresa en el lenguaje matemático situaciones que involucran funciones trigonométricas inversas, resuelve problemas que involucran funciones trigonométricas inversas, así como aplicar las leyes de seno y coseno en la solución de problemas.

SITUACION DE APRENDIZAJE O PREGUNTA PROBLEMATIZADORA

¿En qué aspectos de su vida cotidiana ha experimentado las expresiones trigonométricas?

APRENDIZAJES ESPERADOS POR AREA INTEGRADA

Participa de las diferentes actividades en clase, donde demuestra sus conocimientos interactuando con sus compañeros basado en valores de respeto

y responsabilidad.

AMBITO CONCEPTUAL

Función inversa, Funciones trigonométricas inversas, Resolución de triángulos rectángulos y oblicuados, Ley de Seno y Coseno, Área del triángulo.

METODOLOGIA

Las guías están estructuradas con la información de tipo teoría, ejemplo y ejercicios abordando los tres momentos del aprendizaje; el estudiante debe sacar anotaciones para su libreta de apuntes con fecha y titulo. Se acompaña la guía con clase virtual una vez a la semana con duración de una hora y media en la cual se explica el tema y se desarrollan ejercicios en clase. Se les hace llegar diapositiva con ejemplos, ejercicios y video. El estudiante hace llegar sus evidencias en formato Pdf debidamente marcadas. Tema -grado- nombre del estudiante.

ACTIVIDADES EN CASA

1. MOMENTO DE EXPLORACION

1. Saludo

2. Recodar horario de asesorías y de acceso a la plataforma

Actividad de abordaje de presaberes: ¿ Cuándo usamos las funciones trigonométricas inversas?¿ puedo solucionar situaciones de la vida cotidiana aplicando las funciones inversas? ¿Qué problemáticas podemos intentar resolver con la ley del seno y coseno?

2. MOMENTO ESTRUCTURACION Y TRANSFERENCIA


2.1. Tabla de valores

x -2 -1 0 1 2

f(x)

x -2 -1 0 1 2

f-1(x)

2.2. Grafica en un mismo plano cartesiano las 2 gráficas anteriores y la línea x=y.

2.3. Asiste a la clase virtual en tu respectivo horario para resolver dudas e inquietudes.

INVERSA DE LA FUNCION SENO O FUNCION ARCOSENO

Como la función Seno no es inyectiva, es necesario restringir su dominio para obtener la función inversa y esta restricción puede ser el intervalo [−𝜋

2,

𝜋

2],

donde ella es uno a uno.

Esta función asigna a cada número x del intervalo [-1,1], un único número y en el intervalo [−𝜋

2,

𝜋

2], tal que Sen(y)= x. simbolizaremos este único número

y por sen-1(x) o arcseno(x), es decir, y = Sen-1(x) o y=arcseno(x). Su dominio es [-1,1]y su rango es [−𝜋

2,

𝜋

2]. La grafica de la función f-1(x)= sen-1(x) es

una reflexión de la gráfica f(x) = sen entre el intervalo [−𝜋

2,

𝜋

2] con respecto a la recta y=x.

FUNCION ARCOCOSENO

La inversa de la función y=cosx se denomina arcocoseno, es aquella que asocia cada x que pertenece al intervalo [-1,1] con un único valor y que

además pertenezca al intervalo que restringe el dominio por no ser inyectiva el cual es [0, π] y donde ella es uno a uno, y verifica que cosy = x. Se

simboliza como y= arccos(x)t o y= cos-1(x) y su dominio es [-1,1] y su rango [0, π].

FUNCION ARCOTANGENTE

Como la función f(x)= tan x no es inyectiva es necesario restringir su dominio para que exista su inversa y esto cumple en el intervalo [−𝜋

2,

𝜋

2] donde se

comporta uno a uno. La función y= tan-1(x) o arctan (x) si solo si x =tan (y). Su dominio es el conjunto de todos los reales y su rango es [−𝜋

2,

𝜋

2]. la

gráfica de la función y= tan-1(x) es una reflexión de la gráfica original entre el intervalo [−𝜋

2,

𝜋

2] con respecto a la recta y=x.

FUNCION ARCOCOSECANTE

La función cosecante es uno a uno en el intervalo [−𝜋

2,0] U [0,

𝜋

2,]. La función y= csc-1(x)=arcsc x si y solo si

x= csc y es la función inversa a la cosecante de x cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los números entre -1 y 1.

La grafica de la función y= csc-1(x)es la reflexión de la gráfica de la función f(x)= csc x con respecto a la recta y=x.


FUNCION ARCOSECANTE

La función secante es uno a uno en el intervalo [0, 𝜋

2] U [

𝜋

2, 𝜋]. La función y= sec-1(x)=arcsec x si x = sec y es la función inversa a la secante y se lee

arcosecante de x y= csc-1(x)=arcsc x cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los números -1 y 1. La grafica de la función y=

sec-1(x) es la reflexión de la gráfica de la función f(x)= sec x con respecto a la recta y=x.

FUNCION ARCOCOTANGENTE

Como la función f(x)= cotx no es inyectiva, es necesario restringido su dominio para obtener la función inversa, una restricción de dominio puede ser el

intervalo [0, 𝜋], donde la función es uno a uno.

La función cot-1x= arcot(x) si y solo s x= cot y es la función inversa de la función cotangente y se lee arcocotangente de x, cuyo dominio es el conjunto

de los números reales y el rango es [0, 𝜋].

La grafica de la función y= cot-1(x) es la reflexión de la gráfica de la función f(x)= cot x entre 0 y π con respecto a la recta y=x.

Aplicaciones:

En muchas oportunidades necesitamos determinar el valor de un ángulo agudo en un triángulo, conociendo los catetos del triángulo o de un cateto y la

hipotenusa. Para ello usamos las funciones inversas.

Ejemplo: El extremo inferior de una escalera de madera que se encuentra apoyada a 10 metros de un edificio como lo muestra la figura. Si alcanza una

ventana que se encuentra a 20 metros del piso, ¿qué ángulo se forma entre el suelo y la escalera?

El angulo que se forma entre la escalera y el suelo será α y si usamos la función tangente determinaremos su

valor.

Tan α = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝜶𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 entonces Tan α =

𝟐𝟎 𝒎

𝟏𝟎 𝒎 , de donde α= arctan

𝟐𝟎

𝟏𝟎

Luego, α= arctan (2) con ayuda de la calculadora obtenemos que

α= 63,4°.

ACTIVIDAD 2

1. Realiza las gráficas de las funciones inversas en hojas

cuadriculadas y determina sus características.

2. Un globo está sujeto mediante un cable de 680 metros a la tierra

como lo muestra la figura. Determine el valor del angulo θ en función de la

altura h del globo y determine la medida de este angulo cuando el globo

está a 500 metros de altura.

3. Realiza los ejercicios propuestos en la clase virtual que corresponden a esta sección.


SEMANA 2 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS: SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Y OBLICUADOS

Resolver un triángulo rectángulo significa hallar la medida de sus tres lados y tres ángulos. Existen varios casos en los que la solución se basa en las

razones trigonométricas:

• Resolución de un triángulo cuando se conocen un lado y un angulo

• Resolución de un triángulo cuando se conocen dos lados

Para este tipo de ejercicio nos apoyamos de las razones trigonométricas, así como del concepto de angulo de elevación y depresión.

SOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUADOS

Un triángulo oblicuado es aquel que tiene tres ángulos agudos o 2 agudos y uno obtuso. Cuando tenemos este tipo de triángulos y se necesitan solucionar

se pueden presentar 4 casos:

• Caso 1: Se conoce un lado y dos ángulos (LAA o ALA).

• Caso 2: Se conocen dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos (LLA).

• Caso 3: Se conocen los tres lados (LLL).

• Caso 4: Se conocen dos lados del triángulo y el angulo comprendido entre ellos (LAL).

Para todos estos casos utilizamos dos teoremas que son: la Ley de Seno y la Ley de Coseno.

Ley del Seno

La ley del seno es una relación que establece que en un triángulo rectángulo el valor del seno de cualquiera de sus ángulos es proporcional a la

longitud del lado opuesto.

Para aplicar la ley del seno debemos conocer:

• La longitud de dos lados del triángulo y la medida del angulo opuesto a uno de ellos (LLA).

• La medida de dos ángulos del triángulo y la medida de un lado (LAA). Como se conoce que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo

es 180° podemos fácilmente calcular la tercera medida restando de 180° las medidas conocidas.

En términos de los valores de un triángulo ABC como se muestra a continuación:

Ley del Coseno

Las condiciones para resolver un triángulo no rectángulo con la

ley del coseno son:

• Conocer la longitud de dos lados del triángulo y la

medida del angulo entre estos (LAL).

• Conocer la longitud de los 3 lados (LLL).

Ejemplos:

1. Observa cómo se resuelve el triángulo ABC, si se tiene a= 4 cm, B= 35°, C= 60°.

• A+B+C= 180° ⇒A=180°-35°-60°⇒ A=85°

• Aplicando el teorema del seno: 𝑎

𝑆𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑆𝑒𝑛 𝐵⇒ 𝑏 =

𝑎. 𝑆𝑒𝑛 𝐵

𝑆𝑒𝑛 𝐴=

4. 𝑆𝑒𝑛 35°

𝑆𝑒𝑛 85°⇒ 𝑏 = 2,3 𝑐𝑚

𝑎

𝑆𝑒𝑛 𝐴=

𝑐

𝑆𝑒𝑛 𝐶⇒ 𝑐 =

𝑎. 𝑆𝑒𝑛 𝐶

𝑆𝑒𝑛 𝐴=

4. 𝑆𝑒𝑛 60°

𝑆𝑒𝑛 85°⇒ 𝑐 = 3,48 𝑐𝑚

2. Si se conocen los tres lados en el triángulo ABC, si se tiene a= 50 cm, b= 65 cm, c= 80cm. Se

puede encontrar las medidas de sus ángulos, de la siguiente manera:

• Aplicando el teorema del Coseno:

𝐶𝑜𝑠 𝐴 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐0,781 ⇒ 𝐴 = 38°37′

𝐶𝑜𝑠 𝐵 = 𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2

2𝑎𝑐0,584 ⇒ 𝐵 = 54°14′

• Se calcula el tercer angulo C= 180°-A-B⇒ 𝐶 = 87°9′

ACTIVIDAD 3

1. Con base en el triángulo suministrado construyo cada triangulo según las condiciones suministradas y determino si las condiciones son

óptimas para solucionar mediante la ley del Seno. Hallo las medidas de las longitudes de los lados y ángulos solicitados.

𝑆𝑒𝑛 𝐴

𝑎=

𝑆𝑒𝑛 𝐵

𝑏=

𝑆𝑒𝑛 𝐶

𝑐


2. Dos personas están pescando a la orilla de un rio a una distancia entre ellos de 4 metros.

Ven saltar un pez con los ángulos como se muestra en la figura. ¿Qué cantidad de nailon necesita cada

uno para lanzar su anzuelo y llegar al pez?

3. Con base en el triángulo suministrado para cada numeral dibuje el triángulo con estas

condiciones y hallo las longitudes de los lados y los angulo que se desconocen.

4. En un momento dado un avión pasa sobre una carretera recta que une

dos pueblos con los ángulos 21,2° y 12,3°.

a. Determina la distancia del avión a cada uno de los pueblos considerando

que lo pueblos están separados 8,45km.

SEMANA 3 AREA DEL TRIANGULO

Una aplicación directa de la ley del Seno es su uso para hallar el área de un triángulo cuando se conocen dos lados y el angulo comprendido entre

ellos.

El área de un triángulo MNP, que tiene las medidas de los tres lados está dada por la Fórmula de Herón:

𝑨 = √𝒓(𝒓 − 𝒎)(𝒓 − 𝒏)(𝒓 − 𝒑) , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒓 =𝒎 + 𝒏 + 𝒑

𝟐

Donde r es el semiperímetro del triángulo.

Ejemplo:

Hallar el área del triángulo ABC, donde a= 22cm, b=15 cm, y C= 30°.

Se tienen los datos de los lados y en angulo que se forma entre ellos, por ello usamos la formula 𝑨 =𝒂𝒃.𝑺𝒆𝒏 𝑪

𝟐

para hallar el área del triángulo ABC.

Reemplazamos los datos en la formula 𝑨 =(𝟐𝟐)(𝟏𝟓)𝑺𝒆𝒏 𝟑𝟎°

𝟐

Se realizan las operaciones A=82,5 cm2

ACTIVIDAD 4

1. Hallar el área de cada triangulo

El área de un triángulo ABC, que tiene las medidas de dos lados y el angulo entre ellos, está dada por:

𝑨 =𝒃𝒄. 𝑺𝒆𝒏 𝑨

𝟐


SEMANA 4 -ACTIVIDAD 5

Concéntrese trigonométrico


EVALUACION FORMATIVA

SEÑALE CON UNA “X” EL CRITERIO DE EVALUACIÓN QUE MÁS SE AJUSTE A SU DESEMPEÑO

PREGUNTA Autoevaluación (Estudiante) Coevaluación (Padres/ Familiar

evalúa al estudiante) Heteroevaluación (Docente)

SI NO A VECES SI NO A VECES SI NO A VECES

Me interesé por hacer mi trabajo de manera

responsable, organizada, siguiendo las

indicaciones presentadas logrando que mi

aprendizaje sea significativo.

Trabajo de manera ordenada las actividades

de la guía.

Participo de las clases virtuales

complementarias a la guía.

Me esfuerzo en la realización y entrega de los

trabajos en la fecha establecida

Reconozco la utilidad de las funciones

trigonométricas inversas y las utilizo para la

resolución de problemas.

Comprendo la ley del seno y coseno.

Desarrolle habilidad en la resolución de

triángulos, así como la manera de encontrar

su área aplicando la ley del seno y coseno.

REFERENCIAS Y FUENTES DE INFORMACION

Moya Luz Marina, Pérez Ernesto, Moreno Vladimir. Retos matemáticas 10, Grupo Editorial Norma. 2012( Impreso)

Espinel Oscar Andrés, Fonseca Luis Alejandro. Matemáticas Para Pensar 10, Grupo Editorial Norma. 2011( Impreso)

Ramírez Marisol, Castañeda Neyla, Joya Anneris, Gómez Mercedes. Hipertexto 10 Editorial Santillana, 2010.(Impreso)

Equipo ediciones SM, Bernal Lyz, González Magda, Erazo John, Barrios Martha, Cárdenas Laura. Matemáticas 10 Secundaria libro del estudiante,

Editorial Savia. 2019( Impreso)

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