NOCIONES BÁSICAS DE FUNCIONES

Primer año MedioMiss Yanira Castro Lizana

Funciones

¿Qué es una función?

Formas de

representación

Propiedades Clasificación

Tipos

Generalidades

Una función es una

regla de asociación

que relaciona el

conjunto de llegada y

el conjunto de salida.

Esta regla no permite

relacionar un mismo

elemento del dominio

con dos elementos

del rango.

No estamos en

presencia de una

función cuando:

De algún elemento

del conjunto de

partida no sale

ninguna flecha.

De algún elemento

del conjunto de

partida salen dos o

más flechas.

¿Qué es una función?

a

b

c

d

e

1

2

3

4

5

X Y

Formas de representar una función

VerbalAlgebraicaVisualNumérica

por medio

depor medio depor medio de por medio de

palabrasfórmulasdiagramas y graficastablas

x 1 2 3 4 5 …

y 11 12 13 14 15…

a

b

c

d

e

1

2

3

4

5

X Y

Y=2x+4 E(t) son los

estudiantes

del colegio

en el

instante t.

Variable

dependiente

-

Variable

independiente

Intercepto en el eje X

-

Intercepto en el eje Y

Conjunto de llegada

-

Conjunto de salida

GENERALIDADES

Dominio - Rango

El DOMINIO es

el conjunto de

elementos

formado por las

pre imágenes,

generalmente

cuando se habla

del plano

cartesiano, el

dominio es el

intervalo de

valores que están

sobre el eje x, y

que nos generan

una asociación

en el eje y.

El otro

conjunto

llamado

RANGO, es

la gama de

valores que

toma la

función; en el

caso del

plano

cartesiano

son todos los

valores que

toma la

función o

valores en el

eje y.

La VARIABLE

INDEPENDIENTE

no depende de

ninguna otra

variable, en el

ejemplo anterior

la x es la variable

independiente ya

que la y es la que

depende de los

valores de x.

Las VARIABLES

DEPENDIENTES

como su nombre lo

indica, dependen del

valor que toma las

otras variables Por

ejemplo: f(x)= x, y o

f(x) es la variable

dependiente ya que

esta sujeta a los

valores que se le

subministre a x.

El INTERCEPTO

EN EL EJE Y se

halla

reemplazando a x

por 0, y el

INTERCEPTO EN

EL EJE X se halla

igualando la

función a f(x)= y e

y= 0 y

solucionando la

ecuación

resultante.

El

CONJUNTO

DE LLEGADA

contiene los

elementos que

son la imagen

de los valores

del conjunto

de salida.El CONJUNTO DE

SALIDA se llama al

conjunto que contiene

los elementos del

dominio de una función.

Función

Par

Función Impar

Función

Creciente

Función

Decreciente

FUNCIÓN PAR Si f(x) = f (-x).

Ejemplo: La función 𝒚 =𝒙𝟐 es par pues se obtienen

los mismos valores de y

independientemente del

signo de x.

La función 𝒚 = 𝒙𝟐 es par

ya que f (-x) = (−𝒙)𝟐 = 𝒙𝟐

Simétricas con respecto al eje

Y.

FUNCIÓN IMPARSi f(x) = -f (-x).

Ejemplo: La función

y(x)=x es impar ya

que: f (-x) = -x pero

como f(x) = x

entonces: f(-x) = - f(x).

Simétricas con respecto al eje

de las coordenadas.

FUNCIÓN

CRECIENTE

La función es

creciente

cuando al

aumentar los

valores de X,

aumenta Y.

𝛼=Angulo agudo

𝛼

FUNCIÓN

DECRECIENTE

La función es

decreciente

cuando al

aumentar los

valores de X,

disminuye Y.

𝛽=Angulo obtuso

𝛽

1. Nociones de Conjuntosa) Definiciones

Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos,

considerados como una sola unidad.

Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un

conjunto C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C.

Si p no pertenece a C, se denota: p Є C

Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee

elementos. También se denota como: { }

Subconjunto ( ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro

conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son

también elementos de B.

b)Producto Cartesiano

Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B )

está formado por cada uno de los pares ordenados donde el

primer elemento pertenece a A y el segundo a B :

A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B }

Ejemplo:

Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

a b c

1

2 ..

.

..

.

A

B

Gráficamente:

2.Relacionesa) Definición:

Ejemplo:

Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:

R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a}

A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)}

R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

entonces:

Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por una, o más condiciones.

El conjunto A se denomina “Conjunto de Salida” o “Conjunto de Partida”; y el conjunto B, “Conjunto de Llegada” de la relación.

2 3 7

4

5 .

...

.

.

A

BGráficamente:

6 . . .

R

El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2.Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de 2 y de 3.

(2,4) Є R ó 2 R 4

Notación:

ó R (2) = 4

(2,6) Є R ó 2 R 6 ó R (2) = 6

(3,6) Є R ó 3 R 6 ó R (3) = 6

Además de estos elementos podemos agregar que:

b) Dominio, Recorrido y

Codominio :Dominio:

Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada.

Recorrido:

Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de partida.

Codominio:

Es otra manera de denominar al conjunto de llegada de la relación.

Ejemplo:

Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:

R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B , entonces:

Dom(R): = {2,3}

Rec(R): = {4,6}

= {4,5,6} = BCodom(R):

Entonces, si R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

2

3

7

4

5

6

A B

R

Conj. de partida.{2,3,7}

Conj. de llegada (Codominio){4,5,6}

Pre-imágenes {2,3} Imágenes {4,6}

De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:

2 es “pre-imagen” de 4 y de 6, y 4 es “imagen” de 2

Este tipo de representación de relaciones se denomina “diagrama sagital” (sagita = flecha)

Relación Inversa

Una relación R tiene inversa y se escribe como Rˉ¹

Por ejemplo: Sí R={ (2,3), (4,5),(5,6)}

Entonces Rˉ¹ ={(3,2),(5,4),(6,5)}

3. Funciones

Una “función f” es una relación, tal que todo elemento delconjunto de partida tiene imagen, y ésta es única.

3.1. Definición

Ejemplos:

1. Determine si la siguiente relación R es función:

a

b

c

d

e

f

A B

R

La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

R (c)= e

R (c)= f

• Dom f = A• Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.

2. Determine si la siguiente relación R es función:

3

5

4

6

7

9

A B

R

R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida

tiene imagen y ésta es única.

f (3) = 6

f (5) = 6

f (4) = 7

Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}

3

5

4

6

7

9

fA B

Sea f una función, definida en los reales como:

3.2. Evaluación de funciones

f(x) = 2x + 3.

a) f (1) =

Determinar:

IR IR

f

b) f (3) =

c) f (7) =

d) f (12) =

= 24 + 3

= 27

Ejemplo 1:

1

3

7

12…x

5

9

17

27…

f(x)

2·1 + 3 = 5

2·3 + 3 = 9

2·7 + 3 = 17

2·12 + 3

2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)

2(-1) + 3

f (4) - 3·f (0)

f (-1)

=

8 + 3 – 3(3)

1

2

11 – 9

=

=

=

e) Para f(x) = 2x + 3, determinar

Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.

f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR

3.3. Dominio y Recorrido

●

●

●

●

●

●

●

●●

f

Es una función

●

●

●

●

●

●

●

No es una función

●

●

●

●

●

●

●

●

Es una función

f

A B AA B

BA

TIPOS DE FUNCIONES

Polinómica Racional Logarítmica Exponencial Valor

absoluto

TrigonométricaPor partes

Grado impar Grado par Grado cero

Lineal Cúbica Cuadrática Constante

Afín Lineal

Idéntica

Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada

por la ecuación:

y = mx o como función f(x)=mx con, y =f(x)

Ejemplo: y = 2x

Elementos

Punto de corte con x: 0

Punto de corte con y: 0

Conjunto de salida= Reales

Conjunto de llegada= Reales

Dominio= Reales

Rango= Reales

Pendiente = 2 es creciente

Pasa por el origen

FUNCIÓN LINEAL

En la función f(x)= mx + n, m indica la

pendiente ey n indica el punto de corte

con y, el desplazamiento vertical de la

función.

Características de la función lineal

Dominio= Conjunto de Salida= conjunto de los números Reales

Recorrido = Rango= Conjunto de los números Reales (con excepción a la

función constante).

Conjunto de llegada = Reales.

f(x)= mx + n es equivalente la ecuación y= mx + n

m es una constante que se denomina

pendiente que indica el grado de

inclinación de la recta y se halla

mediante la ecuación: Si m > o: la función es creciente

Si m < 0: la función es decreciente

Si m = 0: la función es nula es una constante (

se representa por una recta horizontal)

Si m= ∄ la función se indetermina y resulta ser

una recta vertical.

FUNCIÓN AFIN

Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por

la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical.

Ejemplo: y = 2x+3

Elementos

coeficiente n= 3

Punto de corte con y: 3

en el punto (0,3)

Punto de corte con x: 3

2

punto P(3

2,0)

Conjunto de salida: Reales

Conjunto de llegada: Reales

Dominio: Reales

Rango: Reales

Pendiente: 2

Función creciente

AFIN

Cuando m>0, n>0 la gráfica es Cuando m<0, n>0 la gráfica es

Cuando m<0, n<0 la gráfica esCuando m>0, n<0 la gráfica es